UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. A desigualdade isoperimétrica e uma aplicação

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A desiguldde isoperimétric e um plicção Belo Horizonte 2012

2 ARIANA PATRICI SANTOS QUINTÃO PEREIRA A desiguldde isoperimétric e um plicção Monogr presentd o deprtmento de mtemátic do instituto de ciêncis exts d universidde federl de Mins Geris, como prte dos requisitos pr obtenção do título de especilist em mtemátic. Orientdor: Prof. Dr. Frncisco Dutenhefner Belo Horizonte 2012

3 Agrdecimentos Agrdeço primeirmente à Deus por me prover súde e corgem pr relizr todos os meus nseios; Agrdeço o meu mrido Júnio Quintão por me poir sempre; Aos professores do curso de especilizção em mtemátic d UFMG, em especil o meu orientdor, o professor Frncisco Dutenhefner, pel bo vontde que sempre demonstrou comigo e Aos grndes migos Lucin, Rômulo e Luiz, que tive o przer de conquistr neste curso, por comprtilhrem comigo momentos de legri e sufoco. Muito obrigd!

4 Resumo Este trblho tem como principis objetivos provr o teorem d desiguldde isoperimétric e em seguid presentr um plicção do mesmo.

5 Sumário 1 Introdução 8 2 Desiguldde isoperimétric Denições Áre limitd por um curv simples fechd A desiguldde isoperimétric Polígonos Convexos que não Pvimentm o Plno Denições Pvimentções monoédrics com polígonos de 6 ou menos ldos Um plicção d desiguldde isoperimétric Demonstrção do teorem Referêncis Bibliogrács 43

6 List de Figurs 2.1 Um curv fechd simples Um curv fechd (não simples) Um curv fechd simples C sobre o toro T ; C não limit um região em T C está orientd positivmente Cso simples Cso gerl Sistem de coordends xy em relção curv C Sistem de coordends x 1 y 1 em relção à curv C Polígonos Não polígonos Contorno do polígono: um linh Contorno mis interior do polígono: um superfície Polígono convexo Polígono não convexo Pvimentção prcil d linh poligonl pret Nós e vértices Pvimentções monoédrics por triângulos, qudriláteros e hexágonos regulres Pvimentção monoédric por pentágono não regulr Região qudrngulr S(r) Pvimentção N

7 3.13 Pvimentção N 1 contid no interior d região qudrngulr S(r + β) Esboço Pvimentção N Ângulos em cd nó Pvimentção N contid no interior d região qudrngulr S(r + 2β)

8 Cpítulo 1 Introdução Os principis objetivos deste trblho são: provr o teorem d desiguldde isoperimétric e presentr um plicção dele. Segundo [2], o teorem d desiguldde isoperimétric tlvez sej o teorem mis ntigo d geometri diferencil globl e está relciondo com o seguinte problem isoperimétrico: Dentre tods s curvs simples fechds no plno com um ddo comprimento l, qul dels limit mior áre? A solução deste problem,ou sej,o círculo, já er conhecid pelos gregos, ms, um prov stisftóri do mesmo só surgiu em 1870 com Weierstrss, que, o contrário dos mtemáticos que tentrm resolver ntes dele, não ssumiu que um solução deveri existir. Weierstrss presentou um prov complet d existênci de um solução pr o problem, porém, su prov er um tnto complicd, já que el usv su teori chmd de cálculo ds vrições. Mis trde form encontrds provs mis direts. A prov que presentre- 8

9 mos neste trblho é devid E. Schmidt (1939) [6]. Depois de provr o teorem d desiguldde isoperimétric, presentmos um teorem reltivo polígonos convexos que não pvimentm o plno. Pr provr este teorem, lnçmos mão d desiguldde isoperimétric. Dess form, presentmos um plicção dess desiguldde. 9

10 Cpítulo 2 Desiguldde isoperimétric 2.1 Denições Denição 2.1 (Curv prmetrizd diferenciável). Um curv prmetrizd diferenciável do plno é um plicção diferenciável α : I R 2 de um intervlo berto I R em R 2. Um função diferenciável em um intervlo fechdo [, b] é restrição de um função diferenciável denid em um intervlo berto contendo [, b]. Se α é um curv diferenciável, implic dizer que α é um correspondênci que lev cd t I em um ponto α(t) = (x(t), y(t)) R 2, de tl mneir que s funções x(t) e y(t) são diferenciáveis de clsse C. A vriável t é chmd de prâmetro d curv e o subconjunto de R 2 dos pontos α(t), t I é chmdo trço d curv. Um curv prmetrizd diferenciável α : I R 2 é dit regulr se t I, α (t) 0. 10

11 Um curv pln fechd é um curv prmetrizd regulr α : [, b] R 2 tl que α e tods s sus derivds coincidm em e b, ou sej: α() = α(b), α () = α (b), α () = α (b), α () = α (b)... Um curv α : I R 2 é dit simples se não possui uto interseções; isto é: se t 1, t 2 I, t 1 t 2, então, α(t 1 ) α(t 2 ). Figur 2.1: Um curv fechd simples. Figur 2.2: Um curv fechd (não simples). Dd um curv regulr α : I R 2 e ddo t 0 I, plicção s(t) = t t 0 α (t) dt é denomind função comprimento de rco d curv α prtir de t 0. Est função é diferenciável de clsse C, pois α é um curv regulr. Denição 2.2 (Curv regulr prmetrizd pelo comprimento do rco). Um curv regulr α : I R 2 é dit prmetrizd pelo comprimento de 11

12 rco, se pr cd t 0, t 1 I, t 0 t 1 o comprimento do rco d curv α de t 0 t 1 é igul t 1 t 0. Isto é: t1 t 0 α (t) dt = t 1 t 0 Em gerl, considermos curvs α : [0, l] R 2 prmetrizds pelo comprimento de rco s; logo, l é o comprimento d curv α. Proposição 2.1. Um curv regulr α : I R 2 está prmetrizd pelo comprimento do rco se, e somente se, t I, α (t) = 1. Demonstrção. Suponh que α estej prmetrizd pelo comprimento de rco e t 0 I. Considere função s : I R que pr cd t I ssoci s(t) = t t 0 α (t) dt. Se t 0 t, então, por hipótese, t 0 α (t) dt = t t 0 t; se t t 0, então, s(t) = t 0 α (t) dt = t t 0 t. Portnto, pr todo t I, s(t) = t t 0, donde s (t) = 1. Como s (t) = α (t), concluímos que α (t) = 1, t I. A recíproc é imedit. Pelo teorem de Jordn, um curv simples fechd C no plno, delimit um região deste plno, chmd de interior de C. Est rmção é válid por se trtr de um curv no plno. Já no espço, rmção deix de ser válid. Bst tomrmos como exemplo, C sendo um meridino em um toro, clrmente, C não delimit um região no toro. 12

13 Figur 2.3: Um curv fechd simples C sobre o toro T ; C não limit um região em T. Qunto orientção de um curv simples fechd, seu prâmetro t pode ser escolhido de form que C tenh orientção positiv. Diz-se que C tem orientção positiv, qundo percorremos curv e seu interior c à noss esquerd, como mostr gur bixo. Figur 2.4: C está orientd positivmente. 2.2 Áre limitd por um curv simples fechd N seção nterior vimos que um curv simples fechd C no plno delimit um região deste plno, chmd de interior de C. Dí, qundo zermos referênci à áre delimitd por um curv simples fechd C, estremos considerndo áre do interior de C. 13

14 Utilizremos fórmul seguir pr o cálculo d áre A d região delimitd por um curv simples fechd, com orientção positiv: Lem 2.1. Sej α : [, b] R 2 um curv simples fechd, positivmente orientd e denid por α(t) = (x(t), y(t)). Então: A = y(t)x (t)dt = x(t)y (t)dt = 1 2 (xy yx )dt (2.1) Apesr dest fórmul (2.1) ser consequenci do teorem de Green, vmos presentr um demonstrção diret. Pr isso, vmos considerr dois csos: Cso 1 (Simples). A curv é formd por dois segmentos de ret prlelos o eixo O y e pelos grácos ds funções y = f 1 (x) e y = f 2 (x), x [x 0, x 1 ], f 1 > f 2. Figur 2.5: Cso simples Demonstrção. Pr provr fórmul (2.1), no cso 1, é necessário provr cd um ds seguintes igulddes: Iguldde 1: y(t)x (t)dt = x(t)y (t)dt. 14

15 Iguldde 2: A = y(t)x (t)dt. Iguldde 3: A = 1 2 Prov d iguldde 1: (xy yx )dt. Derivndo o produto xy, vem: (xy) = x y + xy xy = (xy) x y Integrndo mbos os membros d iguldde nterior, no intervlo [, b], vem: xy dt = xy dt = xy dt = xy (xy) dt b x ydt x ydt x(b)y(b) x()y() }{{} = 0, pois α é um curv fechd xy dt = x ydt = x ydt xy dt x ydt Prov d iguldde 2: Pel gur (2.5) é clro que áre limitd pel curv é dd por: A = x1 f 1 (x)dx x1 x 0 x 0 f 2 (x)dx A curv é positivmente orientd, utilizndo notção d gur (2.5), vmos mostrr que: t1 A = y(t)x (t)dt }{{} (i) t2 y(t)x (t)dt t } 1 {{ } (ii) 15 t3 y(t)x (t)dt t } 2 {{ } (iii) y(t)x (t)dt t } 3 {{ } (iv)

16 Prmetrizndo (i), temos: α(t) = (t, f 1 (t)), t [x 0, x 1 ], logo, x(t) = t x (t) = 1 t1 x1 x1 y(t)x (t)dt = + y(t)x (t)dt = f 1 (x) 1dx = f 1 (x)dx t 1 x 0 x 0 Prmetrizndo (ii), temos: t2 t2 α(t) = (x 0, t) α (t) = (0, 1) y(t)x (t)dt = t 0 = 0 t 1 t 1 Prmetrizndo (iii), temos: α(t) = (t, f 2 (t)), t [x 0, x 1 ], logo, x(t) = t x (t) = 1 t3 x1 x1 y(t)x (t)dt = f 2 (x) 1dx = f 2 (x)dx t 2 x 0 x 0 Prmetrizndo(iv), temos: α(t) = (x 1, t) α (t) = (0, 1) t 3 y(t)x (t)dt = t 0 = 0 t 3 Dess form mostrmos que: t1 y(t)x (t)dt t2 t 1 y(t)x (t)dt t3 t 2 y(t)x (t)dt t 3 y(t)x (t)dt = x1 x 0 f 1 (x)dx x1 x 0 f 2 (x)dx = y(t)x (t)dt = A. 16

17 Prov d iguldde 3: Ds igulddes 1 e 2, provmos que: A = y(t)x (t)dt e A = x(t)y (t)dt. Somndo ests equções, concluímos que: 2A = x(t)y (t)dt y(t)x (t)dt 2A = A = 1 2 (xy yx )dt (x(t)y (t) y(t)x (t))dt Cso 2 (Gerl). Sej α : [, b] R um curv pmetrizd, simples e positivmente orientd. Como está ilustrdo n gur (2.6), é possível dividir áre limitd por α em um número nito de regiões do tipo d gur (2.5). Dí, utilizndo em cd um dests regiões o que foi demonstrdo no cso simples, é possível demonstrr expressão (2.1) no cso gerl. Figur 2.6: Cso gerl 17

18 2.3 A desiguldde isoperimétric Dentre tods s curvs simples fechds no plno com um ddo comprimento l, qul dels limit mior áre? Segundo referênci [2], o teorem d desiguldde isoperimétric tlvez sej o teorem mis ntigo d geometri diferencil globl e está relciondo com o problem isoperimétrico cim. A solução deste problem, ou sej, o círculo, já er conhecid pelos gregos, ms, um prov stisftóri do mesmo só surgiu em 1870 com Weierstrss, que, o contrário dos mtemáticos que tentrm resolver ntes dele, não ssumiu que um solução deveri existir. Weierstrss presentou um prov complet d existênci de um solução pr o problem, porém, su prov er um tnto complicd, já que el usv su teori chmd de cálculo ds vrições. Mis trde form encontrds provs mis direts. A prov que presentremos seguir é devid E. Schmidt (1939) [6]. Teorem 1 (Desiguldde isoperimétric). Sej C um curv pln simples e fechd com comprimento l, e sej A áre d região limitd por C. Então, l 2 4πA 0. (2.2) Além disso, iguldde é verddeir se, e somente se, C é um círculo. Demonstrção. Sejm E e F rets prlels que não intersectm curv fechd C. Agor, considere o movimento dests dus rets té que els toquem C pel primeir vez. Obtemos ssim dus rets prlels, E e F, tngentes à C, de form que curv C está totlmente contid n fix limitd por E e F. Considere tmbém um círculo S 1 que sej tngente E e F e não intersect C. Sej O o centro de S 1 e introduz o sistem de 18

19 coordends crtesins com origem em O e o eixo Ox perpendiculr E e F. Vej gur (2.7). Figur 2.7: Sistem de coordends xy em relção curv C Primeiro, neste sistem de coordends xy, podemos prmetrizr C pelo comprimento de rco α(s) = (x(s), y(s)) de modo que C tenh orientção positiv. Em seguid, conforme está ilustrdo n gur (2.7), podemos supor que o círculo S 1 está prmetrizdo por: α(s) = (x(s), y(s)), s [0, l], sendo que primeir coordend, x(s), ds prmetrizções de C e de S 1 são iguis. 19

20 Como o círculo S 1 tem rio r, sendo 2r distânci entre E e F, utilizndo (2.1) podemos clculr s áres, A e πr 2, limitds por C e por S 1 do seguinte modo: A = πr 2 = l 0 l Somndo ests dus expressões obtemos: 0 x(s)y (s)ds y(s) x (s)ds. A + πr 2 = l 0 xy ds l 0 yx ds = l 0 (xy yx )ds. (2.3) Podemos obter um limitnte superior pr est últim integrl fzendo uso d desiguldde de Cuchy-Schwrz. Pr isso, considere os vetores (x, y ) e ( y, x) no plno. Clculndo o produto esclr, obtemos: xy yx = (x, y ), ( y, x) (x, y ) ( y, x) = α α, sendo que iguldde é ssumid somente qundo os vetores (x, y ) e ( y, x) pontm pr mesm direção. Deste modo, substituindo est desiguldde em (2.3) obtemos: A + πr 2 = l (xy yx )ds l α α ds = l α ds = l rds = rl. Então, concluímos que: A + πr 2 rl. (2.4) 20

21 Agor, como médi geométric de dois números positivos é menor do que ou igul médi ritmétic destes dois números, b + b 2, obtemos: A πr2 1 2 (A + πr2 ) 1 2 rl. (2.5) Elevndo o qudrdo, vem: Multiplicndo por 4, vem: A πr (A + πr2 ) (rl)2. 4Aπr 2 (A + πr 2 ) 2 r 2 l 2. (2.6) Do primeiro e do terceiro membros d desiguldde cim, chegmos o seguinte resultdo: 4Aπr 2 r 2 l 2 Simplicndo r 2 em mbos os membros, temos que 4πA l 2, ou sej, l 2 4πA 0 que é extmente desiguldde desejd (2.2). Pr concluir demonstrção do teorem, precismos somente demonstrr que iguldde em (2.2) é verddeir somente qundo curv C é um circunferênci. Então, vmos ssumir que l 2 4πA = 0, ou sej, que l 2 = 4πA. Substituindo est iguldde em (2.6), vem: 4Aπr 2 (A + πr 2 ) 2 4Aπr 2. Como o primeiro e o terceiro membros dest desiguldde são iguis vemos, então, que (A + πr 2 ) 2 = 4Aπr 2. 21

22 Desenvolvendo o qudrdo obtemos: A 2 + 2Aπr 2 + (πr 2 ) 2 = 4Aπr 2 A 2 2Aπr 2 + (πr 2 ) 2 = 0 (A πr 2 ) 2 = 0 A πr 2 = 0 A = πr 2. (2.7) Além disso, como estmos supondo que l 2 = 4πA, (2.6) implic: 4Aπr 2 (A + πr 2 ) 2 r 2 l 2 = 4Aπr 2 e como o primeiro e o último termo são iguis, vemos que (A + πr 2 ) 2 = r 2 l 2, ou sej, A + πr 2 = lr. (2.8) Dí, como A = πr 2, obtemos: l = A + πr2 r = πr2 + πr 2 r = 2πr2 r l = 2πr. (2.9) Então, qundo supomos que se veric iguldde em (2.2), então tmbém temos um iguldde em (2.4). Como (2.4) foi obtid pel desiguldde de Cuchy-Schwrz, sbemos que iguldde é válid somente qundo os vetores (x, y ) e ( y, x) pontm pr mesm direção. Como o vetor (x, y ) é unitário e como o vetor ( y, x) tem módulo r, podemos concluir então que (x, y ) = 1 ( y, x) e, portnto, r y = 1 x. (2.10) r Observe gor que iguldde (2.9) implic que r = l não depende d 2π direção ds rets E e F e, portnto, podemos repetir tod demonstrção relizd prtir d gur (2.7) pr rets prlels qulquer direção. 22

23 Então, sejm E e F rets prlels, tngentes curv C, mbs perpendiculres E e F, de modo que C está contid n fix horizontl limitd por els. Como cbmos de observr, distânci entre ests dus rets tmbém é 2r, distânci entre s rets E e F. Vej gur (2.8). Figur 2.8: Sistem de coordends x 1 y 1 em relção à curv C Como no cso nterior, considere um círculo S 2 tngente às rets E e F de modo que S 2 não intersect curv C. Sejm (, b) s coordends do centro do círculo S 2 no sistem de coordends xy. Com origem neste ponto (, b), considere um novo sistem de coordends x 1 y 1 com o eixo x 1 prlelo ret E, vej gur (2.8). Como este sistem de coordends x 1 y 1 pode ser obtido do sistem de coordends xy por um trnslção pelo vetor (, b), podemos considerr seguinte prmetrizção α 1 (s) = (x 1 (s), y 1 (s)) s [0, l], pelo comprimento de rco, d curv C, no 23

24 sistem de coordends x 1 y 1 : { x1 (s) = x(s) y 1 (s) = y(s) b (2.11) Derivndo primeir dests relções obtemos tmbém que: x 1 = x. (2.12) Anlisndo gur (2.8) vemos, então, que no sistem de coordends x 1 y 1 o círculo S 2 tem prmetrizção d form α 1 (s) = (x 1 (s), y 1 (s)) s [0, l], sendo que, gor, segund coordend, y 1 (s), ds prmetrizções de C e de S 2, no sistem de coordend x 1 y 1, são iguis. No que segue, vmos repetir os rgumentos já utilizdos pr s curvs C e S 1, de prmetrizções α(s) = (x(s), y(s)) e α(s) = (x(s), y(s)) no sistem de coordends xy, ms gor pr s curvs C e S 2, de prmetrizções α 1 (s) = (x 1 (s), y 1 (s)) e α 1 (s) = (x 1 (s), y 1 (s)) no sistem de coordends x 1 y 1. Então, utilizndo (2.1), podemos clculr s áres, A e πr 2, limitds por C e S 2 do seguinte modo: l A = πr 2 = 0 l 0 y 1 (s)x 1(s)ds x 1 (s) y 1(s)ds 24

25 Somndo ests dus equções, vem: A + πr 2 = l 0 x 1 y 1ds l 0 y 1 x 1ds = l 0 (x 1 y 1 y 1 x 1)ds Considerndo os vetores (x 1, y 1) e ( y 1, x 1 ) do plno, pel desiguldde de Cuchy-Schwrz, vemos que: l 0 A + πr 2 = l (x 1, y 1), ( y 1, x 1 ) ds (x 1 y 1 y 1 x 1)ds = 0 l α 1 α 1 ds = l 0 0 α 1 ds = rl. Ms, como já provmos em (2.8) que A+πr 2 = rl, vemos que desiguldde cim é, de fto, um iguldde. Como est desiguldde foi obtid por Cuchy-Schwrz, concluímos que os vetores (x 1, y 1) e ( y 1, x 1 ) pontm n mesm direção e, portnto (x 1, y 1) = 1 r ( y 1, x 1 ) que implic: x 1 = 1 r y 1 (2.13) Usndo (2.11), (2.12), (2.10) e (2.13) vemos que: x 2 + (y b) 2 = x 2 + y1 2 = (ry ) 2 + ( rx 1) 2 = r ( ) 2 y 2 + x ( 2 1 = r 2 y 2 + x 2) = r 2 α 2 = r 2. Logo x 2 + (y b) 2 = r 2. Isto signic que curv prmetrizd C, α(s) = (x(s), y(s)) é um círculo de centro (0, b) e rio r, no sistem de coordends xy. Isto termin demonstrção do teorem d desiguldde isoperimétric. 25

26 Cpítulo 3 Polígonos Convexos que não Pvimentm o Plno 3.1 Denições De cordo com referênci [3]: Um polígono é um gur geométric pln cujo contorno é fechdo e formdo por um quntidde nit de segmentos de ret, que são seus ldos. Em outrs plvrs, o contorno de um polígono é um linh poligonl fechd. Frequentemente, plvr polígono refere-se pens o contorno. Entretnto, às vezes, refere-se o contorno mis região pln, que é seu interior. Por exemplo, pr clculr áre de um qudrdo considermos região interior e pr clculr o perímetro de um qudrdo considermos somente um linh poligonl qudrd. Deste modo, o fto de os polígonos poderem ser considerdos or um linh, or um superfície não trz nenhum problem grve. 26

27 Figur 3.1: Polígonos Figur 3.2: Não polígonos Figur 3.3: Contorno do polígono: um linh 27

28 Figur 3.4: Contorno mis interior do polígono: um superfície Polígono convexo, é quele em que todos os ângulos internos são menores que 180 o. Abixo seguem exemplos de polígonos convexos e não-convexos: Figur 3.5: Polígono convexo Figur 3.6: Polígono não convexo 28

29 Qunto pvimentr, é o mesmo que ldrilhr, cobrir um áre com polígonos sem sobreposição. Os polígonos de um pvimentção tmbém podem ser chmdos de ldrilhos. Cobrir signic que cobertur poligonl pode se estender lém dos limites d superfície ser cobert. Dess form, som ds áres dos polígonos d cobertur pode ser mior que áre d superfície ser cobert. Um pvimentção pode ser clssicd em prcil ou idel. Pvimentção prcil: Sej L um linh poligonl simples e fechd. Um pvimentção d região poligonl P limitd por L é um subdivisão de P em um número nito de polígonos tis que: união de todos esses polígonos e sus fronteirs é igul P e interseção do interior de dois desses polígonos é vzi. Figur 3.7: Pvimentção prcil d linh poligonl pret Pvimentção idel: Um pvimentção idel do plno é um subdivisão do plno em um quntidde enumerável de polígonos tis que: união de todos esses polígonos e sus fronteirs é todo o plno e interseção do interior de dois desses polígonos é vzi. Pvimentção monoédric ou pur: São pvimentções constituíds de polígonos congruentes entre si. 29

30 Os vértices dos polígonos de um pvimentção são denomindos nós. Nest denição é importnte chmr tenção pr o fto de que um ddo polígono d pvimentção, pode ter em su fronteir, um quntidde de nós mior que quntidde de vértices. Por exemplo, n gur bixo o polígono 1 é um pentágono, com 5 vértices e 6 nós. Já o polígono 2 tem mesm quntidde de nós e de vértices. Figur 3.8: Nós e vértices As rests de um pvimentção são os segmentos de ret que tem por extremiddes dois nós consecutivos de um mesmo ldo de um polígono. Dess form s rests d pvimentção podem ser ldos ou prte de ldos de polígonos que s denem. Por exemplo, n gur 3.8, o polígono 1 é um pentágono, nturlmente com cinco ldos, ms n pvimentção, este polígono possui seis rests em su fronteir. 3.2 Pvimentções monoédrics com polígonos de 6 ou menos ldos Vmos supor que dispomos de um quntidde innit de cópis de um determind form geométric. Se for possível encixá-l, sem flhs ou sobreposição, cobrindo todo o plno, dizemos que est form geométric pviment o plno e que este pdrão é um pvimentção monoédric do plno. 30

31 Considerndo polígonos regulres, gur seguir nos mostr que é possivel pvimentr o plno pens com triângulos equiláteros, pens com qudrdos ou pens com hexágonos regulres. Figur 3.9: Pvimentções monoédrics por triângulos, qudriláteros e hexágonos regulres Qunto pentágonos regulres, eles não servem como ldrilhos do plno, pois o ângulo de 360 o não é múltiplo do vlor do ângulo interno de um pentágono regulr 108 o. Entretnto existem pentágonos não regulres que podem ser utilizdos pr pvimentr todo plno. A gur (3.10) é um exemplo de um pvimentção mónoédric por pentágonos não regulres, desenvolvid por Mrjorie Rice, segundo [7]. Figur 3.10: Pvimentção monoédric por pentágono não regulr 31

32 Dess form, vimos que é possível construir pvimentções monoédrics do plno por polígonos de três, qutro, cinco e seis ldos. Ms será que pvimentções deste tipo podem ser construíds com polígonos convexos de sete ou mis ldos? O teorem seguir, primeirmente demonstrdo por Ivn Niven em 1978 [5], grnte que isto é impossível. Teorem 2. Sejm α e β quisquer números reis positivos. É impossível pvimentr o plno com qulquer coleção de polígonos convexos, cd polígono com 7 ou mis ldos, áre mior que α e perímetro menor que β. Ns próxims seções presentremos um demonstrção deste teorem como um plicção d desiguldde isoperimétric. 3.3 Um plicção d desiguldde isoperimétric Pr provr o teorem 2, precisremos do teorem de Euler e do lem 3.1 seguir. A prov do teorem de Euler pode ser encontrd n referênci [4] e prov do lem será presentd utilizndo o teorem 1 dest monogr, ou sej, desiguldde isoperimétric, cuj prov foi presentd no cpítulo 2. Teorem 3 (Teorem de Euler). Sej dd um pvimentção prcil do plno com f polígonos, v nós e rests. Então, é válid seguinte iguldde: v + f = 1 (3.1) Lem 3.1. Se P é um polígono de perímetro menor que β, então, áre de P é menor que β 2. Demonstrção. Vmos mostrr que desiguldde isoperimétric implic este resultdo. 32

33 De fto, sejm A áre limitd por um polígono de perímetro menor que β e A C áre de um círculo cuj fronteir tem comprimento igul β. Pel desiguldde isoperimétric, temos: β 2 4πA C = 0 A C = β2 4π < β2. Logo: A < A C < β Demonstrção do teorem 2 A demonstrção se drá por bsurdo. Vmos supor que o plno pode ser pvimentdo por um coleção de polígonos convexos, cd um com 7 ou mis ldos, áre mior que α e perímetro menor que β, onde α e β são números reis e positivos pré denidos. Nosso objetivo é demonstrr que ests hipóteses levm um contrdição. De fto, vmos mostrr que existe um qudrdo de ldo sucientemente grnde que não pode ser coberto por polígonos que stisfzem s hipóteses considerds. Demonstrção. Vmos considerr um sistem de coordends (x, y) no plno d pvimentção e um região qudrngulr S(r) contendo todos os pontos (x, y) que stisfzem x r e y r, onde r é um número rel e positivo. Vmos mostrr que existe r sucientemente grnde que nos drá contrdição desejd. 33

34 Figur 3.11: Região qudrngulr S(r) Sej N 1 pvimentção prcil do plno construíd d seguinte mneir: Se um polígono d pvimentção do plno contém lgum ponto d região qudrngulr S(r), então, este polígono pertence pvimentção prcil N 1 Se lgum polígono d pvimentção não tiver ponto em comum com S(r), ms for cercdo por peçs que tenhm pelo menos um ponto em comum com S(r), então, esse polígono tmbém fz prte d pvimentção N 1. Ess condição grnte que pvimentção N 1 cobre tod região sem deixr burcos. Vmos considerr tmbém um região qudrngulr S(r + β), que corresponde à região qudrngulr de vértices (± (r + β), ± (r + β)). Como o perímetro de cd polígono é menor que β, segue que pvimentção N 1 está tod contid no interior dess região qudrngulr S(r + β). 34

35 Figur 3.12: Pvimentção N 1 De fto: Suponhmos que lgum vértice de lgum polígono d pvimentção N 1 estej for do qudrdo de ldo (r + β). Por exemplo, n gur 3.14, estmos dmitindo que o vértice v 5 de um polígono de 7 ldos d pvimentção N 1 possui um vértice for do qudrdo de ldo (r + β). Pr este polígono, sej d digonl que lig o vértice v 5 o vértice v 1 e l 1, l 2,, l 7 os ldos desse polígono. Vej gur (3.14). Então, pel desiguldde tringulr, l 1 + l 2 + l 3 + l 4 > d > β l 5 + l 6 + l 7 > d > β Somndo s desigulddes cim, vem: l 1 + l 2 + l l 7 > 2d > 2β > β P erimetro > β Absurdo, pois, por hipótese do teorem 2, o perímetro de cd polígono é menor que β. 35

36 Figur 3.13: Pvimentção N 1 contid no interior d região qudrngulr S(r + β) Como cd polígono d pvimentção tem áre mior que α e N 1 está inteirmente contid em S(r + β), então, podemos rmr que N 1 possui um quntidde nit de polígonos. De mneir nálog à que denimos pvimentção N 1 que cobre sem deixr burcos região qudrngulr S(r), vmos denir outr pvimentção, N, como sendo àquel que cobre inteirmente região qudrngulr S(r + β). Vej gur

37 Figur 3.14: Esboço Mostrmos que pvimentção N 1 possui um quntidde nit de polígonos. Por rgumentos nálogos, podemos rmr que pvimentção N tmbém possui um quntidde nit de polígonos. Então, vmos denir lguns elementos desss pvimentções: Pvimentção N 1 : possui f 1 polígonos e v 1 nós; Pvimentção N : possui f polígonos, v nós e rests. Aplicndo o teorem de Euler à pvimentção N, vem: v + f = + 1 v + f >. (3.2) Agor, sej α i o somtório dos ângulos internos, em cd nó, de todos os polígonos d pvimentção N 1. Pr exemplicr, vej gur seguir. O 37

38 Figur 3.15: Pvimentção N polígono I é um triângulo com qutro nós em su fronteir. Assim, som dos ângulos internos, em cd nó, do polígono I é igul + b + c + d. Por outro ldo, o polígono II é um qudrilátero com qutro nós em su fronteir. A som dos ângulos internos, em cd um de seus nós é igul e+f +g +h e o polígono III tmbém é um qudrilátero com qutro nós em su fronteir. A som dos ângulos internos em cd um de seus nós é igul i + j + k + l. Dess form, temos: αi = ( + b + c + d) + (e + f + g + h) + (i + j + k + l) Vmos gor determinr um limitnte inferior e um limitnte superior pr αi : Limitnte inferior: Sej X um polígono qulquer d pvimentção N 1. Como o número de nós, n, n fronteir de X é mior ou igul o número de vértices dess fronteir, temos que n 7, pois X tem pelo menos 7 ldos. Dí, som S dos ângulos internos de cd nó do polígono X é tl que S (n 2)π 38

39 Figur 3.16: Ângulos em cd nó (7 2)π = 5π. Efetundo esse cálculo pr cd um dos f 1 polígonos de N 1 temos: α i 5πf 1. Limitnte superior: Em cd um dos v 1 nós d pvimentção N 1, som de todos os ângulos deste nó é sempre menor ou igul 2π. Dí, α i 2πv 1. Dos limitntes cim, temos: 2πv 1 α i 5πf 1 2πv 1 5πf 1 2v 1 5f 1 (3.3) Agor, nlisndo o número (v), n pvimentção N, temos que N possui rests e cd rest conect dois nós. Então, o dobro do número de rests é mior ou igul o número de nós, ou sej, 2 v. Além disso, cd nó está ligdo pelo menos dus rests cd vértice está sendo contdo dus vezes pelo número 2. Cd nó, no interior de N, pertence pelo menos 3 polígonos Nestes nós concorrem pelo menos três rests e esse nó está sendo contdo pelo menos três vezes pelo número 2. 39

40 Agor, cd um dos v 1 nós de N 1 é um nó no interior d região pvimentd por N. Segue que N possui pelo menos v 1 nós interiores. Contndo cd um deles três vezes e os demis v v 1 nós de N dus vezes, vem: 2 v 2 3v 1 + 2(v v 1 ) 2 v 1 + 2v (3.4) De (3.2) temos que v + f >. substituindo em (3.4), vem: Multiplicndo ess desiguldde por 2 e 2v + 2f > 2 2v + 2f > v 1 + 2v 2f > v 1 Utilizndo desiguldde cim multiplicd por 2 e desiguldde (3.3), concluímos que: { 2v1 5f 1 4f > 2v 1 4f > 2v 1 5f 1 4f > 5f 1 (3.5) Por outro ldo, existem f 2 = f f 1 polígonos de N que não fzem prte de N 1. Então, multiplicndo mbos os membros de f 2 = f f 1 por qutro, vem: 4f 1 + 4f 2 = 4f. Substituindo esse vlor em (3.5), temos: 4f 1 + 4f 2 = 4f > 5f 1 4f 2 > 5f 1 4f 1 4f 2 > f 1 (3.6) Além disso, cd polígono de N 1 tem perímetro menor que β e áre menor que β 2 (lem 3.1), dí, os f 1 polígonos de N 1 têm áre totl menor que β 2 f 1. Ms, esses polígonos cobrem região S(r), cuj áre é 4r 2. Assim: 4r 2 < Áre (N 1) β 2 f 1 β 2 f 1 4r 2 (3.7) Anlisndo gor áre limitd pelos f 2 polígonos que pertencem N e não pertencem N 1, do mesmo modo que zemos pr pvimentção N, 40

41 Figur 3.17: Pvimentção N contid no interior d região qudrngulr S(r + 2β) podemos rmr que esses polígonos estão contidos completmente n região S(r + 2β), pois, cd polígono tem perímetro menor que β. Dí estes f 2 polígonos estão for d região S(r) e no interior d região qudrngulr S(r + 2β). A áre desse nel qudrngulr é dd por: [2(r + 2β)] 2 (2r) 2 = 4(r + 2β) 2 4r 2 Portnto áre dos f 2 polígonos é menor que 4(r + 2β) 2 4r 2 (limitnte superior). Por outro ldo, cd um dos f 2 polígonos têm áre mior que α. Logo, áre totl dos f 2 polígonos é mior que αf 2 (limitnte inferior). Então: αf 2 Áre (f 2 poligonos) 4(r + 2β) 2 4r 2 4(r + 2β) 2 4r 2 αf 2 (3.8) 41

42 Desenvolvendo (3.8), encontrmos: 4(r 2 +4rβ+4β 2 ) 4r 2 αf 2 4r 2 +16rβ+16β 2 4r 2 αf 2 16β(r+β) αf 2 Multiplicndo mbos os membros d desiguldde cim por 4β 2, obtemos: 64β 3 (r + β) 4β 2 αf 2 Utilizndo s inequções (3.6) e (3.7), vem: 64β 3 (r + β) 4β 2 αf 2 > β 2 αf 1 > 4αr 2 64β 3 (r + β) > 4αr 2 Dividindo mbos os membros dess desiguldde por 4αr, obtemos: 4αr 2 4αr < 64β3 r 4αr + 64β4 4αr r < 16β3 α β4 α 1 r r 2 16β 3 α 1 r 16β 4 α 1 < 0, r > 0 (3.9) Est desiguldde implic que função do segundo gru n vriável r, f(r) = r 2 16β 3 α 1 r 16β 4 α 1 é tl que f(r) < 0 pr todo número rel r > 0. Ms isto é um bsurdo pois o gráco de f é um prábol com concvidde pr cim e portnto deve ssumir vlores positivos pr r sucientemente grnde. Ess contrdição nliz prov do teorem 2. A contrdição cim é consequênci de termos ssumido que é possível cobrir região qudrngulr S(r + β), com polígonos que stisfzem s hipóteses do teorem 2. 42

43 Referêncis Bibliogrács [1] ALENCAR, Hilário; SANTOS, Wlcy. Geometri Diferencil ds Curvs Plns, 4. ed. Rio de Jneiro: Publicções Mtemátics do IMPA, p. [2] CARMO, Mnfredo Perdigão do. Geometri Diferencil de Curvs e Superfícies, 4. ed. Rio de Jneiro: SBM, p. [3] IMENES, Luiz Márcio Pereir; LELLIS, Mrcelo Cestri. Microdicionário de Mtemátic, São Pulo: Scipione, p. [4] LIMA, Elon Lges et l. A Mtemátic do Ensino Médio. 6. ed. Rio de Jneiro: SBM, v. (Coleção do Professor de Mtemátic). [5] NIVEN, Ivn. Convex Polygons Cnnot Tile the Plne, In: The Americn Mthemticl Monthly, v. 85, n o 10, p [6] SCHMIDT, E. Uber ds isoperimetrische Problem im Rum von n Dimensionen, Mth. Z [7] SHATTSCHNEIDER, Doris, Tiling the plne with congruent pentgons - problem for nyone to contritute to: survey of the growing but incomplete story of pentgonl tilings of the plne, Mthemtics Mgzine, vol. 51, no 1, Jnury 1978, pp [8] TENENBLAT, Keti. Introdução à Geometri Diferencil, 2. ed. São Pulo: Edgrd Blucher, p. 43