Inferência Estatística. 1 Amostra Aleatória. Baseado nos slides cedidos pelo Professor Vinícius D. Mayrink (DEST-UFMG)

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1 Inferência Estatística 1 Amostra Aleatória Baseado nos slides cedidos pelo Professor Vinícius D. Mayrink (DEST-UFMG)

2 O que é Inferência Estatística? Desconhecimento, incerteza Fenômenos/experimentos: determinísticos x aleatórios. Objetivos: - Explicar ao máximo a variabilidade de um fenômeno aleatório; - Estimar alguma quantidade desconhecida (associada a algum experimento) Como explicar a variabilidade de um experimento aleatório? -> Probabilidade! O que é probabilidade? - Explica parcialmente a variabilidade de um fenômeno/experimento; - Quantifica incerteza. Dados: fragmento (amostra) da população. O que é população? (Concreta / abstrata) Exemplos.

3 Modelo Estatístico Experimento aleatório. Conhecer a população é conhecer exatamente a distribuição de probabilidade que descreve o experimento. Em muitos casos, significa conhecer a característica de interesse de cada indivíduo da população. Modelo Estatístico: uma coleção de distribuições de probabilidade que contém a distribuição verdadeira. Paramétricos e não-paramétricos. Exemplos. Os dados são o resultado do experimento aleatório que é descrito pela distribuição verdadeira associada à população de interesse. Representam uma parcela da população. A distribuição verdadeira (que caracteriza a população) é o que determina o que é mais ou menos provável de se observar nos dados. Portanto, uma vez obtidos os dados, podemos avaliar qual (quais) distribuição(ões) (População) do modelo é mais verossímil de ter gerado aqueles dados. Fazemos então o caminho contrário para tentar extrapolar quem é a população (distribuição verdadeira). Estamos então, de certa forma, extrapolando a informação da amostra para a população.

4 Precisamos então de uma maneira (matematicamente) formal de avaliar quais distribuições são mais verossímeis. Além disto, como não é possível ter certeza, precisamos quantificar a incerteza em torno da extrapolação. Queremos inferir sobre a população a partir de uma amostra. Fazemos isto usando técnicas/metodologias Estatísticas -> Inferência Estatística. Base teórica: Teoria de Probabilidade. No curso, vamos estudar as metodologias mais populares para se fazer inferência e focar nos detalhes de modelos mais simples (iid).

5 1 Amostra Aleatória.

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7 1.1 Populações e Amostras. É o que queremos conhecer. Muitas vezes abstrata. Proporção de

8 Observação: A população de interesse deve ser bem definida. Isto determina, por exemplo se a amostra é adequada para se fazer inferência. Exemplos. A forma (dinâmica probabilística) como selecionamos a amostra é crucial na escolha do modelo estatítisco e nas metodologias a serem utilizadas para se fazer inferência. Lembre-se que o resultado de um experimento nada mais é que um evento simples e que, em muitos casos, pode ser associado a um número real definido por alguma variável aleatória. Vamos nos ater ao contexto onde o resultado pode ser definido como o valor assumido por uma (coleção de) variável aleatória (de dimensão arbitrária). Portanto, uma amostra consiste de uma coleção de variáveis aleatórias para as quais, após realizado o experimento, se tem um valor assumido.

9 Definição 2: Amostra aleatória (simples) Uma coleção de variáveis aleatórias é chamada de amostra aleatória (simples) se são todas iid. Como consequência, a distribuição de probabilidade do resultado a ser observado no experimento é a distribuição conjunta dos X i s, que no caso iid é descrita por: Onde as f s são densidades no caso contínuo e funções de probabilidade no caso discreto. Neste caso, a verdadeira densidade f que determina a distribuição da amostra é a população de interesse. Equivalentemente, as probabilidades dadas por f correspondem a proporções da população. Daí vemos que, pelo menos hipoteticamente, a população de interesse será, em muitos casos, infinita. Na prática, isto é assumido em várias situações desde que a população seja muito grande. Exemplos.

10 (proporção de sementes de cada cor.)

11 distribuição Neste exemplo, isto pode ser garantido se fizermos o sorteio com reposição e de forma que cada semente tenha a mesma chance de ser escolhida. Na prática, se o número de sementes é absurdamente grande, um sorteio com ou sem reposição é irrelevante.

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13 1.2 Estatísticas e Momentos Amostrais.

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