Funções de variável aleatória

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1 Desigualdade de hebshev ágina de Funções de variável aleatória Funções de variável aleatória aso discreto uponhamos que é uma variável aleatória que toma valores {... n } e tem unção de probabilidade p i. Então Y H também é uma variável aleatória que toma valores { H H K n H n } com unção de probabilidade p Y i p i. e houver ou + i em que H H K então p i i i p i + p i Y Eemplo: +K Imagina: - p E Y. Então: - Y - Y 9 p Y Y aso contínuo uponhamos que é uma variável aleatória que toma valores [ab] e tem unção de probabilidade. º método apenas quando H é monótona Então Y H também é uma variável aleatória com unção de distribuição de probabilidade Y. Nota: este método é generalizável se se decompuser H em secções monótonas. º método geral Então Y H também é uma variável aleatória com unção de distribuição de FY probabilidade: Y em que F Y Y H Y em que Y H. e H or crescente o domínio de Y será [HaHb] se or decrescente será [HbHa]. Eercício: onsidere a variável aleatória uniormemente distribuída sobre [-]. Obtenha a unção densidade de probabilidade g de Y. Resolução: - Área / ágina de

2 Desigualdade de hebshev ágina de ágina de º método:.:. c a Temos duas unções que partilham o mesmo domínio em Y mas em são domínios mutuamente eclusivos - e por isso: + + g g g º método: Descobre-se a unção de distribuição acumulada de Y Y para para + 78 U 78 : : e e : : e e omo anteriormente:

3 Desigualdade de hebshev ágina de Vem: + Logo g or deinição a unção de distribuição acumulada é contínua e tende para. Valor esperado é a média dos valores da v.a. aso discreto E µ i p i Valor esperado de uma unção de v.a.: E H H i p i i i aso contínuo + E µ Valor esperado de uma unção de v.a.: E H + H ropriedades: e constante então E E E E + Y E + EY Variância é uma medida da dierença entre os valores da v.a. V σ E E σ : desvio padrão ropriedades: V + V com constante V V com constante Independência de variáveis aleatórias: e e Y orem v.a. independentes então EY EEY e e Y orem v.a. independentes então V + Y V + VY ágina de

4 Desigualdade de hebshev ágina de ágina de Eercício: eja uma variável aleatória contínua com unção densidade de probabilidade dp. alcule o valor esperado e a variância de. Resolução: E E V E E µ Desigualdade de hebshev Desigualdade de hebshev A desigualdade de hebshev serve para majorar a probabilidade de uma certa v.a. sabendo apenas a sua média µ e variância σ. σ µ Eercício: Num teste de cruzes são apresentadas respostas possíveis para cada pergunta das quais apenas uma está correcta. O eaminado pode seleccionar com cruzes quaisquer dessas respostas desde até sujeitando-se à seguinte pontuação: + pontos --- por cada cruz certa pontos --- por cada cruz errada a eja n a pontuação obtida numa pergunta com n cruzes marcadas ao acaso n. i Mostre que E n n. Isto é respondendo à sorte a pontuação é sempre. ii alcule V n n... b eja n a pontuação obtida num teste de perguntas máimo de quando se marcam n cruzes marcadas ao acaso em cada pergunta n. i Determine o valor esperado e o desvio padrão de e. ii Usando a desigualdade de hebshev estime limites superiores para a probabilidade de e ecederem e pontos. ugestão: Atendendo à simetria de n em torno de. δ δ

5 Desigualdade de hebshev ágina 5 de Resolução: a i i ontos possíveis nº de casos nº de casos para pontos E i : nao escolhe nenhum não acerta nenhum : acerta : acerta um e alha outro : acerta um e alha os outros -: alha -: alha os dois -: alha os : acerta um e alha os outros três três ii n E n E n V n E n - E n b i n n E n E n E n V n V n V n σ V n E V 8 σ V E V σ V 8 E V 8 σ V ii σ µ σ µ k k k σ c. a. : k σ σ k ágina 5 de

6 Desigualdade de hebshev ágina de Queremos e. desigualdade de hebshev usando a simetria µ 78 k 78 σ Queremos e Queremos e ágina de