SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E O SISTEMA OU MÉTODO DE GAUSS.

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1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E O SISTEMA OU MÉTODO DE GAUSS. Antono erera da Slva Lcencado em Cêncas Econômcas erto Judcal O Sr. aulo Luz Durgan, Admnstrador do ste A RIORI, dsponblzou o artgo:- SFH, Sstema rce, anatocsmo e método de Gauss, em que faz uma extensa analse para conclur que suas teses devem ser acetas. As consderações que faço têm por objetvo aclarar o referdo artgo, vez que, a repercussão gerada no Brasl, sem nenhum fundamento matemátco-centífco, sobre a exstênca de anatocsmo decorrente do Sstema Francês de Amortzação, em sua varante Sstema RICE, acabou por refletr anfbologcamente em decsões judcas proferdas de boa-fé, nduzr profssonas séros da área técnca em erros e, fnalmente, fazer surgr revsão contratual no formato de uma crença em tas "teses". Vamos, então, ao objetvo sugerdo. OBS: o texto em vermelho é a resposta desse Economsta. O QUE CONSTA NO ARTIGO 2 QUE SERÁ ANALISADO, ESTÁ EM AZUL:- Alguns entendem que Johann Carl Fredrch Gauss (30/04/777 23/02/855) fo o maor gêno da matemátca, com uma capacdade ngualável e autor de númeras e valosas descobertas. os agora seus teoremas estão sendo utlzados entre nós, nas dscussões do Sstema Fnancero da Habtação. A Vara Federal Especalzada do Sstema Fnancero da Habtação de Curtba, por exemplo, às fls. 227/262 dos autos , condenou nsttução fnancera a substtur o sstema rce pelo método de Gauss. Aqu acompanharemos essa sentença, elaborando breves comentáros. Dz a sentença: Ctação: or conceto rotnero, de trânsto freqüente nos meos jurídcos e econômcos, captalzar juros mplca em cobrança de juros sobre juros. Melhor dzendo: a captalzação ocorre quando os juros de um determnado mês servem de base de cálculo para o cômputo dos juros dos meses subseqüentes. Isto é fácl de se evdencar quando se cudam de juros vencdos mensalmente, mas somente pagos ao fnal (ou seja, quando não se trata, verdaderamente, de uma sére de pagamentos mensas, mas sm, apenas de pagamento ao fnal). Atente-se para o quadro abaxo, em que está sendo consderado um fnancamento de R$.000,00, sob juros de 3% ao mês, de forma composta. Note-se que não há pagamentos mensas, apenas ao fnal:. O ste pode ser acessado no endereço eletrônco: DURIGAN, aulo Luz. SFH, SISTEMA RICE, ANATOCISMO E MÉTODO DE GAUSS. O artgo pode ser ldo pelo acesso ao ste

2 No exemplo dado, fca evdente que os juros devdos em um determnado mês (p.ex., R$ 30,00 quanto ao prmero mês) estão compondo a base de cálculo dos juros devdos nos meses seguntes. De fato, no exemplo dado, a taxa de 0,03 (3%) ncdu, no 2º mês, sobre o total de R$.030,00, no qual já estão nclusos os juros do mês anteror. Tal prátca é vedada pelo Dreto, conforme Dec. nº /33, art. 4º e entendmento pretorano pacífco, decorrente da Súmula 2 do Supremo Trbunal Federal, também por todos conhecda. Regstre-se, por oportuno, que mesmo as nsttuções fnanceras devem obedênca ao referdo enuncado, notadamente pelo fato de que a posteror súmula 596 do mesmo STF apenas dz respeto ao lmte dos juros e não à forma do seu cálculo. (fls. 233/234). 2 Até aqu o Julgador consdera que: a) não é fácl constatar a cobrança de juros captalzados em prestações peródcas; e b) que a captalzação é vedada. ECONOMISTA ANTONIO EREIRA DA SILVA, DIZ:- RIMEIRA CONSIDERAÇÃO:- Se, é somente se, for cobrado juro sobre juro é que ocorre captalzação; no caso das restações peródcas (MAIS DE UM AGAMENTO) não se constata tal fato, pelo segunte fundamento:- O CONCEITO DO QUE SEJA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO. CONCEITO DO QUE SEJA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO:- TODOS OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES EXISTENTES NO MUNDO COBRAM JURO SOBRE O CAITAL DEVIDO. ORTANTO, A ALEGAÇÃO DE DURIGAN NÃO É FÁCIL CONSTATAR A COBRANÇA DE JUROS CAITALIZADOS EM RESTAÇÕES ERIÓDICAS, É FRUTO DE NÃO SE TER ACESSO AO CONCEITO DO SEJA UM SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO. Os Sstemas de Amortzações mas utlzados no mundo, apenas os mas utlzados, tem como base de cálculo do juro convenconado o CAITAL DEVIDO, excluso qualquer juro. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) pagar, perodcamente, uma cota de amortzação constante e os juros sobre o Captal devdo. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAm):- pagar, no vencmento, o CAITAL, e, perodcamente, os juros sobre o Captal devdo. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ALEMÃO (SAl):- pagar, perodcamente, uma cota de amortzação do captal e os juros ANTECIADOS sobre o Captal devdo. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL:- pagar, perodcamente, qualquer cota de amortzação e os juros sobre o Captal devdo. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SF):-

3 pagar, perodcamente, uma cota de amortzação e os juros sobre o Captal devdo, com restação constante. 3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO RICE (uma varante do SF):- pagar, mensalmente, uma cota de amortzação e os juros sobre o Captal devdo. ortanto, só ocorre cobrança de juros sobre juro no Sstema de agamento Únco defndo como Sstema do Montante (SM), tendo mas que um período de prazo. SISTEMA DO MONTANTE (SM):- pagar, no vencmento, o Captal e seus juros ACUMULADOS sobre o Captal devdo. CONCLUSÃO:- A RIMEIRA ALEGAÇÃO (LETRA A, acma), SIMLESMENTE QUESTIONA O CONCEITO DO QUE SEJA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO, SEM NO ENTANTO TER BASE CIENTÍFICA ARA ISSO. Todos os Sstemas de Amortzações têm por característcas as seguntes fórmulas:- RESTAÇÃO AMORTIZAÇÃO JURO DEVIDO SOBRE O CAITAL JURO DEVIDO CAITAL DEVIDO x TAXA DE JURO ACTUADA AMORTIZAÇÃO RESTAÇÃO JURO DEVIDO SOBRE O CAITAL CONTINUAÇÃO DO ARTIGO:- Nenhuma novdade, portanto. Dvdndo-se a taxa por 200 e multplcando o resultado pelo saldo anteror tem-se os juros cobrados pelo Banco. Aparentemente, então, cobra-se juros smples e utlza-se da taxa nomnal - mas só aparentemente. ECONOMISTA ANTONIO EREIRA DA SILVA, DIZ:- SEGUNDA CONSIDERAÇÃO:- O únco Sstema de Amortzação em que se exge a obrgatoredade de ser ter a TAXA DE JURO EM TERMO ANUAL é o Sstema de Amortzação rce. Como o Sstema de Amortzação rce, exge, também, a obrgatoredade de ser ter pagamentos mensas surge à necessdade de se transformar a TAXA ANUAL em TAXA MENSAL DE JURO. Essa conversão (taxa anual para a taxa mensal de juro) se da através de dos procedmentos:- º - pela proporconaldade das taxas, ou seja, dvde-se a taxa anual por doze: ,03 3% º - pela equvalênca das taxas, ou seja, como o sstema RICE é resultado da soma de uma rogressão Geométrca fnta crescente de razão ( ) n, efetua-se a radcação da taxa anual de juro:- 2 36% 2,36 0, , ( ) % ortanto, na Matemátca Fnancera, esses métodos são normas, nada tendo de novdade.

4 No entanto, DURIGAN consdera-se dante de uma aparênca e não de uma verdade matemátca, querendo nduzr a uma nterpretação dferente do que seja taxa nomnal ou taxa efetva de juros. Ctação: Contnua o julgado: CONTINUAÇÃO DO ARTIGO:- Durante largo período, na jursdção desta únca Vara, em todo o Brasl, especalzada em SFH, sempre entend que a tabela prce está autorzada pela Le, conforme dzeres do art. 6º., c, da Le n. 4380/64 e art. 25 da Le n. 8692/93. Contudo, depos de aprofundado estudo, com consulta a váras obras de matemátca fnancera (notadamente a obra de Abelardo Lma uccn), bem como, uma detda reflexão sobre o tema, acabe revsando, em parte, este posconamento. Ao contráro do que julgue por largo período de tempo, conclu que não é apenas a tabela prce que permte a obtenção de prestações mensas programadas para serem guas entre s. O chamado método ponderado lnear também o faz, com a vantagem de congregar juros smples (fls. 235). 4 Neste momento o Julgador, tomando por verdade que o Sstema rce produz juros captalzados, admte ter encontrado substtuto jurídco adequado através do método lnear ponderado. ECONOMISTA ANTONIO EREIRA DA SILVA, DIZ:- TERCEIRA CONSIDERAÇÃO:- A partr daqu é necessáro concetuar o que é SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS, NA VARIANTE SISTEMA RICE 3. Não se pode falar de SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO, sem defn-lo. Em qualquer área de saber, é de fundamental mportânca que se defna o objeto de estudo. No caso em questão, com a defnção do que seja SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO, delnearemos claramente o objeto de estudo 4.. ara que se possa ter um SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO, obrgatoramente, é necessáro:- ª Regra: O valor de cada prestação é formado por duas parcelas, uma delas é a devolução do prncpal ou parte dele, denomnada Amortzação, e a outra parcela são os Juros que representam o custo do empréstmo; sto é: restação Amortzação Juros. 3. O Sstema de Amortzação Francês contêm o Sstema de Amortzação rce. O nverso não é verdadero, ou seja, só é defndo como Sstema de Amortzação rce, se, e somente se, a taxa de juro for, obrgatoramente, fxada em termo anual e os pagamentos, obrgatoramente, forem mensas; quasquer outras perodcdades, na taxa ou no pagamento (valor constante), é Sstema de Amortzação Francês. 4. SILVA, Antono erera da. O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO RICE NÃO RATICA ANATOCISMO. O artgo pode ser ldo pelo acesso a:- [nternet]

5 5 2ª Regra: O valor dos juros de cada restação é sempre calculado sobre o SALDO DEVEDOR do empréstmo, aplcando uma determnada taxa de juros: Juros Saldo Devedor Taxa de Juros No Sstema de Amortzação rce, tem-se, MENSALMENTE, o juro sobre o SALDO DEVEDOR e uma cota de amortzação. A taxa de juro, obrgatoramente, é anual e as restações são em valores guas. O sstema funcona assm:- Fnancamento razo Taxa de Juro Taxa Mensal Taxa de Juros meses Nomnal (a.a.) roporconal Efetva (a.a.) R$ 445, ,00% 4,00% 60,0% Vlr. restação R$ 00,00 restação nº () Amortzação 0,04 C 445,8 n ( ) ( 0,04) 5 Fnancamento (R$ 445,8) R$ 00,00 (R$ 7,8) 4,00% x R$ 82,9 Sd. Devedor (R$ 362,99) restação nº 2 () Amortzação restação nº 3 () Amortzação restação nº 4 () Amortzação restação nº 4 () Amortzação R$ 00,00 (R$ 4,52) 4,00% x R$ 85,48 Sd. Devedor (R$ 277,5) R$ 00,00 (R$,0) 4,00% x R$ 88,90 Sd. Devedor (R$ 88,6) R$ 00,00 (R$ 7,54) 4,00% x R$ 92,46 Sd. Devedor (R$ 96,5) R$ 00,00 (R$ 3,85) 4,00% x R$ 96,5 Sd. Devedor (R$ 0,00) É exatamente sso:- restação devda Amortzação Juro Mensal devdo restação devda R$00,00. O juro devdo na restação Incal equvale ao Juro Mensal sobre o SALDO DEVEDOR:-

6 6 Juro Mensal devdo Fnancamento taxa proporcon al mensal de Juro Mensal devdo R$ 445,8 0,04 R$7,8 juro. A dferença postva entre a restação devda e o Juro Mensal devdo, amortza o Saldo Devedor:- Amortzação Amortzação restação devda - Juro Mensal devdo R$00,00 - R$7,8 R$ 82,9 Saldo Devedor Fnancamento - Amortzação Saldo Devedor R$ 445,8 R$82,9 R$362,99 O Sstema rce é acompanhado, smplesmente, pelas operações matemátcas de MULTILICAR e DIMINUIR. Valor da 2ª prestação que é devda:- R$ 00,00; Juro Mensal devdo Saldo Devedor taxa proporcon al mensal R$ 362,99 0,04 R$ 4,52 de juro Amortzação restação devda - Juro Mensal devdo R$00,00 R$4,52 R$85,48 Saldo Devedor Saldo Devedor - Amortzação 2 Saldo Devedor R$362,99 R$85,48 R$ 277,5 2 Na 3ª prestação devda, tem-se:- R$ 00,00; Juro Mensal devdo Saldo Devedor taxa proporcon al mensal de juro 2 R$ 277,5 0,04 R$,0 Amortzação restação devda - Juro Mensal devdo R$00,00 R$,0 R$ 88,90

7 Saldo Devedor Saldo Devedor - Amortzação 3 2 Saldo Devedor R$ 277,5 R$88,90 R$88,6 3 7 Na 4ª prestação devda, tem-se:- R$ 00,00; Juro Mensal devdo Amortzação Saldo Devedor taxa proporcon al mensal de 3 R$ 88,6 0,04 R$ 7,54 restação devda - Juro Mensal devdo R$00,00 R$7,54 R$92,46 juro Saldo Devedor Saldo Devedor - Amortzação 4 3 Saldo Devedor R$88,6 R$92,46 R$96,5 4 No exemplo, por últmo, a 5ª prestação devda:- R$ 00,00; Juro Mensal devdo Saldo Devedor taxa proporcon al mensal 4 R$ 96,5 0,04 R$ 3,85 de juro Amortzação restação devda - Juro Mensal devdo R$00,00 R$ 3,85 R$ 96,5 Saldo Devedor Saldo Devedor - Amortzação 5 4 Saldo Devedor 5 R$96,5 R$96,5 R$ 0,00 Afnal, onde se verfcou a cobrança de juros sobre juro? Não fo verfcada e nunca será, porque o Sstema de Amortzação rce jamas pratca o anatocsmo. Alguém dscorda desse conceto de que o JURO AGO INCIDE SOBRE O SALDO QUE SE DEVE DO CAITAL EMRESTADO? Não exste nenhum Sstema de Amortzação em que os juros não sejam cobrados sobre o Saldo Devedor, seja com prazo de 30 das, 5, 0, 5, 20 ou etc. anos. Os juros são sempre pagos sobre o valor que se deve (SALDO DEVEDOR DO CAITAL EMRESTADO), pelo smples fato de que tal valor não fo pago. Vejamos os Sstemas de Amortzações mas utlzados no mundo:-

8 8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) pagar, perodcamente, uma cota de amortzação constante e os juros sobre o Captal devdo. Captal prazo em meses restação nº () Amortzação R$ 445,8 Taxa de juros Mensal 05 4,00% Fnancame nto R$ 445,8 Amortzaçã o Constante R$ prazo 5 89,036 Fnanc. (R$ 445,8) R$ 06,84 (R$ 7,8) 4,00% x R$ 89,036 S. Dev. (R$ 356,4) restação nº 2 () Amortzação restação nº 3 () Amortzação restação nº 4 () Amortzação restação nº 5 () Amortzação R$ 03,28 (R$ 4,25) 4,00% x R$ 89,036 S. Dev. (R$ 267,) R$ 99,72 (R$ 0,68) 4,00% x R$ 89,036 S. Dev. (R$ 78,07) R$ 96,6 (R$ 7,2) 4,00% x R$ 89,036 S. Dev. (R$ 89,04) R$ 92,60 (R$ 3,56) 4,00% x R$ 89,036 S. Dev. R$ 0,00 Total de Juros Total de Amortzação Total ago R$ R$ R$ 53,42 445,8 498,60 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAm):-

9 pagar, no vencmento, o CAITAL, e, perodcamente, os juros sobre o Captal devdo. 9 Captal prazo em meses R$ 445,8 Taxa de juros Mensal 05 4,00% C (R$ 445,8) restação nº () Amortzação restação nº 2 () Amortzação restação nº 3 () Amortzação restação nº 4 () Amortzação restação nº 5 () Amortzação R$ 7,8 (R$ 7,8) 4,00% x R$ 0,00 S. Dev. (R$ 445,8) R$ 7,8 (R$ 7,8) 4,00% x R$ 0,00 S. Dev. (R$ 445,8) R$ 7,8 (R$ 7,8) 4,00% x R$ 0,00 S. Dev. (R$ 445,8) R$ 7,8 (R$ 7,8) 4,00% x R$ 0,00 S. Dev. (R$ 445,8) R$ 462,99 (R$ 7,8) 4,00% x R$ 445,8 S. Dev. R$ 0,00 Total de Juros Total de Amortzação Total ago R$ R$ R$ 89,04 445,8 534,22 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ALEMÃO (SAl):- pagar, perodcamente, uma cota de amortzação do captal e os juros ANTECIADOS sobre o Captal devdo.

10 Captal prazo em meses R$ 445,8 Taxa de juros Mensal 05 4,00% 0 a r c. a g. - C R $ n ( - ) ( ) , 8-0, 0 4 0, 0 4 R$ ª 96,45 Amo rtzaç ã o O utras Am o rtzaç õ es Juro Mensal Antecpado ( - ) R $ 96,45 ( - 0,04 ) n - Am o rtzaç ã o ( - ) Antero r 5 (R$ 7,8) 4,00% x C (R$ 445,8) restação nº () Amortzação restação nº 2 () Amortzação restação nº 3 () Amortzação restação nº 4 () Amortzação restação nº 5 () Amortzação Total de Juros Total de Amortzação Total ago R$ 96,45 (R$ 4,53) 4,00% x R$ 8,92 S. Dev. (R$ 363,26) R$ 96,45 (R$,2) 4,00% x R$ 85,33 S. Dev. (R$ 277,93) R$ 96,45 (R$ 7,56) 4,00% x R$ 88,89 S. Dev. (R$ 89,04) R$ 96,45 (R$ 3,86) 4,00% x R$ 92,59 S. Dev. (R$ 96,45) R$ 96,45 R$ 0,00 4,00% x R$ 96,45 S. Dev. R$ 0,00 R$ 54,87 R$ 445,8 R$ 500,05 SISTEMA DO MONTANTE (SM):- pagar, no vencmento, o Captal e seus juros ACUMULADOS sobre o Captal devdo.

11 Captal prazo em meses R$ 445,8 Taxa de juros Mensal 05 4,00% C (R$ 445,8) () Juro Mensal º mês (R$ 7,8) 4,00% x S. Dev. (R$ 462,99) () Juro Mensal 2º mês (R$ 8,52) 4,00% x S. Dev. (R$ 48,5) () Juro Mensal 3º mês (R$ 9,26) 4,00% x S. Dev. (R$ 500,77) () Juro Mensal 4º mês (R$ 20,03) 4,00% x S. Dev. (R$ 520,80) () Juro Mensal 5º mês (-) agamento (R$ 20,83) 4,00% x R$ 54,63 S. Dev. (R$ 54,63) S. Dev. R$ 0,00 Total de Juros Total de Amortzação Total ago R$ R$ R$ 96,45 445,8 54,63 RESUMO DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES Sstema Sstema Sstema Sstema Sstema rce Constante Amercano Alemão do Montante Juros Juros Juros Juros Juros Começo º mês R$ 7,8 Fnal º mês R$ 7,8 R$ 7,8 R$ 7,8 R$ 4,53 R$ 7,8 Fnal 2º mês R$ 4,52 R$ 4,25 R$ 7,8 R$,2 R$ 8,52 Fnal 3º mês R$,0 R$ 0,68 R$ 7,8 R$ 7,56 R$ 9,26 Fnal 4º mês R$ 7,54 R$ 7,2 R$ 7,8 R$ 3,86 R$ 20,03 Fnal 5º mês R$ 3,85 R$ 3,56 R$ 7,8 R$ 0,00 R$ 20,83 R$ 54,82 R$ 53,42 R$ 89,05 R$ 54,88 R$ 96,45 ortanto, cobrar os juros devdos sobre o Saldo Devedor do empréstmo não é prerrogatva, exclusva, do Sstema de Amortzação rce, é regra geral.

12 2 CONTINUAÇÃO DO ARTIGO:- Ctação: A partr daqu passará, então, a demonstrar a hpótese. rmeramente cabe provar que o Sstema rce produz juros captalzados. Em juros compostos, o captal é obtdo medante a fórmula abaxo: Em que: S corresponde ao captal e é a prestação mensal. n é o prazo do fnancamento. Desta forma, pode-se relaconar o captal e a prestação mensal como segue: Ou seja, em uma sére de pagamentos mensas, à base de juros compostos, a fórmula abaxo permte obter qual o valor presente de cada prestação, no termo zero do fnancamento. Assm, suponha-se um fnancamento em que o mutuáro pague o valor de R$ 00,00 a cada mês. Suponha-se que foram cobrados juros mensas de 4%, de forma composta. Note-se que ao contráro do exemplo anteror em que somente houve um pagamento ao fnal, agora estão sendo efetuados pagamentos mensas (ou seja, é realmente uma sére de pagamentos). Atente-se para o dagrama abaxo: Sabe-se, portanto, que cada prestação mensal, no exemplo acma, fo obtda medante aplcação de juros compostos. ergunta-se, qual o captal fnancado? Aplcando a fórmula antes ndcada tem-se que: ortanto, R$ 96,5 tornam-se R$ 00,00, em um mês, se estverem submetdos a juros de 4%. Ou seja, R$ 92,46, tornam-se R$ 00,00, em dos meses, se estverem submetdos a juros de 4% ao mês, de forma composta.

13 3 Assm, vê-se que R$ 88,89 tornam-se R$ 00,00, em 3 meses, se estverem submetdos a juros de 4%, de forma composta. R$ 85,48 tornam-se R$ 00,00, em 4 meses, se estverem submetdos a juros de 4% ao mês, de forma composta. or fm: Somando os 05 valores acma (R$ 96,5; R$ 92,46; R$ 88,89; R$ 85,48 e R$ 82,9) obtém-se o valor de R$ 445,8. ortanto, sob juros de 4% ao mês, de forma composta, R$ 445,8 dá ensejo a uma prestação mensal constante de R$ 00,00. Este é o mesmo valor que sera obtdo se aplcada a fórmula da tabela prce, como se demonstra abaxo: Encargo ncal R$ 99,999 R$ 00,00 Indscutível, portanto, que as prestações mensas cobradas pela tabela prce escamoteam juros compostos. Demonstrado, então, que a Tabela rce congrega juros captalzados.

14 4 Em suma, apesar da extensa e problemátca argumentação, tudo se reduz a consderar o fator tempo. Mas o Julgador anda precsou dar mas um passo: anuncar que o formato rce tem a ver com uma progressão geométrca, posto que, depos, drá que os juros smples tem a ver com progressão artmétca. Veja: Ctação: Fossem aplcados juros smples, as prestações mensas seram menores. ortanto, mesmo tendo em conta que mês a mês a taxa de juro ncde sobre o saldo de forma smples gualmente é fato que as prestações pagas são maores do que seram obtdas se fossem aplcados juros smples. Alás, é nteressante notar que a fórmula da tabela prce nada mas é do que a por todos conhecda fórmula de Soma de termos em uma progressão geométrca, como se demonstra abaxo. Somem-se os valores de cada encargo antes defndo. Lembre-se da expressão algébrca de cada uma dos termos mensas (S; S2; S3; S4 e S5, acma). Deste modo, somando-os, teríamos: Em que taxa mensal de juros. Isolando-se os termos, obtém-se a segunte equação: Captal é gual a: Segue-se, portanto, que: A soma é gual a: Sabe-se que todo número elevado a zero é gual a 0. Isto porque a propredade básca da exponencação dta que ao dvdr um número exponencado por outro, basta a subtração dos expoentes (assm, 2³ / 2² 2). De outro tanto, 2 elevado a 5 dvddo por 2 elevado a 3 corresponderá à 2². ortanto, 2² dvddo por 2² é gual a 2 elevado a zero (dante da subtração dos expoentes). Ou seja, dos elevado a zero é gual a. or fm, todo número elevado a zero é 0. Cumprda esta nterrupção necessára, volto à fórmula:

15 Aplcando a fórmula de soma de progressão geométrca, tem-se que: Soma ( ) dos termos que estão no numerador é gual a: 5 Consderando que a corresponde a (que é o fator elevado a zero ), e que a constante q (fator de progressão geométrca) corresponde a ( taxa mensal de juros), ou melhor, a ( ), substtundo na fórmula obtemos o que segue: Vê-se que a equação acma é a fórmula prce, ao nverso (sto é, quando se sabe o valor da prestação e se quer saber o valor do captal). Invertendo a equação, tem-se que:

16 6 Fora de qualquer dúvda, portanto, que a fórmula da tabela prce decorre da soma de termos em uma progressão geométrca. A longa explanação acma nada mas é senão a dedução matemátca da fórmula da tabela prce. Bem sumaramente, como já dssemos em textos anterores, e em lnguagem não técnca, trata-se de verfcar que a cada prestação paga adanta-se determnados valores (em razão dsso a menção ao valor presente de cada prestação ). ECONOMISTA ANTONIO EREIRA DA SILVA, DIZ:- QUARTA CONSIDERAÇÃO:- Realmente o Sstema de Amortzação rce, nada mas é do que a soma de uma ROGRESSÃO GEOMETRICA. RESTEM ATENÇÃO!!!! NÃO É DE QUALQUER ROGRESSÃO GEOMÉTRICA QUE ESTAMOS FALANDO. ESTAMOS FALANDO DE UMA ROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA CRESCENTE. ENTENDERAM:- CRESCENTE. Analsemos o desenvolvmento do pensamento matemátco descrto. Começa assm:- restação x ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) 5 ERCEBAM OS LEITORES QUE ESSA ROGRESSÃO É FINITA DECRESCENTE. ara a rmera restação fez-se a segunte demonstração:- ª r estação 00,00 00,00 0,96538 R$96,5,04 ( ) deduzndo que:- se acrescento 4% no valor do captal apurado pela fórmula (R$ 96,5) temse novamente a restação Mensal de R$ 00,00. R $ 96,5 4,00% 3,85 R$96,5 R$3,85 R$00,00

17 ara a Segunda restação fez-se a segunte demonstração:- 7 estação 00,00 00,00 0, R$92,46, 2,04 2ª r 2 ( ) deduzndo que:- se acrescento 4% de forma composta por 2 meses (,04 2 8,6 % ) no valor do captal apurado pela fórmula (R$ 92,46) tem-se novamente a restação Mensal de R$ 00,00. R $ 92,46 8,6% 7,54 R$92,46 R$7,54 R$00,00 ara a Tercera restação fez-se a segunte demonstração:- estação 00,00 00,00 0, R$88,89, 3,04 3ª r 3 ( ) deduzndo que:- se acrescento 4% de forma composta por 3 meses (,04 3 2,4864% ) no valor do captal apurado pela fórmula (R$ 88,89) tem-se novamente a restação Mensal de R$ 00,00. R $ 88,89 2,4864%, R$88,89 R$, R$00,00 ara a Quarta restação fez-se a segunte demonstração:- estação 00,00 00,00 0, R$85,48, 4,04 4ª r 4 ( ) deduzndo que:- se acrescento 4% de forma composta por 4 meses (,04 4 6,9859% ) no valor do captal apurado pela fórmula (R$ 85,48) tem-se novamente a restação Mensal de R$ 00,00. R $ 85,48 6,9859% 4,52 R$85,48 R$4,52 R$00,00 ara a Qunta restação fez-se a segunte demonstração:- estação 00,00 00,00 0,82927 R$82,9, 5,04 5ª r 5 ( ) deduzndo que:- se acrescento 4% de forma composta por 5 meses (,04 5 2,6653% ) no valor do captal apurado pela fórmula (R$ 82,9) tem-se novamente a restação Mensal de R$ 00,00. R $ 82,9 2,6653% 7,8 R$82,9 R$7,8 R$00,00 Utlzando a lógca demonstrada aplquemos a soma da rogressão Geométrca aos dados que constam no exemplo:-

18 S C C 8 r e s t a ç ã o n º V a l o r C a p t a l 0 0, 0 0 ( 4 % ) 0, , , 0 0 ( 4 % ) 0, , , 0 0 ( 4 % ) 0, , , 0 0 ( 4 % ) 0, , , 0 0 ( 4 % ) 0, , , , 8 n 0 0 ( 4 % ) ( 4 % ) 0 0 ( 4 % ) a 5 ú l t m o t e r m o a n q a q r a z ã o,0 4 q 5 a p r m e r o t e r m o R $ 8 2, 9,0 4 R $ 9 6, 5,0 4 R $ 0,6 7 C R $ 2 6 6,8 4 0,0 4 R $ 8 2, 9 R $ 9 6, 5 Não se consegue retornar ao Captal Incal de R$ 445,8!!!! Mas, por que será que DURIGAN usa uma ROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA DECRESCENTE? ortanto, sem perceber a nversão realzada na rogressão Geométrca, DURIGAN, comete uma falha na aplcação da Matemátca básca que se aprende no Ensno Médo. orém, se fosse aplcado corretamente a soma da rogressão Geométrca fnta crescente, DURIGAN podera chegar ao mesmo racocíno, desde que ele CRIASSE o segunte conceto para os Sstemas de Amortzações:- O JURO DEVIDO NO MEU SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO INCIDE SOMENTE SOBRE O VALOR DA AMORTIZAÇÃO, EXONENCIALMENTE, E NÃO SOBRE O VALOR QUE EU EFETIVAMENTE EMRESTEI. Somente admtndo a hpótese de uma rogressão Geométrca fnta decrescente em consonânca com o que DURIGAN entende como Sstema de Amortzação é que se pode afrmar a tese defendda, acarretando, no entanto a apuração do valor do captal pela fórmula em um valor negatvo. Que fque claro, que no exemplo analsado por DURIGAN usa-se a segunte seqüênca de valores: Captal 0,04 ( 0,04 ) 2 ( 0,04 ) 3 ( 0,04 ) 3 0,04 ( ) ( ) 4 ( ) Captal,0400,086,24864,69859,26653 Captal 96,5 92,46 88,90 85,48 82,9 ROGRESSÃO GEOMÉTRICA DECRESCENTE Captal 445,8

19 Como num passe de mágca, além do conceto do que seja um Sstema de Amortzação, aqulo que DURIGAN consdera como base de sua tese, de que ocorre captalzação de juros no Sstema de Amortzação rce, se transforma numa ROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA CRESCENTE. A ROGRESSÃO GEÓMETRICA DECRESCENTE DO DURIGAN restação x ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) 5 9 NUM ASSE DE MÁGICA, TORNA-SE UMA ROGRESSÃO GEÓMETRICA CRESCENTE ( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) restação x Mas por que será que DURIGAN nsste nessa transformação? orque na Soma de uma ROGRESSÃO GEOMÉTRICA (G), precsa-se defnr qual é o prmero termo e qual é o últmo termo, para que se possa aplcar a fórmula. S n a a n n q a, onde q q a ( ) ( ) ( ) ÚLTIMO TERMO n RIMEIRO TERMO O prmero termo na G analsada por DURIGAN é ( ) ou ( ) da fórmula do Sstema de Amortzação rce o prmero termo é ( ) ou ( ) n n, quando na apuração. Na G analsada por DURIGAN o últmo termo é ( ) ou ( ) n n da fórmula do Sstema de Amortzação rce o últmo termo é ( ) ou ( )., quando na apuração ortanto, para respetar a lógca nterna do Sstema de Amortzação em análse, e precso ter em mente a segunte noção sobre os termos que compõem a rogressão Geométrca fnta crescente:- º termo:- ( ) n VA n ; 2º termo:- ( ) ( n ) VA n ;

20 enúltmo termo:- VA ( ) 2 n, e 20 Últmo termo:- ( ) VA n. Analsemos o segunte exemplo:- Valor do Empréstmo (C) R$ 445,8 restações Mensas (n) 05 Taxa de Juro Mensal ( ) 4% restação () R$ 00,00 C 445,8 n ( ) n ( ) 5 ( 0,04) ( 0,04) 0,04 00,00 5 Vejamos quas são os valores dos empréstmos (captal ncal ou valor presente) correspondentes:- º Termo Valor resente:- 00,00 c c c 82,9 ; n ( ) ( 0,04) 5 2º Termo Valor resente:- 00,00 c c c 85,48 ; n 2 ( ) ( 0,04) º Termo Valor resente: 00,00 c c c 88,90 ; n 2 3 ( ) ( 0,04) º Termo Valor resente: 00,00 c c c 92,46, e n 3 4 ( ) ( 0,04) º Termo Valor resente: 00,00 c c c 96,5. n 4 5 ( ) ( 0,04) 5 5 Vejamos como se consttu a RIMEIRA RESTAÇÃO:- Valor do Captal Incal amortzado com o pagamento da ª restação:- Valor do JURO AGO referente ao Captal Incal Amortzado:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÃO AMORTIZADO:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÃO AMORTIZADO:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÃO AMORTIZADO:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÃO AMORTIZADO:- TOTAL AGO REFERENTE A RIMEIRA RESTAÇÃO:- 82,9 82,9 4% 3,29 85,48 4% 3,42 88,90 4% 3,56 92,46 4% 3,70 96,5 4% 3,85 00,00 Vejamos como se consttu a SEGUNDA RESTAÇÃO:-

21 Valor do Captal Incal amortzado com o pagamento da 2ª restação:- Valor do JURO AGO referente ao Captal Incal Amortzado:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÂO AMORTIZADO:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÂO AMORTIZADO:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÂO AMORTIZADO:- TOTAL AGO REFERENTE A SEGUNDA RESTAÇÃO:- 85,48 85,48 4% 3,42 88,90 4% 3,55 92,46 4% 3,70 96,5 4% 3,85 00,00 2 Vejamos como se consttu a TERCEIRA RESTAÇÃO:- Valor do Captal Incal amortzado com o pagamento da 3ª restação:- Valor do JURO AGO referente ao Captal Incal Amortzado:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÃO AMORTIZADO:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÃO AMORTIZADO:- TOTAL AGO REFERENTE A TERCEIRA RESTAÇÃO:- 88,90 88,90 4% 3,55 92,46 4% 3,70 96,5 4% 3,85 00,00 Vejamos como se consttu a QUARTA RESTAÇÃO:- Valor do Captal Incal amortzado com o pagamento da 4ª restação:- Valor do JURO AGO referente ao Captal Incal Amortzado:- Valor do JURO AGO ref. ao Captal Utlzado e NÃO AMORTIZADO:- TOTAL AGO REFERENTE A QUARTA RESTAÇÃO:- 92,46 92,46 4% 3,70 96,5 4% 3,85 00,00 Vejamos como se consttu a QUINTA RESTAÇÃO:- Valor do Captal Incal amortzado com o pagamento da 5ª restação:- Valor do JURO AGO referente ao Captal Incal Amortzado:- TOTAL AGO REFERENTE A QUINTA RESTAÇÃO:- 96,5 96,5 4% 3,85 00,00 ortanto, onde ocorreu a cobrança de juro dos juros, utlzando o nstrumental matemátco aplcado ao Sstema de Amortzação com restações constantes? Afnal, os captas ncas resultantes da fórmula do Sstema Francês/rce ( c R$ 82,9, c 2 c R$ 85,48, 3 R$ 88,90, c 4 c R$ 92,46 e 5 R$ 96,5), foram ou não utlzados nos lapsos temporas defndos, e, conseqüentemente, como só exstem juros em função de prazo decorrdo, houve ou não valorzação do captal fnancero?

22 22 data º data ¹ Captal ¹ 82,9 3,29 4% data º data ¹ data ² Captal ² 85,48 3,42 3,42 4% 4% data º data ¹ data ² data ³ Captal ³ 88,90 3,56 3,56 3,56 4% 4% 4% data º data ¹ data ² data ³ data 4 Captal 4 92,46 3,70 3,70 3,70 3,70 4% 4% 4% 4% data º data ¹ data ² data ³ data 4 data 5 Captal 5 96,5 3,85 3,85 3,85 3,85 3,85 4% 4% 4% 4% 4% Amort. ª rest 82,9 Amort. 2ª rest 85,48 Amort. 3ª rest 88,90 Amort. 4ª rest 92,46 Amort. 5ª rest 96,5 Juro pg-cap ¹ 3,29 Juro pg-cap ² 3,42 Juro pg-cap ³ 3,56 Juro pg-cap 4 3,70 Juro pg-cap 5 3,85 Juro pg-cap ² 3,42 Juro pg-cap ³ 3,56 Juro pg-cap 4 3,70 Juro pg-cap 5 3,85 Juro pg-cap ³ 3,56 Juro pg-cap 4 3,70 Juro pg-cap 5 3,85 Juro pg-cap 4 3,70 Juro pg-cap 5 3,85 Juro pg-cap 5 3,85 VLR ª REST 00,00 VLR 2ª REST 00,00 VLR 3ª REST 00,00 VLR 4ª REST 00,00 VLR 5ª REST 00,00 REALMENTE NÃO HÁ COMO DESDIZER O VELHO JARGÃO MATEMÁTICO :- o todo é gual a soma das partes (SEJA COM JURO SIMLES, SEJA COM JURO COMOSTOS). Utlzando a lógca nerente ao Sstema de Amortzação rce aplquemos a soma da rogressão Geométrca aos dados que demonstramos:-

23 S C C r e s t a ç ã o n º V a l o r C a p t a l 0 0, 0 0 ( 4 % ) 5 0, , , 0 0 ( 4 % ) 4 0, , , 0 0 ( 4 % ) 3 0, , , 0 0 ( 4 % ) 2 0, , , 0 0 ( 4 % ) 0, , , , 8 n a a n q a q q a R $ 8 2, 9,0 4,0 4 R $ 7,8 C 0, ( 4 % ) ( 4 % ) 0 0 ( 4 % ) 5 R $ 9 6, 5 R $ 4 4 5, 8 r a z ã o ú l t m o,0 4 p r m e r o t e r m o t e r m o R $ 9 6, 5 R $ 8 2, 9 23 CONCLUSÃO:- A DEMONSTRAÇÃO DO QUE SERIA O SISTEMA DE AMORTIZAÇAO RICE OR DURIGAN CARECE DE FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E CIENTÍFICA, ALÉM DE SE DISTORCER CONCEITOS ELEMENTARES DA MATEMÁTICA BÁSICA, COMO O QUE FOI EFETUADO NA ROGRESSÃO GEOMÉTRICA. CONTINUAÇÃO DO ARTIGO:- Muto bem. Agora se deve comprovar que um sstema de juros smples também suporta pagamentos mensas. É o que está a segur: Ctação: De fato, aplcando os mesmos crtéros acma, porém, consderando juros smples (progressão artmétca), equacona-se o que segue: Em que: S corresponde ao captal e é a prestação mensal. n é o prazo do fnancamento. Contudo, a fm de proporconar uma resposta objetva (porquanto certamente já está cansatvo o exame), parte-se do valor já determnado do captal anteror (R$ 445,8), para obter então a segunte stuação: Soma de todas as prestações R$ 445,8. ortanto: S S2 S3 S4 S5 R$ 445,8. artndo da fórmula de juros smples (acma ndcada)

24 24 A soma de tas termos reca na fórmula abaxo: Aplcando-se a formula acma, para todo o fnancamento (conhecda a taxa de juros mensal, o prazo e o total do mútuo), sera possível obter o valor da prestação mensal (em valor constante) que corresponda a uma sére de juros smples. Vê-se, porém, que a solução é pouco prátca, dado que a solução exgra cálculos bastante demorados (magne uma sére de pagamentos para 300 meses, p.ex.). ortanto, a solução não reca aqu. Necessáro ter em conta uma outra característca das séres em progressão artmétca. Como elucda SOUZA FIGUEIREDO, em obra sobre o tema, é possível aplcar o prncípo elucdado por GAUSS, segundo o qual, em uma sére em progressão artmétca, a soma dos extremos é corresponde à soma dos demas termos, de forma ndefectível e enantomorfa. De fato, note-se que, levando em conta uma sére em progressão artmétca, de 0 a 00, com razão, ou seja... ; 2; 3; 4; 5; 6;... etc. até 00, somando-se 00 obtém-se 0, o que é gual a 2 99 ; a etc., até chegar em Daí que a soma dos extremos é constante. Ou seja, é possível obter a segunte fórmula de soma dos termos: Lembre-se que, em uma.a., o termo de nº n é gual an a (n ) x ( ). ortanto: an a n ( ) a,20 Substtundo na soma dos termos, obtém-se: Ou melhor:

25 25 Volta-se ao exemplo anteror (Captal de R$ 445,8; prazo de 05 meses e taxa mensal de 4%). Sendo aplcados juros smples, a progressão será artmétca. Desta forma, a soma da prestação de nº 0 com aquela de nº n deve ser constante, em um fluxo de.a. (progressão artmétca). ortanto: Aplcando-se a fórmula de juros smples { Total captal x [ () x (n) ] } deverá ser obtdo o retorno do captal total que segue: Total 445,8 x [ (0,04 x 5)] Total 445,8 x [ (0,2)] Total 445,8 x (,20)Total R$ 534,4 ortanto, sabe-se como obter o valor total a ser pago; sabe-se também, de antemão, que o valor da soma dos termos, acma equaconados. ortanto, é possível obter uma prestação mensal fxa, partndo da dstrbução do valor total a ser pago, pela fórmula da soma dos termos (fórmula de GAUSS), como segue: Note-se que o termo ncal (a) corresponde a. Dstrbundo o captal total pela soma dos termos, obtém-se a fórmula para cálculo de prestações mensas, em uma sére de pagamentos a juros smples, como segue:

26 26 Total do encargo, a juros smples (em progressão artmétca) é de R$ 98,90. Note-se que a aplcação da tabela prce reca em encargo mensal de R$ 00,00. Esta dferença, de R$,0 ao mês decorre da composção dos juros. Ctação: Isto feto, agora a conclusão: Do longamente exposto, conclu-se que: a) A tabela prce decorre de juros compostos; b) É possível a obtenção de uma sére de pagamentos mensas e unformes, medante aplcação dos prncípos nerentes a uma sére de progressão artmétca, notadamente o prncípo da equvalênca da soma dos extremos; c) A aplcação da fórmula para cálculo de juros smples, em sére de pagamento, redunda em uma prestação mensal menor que a cobrada pela prce. Daí que a tabela prce deve ser substtuída como REGRA GERAL pela fórmula acma, para cálculo de prestações submetdas a juros smples. Ctação: Até aqu o Julgado mostrou como se calculam os encargos através do método lnear ponderado. Mas precsa também dzer como se cobram os juros. O Julgado, bastante completo, também se dedca a esse aspecto: Note-se que, em uma sére de pagamentos, submetda a juros smples, tal como demonstração exaustva acma, a razão (a cota de acréscmo mensal) corresponde ao valor do juro mensal. Volte-se ao exemplo anteror: O total a ser pago corresponde à multplcação do encargo assm defndo pelo prazo do fnancamento. Deste modo, o total a ser pago corresponde à R$ 98,93 x 5 494,64 Deste total, quanto corresponde a juros? Basta subtrar do captal ncal (R$ 445,8).

27 Vê-se que o total pago a título de juros sera de R$ 494,64 445,8 R$ 49,46 Tanto quanto o captal pode ser dstrbuído sobre a soma dos termos, também os juros devem sê-lo, como segue: Total de juros / soma dos termos. 27 No caso em exame, a dstrbução do total de juros pela soma dos termos, dara a fórmula segunte: Os dados podem ser conferdos medante smples substtução na fórmula acma, dos seguntes elementos : Captal R$ 445,8; Encargo mensal (EM) R$ 98,93; n 5; (taxa mensal de juros) 0,04 e a ortanto, a dstrbução dos juros pelo prazo dara um índce ponderado de 3,2972 No começo são devdos maores juros, já que o captal é maor. ortanto, a sére de pagamento está ao nverso. ara saber quanto do prmero encargo devem ser aproprados como juros, basta aplcar a fórmula que segue: Juro a índce ponderado x (n) Assm, tem-se que, na hpótese elaborada, na prmera prestação o juro sera o segunte: Juro a 3,2972x (5) Juro a R$ 6,48 Ou seja, na prmera prestação mensal, R$ 6,48 devem ser aproprados como juros e o restante (abatdo de R$ 98,93),.e., R$ 82,44 como pagamento do captal. ara os meses subseqüentes, adota-se a fórmula que segue: Juro ay índce ponderado x (n y ) Assm sendo, quanto ao segundo mês, tem-se que: Juro a2 índce ponderado x (n 2 ) Juro a2 3,2972 x (5 2 ) Juro a2 3,2972 x (4) 3,89 Há, anda, um problema de ordem prátca a ser enfrentado: como será desenvolvdo o quadro de amortzação através desse método (seja, a conhecda 'planlha de evolução do fnancamento' que é fornecda pelos agentes fnanceros). Está a segur: Ctação: Dante dos elementos acma supostos (captal, taxa e prazo), obtém-se uma evolução de fnancamento na quadra abaxo, submetda a juros smples:

28 28 Sobra um pequeno montante, por questões de arredondamento. Infere-se, portanto, que é fácl elaborar uma planlha a juros smples, em séres de pagamento. Fca também regstrado que o chamado SAC sstema de amortzação crescente não corresponde realmente a uma sére de juros smples, ao contráro do que comumente alguns advogam. Note-se que, no caso acma, (método ponderado), os juros são decrescentes à razão mensal de R$ 3,2972 (razão negatva), com íntma conexão com o valor fnancado, a taxa de juros e o prazo. Observe-se anda que no caso acma se aplca plenamente a propredade da soma dos termos. Realmente, somando a amortzação de nº (R$ 82,46) com a de nº 5 (R$ 95,62), obtém-se uma constante de R$ 78,08. Este mesmo valor é obtdo se somarmos a amortzação de nº 02 com a de nº 04. De gual modo, caso sejam somados os juros cobrados no mês 0 (R$ 6,44) com aqueles cobrados no mês 5 (R$ 3,2972), obter-se-á o valor de R$ 9,72, que corresponderá necessaramente à soma do juro relatvo ao mês 02 (R$ 3,5) com aquele cobrado no mês 04 (R$ 6,58). ortanto, a propredade descoberta por GAUSS está mantda na planlha acma. Realmente se cuda de um fluxo submetdo a juros smples, em verdadera progressão artmétca. Regstro, porém, que todas as argumentações acma são empreenddas em face de sstemas deas, desconsderada a nflação. A solução somente se mantém se houver dêntca ndexação do saldo e das prestações mensas. E é este, justamente, o grande dlema do SFH, conforme se verá adante, quando há aplcação do chamado ES/C (o que não é o caso em exame). Novo exemplo, para mas fácl ntelecção: Tenha-se em conta o segunte fnancamento: Substtundo os termos, obtém-se:

29 29 assa-se então ao cálculo do índce ponderado de juros. Enfm, o índce ponderado será de 5,66. Levando tas dados para a planlha, obtém-se a segunte evolução do fnancamento: Atente-se para o fato de que está sendo observada a propredade manente à rogressão Artmétca.

30 Somando-se a amortzação havda no mês com aquela havda no mês 5, obtém-se R$ 400, Somando-se a amortzação do mês 2 (R$ 94,34) com a do mês 4 (R$ 205,66) também se obtém R$ 400,00, que é justamente o dobro da amortzação havda no mês 3. O mesmo ocorre se forem somados os juros mensas de forma enantomorfa. ortanto, o sstema acma está submetdo a juros smples. Sempre que o Banco celebra um contrato deve, de antemão, calcular as prestações e o valor mensal de juros. A cada pagamento, basta atualzar os referdos valores para a data em questão, de forma a garantr que a evolução da dívda, a juros smples, se dê em um regme nflaconáro. Substtundo na fórmula, para contra-prova. Apesar do exame certamente já estar cansatvo, volte-se anda um pouco mas para a fórmula de decomposção de valores em juros smples, ndcada alhures: Faço a prova de que a prestação mensal de R$ 98,90 corresponde ao captal de R$ 445,8 dstrbuído em juros smples (4% ao mês), no prazo de 05 meses. ortanto, submetdo a juros smples de 4% ao mês, em 5 meses, R$ 445,8 gera um encargo mensal de R$ 98,9. A mesma contraprova pode ser aplcada ao outro caso, de captal de R$.000,00, juros de 3% e prazo de 5 meses. orém, o que falta o Julgado dzer, é como tas prestações, tanto quanto o ndce ponderado e o saldo devedor serão corrgdos. Ctação: Há apenas um avso:

31 Regstro, porém, que todas as argumentações acma são empreenddas em face de sstemas deas, desconsderada a nflação. A solução somente se mantém se houver dêntca ndexação do saldo e das prestações mensas. E é este, justamente, o grande dlema do SFH, conforme se verá adante, quando há aplcação do chamado ES/C (o que não é o caso em exame). 3 Ocorre que os juros, nesse quadro, são calculados va multplcação do índce ponderado pelo número de prestações resduas. Se houver correção do encargo, deverá haver também do índce ponderado, que é calculado em função daquele. Esse índce ponderado, como a prestação, não será, no desenvolvmento, calculado sobre o saldo devedor, mas mantdo em progressão artmétca. ortanto, não há dúvdas que a captalzação composta de juros, na Tabela rce, ncde sobre cada parcela de amortzação dos empréstmos (sére de pagamentos). Enquanto que no Método onderado (Juros smples), os juros smples ncdem sobre as parcelas de amortzação. A dferença stua-se justamente aqu. ECONOMISTA ANTONIO EREIRA DA SILVA, DIZ:- QUINTA CONSIDERAÇÃO:- No campo econômco temos fórmulas para calcular o Montante (Captal Juro) resultante para o fenômeno econômco denomnado Captal Fnancero. Na ocorrênca de um únco pagamento, o captal fnancero C remunerado a uma taxa, pode ser obtdo utlzando a convenção de Juro Smples ou a Juro Composto, após n períodos. A Juro Smples, a convenção defne que o juro de cada período n é gual ao produto do captal fnancero C pela taxa de juro, resultando no montante fnal expresso na fórmula C n C ( n). Denomnamos Montante o Captal acrescdo de seus Juros. A notação é C n ( captal com juros acumulados em n perodos) C Captal taxa de juros n período ( prazo) Cn C j, como j Cn temos : - Cn C Cn. Colocando o fator comum captal C em evdênca, temos:- ( ) Cn C n. Exemplo:- Qual o montante de um captal R$ 445,8, a 4% ao mês, durante 5 meses, pela convenção a Juro Smples?

32 32 ( ) ( ) 5 5 5,20 445,8 5 0,04 445,8 5 0,04 4% 445,8 $ C C C n R C n C C n Se o captal fnancero C for fnancado em mas de um pagamento, pagos ao fnal de, 2, 3, 4,..., n períodos, têm-se, também, como formas de pagamentos as convenções a Juro Smples ou a Juro Composto. Dvdndo o captal fnancero C em n parcelas c, 2 c, 3 c, 4 c,... n c, de acordo com a convenção de Juro Smples, cada prestação é calculada pelas seguntes fórmulas: n- n ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) [ ] n ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n c c c c c desguas estações n n r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] r n C n C n C c c c c c C n c c c guas estações n n L L L L L Exemplo:- Qual a restação constante para pagar um Captal de R$ 445,8 em 5 restações Mensas, a uma taxa de Juro mensal de 4%, pela convenção de Juro Smples? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 99,47 4, ,8 0, , , , , ,8,04,08,2,6,20 445,8 0,04 2 0,04 3 0,04 4 0,04 5 0,04 445,8 R$ 534,22

33 33 O DURIGAN em sua analse e alguns autores 5 consderam o segundo membro da º Membro 2º Membro C L expressão, n ou º Membro 2º Membro C ( ) L ( ) n ( ) ( ) ( ) 4 3 2, como uma progressão artmétca. Dessa conclusão e utlzando a soma dos termos da rogressão Artmétca (A), propõem como fórmula para cálculo de restações Mensas, em uma sére de pagamentos a Juro Smples, as seguntes expressões, que na realdade se equvalem:- [ ( n) ] ( n ) Empréstmo r estação n a 2, o termo a corresponde a undade, ou ( n ) r estação Empréstmo n n n 2 Utlzando as fórmulas sugerdas, vamos verfcar qual sera o valor da restação constante e, após, apurar o que é Captal e o que é Juro em cada restação, para testamos sua valdade para o fm a que se propõe. [ ( 0,04 5) ] ( 5 ) 0,04 445,8 445,8,20 r estação r estação 0, ,26 r estação r estação 98,93 5,08 ( 5 ) 0,04 r estação 445,8 0,04 5,6 2,6 r estação 445,8 2,5 r estação 445,8 2,5,20,20,20 r estação 445,8 4,50 r estação 98,93 ou, 5 0, Façamos a prova de que a restação Mensal de R$ 98,93 corresponde ao Captal de R$ 445,8 dstrbuído em Juro Smples de 4% ao mês, no prazo de 5 meses:- 5. NOGUEIRA, José Jorge Meschatt. Tabela rce: Da rova Documental e recsa Elucdação do seu Anatocsmo. Campnas-S, Edtora Servanda, 2002.

34 C ,93 98,93 98,93 98,93 98,93 C 0,04 5 0,04 4 0,04 3 0,04 2 0,04 98,93 98,93 98,93 98,93 98,93 C,20,6,2,08,04 C 82,44 85,28 88,33 9,60 95,3 C 442,78 34 ercebe-se que o Captal apurado em função da restação de R$ 98,93, representa a mportânca de R$ 442,78, quando na realdade o Captal emprestado é de R$ 445,8. Tem-se, portanto, um erro de lógca na fórmula proposta. Engana-se quem pensa que a dferença é por causa de arredondamento de centavos. A prestação correta, caso se quera aplcar a convenção a Juro Smples, é a demonstrada acma, no valor de R$ 99,47. C ,47 C 0,04 C 99,47, ,47,6 3 99,47 0,04 99,47,2 2 99,47 4 0,04 99,47, ,47,04 C 82,89 85,74 88,8 92,0 95,64 99,47 99,47 0,04 2 0,04 C 445,8 Enfm, até a fórmula proposta tem erro de lógca, magne então a conseqüênca desse racocíno. A expressão matemátca pela convenção a JURO SIMLES L 2 ( n ) n, não representa uma rogressão Artmétca 6, portanto, não se pode aplcar a soma de uma rogressão Artmétca (Método de Gauss) n Sn ( a an ) 2 à sére acma. Observação:- calcular o Juro Smples ponderado acumulado sobre o valor da Amortzação de cada restação não exste no unverso da Matemátca Fnancera, como propõe o dto método lnear ponderado (Juro Smples). Quem assm racocna, foge a todo crtéro matemátco-centífco e aos parâmetros possíves e magnáves da MATEMÁTICA FINANCEIRA. 6.. SILVA, Antono erera da. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES E O ANATOCISMO ARTE II. O artgo pode ser ldo pelo acesso ste

35 35 Analsemos o exemplo utlzado por DURIGAN para demonstrarmos a contradção lógca exstente nesse dto método lnear ponderado (Método de Gauss) 7 :- MÉTODO A JURO SIMLES Índce Fator do razo Fator do arcela restação Juros Amor- Saldo onderação transcorrdo razo para nº 4,00% tzação Devedor do Juro p/fnal do níco do 445,8 3,2976 Contrato Contrato 0 98,93 6,49 82,44 362,74,600 0, ,93 3,9 85,74 277,00,200 0,9333 V 03 98,93 9,89 89,04 87,96,0800 0, ,93 6,60 92,33 95,63,0400 0, ,93 3,30 95,63 0,00,0000 0, ,64 49,46 445,8 4,5000 Imagnemos que re-emprestamos esse mesmo valor, à mesma taxa de juro e qutamos as prestações mensas dtas, como devdas:- eríodo Aplcação Juro Aplcação agtº. Saldo Empréstmo Mensal () Juros restação Aplcação 4,00% Mês 0 445,8 Mês 445,8 7,8 462,99 98,93 364,06 Mês 2 364,06 4,56 378,62 98,93 279,69 Mês 3 279,69,9 290,88 98,93 9,95 Mês 4 9,95 7,68 99,63 98,93 00,70 Mês 5 00,70 4,03 04,73 98,93 5,80 494,64 os bem, como é que se pode AGAR AS RESTAÇÕES MENSAIS CALCULADAS ELO método lnear ponderado (Juro smples) É AINDA RESTAR UM SALDO A FAVOR DO DEVEDOR/TOMADOR DE R$ 5,80 AO FINAL DO RAZO DO EMRÉSTIMO? elo smples fato de reaplcar o mútuo ncal nas mesmas condções contratadas, pagar com os rendmentos mensas as restações dtas como devdas resta ao agente que tomou o empréstmo, ao fnal do prazo, ganho monetáro. Extrapolamos essa conclusão para grandes fortunas. Esse dto método lnear ponderado (Juro Smples) não exste no unverso da Matemátca Fnancera. Conclusão:- o Credor empresta $ 445,8 a Juro mensal de 4%, o Devedor AMORTIZA $ 82,44, e, SEGUNDO O DURIGAN ele só deve pagar o Juro mensal ponderado acumulado sobre a AMORTIZAÇÃO contda na arcela que equvale a ($ 82,44 x 20% $ 6,49). Caros letores, o Devedor utlza a poupança do Credor equvalente à $ 445,8 por um mês, devolve $ 82,44 e paga o juro de $ 6,49. No entanto o Devedor usou por um mês o valor de R$ 445,8 que a 4% ao mês rendera o Juro de R$ 7,8, porém só recebeu R$ 6,49. A dferença é de graça? Então... Esse é o racocíno do nobre Artculsta DURIGAN. 7. Que fque bem claro, que Carl Fredrch Gauss ( ) - matemátco, astrônomo e físco alemão, consderado o "ríncpe dos Matemátcos", não tem nada a haver com esse dto sstema de amortzação, ele, smplesmente, descobru a rogressão Artmétca, mas, jamas propôs qualquer relação da.a. com os Sstemas de Amortzações de Captal.

36 36 ortanto, sera mas justo que o DURIGAN emprestasse dnhero da forma defendda por suas teses:- EMRESTAR DINHEIRO E RECEBER JURO ONDERADO ACUMULADO SOMENTE SOBRE O VALOR DA AMORTIZAÇÃO. ESSA TESE NÃO EXISTE NO MUNDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA. NA MATEMÁTICA FINANCEIRA QUEM EMRESTA DINHEIRO ESERA RECEBER JURO SOBRE O CAITAL QUE FOI EMRESTADO E NÃO SOBRE A ARCELA DE AMORTIZAÇÃO QUE LHE É DEVOLVIDA. Ao fnal de seu artgo, DURIGAN no ADENDO leva um choque 8 ao perceber que fo corrgdo na sua fórmula dta método Gauss. Mas por quê? orque, como afrme acma, a expressão matemátca pela convenção a JURO SIMLES L 2 ( n ) n, não representa uma rogressão Artmétca, portanto, não se pode aplcar a soma de uma rogressão Artmétca (Método de Gauss) n Sn ( a an ) 2 à sére acma. E, para tentar se redmr de erro tão crasso, ele aplca a únca lógca possível para a convenção a Juro Smples, conforme demonstrado acma:- C [( n) L ( 4) ( 3) ( 2) ( ) ] ( 0,0 240) ( 0,0 239) L ( 0,0 3) ( 0,0 2) ( 0,0) ,0254 [ ] [ 3,40 3,39 L,03,02,0 ] [ 0,294 0,2950 L 0,9709 0,9804 0,990] 89,50 Sentndo-se seguro com a correção efetuado ele desenvolve a contra prova, pos conforme DURIGAN afrma lamentavelmente, o formato de cálculo estabelecdo em sentença está equvocado, e faz a operação nversa da demonstrada acma para chegar ao captal ncal. Nada de novo. No entanto analsemos a sua afrmatva de que emprestando um Captal no valor R$ ,00 pelo prazo de 240 meses a taxa de % ao mês a RESTAÇÃO A SER AGA EQUIVALE A R$ 89,50 por esse dto método Gauss rezados letores, se alguém tomar o Captal emprestado de R$ ,00 e aplcar nas mesmas condções (taxa de % ao mês pelo prazo de 240 meses) e pagar as RESTAÇÕES DITAS DEVIDAS OR DURIGAN, MENSALMENTE, o que acontecera durante o prazo pactuado? Vejamos:- 8. No lvro ctado na nota de rodapé n. 5 a fórmula desenvolvda contém o mesmo erro.

37 Mês Valor Juro Saldo RESTAÇÃO Saldo Aplcado Aplcação Aplcação AGA Aplcação,00% no Mês , ,00.000, ,00-89, , ,50.00, ,30-89, , ,80.003, ,43-89, , , , , ,73-89, , , , ,35-89, ,85 Se o DURIGAN emprestasse-me R$ ,00 para pagar em 240 prestações de R$ 89,50 mensal, e, exstndo a possbldade de aplcar esse recurso fnancero à mesma taxa de % ao mês, durante o mesmo prazo, então, todo e qualquer recurso que o Autor tver, eu tomo emprestado. Qualquer ser humano tomara o empréstmo do Autor do artgo, aplcara o recurso fnancero à mesma taxa de juro mensal e no fnal do 240º mês tera pago o valor do Captal emprestado e anda sobrara à quanta astronômca de R$ ,85. Imagne, para quem não tnha nenhum recurso fnancero, o smples fato de emprestar e aplcar o mesmo recurso à mesma taxa cobrada pelo mesmo prazo, lhe rendera recurso sem fazer absolutamente nada, smplesmente reaplcando a mesma mportânca à mesma taxa de juros. Nos sstemas de amortzações exstentes no mundo (Sstema do Montante - SM, Sstema de Amortzação Constante - SAC, Sstema de Amortzação Alemão - SAl, Sstema de Amortzação Francês - SF, Sstema de Amortzação Amercano - Sam, Sstema de Amortzação Varável - SAV), sso jamas acontecera. Aplcar os mesmos recursos às mesmas condções da captação não renderá absolutamente nada, o que é lógco no sstema captalsta. DURIGAN, autor do artgo em questão acha que dnhero dá em árvore, mas sso não ocorre, pos, dnhero é o meo de exstênca e condução para a realzação do captal, com movmentos que não tem lmtes, fcando a socedade moderna a defrontar com o desafo de estabelecer o lmte socal dessa forma de remuneração do captal fnancero (juro). A stuação e smples é clara. Empresto R$.000,00, recebo trnta das depos a amortzação de R$ 300,00. os bem, nnguém quer receber juro somente sobre os R$ 300,00 devolvdos. TESE DO DURIGAN. Afnal empreste R$.000,00 durante um mês, portanto mereço juro sobre os R$.000,00, mesmo só sendo devolvdo R$ 300,00, pos ele usou não só os R$ 300,00 e sm R$.000,00 durante o mês. A questão básca não está nos Sstemas de Amortzações exstentes (todos cobram juros sobre o Captal devdo), e, sm, NA TAXA DE JURO RATICADA NA ECONOMIA DE UM AÍS. ortanto, tas análses não devem prosperar, pos seus fundamentos contraram as mas elementares lógcas exstentes no mundo sensível.

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