Um Diagnóstico das Habilidades de Visualização no Ensino Médio

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1 Um Diagnóstico das Habilidades de Visualização no Ensino Médio Mariko Kawamoto 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio Resumo: Com esta pesquisa, tem-se como objetivo verificar se alunos da 2ª série do Ensino Médio mostram ter desenvolvido habilidades de visualização em Geometria. Colocam-se duas questões de pesquisa: Quais habilidades de visualização alunos da 2ª série do Ensino Médio mostram ter desenvolvido? e Em quais delas apresentam maior dificuldade?. Para atingir o objetivo proposto e responder as questões de pesquisa, pretende-se elaborar e aplicar um questionário do tipo diagnóstico, com algumas questões abertas de Geometria Espacial, retiradas e adaptadas das provas de Avaliação da Aprendizagem em Processo da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. A análise dos dados obtidos com o questionário será feita com o intuito de verificar quais das habilidades de visualização, propostas por Gutierrez, esses alunos desenvolveram e em quais mostram maior dificuldade. Palavras-chave: Diagnóstico. Geometria. Habilidades de Visualização. Introdução Baseada na minha experiência como educadora, percebemos que alunos da 2ª série do Ensino Médio mostram interesse pelo estudo de sólidos geométricos, mas apresentam dificuldades em alguns conceitos de Geometria Espacial, principalmente na elaboração e na interpretação de desenhos bidimensionais de figuras tridimensionais. Estas dificuldades se refletem nos baixos índices de acerto em algumas provas institucionais, como a Avaliação da Aprendizagem em Processo (AAP); e o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo (SARESP), ambas da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo; a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), organizada pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), que tem como objetivo estimular o estudo da Matemática e revelar talentos na área e conta com os apoios da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), do Conselho de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), cujas questões são aplicadas e corrigidas por um grupo de professores de cada Escola. Como as provas AAP, que são aplicadas no início de cada semestre letivo, para avaliar o semestre anterior, nas disciplinas Língua Portuguesa, Redação e Matemática, são corrigidas pelos próprios professores de cada disciplina avaliada, tivemos contato com 1 Mestranda em Educação Matemática pela Universidade Anhanguera de São Paulo, marikokarjona@gmail.com, orientadora: Vera Helena Giusti de Souza.

2 todas as sete que já foram realizadas, desde o segundo semestre de 2011 até o segundo semestre de 2014 e podemos citar um exemplo que observamos ao corrigir essas provas. Selecionamos oito questões, de provas aplicadas em semestres diferentes, algumas do tipo teste e outras abertas, que envolvem habilidades de visualização. Cinco delas apresentam índice de acerto inferior a 50% (índice relativo ao semestre de realização), no caso de alunos da 2ª série do Ensino Médio, o que mostra a dificuldades desse alunos em conceitos geométricos envolvidos, como ilustramos com uma questão tipo teste, que apresenta uma das planificações do cubo, na qual três faces estão identificadas com 1, 2 e 3 pontos e pede-se para completar, com pontos, as outras três faces, sabendo-se que a soma dos pontos de faces opostas é igual a sete. Entre os alunos da 2ª série que fizeram a prova, mais de 70% errou a questão e, entre estes, alguns preencheram a quantidade de pontos necessários para totalizar sete pontos, sem verificarem se as faces escolhidas por eles eram faces opostas; ficamos na dúvida sobre o motivo que os levou a cometer tal erro. A partir de resultados como este e pela qualidade dos erros que nossos alunos apontam ter cometido, perguntamo-nos se tais erros podem ser causados pela falta de habilidades de visualização. Para responder esse nosso questionamento, propusemo-nos a desenvolver uma pesquisa do tipo diagnóstico, para verificar se realmente podemos dizer que esses alunos do Ensino Médio desenvolveram ou não habilidades de visualização em Geometria. Procuramos o Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, no qual fomos aceitos no primeiro semestre de 2014 e onde pretendemos desenvolver uma Dissertação de Mestrado em Educação Matemática com esse diagnóstico. Justificativa Escolhemos diagnosticar as habilidades de visualização, por entender que elas são necessárias e importantes no estudo de Geometria e por estarem presentes em diversas áreas de conhecimento como, por exemplo, Arquitetura, Física, Química, Arte, Engenharia, Propaganda e Marketing, quando nos deparamos com maquetes (na Arquitetura ou na Arte), no estudo do movimento dos planetas (na Física ou na Meteorologia), nas representações das moléculas de carbono (na Química ou na Geologia), nas pinturas (na Arte), nas construções das mais variadas formas (na Engenharia, na Arquitetura, na Joalheria, na Marcenaria ou na Arte) ou em outdoors (na Propaganda ou na Arte).

3 Vimos também que a importância da visualização é apontada nos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCNEM, 2000) as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. Essas competências são importantes na compreensão e ampliação da percepção de espaço e construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras áreas do conhecimento (PCNEM, 2000, p.44). Outras pesquisas em Educação Matemática mostram preocupação semelhante à nossa, como os trabalhos de Gutierrez (1996, 1998); a tese de Parsysz (1988); as dissertações de Carvalho (2010), Souza (2010) e Rosalves (2006). Em seu artigo, Gutierrez (1996, 1998) afirma que as representações gráficas e visuais são muito importantes no ensino de Matemática, o que vinha sendo reconhecido por muitos educadores e professores da Matemática de vários países, por volta de 1980, e manifesta preocupação pelas dificuldades na visualização de representações bidimensionais de figuras tridimensionais, o que reforça nossa ideia em relação às dificuldades apresentadas por nossos alunos e o desejo de elaborar abordagens que possam contribuir para diminuir essas dificuldades. Gutierrez afirma também que sempre que estamos manejando objetos espaciais e nos vemos obrigados a representá-los no plano, deparamo-nos com um problema que tem a ver com a visão espacial e com a habilidade para elaborar tais representações (ou codificação) ou para interpretá-las corretamente (ou decodificação). Carvalho (2010), em sua Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, mostra preocupação com as dificuldades de alunos em interpretar e elaborar desenhos que representam sólidos geométricos. Propõe, em sua pesquisa, identificar as contribuições que uma sequência de atividades com material concreto e recursos informáticos pode dar para a codificação e a decodificação de desenhos de figuras tridimensionais. Para tal, elaborou e aplicou um conjunto de atividades, envolvendo materiais manuseáveis e informáticos, com o intuito de promover o desenvolvimento de habilidades de visualização (GUTIERREZ, 1996). A autora conclui que algumas atividades contribuíram para a formação de imagens mentais, fundamentais para os processos de codificação e de decodificação de desenhos bidimensionais de figuras tridimensionais. Souza (2010) também manifesta preocupação com dificuldades apresentadas por alunos em visualizar representações planas de figuras espaciais. Em sua pesquisa, Souza

4 propõe investigar se a utilização de imagens externas variadas pode contribuir para o desenvolvimento de habilidades de visualização e quais destas podem ser desenvolvidas. Recorreu a duas entrevistas do tipo reflexivo, individuais, separadas por um trabalho de casa. Souza (2010) conclui que a visualização de imagens externas variadas ajudou no desenvolvimento de algumas das habilidades de visualização e sugere que um trabalho semelhante seja desenvolvido, em sala de aula, com a ajuda do professor de Artes (ver mais detalhes desta pesquisa em nossa revisão de literatura). Rosalves (2006) afirma em sua Dissertação de Mestrado que alunos encontram muitas dificuldades na passagem da Geometria Plana para a Geometria Espacial, em particular nas relações entre os objetos geométricos e suas representações planas; propõe investigar o papel das representações dinâmicas em ambiente informático, com o software Cabri 3D. A autora conclui que o ambiente Cabri 3D permite ao sujeito ver melhor, pelo fato do sujeito poder mudar o ponto de vista de quem olha o desenho, o que, entendemos, pode contribuir para a aquisição de habilidades de visualização em Geometria Espacial. Todas as nossas citações mostram que há necessidade de recorrer a atividades diferenciadas, a fim de promover o desenvolvimento das habilidades de visualização e, acreditamos que fica justificada nossa preocupação com o tema e com a aplicação de um diagnóstico, cujos resultados podem mostrar um caminho para a elaboração dessas atividades diferenciadas. Assim, colocamos como objetivo da nossa pesquisa verificar se alunos da 2ª série do Ensino Médio mostram ter desenvolvido habilidades de visualização em Geometria e em quais mostram ter maior dificuldade. Com estes objetivos, elaboramos nossas questões de pesquisa: Quais habilidades de visualização, alunos da 2ª série do Ensino Médio mostram ter desenvolvido? e Em quais delas apresentam maior dificuldade?. Revisão de literatura Definidos nossos objetivos e nossas questões de pesquisa, iniciamos nossa revisão de literatura, numa tentativa de situar nossa pesquisa na área de Educação Matemática. Carvalho (2010), em sua pesquisa, ao tentar responder a questão: quais são as contribuições de uma sequência de atividades envolvendo o uso de materiais manipuláveis e recursos informáticos para a codificação e decodificação de desenhos de corpos

5 geométricos tridimensionais pelos alunos do Ensino Médio?, elaborou uma sequência de atividades, com a finalidade de favorecer a formação das imagens mentais dos alunos e verificar possíveis vantagens na utilização desses recursos para o desenvolvimento das habilidades destes alunos para produzirem e para interpretarem desenhos bidimensionais de corpos geométricos tridimensionais. Aplicou a proposta de ensino a 13 alunos do 3 ano do Ensino Médio, com a participação do pesquisador-professor e de uma observadora neutra, para anotar perguntas e comentários feitos pelos alunos, tudo acompanhado por áudio gravação e filmagem. Os principais instrumentos para coleta de dados foram: um curso de geometria espacial; atividades práticas e teóricas; pré-teste (questionário sobre o conhecimento prévio dos participantes, em Geometria Espacial, para verificar suas habilidades para codificar e decodificar desenhos de corpos geométricos tridimensionais); e pós-teste (adaptação do pré-teste, com pequenas alterações). A partir da análise de livros, artigos e textos relacionados à visualização de representações gráficas de corpos geométricos tridimensionais, dentre eles textos dos autores Kodama (2006), Kaleff (2003), Gutierrez (1992, 1998a, 2006) e Parzysz (1988, 1991, 2006), a pesquisadora desenvolveu sua pesquisa. Carvalho (2010) elaborou a proposta de ensino, com atividades direcionadas ao desenvolvimento de habilidades de visualização, relacionadas a representações planas, utilizando materiais manuseáveis e recursos informáticos. Foram realizados 12 encontros, com duração de 2 horas cada. Após a aplicação do pós-teste, a autora comparou os resultados de cada uma das atividades, do pré-teste e pós-teste, e concluiu que uma sequência de atividades envolvendo o uso de materiais manipuláveis e recursos informáticos favorece a formação das imagens mentais e ajuda a desenvolver a visualização de objetos tridimensionais. Em sua pesquisa sobre Representações planas de figuras tridimensionais: um estudo envolvendo visualizações, Souza (2010) teve como objetivo investigar se a utilização de imagens externas variadas pode contribuir no processo de desenvolvimento de habilidades de visualização e quais destas podem ser desenvolvidas com a análise dessas imagens. Para responder estas questões, o autor recorreu a duas entrevistas reflexivas, individuais, áudio gravadas, com quatro alunos do 3º ano do Ensino Médio, separadas por um espaço de tempo, no qual esses alunos tinham como tarefa analisar duas gravuras e responder

6 questões relativas às habilidades de visualização. Na primeira entrevista, o pesquisador apresentou onze gravuras, dentre quadros famosos e situaçãos do cotidiano e os alunos responderam um conjunto de perguntas. Na segunda entrevista, Souza (2010) discutiu com cada um dos alunos as regras de perspectiva cônica, da perspectiva paralela e as respostas dadas à tarefa de casa. Em seguida, cada aluno analisou novamente as onze gravuras da primeira entrevista e respondeu as perguntas colocadas, com o intuito de verificar se as regras de perspectiva discutidas ajudaram nas habilidades de visualização, propostas por Gutierrez (1996). Com a análise dos protocolos e das entrevistas áudio-gravadas, Souza (2010) concluiu que a utilização de imagens externas variadas ajudou no desenvolvimento de algumas das habilidades de vizualização, tais como: habilidade figura-percepção solo, que é a capacidade de identificar uma figura especifica por isolamento fora de um contexto complexo e a habilidade discriminação visual, que é a capacidade de comparar vários objetos, imagens ou imagens mentais para identificar semelhanças e diferenças entre eles. Rosalves (2006), em sua pesquisa, propõe investigar o papel das representações dinâmicas em ambiente informático, em especial com o software Cabri 3D, com o intuito de analisar como as representações nesse ambiente são elaboradas e interpretadas por alunos e em que medida essas representações contribuem para o desenvolvimento das habilidades de visualização e possibilitam a interpretação de propriedades geométricas de objetos espaciais. A autora utiliza, como fundamentação teórica, os estudos dos polos do visto e do sabido, desenvolvidos por Parsysz (1988; 1993). A pesquisa foi desenvolvida segundo os princípios do Design Experiment, na perspectiva de Cobb (2003), com seis alunos da 2ª série do Ensino Médio e concluiu com quatro dele, no decorrer da 3ª série. Participaram também das atividades um observador e o pesquisador, que assumiu o papel de professor. Aplicou quinze atividades, divididas em três partes, em sessões de 1 hora e 30 minutos cada uma, para: familiarização com o ambiente de Geometria Dinâmica, o Cabri II, com oito sessões; atividades realizadas com papel e lápis, em uma sessão; e familiarização e atividades realizadas no Cabri 3D, em seis sessões. Para a análise dos dados, utilizou a áudio gravação das interações entre os alunos; a captura das telas com as resoluções das atividades; e textos com observações e anotações, tanto do professor pesquisador como do observador, sobre as produções dos alunos. A autora concluiu que as perdas de informação mencionadas por Parsysz (1988, 1991), no Cabri 3D são menores do que no ambiente lápis e papel. Numa das atividades, realizadas

7 no papel e lápis, alguns alunos responderam que duas retas suportes de arestas reversas de um cubo se interceptam, prevalecendo o polo do visto, o que não ocorreu no Cabri 3D, que facilita a percepção da posição das retas, com seus recursos de manipulação e mudanças de pontos de vista. A autora considera que em relação à aprendizagem de Geometria, nos dois ambientes (papel e lápis ou Cabri 3D), os alunos privilegiaram o polo do visto, porém no ambiente Cabri 3D, que permite ao sujeito ver melhor, houve uma evolução para o polo do sabido. Pesquisadores como Gutierrez, Carvalho, Souza e Rosalves manifestam preocupação com as dificuldades encontradas por alunos nas habilidades de visualização e sugerem atividades e recursos para o desenvolvimento dessas habilidades. A intenção de nossa pesquisa é diagnosticar se as habilidades de visualização foram desenvolvidas e em quais os sujeitos têm maior dificuldade para, numa pesquisa posterior, propor uma abordagem de ensino com atividades que possam contribuir para o desenvolvimento dessas habilidades. Fundamentação teórica Para desenvolver nossa pesquisa, optamos por utilizar, em princípio, as ideias de Gutierrez (1991, 1996) sobre o ensino de Geometria e as habilidades de visualização. Como este capítulo de nossa dissertação está em construção, apresentamos aqui as primeiras ideias que julgamos importantes para nossa fundamentação teórica. Em um de seus artigos, Gutierrez (1998) apresenta algumas reflexões sobre a importância de utilizar as representações de sólidos geométricos espaciais, adequadas a estudantes do Ensino Fundamental, na Espanha. Faz análise de várias formas usuais de representação plana de objetos tridimensionais, tomando como base, resultados de algumas pesquisas que descrevem dificuldades de alunos ao elaborarem (codificação) ou interpretarem (decodificação) representações planas de figuras tridimensionais e apresenta sugestões aos professores. Gutierrez (1992, 1996) aponta diferentes grupos de pesquisadores da época, que mostram que a aprendizagem é mais profunda quando os estudantes trabalham com objetos manipuláveis e resume que entende a visualização como composta por quatro elementos: as imagens mentais, as representações externas, os processos de visualização e as habilidades de visualização (GUTIERREZ, 1996, p. 1-9, tradução nossa). As imagens mentais, em Matemática, correspondem a qualquer representação cognitiva de um conceito ou propriedade por meio de elementos visuais ou

8 espaciais (GUTIERREZ, 1996, p. 1-9, tradução nossa). As representações externas, relativas à visualização em Matemática, são as representações gráficas ou verbais de conceitos ou propriedades, o que inclui figuras, desenhos, diagramas, etc... que ajudam a criar ou transformas imagens mentais e fazer raciocínio visual (GUTIERREZ, 1996, p. 1-9, tradução nossa). Um processo de visualização é uma ação mental ou física em que as imagens mentais estão envolvidas (GUTIERREZ, 1996, p. 1-10, tradução nossa). As habilidades de visualização, em Matemática, são habilidades que um sujeito deve adquirir e desenvolver para realizar os processos necessários, com as imagens mentais específicas de um dado problema (GUTIERREZ, 1996, p. 1-10, tradução nossa). Gutierrez (1992, 1996) afirma que uma relação bastante detalhada das principais habilidades de visualização que podem integrar a percepção espacial do indivíduo, quando está envolvido no estudo de Matemática, são Percepção de figura-base: é a habilidade de identificar uma figura específica, isolando-a de um entorno complexo. Constância perceptiva: é a habilidade de reconhecer que algumas propriedades de um objeto (real ou imagem mental) são independentes de tamanho, cor, textura ou posição e não se confunde quando um objeto ou uma figura está com orientação diferente. Rotação mental: é a habilidade de produzir imagens mentais dinâmicas e de visualizar uma configuração em movimento. Percepção de posições espaciais: é a habilidade de relacionar um objeto, figura ou imagem mental consigo mesmo. Percepção de relações espaciais: é a habilidade de relacionar vários objetos, figuras e/ou imagens mentais entre eles ou simultaneamente consigo mesmo. Discriminação visual: é a habilidade de relacionar vários objetos, figuras, e/ou imagens mentais para identificar semelhanças e diferenças entre eles. (GUTIERREZ, 1996, p. 1-10, tradução nossa). Procedimentos Metodológicos Optamos por realizar uma pesquisa diagnóstica, com análise qualitativa dos dados, para verificar se um grupo de aluno do Ensino Médio desenvolveu as habilidades de visualização (GUTIERREZ, 1992, 1996) no estudo de Geometria Espacial e em quais apresentam maior dificuldade. Nossa opção se deve ao fato de nossos alunos de 2ª série do Ensino Médio terem apresentado um índice muito baixo de acerto (inferior a 50%) nas provas da Avaliação da Aprendizagem em Processo (AAP) já realizadas (sete, desde 2011), aplicadas na escola pública do Estado de São Paulo em que lecionamos Matemática. As AAP são comprostas de questões tipo teste e apesar de termos acesso aos resultados de

9 algumas avaliações (não temos de todas as provas), por serem questões do tipo teste, não temos como fazer uma avaliação qualitativa dos tipos de erros cometidos pelos alunos. Decidimos transformar as questões tipo teste, que envolvem Geometria, em questões abertas, para poder aplicar num grupo de alunos e analisar as respostas dadas e assim identificar se desenvolveram as habilidades de visualização e em quais têm mais dificuldade. Pretendemos aplicar esta avaliação diagnóstica no 1º semestre de 2015 em três aulas seguidas de um mesmo período, em todas as turmas de 2ª série do Ensino Médio da Escola em que trabalhamos e cujos professores permitirem esse diagnóstico. No caso do aluno não responder as questões, ou escrever muito pouco ou ainda responder de forma não compreensível, não será possível tirar conclusões. Nesses casos, esperamos poder entrevistar estes alunos, para saber o que eles pensam da questão, tornando possível concluir um diagnóstico. Resultados Esperados Esperamos que os alunos escrevam muito ao responderem as questões ou que falem o que pensam das questões não respondidas, nas entrevistas, para que possamos identificar e diagnosticar as habilidades de visualização, como também as suas dificuldades, para que outros pesquisadores, dentre os quais nos incluímos, da área de Educação Matemática, possam elaborar atividades que contribuam para o desenvolvimento das habilidades de visualização. Referências BRASIL, S. D. E. B. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Ensino Médio. http: //portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pde/matemática.pdf, Acesso em: 10 abril CARVALHO, M. L. Representações planas de corpos geométricos tridimensionais: uma proposta de ensino voltada para a codificação e decodificação de desenhos. Universidade Federal de Ouro Preto. Ouro Preto GUTIERREZ, A. Procesos y habilidades en visualizacion espacial. Universidad de Valencia. Valencia GUTIERREZ, A. Visualization in 3-Dimensional Geometry: In Search of a Framework. Proceeding of the 20th PME Conference I, GUTIERREZ, A. Las Representaciones Planas de Cuerpos 3-Dimensionales en la Enseñanza de la Geometria Espacial. EMA 3.3, p , 1998.

10 PARSYSZ, B. "Knowing" vs "Seeing". Educational Studies im Mathematics, v. 19, p , PCNEM, P. C. N. Ministério da Educação. http: //portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pde/matemática.pdf, Acesso em: 10 abril ROSALVES, M. Y. Relaçoes entre os polos do visto e do sabido no Cabri 3D: uma experiência com alunos do Ensino Médio. PUC-SP. São Paulo SOUZA, W. R. S. D. Representações planas de figuras tridimensionais: um estudo envolvendo visualizações. UNIBAN. São Paulo