Esse artigo procura dar uma visão geral sobre as técnicas de otimização disponíveis na área de engenharia atualmente.

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1 Técnicas de Otimização Aplicadas no Projeto de Peças Mecânicas Emílio Carlos Nelli Silva 1 Professor Doutor Departamento de Engenharia Mecatrôncia e de Sistemas Mecânicos Escola Politécnica da USP Resumo Otimização aplicada no projeto de peças mecânicas consiste em se utilizar métodos computacionais para obter as dimensões, forma ou topologia ótimas das peças. A aplicação dessas técnicas é um passo adiante do uso de um software de CAE para somente a análise da peça em si, como será explicado. As reduções de peso e aumento de desempenho das peças mecânicas obtidas com o uso de técnicas de otimização são significativas ao ponto de atualmente o seu uso ser decisivo para definir a competitividade das indústrias da área metal-mecânica (autopeças, aeronáutica, naval, etc ) dos EUA, Japão e Europa, sendo a sua importância inegável na redução de custos. É importante salientar que o impacto do uso dessas técnicas não se limita apenas à otimização do projeto mecânico da peça em si, mas se estende para toda a cadeia produtiva da empresa, pois uma peça com menor peso ou volume, economiza material usado, possibilita aumentar a produção, facilita o transporte (maior número de peças), etc, e portanto permite reduzir o custo total final da peça. Esse artigo procura dar uma visão geral sobre as técnicas de otimização disponíveis na área de engenharia atualmente. 1. Introdução No que consiste otimização? Parece um pergunta fácil de ser respondida, mas aparentemente esse conceito não está claro entre muitos engenheiros e cientistas como discutimos a seguir. Para entendermos esse conceito vamos considerar o exemplo do projeto de um chassi de um automóvel de forma a obter a máxima rigidez possível com o menor volume de material. Suponha que temos liberdade de alterar algumas variáveis no projeto do chassi para atingir o objetivo, como largura (b 1 e b 2 ) e momento de inércia (I) dos reforçadores, momento de inércia dos reforçadores, distância entre os reforçadores (L 1 e L 2 ) e a posição dos mesmos (L 3 e L 4 ), espessura da chapa em diferentes pontos (h 1 e h 2 ) e material do chassi (E). Portanto, temos um total de 10 parâmetros que podem ser alterados. Suponha ainda que cada parâmetro possa assumir 10 valores definidos. Existem duas abordagens para a solução desse problema. A primeira abordagem, mais conhecida e utilizada, é a chamada abordagem de análise. Consiste essencialmente em se analisar os projetos de chassi que resultam de diferentes combinações dos parâmetros anteriores. Mediante o resultado das análises são construídos gráficos do desempenho do chassi (por exemplo, rigidez) em função dos valores de cada parâmetro como mostrado na figura Posições abertas para realização de mestrado ou doutorado nessa área, contatar: tel: (11) (R227); ecnsilva@usp.br

2 Figura 1.1- Gráficos de desempenho em função dos valores dos parâmetros. Pelos gráficos encontram-se os valores de parâmetros que fornecem o melhor desempenho do chassi. No entanto, vejamos a conseqüência dessa abordagem. Se considerarmos somente três parâmetros para o projeto do chassi e como cada um pode assumir somente 10 valores teremos um total de 10 3 combinações a serem analisadas. Cada combinação corresponde a um projeto diferente de chassi. Se dispomos de um software de CAE para realizar cada análise e supondo que esse software demora 0,1s para realizar cada análise, o tempo total para analisar as 10 3 combinações será de 100s. Agora vamos considerar os 10 parâmetros no projeto. Se cada um pode assumir 10 valores teremos agora combinações para analisar. Supondo agora numa estimativa mais realista que cada análise, usando um software de CAE, demore 10s, o tempo total para analisar as combinações será de s ou seja, 3200 anos!!! Portanto essa abordagem é inviável para um grande número de parâmetros. A segunda abordagem para a solução do problema é denominada abordagem de síntese ou otimização. Nessa abordagem são utilizados métodos computacionais de otimização que realizam uma busca racionalizada da solução ótima, ou seja, o algoritmo irá procurar dentro do espaço de soluções definido pelas combinações, a combinação que fornece o melhor desempenho do chassi. A utilização de um algoritmo de otimização torna sistemática e automática a busca do ponto ótimo, ou seja, independente da experiência do projetista. Assim, o tempo de solução do problema anterior seria reduzido para algumas horas, por exemplo. Dessa forma o termo otimização é corretamente utilizado quando estamos utilizando um método matemático de busca sistemática da solução ótima e não simplesmente quando executamos a análise de diferentes configurações de projetos propostas baseadas na tentativa e erro. Assim por exemplo, é muito comum em conferências de engenharia encontrar trabalhos do tipo: Otimização da suspensão de um automóvel. Lendo o artigo observa-se que o que o autor realmente fez foi após analisar uma configuração já existente de suspensão e mediante a intuição física do problema (adquirida com a análise do problema ou um processo de tentativa e erro) sugerir modificações na suspensão que acredita melhorarem o desempenho da suspensão. Obviamente uma certa melhora de desempenho é obtida, no entanto, não há uma garantia que a solução proposta é a melhor possível de ser obtida. Além disso, caso outro engenheiro venha a abordar o mesmo problema não há garantia que ele obtenha a mesma solução, uma vez que a sua intuição física do problema pode ser diferente e a sua alteração proposta na suspensão seja até melhor. Esse é outro ponto muito

3 importante da otimização, ela torna sistemática a obtenção da solução otimizada, ou seja, a princípio qualquer um obterá a mesma solução 2. Essa confusão no uso do termo otimização não é culpa dos engenheiros e cientistas, mas de uma cultura que se iniciou nos anos 60 com o surgimento dos softwares de CAE baseados em elementos finitos e se estendeu até final dos anos 80. Durante essa época, toda a comunidade científica de engenharia aeronáutica, mecânica e naval estava voltada para o desenvolvimento desses softwares onde somente a abordagem de análise era enfocada. A otimização era considerada uma área secundária consistindo num módulo secundário acoplado aos softwares de CAE. No entanto, esse conceito mudou consideravelmente na comunidade científica metal-mecânica internacional no começo dos anos 90 com o surgimento dos primeiros softwares baseados no chamado método de otimização topológica (MOT) que se propõem a sintetizar estruturas, como será descrito adiante. Na verdade, o conceito de otimização se confunde com o próprio conceito de engenharia em que o objetivo principal é projetar algo com o menor custo possível. O que se deseja em qualquer projeto de engenharia é atingir esse objetivo. Existe a tendência entre os engenheiros de se usar somente uma abordagem de análise para atingir esse objetivo, no entanto, esse objetivo é atingido com eficácia através de técnicas de otimização. A seguir é apresentado um breve histórico da otimização estrutural na engenharia e descrito as principais técnicas de otimização disponíveis aplicadas no projeto de peças mecânicas. 2. Histórico da Otimização Estrutural O conceito de otimização estrutural é mais antigo do que se pensa. O primeiro cientista a aplicar esse conceito foi Maxwell em 1872 [1]. Naquela época haviam essencialmente estruturas civis, principalmente pontes. Enquanto a maior parte dos engenheiros se preocupavam em desenvolver modelos para calcular com precisão as tensões mecânicas numa configuração de ponte proposta, para verificar o risco de falha, Maxwell decidiu obter um projeto de ponte que utilizasse a menor quantidade de material e não falhasse logicamente. Nessa tentativa Maxwell estudou alguns problemas bem simples usando-se de conceitos de teoria de elasticidade (já que não haviam computadores!). A idéia era essencialmente, dado um carregamento atuando num domínio infinito e os pontos onde esse domínio estaria apoiado (pontos de apoio da ponte, por exemplo), calcular o campo de tensões mecânicas principais usando teoria de elasticidade. As direções das tensões principais correspondem às direções onde não ocorrem tensões de cisalhamento apenas tensões normais. Uma vez obtidas essas direções, Maxwell sugeriu de forma conceitual que a estrutura ótima, que utilizasse menos material, seria constituída de elementos de treliça alinhados com essas direções principais. Essa solução se mostrou mais tarde ser também a solução ótima para o projeto de uma estrutura com a máxima rigidez e menor peso considerando-se um único carregamento. A idéia de Maxwell foi retomada por Michell em 1904 que decidiu aplicar o método para o projeto de vários tipos de estruturas com o menor volume de material. As figuras 2.1 e 2.2 ilustram alguns dos resultados obtidos por Michell. A figura 2.1a ilustra a estrutura ótima considerando-se dois apoios e o carregamento no meio. As linhas sólidas representam os elementos de treliças em tração e as linhas tracejadas representam os elementos de treliça em compressão [1]. Apenas algumas linhas estão representadas, mas o leitor deve entender que existem infinitas linhas paralelas de treliça unindo a carga aos apoios. 2 não considerando obviamente questões mais profundas como o tipo de algoritmo de otimização utilizado e a natureza do problema de otimização.

4 a) b) Figura Estrutura ótima de Michell considerando dois apoios e uma carga central (a) e engastamento com carga na extremidade (b). Linhas cheias e tracejadas indicam treliças em tração e compressão, respectivamente. A figura 2.2a ilustra o exemplo de resultado para uma manivela enquanto que a figura 2.1b ilustra o resultado para o caso de uma estrutura engastada. A figura 2.2b ilustra o resultado de maior rigidez para o menor peso para o caso de uma estrutura tridimensional considerando um carregamento de torção [1]. a) b) Figura Estrutura ótima de Michell considerando uma manivela (a) e um carregamento de torção (b). Linhas cheias e tracejadas indicam treliças em tração e compressão, respectivamente. No entanto os resultados de Michell foram considerados muito acadêmicos e sem aplicação prática, pois eram muito difíceis de serem construídos na época, e por isso foram esquecidos. Esses resultados somente foram lembrados novamente na década de 80 com a implementação de softwares baseados em otimização topológica que se propõem a sintetizar estruturas, quando para surpresa dos cientistas, os resultados de Michell passaram a ser reproduzidos como será mostrado adiante. Atualmente esses resultados são utilizados como padrões para aferir os softwares que se propõem a sintetizar estruturas. De 1904 à 1960 não houve evolução nos estudos de otimização estrutural, sendo estudados apenas problemas acadêmicos sem aplicação prática. Na década de 60, com o surgimento dos computadores e do método de elementos finitos (MEF), problemas práticos de otimização estrutural passam a ser estudados principalmente na indústria aeronáutica. Na década de 70, vários algoritmos de otimização para problemas não-lineares de otimização são implementados. Na verdade a teoria da maior parte desses algoritmos já havia sido desenvolvida no século XIX, no entanto somente com o advento dos computadores e de linguagens de programação é que eles puderam ser implementados.

5 Surgem nessa época também as técnicas de otimização de forma, explicadas adiante. Na década de 80 surgem os primeiros softwares comerciais dedicados à otimização estrutural e além disso, alguns softwares de CAE passaram a incluir em seus códigos, módulos de otimização estrutural [1]. No final da década de 80 surge o método de otimização topológica (MOT) que será explicado adiante. O MOT representa o conceito de síntese estrutural na sua essência, sendo o método mais genérico e poderoso disponível atualmente. De 1990 até agora, o MOT já está disponível em softwares comerciais, sendo estendido para outras áreas da engenharia além da estrutural mecânica, como elétrica, fluidos, etc 3. Técnicas de Otimização Disponíveis Antes de apresentar as técnicas de otimização disponíveis, seria interessante introduzir alguns conceitos básicos de otimização para que o leitor se familiarize com os termos da área. Um problema de otimização é definido da seguinte maneira: Minimizar (ou Maximizar) Função objetivo (variáveis de projeto) Tal que Restrições A função objetivo está relacionada com o parâmetro que queremos maximizar ou minimizar. No caso de uma peça mecânica a função objetivo pode ser por exemplo, a rigidez, a freqüência de ressonância, ou o volume da peça, etc.. As restrições são limites impostos à solução da otimização. Pode ser representada pela máxima massa ou volume que a peça pode apresentar, ou o deslocamento máximo ou o valor de tensão mecânica máxima que pode ocorrer num certo ponto da peça. Ou seja, as restrições em geral impõem uma solução de compromisso na melhora da função objetivo. As variáveis de projeto são os parâmetros que podem ser alterados na otimização. Podem ser as dimensões (ou as razões das dimensões) da peça, os parâmetros matemáticos de uma curva ou superfície que representam a forma da peça, ou a distribuição de material no domínio da peça [2,3]. Para entendermos o conceito das técnicas de otimização disponíveis consideremos o problema clássico de projeto de uma estrutura com a mínima flexibilidade (máxima rigidez) com o menor volume de material como mostrado na figura 3.1. Suponha que a princípio não conhecemos a forma ou a topologia 3 da estrutura, mas apenas a região em que está sujeita a um carregamento e a região em que está apoiada. Figura Problema exemplo. 3 O conceito de forma está relacionado com a geometria externa da estrutura enquanto o conceito de topologia engloba não somente a geometria externa, mas também a presença de furos internos na estrutura.

6 Temos essencialmente três abordagens em otimização estrutural para a solução desse problema como descrito na figura 3.2 [2,3]. Na primeira delas, é assumido uma forma pré-definida para a estrutura, por exemplo uma viga em "I", e são escolhidas como variáveis de projeto algumas medidas (ou razão entre as medidas) que caracterizam a geometria dessa estrutura como as dimensões b, t e h mostradas na figura 3.2. Então, utilizando um software de otimização determinam-se os valores ótimos das variáveis b, t e h que fornecem a menor flexibilidade (maior rigidez) para a restrição de material imposta. Essa abordagem é denominada otimização paramétrica, e não altera a forma da estrutura, apenas as suas dimensões [3]. Numa segunda abordagem, os contornos externos da estrutura são parametrizados por curvas splines e os parâmetros dessas curvas constituem as variáveis de projeto. Utilizando um software de otimização determinam-se os parâmetros ótimos das curvas splines, e portanto a forma ótima, que minimiza a flexibilidade estrutural para a restrição de material imposta. Trata-se de uma abordagem mais genérica do que a anterior em que a forma externa da estrutura á alterada. Essa abordagem é denominada otimização de forma [2]. Finalmente, a última abordagem mostrada na figura 3.2 consiste em se encontrar a distribuição ótima de "furos" no interior da estrutura que minimize a flexibilidade considerando a restrição de material. As variáveis de projeto seriam, por exemplo, variáveis que indicam a distribuição de material em cada ponto do domínio. Essa abordagem é denominada otimização topológica sendo a mais genérica em relação as anteriores [4]. A quantidade de material removido (para a mesma flexibilidade) é crescente na ordem apresentada das abordagens, sendo a otimização topológica a que resulta na maior remoção de material da estrutura. L F b t h Otimização Paramétrica Perfil da Seção F Otimização de Forma Perfil da Seção F Perfil da Seção Otimização Topológica Figura 3.2: Abordagens para solução do problema de otimização. A seguir é apresentado com mais detalhe cada uma dessas abordagens. 3.1 Otimização Paramétrica Como já comentado, nesse tipo de otimização as variáveis de projeto são as dimensões ou as razões de dimensões da peça. Assim esse tipo de otimização não altera a peça mas apenas o seu aspecto. A figura ilustra como exemplo a otimização de uma estrutura de treliças em que as variáveis de projeto são representadas pelas áreas das treliças A 1, A 2 e A 3.

7 Figura Áreas como variáveis de projeto em uma treliça. A figura mostra o desenho de uma viga em que são escolhidas como variáveis de projeto as coordenadas de alguns pontos da base e topo da viga. Esse é um típico exemplo em que a otimização paramétrica se confunde com uma otimização de forma (veja a seguir), no sentido que permite alterar a forma da estrutura e não somente a sua razão de aspecto. No caso do exemplo da treliça o mesmo ocorre se forem escolhidos como variáveis de projeto as coordenadas dos nós ao invés das áreas. 3.2 Otimização de Forma Figura Coordenadas de alguns pontos como variáveis de projeto em uma viga. A otimização de forma permite alterar a forma da estrutura de maneira a encontrar a solução ótima. As variáveis de projeto podem ser as coordenadas de alguns pontos pertencentes ao contorno da peça ou parâmetros mais abstratos como coeficientes de uma curva que representa a forma da peça (por exemplo, curvas "spline") [2]. A figura ilustra um exemplo de variáveis de projeto em otimização de forma. Figura Exemplo de variáveis de projeto em otimização de forma.

8 Devido às formas complexas que podem ser obtidas é utilizado em geral o método de elementos finitos (MEF) para a análise das estruturas durante a otimização. A principal desvantagem da otimização de forma nesse caso é que com a alteração da forma da estrutura a malha de MEF é distorcida exigindo um remalhamento do domínio durante a otimização [2]. Existem técnicas de remalhamento para domínios bidimensionais, no entanto para domínios tridimensionais essas técnicas ainda deixam muito a desejar. A figura ilustra um procedimento típico de otimização de forma. Inicialmente é mostrado a estrutura inicial com o carregamento correspondente e a região de fixação. Na segunda etapa são especificadas as direções e regiões em que se deseja alterar a forma. Mediante essa informação o software realiza uma análise de sensibilidade em cada uma dessas direções, ou seja, ele avalia o quanto a mudança da forma em cada direção influencia na melhora da função objetivo (por exemplo rigidez). Terminada a análise de sensibilidade o software decide o quanto alterar (ou não) a forma em cada direção especificada. Trata-se de um processo iterativo que após algumas iterações fornece o resultado final apresentado (ver figura 3.2.2). 3.3 Otimização Topológica (OT) Figura Procedimento típico de otimização de forma. Otimização topológica (OT) consiste num método computacional que permite projetar a topologia ótima de estruturas segundo um certo critério de custo (por exemplo, máxima rigidez e menor peso). Basicamente, o método de otimização topológica distribui o material no interior de um domínio fixo de forma a maximizar ou minimizar uma função custo especificada (por exemplo, máxima rigidez e mínimo volume de material). O material em cada ponto do domínio pode variar de ar (não há presença de material) até sólido (total presença de material) podendo assumir densidades intermediárias entre ar e sólido de acordo com um modelo de material definido [4,5].

9 Um algoritmo de otimização é usado para encontrar de forma iterativa a distribuição ótima de material, o que torna o processo rápido, caso contrário milhões de análises seriam necessárias para encontrar a distribuição ótima. Na aceleração do processo de busca da distribuição ótima de material, os métodos de otimização utilizam-se da informação dos gradientes (ou derivadas) da função custo em relação à quantidade de material em cada elemento. A distribuição de material é representada, por exemplo, associando um valor de densidade a cada elemento (subdomínio), obtido da discretização do domínio inicial. Dessa forma, a OT combina essencialmente métodos de otimização com o método de elementos finitos (MEF) [4,5]. A Otimização Topológica surgiu na área acadêmica na década de 80 nos EUA e Europa com a publicação do artigo "Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method" pelos autores Martin P. Bendsøe e Noboru Kikuchi [5] em Já na década de 90 passou a ser largamente utilizada nas indústrias automobilística e aeronáutica dos EUA, Japão e Europa para o projeto de peças mecânicas otimizadas, além de recentemente ter se expandido para outras áreas da engenharia no meio acadêmico como o projeto de mecanismos flexíveis [9], atuadores piezoelétricos, antenas e motores eletromagnéticos, etc [7]. Ela torna o processo de projeto mais genérico, sistemático, otimizado, e independente da experiência específica de alguns engenheiros, fornecendo a topologia inicial, otimizada para uma certa aplicação, do dispositivo a ser construído. Obviamente, a presença do engenheiro é necessária para a obtenção do projeto final e verificação de seu desempenho para o qual foi projetado (utilizando métodos numéricos e experimentais). O procedimento típico de projeto estrutural usando a otimização topológica, considerando o problema da figura 3.1, é apresentado na figura O primeiro passo consiste em se definir o domínio no qual a estrutura pode existir. Esse domínio é limitado pelas condições de contorno da estrutura (pontos em que ela deve estar restrita) e pelos pontos de aplicação de carga. Outras limitações podem estar relacionadas com a restrição do espaço ocupado. Domínio Inicial Domínio Discretizado Topologia obtida Fabricação Verificação Interpretação Figura Procedimento típico de projeto estrutural por otimização topológica. É importante nessa fase definir o domínio com o maior tamanho possível de forma a não limitar o domínio de trabalho da OT. Como em qualquer método de otimização, quanto mais restrições são impostas, menor é a melhora de desempenho da solução obtida. Assim, restrições de espaço de ocupação da estrutura reduzem a optimalidade da solução no caso da otimização topológica. No

10 segundo passo o domínio é discretizado em elementos finitos e são aplicadas as condicões de contorno. No terceiro passo, os dados do domínio são fornecidos ao software de otimização topológica que num processo iterativo distribui o material no domínio de forma a minimizar (ou maximizar) a função objetivo especificada, no caso, flexibilidade. O resultado obtido é do tipo mostrado na figura (ítem topologia obtida ) onde a cor escura indica a presença de material e a cor branca indica a ausência de material no ponto do domínio. Note que podem surgir pontos com cores intermediárias, denominados de escalas de cinza (ou "gray scale" em inglês). Esses pontos indicam a presença de materiais intermediários que não podem ser implementados na prática e sempre ocorrem, ou seja, a presença do "gray scale" é inerente a obtenção da solução ótima [4,5]. Dessa forma, a imagem da estrutura obtida por OT representa um excelente ponto de partida que necessita ser interpretado para se obter o projeto final da estrutura. Essa interpretação (quarta etapa) pode ser feita usando-se métodos de processamento de imagem, ou simplesmente desenhando-se uma estrutura baseada na imagem obtida por OT. A penúltima etapa consiste em se verificar o resultado final da estrutura. Em geral os resultados gerados por OT não são intuitivos e é interessante fazer uma verificação da estrutura final usando MEF, para criarmos confiança na solução através da comprovação da optimalidade do resultado. Finalmente, a última etapa é a fabricação da estrutura. Hoje, existem várias técnicas de fabricação que permitem fabricar estruturas com formas complexas como prototipagem rápida, entre outras. O fato da OT trabalhar num domínio fixo de MEF faz com que a sua aplicação para um domínio tridimensional não acrescente complexidade nem custo no algoritmo a não ser o custo computacional usual de MEF de se estar manipulando um modelo tridimensional. A figura ilustra a aplicação da OT para um domínio tridimensional, onde é projetado uma viga bi-engastada sujeita a um carregamento no seu centro. Esse é um dos principais motivos que fez com que a OT tivesse grande aceitação na indústria em relação à otimização de forma por exemplo. Figura Aplicação da OT para um domínio tridimensional. A figura ilustra como o material é distribuído pelo MOT no interior do domínio fixo ao longo das iterações (somente metade do domínio é mostrado). O problema considerado consiste em se

11 obter a estrutura com máxima rigidez e menor peso num domínio bi-apoiado sujeito a um carregamento no seu centro. Figura Distribuição de material pelo MOT no interior de um domínio fixo ao longo das iterações. Note que o resultado se aproxima de uma estrutura de treliças como sugerido por Michell. Hoje é provado que para o problema de máxima rigidez e menor peso a estrutura ótima consiste numa estrutura de treliças [5]. Esse resultado pode ser interpretado a grosso modo da seguinte forma. Uma estrutura de treliças tem seus elementos somente sujeitos à tração ou compressão. Outras estruturas podem apresentar elementos sujeitos à flexão. No entanto, a distribuição de tensões numa barra sujeita à flexão, apresenta uma variação linear como mostrado na figura 3.3.4, com as tensões máximas em módulo ocorrendo na parte superior e inferior da barra. Assim, nota-se que na parte central as tensões são baixas e o material não está sendo aproveitado. Já na situação em que a barra está sujeita à compressão ou tração, as tensões são constantes ao longo da seção aproveitando melhor o material.

12 Figura Distribuição de tensões numa barra sujeita somente à flexão e somente tração. Essencialmente a OT é baseada em dois conceitos: domínio fixo estendido e modelo de material. A figura ilustra o conceito de domínio fixo estendido. Na abordagem tradicional de otimização de forma (figura 3.2.2) são alterados os contornos internos e externos do domínio da estrutura de forma a obter a solução ótima. Furos internos no domínio podem ser aumentados, diminuídos ou deslocados, porém novos furos não podem ser criados. Na abordagem de OT, o objetivo consiste em se encontrar a distribuição de material no domínio fixo estendido que melhore a função objetivo [4]. Assim, novos furos podem agora ser criados utilizando-se esse conceito. Figura Conceito de domínio fixo estendido. O segundo conceito está relacionado a como se variar o material em cada elemento finito entre zero (ar) e um (sólido). A utilização de valores discretos em OT (somente zero ou um) se mostrou problemática, dando origem à instabilidades numéricas. Atualmente já existem alguns algoritmos a nível acadêmico que adotam esse procedimento, mas ainda a sua utilização requer mais estudos. Dessa forma, a formulação mais bem sucedida foi permitir que o material assuma valores intermediários durante a otimização definidos pelo chamado modelo de material que determina a lei de mistura entre os materiais zero e um. A formulação do modelo de material é o ponto chave da formulação de OT. Pelo fato de se permitir materiais intermediários ao invés de somente material sólido ou ar, diz-se que o problema de otimização foi relaxado [4,5,6]. A figura mostra a seqüência de sintetização de uma das estruturas propostas por Michell em O resultado final pode ser comparado com o resultado obtido analiticamente por Michell como já comentado na figura 2.1b. Dessa forma comprova-se que o método é matematicamente correto.

13 Figura Seqüência de sintetização de uma viga engastada. Um ponto importante nos algoritmos de OT é o grau de definição do resultado final. Além do problema das escalas de cinza, já comentados, pode ocorrer também um problema conhecido como tabuleiro de xadrez descrito na figura [4]. Atualmente os softwares de OT possuem vários recursos que permitem obter um resultado final claro e com o grau de detalhe que se deseja como mostrado nas figuras e Figura Fenômeno do "Tabuleiro de Xadrez". Além disso, é possível também controlar o tamanho dos furos. A figura 3.3.8a ilustra um resultado sem tabuleiro de xadrez porém com a presença de elementos muito delgados no seu interior. A figura 3.3.8b ilustra o mesmo resultado utilizando-se um controle da presença desses elementos delgados (tamanho dos furos).

14 Figura Controle do tamanho dos furos. A OT também pode ser aplicada para projeto de estruturas discretas, como treliças [4]. A idéia é partir de um domínio fixo estendido altamente discretizado em treliças e utilizar como variáveis de projeto as áreas dos elementos de treliça que podem variar de zero a um valor máximo. Ao final da otimização, a topologia da estrutura discreta é dada pelos elementos de treliça com área maior que um valor mínimo. A figura mostra alguns exemplos de domínios iniciais de projeto para problemas bidimensionais e tridimensionais. Figura Domínios Iniciais de projeto para treliças. A figura mostra alguns exemplos de resultados de otimização topológica para treliças com os respectivos domínios iniciais de projeto.

15 Figura Domínio inicial de projeto e resultado da otimização topológica para treliças. Entre as vantagens da formulação de OT para treliças está o fato que a implementação do algoritmo é simples e didática e permite obter resultados preliminares para o meio contínuo. Além do problema clássico de otimização de maximização de rigidez para o menor volume de material, outras funções objetivo são possíveis ainda na área de mecânica estrutural clássica, como maximização da freqüência de ressonância, maximização da carga de flambagem, minimização da resposta em freqüência da estrutura e maximização da energia de impacto. Algumas dessas funções já estão implementadas em softwares comerciais. Recentemente a OT tem se expandido para outras áreas da engenharia a nível acadêmico como o projeto de mecanismos flexíveis, atuadores e motores piezoelétricos, e dispositivos eletromagnéticos. No último caso, a OT vem sendo estudada para projeto de motores elétricos com máxima relação torque/volume e antenas com máxima receptividade e emissividade (visando aplicação em celulares). 3.4 Otimização Topográfica Essa técnica se aplica especificamente para o projeto de reforçadores de placas e cascas. Combina a idéia da OT com a da otimização paramétrica. Consiste em encontrar a distribuição de um padrão de reforçador nas estruturas de placas e cascas. A figura ilustra o tipo de reforçador usado. As variáveis de projeto são os parâmetros indicados na figura Assim utiliza o conceito da otimização paramétrica no sentido de que não modifica a geometria do reforçador, apenas a sua razão de aspecto ao longo da placa, e utiliza o conceito de OT no sentido que encontra a topologia ótima do reforçador ao longo da estrutura.

16 Figura Reforçador usado na otimização topográfica. A figura mostra um exemplo interessante que ilustra o contraste entre o conceito de análise e o de síntese discutidos no começo do artigo. Nessa figura estão ilustrados várias soluções típicas para o reforçamento (máxima rigidez com menor peso) da chapa sujeita à torção descrita na figura anterior. Essas soluções foram propostas baseadas na intuição física do problema ou no processo de tentativa e erro. A solução sintetizada (otimizada) também é apresentada na figura Figura Comparação de soluções típicas para o reforçamento de chapa sujeita à torção com a solução otimizada. (Cortesia: OPTISTRUCT - Altair Engineering, Michigan, EUA) A tabela mostra a comparação entre essas soluções do ponto de vista de deslocamento e tensões mecânicas. Tabela Comparação do máximo deslocamento e tensão mecânica para as soluções apresentadas. Soluções Máximo deslocamento Máxima tensão Otimizada 1, Forma X 2, Forma X com flange 4,41 644

17 Forma X com borda rígida 10, Canto-à-canto 6, Por essa tabela observa-se que a solução otimizada (sintetizada) apresentou melhores resultados do que as demais tanto em termos de deslocamento como em termos de tensão mecânica. Nota-se também que resultados que intuitivamente aparentam serem boas soluções apresentaram desempenho ruim nos dois critérios como é o caso forma X com borda rígida. Exemplifica-se portanto a limitação da abordagem de análise no projeto. 3.5 Aplicações Industriais de Otimização Nessa seção são apresentados alguns exemplos de otimização no projeto de peças na indústria metal-mecânica. Os exemplos são baseados no método de otimização topológica devido ao impacto dos resultados obtidos e ilustram bem a potencialidade de métodos de otimização na indústria. O primeiro exemplo consiste na otimização da viga mostrada na figura [8]. O objetivo é manter a rigidez e reduzir ao máximo o volume de material da viga. Esse problema foi proposto pela empresa "Messerschmitt-Bolkow-Blohm" em 1989 que na época trabalhava no projeto de um avião civil para Air Bus. A viga em questão faz parte da estrutura que sustenta o assoalho do avião. Esse exemplo foi tão bem sucedido na época que passou a ser utilizado como problema de referência para aferir softwares de OT, sendo denominado problema "viga MBB" (ou "MBB beam", em inglês). Dois métodos são usados, a otimização de forma e a otimização topológica. A tabela mostra os resultados de volume, deslocamento e máxima tensão de Von Mises para as estruturas obtidas [8]. Inicialmente o resultado obtido com a otimização de forma é apresentado na figura 3.5.1b. Apresenta uma redução de 5% em relação ao volume inicial como mostrado na tabela Nota-se uma grande redução de espessura com conseqüente deformação da malha em alguns pontos da viga, que impedem o remalhamento e a continuação da otimização de forma. Um resultado utilizando-se otimização paramétrica também foi obtido em que foram alterados apenas os diâmetros dos furos circulares. A figura desse resultado não é apresentada mas os seus dados estão incluídos na tabela O resultado da OT é mostrado na figura 3.5.1c e a sua interpretação final na figura 3.5.1d. Como mostrado na tabela 3.5.1, esse resultado apresenta uma redução de volume de 42% em relação ao volume inicial da viga e uma deflexão 7% menor do que a configuração inicial!! Note que a tensão máxima no resultado final é apenas 4,5% maior do que no inicial.

18 Figura Otimização de uma viga para máxima rigidez e menor peso. Tabela Volume, deslocamento e tensão máxima para as estruturas apresentadas na figura Resultados Fig. Volume Deslocamento Máx. tensão (MPa) Inicial A 1,07 10,1 292 Furos com diâmetro ótimo - otimiz. paramétrica 1,10 9,4 248 Furos com forma ótima - otimiz. de forma B 1,02 9,4 372 Topologia ótima - otimiz. topológica C 1,10 6,0 227 Projeto final D 0,62 9,4 305 Dessa forma observa-se o impacto conseguido com a aplicação de métodos de otimização no projeto. O segundo exemplo mostrado na figura mostra a OT sendo utilizada na obtenção do reforçamento ótimo do capô de um automóvel [4,6]. As áreas escuras corresponderiam a áreas onde deve ser soldado um reforçador do tipo viga em U. Esse resultado também poderia ser obtido usando a técnica de otimização topográfica. Figura Reforçamento ótimo do capô de um automóvel (obtido por OT). A figura ilustra a otimização por OT do braço de suspensão dianteira de um caminhão. O objetivo é obter a peça com máxima rigidez e menor peso sujeita à três casos de carga. A peça inicial é descrita no início da seqüência. Nota-se na peça final que a quantidade de material retirada é da ordem de 50%.

19 Figura Otimização por OT do braço de suspensão dianteira de um caminhão (Cortesia: OPTISTRUCT - Altair Engineering, Michigan, EUA). A figura ilustra a otimização por OT da estrutura de um carro fora-de-estrada do tipo Baja. O objetivo é obter a estrutura com a máxima rigidez para o menor peso possível considerando os diversos casos de carga aos quais a estrutura está sujeita. A redução de massa é crítica no projeto, pois quanto menor a massa, maior a aceleração obtida, uma vez que a potência do motor é limitada nesses carros. No entanto, a rigidez deve ser alta para não prejudicar a estabilidade do carro. Trata-se de um projeto de concepção da estrutura. Figura Otimização por OT da estrutura de um carro tipo Mini-Baja.

20 A figura ilustra o processo de projeto por OT de outra peça automotiva também para máxima rigidez e menor peso. No início da seqüência observa-se o volume de existência e ao final, a peça final a ser fabricada. O projeto inicial (anterior) da peça é ilustrado no início da figura O resultado obtido por OT apresenta 20% menos massa e mesma rigidez que o projeto inicial. Figura Processo de projeto por OT de uma peça automotiva (Cortesia: OPTISTRUCT - Altair Engineering, Michigan, EUA). Como último exemplo apresenta-se a otimização de soldas por OT. A figura ilustra uma viga sujeita à um carga na extremidade o que induz flexão e torção na viga. A viga é composta por duas chapas de alumínio soldadas com 34 soldas tipo MIG. O objetivo é reduzir o volume de solda mantendo a mesma rigidez da viga. A figura ilustra a configuração de solda inicial, a configuração de solda sugerida pela OT com uma redução de 40% na quantidade de solda (mantido rigidez e resistência da viga), e o "layout" final adotado de solda, onde após uma otimização paramétrica atingiu-se a redução final de 50% na quantidade de solda!!!

21 Figura Otimização de soldas por OT em uma viga (Cortesia: OPTISTRUCT - Altair Engineering, Michigan, EUA). Esse tipo de aplicação tem grande impacto na indústria automotiva, por exemplo, onde a maior parte das peças estruturais do carro são soldadas (chassi monobloco, portas, etc.) e na indústria de mecânica pesada, onde a redução na quantidade de solda acelera o processo de fabricação das peças. 3.6 Estado da Arte Atualmente os estudos de técnicas de otimização na área acadêmica se concentram na área da otimização topológica (OT). Entre esses estudos podemos citar o projeto de mecanismos flexíveis por OT. Mecanismos flexíveis são mecanismos em que o movimento é dado pela flexibilidade de uma estrutura ao invés da presença de juntas e pinos. Tem grande aplicação na indústria de mecânica de

22 precisão (mecanismos de disco rígido, vídeo-cassetes, máquinas fotográficas, etc ) onde devido ao tamanho reduzido dos equipamentos em geral, a montagem de mecanismos baseado em juntas e pinos torna-se inviável. A grande dificuldade é o projeto desses mecanismos, onde essencialmente deseja-se encontrar a estrutura flexível que ao ser submetida a um certo carregamento gera deslocamentos em uma dada direção e um dado ponto especificado do domínio. No entanto, esse projeto pode atualmente ser realizado de forma sistemática utilizando o MOT [9]. A figura ilustra a seqüência de projeto de um mecanismo flexível. O domínio de existência do mecanismo é representado na figura 3.6.1a. O resultado de OT é mostrado na figura 3.6.1b, a interpretação do mecanismo final é mostrado na figura 3.6.1c. A figura 3.6.1d ilustra uma simulação por MEF do funcionamento do mecanismo. 3.7 Conclusões Figura Seqüência de projeto de um mecanismo flexível pelo MOT. A otimização torna sistemática e automática a obtenção do projeto ótimo, reduzindo a dependência da experiência do projetista. As técnicas de otimização tem permitido reduções drásticas de custos do produto final através da redução da quantidade de material, tendo grande impacto nas indústrias de produção em larga escala (autopeças, por exemplo)e nas indústrias em que a redução de peso é uma exigência no produto (aeronáutica, por exemplo). Essas técnicas são intensamente aplicadas nas indústrias dos EUA, Japão e Europa. É importante acrescentar que a aplicação de técnicas de otimização não causa impacto apenas no desempenho mecânico em si da peça, mas pode causar impacto em toda a cadeia produtiva. Assim, por exemplo, a redução de peso de uma peça pode reduzir o seu tempo de produção permitindo que sejam produzidas mais peças e que mais peças sejam transportadas, e portanto reduzindo os custos ao longo de toda a cadeia produtiva. Existem situações por exemplo em que no transporte da peça o valor limite de peso é atingido antes do valor de volume. Assim uma redução da massa permitiria o transporte de mais peças.

23 3.8 Tendências Futuras A tendência é englobar cada vez mais diferentes disciplinas (multidisciplinaridade) num problema de otimização, permitindo que sejam levados em conta no projeto não somente as características mecânicas da peça, mas também características aerodinâmicas, elétricas, custos de fabricação, transporte, etc Trata-se da otimização multidisciplinar (ou "Multidisciplinary Optimization - MDO" em inglês). 3.9 Referências [1] Rozvany, G., Bendsøe, M.P., Kirsch, U., Layout Optimization of Structures, Applied Mechanical Review, 48, no.2, pp , [2] Haftka, R.T. and Gürdal, Z., Elements of Structural Optimization, Solid Mechanics and its Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, [3] Vanderplaats, G.N., Numerical Optimization Techniques for Engineering Design: With Applications, Mcgraw-Hill, New York, EUA, [4] Bendsøe, M. P., Optimization of Structural Topology, Shape and Material, Springer-Verlag, New York, [5] Bendsøe, M. P. and Kikuchi, N., Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 71, pp , [6] Suzuki, K. and Kikuchi, N., A Homogenization Method for Shape and Topology Optimization, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 93, pp , [7] Kikuchi, N., Nishiwaki, S., Fonseca, J.S.O., and Silva, E.C.N., Design Optimization Method for Compliant Mechanisms and Material Microstructures, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 4, 151, pp , [8] Olhof, N., Bendsøe, M.P., Rasmussen, J., On CAD-integrated structural topology and design optimization, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 89, pp , [9] Nishiwaki, S., Min, S., Yoo, J., Kikuchi, N., Optimal Structural Design Considering Flexibility, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190, pp , 2001.