Modelos Evolucionários e Tratamento de Incertezas

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1 Ciência da Computação Modelos Evolucionários e Tratamento de Incertezas Aula 03 Teoria dos Esquemas Max Pereira

2 Um esquema consiste em um template descrevendo um subconjunto dentre o conjunto de todos os indivíduos possíveis. O esquema descreve similaridades entre os indivíduos que pertencem ao subconjunto, ou seja, descreve quais posições dos seus genomas são idênticas.

3 O alfabeto de esquemas consiste no conjunto de símbolos utilizados na representação mais o símbolo *, que significa não-importa (wildcard). Os indivíduos diferem exatamente nas posições onde encontram-se os wildcards. Quando utiliza-se a representação binária, um esquema que tenha comprimento n com m posições contendo o símbolo * terá m graus de liberdade e representará até 2 m indivíduos diferentes da atual população.

4 Formalmente, um esquema é definido como sendo uma string s={s 1,s 2...s n } de comprimento n, cujas posições pertencem ao conjunto Γ (alfabeto usado) + {*}. Cada posição da string dada por s k * é chamada de especificação, enquanto que um wildcard representa o fato de que aquela posição pode assumir qualquer valor dentro do conjunto Γ.

5 O alfabeto de esquema descrito pelos símbolos {0,1 e *}, onde * significa que aquela posição pode ser qualquer elemento do alfabeto, não pertencendo ao esquema.

6 Esquema Indivíduos que representa a* aa, ab,..., az a*b **xy aab, abb,..., azb aaxy, abxy,..., azxy, baxy, bbxy,..., bzxy,..., zaxy, zbxy,..., zzxy Considerando o alfabeto ocidental Γ={a,b,...,z} mais o símbolo * como o alfabeto de esquema.

7 Se o alfabeto de esquema contém n símbolos, e o esquema contém m posições com *, então o esquema representa (n-1) m indivíduos. O número de esquemas presentes em um determinado indivíduo é dependente do comprimento da string e do número de opções presentes no alfabeto de codificação.

8 Pode-se inferir que se a string tem tamanho t e o alfabeto de esquemas contém n símbolos, então o número de esquemas existente na população é exatamente n t. Se o alfabeto de esquemas é {0,1,*} e a string tem comprimento 2, temos 3 2 =9 esquemas possíveis. 00, 01, 10, 11, 1*, 0*, *1, *0, **.

9 Por que os esquemas são importantes? Um Algoritmo Genético na verdade é um manipulador de esquemas. Os esquemas contém as características positivas e negativas que podem levar a uma boa ou má avaliação e o AG nada mais faz do que tentar propagar estes bons esquemas por toda a população durante sua execução.

10 Um esquema tem duas características importantes: sua ordem e seu tamanho. A ordem de um esquema denotado por O(H), corresponde ao número de posições neste esquema diferentes de *. O tamanho do esquema, representado por δ(h), se refere ao número de pontos de corte entre a primeira e a última posições diferentes de * dentro do esquema.

11 Esquema Ordem Tamanho *****1*** 1 0 1******0 2 7 **1**1* Pode-se verificar que, quanto maior o tamanho de um esquema, maior o número de pontos de corte dentro dele, logo, é maior a probabilidade de que a aplicação do operador de crossover venha a quebrar este esquema em pedaços, possivelmente rompendo suas boas características.

12 Teorema dos Esquemas Formalmente, pode-se dizer que, sendo n o número de indivíduos pertencentes a um certo esquema s, com média de avaliação igual a r e sendo x a média das avaliações de toda a a população, Então o número esperado de ocorrências de s na próxima geração é aproximadamente igual a n*r/x.

13 Teorema dos Esquemas Seja o problema de achar o máximo de x 2 entre 0 e 31. Usando-se uma representação binária (5 bits), em um dado instante pode-se ter a seguinte população Indivíduo Avaliação Média 292.5

14 Teorema dos Esquemas Seja o esquema 1****. Há dois indivíduos que o implementam e sua média de avaliação é Logo, espera-se que ele esteja presente em 468.5*2/ indivíduos. Já o esquema 0**0* está presente em dois indivíduos com média de avaliação Logo, ele deve estar presente em 116.5*2/ indivíduos.

15 Teorema dos Esquemas Suponha que os seguintes esquemas estão reproduzindo e todos os pontos de corte para estes indivíduos são iguais e entre a 4 a e 5 a posição do indivíduo. Esquema Depois do corte 1**1 **** Íntegro 1*** **** Íntegro 1*** ***0 Destruído 1**1 **1* Destruído

16 Teorema dos Esquemas Pode-se notar que quanto maior for o tamanho do esquema (δ(h)), maior a sua probabilidade de ser destruído. Um esquema de ordem 1 e tamanho zero nunca pode ser destruído, não importa onde o operador de crossover faça o corte. Logo, reformulando o teorema dos esquemas tem-se que quanto maior a avaliação do esquema e menor o seu tamanho, mais cópias ele terá na próxima geração.

17 Teorema dos Esquemas A mutação também é destrutiva, se ocorrer em uma posição em que o esquema possua um valor diferente de *. Quanto maior a ordem do esquema, mais chances deste ser corrompido pelo operador de mutação.

18 Teorema dos Esquemas Ação dos operadores se encaixa no que é chamado de tensão entre exploração (exploration, a busca de novas adaptações) e aproveitamento (explotation, a manutenção das adaptações úteis feitas até a atual geração).