Universidade de São Paulo

Transcrição

1 Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Aplicações de Derivada Tópicos em Microeconomia Everton Batista da Rocha Roseli Aparecida Leandro LCE Cálculo Diferencial e Integral Departamento de Ciências Exatas/ESALQ/USP Piracicaba/2011

2 Sumário Introdução Funções Marginais Considerações Finais Referências

3 Funções Marginais Matemática Cálculo Diferencial e Integral Álgebra Linear Economia Microeconomia Séries Temporais Econometria Matemática Financeira

4 Funções Marginais Em Economia, Administração, dada uma função f (x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f (x) por uma pequena variação de x. Chama-se função marginal de f (x) à função derivada de f (x). Assim, a função custo marginal, é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante. Objetivo: estudar algumas funções marginais e suas interpretações.

5 Custo Marginal Seja C(x) a função de custo de produção de x unidades de um produto. Chama-se de custo marginal à derivada de C(x) em relação à x. O custo marginal será indicado por C mg (x). Exemplo: Considere a função de custo C(x) = 0, 01x 3 0, 5x x O custo marginal é dado por C mg (x) = C (x) = 0, 03x 2 x Assim, caso se deseje o custo marginal para x = 10, tem-se, C mg (10) = 0, 03.(10) = 293. Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma:

6 Sendo tem-se que Custo Marginal C mg (x) = C lim x 0 x, C mg (x) = C (para x pequeno) x Frequentemente, esse x pequeno é suposto como igual a 1. Assim, C mg (x) = C = C(x + 1) C(x). Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual a variação do custo, decorrente da produção de uma unidade adicional a partir de x unidades. No exemplo dado, C mg (10) = 293 representa, aproximadamente, C(11) C(10), ou seja, o custo da produção da 11 a unidade.

7 Receita Marginal Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. Chama-se de receita marginal à derivada de R(x) em relação à x. A receita marginal será indicado por R mg (x). Exemplo: Considere a função receita R(x) = 2x x. A receita marginal é dada por R mg (x) = R (x) = 4x Assim, caso se deseje a receita marginal no ponto x = 50, tem-se, R mg (50) = 4.(50) = 800. Esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma:

8 Sendo tem-se que Receita Marginal R mg (x) = R mg (x) = R x Supondo x = 1, R lim x 0 x, (para x pequeno) R mg (x) = R = R(x + 1) R(x). Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual a variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x unidades. No exemplo dado, R mg (50) = 800 representa, aproximadamente, R(51) R(50), ou seja, o aumento da receita decorrente da venda da 51 a unidade.

9 Exercícios 1. Dada a função custo C(x) = 0, 3x 3 2, 5x x + 200, obtenha: a) o custo marginal C mg ; b) C mg (5) e a interpretação do resultado; c) C mg (10) e a interpretação do resultado; 2. Dada a função receita R(x) = 4x x, obtenha a) a receita marginal R mg ; b) R mg (10) e a interpretação do resultado; c) R mg (20) e a interpretação do resultado;

10 Propensão Marginal a Consumir e a Poupar Chamando de y a renda disponível e, C o consumo, tem-se que C é função de y, e a função C(y) é chamada de função de consumo. Denomina-se propensão marginal a consumir, e indica-se por p C mg a derivada de C em relação a y. Isto é: p C mg (y) = C (y). Analogamente, a poupança S é também função de y, e assim, a função S(y) é chamada de função poupança. Denomina-se propensão marginal a poupar, e indica-se por p S mg, a derivada de S em relação a y, ou seja, p S mg (y) = S (y).

11 Propensão Marginal a Consumir e a Poupar Exemplo: Suponha que a função consumo de uma família seja C(y) = , 4y 0,75. Para a propensão marginal a consumir, tem-se p C mg (y) = 0, 3y 0,25 Caso seja de interesse o valor desta propenção para y = 16, tem-se p C mg (16) = 0, 3.(16) 0,25 = 0, 15. A interpretação é análoga à feita para o custo e a receita marginal, ou seja, aumentando-se em uma unidade a renda disponível (de 16 para 17), o aumento do consumo será aproximadamente igual a 0,15.

12 Propensão Marginal a Consumir e a Poupar Exemplo: Suponha que a função consumo de uma família seja C(y) = , 4y 0,75. Para o obtenção da função poupança, é importante lembrar que,s = y C, ou seja, S(y) = y 20 0, 4y 0,75 A propensão marginal a poupar é: p S mg (y) = 1 0, 3y 0,25 Caso seja de interesse o valor desta propensão para y = 16, tem-se: p S mg (16) = 1 0, 3.(16) 0,25 = 0, 85. Portanto, se a renda passar de 16 para 17, o aumento da poupança será aproximadamente 0,85.

13 Exercícios 1. Dada a função de consumo C = , 4y 0,5, obtenha: a) p C mg (64) e interprete o resultado; b) p S mg (64) e interprete o resultado;

14 Produtividade Marginal Seja P uma função de produção que dependa da quantidade x de um fator variável, chama-se produtividade marginal do fator à derivada de P em relação a x. Exemplo: Considere a função de produção P(x) = 50x 0,5 em que P é a quantidade (em toneladas) produzidas por mês de um produto, e x, o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora). A produtividade marginal do trabalho é Se x = 10000, então P (x) = 25x 0,5 P (10000) = 25.(10000) 0,5 = 0, 25 Assim, se o número de homens-hora passar de para 10001, o aumento na produtividade mensal será, aproximadamente, 0,25 toneladas.

15 Exercícios 1. A produtividade anual de algodão (em toneladas) de um agricultor é função da quantidade x de fertilizante empregada (em toneladas), segundo a relação P = x x 2. a) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x = 50 e interprete o resultado. b) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x = 75 e interprete o resultado.

16 Elasticidades A função de demanda relaciona o preço unitário p com a quantidade demandada x. Um indicador da sensibilidade da variação da demanda em relação ao preço poderia ser a derivada de x em relação a p. Todavia, esta derivada depende das unidades de medidas utilizadas. Assim, se a queda de $1, 00 por kg de abóbora fizesse o consumidor aumentar em 1kg por mês o consumo desse produto, a relação cosumo/preço seria 1 se o consumo fosse medido em quilogramas, mas seria 1000 se o consumo fosse medido em gramas. Costuma-se definir um indicador de sensibilidade que independa das unidades de medida utilizadas. Tal indicador é chamado de elasticidade.

17 Elasticidades Suponha que a um preço p 0 a quantidade demandada seja x 0. Suponha, ainda, que o preço sofra uma variação p e partir de p 0 e, como consequência, a quantidade demandada sofra uma variação x, a partir de x 0. Considere: p A variação porcentual no preço:. p 0 x A variação porcentual na quantidade: x 0 Chama-se de elasticidade da demanda no ponto (x 0, p 0 ) o número: e = lim p 0 x x 0 p p 0 = p 0 x 0 x p

18 (continuação) Elasticidades O limite dentro do módulo é dx (derivada da quantidade em dp relação ao preço). O módulo é introduzido na definição para que a elasticidade resulte num número positivo, uma vez que, em geral, dx < 0, entretanto alguns autores preferem fazer a dp definição sem uso do módulo. Assim, e = p 0 dx x 0 dp, em que a derivada dx dp é calculada no ponto (x 0, p 0 ). É importante salientar que a elasticidade é uma característica do ponto da curva de demanda e não da curva em si.

19 Elasticidades Exemplo: Seja a equação de demanda for dada por x = p: Tem-se, Portanto, dx dp = 10 e = p 0 x 0 10 Assim, se p 0 = 40, então x 0 = = 100 e e = = 4

20 Elasticidades (continuação) Isso significa que, para p pequeno, Admitindo p 40 x 4 = 100. p 40 = 1% (como é usual), tem-se x 100 = 4%(pois x e p tem sinais contrários) Em outras palavras, se o preço for 40 e sofrer um aumento percentual de 1%, a queda percentual na demanda será de aproximadamente 4%. De modo análogo, ao se admitir um aumento percentual de 2%, a queda percentual na demanda será de aproximadamente 8%.

21 Elasticidades Se e > 1, a demanda é dita elástica no ponto considerado. Se 0 < e < 1, a demanda é dita inelástica. E se e = 1, a demanda tem elasticidade unitária no ponto considerado.

22 Elasticidades Para a função de oferta, define-se elasticidade da oferta em relação ao preço de modo análogo: x f = x lim 0 p 0 p = p 0 dx x 0 dp p 0 em que dx dp é calculada no ponto x = x 0 e p = p 0 da equação da oferta. Nesse caso, o módulo foi omitido, pois dx dp > 0.

23 Elasticidades Exemplo: Seja a equação de oferta x = 64 + p 2. Então, dx dp = 2p Caso seja de interesse a elasticidade para p 0 = 6, então x 0 = = 100 e dx dp = 12, no ponto em que p 0 = 6. Assim, f = 6 12 = 0, Desse modo, para um acréscimo percentual de 1% no preço (a partir de 6), o acréscimo porcentual na quantidade ofertada (a partir de 100)será de aproximadamente 0,72%.

24 Exercícios 1. Se a equação de demanda for dada por x = 10 p, obtenha 5 a elasticidade da demanda para p = 5 e interprete o resultado. 2. Obtenha a elasticidade da oferta para p = 9, sabendo que a equação da oferta é dada por x = 20 0, 05p + p 1/2. Interprete o resultado.

25 Considerações Finais Aula MAPLE - Derivadas = 02/05/2011, 10hs-12hs, em sala de aula. Prova MAPLE - Derivadas = 10/05/2011, 14hs-15:30hs (Grupo 1) Prova MAPLE - Derivadas = 10/05/2011, 16:15hs-17:45hs (Grupo 2) Entrega dos exercícios propostos: no dia da prova do MAPLE. Todos os exercícios deverão ser entregues feitos à mão e no MAPLE (IMPRESSO). O material da aula do dia 02/05/2011 estará disponível até a data da mesma, assim como uma lista de exercícios, adicionais à deste texto, que também deverá ser entregue feita à mão e no MAPLE (IMPRESSO), no dia da prova do MAPLE.

26 Referências Pedro A. Morettin, Samuel Hazzan, Wilton de O. Bussab; Cálculo -Funções de uma e várias variáveis. Editora Saraiva, São Paulo, 2003.