Flutuações. Choques, Incerteza e a Escolha de Consumo/Poupança

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1 Flutuações. Choques, Incerteza e a Escolha de Consumo/Poupança Olivier Blanchard* Abril de 2002 * º Trimestre de Tópico 2.

2 º Trimestre de Quero iniciar com um modelo com dois ingredientes:? Choques, portanto incerteza (a maior parte do que acontece é inesperada) Choques naturais se quisermos ter bons tempos. Maus tempos: choques de produtividade.? Escolha básica intertemporal: Consumo/poupança incerteza. Então, vamos pegar o familiar modelo de Ramsey, adicionar choques tecnológicos e, por implicação, O modelo claramente não pode ir muito longe. Não há movimentos no emprego e há vários outros problemas. Mas é um bom ponto de partida. Choques/Mecanismos de propagação. A natureza da uniformização do consumo. Co-movimento no consumo e investimento. É uma estrutura simples para discutir vários assuntos conceituais e metodológicos básicos. Como solucionar? Equivalência entre economia centralizada e descentralizada. 1 O problema de otimização sujeito a: Como pensar nesse sistema? Daremos mais tarde uma interpretação da economia descentralizada. Mas é mais fácil solucionar desta maneira. Separabilidade. Descontos exponenciais. Por quê? O que há em não-exponencial/hiperbólico, por exemplo. Expectativa com base nas informações no tempo t.

3 º Trimestre de Não há crescimento. Se quisessemos crescer, gostaríamos de um caminho equilibrado, como o progresso neutro de Harrod. Z t F(K t,a t N). É possível pensar em todas as variáveis divididas por A t (veja a apostila de Thomas). 2 Derivando as condições de primeira ordem A maneira mais fácil de se derivá-las é da maneira antiga. Multiplicadores de Lagrange. Coloque os dois fatores limitadores juntos. Associe ß t? t com o fator limitador no tempo t. (Por que fazer isso? Por conveniência: para obter o valor marginal do capital no tempo t + j, não do tempo t): Assim, as Condições de Primeira Ordem são dadas por: Defina conseguir:. E use o fato de que C t,? t são conhecidos no tempo t para Interpretação? A utilidade marginal do consumo deve ser igual ao valor marginal do capital (riqueza).

4 º Trimestre de ? O valor marginal do capital deve ser igual ao valor esperado do valor marginal do capital de amanhã vezes o retorno bruto esperado sobre o capital, vezes o fator de desconto subjetivo. Ou, mesclando os dois: Essa é a condição de Keynes-Ramsey: Uniformização e inclinação. Para ver com mais clareza, use a função de elasticidade constante (que, no contexto de incerteza, também corresponde com a função CRRA): Então: Ou, como C t é conhecido no tempo t: É possível brincar bastante com essa fórmula, e isso é o que é feito em finanças. Mas, por causa da intuição, ignore toda a incerteza: 1, como 2, então Interpretação. 3 Os efeitos dos choques. Usando as CPOs e a intuição Veja o estado estacionário não estocástico, Z? 1:

5 º Trimestre de Essa é a Regra de Ouro modificada? Leve em consideração um outro turno permanente em F (.,.). Não é muito realista, mas útil. Nenhuma alteração no estado estacionário. Nenhuma alteração em F K para um determinado K, portanto não há inclinação. O consumo aumenta um a um com o choque.? Leve em consideração um choque multiplicativo permanente. Z vai para cima permanentemente. Então, no novo estado estacionário, K: é mais alto. Investimento positivo. Portanto, C deve aumentar menos de ZF(K,1). É possível que C desça? Sim, se s for alto suficiente. Por quê? Uniformização: para cima. Inclinação: para baixo.? Por que transitório? C sobe menos. Portanto, menos investimento, mas por menos tempo. Resumindo: choques positivos para a tecnologia. Aumento do investimento. Consumo: provavelmente, mas não necessariamente. Até agora, consegue se encaixar nos fatos básicos. E os outros choques? Vamos supor uma alteração no fator de desconto. ß desce: como o futuro, menos (problemas mais profundos de incerteza na taxa de desconto). O que ele faria? Iria inclinar o caminho de consumo em direção ao consumo corrente. Assim, o consumo atual aumentaria. Mas, como a produção não foi alterada, o investimento diminuiria. Claramente robusto. Não são boas notícias para choques de gostos nesta classe de modelos. 4 O efeito dos choques. Resolvendo o modelo realmente A resolução do modelo é difícil. São várias abordagens.? Ignore a incerteza, vá para o tempo contínuo e use um diagrama de fases.

6 º Trimestre de ? Log-linearize e obtenha uma solução explícita (numérica ou analiticamente).? Ajuste-o como um problema de programação dinâmica estocástico e solucione-o numericamente.? Encontre casos especiais que são solucionados explicitamente. 4.1 Tempo contínuo, ignorando a incerteza Prepare o modelo em tempo contínuo. BF, Capítulo 2. É difícil de lidar com a incerteza, portanto presuma que as pessoas agem como se tivessem certeza. Depois é possível usar um diagrama de fases para caracterizar os efeitos dinâmicos dos choques. Muitas vezes é útil. Assuma que está sujeito a; Depois CPO de Keynes-Ramsey: É possível representar esse sistema diferencial em um diagrama de fases. Caso isso seja feito, depois para mostrar a solução é um ponto sela. Dado K, determine o valor de C. Nesse sistema, mostre o efeito de um aumento permanente (inesperado) em Z. Mostrar se C sobe ou desce é ambíguo e depende de s.

7 º Trimestre de Log-linearização Olhe o sistema composto pela CPO e pela equação de acumulação. Pense nisso como um sistema de diferença não linear: Consumo C t depende de K t+1 e C t+1. Capital K t+1 depende de K t e C t. O aspecto não linear torna a solução difícil. Se for linearizado, ou log-linearizado, então tudo será muito mais fácil (é possível intervir na expectativa e na soma). Por que log-linearizar e não apenas linearizar? Pela mesma razão que as elasticidades são cada vez mais úteis que as derivadas (veja Campbell para uma derivação detalhada). Assim, a log-linearização ao redor do estado estacionário fornece: onde as letras pequenas denotam desvios proporcionais do estado estacionário. (Como derivar essas relações? Diferencie totalmente cada equação. Em seguida, multiplique e divida as derivadas para obter as elasticidades. Por exemplo, pegue a equação de Euler: Divida os dois lados por U 1 e use ßR = 1 para obter

8 º Trimestre de e use 1/s = U"C/U' para obter a expressão acima). Depois, ao substituirmos Er t+1 pela segunda expressão e substituir k t+1 por seu valor a partir da terceira expressão, obteremos um sistema linear em c t, c t+1, k t+1, k t e z t. Esse sistema de diferença pode ser solucionado de várias maneiras. Coeficientes indeterminados. Se você tiver que supor: 1 linear em Ou solucionar explicitamente, usando a álgebra da matriz: BK, ou algum dos métodos de BF (veja a apostila e o programa Matlab escrito por Thomas Philippon (RBC.m)). Assuma também que estamos tentando assumir um processo para z t. Por exemplo: Então, todas as expectativas do futuro dependem apenas de z t. Assim, o consumo é determinado por: 1 linear em Regra de consumo: O consumo depende de k t e z t. Isso nos leva à programação dinâmica estocástica. 4.3 Programação dinâmica estocástica Se estivermos dispostos a assumir um processo específico para z t, podemos então usar SDP. Vamos supor, por exemplo, que Z t siga um processo de Markov. De modo que tudo que precisamos saber para prever os valores futuros de Z é Z t. Então o valor do programa depende apenas de K t e Z t. (Por quê?)

9 º Trimestre de Então, escreva isso como V (K t, Z t ): sujeito a: O insight do SDP é que podemos reescrever esse problema de horizonte infinito como um problema de dois períodos: sujeito a Se conhecêssemos a forma da função de valor, isso seria então bastante direto. Obteríamos a regra: Obviamente nós não conhecemos a função de valor. Mas isso é fácil de ser derivado numericamente:? Comece com qualquer função V (.,.), chame de V 0 (.,.).? Use-a como a função do lado direito. Solucione para C 0 (.,.).? Solucione para o V 1 (.,.) implicado do lado esquerdo.? Use V 1 (.,.) do lado direito, derive C 1 (.,.) e reitere. Em condições gerais, isso convergirá para a função de valor e a regra de consumo ideal. Vários problemas numéricos. É necessária uma grade para K, Z. Mas conceitualmente direto (sobre isso, leia Ljungqvist e Sargent, Capítulos 2 e 3).

10 º Trimestre de Se fizer isso (veja o exercício de Matlab DP.m escrito por Thomas), depois será possível derivar a superfície de consumo como uma função de K, Z. Pode-se ver como C se move com Z para os valores diferentes de s e verificar nossa intuição do diagrama de fases. 4.4 Casos especiais Finalmente, é possível descobrir casos especiais que têm uma solução implícita. Para esse modelo, um caso especial bastante conhecido e examinado é (veja BF, Capítulo 7, ou LS, Capítulo 2): (Depreciação completa) A última suposição é claramente a menos palatável. Sob essas suposições (não precisamos especificar o processo para Z t ): Um choque positivo afeta o investimento e o consumo da mesma maneira. Ambos aumentam em proporção ao choque. Um atalho ainda mais drástico é simplesmente desistir da estrutura de horizonte infinito e pensar como um problema de otimização de dois períodos. Muitas vezes esse é um passo bastante útil e proporciona boa parte da intuição.

11 º Trimestre de A economia descentralizada Até o momento, analisamos um problema de planejamento central. Mas, dadas as suposições, há um equilíbrio competitivo que o replica. É útil olhar para a economia descentralizada, com vários consumidores/trabalhadores idênticos. Há muitas firmas idênticas. Há várias maneiras de descrever a poupança. As firmas podem comprar e manter o capital, ou alugá-lo dos consumidores. Eles podem financiar a si próprios por débito, ou patrimônio, e assim por diante. Aqui, assumimos que todo o capital é mantido pelos consumidores, que o aluga para as firmas. Os mercados de bens, trabalho e serviços do capital são competitivos. As firmas alugam trabalho e serviços do capital no mercado de trabalho e capital. Consumidores? Cada um tem as mesmas preferências acima.? Cada um fornece uma unidade de trabalho inelasticamente em um mercado de trabalho competitivo, com o salário W t.? Cada um pode economizar ao acumular capital. O capital é alugado para firmas todos os períodos em um mercado competitivo para serviços de aluguel, na taxa líquida de aluguel (taxa de aluguel líquida de depreciação) r t,? Cada um possui uma parcela igual de todas as firmas na poupança. Entretanto, como a firma opera com retornos constantes, os lucros são zero, portanto podemos ignorar isso.? A restrição orçamentária dos consumidores é, portanto, dada por:? Portanto a condição de primeira ordem é:

12 º Trimestre de Firmas? As firmas têm a mesma tecnologia acima, ou seja, Z t F (K t, N t ).? Elas alugam trabalho e capital. O lucro é, portanto, dado por O último termo em parênteses é a taxa de aluguel bruta.? Elas maximizam o valor presente dos lucros, descontado da taxa de juros. Portanto:? A maximização do lucro implica: Finalmente, o equilíbrio do mercado de trabalho implica Agora, é importante mostrar que o equilíbrio é o mesmo que no problema de planejamento central:

13 º Trimestre de Usando a relação entre taxa de aluguel e produto marginal de capital e substituindo nas condições de primeira ordem: temos: Usando as expressões para o salário e a taxa de aluguel na restrição orçamentária dos consumidores, Ou O que aprendemos disso? Dê uma interpretação diferente. Pense nos consumidores depois de um choque positivo a Z t. Eles prevêem salários mais altos, mas também taxas de juros mais altas. O que eles fazem? Sabemos que não podemos tipicamente resolver o consumo (não podíamos antes, não podemos agora). Mas, novamente, podemos "colar" de casos anteriores ou considerarmos casos especiais. Por exemplo: ignore a incerteza, assuma um log e mostre (nas linhas de BF, p50) que: onde Assim, os consumidores analisam a riqueza humana, o valor presente dos salários, e não a riqueza humana, capital. Eles então consomem uma fração constante dessa riqueza total. Tudo que eles não consumirem, eles economizam.

14 º Trimestre de Agora pense novamente sobre os efeitos de um choque tecnológico. Quais são os efeitos no trabalho?