PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR)

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1 PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR) Nei Carlos dos Santos Rocha IM / UFRJ rocha@lncc.br Alba Regina Moretti DEMAT / UFRRJ moretti@ufrrj.br Luiz Henrique da Costa Araújo IME - lharaujo@de9.ime.eb.br Carla Silva Oliveira ENCE - carlasilva@ibge.gov.br Resumo Neste trabalho, modelamos o problema de deslocamento de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal via teoria de otimização linear. Como as especificações de vagões e viaturas são condicionantes nos tipos de configurações possíveis para o transporte, construímos, numa primeira instância, um algoritmo para a determinação das configurações viáveis, de maneira a estabelecer as equações matemáticas responsáveis pela restrição de material a ser transportado e de números de vagões disponíveis. Palavras chave: programação linear, modelagem e otimização. Abstract In this paper, we model the problem of displacement of military vehicles through the Federal Railway via linear optimization theory. Since the specifications of wagons and vehicles are constraints of the viable configuration type for transportation, we build firstly an algorithm to determine the feasible configurations, in order to establish the mathematical equations responsible for the restriction on the material to be transported and the numbers of the available wagons. Key words: linear programming, modeling and optimization.. Introdução Anualmente o Eército Brasileiro realiza eercícios de adestramento para suas Unidades Operacionais. Esse planejamento é realizado de forma a adaptar as várias Unidades aos diversos tipos de terrenos e climas encontrados em nosso país. Assim, pode ser necessário o deslocamento de uma grande quantidade de material a grandes distâncias. Apesar de dispor de recursos próprios para esse deslocamento, essa opção não é favorável devido ao alto custo em termos de combustível e manutenção (as viaturas empregadas por essas unidades não são novas, e possuem tempo pequeno entre falhas). Uma opção relativamente barata é o transporte ferroviário até a cidade mais próima do destino e, a partir desse ponto, realizar o deslocamento rodoviário em comboio.

2 Neste trabalho, modelamos o problema de deslocamento de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal via teoria de otimização linear. Como as especificações de vagões e viaturas são condicionantes nos tipos de configurações possíveis para o transporte, construímos, numa primeira instância, um algoritmo para a determinação das configurações viáveis, de maneira a estabelecer as equações matemáticas responsáveis pela restrição de material a ser transportado e de números de vagões disponíveis. Para um estudo detalhado da teoria de otimização linear citamos [V97], [NS96] e [IC94]. O problema que será apresentado nesse trabalho está descaracterizado, posto que as unidades e os trechos ferroviários são fictícios. Porém os dados relativos à disponibilidade de tipos de vagões e viaturas são muito próimos aos valores reais.. Definição do Problema Para fins de treinamento, será realizada uma Manobra Militar em um Campo de Instrução no Estado do Rio Grande do Sul, dentre as várias Unidades participantes; em especial, três Unidades estão aquarteladas no interior do Estado de São Paulo. Cada unidade possui uma dotação em termos de viaturas e material a ser transportado, e esse material deve ser transportado como um todo para a região onde a manobra irá ser realizada. O grafo da figura representa de forma esquemática o trajeto do deslocamento. Campinas 0º BI Taubaté 48º RCMec Lins 00º BI SP C.I. S. Maria - RS Figura A RFFSA disponibilizou um catálogo com as características dos diversos tipos de vagões eistentes, e informou que, nesses trechos, as opções disponíveis de vagões são os da tabela. Tipo de Vagão Comprimento Útil Largura Útil Altura Útil Carga Útil PES 8, m 2,9 m - 72, Ton PAR 25, m 2,4 m,5 m 45 Ton PGS 25,9 m 2,6 m - 7 Ton Tabela A tarifação desse transporte será realizada pelo peso total a ser transportado e pela quantidade de vagões a ser utilizada. Uma restrição imposta é a de que o tempo de carga e descarga do material seja mínimo. Ora, após uma análise do problema, chegou-se à conclusão de que essa restrição é equivalente ao de minimizar o número de vagões, uma vez que parte do tempo necessário para o embarque e desembarque corresponde à manobra da composição para o posicionamento do vagão junto à rampa de carga e descarga. Outro aspecto concernente às restrições diz respeito à limitação de custos referentes à operacionalidade do processo. Embora qualquer que fosse o ótimo, recursos financeiros estariam disponibilizados para a eecução do objetivo, resolvemos no presente problema incluir esta possível limitação financeira, como uma restrição do tipo, a fim de modelar o caso mais geral possível. 896

3 2. Modelagem do Problema Uma abordagem para a solução desse problema seria a de determinar as várias configurações possíveis de viaturas em vagões, segundo a estrutura de um problema de corte, em seguida satisfazer às restrições relativas ao material a ser transportado, à quantidade de vagões disponíveis e ao custo máimo da operação. Uma vez que o número de configurações possíveis é grande, construímos inicialmente um algoritmo capaz de determinar as combinações viáveis para o embarque de viaturas. 2. Algoritmo para determinação das configurações viáveis Dadas as características de um vagão [RFFSA79], o algoritmo irá posicionar as viaturas [ME8] de forma a cobrir todas as configurações viáveis. As configurações viáveis são, então, obtidas levando-se em conta quatro dimensões básicas: comprimento, largura, altura e peso das viaturas de forma que estas atendam às especificações de cada tipo de vagão. As várias configurações de viaturas embarcadas podem ser representadas por subfamílias da família de viaturas a serem transportadas. O princípio de funcionamento do algoritmo é a construção de permutações de objetos com repetição. Porém, nem todas as permutações são válidas devido às características das viaturas e às limitações dos vagões. (Omitiremos o algoritmo neste artigo, embora os interessados possam obtê-lo através dos autores.) A título de eemplo, suponha que desejamos transportar as viaturas das Classes URUTU, REO 2 ½ e JEEP no vagão PES, segundo as características dadas pela tabela 2 abaio. Características das Viaturas Viatura Largura Comprimento Peso Altura URUTU 2,6 m 6,2 m Ton 2,8 m REO 2 ½ 2, m 6,2 m 9 Ton 2,7 m JEEP,5 m,7 m,6 Ton,9 m Tabela 2 As possíveis configurações dadas pelo algoritmo são: PES levando URUTU URUTU Jeep; PES levando URUTU REO Jeep; PES levando URUTU Jeep Jeep Jeep; PES levando REO REO Jeep; PES levando REO Jeep Jeep Jeep; PES levando Jeep Jeep Jeep Jeep. A determinação dessas configurações nos permitirá estabelecer equações nas restrições do PPL, como veremos na seção seguinte. 2.2 Construção do PPL Uma vez definidas as várias configurações de embarque, através do algoritmo de determinação de configurações, é possível estabelecer as equações matemáticas responsáveis pelas restrições de material a ser transportado e de número de vagões disponíveis. Nosso problema é então caracterizado matematicamente segundo a estrutura de um problema de programação linear de corte, onde as variáveis de decisão são dadas por (quantidade de vagões do tipo, da unidade j,usados segundo a configuração i). Para cada unidade a ser transportada, devemos fazer com que o total de material levado em todas as configurações viáveis seja maior ou igual ao total a ser transportado. Além disso, devemos ter em mente a restrição referente à limitação de vagões disponíveis da RFFSA. Seja então v l a quantidade de viaturas do tipo l transportadas na configuração i da unidade j com vagão do tipo, obtida pelo algoritmo das alocações viáveis; t jl a quantidade de viaturas do tipo l a ser transportada da unidade j; q a quantidade de vagões disponíveis da RFFSA do tipo ; e n j a quantidade de configurações possíveis da unidade j no vagão. 897

4 (i) Função Objetivo Nosso objetivo é minimizar a quantidade de vagões utilizados, o que equivale a dizer que desejamos minimizar a quantidade total de configurações, isto é, min n j = j= i= (ii) Restrições (a) Quanto à quantidade de material a ser transportado, temos n j = i= v l A título de eemplo, com os dados anteriores, transportando 22 viaturas do tipo URUTU na unidade 0BI ( = ), temos - PES levando URUTU URUTU Jeep 2 - PES levando URUTU REO Jeep - PES levando URUTU Jeep Jeep Jeep e cuja restrição associada é (b) Quanto à quantidade de vagões disponíveis da RFFSA, temos t jl j, l n j j = i= q (c) Definindo c o custo unitário referente ao uso do vagão do tipo e C o custo financeiro n j máimo disponível, e tendo em mente que representa a quantidade total de vagões do tipo j= i=, a restrição quanto ao custo total da operação é dada por n j c C. = j= i= Sujeito a: De forma compacta o problema é então apresentado da seguinte forma: j j = i= j = i= = n n v c j 0 l q t n j C, i i, j,. = = jl, j, l,,, min j = j= i= Em aneo encontram-se as tabelas referentes aos coeficientes v l, t jl e q que compõem o nosso modelo. 898 n

5 . Questão da Pós-Otimização Cabe ressaltar que, em se tratando de um problema com uma magnitude considerável de variáveis de decisão como é o nosso problema, a análise de sensibilidade é não apenas relevante (devido à dinamicidade dos elementos fundamentais que compõe o nosso modelo; por eemplo, os coeficientes v l, t jl, q e C, bem como algumas variáveis de decisão podem ser alteradas, o que tornaria o nosso problema mais próimo das mudanças potenciais reais), mas também é etremamente justificável do ponto de vista econômico, visto que o aproveitamento de uma solução ótima já previamente calculada evitaria um esforço computacional considerável se tivéssemos que reotimizá-lo do princípio. Reconhecendo, embora, a grande importância deste fato, nenhuma análise de sensibilidade foi conduzida, uma vez que não dispúnhamos de recurso computacional de grande porte para viabilizar o tratamento desta grande massa de dados. 4. Conclusão Ao longo do processo de entendimento do nosso objeto de estudo, pudemos nos defrontar não apenas com as múltiplas vertentes a que um problema real pode nos conduzir, mas sobretudo com a constante revisão de nossos conceitos e estruturas matemáticas utilizadas na sua caracterização, até a sua forma final que aqui se encontra. Finalmente, embora tenhamos considerado apenas três unidades operacionais (j =,2,) e três tipos de viatura ( =,2,), a etensão para o caso geral é natural (j =,2,...,p e =,2,...,q). 5. Aneos Coeficientes t jl Cada Unidade Militar a ser transportada possui uma dotação em termos de equipamento a ser transportado, conforme as tabelas abaio. 00º BI (j = ) Viatura Comprimento Largura Altura Peso Quantidade (t jl ) URUTU (EE-) 6, m 2,6 m 2,8 m Ton 6 Jeep M8,5 m,5 m,4 m,5 Ton 2 REO M5 7, m 2,5 m 2,9 m 8, Ton 2 REO M5 + Reb m 2,5 m 2,9m 9, Ton 6 Ambulância 4M 5,6 m,9 m 2, m 2, Ton 2 0º BI (j = 2) Viatura Comprimento Largura Altura Peso Quantidade (t jl ) Meia Lagarta 6,5 m 2, m 2,7 m 9,4 Ton 8 URUTU 6, m 2,6 m 2,8 m Ton 4 REO M602 6,7 m 2,5 m 2,9 m 8, Ton 9 REO + Reboque m 2,5 m 2,9 m 9, Ton 6 0º BI (j = 2) Viatura Comprimento Largura Altura Peso Quantidade (t jl ) Cisterna 6,7 m 2,4 m 2, m 8 Ton 2 Guiondaste QW 9 m 2,5 m,6 m 22 Ton Socorro M62 9m 2,5 m 2,8 m 6 Ton 2 899

6 48º RCMec (j = ) Viatura Comprimento Largura Altura Peso Quantidade (t jl ) Cascavel 5,4 m 2,6 m,2 m 2 Ton 6 XA2 6,5 m 2,6 m 2,5 m 20 Ton 8 M 4 7,2 m,2 m *, m 24 Ton 8 REO M5 + REB m 2,5 m 2,9 m 9, Ton 0 Carro Oficina 7, m 2,7 m,2 m 9, Ton 4 * Segundo a RFFSA o ecesso lateral não prejudica o transporte, quando realizado em vagão PES. Coeficientes q Tipos de vagões Quantidades disponíveis PES 60 PAR 0 PGS 0 Coeficientes v l Unidade 00BI ( j = e = 2) Config. ( I) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP Unidade 00BI ( j = e = ) Config. ( i) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP

7 Unidade 0BI ( j = 2 e = ) Config. ( i) REO+REB GUINDASTE QW SOCORRO M62 REO M602 MEIA LAGARTA Unidade 48RC MEC ( j = e = ) Config. ( i) REO+REB M4 XA CASCAVEL CARRO OFICINA Unidade 00BI ( j = e = ) Config. ( i) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP

8 Config. ( i) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP Unidade 0BI ( j = 2 e = ) Config. ( I) REO+REB GUINDASTE QW SOCORRO M62 REO M602 MEIA LAGARTA

9 (continuação) Config. ( I) REO+REB GUINDASTE QW SOCORRO M62 REO M602 MEIA LAGARTA Unidade 48RC MEC ( j = e = ) Config. ( i) REO+REB M4 XA CASCAVEL CARRO OFICINA Bibliografia () Rede Ferroviária Federal S.A. (979). Catálogo de Vagões. Rio de Janeiro -RJ. (2) Ministério do Eército (98). Características Gerais das Viaturas Automóveis do Eército. 2ª edição, Brasília DF. () Vanderbei, R.J. (997). Linear Programming Foundations and Etensions. International Series In Operations Research And Management Science. 2ª ed., 7. (4) Nash, S. G. & Sofer, A. (996). Linear and Nonlinear Programming. McGraw-Hill. (5) Ignizio, J. P. & Cavalier, T. M. (994). Linear Programming. Prentice Hall International Series in Industrial and Systems Engineering, 666pp. 90