Cursinho Triu. Aula 4 - Vetores e Lançamento Oblíquo. 1 o semestre de Pedro Simoni Pasquini

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1 Cursinho Triu 1 o semestre de 2014 Aula 4 - Vetores e Lançamento Oblíquo Pedro Simoni Pasquini pasquini@i.unicamp.br

2 1 Vetores Em uma segunda-feira ensolarada, 16 de outubro de 1843, Sir. William Hamilton andava pela ponte de Brougham na Irlanda, pensando na vida, no universo e tudo mais, quando num ápice de criatividade, concebeu a ideia (Após passar mais de 7 anos tentanto!!) dos vetores. Para não esquecer, puxou uma faca que levava, e escreveu, num ato de vandalismo matemático, a equação fundamental na ponte. A ideia é tão importante, que hoje em dia ainda há uma placa lá registrando o acontecimento. A importância do vetores surge pois eles servem para ajudar! Eles são objetos matemáticos que contém várias informações: Informações de localização de objetos em mais de uma dimensão. Como descrever o movimento em mais de uma dimensão? 1. Precisamos de uma origem! 2. Precisamos de algum eixo que simbolize as direções! (Em duas dimensões, dois eixos!) - Eixos x e y, por exemplo. 3. Precisamos de alguma medida unitária de dimensão! (cm, metro, etc...) Com isso podemos dizer como foi o movimento de um objeto! Duvida? Eu posso dizer que, a partir da origem, certo alguém andou, primeiro, 2 metros para a direita, e 1 metro para cima! y r = (2, 1). O x Figura 1: Figura do movimento de um objeto descrito de diversas formas. Outra maneira de descrever é utilizando echas, como vemos na gura(1). Ou através de pares ordenados, que nada mais são do que dois números para onde o movimento é realizado: 2 para a direita e 1 para cima: (2, 1).

3 como vetores não são números, denotamos um vetor por uma letra e uma echa: r é o vetor posição. No nosso exemplo, r = (2, 1). Exercício Desenhe os seguintes vetores em forma de echa em um plano: r 1 = (1, 1), r 2 = (1, 3) e r 3 = (1, 2). Vamos supor Que uma pessoa começou na origem e andou um metro para a direita e um metro para cima: Ou seja, terminou no vetor r 1 = (1, 1) do nosso exercício. Daquele ponto, ele andou 1 metro para a direita e 3 metro para baixo: Ou seja, nosso vetor r 2 = (1, 3) do exercício. Qual é a posição nal da pessoa? y r 1 O r 2 x Figura 2: Figura do movimento de um objeto. A gura(2) mostra o caminho do objeto. Vemos que os vetores podem mover-se livremente, não precisando carem presos na origem. Não só isso, vemos que, para somar geométricamente os vetores, basta unir o m de um vetor com o começo do outro. A soma é o traço entre o m e o começo! Colocando os valores numéricos, vemos que uma soma de vetores nada mais é do que: r 1 + r 2 = (1, 1) + (1, 3) = (1 + 1, 1 3) = (2, 2). (1) basta somar as componentes como normalmente! Exercício Faça a soma dos seguintes vetores: (a) r 1 = (1, 1), r 2 = (1, 3) e r 3 = (1, 2). (b) r 1 = (4, 2), r 2 = ( 3, 1) Se isso acontece, a subtração é a mesma coisa: subitrair cada componente! Ou seja, geométricamente, um -vetor é o mesmo que inverter o m com o começo, como na gura3. 3

4 vetor -vetor Figura 3: Diferença entre um vetor e menos ele mesmo Ou seja, se a posição inicial de um objeto é s 0 e a nal é s f, então a velocidade média é, v = s f s 0 t f t 0 E o mesmo para a aceleração! a = v f v 0 t f t 0 == s t = v t Como fazer a divisão de um número t por um vetor? Simples! Basta dividir cada componente!vamos supor que v = (1, 2)m/s. E a variação se dá em 2s. Então, (1, 2) a = = ( 1 2 2, 1)m/s2. (4) 2 Movimento Obliquo 2.1 Princípio de Galileu e Equações de Movimento Por que os vetores são interessantes? Pois podemos ter vários tipos de combinações de movimentos! O princípio de Galileu nos diz que os movimentos na direção x e na direção y são independentes entre si! Isso quer dizer que, Se não há aceleração na direção x, mas há na direção y, então no nosso problema existirão dois tipos de movimentos: Na direção x: MRU. Equação s x = s 0x + v 0x t Na direção y: MRUV. Equação s y = s 0y + v 0y t + ay 2 t2 Ou seja, agora temos vários parâmetros no nosso problema: s = (s x, s y ), v 0 = (v 0x, v 0y ) e t. (2) (3) 3 Brincando de Física O que Angry Birds, Guerra Fria e Basquete têm em comum? Todos eles possuem o movimento oblíquo! 4

5 O movimento oblíquo é o movimento que um objeto faz quando jogamos ele. Vamos fazer um experimento. Materiais: Lousa; Relógio; Elástico; Bolinha de papel; giz; Ajudantes. Use o elástico para atirar a bolinha de papel a um ângulo de 45 com o solo. Observe o movimento da bolinha. Qual é o formato? Quais forças atuam no sistema? O que poderemos medir? Podemos medir: Distância horizontal nal. Tempo de trajeto. ângulo da velocidade. Quem acha que o tempo de queda da altura máxima é igual a metade do tempo total? Vamos fazer o teste? Com isso, como calcular a altura máxima? E a velocidade inicial? 0 = h max + 0.( t tot 2 ) g 2 (t tot 2 )2 (5) s x = 0 + v 0x t tot (6) Mas, por semelhança de triângulo (cos(45 0 ) = 2 2 = 0.71), v 0x = v. cos(45) (7) 5