UM ALGORITMO DE BUSCA TABU PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO DE P-MEDIANAS

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1 UM ALGORITMO DE BUSCA TABU PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO DE P-MEDIANAS Natanael Magno Gomes (UNESP) Edson Luiz França Senne (UNESP) Este trabalho descreve um algoritmo de Busca Tabu para a solução de problemas não-capacitados de localização de p-medianas. O problema de p-medianas é um problema clássico de localização, presente em diversas situações práticas. O problema consiste em determinar os locais de p centros (medianas) em uma rede de n vértices, de modo a minimizar a soma das distâncias dos (n - p) clientes às p medianas. No caso particular do problema não-capacitado de p-medianas não existe limitação quanto à capacidade de uma mediana em atender à demanda de seus clientes. O algoritmo implementado encontra-se integrado a uma plataforma computacional para solução de problemas logísticos. O trabalho apresenta resultados computacionais que demonstram a efetividade do algoritmo implementado para a solução de problemasteste disponíveis na literatura. Palavras-chaves: Busca Tabu, Meta-Heuristica, Problemas de Localização, Problema de p-medianas

2 1. Introdução O problema de localização de p-medianas é um problema clássico de Otimização Combinatória. Exemplos de aplicações deste problema ocorrem na localização de escolas, postos de saúde, centrais de ambulâncias, viaturas de polícia, pontos de ônibus, fábricas, depósitos, torres de transmissão, lojas de franquias, dentre muitos outros. O problema de p-medianas pertence à classe de problemas NP-difíceis. A solução exata de problemas da classe NP-difícil exige algoritmos enumerativos. A solução de grandes exemplares de tais problemas por um algoritmo enumerativo pode requerer um tempo computacional excessivo, tornando impraticável a aplicação de métodos exatos. A necessidade de se obter boas soluções em curto período de tempo tem levado às técnicas heurísticas e meta-heurísticas. A Busca Tabu (GLOVER, 1989a, 1989b; GLOVER e LAGUNA, 1997) é uma meta-heurística que consiste em explorar o espaço de soluções de um problema combinatório utilizando um mecanismo de memória adaptativa. Durante o processo de busca, dependendo do conteúdo da memória adaptativa, determinados movimentos são definidos como proibidos (ou tabus). Esses movimentos tabus forçam a busca a passar por regiões do espaço de soluções ainda inexploradas, orientando a busca em direção à solução ótima do problema. Portanto, na Busca Tabu (BT), a utilização de memória adptativa permite a implementação de procedimentos capazes de explorar o espaço de soluções de forma econômica e efetiva, realizando escolhas locais guiadas pela informação coletada durante o próprio processo de busca. Assim, pode-se dizer que a BT faz proibições de forma a fugir dos riscos de um caminho não recomendável para a busca que está sendo feita. O mecanismo de memória adaptativa é usado para armazenar os passos já realizados, de forma a impedir que a busca retorne a locais recém visitados. Na BT, isto é feito definindo-se os movimentos tabus, porém permitindo que um movimento tabu em um dado momento da busca não o seja em um outro momento, dependendo do conteúdo da memória adaptativa num determinado ponto da busca. Na BT, os movimentos recém realizados são definidos como tabus e mantidos nesse status por um dado número de iterações. Depois de um determinado número de iterações, um movimento deixa de ser tabu e pode ser realizado novamente, caso a busca seja guiada para isso. A forma de controlar os movimentos tabus é criar uma Lista Tabu com o número da iteração em que o movimento foi feito. O algoritmo de BT, no entanto, permite que um movimento tabu seja realizado se, com este movimento, encontra-se uma solução melhor do que a melhor solução já visitada. A forma de realizar a busca é visitar as possíveis soluções e analisar suas vizinhanças, de modo a encontrar a melhor solução, realizando trocas desde que isso não corresponda a um movimento tabu. Assim, a BT consegue explorar o espaço de soluções evitando os mínimos locais e buscando regiões ainda não visitadas. A Busca Tabu vem sendo utilizada para solução de vários problemas de localização. Al- Sultan e Al-Fawzan (1999) abordam o problema não capacitado de localização de instalações. O algoritmo apresentado consiste em uma BT simples, mas os resultados computacionais mostram que o algoritmo proposto é efetivo ao encontrar a solução ótima de todos os problemas-teste utilizados, sendo muito eficiente quando comparado com outros algoritmos existentes na literatura. Michel e Van Hentenryck (2004) desenvolveram um algoritmo simples e rápido para o problema não-capacitado de localização de armazéns. Mostrou-se 2

3 nesse trabalho que a BT tem uma vantagem sobre outras meta-heurísticas, como algoritmos genéticos. Mladenovic et al. (2003) discutem a aplicação da busca tabu ao problema de p- centros. Este problema objetiva localizar p nós (centros) em uma rede, de tal forma a minimizar a distância máxima de qualquer nó da rede a um centro. Problemas de p-centros são muito usados no caso de localização de pronto-socorros e bombeiros, onde existe a necessidade do centro ser acessível a todos da forma mais rápida possível. O trabalho apresenta dois algoritmos de BT e um algoritmo de busca com vizinhança variável (variable neighborhood search) para a solução do problema de p-centros em redes em que as distâncias, não necessariamente, atendem à desigualdade triangular. Carello et al. (2004) discutem a aplicação de BT na solução de problemas de localização de concentradores (hubs) que surgem em projetos de redes de telecomunicação. Estas redes apresentam, em geral, dois tipos de nós: nós de acesso e nós de trânsito. Os nós de acesso representam os pontos de fonte e destino da demanda de fluxo, mas não podem ser conectados diretamente. Os nós de trânsito não possuem demanda própria mas recolhem a demanda dos nós de acesso e a direcionam pela rede. Dados um conjunto de nós de acesso e um conjunto de potenciais localizações para os nós de trânsito (que, supostamente, são totalmente conectados), o problema é decidir o número e a localização dos nós de trânsito de forma a garantir que todos os nós de acesso sejam alocados a um nó de trânsito, satisfazendo as restrições de capacidade. O objetivo é minimizar o custo total da rede, dado pela soma dos custos de conexão e de custos fixos. O trabalho apresenta três meta-heurísticas: BT, busca com várias soluções iniciais aleatórias e busca local iterativa. O trabalho conclui que, dentre os algoritmos apresentados, o de BT é o mais promissor. Neste trabalho discute-se a implementação de um algoritmo de Busca Tabu, com base no trabalho de Rolland et al. (1996), para o problema não-capacitado de localização de p- medianas. O trabalho está organizado da forma descrita a seguir. Na seção 2, apresenta-se uma formulação do problema e o algoritmo proposto. Na seção 3 são mostrados os resultados computacionais obtidos. Na seção 4 estão reunidas as conclusões do trabalho e indicadas algumas direções que se pretende explorar em trabalhos futuros. 2. Algoritmo de Busca Tabu para Problemas de p-medianas No problema de p-medianas existe um conjunto de instalações candidatas a medianas e um conjunto de clientes a serem atendidos. A solução ótima do problema é aquela onde p instalações atendem a todos os clientes de forma que a soma das distâncias de um cliente a sua mediana seja a menor possível. O problema pode ser definido em um grafo onde o conjunto de vértices correspondem às instalações candidatas a medianas e aos clientes, e os arcos correspondem à distância entre os vértices. Neste caso, se V é o conjunto de vértices, a solução do problema consiste em encontrar um subconjunto S V de tamanho p, tal que a soma das distâncias entre os elementos do subconjunto S aos elementos do conjunto V \ S seja a menor possível. Neste caso, considera-se instalações candidatas a medianas e clientes em um mesmo conjunto, embora possa haver situações em que o conjunto de medianas e o conjunto de clientes devam ser diferentes. O problema pode ser formulado matematicamente como: Min a idij xij (1) i j 3

4 sujeito a: onde: xij = 1, i (2) j x, i, j (3) ij y j y j = p (4) j x ij, y j {0,1} i, j (5) a i = demanda do vértice i. d ij = distância do vértice i ao vértice j. p = número de instalações definidas como medianas x ij = 1, 0, se o vérticei for designado para a instalação j. caso contrário. y j = 1, se o vértice j for uma instalação utilizada como mediana. 0, caso contrário. A função-objetivo (1) minimiza a soma das distâncias considerando as demandas. A restrição (2) faz com que um cliente seja designado a apenas uma mediana. A restrição (3) coíbe a designação de um cliente a uma instalação não definida como mediana. A restrição (4) limita o número de instalações definidas como medianas (p). Em (5) garante-se que as variáveis de decisão do modelo são binárias. Uma forma de obter soluções para o problema de p-medianas é representar soluções como dois conjuntos diferentes, um que contém as instalações definidas como medianas (S) e outro que contém as demais instalações (T = V \ S). Assim, pode-se executar movimentos entre esses conjuntos. Basicamente, esses movimentos consistem em adicionar uma instalação ao conjunto S (movimento ADD) e retirar uma instalação de S (movimento DROP). Se o número de instalações em S não for p a solução não é uma solução viável. Define-se um movimento SWAP como a troca de um par de instalações entre os conjuntos S e T (uma combinação dos movimetos ADD e DROP). Este movimento é a forma básica de busca de soluções para este problema. As heurísticas de troca são um exemplo de busca de solução através do movimento SWAP. Heurísticas de troca consistem em fazer trocas sucessivas sempre buscando a melhor solução. Quando não existir uma solução melhor que a anterior a busca pára. Este tipo de busca não garante encontrar a melhor solução global, mas permite encontrar a melhor solução local. A heurística GRIA (Global/Regional Interchange Algorithm), proposta por Densham e Rushton (1992) utiliza uma combinação dos movimentos ADD, DROP e SWAP para tentar reduzir o tempo computacional de heurísticas de troca. A estratégia utilizada é separar a heurística em duas fases: uma global e uma regional. Na fase global são realizados movimentos de DROP e ADD buscando a melhor solução. Estes movimentos são mais simples de serem realizados e por isso consomem pouco tempo computacional. Estes movimentos são realizados até que não 4

5 seja possível encontrar melhorias. Segue-se então para a fase regional onde são realizadas buscas locais, separadamente. Basicamente, a fase regional divide o problema de p-medianas em p problemas de 1-mediana. Assim, a heurística GRIA realiza uma busca rápida de forma global e uma busca intensa de forma local. O algoritmo implementado realiza uma busca através de movimentos ADD e DROP. Os movimentos tabus são os movimentos ADD, para evitar que uma instalação seja adicionada muitas vezes ao conjunto de medianas. Uma vez visitada e avaliada uma possível solução, avaliam-se as soluções vizinhas. A memória para as restrições tabus é dividida em duas partes: a memória de curto prazo, para os movimentos tabus, e a memória de longo prazo, para contar a freqüência com que as soluções são visitadas. Estas estruturas de memória são a base para a estratégia de diversificação. A estratégia de diversificação consiste em penalizar as soluções visitadas com muita freqüência, aumentando de uma constante o tempo tabu para essas soluções. Além disso, como serão utilizados somente os movimentos ADD e DROP pode-se implementar uma estratégia de oscilação, onde a solução atual pode conter um número de centros diferente de p. Apresenta-se a seguir, o algoritmo de Busca Tabu implementado. Neste algoritmo, uma solução é definida pelo o valor da função objetivo e por dois vetores: o primeiro indica, para cada vértice da rede, se uma instalação foi definida como mediana ou não; o segundo contém, para cada vértice da rede, o índice da mediana à qual esta instalação foi designada. Sejam: Max_Iter = Número máximo de iterações para a busca. Iter_Atual = Número da iteração atual. S_Atual = Solução que está sendo analisada. S_Melhor = Melhor solução já visitada pela busca. Slack = Parâmetro de oscilação. Slpp = Contador para aumentar Slack. k = Parâmetro de diversificação. p = Número de medianas da solução viável. Tempo_Tabu = Número de iterações tabu. Tbpp= Contador para mudar Tempo_Tabu. v i = Instalação candidata. Add_Tempo( v i ) = Número da iteração em que a instalação candidata v i foi adicionada em S_Atual. Freq( v i ) = Número de vezes em que a instalação v i foi adicionada em S_Atual. Estabilidade = Número máximo de iterações possíveis sem melhoria na solução. Sem_Melhoria = Número de iterações sem melhoria na solução atual. ADD: Procedimento para encontrar uma instalação não tabu do conjunto T que quando adicionada ao conjunto S resulta na melhor solução possível, mover essa instalação para o conjunto S e redefinir S_Atual. 5

6 DROP: Procedimento para encontrar uma instalação do conjunto S que quando retirada resulta na melhor solução possível, mover essa instalação para o conjunto T (retirar de S) e redefinir S_Atual. MOVE: Procedimento para escolher o movimento a ser realizado da seguinte forma: Se ( S_Atual < p Slack OU S_Atual == 1) Então ADD; Senão: Algoritmo BT Inicialização: Passo 0: Se ( S_Atual > p + Slack ) Então DROP; Senão: Escolha aleatória entre ADD e DROP. Definir Max_Iter, Tempo_Tabu, Estabilidade e k; Iter_Atual = 0; Sem_Melhoria = 0; S_Melhor = ; Slack = 0; Add_Tempo( v i ) =, para todo v i ; Freq( v i ) = 0, para todo v i ; Gerar uma solução viável inicial através de um algoritmo construtivo que realiza p movimentos ADD; Passo 1: Enquanto ( Iter_Atual < Max_Iter ) fazer: Passo 2: Escolher o movimento a ser executado. Para o caso de ADD, verificar se este movimento é tabu. Um movimento é considerado tabu se: Tempo_Tabu + Freq( vi ) * k > Iter_Atual - Add_Tempo( vi ). Iter_Atual = Iter_Atual + 1; Se ( S_Atual == p && S_Atual < S_Melhor ) então: S_Melhor = S_Atual; Slack = 0; Slpp = 0; Sem_Melhoria = 0; Tempo_Tabu = número aleatório entre [1, p/2]; Tbpp = 0; 6

7 Passo 3: Passo 4: Passo 5: Salvar a configuração da melhor solução; Senão: Sem_Melhoria = Sem_Melhoria + 1; Slpp = Slpp + 1; Tbpp = Tbpp + 1; Fim_Se Se ( Slpp >= Estabilidade*5/2 ) então: Slack = Slack + 1; Slpp = 0; Fim_Se Se ( Tbpp >= Estabilidade*5/3 ) então: Tempo_Tabu = número aleatório entre [p/2, n/4]; Tbpp = 0; Fim_Se Se ( Sem_Melhoria == Estabilidade ) então: Iter_Atual = Max_Iter; Fim_Se Fim_Enquanto Passo 6: Aplicar uma heurística de troca para garantir que o ótimo local foi encontrado. Deve-se observar que: No passo 3, aumenta-se o parâmetro de oscilação caso não seja obtida alguma melhoria. No passo 4, muda-se o tempo tabu a fim de mudar a estratégia, uma vez que quando o tempo tabu é aumentado faz-se um processo de diversificação da busca e quando o tempo tabu é reduzido faz-se um processo de intensificação. No passo 6, aplica a heurística de troca descrita a seguir, para garantir que o ótimo local seja alcançado, uma vez que o algoritmo BT não utiliza o movimento SWAP. Esta heurística de troca, embora simples, tem um peso computacional grande, por usar o movimento SWAP. Por isso, é utilizada apenas no final da busca para refinar a solução encontrada. Heurística de Troca: Passo 1: 7

8 Passo 2: Usar S_Melhor como solução inicial. Identificar duas instalações, uma pertencente a S e outra pertencente a T que, quando trocadas, resultem na melhor solução possível. Efetuar a troca e definir a solução obtida como S_Atual. Passo 3: Se ( S_Atual < S_Melhor ) então: Senão: S_Melhor = S_Atual; Voltar ao Passo 2; Parar, o ótimo local foi encontrado. O algoritmo BT utiliza o parâmetro de oscilação (Slack), a mudança de Tempo_Tabu e o parâmetro Estabilidade para dar maior flexibilidade na busca, pois verificou-se que diminuindo o tempo tabu quando há melhoria na solução, intensifica-se a busca em uma região de possível melhora, e posteriormente, quando não há melhorias, pode-se aumentar novamente o tempo tabu. Além disso, verificou-se que o parâmetro Slack também é responsável pela intensificação das buscas na região onde há melhoria, porém este deve aumentar continuamente, até que nova melhoria seja obtida. 3. Resultados Computacionais O algoritmo implementado foi escrito na linguagem C e utilizado o compilador GCC (GNU C Compiler). Os testes foram realizados em um microcomputador com processador Intel Core 2 Duo, 3GHz, 2GB RAM. Para os testes computacionais foram utilizados 16 exemplares do problema considerados no trabalho de Galvão e ReVelle (1996) e 9 exemplares do problema disponíveis na OR-Library (BEASLEY, 1990), para os quais as soluções ótimas são conhecidas, além de 9 exemplares do problema pcb3038, obtido da biblioteca TSPLIB (REINELT, 1998), que correspondem a uma rede de 3038 vértices. No algoritmo BT, limitouse o tempo de busca tabu (passos 1 a 5) a 1000 segundos. Para efeito de comparação, consideram-se os resultados obtidos pelo algoritmo LSH (SENNE e LORENA, 2000), que utiliza a relaxação lagrangeana/surrogate. Os resultados computacionais reportados para o algoritmo LSH foram obtidos em uma estação de trabalho Sun Ultra30. As Tabelas 1, 2 e 3 mostram os resultados obtidos. Estas tabelas utilizam os seguintes termos nas linhas de cabeçalho: n: Número de nós da rede; p: Número de medianas; Opt: Solução ótima do exemplar; BK: Melhor solução conhecida para o exemplar; Sol: Solução obtida pelo algoritmo; Gap: Diferença percentual entre a solução obtida e a solução ótima do exemplar (no caso das Tabelas 1 e 2), ou seja, 100 * (Sol Opt)/Opt, ou a diferença percentual entre a 8

9 solução obtida e a melhor solução conhecida para o exemplar (no caso da Tabela 3), ou seja, 100 * (Sol BK)/BK; TC: Tempo computacional, em segundos. LSH BT n p Opt Sol Gap TC Sol Gap TC ,00 0, ,00 0, ,64 0, ,00 0, ,75 0, ,08 0, ,00 0, ,28 0, ,00 0, ,33 0, ,07 1, ,43 0, ,00 0, ,08 0, ,00 0, ,05 0, ,00 0, ,00 0, ,64 1, ,00 0, ,35 1, ,09 0, ,42 1, ,67 0, ,50 1, ,51 0, ,20 2, ,71 1, ,06 3, ,73 0, ,00 3, ,64 0,72 Tabela 1 Resultados computacionais para exemplares de Galvão e ReVelle (1996) LSH BT n p Opt Sol Gap TC Sol Gap TC ,00 0, ,52 0, ,00 4, ,40 1, ,00 16, ,81 6, ,00 51, ,18 20, ,00 127, ,46 28, ,00 257, ,46 47, ,00 482, ,84 49, , , ,68 141, , , ,71 164,88 Tabela 2 Resultados computacionais para exemplares da OR-Library LSH BT p BK Sol Gap TC Sol Gap TC , ,22 2,86 661, ,72 4, , , ,76 3,92 658, ,22 5, , , ,21 2,73 712, ,23 4, , , ,72 2,31 715, ,66 4, , , ,64 1,31 719, ,09 4, , , ,49 2,07 731, ,42 4, , , ,06 1,63 919, ,23 4, , , ,25 1,61 745, ,09 4, , , ,80 2,34 684, ,92 4, ,02 Tabela 3 Resultados computacionais para exemplares do problema pcb3038 da TSPLIB Os resultados reportados na Tabela 1 mostram que o algoritmo BT foi bastante eficiente para 9

10 os exemplares considerados, conseguindo resultados melhores (Gap médio = 0,35) do que os obtidos pelo algoritmo LSH (Gap médio = 0,73). Para os exemplares do problema considerados na Tabela 2, o algoritmo BT, embora não tenha conseguido melhores resultados do que os obtidos pela heurística LSH, foi capaz de obter boas soluções (Gap médio = 1,45) em tempo computacional reduzido (TC médio = 51,25). Os resultados reportados na Tabela 3, no entanto, mostram que o algoritmo BT ainda requer melhorias, principalmente, para os problemas de grande porte. O algoritmo de Busca Tabu discutido neste trabalho encontra-se integrado à uma plataforma computacional para solução de problemas logísticos. Esta plataforma, denominada PCLOG, visa obter soluções eficientes para alguns problemas práticos de forma a auxiliar a tomada de decisões sobre localização, armazenagem, manipulação, transporte ou distribuição de materias, produtos, serviços ou informações. Um algoritmo, para ser integrado à plataforma PCLOG, deve gerar sua solução em um arquivo XML cujo conteúdo é validado por uma DTD (Document Type Definition) previamente estabelecida. Com base no conteúdo deste arquivo XML e usando recursos do Sistema de Informações Geográficas MapObjects (ESRI, 1996), a solução obtida é visualizada diretamente sobre um mapa digitalizado. A Figura 1, a seguir, ilustra a solução obtida pelo algoritmo BT para um problema de 20 medianas em uma rede de 818 pontos referente à região central da cidade de São José dos Campos, SP. 4. Conclusão Neste trabalho, apresentou-se um algoritmo de Busca Tabu para o problema não-capacitado de localização de p-medianas. Trata-se de um problema de Otimização Combinatória NPdifícil para o qual é relevante dispor de bons algoritmos heurísticos. Os resultados computacionais realizados mostram que o algoritmo BT discutido neste trabalho é capaz de obter boas soluções do problema em um tempo computacional razoável. Tais características tornam o algoritmo BT adequado para utilização em sistemas de apoio à decisão. 10

11 Figura 1 Visualização de solução na plataforma PCLOG Os testes computacionais mostraram também que o algoritmo BT ainda requer melhorias, principalmente, para problemas de grande porte. Este algoritmo poderia obter soluções de melhor qualidade caso a heurística de troca (movimento SWAP) fosse utilizado a cada iteração da busca tabu. No entanto, para que o algoritmo seja eficiente esta intensificação de busca precisa ser feita apenas nas regiões mais promissoras do espaço de busca. A busca por agrupamentos (clustering search), proposta por Oliveira e Lorena (2004), é uma técnica que permite identificar regiões do espaço de busca que merecem especial interesse e para as quais uma busca local deve ser intensificada. A aplicação desta técnica tem melhorado significativamente o desempenho de meta-heurísticas. Imagina-se, num trabalho futuro, incorporar ao algoritmo BT, a busca por agrupamentos, o que deve permitir ao algoritmo obter melhores soluções. Referências AL-SULTAN, K.S.; AL-FAWZAN, M.A. A Tabu Search Approach to the Uncapacited Facility Location Problem, Annals of Operations Research, v. 86, p , BEASLEY, J.E. OR-Library: Distributing test problems by electronic mail, Journal of the Operational Research Society, v. 41, p , CARELLO, G.; DELLA CROCE, F.; GHIRARDI, M.; TADEI, R. Solving the Hub Location Problem in Telecommunication Network Design: A local Search Approach, Networks, v. 44, n. 4, p , DENSHAM, P.J.; RUSHTON, G. A more efficient heuristic for solving large p-median problems, Papers in Regional Science: The Journal of the RSAI, v. 7, n. 1/3, p ,

12 ESRI. Building Applications with MapObjects. Environmental Systems Research Institute, Inc., Redlands, CA, GALVÃO, R.D.; REVELLE, C.S. A Lagrangean heuristic for the maximal covering location problem, European Journal of Operational Research, v. 18, p , GLOVER, F. Tabu Search - Part I. ORSA Journal on Computing, v. 1, n. 3, p , 1989a. GLOVER, F. Tabu Search - Part II. ORSA Journal on Computing, v. 2, n. 1, p. 4-32, 1989b. GLOVER, F.; LAGUNA, M. Tabu Search. Massachusetts: Kluwer Academic Publishers, LORENA, L.A.N.; SENNE, E.L.F. A Column Generation Approach to Capacitated p-median Problems. Computers and Operations Research, Inglaterra, v. 31, n. 6, p , MICHEL, L.; VAN HENTENRYCK, P. A Simple Tabu Search for Warehouse Location, European Journal of Operational Research, v. 157, p , MLADENOVIC, N.; LABBÉ, M.; HANSEN, P. Solving the p-center Problem with Tabu Search and Variable Neighborhood Search, Networks, v. 42, n. 1, p , OLIVEIRA, A.C.M.; LORENA, L.A.N. Detecting promising areas by evolutionary clustering search. Advances in Artificial Intelligence, Springer Lecture Notes in Artificial Intelligence Series, p , REINELT, G. TSPLIB, Universitat Heidelberg, Institut fur Angewandte Mathematik. Disponível em: ROLLAND, E.; SCHILLING, D.A.; CURRENT, J.R. An efficient tabu search procedure for the p-median Problem, European Journal of Operational Research, v. 96, p , SENNE, E.L.F.; LORENA, L.A.N. Lagrangean/Surrogate Heuristics for p-median Problems. In: Computing Tools for Modeling, Optimization and Simulation: Interfaces in Computer Science and Operations Research, M. Laguna and J.L. Gonzalez-Velarde (eds.), Kluwer Academic Publishers, p , Agradecimento Este trabalho contou com financiamento parcial do CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. 12

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