UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul CCET - Centro de Ciências Exatas e Tecnologia DEC - Departamento de Estruturas e Construção Civil

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1 UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul CCET - Centro de Ciências Exatas e Tecnologia DEC - Departamento de Estruturas e Construção Civil Disciplina: Professor Wagner Augusto Andreasi, M. Engº Acadêmico do Curso de Engª. Cvil: Ademir Aparecido Peixoto de Azevedo Atualizada pelo Acadêmico do Curso de Engª. Cvil Thiago Winter Macinelli em 2009

2 SUMÁRIO 1. Introdução Regressão Linear simples Calculo das estatísticas de regressão e ANOVA Determinação do intervalo de confiança Teste de hipóteses Verificação das hipóteses básicas Regressão Linear Múltipla Considerações preliminares Verificação da colinearidade entre variáveis independentes Calculo das Estatísticas de Regressão e Anova Determinação do Intervalo de Confiança Teste de hipóteses Verificação das hipóteses básicas Exemplos Resolvidos Referências Bibliográficas Anexo 1( Tabela de Durbin-Watson)

3 1. Introdução Esta apostila tem o objetivo de apresentar ao leitor as ferramentas de Análise Estatística disponíveis no Microsoft Excel 2007 aplicadas a Engenharia de Avaliações, utilizando-as em exemplos de resolução de problemas de regressão linear simples e regressão linear múltipla. Pressupõe-se nesta apostila que o leitor já tenha conhecimentos teóricos básicos de estatística, tais como distribuições bilaterais e unilaterais, colinearidade, análise de resíduos, testes de significância, análise de variância e regressão linear. O objetivo maior desta apostila é diminuir o esforço e o tempo necessário para realizar uma avaliação utilizando o Microsoft Excel para realizar os cálculos, que são muito complexos e longos para serem feitos a mão. 2. Regressão Linear Simples 2.1. Calculo das Estatísticas de Regressão e Anova Consideremos o exemplo onde estamos interessados em avaliar um lote de 300 m 2 de área, situado a uma distância de cerca de m de um ponto valorizante. Os atributos de diferenciação levantados compreendem a localização do lote, através da distância do mesmo em metros ao referido ponto e a área do lote. As características do imóvel avaliando bem como a dos imóveis da amostra estão apresentados na tabela abaixo: REGISTRO N.º VARIÁVEL DEPENDENTE PREÇO UNITÁRIO (Y) VARIÁVEIS INDEPENDENTES OU EXPLICATIVAS DIST. (X 1 ) ÁREA (X 2 ) 1 100, ,00 300, , ,00 340, , ,00 270, , ,00 360, , ,00 400, , ,00 500, , ,00 600, , ,00 300, ,00 900,00 360, , ,00 600,00 Tabela 1.1 Inicialmente poderíamos supor que o atributo distância ao ponto valorizante não seja influenciante no valor do lote e que a influência da área seja diretamente proporcional a esse valor, o que possibilitaria a resolução do problema por estatística descritiva. Entretanto, procuraremos levar em consideração o atributo distância ao ponto valorizante na formação dos preços, obtendo uma equação de regressão linear simples, relacionando o preço unitário (PU) com a distância (DIST) do tipo: Ŷ i = B 0 + B 1 X 1, que terá o seguinte aspecto: 3

4 PÛ= B 0 + B 1 * DIST Para tanto, utilizaremos o Excel 2007 e o suplemento PHStat2 para calcular as Estatísticas de Regressão, Anova e Correlação. Ative o Excel e insira os dados em sua área de trabalho (Tabela 1.1), como mostrado na Figura 1.1. Figura 1.1 Antes de iniciar a Análise de Dados é necessário ativar os suplementos do Excel 2007 para que as ferramentas de análise estejam disponíveis, para ativá-las, clique com o botão direito sobre a barra de ferramentas, em seguida clique em Personalizar barra de tarefas de acesso rápido, clique em Suplementos, na opção Gerenciar, selecione a opção Suplementos do Excel e em seguida clique em IR, no menu suplementos ative os itens Ferramentas de Análise e Ferramentas de Análise VBA, como mostrado na Figura 1.2, em seguida clique em OK. 4

5 Figura 1.2 No menu Dados clique em Análise de Dados. Na caixa de diálogo Análise de Dados dê um duplo clique em Regressão. (Figura 1.3) Figura 1.3 5

6 No campo Intervalo Y de Entrada deve ser fornecido o intervalo que contém as variáveis dependentes ou explicadas, que em nosso caso é PU. Selecione a célula B1 e arraste até a célula B11. Clique no campo Intervalo X de Entrada. Da mesma forma, para este campo, deve ser fornecido o intervalo que contém as variáveis independentes ou explicativas, que em nosso caso é a distância. Portanto, selecione a célula C1 e arraste até a célula C11 para selecionar o intervalo. Marque a opção Rótulos, pois em nossos intervalos incluímos junto aos dados seus respectivos rótulos. Marque a opção Nível de Confiança e substitua o valor padrão de 95% por 80% que é o valor recomendado pela NBR :2003. Marque as opções Resíduos, Resíduos Padronizados e Plotar Resíduos. Figura 1.4 Clique no botão Intervalo de saída e, posteriormente, no campo que está a sua direita. Insira a referência para a célula onde o Microsoft Excel exibirá o canto superior esquerdo da tabela de regressão e Anova. Para tanto, após selecionar o referido campo clique sobre a célula A19 ou referencie a célula A19 digitando A19 diretamente no campo. A aparência da caixa de diálogo Regressão ficará semelhante com a da Figura 1.4 mostrada acima. Clique em OK. 6

7 O Excel fornecerá as Estatísticas de Regressão, Anova e Tabela de Resíduos. Figura 1.5 Registro nº Variável Dependente (PU) DIST. (X1) ÁREA (X2) 1 100, , , , , , , , , , , , , , , , ,00 900, , , Tabela 1.2 Antes de fazer a inferência estatística é necessário conhecer o significado dos parâmetros fornecido pelo Excel: 7

8 RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,88054 R-Quadrado 0,77536 R-quadrado ajustado 0,74728 Erro padrão 10,21017 Observações 10 Tabela 1.3 R-múltiplo: Correlação entre as variáveis independentes e a variável dependente. R-quadrado: Poder de explicação do modelo de regressão, no exemplo 77,5% da variabilidade dos preços é explicado pelo modelo adotado R-quadrado ajustado: Idem ao R-quadrado, porém ajustado levanto em conta o numero de variáveis independentes Erro padrão: É o desvio padrão do modelo, dado pela raiz quadrada da variância. ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão , , , ,00077 Resíduo 8 833, ,24760 Total ,5 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 184, , , ,07E , ,47830 DIST. (X1) -0, , , , , ,02259 Inferior 80,0% Superior 80,0% 164, , , ,02956 Tabela 1.4 8

9 RESULTADOS DE RESÍDUOS Observação Previsto(a) PREÇO UNITÁRIO (Y) Resíduos Resíduos padrão 1 95, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,63311 Tabela 1.5 Agora de posse dos coeficientes da equação de regressão linear simples, podemos concluir que a equação PÛ = B 0 + B 1 * DIST, fazendo as devidas substituições com os coeficientes, é: PÛ = 184,161 0,04026*DIST, Que para DIST = m resulta: PÛ = R$ 99,62 / m Determinação do Intervalo de Confiança: Para o cálculo do Intevalo de confiança utilizaremos o PHStat2. O software será disponibilizado pelo professor no inicio do curso, ou pode-se fazer o download a partir do site ALTERAR Após instalado o PHStat só estará disponível no Excel quando ele for aberto, portanto, toda vez que forem utilizar o PHStat deve-se abrir o Excel e o PHStat. O leitor saberá se o software esta disponivel verficando se esta aparecendo o menu Suplementos na barra de ferramentas. No caso de o menu Suplementos não estar aparecendo, a instalação pode ter sido feita de forma incorreta, ou o usuário não abriu o PHStat Na barra de ferramentas abra o menu Suplementos, clique em PHStat, clique em Regression e clique em Simple Linear Regression Configure o PHStat conforme mostrado na figura 1.6, onde X é o valor da variável independente para o terreno que esta sendo avaliado, no caso X é a distancia 2100 metros. Clique em OK, o PHStat criará um nova planilha com nome Estimated com os intervalos de confiança para o preço previsto e para uma nova observação. 9

10 Fig 1.6 For Average Predicted Y (YHat) Interval Half Width 5, Confidence Interval Lower Limit 93,95434 Confidence Interval Upper Limit 105,2799 Intervalo de confiança para o valor previsto: For Individual Response Y Interval Half Width 15,34483 Prediction Interval Lower Limit 84,27229 Prediction Interval Upper Limit 114,9619 Tabela 1.6 R$ 93,954 < PÛ < R$ 105,279 A NBR :2003 sugere a classificação da avaliação quanto ao Grau de Precisão (item 9.2.2). O nível de precisão é encontrado através do valor em porcentagem da amplitude do 10

11 intervalo de confiança de 80% sobre o valor pontual da avaliação. Como fornecemos para o campo confidence levels for interval estimates o valor de 80%, os valor superior e inferior fornecidos pelo PHStat referem-se a um intervalo de confiança de 80% sobre o valor pontual da avaliação, com estes dados pode-se calcular a amplitude que é dada por: AMPLITUDE PÛ sup PÛ PÛ inf 105,279 93,954 0,114 11,4% 99,62 Descrição Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da estimativa NOTA Observar subseção 9.1. Tabela 1.7 Grau III II I 30% 30% - 50% > 50% Através da Tabela 1.7, que foi transcrita da NBR , pode-se classificar a avaliação quanto ao grau de precisão, como a amplitude do intervalo de confiança é menor do que 30%, a avaliação apresenta Grau de Precisão 3 O intervalo para uma resposta individual de Y, é o intervalo de confiança para uma nova observação que possua as mesmas caracteristicas quanto as variáveis da observação utilizada para o cálculo, não é de interesse para a avaliação pois o que nos interessa é o intervalo de confiança para a observação que foi avaliada Teste de hipóteses Testada a hipótese nula da regressão (ß 1 = 0) pelo teste F, a mesma foi rejeitada ao nível de 1%, uma vez que: F calculado = 27,61 > F (λ) (k), (n-k-1) = F (1%) (1), (8) = 11,30. (F calculado está localizado na célula E30 da tabela do Excel). Nota: Para obter F (1%) (1), (8) pode-se consultar uma tabela F ou através da função INVF do Excel, para a obtenção através da função INVF deve-se proceder da seguinte forma: Escolha uma célula vazia do Excel e digite a expressão a seguir: =INVF( prob ; k ; n-k-1 ), onde: - prob : é o nível de significância desejado, em nosso caso 1% - k : é o numero de variáveis do modelo, em nosso caso é 1 - n é o numero de amostras do modelo, em nosso caso é 10 11

12 Substituindo os dados, a fórmula ficará como a mostrada a seguir: FUFMS - CCET DEC - LADE =INVF(0,01;1;8) Pressione ENTER, e o Excel fornecerá o valor de F (1%) (1), (8) Na célula E31 o Excel fornece o F de significação, que é o nível de significância com o qual se aceita a hipótese nula da regressão, no modelo como F de significação < 0,01, rejeita-se a hipótese nula da regressão ao nível de 1%. Testada a hipótese nula do regressor (ß 1 =0), a mesma foi rejeitada ao nível de 5%, uma vez que: B1 0,04026 t1 5,25 t( n 2), t(8),5% 2,31 S 0, B1 Nota: Para obter t (8),5% pode-se consultar uma tabela t ou através da função INVT do Excel, para a obtenção através da função INVT deve-se proceder da seguinte forma: Escolha uma célula vazia do Excel e digite a expressão a seguir: =INVT( prob ; n-k-1 ), onde: - prob : é o nível de significância desejado, em nosso caso 5% - k : é o numero de variáveis do modelo, em nosso caso é 1 - n é o numero de amostras do modelo, em nosso caso é 10 Substituindo os dados, a fórmula ficará como a mostrada a seguir: =INVT(0,05;8) Pressione ENTER, e o Excel fornecerá o valor de t (8),5% Outra forma de fazer o teste é através do valor P (Célula E36) que representa o nível de significância com a qual se aceita a hipótese nula do regressor, no modelo, como valor P < 0,05, rejeita-se a hipótese nula do regressor ao nível de 5%. Obs.: Os níveis de significância adotados para o teste de hipóteses devem ser escolhidos através da NBR 14653, item Os níveis de significância dependem do Grau de Fundamentação escolhido pelo avaliador Verificação das hipóteses básicas 12

13 Primeira hipótese: A variável independente corresponde a números reais que não contenham nenhuma perturbação aleatória. De fato, no caso de dados imobiliários, as variáveis independentes estão relacionados com as características fixas de cada elemento tomado com referência, estando a hipótese atendida. Segunda hipótese: O número de observações, n, deve ser superior ao número de parâmetros estimados pelo modelo. Para evitar o problema de micro numerosidade, a NBR no item 3 da Tabela 1 determina o número mínimo dados de mercado utilizados na modelagem, a princípio: n 3( k 1), onde k é o numero de variáveis independentes. Terceira hipótese: Os erros são variáveis aleatórias com valor esperado nulo e variância constante. Um gráfico de resíduos versus valores previsto, apresentando pontos distribuídos aleatoriamente em torno de uma reta que passa na origem sem nenhum padrão definido, é um indicador favorável a verificação da hipótese. Construa um gráfico com os valores previstos (Células B43:B52) da tabela de resíduos no eixo das abscissas e com os resíduos (Células C43:C52) no eixo das ordenadas O gráfico deverá ficar igual ao apresentado abaixo: Gráfico

14 Como os pontos estão distribuídos de forma aleatória em torno da reta horizontal que passa pela origem e não apresentam nenhum padrão definido, aceita-se a hipótese como atendida, classificase também o modelo como homocedástico 1. Quarta hipótese: Os erros são variáveis aleatórias com distribuição normal. Um gráfico de resíduos padronizados versus preço previsto, apresentando 95% dos pontos no intervalo [-1,96;+1,96] é um indicador favorável a verificação da hipótese. Construa um gráfico com os valores previstos (Células B43:B52) da tabela de resíduos no eixo das abscissas e resíduos padronizados (Células D43:D52) no eixo das ordenadas. O gráfico deverá ficar igual ao apresentado abaixo: Tabela 1.2 Como 100% dos pontos estão distribuídos no intervalo [-1,96;+1,96] se aceita a quarta hipótese. Quinta hipótese: Os erros são não correlacionados, isto é, são independentes sob a condição de normalidade. A verificação é feita com o auxilio da razão de Von Neumann, que foi tabelada por Durbin Watson para os níveis de significância de 5%, 2,5% e 1%, considerando modelos com 15 a 100 observações com até seis variáveis (Ver Anexo 1). A estatística de Von Neumann pode ser calculada através do PHStat.. Na barra de ferramentas abra o menu Suplementos, clique em PHStat, clique em Regression e clique em Simple Linear Regression. Informe o intervalo de células das variáveis dependentes e independentes, e selecione a opção Durbin-Watson Statistic, em seguida clique em OK, o 1 Homocedástico: Quando os pontos apresentam dispersão totalmente aleatória em torno de uma reta horizontal que passa pela origem e sem nenhum padrão definido. 14

15 menu deverá ficar como o apresentado na Figura 1.7. O PHStat criará uma nova planilha com o valor da Razão de Von Neumann (Durbin-Watson Statistic). Figura 1.7 Durbin-Watson Calculations Sum of Squared Difference of Residuals 1138, Sum of Squared Residuals 833, Durbin-Watson Statistic 1, Tabela 1.8 Para que a quinta hipótese seja satisfeita: du < Durbin-Watson Statistic < (4 - du), onde du é o valor tabelado por Durbin-Watson (ver Anexo 1). Escolhe-se o valor de du para 15 observações (du não foi tabelado para 10 observações) e 1 variável independente ao nível de significância de 1%. du tab 1,07 15

16 Como: 1,07 < Durbin-Watson Statistic < (4-1,07) 1,07 < 1,37 < 2,93 Aceita-se a quinta hipótese. Desta forma podemos concluir que a equação encontrada para a regressão PÛ = 184,161 0,04026*DIST, é válida para inferência do valor do preço unitário, quando a distância do terreno ao ponto valorizante for igual a 2100 m. Obs. Neste exemplo assim como no seguinte, estamos supondo a amostra já saneada, isto é, isenta de dados supostamente discrepantes. Mais tarde será ilustrado como proceder para sanear uma amostra utilizando o critério de Chauvenet. 3. Regressão Linear Múltipla 3.1. Considerações preliminares É recomendado ao leitor que só inicie a leitura deste capitulo após ter lido o capitulo que trata de regressão linear simples, pois é necessário o total conhecimento de regressão linear simples para proceder a analise de regressão múltipla. Para aplicação da metodologia, será apresentada a avaliação do valor de aluguel de um apartamento, no exemplo foram escolhidas varias variáveis independentes e o objetivo é selecionar quais variáveis explicam melhor a variação do valor de mercado do aluguel do imóvel. Os atributos de diferenciação levantados compreendem: -Variáveis quantitativas - Número de quartos - Número de banheiros - Número de vagas de garagem. Variáveis dicotômicas: -Área de lazer (Recebe valor 1 se o apartamento possuir, e 0 em caso contrário) Variáveis qualitativas: -Estado de conservação (Recebe valor 1 para bom, 2 para regular e 3 para ruim), é considerada como qualitativa, mas na verdade é uma variável tricotômica. É de grande importância o avaliador verificar após a regressão se os coeficientes encontrados para cada variável condiz com a realidade conforme o exemplo: Ex: O coeficiente de uma variável com valor da área não pode ser negativo, pois sabe-se que quanto maior a área do imóvel maior seu valor. O imóvel avaliando possui as seguintes características: - Numero de quartos: 3 16

17 -Numero de banheiros: 2 - Numero de vagas de garagem: 1 -Área de lazer: Não possui (Recebe valor 0) -Estado de conservação: Regular (Recebe valor 2) FUFMS - CCET DEC - LADE Desta forma, tentar-se-á obter uma equação de regressão múltipla relacionando o preço unitário (PU) com as variáveis descritas anteriormente. A equação será do tipo: PU i = B o + B 1 X 1 + B 2 X B n X n Os dados coletados do mercado para a avaliação são os descritos na tabela abaixo: N. de registro Preço Numero de quartos (X1) Número de banheiros (X2) Vagas de garagem (X3) Estado de conservação (X4) Área de lazer (X5) Tabela 2.1 Na regressão múltipla deve-se atentar a correlação entre variáveis independentes, que se for alta pode prejudicar a estimativa dos parâmetros do modelo, gerando um modelo tendencioso que não explica de fato o comportamento dos valores de mercado. 17

18 3.2. Verificação da colinearidade entre variáveis independentes Inicialmente será verificado a correlação entre as variáveis utilizando a tabela de correlação do Excel e o fator inflacionário de variância (FIV) obtido através do PHStat. A tabela de correlação fornece a correlação das variáveis uma a uma, enquanto o FIV fornece a correlação de uma variável com todas as outras variáveis do modelo. O FIV é dado por: 1 FIV, onde: 2 1 rj - Correlação entre uma variável independente com as variáveis independentes restantes. Portanto quando r j =0,9, o FIV é aproximadamente 5. Alguns autores consideram como valor critico para o FIV o valor 5, outros consideram crítico o valor 10, nesta apostila consideraremos como valor crítico o FIV igual a 5 (LEVINE et al, 2005). No menu Dados clique em Análise de Dados. Na caixa de diálogo Análise de Dados dê um duplo clique em Regressão. Com o Excel ativo, e com os dados já dispostos em sua área de trabalho (Tabela 2.1), no menu Dados clique em Análise de Dados. r j Figura 2.1 Na caixa de diálogo Análise de Dados escolha Correlação e clique em OK. 18

19 No campo Intervalo de Entrada deve ser fornecido o intervalo que contêm todas as variáveis envolvidas na regressão, que neste exemplo são seis: PU, X1, X2, X3, X4 e X5. Portanto, selecione B1 e arraste até G22. Marque a opção Rótulos na primeira linha, pois em nossa seleção incluímos com os dados seus respectivos rótulos. Marque em Opções de saída o botão Intervalo de saída. Para inserir a referência para a célula superior esquerda da tabela de saída, clique no campo que está imediatamente à direita do botão intervalo de saída e insira a referência de célula A24. Clique em OK. O resultado será uma tabela de Correlação como a mostrada na Figura 2.2: Figura 2.2 De posse das Correlações entre os dados, deve-se verificar se há alguma correlação superior a 0,70 entre variáveis independentes. Segundo Dantas (2005) correlações acima de 0,7 podem ser prejudiciais ao modelo. No exemplo, as variáveis número de banheiros e numero de quartos apresentam correlação igual a 0,90, o que é prejudicial ao modelo, uma das duas variáveis deve ser excluída do modelo. Para determinar qual variável a ser excluída será calculado o FIV através do PHStat. Para o cálculo do FIV utilizaremos o PHStat2. Na barra de ferramentas abra o menu Suplementos, clique em PHStat, clique em Regression e clique em Multiple Regression Configure o PHStat conforme mostrado na Figura 2.3, selecione a opção Variance inflationary factor (VIF) e clique em OK 19

20 O PHStat criará varias planihas contendo o FIV de cada variável, deve-se verificar se existe alguma variavel com FIV maior que 5, caso exista, deve-se excluir a variavel. Caso exista 2 variáveis com FIV maior que 5 deve-se excluir a variavel com maior FIV e após proceder uma nova verificação do FIV até que não haja nenhuma variável com FIV maior que 5. Os FIVs calculados são: -Numero de quartos: FIV = 10,119 -Numero de banheiros: FIV = 7,448 -Vagas de garagem: FIV = 1,532 -Estado de conservação: FIV = 1,385 -Área de lazer: FIV = 1,893 Figura 2.3 As variaveis número de quartos e numero de banheiros possuem FIV maior que 5, porém o FIV da variavel numero de quartos é maior, deve-se excluir a variavel numero de quartos e fazer nova verficação do FIV. Após a exclusão da variável numero de quartos a planilha deve ficar como a Tabela 2.2: 20

21 N. de registro Preço Número de banheiros (X1) Vagas de garagem (X2) Estado de conservação (X3) Área de lazer (X4) Tabela 2.2 Após refazer os cálculos do FIV, devem-se obter os seguintes resultados: -Numero de banheiros: FIV = 1,495 -Vagas de garagem: FIV = 1,407 -Estado de conservação: FIV = 1,207 -Área de lazer: FIV = 1,358 Como todos os FIVs são menores que 5 não há problema de colinearidade no modelo com 4 variáveis independentes Calculo das Estatísticas de Regressão e Anova No menu Dados clique em Análise de Dados. Na caixa de diálogo Análise de Dados escolha Regressão e clique em OK. O Excel exibirá a caixa de diálogo Regressão. No campo Intervalo Y de entrada, vamos inserir as referências de células que contém os dados da variável dependente, que neste exemplo é Preço. Clique em B1 e arraste o mouse até B22. 21

22 No campo Intervalo X de entrada, vamos inserir as referências de células que contém os dados das variáveis dependentes, que neste exemplo são X1, X2, X3 e X4. Clique no campo Intervalo X de entrada. Selecione a célula C1 e arraste o mouse até a célula F22, a referência de célula aparecerá automaticamente no referido campo. Como na referência dos dados dependentes e independentes, nos referimos aos dados com seus respectivos rótulos, marque a opção Rótulos. Dado que estamos trabalhando com um intervalo de confiança de 80% marque o botão Intervalo de confiança e substitua o valor padrão de 95% por 80%. Em Opções de saída marque o botão Intervalo de saída para introduzir uma referência de célula. Selecione as opções: Resíduos, Resíduos Padronizados e Plotar Resíduos Clique no campo à direita do botão. Selecione a célula A31. A configuração da caixa de diálogo Regressão se parecerá como a mostrada na Figura 2.4. Clique em OK. Figura 2.4 O resultado será a tabela de regressão como mostrada na Figura 2.5: 22

23 Figura 2.5 As tabelas de Regressão, Anova, Resíduos e Correlação gerada pelo Microsoft Excel estão apresentadas abaixo: RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,91573 R-Quadrado 0,83856 R-quadrado ajustado 0,79821 Erro padrão 35,39676 Observações 21 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão , , , ,55556E-06 Resíduo , ,93064 Total ,

24 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 302, , , ,89007E , ,13849 Número de banheiros (X1) 108, , , ,00723E-05 68, ,75937 Vagas de garagem (X2) 61, , , , , ,32238 Estado de conservação (X3) -55, , , , , ,97232 Área de lazer (X4) 53, , , , , ,86595 Inferior 80,0% Superior 80,0% 250, , , , , , , , , ,90921 RESULTADOS DE RESÍDUOS Observação Previsto(a) Preço Resíduos Resíduos padrão 1 471,53-21, , ,87 39, , ,78-24, , ,08 21, , ,86-12, , ,57 11, , ,86-12, , ,86-62, , ,11 31, , ,86-12, , ,53 28, , ,53 28, , ,33-33, , ,86-12, , ,86 37, , ,86-62, , ,78-24, , ,10 31, , ,86 37, , ,54 10, , ,29 3, ,

25 Através das estatísticas de regressão e da tabela Anova, obtivemos a seguinte equação de regressão: PÛ 302,88 108,66 X1 61,80 X 2 55,25 X3 53,26 X 4 Substituindo os valores das variáveis independentes do imóvel avaliando: -Numero de banheiros (X1): 2 - Numero de vagas de garagem (X2): 1 -Estado de conservação (X3): 2 -Área de lazer (X4): 0 Temos que o valor previsto para o aluguel do imóvel é: PÛ = R$ 471, Determinação do Intervalo de Confiança Para o cálculo do Intevalo de confiança utilizaremos o PHStat2. Na barra de ferramentas abra o menu Suplementos, clique em PHStat, clique em Regression e clique em Multiple Regression Configure o PHStat conforme mostrado na figura 2.6. Clique em OK, o PHStat criará um nova planilha com nome Intervals com os intervalos de confiança para o preço previsto e para uma nova observação. Nas células B6:B9 deve-se informar os valores das variáveis independentes do imóvel avaliando. Para o imóvel avaliando desta apostila devem-se preencher os campos como segue descrito na tabela 2.3: Data Confidence Level 80% 1 Número de banheiros (X1) given value 2 Vagas de garagem (X2) given value 1 Estado de conservação (X3) given value 2 Área de lazer (X4) given value 0 Tabela

26 Figura 2.6 Nas células A29:B39, o PHStat fornece o valor previsto para o imóvel e os intervalos de confiança para o valor previsto e para uma resposta individual, conforme abaixo. Predicted Y (YHat) 471,53 For Average Predicted Y (Yhat) Interval Half Width 21,89 Confidence Interval Lower Limit 449,64 Confidence Interval Upper Limit 493,42 Intervalo de confiança para o valor previsto: For Individual Response Y Interval Half Width 52,13 Prediction Interval Lower Limit 419,39 Prediction Interval Upper Limit 523,67 Tabela 2.4 R$ 449,64 < PÛ < R$ 493,43 26

27 A NBR :2003 sugere a classificação da avaliação quanto ao Grau de Precisão (item 9.2.2). O nível de precisão é encontrado através do valor em porcentagem da amplitude do intervalo de confiança de 80% sobre o valor pontual da avaliação. AMPLITUDE PÛ sup PÛ PÛ inf 493,43 449,64 0,093 9,3% 471,53 Como a amplitude é menor do que 30%,através da Tabela 1.7 podemos classificar a avaliação com Grau de Precisão 3 O intervalo para uma resposta individual de Y não é de interesse para a avaliação (Ver item 2.2 desta apostila) Teste de hipóteses Testada a hipótese nula da regressão (ß 1 = 0) pelo teste F, a mesma foi rejeitada ao nível de 1%, uma vez que: F de sifnificaç ão 3, ,01 ( F de significaç ão está localizado na célula F42 da tabela do Excel) OBS: F de significação é o nível de significância em que se aceita a hipótese nula da regressão. Caso fosse aceita a hipótese nula da regressão a equação obtida não poderia ser utilizada para explicar o comportamento dos valores de mercado dos imóveis. Testada a hipótese nula dos regressores (ß 1 =0), a mesma foi rejeitada ao nível de 5%, uma vez que: Valor P ( X1) 3, ,05 Valor P ( X 2) 0,031 0,05 Valor P ( X3) 0,001 0,05 Valor P ( X 4) 0,034 0,05 (Valor P das variáveis está localizado nas células E47:E51) OBS: Valor P é o nível de significância em que se aceita a hipótese nula dos regressores. Caso alguma variável independente tivesse a hipótese nula aceita, ela poderia ser excluída do modelo, e dever-se-ia recalcular as estatísticas de regressão, tabela Anova, e tabela de resíduos. 27

28 3.6. Verificação das hipóteses básicas FUFMS - CCET DEC - LADE Deve-se proceder a verificação das 5 hipóteses básicas descritas na Regressão Linear Simples e verificar uma nova hipótese que só se aplica a Regressão Múltipla. Sexta hipótese: Não deve existir nenhuma relação exata entre quaisquer variáveis independentes. Para proceder esta verificação deve-se consultar a tabela de correlações e assegurar que não exista nenhuma correlação igual a 1 entre duas variáveis independentes. TABELA DE CORRELAÇÃO Número de banheiros Vagas de garagem Estado de conservação Área de lazer Preço Preço 1 Número de banheiros 0, Vagas de garagem 0, , Estado de conservação -0, , , Área de lazer 0, , , , No modelo não existe nenhum correlação igual a 1 entre duas variáveis independentes, então, se aceita a sexta hipótese. Obs. Neste exemplo, estamos supondo a amostra já saneada, isto é, isenta de dados supostamente discrepantes. Mais tarde será ilustrado como proceder para sanear uma amostra utilizando o critério de Chauvenet. 4. Exemplos Resolvidos 4.1. Um corretor de imóveis quer saber se em determinado bairro da cidade (representado pela amostra abaixo - tab. 3.1) se a dimensão da frente de um terreno ou sua testada, influi ou não na formação de preços unitários (R$/m 2 ). Esse é um problema típico que pela aplicação de inferência estatística, podemos afirmar se a dimensão da frente dos terrenos influi ou não na formação de seus preços unitários. Amostra Frente (m) Profund. (m) R$/m2 1 15,00 31,50 31, ,00 30,00 44, ,00 37,65 31, ,00 30,00 38, ,00 30,00 51, ,00 30,00 36,11 Planilha

29 Resolução: 1º) Saneamento da amostra (Critério de Chauvenet) Consiste em se eliminar os registros da amostra, cujos preços (P ori ) distem mais do que um certo limite (d lim ) da média de preços da amostra, ou seja, elimina-se todos os registros cujos preços (P ori ) estiverem fora do intervalo: Com d lim = S p x (d/s p ) crítico, onde: (P ori - d lim ) P ori (i) (P ori + d lim ) Sp n i 1 ( Pori(i) Pori) n 1 2 S p é o desvio padrão dos preços da amostra, dado por: e (d/sp) crítico uma função da quantidade de registros da amostra, conforme a seguir: n = (d/s p ) crítico 1,65 1,73 1,80 1,86 1,92 1,96 n = (d/s p ) crítico 1,98 2,03 2,05 2,10 2,12 2,16 n = (d/s p ) crítico 2,18 2,20 2,23 2,24 2,26 2,28 n = (d/s p ) crítico 2,31 2,35 2,39 2,50 2,58 Tabela Com a tabela 3.1 inserida no Microsoft Excel, utilize as funções MÉDIA e DESVPAD para calcular P ori que é a média aritmética dos preços unitários (R$/m 2 ) e S p que é o desvio padrão dos preços da amostra. Daí, vem que: S p = 7,59 e P ori = 39,02, n = 6 e d lim = 7,59*1,73 = 13,13, de modo que o intervalo: (P ori - d lim ) P ori (i) (P ori + d lim ) é igual a: (39,02 13,13) P ori (i) (39, ,13) = 25,89 P ori (i) 52,15 29

30 Com isto, concluímos que a amostra não tem nenhum dado supostamente discrepante. Isto é, a amostra já está saneada. 2º) Cálculo das Correlações, Regressores e Anova. Correlações: Frente (m) Profund. (m) R$/m2 Frente (m) 1 Profund. (m) 0, R$/m2 0, , Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado 0, ajustado Erro padrão 7, Observações 6 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 2 139, , , , Resíduo 3 148, , Total 5 288, Coeficientes Erro padrão Stat t Valor-P 95% inferiores Interseção 66, , , , , Frente (m) 2, , , , , Profund. (m) -1, , , , , % superiores Inferior 80,0% Superior 80,0% 183, , , , , , , , , Tabela º) Teste de hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0) Testada a hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0), ambas foram aceitas, uma vez que: F calculado = 1, < F (λ) (k), (n-k-1) = F (1%) (2), (3) = 30,81 (tabelado) Isto significa que ß 1 e ß 2 não são variáveis influenciantes ao nível de significância de 1% ou sua influência é muito reduzida na formação do preço unitário dos terrenos. Como a hipótese nula do teste foi aceita, poderíamos concluir nossa análise nesta etapa. Mas para ilustrar o roteiro normalmente adotado quando a hipótese nula é rejeitada, vamos continuar os testes. 30

31 4º) Teste de hipótese nula dos regressores (ß1 = 0 ou ß2 = 0) FUFMS - CCET DEC - LADE Testada a hipótese nula dos regressores (ß1 = 0 ou ß2 = 0), a primeira foi aceita, uma vez : t x1. SQ x2 ( S x2 x1x2 2, ,44 12* 46,82 (9,15) 46,82 t 1 = 0,982 < t (n-k-1), = t (3),5% = 2,3534 Isto significa que ß1 não influi decisivamente e suficientemente na formação de preços para ser incluído na equação de regressão. Isto é, a equação que melhor representa a formação de preços dos terrenos desta amostra, é uma equação que não envolve a variável frente do terreno. t 2 = 1,636 < t (n-k-1), = t (3),5% = 2,3534 ) 2 2,161 2, t SQ x1 b QMR SQ. SQ x2 ( S x1 x1x2 ) 2 1,823 49,44 12* 46,82 (9,15) 12,00 0,982 Assim temos também que ß2 não influi decisivamente na formação de preços, com um nível de confiança de 90%, para fazer parte da equação que procura descrever a variação de preços no mercado imobiliário da região de coleta das amostras. Deste modo, não podemos obter, a partir dos dados da tab. 3.1, uma equação que represente o preço unitário dos terrenos de forma eficiente. Como esperávamos, este teste apenas confirmou o que já havíamos concluído no 4.º passo: Entretanto, como a amostra é muito pequena, pode acontecer desta não ser representativa, isto é, corre-se o risco de ser tendenciosa. Daí deveríamos suspeitar que a amostra não é de fato representativa, tendo em vista que a bibliografia técnica afirma que a frente ou testada do terreno influi decisivamente na formação de seu preço unitário ,823 1, SQ b QMR SQ 1, A tabela a seguir se refere a uma pesquisa de terrenos urbanos em uma dada área central de uma cidade X. A pesquisa concentrou-se ao longo das Avenidas AP e PF, duas vias de comércio intenso e nas ruas transversais até uma distância máxima de 270m. Registrou-se os preços dos terrenos em oferta, suas áreas e distância às referidas avenidas. Verifique se pode ou não obter uma equação de regressão a partir da amostra abaixo. 31

32 Registro n.º VT ÁREA DIST (esquina) (esquina) (esquina) (esquina) Planilha Resolução: 1º) Saneamento da amostra (Critério de Chauvenet) (P ori d lim ) P ori (i) (P ori + d lim ) Como: d lim = S p x (d/s p ) crítico S p = ,5, P ori = , n =10 e (d/s p ) crítico = 1,96 d lim = ,5 * 1,96 = ,94 (P ori d lim ) P ori (i) (P ori + d lim ) ,94 P ori (i) , ,94 P ori (i) ,94 Como o registro n.º 5 está fora do intervalo acima, concluímos que se trata de um dado espúrio, portanto, será eliminado e não considerado para fins de inferência estatística. Vamos recalcular novamente o intervalo para o critério de Chauvenet para verificar se existe mais algum dado discrepante. S p = ,13, P ori = ,33, n = 9 e (d/s p ) crítico = 1,92 d lim = ,13*1.92 = ,65 (P ori d lim ) P ori (i) (P ori + d lim ) , ,65 P ori (i) , P ori (i) ,98 32

33 Desta forma, o registro nº 6, também constitui um dado espúrio, de modo que, deveremos recalcular um novo intervalo: S p = 66593,52, P ori = 92875, n = 8 e (d/s p ) crítico = 1,86 d lim = 66593,52*1.86 = ,94 Com isto, a amostra já está saneada. (P ori d lim ) P ori (i) (P ori + d lim ) ,94 P ori (i) ,94 2º) Cálculo das Correlações, Regressores e Anova. Registro VT Área DIST. n.º (esquina) (esquina) CORRELAÇÕES VT Área DIST. VT 1 Área 0, DIST. 0, , RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado 0, ajustado Erro padrão 29569,56 Observações 8 ANOVA gl SQ MQ F F de signific. Regressão 2 2,67E+10 1,33E+10 15, , Resíduo 5 4,37E+09 8,74E+08 33

34 Total 7 3,1E+10 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 80100, ,96 4, , , ,1 Área 172, , , , , ,8686 DIST ,27 564,9533-4, , , ,01 Inferior 80,0% Superior 80,0% 55636, ,5 126, , , ,46 Tabela º) Teste de hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0) Testada a hipótese nula da regressão (ß1 = 0 e ß2 = 0), ambas foram aceitas, uma vez que: F calculado = 15,25179 < F (λ) (k), (n-k-1) = F (1%) (2), (5) = 13,27 (tabelado) Como rejeitamos a hipótese de nulidade de ß1 e ß2, então, a equação de regressão obtida pela modelagem é significante ao nível de 1% para explicar o comportamento de mercado A tabela a seguir se refere a uma pesquisa de apartamentos na cidade de Campo Grande - MS. Registrou-se os preços dos apartamentos em oferta, suas áreas, valores de condomínio, número de vagas de garagem, se posui portaria, quadra, piscina e Sacada. Pretendese encontrar o valor de mercado de um imóvel com as seguintes características: Área = 115m² Condomínio = R$ 150,00 Garagem = 1 vaga Portaria = Possui (Recebe valor 1 por se tratar de uma variável dicotômica) Armário = Não Possui (Recebe valor 0 por se tratar de uma variável dicotômica) Quadra = Possui (Recebe valor 1 por se tratar de uma variável dicotômica) Piscina = Não Possui (Recebe valor 0 por se tratar de uma variável dicotômica) Sacada = Possui (Recebe valor 1 por se tratar de uma variável dicotômica) Nº registro Residencial Valor Área Cond. Garagem Portaria Armário Quadra Piscina Sacada 1 Cachoeirinha II R$ R$ Itacolomi R$ R$ Via Park R$ R$ R$ R$ Dominica R$ R$

35 6 Tacuma R$ R$ Cachoeirinha II R$ R$ Vitoria R$ R$ R$ R$ Monte Castelo R$ R$ Sevilha R$ R$ Parque dos coqueiros R$ R$ Cedro R$ R$ Marques de Labradil R$ R$ Las Palmas R$ R$ R$ R$ Sam Lorenço R$ R$ Mangaratiba R$ R$ Nova Suécia R$ R$ Nova Portugal R$ R$ Nova Inglaterra R$ R$ Planilha º) Verificação da colinearidade. Supondo a amostra já saneada pelo critério de Chauvenet, calcula-se a tabela de correlações obtendo o seguinte resultado: Valor Área Cond. Garagem Portaria Armário Quadra Piscina Sacada Valor 1,00 Área 0,66 1,00 Cond. -0,15-0,05 1,00 Garagem 0,36 0,58-0,02 1,00 Portaria -0,29-0,04 0,78-0,07 1,00 Armário -0,10 0,12-0,21 0,08-0,38 1,00 Quadra 0,29 0,03 0,66-0,08 0,38 0,01 1,00 Piscina 0,16-0,17 0,45-0,12 0,31-0,37 0,37 1,00 Sacada 0,22-0,05 0,22-0,14 0,02-0,36 0,36 0,60 1,00 Tabela

36 Verifica-se que a variável condomínio possui uma correlação alta com a variável portaria, faremos o cálculo dos FIVs para verificar se alguma variável deve ser excluída do modelo. Os FIVs calculados são: - Área: FIV = 1,66 - Condomínio: FIV = 4,78 - Garagem: FIV = 1,64 - Portaria: FIV = 3,72 - Armário: FIV = 1,66 - Quadra: FIV = 2,24 - Piscina: FIV = 1,99 - Sacada: FIV = 2,09 Como todos os FIVs são menores que 5 não há problema de colinearidade no modelo. 2º) Calculo da estatística de regressão e anova. RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado ajustado 0, Erro padrão 18540,55309 Observações 21 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 8 2,87E+10 3,59E+09 10,44 0, Resíduo 12 4,125E+09 3,44E+08 Total 20 3,282E+10 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores Interseção 61518, ,059 2,397 0, , ,219 Área 1328, ,993 5,168 0, , ,064 Cond. -141,130 98,052-1,439 0, ,768 72,508 Garagem 1530, ,344 0,146 0, , ,516 Portaria , ,963-2,535 0, , ,390 Armário , ,162-3,092 0, , ,117 Quadra 51370, ,005 4,122 0, , ,407 Piscina 29013, ,275 2,295 0, , ,872 36

37 Sacada , ,927-1,554 0, , ,923 Tabela º) Teste de hipótese nula da regressão Pelo teste F, a mesma foi rejeitada ao nível de 1%, uma vez que: F de sifnificação 0, ,01 (O modelo é significativo) 4º) Teste de hipótese nula dos regressores Testando as variáveis ao nível de 20%, tem-se: Área - Valor P 0,00 0, 20 (Significativa para o modelo) Condominio - Valor P 0,18 0, 20 (Significativa para o modelo) Garagem - Valor P 0,88 0, 20 (Não é significativa para o modelo) Portaria - Valor P 0,03 0, 20 (Significativa para o modelo) Armário - Valor P 0,01 0, 20 (Significativa para o modelo) Quadra - Valor P 0,00 0, 20 (Significativa para o modelo) Piscina - Valor P 0,04 0, 20 (Significativa para o modelo) Sacada - Valor P 0,15 0, 20 (Significativa para o modelo) 5º) Análise crítica dos valores obtidos na regressão Ao término do calculo das estatísticas de regressão e dos testes de hipóteses devemos verificar se o modelo realmente serve para explicar o comportamento real do mercado imobiliário. A priori esta tudo correto em nosso modelo, mas vamos nos atentar aos coeficientes obtidos para as variáveis: Portaria, Armário e Sacada. Coeficientes: -Portaria = R$ ,39 -Armário = R$ ,88 -Sacada = R$ ,10 Os coeficientes negativos para estas variáveis não condizem com a realidade. Podemos ver através do exemplo: Um apartamento que não possua Armário Embutido tem um valor de mercado, se o seu proprietário resolver investir na instalação de Armário Embutido no apartamento seu apartamento, este investimento ira agregar valor ao imóvel, ao contrário do que diz o modelo, cujo diz que se o proprietário investir na instalação de armário embutido o valor do imóvel irá diminuir em R$ 33156,88. Para tentar descobrir o que esta afetando o modelo de regressão plota-se gráficos das variáveis explicativas versus variável explicada, conforme demonstrado a seguir: 37

38 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 8, 9 e 10 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10 38

39 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10 39

40 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10 40

41 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 3, 6, 9 e 10 A plotagem desses gráficos é feita para verificar a existência de pontos influenciantes. Entendese por pontos influenciantes aqueles com pequenos resíduos, em algumas vez até nulos, mas que se distanciam da massa de dados, podendo alterar completamente as tendências naturais indicadas pelo mercado (DANTAS, 2005, p. 113). 41

42 Pode-se concluir então que as amostras 3, 6, 9, 10 são pontos influenciantes no modelo, a solução é excluir esses dados de nossa amostra e proceder a analise de regressão novamente. Após a exclusão a planilha deve ficar como a planilha 4.3.2: Nº registro Residencial Valor Área Cond. Garagem Portaria Armário Quadra Piscina Sacada 1 Cachoeirinha II R$ R$ Itacolomi R$ R$ R$ R$ Dominica R$ R$ Cachoeirinha II R$ R$ Vitoria R$ R$ Sevilha R$ R$ Parque dos coqueiros R$ R$ Cedro R$ R$ Marques de Labradil R$ R$ Las Palmas R$ R$ R$ R$ Sam Lorenço R$ R$ Mangaratiba R$ R$ Nova Suécia R$ R$ Nova Portugal R$ R$ Nova Inglaterra R$ R$ Planilha *Observe que o número de registro das amostras foram alterados para que não haja confusão quanto ao número real de amostras do modelo. Verificando se ainda existem pontos influenciantes no modelo, plota-se o gráfico do Valor x Área (Gráfico 4.3.9), que supostamente é a variável que mais influencia no modelo. Como demonstrado no gráfico 4.3.9, ainda existem pontos influenciantes no modelo. 42

43 Gráfico Pontos indicados pelas setas correspondem as amostras: 2, 6, 13 e 17 Procedendo novamente a exclusão das amostras que foram consideradas como pontos influenciantes, temos uma nova planilha: Nº registro Residencial Valor Área Cond. Garagem Portaria Armário Quadra Piscina Sacada 1 Cachoeirinha II R$ R$ R$ R$ Dominica R$ R$ Cachoeirinha II R$ R$ Sevilha R$ R$ Parque dos coqueiros R$ R$ Cedro R$ R$ Marques de Labradil R$ R$ Las Palmas R$ R$ R$ R$ Mangaratiba R$ R$ Nova Suécia R$ R$ Nova Portugal R$ R$ Planilha º) Calculo da estatística de regressão e anova para a nova planilha. 43

44 RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,97 R-Quadrado 0,94 R-quadrado ajustado 0,83 Erro padrão 9070,31 Observações 13,00 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 8 5,58E+09 6,98E+08 8, ,02767 Resíduo 4 3,29E+08 8,23E+07 Total 12 5,91E+09 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-p 95% inferiores 95% superiores - Interseção , ,778-1,817 0, , ,513 Área 2810,96 599,113 4,692 0, , ,366 Cond. 30,86 162,813 0,190 0, , ,899 Garagem , ,679-1,961 0, , ,143 Portaria , ,673-1,564 0, , ,800 Armário , ,310-1,307 0, , ,090 Quadra 10060, ,117 0,572 0, , ,752 Piscina 18423, ,165 1,791 0, , ,722 Sacada 19958, ,302 1,584 0, , ,439 Tabela Como possuímos apenas 13 amostras devemos escolher no máximo 3 variáveis para o modelo, pois a norma exige que n 3( k 1), onde k é o numero de variáveis independentes. Serão escolhidas as variáveis: área, piscina e sacada, pois apresentem coeficiente com sinal coerente com a realidade de mercado e são significantes ao nível de 20%. Temos então uma nova planilha contendo apenas as 3 variáveis escolhidas. 44

45 Nº registro Residencial Valor Área Piscina Sacada 1 Cachoeirinha II R$ R$ Dominica R$ Cachoeirinha II R$ Sevilha R$ Parque dos coqueiros R$ Cedro R$ Marques de Labradil R$ Las Palmas R$ R$ Mangaratiba R$ Nova Suécia R$ Nova Portugal R$ Planilha º) Calculo da estatística de regressão e anova para planilha com 3 variáveis. RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0, R-Quadrado 0, R-quadrado ajustado 0, Erro padrão 13365,14891 Observações 13 ANOVA gl SQ MQ F F de significação Regressão 3 4,31E ,034 0,0065 Resíduo 9 1,61E ,5 Total 12 5,91E+09 45