Conceitos Básicos. LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08. c Inês Lynce c Luísa Coheur

Transcrição

1 Capítulo 1 Conceitos Básicos Lógica para Programação LEIC - Tagus Park 2 o Semestre, Ano Lectivo 2007/08 c Inês Lynce c Luísa Coheur

2 Bibliografia Martins J.P., Lógica para Programação (as folhas serão entregues ao longo do semestre). Ben-Ari M., Mathematical Logic for Computer Science, Springer-Verlag, 2003, capítulos 1 e 2 (parte) Huth M. e Ryan M., Logic in Computer Science, Cambridge University Press, 2004, capítulo 1 (parte)

3 Sumário da aula Sobre argumentos Definição de proposição Definição de argumento Argumento válido/inválido Princípio da irrelevância do valor lógico Metodologia para determinar validade/invalidade de um argumento Forma do argumento Princípio da forma Sobre lógica A lógica como sistema formal Definição de lógica (no contexto de LP) Componente de uma lógica Fórmulas bem formadas Sistema dedutivo Sistema semântico Conceitos de completude e solidez

4 Sumário da aula Sobre argumentos Definição de proposição Definição de argumento Argumento válido/inválido Princípio da irrelevância do valor lógico Metodologia para determinar validade/invalidade de um argumento Forma do argumento Princípio da forma Sobre lógica A lógica como sistema formal Definição de lógica (no contexto de LP) Componente de uma lógica Fórmulas bem formadas Sistema dedutivo Sistema semântico Conceitos de completude e solidez

5 Argumentos informalmente Na nossa vida quotidiana, argumentamos produzindo um conjunto de frases declarativas, as quais apoiam uma dada frase declarativa que tentamos transmitir como a conclusão da nossa argumentação

6 Exemplo 1. Todos os estudantes precisam de sair à noite para terem rendimento na faculdade 2. Eu sou estudante 3. Logo/então/consequentemente/portanto para ter rendimento na faculdade preciso de sair à noite 1-2 dizem-se as premissas; 3 a conclusão

7 Bem e há que dizer que existem bons e maus argumentos Todos os estudantes precisam de sair com os amigos para terem rendimento na faculdade 2. Eu sou estudante 3. Logo/então/consequentemente/portanto para ter rendimento na faculdade preciso que me emprestes 100 euros

8 Definição de proposição Proposições são frases declarativas, isto é, frases que fazem afirmações sobre qualquer coisa

9 Exemplos Tolkien é um homem Todos os peixes têm penas Boris Vian était an écrivan français The sum of the numbers 3 and 5 equals 689

10 Atenção: não são exemplos de proposições Could you please pass me the salt? (frase interrogativa) Forneça uma resposta para o exercício 4. (frase imperativa) Uau! (frase exclamativa)

11 Sobre proposições Pode-se dizer que uma proposição é verdadeira ou falsa mas o valor de uma proposição pode ser relativo

12 Exemplo A Angelina Jolie fez um filme com a Winona Ryder. (sempre verdade) A relva é verde. (talvez seja falso no meio do Alentejo, no pico do Verão) O Sporting jogou bem. (nem sempre verdade... infelizmente)

13 Definição (formal) de argumento Um argumento é um par, constituido por um conjunto finito de proposições as premissas e por uma única proposição a conclusão

14 Definição (formal) de argumento Um argumento (premissas, conclusão) pode também ser representado por: (, α) ou por α

15 Exemplo ({Todos os homens são mortais, Joaquim é um homem}, Joaquim é mortal) Todos os homens são mortais Joaquim é um homem Joaquim é mortal

16 Definição de argumento válido e inválido Um argumento é válido quando é logicamente impossível ter todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa; diz-se inválido caso contrário

17 Atenção: não confundir validade/invalidade com verdade/falsidade Um argumento diz-se válido/inválido Uma proposição diz-se verdadeira/falsa

18 Exemplo Esta agora são vocês que fazem :-)

19 Isto leva-nos ao Princípio da irrelevância do valor lógico Excepto no caso em que as premissas são todas verdadeiras e a conclusão é falsa, a verdade/falsidade das proposições que constituem um argumento NÃO é relevante para determinar a validade/invalidade do argumento

20 E agora, como é que eu provo que um argumento é válido/inválido?

21 Primeiro que tudo, há que compreender que embora um argumento seja sempre válido/inválido, a sua validade/invalidade pode ser desconhecida Por exemplo o último teorema de Fermat foi formulado no séc. XVII mas só foi provado em 1993 ({axiomas da aritmética}, para n > 2, não existem inteiros x, y e z tais que z n = x n + y n )

22 Metodologia para determinar validade/invalidade (, α) Palpite Válido Inválido Tentar encontrar uma prova Tentar encontrar um contra-argumento Sim Não Não Sim Mudar de palpite Validade/Invalidade desconhecida (, α) é sabido válido (, α) é sabido inválido

23 Provas directas vs. provas por redução ao absurdo Provas directas Assume-se que as premissas são verdadeiras e testa-se o valor da conclusão: Se pode ser falsa, o argumento é inválido Se não pode ser falsa, o argumento é válido Provas por redução ao absurdo Assume-se que a conclusão é falsa e vai-se ver se é possível que todas as premissas sejam simultaneamente verdadeiras Se sim, o argumento é inválido Se não, o argumento é válido

24 Exemplo Estas agora também são vocês que fazem :-) PS: saber escrever português e saber usar os diagramas de Venn ajuda bastante.

25 Forma dos argumentos A forma de um argumento é estudada independentemente do domínio: as partes das proposições são substituídas por símbolos associados à categoria gramatical (nome próprio, substantivo, adjectivo)

26 Exemplo 1 O argumento Bobi é um animal todos os cães são animais Bobi não é cão nem todos os animais são cães tem a forma: A é um B todo o C é B A não é C nem todos os B são C em que A é um nome próprio e B e C são substantivos

27 Exemplo 2 Por exemplo os dois argumentos: Piupiu é uma ave nenhuma ave tem barbatanas Piupiu não tem barbatanas FOO é um nome em Scheme nenhum nome em Scheme contém o caracter branco FOO não contém o caracter branco têm a mesma forma: A é um B nenhum B tem C A não tem C em que A é um nome próprio e B e C são substantivos

28 Isto leva-nos ao Princípio da forma Se dois argumentos têm a mesma forma então são ambos válidos ou ambos inválidos (e isto tb pode ajudar a fazer provas de validade/invalidade de um argumento)

29 Sumário da aula Sobre argumentos Definição de proposição Definição de argumento Argumento válido/inválido Princípio da irrelevância do valor lógico Metodologia para determinar validade/invalidade de um argumento Forma do argumento Princípio da forma Sobre lógica A lógica como sistema formal Definição de lógica (no contexto de LP) Componente de uma lógica Fórmulas bem formadas Sistema dedutivo Sistema semântico Conceitos de completude e solidez

30 A lógica como um sistema formal A lógica é um sistema formal porque estuda argumentos do ponto de vista da forma, utilizando símbolos para descrever em termos lógicos os objectos que são comuns a formas de argumentos

31 Exemplo Por exemplo a forma: A é um B nenhum B tem C A não tem C pode ser apresentada de um modo mais compacto como: B(A) x[b(x) C(x)] C(A) em que todos é representado por, implica por e não por

32 Definição de lógica (no contexto de LP) Ramo do conhecimento que tem como objectivo a análise sistemática do raciocínio correcto

33 E o que é o raciocínio correcto? Partindo de um conjunto de proposições que se assumem verdadeiras (premissas), o raciocínio correcto pretende determinar que outras proposições (conclusões) são verdadeiras nessa situação

34 Para os informáticos perceberem melhor... Input = premissas: conjunto de proposições que se assume serem verdadeiras. Output = conclusões: conjunto de proposiçoes que são verdadeiras nessa situação

35 Exemplo Problema de Einstein que outras proposições são verdadeiras nesta situação? O inglês vive na casa vermelha. O sueco tem cachorros como animais de estimação. O dinamarquês bebe chá. A casa verde fica à esquerda da casa branca. O dono da casa verde bebe café. A pessoa que fuma PallMall cria pássaros. O dono da casa amarela fuma Dunhill. O homem que vive na casa de centro bebe leite. O norueguês vive na primeira casa. O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos. O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill. O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja. O alemão fuma Prince. O norueguês vive ao lado da casa azul. O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.

36 Componentes de uma lógica linguagem A linguagem de uma lógica é definida através de um conjunto de regras de formação que especificam as frases possíveis da lógica, denominadas fórmulas bem formadas (fbfs)

37 Nova definição de argumento Seja L a linguagem que corresponde às fbfs. Logo, um argumento é um par (,α) no qual L e α L

38 Componentes de uma lógica manipulação de (fbfs) Podemos manipular as frases da linguagem a dois níveis diferentes: A nível simbólico - sistema dedutivo: realização de operações de manipulação de símbolos que dão origem a sequências de frases que começam pelas premissas e tentam obter uma conclusão A nível do significado - sistema semântico: atribuição de significado/valor lógico às proposições de um argumento com o objectivo de avaliar validade/invalidade de um argumento

39 Manipulação a nível simbólico sistema dedutivo Composto por um conjunto de regras para a manipulação de símbolos chamadas regras de inferência. Estas regras especificam como formar novas fbfs a partir das fbfs existentes

40 Manipulação a nível simbólico sistema dedutivo prova de um argumento Prova de um argumento (, α): sequência finita de fbfs geradas a partir de de modo a obter α, tal que cada fbf ou é uma premissa ou é o resultado da aplicação de uma regra de inferência a uma ou mais fbfs anteriores da prova

41 Manipulação a nível simbólico sistema dedutivo derivação e demonstração Dado um argumento (, α), α é derivável a partir de, ou seja, α sse existir uma sequência de regras de inferência que aplicadas às fbfs de (e às fbfs geradas a partir de ) produz α. Por outras palavras, α é derivável a partir de se existe uma prova de α a partir de Se α então o argumento (, α) é demonstrável

42 Manipulação a nível simbólico sistema dedutivo axiomas e teoremas Axioma: fbf que é aceite sem demonstração O conjunto de todas as fbfs deriváveis a partir de L corresponde à teoria gerada a partir de, ou seja, aos teoremas de (Th( ))

43 Manipulação a nível de significado sistema semântico Especifica as condições sob as quais as proposições são verdadeiras ou falsas Uma interpretação permite determinar os valores lógicos das proposições

44 Manipulação a nível de significado sistema semântico implicação lógica Dado um argumento (, α), se não existe nenhuma interpretação que torna todas as proposições em verdadeiras e α falso, então diz-se que implica logicamente α ou que α é uma implicação lógica de, ou seja, = α Se = α então o argumento (, α) é válido

45 Conceitos de solidez e completude Solidez de uma lógica: qualquer argumento demonstrável (pelo sistema dedutivo) é válido (de acordo com a semântica) Completude de uma lógica: qualquer argumento válido (de acordo com a semântica) é demonstrável (pelo sistema dedutivo) Linguagem Sistema dedutivo Semântica Derivabilidade Solidez Completude Validade = Os conceitos de solidez e completude estabelecem uma relação entre o sistema dedutivo e a semântica Numa lógica sólida e completa os conceitos de derivabilidade e validade são equivalentes