Elementos de Matemática

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1 Elementos de Matemática Trigonometria do Triângulo Retângulo Roteiro no.5 - Atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 9 de Maio de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré ulysses@matematica.uel.br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas construídas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em português, há pouco material de domínio público, mas em inglês existem diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor faça pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: No princípio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princípio com Deus. Todas as coisas foram feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz homens; a luz resplandece nas trevas, e Resumo dos principais as trevas não prevaleceram contra ela.... Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por conceitos intermédio dele, eda o mundo trigonometria não o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crêem no aplicados seu nome, deu-lhes à Topografiao poder de se tornarem filhos de Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre nós, cheio de graça e de verdade... A Bíblia Sagrada, João 1:1-5,10-14

2 CAPÍTULO 1 Trigonometria do triângulo retângulo 1.1 Trigonometria e aplicações Tratamos aqui sobre alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antigüidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são: 1. Determinação da altura de um certo prédio. Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

3 1.2. TRIÂNGULO RETÂNGULO 2 2. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples. 3. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. 4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é facilitado com o uso de recursos trigonométricos. 5. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo. 1.2 Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 0, então os outros dois ângulos medirão Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90 0, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. Ver mais detalhes em triângulos 1.3 Lados de um triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Origem da palavra Cateto Cathetós: (perpendicular) Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo) Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

4 1.4. NOMENCLATURA DOS CATETOS 3 Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Nome do lado Vértice = Ângulo Medida a Hipotenusa A = Ângulo reto A = 90 0 b Cateto B = Ângulo agudo B < 900 c Cateto C = Ângulo agudo C < 900 Ver mais detalhes em ângulos 1.4 Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estamos usando o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacente Um dos objetivos da trigonometria é mostrar o uso de conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso. Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

5 1.5. PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Propriedades do triângulo retângulo 1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. 3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. 1.6 A hipotenusa como base de um triângulo retângulo Tomando informações da mesma figura acima, obtemos: 1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a. 2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a. 3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a. Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

6 1.7. PROJEÇÕES DE SEGMENTOS Projeções de segmentos Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção obĺıqua do prédio sobre o solo. Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A B, sendo que no último caso A = B é um ponto. 1.8 Projeções no triângulo retângulo Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo. 1. m = projeção de c sobre a hipotenusa. 2. n = projeção de b sobre a hipotenusa. 3. a = m + n. 4. h = média geométrica entre m e n. Ver mais detalhes em média geométrica Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

7 1.9. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Relações Métricas no triângulo retângulo Para extrair algumas propriedades, decomporemos o triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CAD = B e DAB = C. Os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes. Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor ABC a b c ADC b n h ADB c h m Assim: logo: a b = b n = c h a c = b h = c m b c = n h = h m a c = c m equivale a ac2 = a.m a b = b n equivale a ab2 = a.n a c = b equivale a aa.h = b.c h h m = n h equivale a ah2 = m.n Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

8 1.10. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS 7 Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a = m+n, somando c 2 com b 2, obtemos: c 2 + b 2 = a.m + a.n = a.(m + n) = a.a = a 2 que resulta no Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 Esta é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras Funções trigonométricas básicas As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. Indicamos o ângulo pela letra x, o cateto oposto ao ângulo x por CO, o cateto adjacente ao ângulo x por CA, a hipotenusa do triângulo por H e m(z) a medida do segmento Z. Função seno cosseno tangente Notação Definição sin(x) m(co) m(h) cos(x) m(ca) m(h) tan(x) m(co) m(ca) Tomando um triângulo retângulo ABC, tal que m(h) = 1, o seno do ângulo x sob análise é a medida do cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. sin(x) = m(co) H cos(x) = m(ca) H = m(co) 1 = m(ca) 1 tan(x) = m(co) m(ca) = sin(x) cos(x) Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a relação: cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 Elementos de Matemática - No. 5 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

9 CAPÍTULO 1 Elementos gerais sobre Trigonometria 1.1 O papel da trigonometria Trigonometria é uma palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras. A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros. 1.2 Ponto móvel sobre uma curva Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

10 1.3. ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA 2 Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo. 1.3 Arcos da circunferência Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco. Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. 1.4 Medida de um arco A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

11 1.5. O NÚMERO PI 3 Na figura seguinte, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(ab) e a medida do arco u por m(u), temos m(ab) = 5 m(u). A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer sentido, sendo que a medida algébrica de um arco AB desta circunferência é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B é antihorário, e negativo se o sentido é horário. 1.5 O número pi Em toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante denotada pela letra grega π, que é um número irracional, isto é, que não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número π é dada por: π = 3, Mais informações sobre pi, podem ser obtidas na página Áreas de regiões circulares: Unidades de medida de arcos A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas por técnicos como o grau e o grado. Este último não é muito comum. Radiano: Medida de um arco cujo comprimento é o mesmo que o raio da circunferência que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

12 1.7. ARCOS DE UMA VOLTA 4 Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, tomamos: comprimento do arco(ab) m(ab) = = 12/8 = 1, 5 rad comprimento do raio 1.7 Arcos de uma volta Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C = 2πr, então: comprimento do arco(ab) m(ab) = = 2πr = 2π comprimento do raio r A medida em radianos de um arco de uma volta completa é 2π rad, isto é, 2π rad = 360 graus. Temos as seguintes situações usuais: 90 graus 180 graus 270 graus 360 graus 100 grados 200 grados 300 grados 400 grados π/2 rad π rad 3π/2 rad 2π rad Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

13 CAPÍTULO 2 O círculo trigonométrico 2.1 Círculo Trigonométrico Seja uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico. Em livros de ĺıngua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular. Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue: Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

14 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 7 Quadrante abscissa ordenada α Primeiro positiva positiva 0 o < α < 90 o Segundo negativa positiva 90 o < α < 180 o Terceiro negativa negativa 180 o < α < 270 o Quarto positiva negativa 270 o < α < 360 o Os quadrantes são usados para localizar pontos e caracterizar ângulos para uso em trigonometria. Por convenção, os pontos sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes. 2.2 Arcos com mais de uma volta Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidas são maiores do que 360 o. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360 o ou ser maior do que 360 o. Se esta medida for menor ou igual a 360 o, dizemos que este arco está em sua primeira determinação. Assim, o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um certo sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360 o ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

15 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 8 Se AM é um arco cuja primeira determinação mede m, então um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso. Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas: m, m + 2π, m + 4π, m + 6π,... Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas: m 2π, m 4π, m 6π,... e assim temos uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M. Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por: m(am) = m + 2kπ onde k é um número inteiro, isto é, k Z = {..., 2, 3, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M. Exemplo 4. Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2π, então os arcos 3 desta família {AM}, medem: Determinações positivas (sentido anti-horário) k = 0 m(am) = 2π 3 k = 1 m(am) = 2π 3 + 2π = 8π 3 k = 2 m(am) = 2π 14π 3 + 4π = 3 k = 3 m(am) = 2π 20π 3 + 6π = k = n m(am) = 2π 3 + 2nπ = (2 + 6n)π 3 Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

16 2.3. ARCOS CÔNGRUOS E ÂNGULOS 9 Determinações negativas (sentido horário) k = 1 m(am) = 2π 3 2π = 4π 3 k = 2 m(am) = 2π 3 4π = 6π 3 k = 3 m(am) = 2π 3 6π = 16π 3 k = 4 m(am) = 2π 3 8π = 22π k = n m(am) = 2π 3 2nπ = (2 6n)π Arcos côngruos e Ângulos Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2π. Exemplo 5. Arcos de uma mesma família são côngruos. Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM. Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b = a 2π correspondente ao arco AM. Também existem ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam a ângulos. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

17 2.4. ARCOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO EIXO OX Arcos simétricos em relação ao eixo OX Sejam AM e AM arcos na circunferência trigonométrica, com A = (1, 0) e os pontos M e M simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM é dada por: µ(am ) = 2π m. Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2kπ + m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM } têm medidas iguais a 2kπ m, onde k é um número inteiro. 2.5 Arcos simétricos em relação ao eixo OY Sejam AM e AM arcos na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e os pontos M e M simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM será dada pela expressão µ(am ) = π m. Os arcos da família {AM }, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M, medem (2k + 1)π m onde k Z. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

18 2.6. ARCOS SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO À ORIGEM Arcos simétricas em relação à origem Sejam arcos AM e AM na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e os pontos M e M simétricos em relação à origem (0, 0). Se o arco AM mede m, então µ(am ) = π+m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M medem m(am ) = (2k + 1)π + m. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

19 CAPÍTULO 3 Seno, Cosseno e Tangente 3.1 Seno e cosseno Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A = (1, 0) e um número real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0, 0) e raio unitário. Seja M = (x, y ) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C = (x, 0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y ). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(am) ou sen(a). Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

20 3.2. TANGENTE 13 Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(am) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos. Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(am) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x do ponto M. Existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(am) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x 3.2 Tangente Seja t a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto A = (1, 0). Esta reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência tem interseção com a reta tangente t no ponto T = (1, t ). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

21 3.3. ÂNGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 14 Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(am) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(at) = t Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos. Um caso especial é quando o ponto M está no eixo horizontal OX, pois cos(0) = 1, sen(0) = 0, tan(0) = 0 Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes 3.3 Ângulos no segundo quadrante Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo π < a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno 2 está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa. Outro caso especial é quando o ponto M está no eixo vertical OY e temos que: cos( π 2 ) = 0, sen(π 2 ) = 1 e a tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

22 3.4. ÂNGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE Ângulos no terceiro quadrante O ponto M = (x, y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo a [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) é simétrico ao ponto M = ( x, y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva. Em particular, se a = π rad, temos que cos(π) = 1, sen(π) = 0, tan(π) = Ângulos no quarto quadrante O ponto M está no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa. Se o ângulo mede 3π/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a = 3π/2, temos: cos( 3π 2 ) = 0, sin(3π 2 ) = 1 Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

23 3.6. SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO OX Simetria em relação ao eixo OX Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos. Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM, então sen(a) = sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = tan(b) 3.7 Simetria em relação ao eixo OY Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas. Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM, então sen(a) = sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = tan(b) Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

24 3.8. SIMETRIA EM RELAÇÃO À ORIGEM Simetria em relação à origem Se M é um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante e se M é o simétrico de M em relação à origem, estes pontos M e M possuem ordenadas e abscissas simétricas. Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM, então sen(a) = sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = tan(b) 3.9 Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com freqüência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico. Elementos de Matemática - No. 6 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

25 CAPÍTULO 2 Resolução de triângulos Os elementos fundamentais de um triângulo são: os lados, os ângulos e a área. Resolver um triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendo três dentre estes elementos podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência. 2.1 Lei dos Senos Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura com lados a, b e c, respectivamente tendo ângulos opostos A, B e C. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é: a sen(a) = b sen(b) = c sen(c) = 2R Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

26 2.1. LEI DOS SENOS 8 Demonstração: Para simplificar as notações denotaremos o ângulo que corresponde a cada vértice pelo nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, assim quando escrevermos sen(a) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente com vértice em A. Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o lado BC, construimos um novo triângulo BCA, de tal modo que o segmento BA seja um diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C. Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A são congruentes, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondendo a um mesmo arco BC. Então: isto é, sen(a ) = sen(a) = a 2R a sen(a) = 2R Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

27 2.1. LEI DOS SENOS 9 Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outros quocientes b sen(b) = c sen(c) = 2R 2. Triângulo obtusângulo: Se A e A são os ângulos que correspondem aos vértices A e A, a relação entre eles é dada por A = π A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos replementares BAC e BA C. Então isto é, sen(π A) = a 2R = sen(a) a sen(a) = 2R Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos os outros quocientes b sen(b) = c sen(c) = 2R 3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que sen(b) = b a, sen(c) = c a, sen(a) = sen(π 2 ) = 1 Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

28 2.2. LEI DOS COSSENOS 10 Como, neste caso a = 2R, temos, a sen(a) = b sen(b) = c sen(c) 2.2 Lei dos Cossenos Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por estes lados. a 2 b 2 c 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) = a 2 + c 2 2 a c cos(b) = a 2 + b 2 2 a b cos(c) Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A, a relação a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) Como cos(a) = cos(π/2) = 0, esta relação recai na relação de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

29 2.2. LEI DOS COSSENOS 11 triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos: a 2 = h 2 + (c x) 2 = (h 2 + x 2 ) + c 2 2cx (2.1) No triângulo AHC, temos que b 2 = h 2 + x 2 e também cos(a) = x b, ou seja, x = b cos(a). Substituindo estes resultados na equação 2.1, obtemos: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) 3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura. Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que: a 2 = h 2 + (c + x) 2 = (h 2 + x 2 ) + c 2 + 2cx (2.2) No triângulo AHC, obtemos a relação de Pitágoras b 2 = h 2 + x 2 e também cos(d) = x = cos(π A) = cos(a), logo, x = b cos(a). b Substituindo estes resultados na equação 2.2, obtemos: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

30 2.3. ÁREA DE UM TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS 12 As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma cos(a) = b2 + c 2 a 2 2 b c cos(b) = a2 + c 2 b 2 2 a c cos(c) = a2 + b 2 c 2 2 a b 2.3 Área de um triângulo em função dos lados Existe uma fórmula para calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p = a + b + c, então, S = p(p a)(p b)(p c) A demonstração da fórmula acima está em nosso link Fórmula de Heron: Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

31 CAPÍTULO 4 Funções trigonométricas circulares Funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenômenos naturais periódicos, como variações da temperatura terrestre, comportamentos ondulatórios do som, pressão sanguínea no coração, níveis de água em oceanos, etc. 4.1 Funções reais Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das definições e propriedades que caracterizam a teoria de funções reais. Função: Uma função de um conjunto não vazio A em um conjunto não vazio B, denotada por f : A B, é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B. O conjunto A é denominado o domínio de f, o conjunto B é denominado contradomínio de f. O elemento y B que corresponde ao elemento x A de acordo com a lei f, é a imagem de x por f, indicado por y = f(x). O conjunto de todos elementos de B que são imagem de algum elemento de A é denominado conjunto Imagem de f. Uma função f é denominada função real de variável real, se o domínio e Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

32 4.2. FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 17 contradomínio de f são subconjuntos do conjunto dos números reais. Função periódica: Uma função real f, com domínio em A subconjunto da reta real, é dita periódica se, existe um número real positivo T, tal que para todo x A, vale f(x + T) = f(x) Podem existir muitos números reais T com esta propriedade, mas o menor número T > 0, que satisfaz a esta condição é o período fundamental. Exemplo 1. A função real definida por f(x) = x [x], onde [x] é a parte inteira do número real x que é menor ou igual a x. Esta função é periódica de período fundamental T = 1. Função limitada: Uma função f de domínio A R é limitada, se existe um número real L > 0, tal que para todo x A, valem as desigualdades: L f(x) L e esta última expressão é equivalente a f(x) L. Exemplo 2. A função real f(x) = 2x é limitada pois 1 + x2 1 x 1 + x Funções crescentes e decrescentes Seja f uma função definida em um intervalo I, sendo x, y I, com x < y. Afirmamos que f é crescente, se f(x) < f(y) e que f é decrescente, se f(x) > f(y). Exemplo 3. A função real f(x) = 2x + 1 é crescente enquanto que a função real f(x) = e x é decrescente. 4.3 Funções pares e ímpares Função par: Uma função f é uma função par, se para todo x do domínio de f tem-se que f( x) = f(x) Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

33 4.4. FUNÇÃO SENO 18 Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical OY. Exemplo 4. A função real definida por f(x) = x 2 é par. Função ímpar: Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do domínio de f tem-se que f( x) = f(x) Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0, 0) do sistema de eixos cartesiano. Exemplo 5. A função real definida por f(x) = x 3 é ímpar. 4.4 Função seno Dado um ângulo de medida x, a função seno associa a cada x R o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x) = sen(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 0 2/2 1 2/2 0 2/2 1 2/2 0 Gráfico: Na figura, o segmento Oy que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY. Propriedades da função seno 1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen) = R. Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

34 4.4. FUNÇÃO SENO Imagem: O conjunto imagem da função seno é I = {y R : 1 y 1} 3. Periodicidade: A função é periódica de período 2π. Para todo x R e para todo k Z: sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) =... = sen(x + 2kπ) Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ) Como para todo k Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, então sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x) A função seno é periódica de período fundamental T = 2π. Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2π. 4. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Seno positiva positiva negativa negativa 5. Monotonicidade Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Seno crescente decrescente decrescente crescente 6. Limitação: O gráfico de y = sen(x) está contido na faixa do plano limitada pelas retas horizontais y = 1 e y = 1. Para todo x R, temos: 1 sen(x) 1 7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x R, tem-se que: sen( x) = sen(x) Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

35 4.5. FUNÇÃO COSSENO Função cosseno Dado um ângulo de medida x, a função cosseno denotada por f(x) = cos(x), é a relação que associa a cada x R o número real cos(x). Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 1 2/2 0 2/2 1 2/2 0 2/2 1 Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal OX. Propriedades da função cosseno 8. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim Dom(cos) = R. 9. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I = {y R : 1 y 1} 10. Periodicidade: A função é periódica de período 2π. Para todo x R e para todo k Z: cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) =... = cos(x + 2kπ) Justificativa: Pela fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ) sen(x)sen(2kπ) Para todo k Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo cos(x + 2kπ) = cos(x)(1) sen(x)(0) = cos(x) A função cosseno é periódica de período fundamental T = 2π. Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

36 4.6. FUNÇÃO TANGENTE Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cosseno positiva negativa negativa positiva 12. Monotonicidade: Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] Cosseno decrescente decrescente crescente crescente 13. Limitação: O gráfico de y = cos(x) está contido na faixa localizada entre as retas horizontais y = 1 e y = 1. Para todo x R, temos: 1 cos(x) Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x R, tem-se que: cos( x) = cos(x) 4.6 Função tangente Como a tangente não tem sentido para arcos da forma (k + 1) π para cada 2 k Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x R, a tangente de x, denotada por tan(x). f(x) = tan(x) = sen(x) cos(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y 0 1 Inexiste Inexiste 1 0 Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

37 4.6. FUNÇÃO TANGENTE 22 Gráfico: O segmento AT, mede tan(x). Pelo gráfico, observamos que quando a medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de π/2, a função tangente está crescendo muito rápido, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX. Propriedades 1. Domínio: Como cos( π + kπ) = 0 para cada k Z, temos que 2 Dom(tan) = {x R : x π 2 + kπ} 2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I = R. 3. Periodicidade A função tangente é periódica de período π Para todo x R, com x π 2 + kπ, sendo k Z: tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) =... = tan(x + kπ) Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos tan(x + kπ) = tan(x) + tan(kπ) 1 tan(x) tan(kπ) = tan(x) tan(x).0 = tan(x) A função tangente é periódica de período fundamental T = π. Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam. 4. Sinal: Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] T angente positiva negativa positiva negativa Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

38 4.7. FUNÇÃO COTANGENTE Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x = kπ, sendo k Z, onde a função não está definida Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k + 1) π, a função cresce (ou decresce) sem controle Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x R onde a tangente está definida, tem-se que: tan( x) = tan(x) 4.7 Função cotangente Como a cotangente não existe para arcos da forma kπ onde k Z, vamos considerar o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x R, a cotangente de x, denotada por: f(x) = cot(x) = cos(x) sen(x) Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π]. x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π y Inexiste Inexiste Inexiste Gráfico: O segmento Os mede cot(x). O gráfico mostra que quando a medida do arco AM está próxima de π ou de π, podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interseção com a reta s vai se tornando muito distante. Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

39 4.7. FUNÇÃO COTANGENTE 24 Propriedades: 1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma kπ, onde k Z, temos Dom(cot) = {x R : x kπ}. 2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I = R. 3. Periodicidade A função é periódica e seu período é π. Para todo x R, sendo x kπ, onde k Z: cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) =... = cot(x + kπ) A função cotangente é periódica de período fundamental 2π. 4. Sinal Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π] T angente positiva negativa positiva negativa 5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x = kπ, sendo k Z, onde a função não está definida. 6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de kπ/2, a função cresce (ou decresce) sem controle. Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

40 CAPÍTULO 5 Funções trigonométricas inversas Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, logo nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas funções que restritas a conjuntos menores possuem inversas. Exemplo 6. A função f(x) = cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomar x = 2kπ, onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de f(x) = cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio a um subconjunto dos números reais onde a função é bijetora. Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem. 5.1 Função arco-seno Consideremos a função f(x) = sen(x), com domínio no intervalo [ π/2, π/2] e imagem no intervalo [ 1, 1]. A função inversa de f = sen, denominada arco Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

41 5.2. FUNÇÃO ARCO-COSSENO 30 cujo seno, definida por sen 1 : [ 1, 1] [ π/2, π/2] é denotada por Gráfico da função arco-seno sen 1 (x) = arcsen(x) 5.2 Função arco-cosseno A função f(x) = cos(x), com domínio [0, π] e imagem [ 1, 1], possui inversa, denominada arco cujo cosseno e é definida por cos 1 : [ 1, 1] [0, π] e denotada por cos 1 (x) = arccos(x) Gráfico da função arco-cosseno: 5.3 Função arco-tangente A função f(x) = tan(x), com domínio ( π/2, π/2) e imagem em R, possui uma inversa, denominada arco-tangente definida por tan 1 : R ( π/2, π/2) e denotada por tan 1 (x) = arctan(x) Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL

42 5.4. FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE 31 Gráfico da função arco-tangente: 5.4 Função arco-cotangente A função f(x) = cot(x), com domínio (0, π) e imagem em R, possui uma inversa, denominada arco-cotangente definida por cot 1 : R (0, π) e denotada por cot 1 (x) = arccot(x) Gráfico da função arco-cotangente: Elementos de Matemática - No. 7 - Ulysses Sodré - Matemática - UEL