UMA COMPREENSÃO DE ÁLGEBRA CONSTRUÍDA PELO OLHAR DAS CONCEPÇÕES DE PROFESSORAS DE ENSINO SUPERIOR

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1 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J. Uma Eixo Temático: E4 Formação de Professores UMA COMPREENSÃO DE ÁLGEBRA CONSTRUÍDA PELO OLHAR DAS CONCEPÇÕES DE PROFESSORAS DE ENSINO SUPERIOR Erlan Almeida e Silva - SEESP SP (erlanalmeida1@gmail.com) Marina Ludgério de Souza - UFABC SP (marinaludgerio@gmail.com) Thais Helena Inglêz Silva - UFABC SP (thaisinglez@hotmail.com) Alessandro Jacques Ribeiro - UFABC - SP (alessandro.ribeiro@ufabc.edu.br) Resumo: Este trabalho tem por objetivo apresentar uma compreensão de álgebra fundamentada em concepções identificadas na literatura da área, relacionando-as aos resultados de uma investigação com quatro professoras de Ensino Superior. Tendo por base as atividades desenvolvidas no âmbito do programa Observatório da Educação (OBEDUC), esse trabalho procura identificar se e como as concepções de álgebra tratadas na literatura se manifestam entre formadores de professores de matemática. Inicialmente são apresentadas as ideias de quatro pesquisadores da área, as quais subsidiam a análise de três questões de entrevistas semiestruturadas realizadas com professoras de instituições de Ensino Superior. Estas análises também levam em consideração, fundamentadas em autores que trabalham com os conhecimentos docentes para o ensino, se as professoras explicitam diferenças no ensino de álgebra para os licenciandos ou para alunos de demais cursos, evidenciando, assim um conhecimento específico para o docente. Percebemos, em relação a este ponto, que apenas duas das quatro professoras apontam diferenças no ensino de álgebra para os futuros professores. Sobre as concepções, a maior parte das apresentadas na literatura foram identificadas nas falas das professoras, o que possibilitou-nos construir uma compreensão ainda que provisória de álgebra. Acreditamos que esta tentativa de reunir diferentes concepções de álgebra e de diferenciar as concepções das visões seja promissora e contribua para os demais trabalhos que tenham como objetivo o estudo do ensino de álgebra e que os resultados futuros de uma análise completa das entrevistas possam contribuir ainda mais para a construção de uma compreensão de álgebra adequada e fundamentada, tanto na literatura quanto na prática. Palavras-chave: Concepções de Álgebra, Educação Algébrica, Formação de Professores, Conhecimento Matemático para o Ensino. Introdução Inserido em um projeto de pesquisa intitulado Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais, no âmbito do Programa Observatório da Educação (OBEDUC), financiado pela Coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal do Ensino Superior (CAPES), coordenado pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro e de duração de quatro anos, este trabalho apresenta

2 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 2 resultados parciais de investigações feitas pela equipe do projeto, com professores de ensino superior, acerca de concepções de álgebra, especialmente voltadas para os cursos de licenciatura. O principal objetivo do projeto é investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores, ao ensinar álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma abordagem baseada em perfis conceituais. O interesse em álgebra provém tanto da ênfase que é dada a ela na Educação Básica como dos resultados das avaliações em larga escala, que explicitam as deficiências dos estudantes em seus conhecimentos algébricos. Para isso, neste primeiro ano de trabalhos do grupo envolvido, as investigações foram feitas, dentre outras atividades, através de estudos da literatura, pela leitura de publicações de autores como Fiorentini et al. (1993), Usiskin (1995), Lins e Gimenez (1997) e Lee (2001), que abordam diferentes concepções de álgebra, a partir de visões pautadas em fundamentos teóricos distintos. O interesse pelas concepções de álgebra de professores do ensino superior advém, em primeiro lugar, da necessidade de identificar uma compreensão de álgebra própria ao grupo, uma vez que, destas discussões teóricas, fica evidente que o entendimento sobre o que é álgebra não é fechado e nem, tampouco, único. Para isso, pensamos em identificar, nos formadores de professores de matemática, quais concepções de álgebra são mais comuns entre eles e que relações estes professores percebem e constroem no ensino de álgebra para os licenciandos. Este tipo de investigação tem sido comum em diversos trabalhos em Educação Matemática, pois entende-se que investigar os conhecimentos docentes dos formadores de professores significa, por extensão, conhecer a formação destes futuros professores (SHULMAN, 1986). Entendemos por conhecimento docente o conjunto de diferentes tipos de conhecimentos elencados por Shulman (1986) e, posteriormente, desenvolvidos e ampliados, especificamente na área de educação matemática, por Deborah Ball e seus colegas (BALL et al, 2008). Tais referenciais serão apresentados e discutidos em nossa revisão de literatura. Assim, com o intuito de relacionar, tanto as concepções estudadas na literatura, àquelas trabalhadas nos cursos de licenciatura, identificadas através do que os professores do ensino superior exteriorizam quando falam sobre álgebra e sobre prática educacional, foram realizadas entrevistas com quatro professoras de diferentes universidades públicas e particulares da Grande São Paulo. Destes resultados, como

3 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 3 apontado inicialmente, temos caminhado para a elaboração da compreensão de álgebra que será utilizada, em nosso projeto do OBEDUC, no decorrer dos próximos três anos de atividades. Apresentamos a seguir, uma breve discussão acerca das ideias de Shulman (1986) e Ball et al (2008), além de uma revisão dos trabalhos estudados por nosso grupo, no qual inserem-se os referidos autores desse trabalho. Nosso propósito é, posteriormente, apresentarmos as entrevistas realizadas, suas análises e finalizarmos com um quadro-síntese que deverá fundamentar os próximos desdobramentos de nosso grupo de pesquisa e de nosso projeto. Revisão de literatura Quando Shulman (1986) propôs investigar os conhecimentos docentes, dividiuos em três categorias, a saber: Content Knowledge, ou conhecimento do conteúdo, que trata especificamente do conhecimento dos tópicos, conceitos ou estruturas da área em questão; Pedagigical Content Knowledge (PCK), ou conhecimento pedagógico do conteúdo, que, para Shulman, é o conhecimento do conteúdo que se relaciona particularmente às situações de ensino e, por fim, Curricular Knowledge ou conhecimento do currículo, inaugurando uma ampla área de investigação acerca do que os professores sabem e precisam saber para lecionar. Deborah Ball e seus colegas aprofundaram estes estudos, especificamente na área de matemática, dividindo tanto o conhecimento do conteúdo como o conhecimento pedagógico em outros três campos. Para eles, o conhecimento pedagógico do conteúdo, por exemplo, pode ser dividido em conhecimento do conteúdo e os estudantes e conhecimento do conteúdo e o ensino (BALL et al, 2008). Nesse nosso trabalho, consideraremos - a partir das ideias de Shulman (1986) e Ball et al (2008) - a existência de um conhecimento de conteúdo específico para os docentes, o PCK. A partir do momento em que se entende que a formação de professores deve levar em consideração alguns elementos distintos (em relação ao próprio conteúdo matemático, por exemplo) da formação de bacharéis em matemática, propomo-nos a investigar, a partir de pesquisas na área da Educação Matemática, algumas que discutam diferentes concepções de álgebra. Apresentaremos, a seguir, as ideias expostas em quatro trabalhos dos autores mencionados. São eles: Contribuição para um Repensar a Educação Algébrica

4 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 4 Elementar, de Fiorentini et al. (1993), Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis, de Usiskin (1995), Sobre Álgebra, de Lins e Gimenez (1997) e Uma Iniciação a cultura algébrica por meio de atividades que envolvem generalizações (tradução nossa) de Lee (2001). Além disso, também tomamos por base - para estudar o trabalho destes autores - a tese de doutorado de Figueiredo (2007), na qual a autora constrói quadros síntese das diferentes concepções de álgebra apresentadas por cada autor. No trabalho de Fiorentini et al. (1993), os autores apresentam concepções, tanto de Álgebra como de Educação Algébrica, constituídas como reflexo de alguns aspectos do desenvolvimento histórico, tanto da própria álgebra, como das práticas escolares. Apresentamos a seguir as três concepções de Educação Algébrica indicadas pelos autores: 1. Lingüístico-pragmática: a álgebra está relacionada à atividades pedagógicas que visam a resolução de problemas, prevalecendo a aquisição mecânica das técnicas requeridas pelo transformismo algébrico. Este transformismo passa a ser fundamental para a álgebra, segundo essa concepção; 2. Fundamentalista-estrutural: recebe este nome uma vez que são enfatizadas as propriedades estruturais das operações, como forma de justificar logicamente cada passagem presente no transformismo algébrico, capacitando o estudante a identificar e a aplicar essas estruturas nos diferentes contextos subjacentes; 3. Fundamentalista-analógica: a álgebra também tem o caráter pedagógico de instrumento para resolver problemas, mas mantem-se o caráter fundamentalista, fazendo assim uma síntese das concepções anteriores. A partir dessas concepções, os autores identificam duas tendências no ensino de álgebra: priorizar a construção da linguagem em detrimento do pensamento ou priorizar o ensino da linguagem algébrica já constituída, em detrimento da construção do pensamento algébrico. Ao final, os autores concluem que, com isso, há uma redução do pensamento algébrico à linguagem algébrica, pois, ao se tomar como ponto de partida a existência de uma álgebra simbólica já constituída, reduz-se os processos de ensino e de aprendizagem da álgebra ao transformismo algébrico. O próximo autor a discutirmos é Usiskin (1995), o qual parte do pressuposto que, na escola básica, a álgebra se relaciona com a compreensão das letras, as variáveis, que estão sendo apresentadas pela primeira vez. Como as letras têm diferentes papéis e

5 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 5 significados, o entendimento da criança pode ser comprometido quando ela não tem clara estas diferentes concepções. Assim, para Usiskin (1995), o ensino de álgebra e a utilização das variáveis são pontos que estão relacionados e, dessa relação, surgem quatro concepções de álgebra: 1. Aritmética generalizada: segundo esta concepção, o estudante da escola básica deve conseguir traduzir e generalizar situações. Um exemplo é a propriedade comutativa: o aluno deve ser capaz de perceber que a igualdade = continuaria valendo quaisquer que fossem os números reais; 2. Estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas: esses problemas envolvem incógnitas, com a finalidade de simplificar e de resolver problemas utilizando-se da linguagem algébrica A incógnita aparece como um valor a ser descoberto e, com isso, o aluno pode apresentar dificuldade no momento de passar de um exercício de aritmética para um problema de álgebra, já que terá que desenvolver a capacidade de equacionar um problema; 3. Estudo de relações entre grandezas: atividades que envolvem variáveis, como argumentos e parâmetros. Por exemplo, em uma atividade sobre área de figuras geométricas com fórmulas, pode-se relacionar linguagem e pensamento algébricos; 4. Estudo das estruturas: nesse caso, a variável deixa de representar um número e passa a significar qualquer símbolo abstrato. Este tipo de tratamento é aplicado em questões que priorizam a manipulação e a justificativa, como fatoração e dedução de uma identidade. Enquanto Usiskin (1995) dá ênfase ao papel das letras para distinguir suas concepções, Lins e Gimenez (1997) por sua vez, trazem uma abordagem mais pedagógica e preocupada com o pensamento algébrico e suas construções. Apesar de os autores afirmarem não haver consenso a respeito do que seja pensar algebricamente, consideram existir certo consenso sobre quais são as coisas da Álgebra: equações, cálculo literal, funções e outros, destacando que ainda há outros tópicos que podem ou não ser incluídos nesta lista, como por exemplo os gráficos. Em um levantamento geral, os autores identificam dois enfoques dados à atividade algébrica: a caracterização pelo uso de notações ou pelo uso de conteúdos. Dentro destes enfoques a atividade algébrica é frequentemente descrita, segundo eles, como fazer ou usar álgebra ou, de forma ainda mais banal, calcular com letras.

6 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 6 Deste aspecto, os autores concluem que caracterizações por conteúdo ou por notação deixam de fora coisas que gostaríamos de caracterizar como atividade algébrica (LINS e GIMENEZ, 1997, p. 99). Portanto, são indicadas três concepções de Educação Algébrica, sendo que as diferenças encontradas entre elas têm raízes em diferentes conceitualizações da atividade: 1. Letrista: é uma visão restrita ao cálculo com letras, muito presente nos livros didáticos brasileiros e, portanto, comum na prática escolar, pois é possível que esta visão corresponda a visão de atividade algébrica de que os professores já dispõem; 2. Letrista Facilitadora: considera que a capacidade de lidar com as expressões literais é alcançada pela abstração decorrente de situações concretas, ou seja, uma certa estrutura que é manipulável em situações concretas e depois, por um processo de abstração, é formalizada. Essa abordagem é insuficiente, pois os estudantes não estabelecem relação entre o que havia desenvolvido no concreto com o que transpõem para o formal; 3. Modelagem Matemática: essa concepção, segundo os autores, também apresenta com o ponto de partida uma situação concreta. Contudo, o concreto na modelagem não é visto como ilustrativo, e sim como um problema real, sendo as atividades propostas de investigação de situações reais. Para os autores, nessa perspectiva a Educação Algébrica se dá na medida em que a produção de conhecimento algébrico serve ao propósito de iluminar ou organizar uma situação, como ferramenta e não como objeto primário do estudo (LINS e GIMENEZ, 1997, p. 109). Por fim, no trabalho de Lee (2001), a autora apresenta visões de álgebra mais abrangentes. Em sua pesquisa, Lee (2001) discute a importância de exercícios de generalização para introdução da álgebra, os quais auxiliam no desenvolvimento dos alunos, na elaboração de estratégias de resolução, argumentação, no momento de relacionar os conhecimentos, desenvolver uma comunicação e até habilidades técnicas mais rápidas. Embora neste trabalho a autora não aborde as concepções algébricas, encontramos na tese de Figueiredo (2007) seis Concepções de Educação Algébrica que Lee propõe. São elas: 1. Como linguagem: em exercícios que envolvem a evolução da linguagem da álgebra elementar. Desenvolvendo a comunicação em uma linguagem algébrica;

7 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 7 2. Como caminho de pensamento: essa concepção trata do pensamento sobre as relações matemáticas, e não dos objetos matemáticos. Um exemplo são os exercícios de raciocínio sobre padrões e que trabalham o desconhecido; 3. Como atividade: atividades que envolvam modelagem matemática e pensamento sobre as relações matemáticas. Está relacionada a linguagem e pensamento algébrico; 4. Como ferramenta: está associada à linguagem e ao pensamento algébrico, surgindo em problemas de modo a conduzir e transformar mensagens, seja para a própria matemática ou para outras ciências; 5. Como aritmética generalizada: caracterizam esta concepção as relações do pensamento algébrico e da linguagem, como álgebra das generalizações dos números e álgebra como estudo de expressões simbólicas com letras; 6. Como cultura: envolve valores, crenças, práticas, tradições históricas e processo para sua transmissão. Entrelaça o currículo de álgebra com o de geometria, com o intuito de usar ferramentas, criando um pensamento algébrico. Com isso, entendemos que, apesar de partirem de motivações diferentes, as concepções apresentadas pelos autores têm intersecções significativas. Por exemplo, identificamos relações entre a concepção de modelagem matemática, de Lins e Gimenez (1997), e as concepções de álgebra como atividade e como ferramenta, de Lee (2001). Assim, buscando identificar relações, nosso grupo de pesquisa, no Observatório da Educação, construiu um quadro-síntese das ideias, apresentado posteriormente. Feita esta primeira construção de relações, ainda buscamos identificar quais destas concepções estão de fato presentes no ensino de álgebra e quais delas são identificadas pelos professores. Neste primeiro momento, investigamos os formadores de professores e futuramente, entrevistaremos também os próprios professores da educação básica. A seguir, apresentamos as análises das entrevistas realizadas, as relações que depreendemos delas e as implicações disto para o nosso projeto. As entrevistas Para a realização das entrevistas, primeiramente foi elaborado por todo o grupo de pesquisa um questionário contendo nove questões, abordando assuntos pertinentes à elaboração da compreensão de álgebra em nosso grupo. A seguir, foram indicados - como entrevistados - seis professores de instituições de ensino superior diferentes, que

8 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 8 atuassem na formação de professores de matemática. Após estabelecer contato com os professores, três deles se dispuseram a conceder a entrevista, sendo que uma quarta professora foi posteriormente indicada e também aceitou participar. As entrevistas foram realizadas geralmente por dois integrantes do grupo, munidos de gravador para posterior transcrição. Segue-se um breve perfil das professoras participantes e, na sequência, são apresentadas três das nove questões utilizadas para conduzir as entrevistas, bem como as respostas de todas as entrevistadas. Em nossas análises, procuramos estabelecer algumas relações e comparações entre as respostas dos professores entrevistados, bem como de suas respostas com as concepções de álgebra dos autores anteriormente apresentados. Optamos por discutir, neste trabalho, apenas três das questões elaboradas, por evidenciarem melhor as diferentes concepções de álgebra que pudemos identificar e devido ao espaço estipulado para esta comunicação. Perfil das professoras Professora 1 (P1): Doutora e pesquisadora na área de Educação Matemática. Atualmente é professora na Pós-Graduação em uma instituição particular e tem artigos publicados sobre Educação Matemática, Álgebra Linear e Educação Algébrica. Professora 2 (P2): Bacharel em matemática, com mestrado e doutorado em Matemática Aplicada. É professora de uma instituição pública de ensino superior e duas instituições particulares. Suas áreas de atuação são Teoria Fuzzy, Sistemas Dinâmicos, Educação Matemática e Metodologias de Ensino. Professora 3 (P3): Licenciada e mestre em matemática e doutora em aplicações em tecnologia nuclear. Tem experiência com educação nos ensinos Fundamental, Médio e Superior e, atualmente, é professora de graduação em uma instituição particular e coordenadora do Colegiado de Licenciatura em Matemática. Professora 4 (P4): Licenciada, mestre e doutora em matemática na área de álgebra. Possui mais de vinte anos de experiência com docência no ensino superior, em cursos de bacharelado e licenciatura e, atualmente, é professora associada em uma universidade pública. Pesquisa na área de matemática pura, particularmente em álgebra. Nossas análises e reflexões: as questões e suas respostas Iniciamos nossas análises pela questão 1) Se você fosse explicar em poucas palavras para um estudante da licenciatura o que é álgebra, como você faria? E para um estudante de outro curso?

9 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 9 Nesta primeira questão, as professoras apresentam diferentes visões do que é a álgebra, sendo que só duas delas fazem distinção entre como ensinar num curso de licenciatura e nos demais. A professora P1 enfatiza que A álgebra permeia todo o ensino. (...) A álgebra não é só linguagem da matemática, mas ela estuda as estruturas., contrapondo a visão apresentada pela professora P4, que diz: a álgebra, ela surgiu como uma linguagem, como assim, um socorro pra geometria, por exemplo. Ela ainda destaca, em diversos momentos de sua fala, que considera a aritmética como parte da álgebra. A professora P3 também menciona a aritmética, mas destaca que para aprender álgebra é necessário primeiro uma base sólida na prática aritmética e que o que caracteriza a álgebra é a presença de um valor desconhecido. Ela ainda diferencia o ensino de álgebra para os estudantes de licenciatura e de outros cursos, enfatizando que para os licenciandos é importante compreender as distinções entre álgebra e aritmética, enquanto que para estudantes de outros cursos é mais relevante saber usar as estruturas e manipulações algébricas. Ao distinguir estes conhecimentos, a professora parece destacar que os futuros docentes precisam ter um conhecimento diferenciado do conteúdo, que podemos relacionar ao conhecimento pedagógico do conteúdo apresentado por Shulman (1986) e por Ball et al (2008). Não se trata de um conhecimento do conteúdo, por si, mas de uma distinção importante para o ensino. Por fim, a professora P2 afirma que o sentido da álgebra é esse, de resolver problemas, fazendo uma diferenciação entre os alunos de licenciatura como a arte de resolver problemas, enquanto que para os demais cursos seria um instrumento para resolver problemas. Do depoimento das professores, em sua falas, podemos destacar três concepções distintas: (i) álgebra como estudo de estruturas (professora P1), relacionando às concepções fundamentalista-estrutural (FIORENTINI et al, 1993) estudo das estruturas (USISKIN, 1995); (ii) álgebra como forma de resolver problemas (professora P2), na qual parece-nos relacionar as concepções linguístico pragmática e fundamentalista-analógica (FIORENTINI et al, 1993), aos estudos de procedimentos para resolver certos tipos de problemas (USISKIN, 1995) e à letrista facilitadora (LINS e GIMENEZ, 1997); (iii) álgebra como uma extensão da aritmética (professora P3), a qual relacionamos às concepções aritmética generalizada (USISKIN, 1995; LEE, 2001).

10 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 10 Destacamos ainda que, a visão de álgebra como linguagem (professora P4), também foi destacada por todas as outras professoras, a qual se relaciona apenas à concepção de álgebra como linguagem de Lee (2001). Assim, tais análises parecem nos indicar que a linguagem é uma característica que permeia todas as concepções das professoras por nós investigadas, o que chamaremos de uma visão de álgebra e não de uma concepção. Passamos a seguir, para nossas análises em relação à questão 2) Em sua opinião quando uma atividade matemática pode ser caracterizada como sendo do campo da álgebra? Ao responder esta questão, as professoras P2 e P3 dizem que a incógnita caracteriza uma atividade como sendo especificamente do campo da álgebra. A professora P3 trabalha isso de forma mais abrangente, pois diz que a matemática, na minha opinião, a matemática não se separa, no sentido em que qualquer atividade matemática tá no campo da álgebra, uma vez que problemas aritméticos podem ser resolvidos algebricamente e os conteúdos matemáticos são interdependentes. No caso da professora P2, ela enfatiza isso elencando conteúdos como a resolução de matrizes, sistemas, equações de segundo grau, todos como especificamente algébricos. P2 ainda concluí que muita coisa é álgebra, tirando geometria e trigonometria, visão muito semelhante à de P1, que afirma que a matemática escolar é álgebra ou geometria.. A professora P1 também traz uma visão abrangente de álgebra, chegando a dizer que tudo é álgebra na matemática e que o objetivo principal da matemática escolar é chegar ao conceito algébrico de função. Por fim, a professora P4 é enfática ao dizer que a álgebra é a linguagem da equação, respondendo à pergunta afirmando que uma atividade é do campo de álgebra quando apresenta uma equação. Destas respostas percebemos uma grande dificuldade em restringir a álgebra como um campo da matemática com objetivos particulares, estendendo-a à toda atividade matemática. É verdade que, em nossa opinião, quase toda a atividade matemática pode ser colocada em termos de linguagem algébrica, mas é importante para nós justamente distinguirmos quando uma atividade está efetivamente envolvendo pensamento algébrico ou não. As professoras P2 e P3 destacam que a existência da incógnita é essencial, enquanto a professora P4 destaca a existência de uma equação. Estes apontamentos estão tanto relacionados às concepções estruturais como à visão de álgebra como algo

11 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 11 que depende das variáveis, tal como Usiskin (1995) a construiu. Isso nos leva a crer que o papel da variável, especialmente na álgebra escolar, é fundamental. Por fim, analisamos a questão 4) Você poderia citar algumas abordagens de ensino que considera adequadas para o ensino de álgebra? Todas as professoras trazem a problematização de situações como uma motivação para o ensino de matemática, no sentido de identificar um problema e precisar de ideias matemáticas para resolvê-lo. As professoras P3 e P4 apresentam exemplos de problemas históricos, sendo que P3 defende que antes de ensinar a fórmula, é preciso entender o pensamento que a originou e as diferentes formas de resolução que existiram até se chegar a ela. Por outro lado, P4 também traz essa abordagem histórica, mas não no sentido de construir o caminho para se chegar aos conhecimentos de hoje e sim, de motivar e incentivar o pensamento e as generalizações. Além disso, P4 também enfatiza o uso de materiais manipulativos como uma abordagem válida para a construção das ideias algébricas. A professora P2, por outro lado, enfatiza o uso de situações contextualizadas e relevantes para a vida do aluno, como o uso de jogos de videogame. A professora P1 não exemplifica exatamente como trabalhar com as situações problema. A ênfase na problematização nos remete à concepção modelagem matemática (LINS e GIMENEZ, 1997), bem como às concepções álgebra como ferramenta e álgebra como atividade (LEE, 2001), especialmente nas falas da professora P2. As professoras P3 e P4, por outro lado, ao enfatizarem uma construção histórica, apontam para a álgebra como uma construção humana situada no tempo e espaço, e como uma resposta às necessidades e problemas de uma época. Acreditamos que tais concepções inserem-se no que Lee (2001) chama de álgebra como cultura. Entretanto, em nosso entendimento, esta ideia está presente em todas as outras concepções de álgebra, portanto a caracterizaremos como outra das visões de álgebra. Considerações finais: algumas implicações para nossas pesquisas A partir das análises das entrevistas, pudemos perceber que a maior parte das concepções de álgebra (ou de educação algébrica) encontradas na literatura, aparecem nas falas/nas concepções das professoras. Parece-nos que, apenas a concepção álgebra como estudos das relações entre grandezas (USISKIN, 1995) não apareceu em nenhuma das questões analisadas. A partir de nossas análises, bem como das discussões

12 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma 12 realizadas pelos integrantes do projeto, apresentamos a seguir uma proposta de compreensão da álgebra, tendo em vista suas concepções e visões. Este quadro - ainda que provisoriamente - parece-nos atender às necessidades de nosso grupo, uma vez que deverá nos auxiliar na análise e na investigação das questões das avaliações em larga escala, como a Prova Brasil e o ENEM. Em nosso entendimento e para os nossos propósitos, parece-nos razoável elaborar uma categorização única para utilizarmos em nossas investigações. Vejamos o quadro abaixo: Quadro 1 - Compreensão de álgebra construída a partir das análises das entrevistas. Fonte: Elaborado pelos autores. Assim, a partir dos resultados aqui apresentados, os quais decorrem de uma análise parcial de apenas três das nove questões realizadas em nossas entrevistas, observamos como as concepções das professoras nos auxiliam na construção de nossa compreensão de álgebra. Imaginamos que, ao analisar as demais questões, poderemos trazer novas considerações à compreensão de álgebra que estamos construindo, uma vez que as demais questões possibilitam investigar as considerações sobre o papel do conhecimento docente em álgebra, nas perspectivas de Shulman (1986) e Ball et al (2008).

13 SILVA, E. A.; SOUZA, M. L.; SILVA, T. H. I. e RIBEIRO, A. J Uma Referências 13 BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, v. 59, FIGUEIREDO, A. D. C. Saberes e Concepções de Educação Algébrica em um Curso de Licenciatura em Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC-SP, São Paulo, p. 290, FIORENTINI, D.; MIORIM, M. Â.; MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar. a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, Campinas - SP, v. 4, n. 1, p , março LEE, L. An Initiation into Algebraic Culture Through Generalization Activities. In N. Bednarz, C. Kieran & L. Lee (ed.), Approaches to algebra: perspectives for research and teaching. Kluwer Academic Publishers, LINS, R. C; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. 4 ed. Campinas: Papirus Editora, 1997, 176 p. SHULMAN, L. S. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, vol. 15, USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Alberto P.(Org). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995.