A INFLUÊNCIA DE MANOBRAS DE VÁLVULAS NA IDENTIFICAÇÃO DO FATOR DE ATRITO EM TUBULAÇÕES DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL A INFLUÊNCIA DE MANOBRAS DE VÁLVULAS NA IDENTIFICAÇÃO DO FATOR DE ATRITO EM TUBULAÇÕES DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA. FRANCISCO MARUES VIANA Orentador: Prof. Dr. John Kenedy de Araújo Fortaleza Dezembro de 04

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL A INFLUÊNCIA DE MANOBRAS DE VÁLVULAS NA IDENTIFICAÇÃO DO FATOR DE ATRITO EM TUBULAÇÕES DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA. FRANCISCO MARUES VIANA Orentador: Prof. Dr. John Kenedy de Araújo A apresentação desta dssertação é exgênca do Programa de Pós-graduação do Curso de Engenhara Cvl da Unversdade Federal do Ceará para obtenção do título de Mestre. Fortaleza Brasl. 04

3 Dados Internaconas de Catalogação na Publcação Unversdade Federal do Ceará Bbloteca de Pós-Graduação em Engenhara - BPGE V667 Vana Francsco Marques. A Influênca de manobras de válvulas na dentfcação do fator de atrto em tubulações de rede de dstrbução de água / Francsco Marques Vana f. : l. enc. ; 30 cm. Dssertação (mestrado) Unversdade Federal do Ceará Centro de Tecnologa Departamento de Engenhara Hdráulca e Ambental Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl: Recursos Hídrcos Fortaleza 04. Área de Concentração: Recursos Hídrcos. Orentação: Prof. Dr. John Kenedy de Araújo.. Recursos hídrcos.. Atrto. 3. Algortmos genétcos. I. Título. CDD 67

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5 AGRADECIMENTOS Gostara de agradecer em prmero lugar a Deus por ter me dado a oportundade de estar vvo e ter tdo uma formação que me possbltou desenvolver este trabalho. Aos meus pas Ramundo Nonato Vana e Mara de Lourdes Soares Vana que sempre me orentaram e me apoaram em todos momentos da mnha vda sendo antes de tudo exemplos de competênca honestdade e perseverança. A mnha companhera Conceção de Mara Ibapna e meus flhos Mara Clara Ibapna Vana Rafael Duarte Vana Emanuelle Duarte Vana Leonardo Duarte Vana João Vctor Duarte Vana e Izabele Duarte Vana por sempre me apoarem e compreenderem a mnha ausênca. Ao Prof. Dr. John Kenedy de Araújo pela orentação e credbldade que fo depostada na elaboração deste trabalho. Aos meus rmãos Sôna Sandra Francsca Mara Ramundo Júnor e Cláudo Henrque. Aos meus parentes e amgos pelo apoo. A banca examnadora por valorzar o trabalho com sua presença. A todos os professores funconáros e amgos do Departamento de Engenhara Hdráulca e Ambental da Unversdade Federal do Ceará que de alguma forma contrbuíram para a realzação deste trabalho.

6 RESUMO Um avanço mportante na modelagem de rede hdráulca fo a calbração através desta é possível conhecer o comportamento das característcas físcas da rede sendo esta de grande mportânca nas tomadas de decsão. Neste trabalho vamos utlzar o método transente nverso aplcado com algortmo genétco para calbração dos fatores de atrtos das tubulações de uma rede de dstrbução de água por meo de smulações a partr da varação de parâmetros como: número de cromossomos número de gerações cruzamento de um ponto e mutação smples quantdade de nós meddos e dferentes tpos de manobras de válvulas (brusca e suave). As smulações foram dvddas em casos onde cada solução encontrada pelo modelo computaconal fo avalada por uma função objetva baseada na dferença quadrátca entre resultados observados e calculados para as cargas transentes no(s) nó(s) montorado(s). As análses das soluções encontradas demonstram como o método nverso o algortmo genétco e a escolha de seus parâmetros nfluencam o resultado fnal. Por meo dos casos observou-se que para as redes estudadas não adanta smplesmente aumentar soladamente os valores dos parâmetros do algortmo genétco no ntuto de melhorar a efcênca do método. Como se trata de um método nverso uma combnação específca de fator de atrto fo gerada a partr da méda das soluções obtdas sob os mesmos parâmetros em dez aplcações sucessvas do algortmo genétco (processamentos). Os resultados apresentados para as cargas hdráulcas no(s) nó(s) montorado(s) foram bem próxmas das cargas consderadas reas (observadas) tendo em alguns trechos das tubulações valores para a força de atrto bem próxmos dos consderados reas. A efcênca dos resultados encontrados fo medda por meo da Função Objetva. Palavras-chave: fator de atrto algortmos genétcos manobras de válvulas função objetva.

7 ABSTRACT An mportant advancement n the modelng of hydraulc net went to calbraton; through ths t s possble to now the behavor of the physcal characterstcs of the net beng ths of great mportance n the tang decson. In ths wor we are gong to use the method transent reverse appled wth genetc algorthm for calbraton of the strength of frcton of the ppng of a net of dstrbuton of water through smulatons from the varaton of parameters. The smulatons were dvded n cases where each soluton found by the computatonal model was valued by an objectve functon based on the quadratc dfference between results observed and calculated for the loads transent n (s) not (s) montored (s). The analyses of the consdered solutons demonstrate le the reverse method the genetc algorthm and the choce of hs parameters nfluence the fnal result. Through the cases t was notced that for the studed nets t does not advance smply to ncrease separately the values of the parameters of the genetc algorthm n the ntenton of mprovng the effcency of the method. Snce t the queston s a reverse method a specfc combnaton of strength of frcton was produced from the average of the obtaned solutons under the same parameters n ten successve applcatons of the genetc algorthm (seeds). The results presented for the hydraulc loads n (s) not (s) montored (s) were qute near of the loads consdered reals (observed) I tend towards n some passages of the ppng values the strength of frcton qute near of the respected reals. The effcency of the consdered results was measured through the Objectve Functon. Key-words: calbraton; strength of frcton; transent; genetc algorthms.

8 LISTA DE FIGURA FIGURA Lnhas Característcas no plano x-t... FIGURA Tubulação smples... FIGURA 3 Regão de valdade para uma tubulação smples... FIGURA 4 Exctação no nó de jusante... FIGURA 5 Exctação nos nós a montante e jusante... FIGURA 6 Defnção da malha de dscretzação do método das característcas... FIGURA 7 Esquema de uma seção nterna s de uma tubulação... FIGURA 8 Esquema de um reservatóro de nível constante localzado a montante de uma tubulação genérca... FIGURA 9 Esquema de um reservatóro de nível constante localzado a jusante de uma tubulação genérca... FIGURA 0 Esquema de um nó de consumo genérco M... FIGURA Válvula localzada a jusante de uma tubulação genérca... FIGURA Exemplo de abertura e fechamento de uma válvula... Fgura 3: Le de Fechamento da Válvula Manobra... Fgura 4: Le de Fechamento da Válvula Manobra... Fgura 5: Le de Fechamento da Válvula Manobra 3... Fgura 6: Le de Fechamento da Válvula Manobra 4... Fgura 7 - Rede A... Fgura 8 - Carga Hdráulca observadas e estmadas para EMR Manobra. Fgura 9 - Carga Hdráulca observada e estmada para F.O. Manobra... Fgura 0 - Carga Hdráulca observadas e estmadas para EMR Manobra. Fgura - Carga Hdráulca observadas e estmadas para ER Manobra... Fgura - Carga Hdráulca observada e estmada para F.O. Manobra... Fgura 3 - Carga Hdráulca observadas e estmadas para EMR Manobra 3. Fgura 4 - Carga Hdráulca observadas e estmadas para ER Manobra 3... Fgura 5 - Carga Hdráulca observada e estmada para F.O. Manobra 3... Fgura 6 - Carga Hdráulca observadas e estmadas para EMR Manobra 4. Fgura 7 - Carga Hdráulca observadas e estmadas para ER Manobra 4... Fgura 8 - Carga Hdráulca observadas e estmadas para F.O. Manobra 4.. Fgura 9 - Resultados da F.O para todas as Manobras

9 Fgura 30 - Rede B... Fgura 3 - Resultados da F.O para todas as Manobras ( nó montorado) EMRER e F.O... Fgura 3 - Resultados da F.O para todas as Manobras ( nós montorados)

10 LISTA DE TABELAS TABELA Algortmo Genétco típco Tabela - Característcas físcas dos tubos. Tabela 3 Vazões ncas para condções permanentes consderadas reas. Tabela 4 Cargas hdráulcas ncas para condções permanentes consderadas Tabela 5 Parâmetros alterados para esta analse. Tabela 6 - Valores das forças de atrto para EMR EMR por Processamento e F.O. Manobra Tabela 7 - Resultados dos fatores de atrto por processamento smulada (Caso04). Tabela 8 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 04). Tabela 9 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 0). Tabela 0 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 0). Tabela - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 04). Tabela - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 04). Tabela 3 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 03). Tabela 4 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 0). Tabela 5 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 04). Tabela 6 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 04). Tabela 7 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 03). Tabela 8 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 0). Tabela 9 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 04). Tabela 0 - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 0). Tabela - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 0). Tabela - Resultados do fator de atrto médo estmado (Caso 0). Tabela 3 - Característcas físcas dos tubos. Tabela 4 Vazões ncas para condções permanentes consderadas reas. Tabela 5 Cargas hdráulcas ncas para condções permanentes consderadas Tabela 6 Parâmetros do Algortmo Genétco. Tabela 7 - Valores dos fatores de atrtos para F.O. ( Nó Montorado)

11 Tabela 8 - Valores dos fatores de atrtos para F.O. ( Nós Montorados) 78

12 LISTA DE SIMBOLOS [M] [L] [T] Undade de massa Undade cumprmento Undade de tempo A Área da seção transversal do tubo[l] a a j Celerdade da onda[l] / [T] Celerdade da onda ajustada[l] / [T] B Varável auxlar [T] / [L] D E Dâmetro do tubo[l] Módulo de elastcdade de Young - GPa e Espessura da parede do tubo [L] f Fator de atrto de Darcy-Wesbach - admensonal g Aceleração da gravdade [L] / [T] H H jc H jm H J H M H P K Carga hdráulca [L] Carga calculada para o nó e tempo j [L] Carga medda para o nó e tempo j [L] Carga no ponto J [L] Carga no ponto de nó de consumo M [L] Carga na seção P [L] Nível de teração Módulo de elastcdade do fludo - GPa Nível de teração ( ) EXT;M s J M P Vazão [L] 3 / [T] Vazão de consumo no nó M [L] 3 / [T] Vazão na seção s da tubulação [L] 3 / [T] Vazão na seção J [L] 3 / [T] Vazão na seção M [L] 3 / [T] Vazão na seção P [L] 3 / [T] R Constante do termo do atrto [T] / [L] 5 Re Número de Reynolds - admensonal t Tempo [T] ρ Massa específca do fludo [M] / [L] 3 λ Operador do MOC

13 γ Peso específco do fludo [M] / ([T][L] ) ε Fator de atrto absoluta do tubo [L] ν Vscosdade cnemátca [L] [T] - ψ Parâmetro admensonal υ Razão de Posson - admensonal t Intervalo de tempo [T] x Intervalo de espaço [L]

14 SUMÁRIO. - INTRODUÇÃO. - Hstórcos. - OBJETIVOS.. Objetvos Geras.. - Objetvos Específcos. - REVISÃO DE BIBLIOGRÁFICA. Tpos de Escoamentos. Escoamento Transente em Tubulações.. Hstórco.. Modelo da Coluna Elástca... Equações Fundamentas do Método das Característcas... - Cálculo da Celerdade...3 Condções de Contorno...4 Consderações.3 Calbração.4 Técncas de calbração.4 - Estudo do método do Algortmo Genétco como ferramenta de otmzação.4. Hstórco da Teora Evolutva.4. Termnologa Bológca.4.3 Estrutura dos Algortmos Genétcos Seleção.4.3. Representação dos Parâmetros Cruzamento Mutação.4.4 Função Objetvo.4.5 Algortmos Genétcos e Otmzação Convenconal 3. - METODOLOGIA 3. - Formulação do Problema Inverso e Estratégas de Solução Defnção do Problema Inverso Formulação do Problema Inverso e Resolução Manobras de Válvula

15 Estudo de Casos RESULTADOS Estudo de Casos RESULTADOS 4 - CONCLUSÃO 5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

16 4. INTRODUÇÃO. Hstórcos O Brasl tem % da água doce do planeta e menos de 3% da população mundal. O problema é que os nossos maores ros fcam no Norte do país e quase a metade dos brasleros mora no Sudeste. Entende-se por rede de dstrbução o conjunto de peças (tubulações válvulas regstros conexões bombas reservatóros de almentação; cujo objetvo é o abastecmento através de ramas de lgação com a fnaldade de uso doméstco ndustral e públco) especas destnadas a conduzr a água até os pontos de tomada das nstalações predas ou os pontos de consumo públco sempre de forma contínua e segura. As redes são consderadas pelo sentdo de escoamento da água nas tubulações secundáras (ramfcadas ou malhadas). Podem dstrbur exclusvamente potáves (rede únca) ou também água mprópra para beber (rede dupla). Podem stuar-se em níves dferentes nas cdades acdentadas bem como possur duas tubulações nas ruas largas ou tráfego ntenso. A análse de sstemas de dstrbução de água é um problema de grande nteresse de pesqusadores e profssonas de engenhara. O assunto passou a ser nvestgado com maor precsão nos últmos trnta ano devdo ao grande aumento populaconal. Uma rede hdráulca é formada por trechos de tubulações e composta de outros elementos hdráulcos tas como válvulas bombas reservatóros de almentação regstros. Um nó é um ponto de encontro entre dos ou mas trechos de tubulações. As redes hdráulcas costumam ser classfcadas como ramfcadas e malhadas. O montoramento de redes hdráulcas pelos órgãos responsáves aprmorou-se bastante. Dversas técncas foram desenvolvdas no sentdo de otmzar a dstrbução de água e mnmzando danos e vazamentos na rede. Entretanto nota-se um grau de ncerteza na caracterzação da estrutura físca. O desconhecmento total da fator de atrto dos tubos ou dos fatores de atrto em determnadas áreas ou sub-áreas da rede pode dfcultar o montoramento. A tentatva de tornar conhecdos esses parâmetros é chamada de calbração e pode ser nterpretado como um processo de modelagem. O processo de calbração pode ser desenvolvdo em escoamento permanente e nãopermanente. No escoamento permanente as vazões nos tubos e pressões nos nós não varam com o tempo enquanto no escoamento não-permanente acontece o contráro. O estudo de

17 5 escoamento não-permanente em redes de dstrbução de água fo durante algum tempo neglgencado. As técncas de otmzação estão desempenhando um papel fundamental na análse de sstemas de dstrbução de água sobretudo no processo de calbração. Aplca-se atualmente a técnca do Algortmo Genétco como ferramenta de busca da melhor solução dos parâmetros desconhecdos.. OBJETIVOS.. Objetvos Geras Este trabalho tem por objetvo dentfcar fatores de atrtos em uma rede de dstrbução de água para o caso do regme transente analsando a nfluênca das manobras de válvulas. Para o cálculo das cargas nos nós e vazão nas tubulações será utlzado o método das característcas que serão comparados com as cargas hdráulcas observadas. Será aplcado juntamente com o método transente nverso para dentfcação do fator de atrto gerando um processo de substtução de ndvíduos por meo de operadores genétcos operadores de seleção mutação e recombnação (crossover); que servrá para mnmzar os parâmetros observados e smulados. A análse da nfluênca da escolha da quantdade da população do número de gerações do número de nós montorados do tempo do transente e do tpo de manobra (suave ou brusca) na qualdade do resultado fnal também será observado. Duas redes de abastecmento de água são escolhdas para obtenção de valores para pressão e fator de atrto que serão consderados reas a fm de que se possa compará-los com resultados obtdos complementando o processo de calbração... Objetvos Específcos Avalar o processo de calbração dos parâmetros utlzando dados transentes. Avalar a nfluênca o fenômeno transente por meo de dferentes manobras de válvula.

18 6 Avalar a função objetva das dferentes manobras de válvulas e dferentes redes.

19 7. REVISÃO DE BIBLIOGRÁFICA. Tpos de Escoamentos Os escoamentos ou fluxos dos fludos estão sujetos a determnadas condções geras prncípos e les da dnâmca e à teora da turbulênca. podem ser: lamnar turbulento undmensonal bdmensonal rotaconal rrotaconal permanente varável unforme varado lvre forçado entre outros. O Fluxo lamnar ocorre quando as partículas de um fludo movem-se ao longo de trajetóras bem defndas apresentando lâmnas ou camadas (daí o nome lamnar) cada uma delas preservando sua característca no meo. No escoamento lamnar a vscosdade age no fludo no sentdo de amortecer a tendênca de surgmento da turbulênca. Este escoamento ocorre geralmente a baxas velocdades e em fluídos que apresentem grande vscosdade. O Escoamento turbulento ocorre quando as partículas de um fludo não movem-se ao longo de trajetóras bem defndas ou seja as partículas descrevem trajetóras rregulares com movmento aleatóro produzndo uma transferênca de quantdade de movmento entre regões de massa líquda. Este escoamento é comum na água cuja a vscosdade e relatvamente baxa. O Escoamento undmensonal cujas propredades (velocdade massa específca pressão etc...) são funções exclusvas de uma únca coordenada espacal e do tempo ou seja são representadas em função de valores médos da seção. Escoamento bdmensonal ocorre quando as partículas de um fludo escoam em planos paralelos e segundo trajetóras dêntcas não havendo escoamento na dreção normal aos planos. O Escoamento rotaconal ocorre quando as partículas de um fludo numa certa regão apresentarem rotação em relação a um exo qualquer. O escoamento rotaconal também é denomnado de vortcoso. O Escoamento rrotaconal ocorre quando as partículas de um fludo numa certa regão não apresentarem rotação em relação a um exo qualquer. uando as propredades de um fluído em cada ponto do mesmo não vararem no tempo o escoamento é dto Escoamento permanente. O Escoamento varável Também conhecdo como escoamento não permanente ocorre quando as propredades de um fluído em cada ponto do mesmo apresentarem varações no tempo. Temos um Escoamento unforme quando todas as seções transversas de um dado conduto forem guas e a velocdade méda em todas as seções em um determnado nstante for a mesma. Em outras palavras escoamento unforme é aquele no qual o vetor velocdade tem suas característcas(módulo dreção sentdo) guas em todos os pontos do fludo. O Escoamento varado é Aquele no qual o vetor velocdade

20 8 apresenta característcas (módulo dreção sentdo) dstntas nos pontos do fludo. O Escoamento lvre ocorre quando todas as seções transversas de um líqudo estver em contato com a atmosfera. Esta stuação se verfca em ros córregos entre outros. Este escoamento se á necessaramente pela ação da gravdade. Também conhecdo como escoamento em superfíce lvre. E o Escoamento forçado ocorre no nteror de tubulações ocupando toda sua área geométrca não apresentando contato com o ambente externo. A pressão que o lqudo exerce na tubulação é dferente da pressão atmosférca. Este escoamento se da por ação gravtaconal ou através de bombeamento.. Escoamento Transente em Tubulações.. Hstórco ualquer sstema que contenha elementos em movmento está sujeto a algum tpo de transtóro quer seja pela paralsação eventual desses elementos quer pela necessdade de alteração da movmentação. O transtóro hdráulco é defndo como a stuação de fluxo não permanente quando o fluxo vara de um estado permanente para outra stuação de estado permanente. Uma alteração do fluxo permanente em um sstema de tubulações ocorre devdo a uma mudança nas condções de contorno. Exstem mutos tpos de condções de contorno que podem provocar transentes. Os tpos mas comuns de transentes em redes que frequentemente requerem análse são: mudanças no ajuste de válvulas acdental ou planejada; partda ou parada de bombas; varação nas demandas ou consumos; alteração do nível d água de um reservatóro. O fenômeno transente em tubulações atualmente é consderado de grande mportânca. As equações que governam o movmento são equações dferencas parcas e que necesstam de um método numérco para resolvê-las. O comportamento dos elementos hdráulcos é complexo e os sstemas de tubos estão sujetos a uma grande varedade de condções de operações e restrções. Embora as redes de dstrbução de água exstam há centenas de anos os transentes não têm sdo detalhadamente consderados nos projetos. As redes hdráulcas eram almentadas por gravdade por meo de grandes reservatóros ou caxas-d água e as condções quase-permanentes prevalecam. Além dsso os dâmetros dos tubos e os comprmentos das

21 9 lnhas eram pequenos assm como as baxas pressões exstentes. O problema mas mportante era prever uma dstrbução equlbrada do fluxo sob determnadas condções de demanda. Devdo a sso pouca atenção fo dada às consderações transentes. Modernos sstemas de dstrbução de água pelo contráro são almentados por numerosas estações de bombeamento descarregando dretamente no sstema. Dstúrbos no fluxo são comuns. Parada e partda de bombas manobras de válvulas e a nfluênca de eventos acdentas podem gerar ondas de alta pressão. Essas ondas de pressão conduzem nformações para todo o sstema hdráulco. uando as condções de fluxo mudam lentamente as varações nas pressões são pequenas e se há uma mudança rápda nas condções de fluxo entretanto grandes pressões são geradas com magntudes sufcentes para causar séros danos nos tubos e equpamentos hdráulcos. A complexdade do fenômeno transente tem nduzdo às vezes a adoção de procedmentos smplfcados tas como: () componentes complexos e outras complcações no própro sstema físco podem ser gnorados; ou () o ntervalo de operação e as condções de carregamento na qual o sstema está sujeto são substancalmente reduzdos. Até um pequeno ou secundáro evento pode produzr uma resposta prevsível de pressões máxmas e mínmas. A análse transente não é um remédo mlagroso para todos os problemas hdráulcos e falhas no sstema de tubos. Algumas falhas nos tubos podem estar relaconadas com a ocorrênca de terremotos corrosão etc. Sejam em projetos ou pesqusas as condções transentes não devem ser excluídas e uma boa análse mplca em nvestgar o fenômeno transente sob uma larga varedade de condções de fluxo operações e combnações de mecansmos e componentes do sstema. Os benefícos de tal análse ncluem uma melhora no modelo uma operação mas econômca e possvelmente um custo mas baxo. O fenômeno transente pode ser analsado consderando dos tpos de modelos. Os modelos rígdos que não levam em consderação os efetos elástcos da água e da tubulação e os modelos elástcos que levam em consderação estes efetos. Os modelos rígdos são empregados usualmente para descrever os fenômenos de osclação de massa e os elástcos na análse do golpe de aríete. Como as condções transentes ocorrem devdo à ação de válvulas bombas e outros dspostvos hdráulcos um ajuste qualquer de um fluxo local provoca um dstúrbo do regme permanente. Sendo a água lgeramente compressível um pequeno desequlíbro de fluxo pode produzr grandes varações de pressões e permtr que uma quantdade consderável de energa seja armazenada. O emprego do modelo da coluna rígda justfca-se quando as mudanças no fluxo são graduas tal que os desequlíbros de energa e massa nas

22 0 tubulações sejam pequenos. No entanto rápdas mudanças causadas por operações planejadas ou acdentas podem crar grandes pulsos de pressão capazes de romper ou prejudcar as lnhas de tubulações. Neste caso o modelo elástco é mas aproprado. O fluxo transente em um conduto forçado é governado por equações dferencas parcas não-lneares: H t a ga x = 0 (.) ga H f = 0 t x DA (.) onde H é a carga pezométrca é a vazão volumétrca A é a área da seção transversal do tubo a é a celerdade da onda de pressão D é o dâmetro nterno da tubulação f é o fator de atrto de Darcy-Wesbach g é a aceleração da gravdade x é a dstânca e t o tempo. A equação (3.) representa a conservação da massa enquanto a equação (3.) representa a conservação de momentum. Em geral não há uma solução analítca smples para esse conjunto de equações. Utlza-se portanto o recurso de métodos numércos. Antes da aplcação do método numérco essas equações devem ser transformadas em equações dferencas ordnáras para serem resolvdas. Neste capítulo utlza-se o modelo da coluna elástca através do método das característcas como ferramenta de modelagem do fenômeno transente... Modelo da Coluna Elástca Esta seção apresenta o modelo elástco para um sstema de dstrbução de água. As equações dferencas parcas não-lneares (.) e (.) são dscretzadas e lnearzadas.... Equações Fundamentas do Método das Característcas O transtóro hdráulco pode ser expresso matematcamente pelas equações (3.) e (3.). Essas duas equações dferencas permtem calcular os valores da vazão e da carga pezométrca H ao longo da tubulação x e do tempo t. Há mutas referêncas (CHAUDHRY 987; e WYLIE e STREETER 978) que fornecem as deduções dessas equações e lustram o

23 uso delas em smulações com fluxo de redes hdráulcas. Estas deduções podem ser vstas no ANEXO A. Para resolver o sstema de equações dferencas torna-se necessáro um método numérco e as condções de contorno do sstema necesstam ser especfcadas. Na lteratura há város métodos numércos tas como: método das característcas; método das dferenças fntas; método dos elementos fntos; método espectral; método de contorno ntegral; método de volumes fntos. Sabe-se que estes métodos são aproxmados mas com uma boa escolha dos ntervalos de dscretzação e uma defnção explícta e coerente das condções de contorno do problema as soluções são bastante razoáves. Dentre os métodos há a preferênca ao método das característcas pelo fato do fenômeno transtóro segur uma le de propagação de ondas que assoca o tempo t com a abcssa x defnda ao longo da canalzação através da celerdade a. A prncpal vantagem do método das característcas é apresentar a possbldade de obter equações explíctas para a determnação das cargas e vazões. O método é muto efcente quando se aplcam valores convenentes para a celerdade da onda (V << a onde V é velocdade méda de escoamento). As equações (.) e (.) podem ser reescrtas como: L t H x = ga = f ( DA) 0 (.3) L a ga H = = 0 x t (.4) Consderando a combnação lnear das equações (.3) e (.4): ou L = L λ L 0 (.5) = H ga t x f DA ( ) λ a H λga x t = 0 (.6) ou

24 λ a t H λga x t H λ x f DA ( ) = 0 (.7) Se H = H(xt) e = (xt) são soluções das equações (.3) e (.4) então as dervadas totas podem ser escrtas como: e d dt dh dt = t x H = t H x dx dt dx dt (.8) (.9) Defnndo o multplcador λ como: λa = = λ dx dt (.0) e utlzando as equações (.8) (.9) e (.0) as equações característcas tornam-se: d dt ga dh a dt f dx = 0 para = a ( DA) dt (.) d dt ga dh a dt f dx = 0 para = a ( DA) dt (.) Note que a equação (.) é válda para (dx/dt) = a e que a equação (.) é válda para (dx/dt) = -a. Em outras palavras mpondo as relações dadas por (dx/dt) = a e (dx/dt) = - a elmna-se a varável ndependente x e convertem-se as equações dferencas parcas (.3) e (.4) em equações dferencas ordnáras na varável ndependente t. No plano x-t estas relações representam duas lnhas retas tendo nclnações ± /a. Essas lnhas são chamadas lnhas característcas. Matematcamente essas lnhas dvdem o plano x-t em duas regões. Por exemplo um dstúrbo no ponto A (fgura ) em t o alcançara o ponto P depos de um ntervalo de tempo t.

25 3 t FIGURA Lnhas Característcas no plano x-t. Lnhas Característcas t o t P t t o A B x x Antes da apresentação do procedmento de solução das equações (.) e (.) será dscutdo o sgnfcado físco das lnhas característcas. Para facltar a dscussão consdere uma tubulação smples mostrada na fgura. FIGURA Tubulação smples. Reservatóro A Fluxo L Válvula B As equações (.) e (.) são váldas ao longo do comprmento do tubo (0<x<L) e é necessáro estabelecer condções de contorno nas extremdades (para x=0 e x=l) (fgura 3). FIGURA 3 Regão de valdade para uma tubulação smples. t Regão de Valdade Das Equações de Compatbldade (Equações. e.) A B x = 0 x = L x

26 4 t t = t C FIGURA 4 Exctação no nó de jusante. Regão II Regão I t = 0 A B x No exemplo sob consderação há um reservatóro de carga constante no nó a montante (x = 0) e uma válvula no nó a jusante (x = L) e as condções transentes são produzdas pela válvula. Assume-se que há um fluxo ncal (t = 0) permanente na tubulação quando a válvula é nstantaneamente fechada. Isso reduz o fluxo através da válvula a zero e resulta em uma elevação da pressão na válvula. Devdo a esta elevação de pressão uma onda de pressão se propaga para montante. Se o camnho desta onda é plotado no plano x-t ele será representado pela lnha BC como mostrado na fgura 4. A fgura mostra que as condções na regão I dependem somente das condções ncas pos as condções de contorno não mudam enquanto que na regão II elas dependem das condções mpostas pelo contorno a jusante. Portanto a lnha característca BC separa os dos tpos de soluções. Se exctações são mpostas smultaneamente nos pontos A e B então a regão nfluencada pelas condções ncas é conforme mostrado na fgura 5. FIGURA 5 Exctação nos nós a montante e jusante. t t = t Regão nfluencada pelas condções ncas t = 0 A B C x A lnha característca AC separa as regões nfluencadas pelo contorno a montante e as condções ncas e a lnha BC separa as regões nfluencadas pelo contorno de jusante e as

27 5 condções ncas. Em outras palavras as lnhas característcas no plano x-t representam o camnho de propagação das perturbações em város pontos do sstema. A resolução numérca das equações (.) e (.) é obtda dscretzando-se o domíno e o tempo em ntervalos x e t respectvamente. Assm têm-se os valores dscretos de x que ndcam as seções consderadas: x o = 0 x = x x = x... x N = N x. Para o tempo t tem-se: t o = 0 t = t t = t... t M = M t. Necessaramente por mposção do método das característcas tem-se que x = a t. A fgura 6 lustra a dscretzação de x e t. Os pontos M J e P correspondem respectvamente aos pontos de coordenadas (x - t j ) (x t j ) (x t j ). A Eq. (.) é usada para relaconar os valores de H P e P com o par de valores H M e M e a Eq. (.) para relaconar H P e P com H J e J. FIGURA 6 Defnção da malha de dscretzação do método das característcas. x P x C C - t M J Rearranjando as equações (.) e (.) as equações característcas tornam-se: dx C : dh Bd R dt = 0 para = a dt (.3) C : dh Bd R dt = 0 para dx = a dt (.4) onde: B = a ga (.5) fa R = gda (.6)

28 6 6): Integrando as equações (.3) e (.4) ao longo de MP e JP respectvamente (fgura C P P : dh B d R dt = 0 M M P M (.7) C P P : dh B d R dt = 0 J J P J (.8) Os dos prmeros termos das equações (.7) e (.8) podem ser faclmente avalados entretanto o tercero termo destas representando perdas por atrto apresenta uma certa dfculdade pos não se conhece explctamente a varação de com t. Como os ntervalos de tempo usados para resolver essas equações em problemas prátcos são usualmente pequenos uma técnca de prmera ordem sugerda por WYLIE e STREETER (978) é sufcentemente vável e precsa. Usando esta técnca para o termo do atrto as equações (.7) e (.8) tornam-se: C ( H H ) B( ) R t 0 : = p M P M M M (.9) C : = - ( H H ) B( ) R t 0 P J P J J J (.0) com a aproxmação do termo do atrto: P M M M dt M M t para C (.) e P J J J dt J J t para C (.) Esse método é conhecdo como explícto e produz usualmente resultados satsfatóros em aplcações na engenhara. Entretanto se o termo do atrto tornar-se muto grande a

29 7 aproxmação de prmera ordem pode produzr resultados nstáves. Para tas casos um método prevsor-corretor ou uma aproxmação de segunda ordem deve ser usada para evtar nstabldade. A teora desenvolvda será válda se o fluxo transente não flutuar muto dstante do estado permanente por um longo período de tempo.... Cálculo da Celerdade HALLIWELL apud CHAUDHRY (987) apresenta uma expressão geral para o cálculo da velocdade da onda: a = K ρ K E ψ (.3) [ ( ) ] onde: ψ é um parâmetro admensonal que depende das propredades elástcas do conduto; E = módulo de elastcdade de Young da parede do conduto; K e ρ são o módulo de elastcdade e a massa específca do fludo respectvamente. Exstem váras expressões que calculam o parâmetro ψ para dferentes condções dos condutos. Neste trabalho os condutos serão consderados como elástcos de paredes fnas. A expressão é a segunte: D ψ = 5 e' ( 0 υ ) (.4) onde D = dâmetro do conduto e = espessura da parede e υ = razão de Posson....3 Condções de Contorno O método das característcas provdenca um meo sstemátco de cálculo das condções transentes em uma tubulação. Cada trecho é dvddo em N- segmentos de comprmento x com N seções. No níco de cada trecho (prmera seção) e ao térmno do trecho (últma seção) uma equação de contorno e uma equação característca são necessáras. Nos nós nterores ( < < N) ambas as equações característcas são empregadas. Aplcando este esquema de dscretzação obtêm-se equações para as dversas seções de uma rede hdráulca.

30 8 Seção Interna Consdere uma seção genérca s nterna a um trecho da tubulação. A fgura 7 apresenta as lnhas característcas postva e negatva no plano x-t. FIGURA 7 Esquema de uma seção nterna s de uma tubulação. P t C C - s s s x x As equações característcas são dadas por: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0 : = t R B H H C s s s s s s (.5) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0 : = t R B H H C s s s s s s (.6) Das equações (.5) e (.6) vem: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) B t R B B t R B B H B H s s s s s s s = (.7) Substtundo a equação (.7) na equação (.5) ou na equação (.6) resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) t R B t R B H H H s s s s s s s = (.8)

31 9 Reservatóro de Nível Constante a Montante Consdere um reservatóro de nível constante localzado a montante de uma tubulação genérca (fgura 8). FIGURA 8 Esquema de um reservatóro de nível constante localzado a montante de uma tubulação genérca. P C - t x A equação característca negatva é dada por: C : R [ H ( ) H ( ) ] B ( ) ( ) t ( ) ( ) = 0 [ ] (.9) Contorno: ( ) = H constante H = (.30) Das equações (.9) e (.30): ( ) H = B H B [ ] ( ) B R t ( ) B ( ) (.3) Reservatóro com Nível Constante a Jusante Consdere um reservatóro de nível constante localzado a jusante de uma tubulação genérca (fgura 9).

32 30 FIGURA 9 Esquema de um reservatóro de nível constante localzado a jusante de uma tubulação genérca. P t C N- N x A equação característca postva é dada por: C Contorno: H : [ H ( ) H ( ) ] B ( ) ( ) N N N N R t ( ) ( ) = 0 N N ( ) = H constante = N N Das equações (.3) e (.33): ( ) H = B N H N B [ ] [ ] ( ) B R t ( ) N N N B ( ) (.3) (.33) (.34) Nó de Consumo ou Demanda Consdere um nó de consumo genérco M com vazão de demanda gual a EXTM e duas tubulações e j representando as tubulações que chegam (conjunto N sentdo postvo) e as tubulações que saem (conjunto N sentdo negatvo) do nó M respectvamente (fgura 0). FIGURA 0 Esquema de um nó de consumo genérco M. P t C C - M N- N j x x EXTM

33 3 As equações característcas são dadas por: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0 : = t R B H H C N N N N N N (.35) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0 : = t R B H H C j j j j j j j j (.36) Contorno: ( ) ( ) 0 = M EXT N j j N N (.37) ( ) ( ) ( ) = = H H H m j N (.38) Das equações (.35) e (.36): ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) B t R B B H B H N N N N N = (.39) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) B t R B B H B H j j j j j j j j j = (.40) Substtundo as equações (.39) e (.40) na equação (.37) e usando a equação (.38): ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) M EXT M N j j j j j j M N N N M N j j j M N s M M B B t R B B B t R B B B H B B H B H = (.4)

34 3 onde: B M = N j N B B j (.4) Válvula a Jusante Consdere uma válvula localzada a jusante de uma tubulação genérca (fgura ) FIGURA Válvula localzada a jusante de uma tubulação genérca. P t C N N x Válvula A equação característca postva é dada por: C : [ H ( ) H ( ) ] B ( ) ( ) N N N N R t ( ) ( ) = 0 N N [ ] (.43) O fluxo permanente através da válvula pode ser escrto como: ( Cd Av ) gh o o N o = N (.44) onde o índce o ndca condções de escoamento permanente C d = coefcente de descarga Ho N = carga a montante da válvula e A v = área do orfíco. Assumndo que o fluxo em escoamento transente através da válvula possa ser descrto por uma equação smlar ao escoamento permanente pode-se escrever: ( ) = ( C A ) gh ( ) N d v N (.45)

35 33 Dvdndo a equação (.45) pela equação (.44) e elevando ao quadrado ambos os lados obtêm-se: N ( ) ( ) o τ N = H N H o N ( ) (.46) onde: τ = (C d A v )/(C d A v ) o é a abertura ou fechamento relatvo da válvula. Substtundo H N () da equação (.45) na equação (.46) produz: onde: ( ) C ( ) C C 0 N v N p v = (.47) C v = ( τo ) B N H o N (.48) C H = ( ) R ( ) t ( ) ( ) N p N N N B B (.49) Resolvendo a equação (.47) para N- () e desprezando o termo negatvo em uma das raízes vem: ( ) = 0.5( Cv Cv 4C p Cv ) N (.50) H N () pode ser calculado agora por meo da equação (.43). Para o cálculo das condções transentes provocadas por abertura ou fechamento de uma válvula uma relação entre τ e t deve ser especfcada. Geralmente esta relação apresentase sob forma gráfca. A fgura lustra exemplo de abertura e fechamento de uma válvula. Notar que τ = corresponde a uma abertura na qual o escoamento é permanente.

36 τ 34 FIGURA Exemplo de abertura e fechamento de uma válvula Abertura Fechamento Tempo (s)...4 Consderações O Método das Característcas é um método de resolução das equações hperbólcas que governam o escoamento transente. O método conduz a uma análse abrangente dos mecansmos de operação de transentes e mostra que o cálculo do transtóro hdráulco em uma rede é faclmente realzado por meo de equações explíctas que fornecem dretamente os valores das cargas nos nós e vazões nas tubulações da rede em cada passo de tempo em função dos respectvos valores no passo de tempo anteror. No equaconamento do modelo hdráulco apresentado vsando à calbração da rede foram apresentadas váras condções de contorno em uma rede hdráulca. Este trabalho não contempla os transentes provocados por operações de bombas e de reservatóros de nível varável porém as respectvas condções de contorno podem ser equaconadas sem causar grandes dfculdades na modelagem..3 Calbração A fm de se raconalzar o uso dos recursos hídrcos a utlzação de modelos matemátcos de prevsão do comportamento hdráulco va computador vem se mostrando fundamental na análse das redes de dstrbução de água. A calbração é uma etapa decsva na consstênca dos resultados obtdos a partr do modelo de smulação hdráulco da rede em estudo. Este trabalho apresenta um modelo de calbração de rede de abastecmento de água

37 35 que consdera o fator de atrto nos trechos da rede como varáves de decsão. Para a obtenção destas varáves utlzaram-se os Algortmos Genétcos. Shamr e Howard (977) destacam a mportânca da calbração para a determnação de característcas físcas e operaconas de um sstema exstente e obtenção de dados que quando nserdos ao modelo matemátco da rede produzem dados realístcos. A calbração pode ser consderada como parte ntegrante da modelagem onde após o prmero passo é possível dar contnudade para se tentar operar e controlar o sstema estudado. Cesaro e Davs (984) defnem calbração como sendo o processo de ajuste fno de modelo até que esse smule as condções de campo para um horzonte de tempo específco e para as condções de demanda máxma horáras com uma precsão razoável. Wals (983986) e Bhave (988) propuseram técncas analítcas que requerem nformações do campo para ajustarem smultaneamente os coefcentes de fator de atrto das tubulações e as demandas dos nós. Estes dados podem ser obtdos durante testes de rotna nas redes de dstrbução de água. A aplcação feta por Wals (983) fo modfcada por Bhave (983) que ajustou smultaneamente as demandas nos nós e os coefcentes de resstênca dos tubos por meo de um processo teratvo de calbração. Através de um processo de tentatvas fo possível ajustar os coefcentes de resstênca das tubulações e/ou as demandas nos nós fazendo uma prevsão das pressões nos nós e comparando-as com as respectvas pressões observadas. Enquanto na técnca de Bhave (988) a vazão de entrada no nó de orgem pode ser medda e permanecer fxa durante a calbração na proposta de Wals (983) as demandas nos nós e as vazões de entrada nos nós de orgem (próxmo ao reservatóro) crescem ou decrescem dependendo do valor do fator de ajuste de demanda. Boulos e Wood (990) determnaram dretamente parâmetros de projetos operação e calbração de redes de abastecmento de água por meo de um processo de algortmo explícto. Através deste processo valores ótmos para estes parâmetros de projetos operação e calbração puderam ser determnados para encontrar as restrções específcas de vazão e pressão. Todos os tpos de sstema de dstrbução podem der consderados neste modelo. O método adotado para resolver smultaneamente o sstema de equações lneares e não lneares fo o de Newton-Raphson. As varáves de decsão para o algortmo de otmzação são representados pelos parâmetros ndetermnados da rede. A medda que estes parâmetros são explctamente determnados o algortmo explícto se torna bastante efcente para satsfazer especfcações lmtes. Ferrer Napol e Tumbolo (994) destacam a mportânca de avalar com

38 36 precsão os parâmetros da rede essencas para a calbração onde o coefcente de fator de atrto assume grande mportânca; uma vez que estes parâmetros se alteram consderavelmente com o tempo. Gambale (000) defnu calbração em redes de água como sendo a determnação das característcas físcas do modelo partcularmente dos coefcentes de fator de atrto dos tubos que nserdos no modelo smulador produzram resultados realístcos. A calbração é uma tarefa mprescndível à smulação e envolve um grande consumo de tempo dos profssonas para sua realzação. Devdo a este fato nos últmos anos a calbração tem sdo objeto do estudo de város pesqusadores. Em sua pesqusa Gambale calbrou uma rede de abastecmento de água adaptada do exemplo crado por Wals (983) aplcando sua técnca utlzando o Algortmo Genétco em regme permanente. Segundo ele os modelos de calbração são modelos otmzadores que têm como escopo a determnação de forma automátca dos coefcentes de fator de atrto das redes ou das demandas nodas ou seja calbração de rede. Atualmente a otmzação genétca tem sdo objeto de estudo para operar nestes modelos. Em seu trabalho ele cta alguns modelos dsponíves no mercado tas como: EPANET - Desenvolvdo pela Agênca de Proteção Ambental Amercana (Envronmental Protecton Agency - EPA). Este programa de dstrbução lvre possu város recursos como Controles Padrões e as smulações em Período Extensvo e de ualdade de Água. Encontra-se dsponível em bblotecas voltadas para a plataforma em WINDOWS. BOSS SEM - (Epanet Modelng System) - Desenvolvdo no ambente WINDOWS pela empresa Boss Internatonal este smulador utlza o cálculo do EPANET contando com todos os recursos dsponíves naquele modelo tendo as vantagens da nterface do WINDOWS para a cração da rede e vsualzação dos resultados. CFOR - O programa crado pela Fundação Centro Tecnológco de Hdráulca da Unversdade de São Paulo fo desenvolvdo em ambente WINDOWS e possu os módulos de cálculo em regme permanente extensvo e transtóro. HONET - Pertencente a MW Soft Inc este programa é um dos mas completos exstentes no mercado. Trabalha dretamente no ambente AUTOCAD dspondo dos módulos de cálculo de qualdade de água regme permanente e extensvo. Possu também um vasto grupo de recursos destacando-se o

39 37 gerencador de cenáros e a nterface com os sstemas GIS (Geographc Informaton System) e SCADA (Supervsory Control And Data Aquston). A despeto de ser um programa de grandes recursos seu manejo não é smples necesstando do programa AUTOCAD para funconar. PIPE Esta versão para WINDOWS do programa KYPIPE produzda pela Unversdade do Kentucy (USA) dspõe de uma grande varedade de recursos cumprndo destacar a utlzação de magens RASTER (bacground) e a calbração automátca. Trata-se de um programa de fácl assmlação. WATERCAD - Crado pela empresa Haestad Methods é um programa desenvolvdo em WINDOWS tendo uma extensa gama de recursos dentre eles o gerencador de cenáros. Talvez a maor vrtude deste programa seja a facldade com que o operador aprenda a utlzá-lo..3. Técncas de calbração Desde a década de 70 numerosas técncas de calbração tem sdo usadas em redes como nos seguntes casos: Eggener e Polows (976) sugerram que as condções de vazão podem ser melhor defndas que o fator de atrto segundo eles o método mas lógco de se modelar um sstema malhado sera dar entrada no computador com dados de vazão juntamente com as pressões nodas observadas em pontos determnados e uma sére de valores de fator de atrtos assumdos. A dea é que o computador realze o balanço da rede para cada condção de carga armazene os resultados examne o ajuste global do modelo explore as melhores estmatvas e realze um outro balanço com as novas fator de atrtos. Este processo deve se repetr de forma teratva até que alguma condção de acetação seja satsfeta. Segundo os autores naquela época um esquema anda pouco dvulgado hava sdo descrto por Donache na Inglaterra. Segundo Sharp e Wals (988) a fator de atrto dos condutos de água é um fator crítco para o dmensonamento das tubulações. Exstem város métodos para obtenção deste parâmetro entre eles utlzar valores da lteratura tradconal porém estes valores varam muto de um sstema para outro. Um segundo método sera determnar a fator de atrto de uma tubulação já nstalada ajustando valores que façam um modelo computaconal atender váras condções pré-determnadas. Um tercero método e mas precso sera medr em campo a

40 38 fator de atrto real dos tubos por meo das perdas de cargas. Este método apesar de fornecer resultados mas confáves é também o mas dspendoso em tempo e custo. No entanto segundo os autores nenhum destes métodos são capazes de garantr no futuro a fator de atrto das tubulações. Garca-Serra (988) em sua tese de doutorado apresenta váras técncas e varações para calbração de modelos matemátcos de dstrbução de água dvdndo-as em determnístcos e não-determnístcos. Prmeramente aborda métodos mas smples que proporconam um ajuste não tão precso do modelo. Dscorrem anda desta fase técncas matemátcas de mnmzação que são útes para o cálculo de certas funções objetvas. Posterormente apresenta técncas de calbração mas refnadas as quas são apoadas em base analítca fundamentada na própra formulação do sstema de equações que defnem o comportamento da rede. Também foram utlzadas técncas de análse que permtem determnar a varação de certa grandeza ao se modfcar parâmetros de ajuste. Segundo o autor em mutos casos ncalmente se aplcou um técnca de precalbração e a segur se aplcou uma técnca mas apurada. Cheung e Souza (00) defnram como fnaldade de um processo de calbração de uma rede de abastecmento de água como sendo o ajuste dos dados de entrada do modelo com a fnaldade de reduzr os desvos entre os valores observados e prognostcados. Em seu trabalho dos métodos foram utlzados e comparados o Analítco (Bhave 988) que ajusta os coefcentes de fator de atrto das tubulações e/ou demandas nos nós através de um processo teratvo até alcançar a calbração da rede e o Explícto proposto por Boulos e Wood (990) que determna dretamente os parâmetros de calbração. Neste processo as condções de pressão e vazão em regme permanenete são determnadas por técncas fornecdas pelas equações da energa e da contnudade. A solução do problema é dada em termo da reformulação da equação de equlíbro da rede. Araújo e Chaudhry (003) utlzaram o Método Transente Inverso que determna os parâmetros pela mnmzação dos desvos entre as cargas hdráulcas observadas e calculadas para a calbração das fator de atrtos em redes hdráulcas observando dados tanto em regme permanente como em regme transente. Durante o transente fenômeno que ocorre quando há uma varação da pressão e vazão devdo a algum dstúrbo como a abertura ou fechamento de válvula é possível obter-se uma quantdade muto maor de nformações no tempo com um menor número de locas observados que no escoamento permanente. Lggett e Chen (994) fzeram o ajuste entre cargas meddas e calculadas aplcando o MTI em conjunto com o método de Levenberg-Marquardt. Goldberg (989) e

41 39 Mchalewcz (994) usaram outros métodos de ajuste de parâmetros que ncluíram como algortmo estocástco o genétco (AG). Slva (006) defnu Métodos Explíctos como sendo aqueles em que os parâmetros de equlíbro da rede a serem calculados pelos modelos matemátcos são determnados por meo da resolução analítca do sstema de equações não lneares; onde o número de meddas de pressão e/ou vazão é gual ao número de parâmetros. Já o método mplícto desenvolvdo por Ormsbee (989) que utlza uma técnca não lnear para calbração da fator de atrto de tubulações baseado em condções de carga em regme permanente consste em mnmzar uma função objetva que geralmente é o módulo da dferença entre os valores observados e calculados de pressão e/ou vazão. Um modelo matemátco representa uma descrção matemátca das característcas de um sstema. O prmero passo na análse de um sstema dnâmco é obter o seu modelo. Na descrção da maora dos sstemas dnâmcos sejam mecâncos elétrcos ou hdráulcos utlzam-se normalmente equações dferencas. A resolução dessas equações dferencas permte que se tenha uma dada resposta do sstema. Nem sempre é possível resolver dretamente as equações dferencas para a obtenção da resposta é prátca comum lançar mão de um modelo numérco para fns de análse. Este capítulo apresenta o modelo hdráulco adotado para a análse do transtóro hdráulco. As equações parcas dferencas não lneares são transformadas em equações dferencas ordnáras de modo a facltar a compreensão do transtóro e da sua aplcação..4. Estudo do método do Algortmo Genétco como ferramenta de otmzação.4. Hstórco da Teora Evolutva No decorrer da hstóra os homens têm construído uma vasta rede de conhecmento que os hablta a prever com certo grau de varação o clma o movmento dos planetas os eclpses solar e lunar as fontes das doenças a subda e descda dos ndcadores econômcos os estágos de desenvolvmento da lnguagem das cranças e um vasto panorama de outros fenômenos naturas socas e culturas. Mas recentemente a cênca compreendeu alguns lmtes de sua capacdade em prever estes fenômenos devdo sobretudo à alta complexdade dos mesmos. A nteração com a natureza tem permtdo um aprendzado mas adequado: exste um grau de controle para entender determnado fenômeno ou melhor há fenômenos que são guados pela aleatoredade.