2ª Lista de Exercícios

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1 2ª Lista de Exercícios (RESUMO_) 1. TERMOS E CONCEITOS GERAIS 1.1. Experiências aleatórias e experiências deterministas Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Um experimento apresenta as seguintes características fundamentais: É possível conhecer previamente o conjunto dos resultados possíveis; Não é possível prever o resultado; Podem repetir-se várias vezes nas mesmas condições Experimento Determinístico Os fenômenos deterministas não interessam para o estudo das probabilidades. Uma experiência é determinista quando é possível prever o resultado que se obtém se repetida nas mesmas condições. Exemplos: ALEATÓRIOS Jogar e ganhar na Megasena Concorrer e ganhar um carro nas compras de Natal. Atirar uma moeda ao ar e registar a face voltada para cima Tirar uma carta de um baralho e registar a carta saída DETERMINISTAS Atirar uma pedra ao ar e ver o que acontece Colocar dinheiro num banco e calcular o juro produzido num certo tempo Colocar dois produtos químicos em contato e observar a reação Deixar de regar uma planta e ver o que acontece 1.2. Definições A) Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S ou. B) Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral. Diremos que o evento se realizou quando, na realização de um experimento aleatório, o resultado obtido pertencer a esse subconjunto. Exemplo: Considere o experimento aleatório de lançar um dado e anotar o resultado. O espaço amostral deste experimento é: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Todos os subconjuntos formados a partir desse conjunto são chamados eventos. Assim, por exemplo, serão eventos diferentes desse espaço amostral os seguintes subconjuntos: {5, 6}, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, {1, 2, 3, 4}, {6}. Suponhamos que, tendo lançado o dado, o resultado foi 3. Se o evento A for número ímpar, podemos dizer que o evento A ocorreu? Será que o evento B foi maior do que 4? Como podemos constatar, o número 3 aparece entre os elementos do subconjunto A = {1,3,5}. Por isso, dizemos que o evento A foi ímpar. Ao contrário, o evento B não foi maior do que 4, pois 3 não se encontra entre os elementos do subconjunto, B = {5,6}. C) Tipos de Eventos Evento Certo: É o próprio espaço amostral. Exemplo: evento A ocorrência de um número menor que 8 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1

2 Evento Impossível: É o subconjunto vazio do espaço amostral. Exemplo: evento B - ocorrência de um número maior que 10 B = Evento União: É a reunião de dois eventos. Exemplos: evento A ocorrência de um número impar E = {1, 3, 5} evento B ocorrência de um número par primo B = {2} evento A B ocorrência de um número impar ou de um número par primo A B = {1, 2, 3, 5} Evento Intersecção: É a intersecção de dois eventos. Exemplos: evento A ocorrência de u número par A = {2, 4, 6} evento B ocorrência de um número múltiplo de 4 B = {4} evento A B ocorrência de um número par e múltiplo de 4 A B = {4} Eventos mutuamente exclusivos: São aqueles que têm conjuntos disjuntos. Exemplos: evento D ocorrência de um número par D = {2, 4, 6} evento E ocorrência de um número impar E = {1, 3, 5} D E = Eventos complementares: são dois eventos A e A tais que: A A = (o evento união é o próprio espaço amostral) A A = ( o evento intersecção é o conjunto vazio) Exemplos: evento A ocorrência de número par A = {2, 4, 6} evento A ocorrência de número ímpar A = {1, 3, 5} Observe que: A A = = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A A = Exercício resolvido: Se lançarmos um dado de 6 faces numeradas de 1 a 6 e observarmos a sua face superior: (a) Defina o conjunto de resultados. (b) Defina e classifique o acontecimento: i) A: sair número par ; ii) B: sair um número superior a 5 ; iii) C: sair um número menor que 7 ; iv) D: sair o número 7. Resolução: (a) S 1,2,3,4,5,6 (b) i) A 2,4,6, acontecimento composto; ii) B iii) C iv) B 6, acontecimento elementar; 1,2,3,4,5,6, acontecimento certo;, acontecimento impossível. 2

3 2. DEFINIÇÕES DE 2.1 TEORIA OBJETIVA CLÁSSICA OU LEI DE LAPLACE. A probabilidade de um acontecimento C é o quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis, quando os eventos simples são equiprováveis, ou seja, nº de casos favoráveis ao acontecimento C P(C) nº de casos possíveis Exemplo: O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta? Solução O evento tirar uma bola de cor diferente do preto, ou seja, A = {B,V}, consta de dois elementos. Como foi dito na definição de probabilidade, atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada elemento na relação de frequência. Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha, 3/9, que aparecem na relação de frequência deste exemplo, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A). Assim, P(A) = Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma frequência relativa esperada. Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado. Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e que sua probabilidade é uniforme AXIOMAS DE KOLMOGOROV A probabilidade do acontecimento certo é 1 P( ) = 1 ou 100%; A probabilidade de um evento A é igual ou maior que zero P(A) 0; Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, então P (A B)= P(A) + P(B). 3. PROPRIEDADES DA P1: A probabilidade do evento impossível é nula. Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula. P2: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima. P3: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual à unidade. Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U. n(a U A') = n(u) e, portanto, n(a) + n(a') = n(u). Dividindo ambos os membros por n(u), vem: n(a)/n(u) + n(a')/n(u) = n(u)/n(u), de onde se conclui: p(a) + p(a') = 1 Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento. P4: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: p(a U B) = p(a) + p(b) p(a B) Observe que se A B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(a U B) = p(a) + p(b). Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que n(a U B) = n(a) + n(b) n(a B) Dividindo ambos os membros por n(u) e aplicando a definição de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima. 3

4 Exemplo: Em certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não leem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? SOLUÇÃO: Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos: n(u) = N(J U P) + N.º de pessoas que não leem jornais. n(u) = n(j) + N(P) N(J ÇP) n(u) = n(u) = 8600 Portanto, a probabilidade procurada será igual a: p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser). Exm. Uma urna contém apenas bolas vermelhas, azuis, brancas e pretas. Retira-se ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma bola vermelha é 5/17. Qual é a probabilidade de sair uma bola que não seja vermelha? Solução. O evento não sair bola vermelha é complementar ao não sair bola vermelha. P(A') = 1-5/17 = 12/17 0bs.: Se A, B e C são três eventos quaisquer, então Atenção: Ou e E Em probabilidade a palavra ou significa adição e e multiplicação. Exemplos: Qual a probabilidade de sair ímpar num dado? As faces podem ser 1 ou 3 ou 5. Qual a probabilidade de sair uma bola branca e uma vermelha numa urna contendo 4 bolas brancas e 6 vermelhas? Obs. Muitos, talvez a maioria, das aplicações da probabilidade envolvem frases do tipo: ao menos, no máximo, menos que e mais que. Nestes casos a solução envolve a soma de dois ou mais casos. Aplicação 1. No lançamento de um dado, calcular a probabilidade de se obter número: a) primo: b) divisor de 6 2. Tirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho comum, de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um rei? 3. Lançando-se, simultaneamente, duas moedas, calcular a probabilidade de se obterem faces de: a) mesmo nome; b) nomes diferentes. 4. No lançamento simultâneo de dois dados, qual a probabilidade de obter soma diferente de 11? 5. Um urna contém 6 bolas vermelhas e 4 pretas. Retirando-se ao acaso uma bola, qual é a probabilidade de ela ser: a) Vermelha? b) Preta? 4

5 6. Uma urna contém 6 bolas verdes, 5 azuis e 4 pretas. Calcular a probabilidade de se extrair uma bola azul ou preta. Gabarito 1. 50%; 2/3 2. 4/ %; 50% 4. 17/ %; 40% 6. 3/5 Resolvidos 07 - (Cetro/Emater) Em uma corrida com 12 participantes, pode-se compor a classificação para o primeiro, segundo e terceiro colocados de quantas maneiras diferentes? a) 210 b) 720 c) d) e) Resolução: Como a ordem dos 12 participantes importa na ordem de classificação, temos aqui um problema envolvendo arranjo entre o total de participantes e os três participantes que serão classificados em primeiro, segundo e terceiro: A 12,3 = = maneiras diferentes. Alternativa d (Cetro/DER/DF) Em todos os feriados prolongados, os acidentes nas principais rodovias do país aumentam e, por este motivo, recebem atenção especial dos agentes rodoviários. Numa determinada rodovia, constatou-se que nesses dias, entre 8 horas e 12 horas, os acidentes envolvem sempre dois veículos, conforme a tabela abaixo: Tipo Ocorrência Porcentagem 1 Nenhum veículo precisa ser guinchado 60 2 Um e só um dos veículos deve ser guinchado 22 3 Os dois veículos devem ser guinchados 18 No pátio da empresa responsável pela rodovia há dois guinchos de plantão, sendo que cada um deles é capaz de rebocar um veículo de cada vez. Se num determinado instante ocorrem dois acidentes nessa rodovia, simultaneamente e de modo independente, a probabilidade de que falte guincho (isto é, de que os dois guinchos disponíveis não deem conta de rebocar todos os veículos que necessitem de remoção) é: a) 12,12% b) 12,06% c) 11,91% d) 11,16% e) 11,04%. Resolução: Se num determinado instante ocorrem dois acidentes nessa rodovia, simultaneamente e de modo independente, para que se falte guincho, teremos as seguintes situações, onde poderão ocorrer: Acidente tipo 3 e outro acidente tipo 3, pois nenhum veículo tipo 1 precisa ser guinchado; Acidente tipo 2 e outro acidente tipo 3, pois nenhum veículo tipo 1 precisa ser guinchado; Acidente tipo 3 e outro acidente tipo 2, pois nenhum veículo tipo 1 precisa ser guinchado. Assim, calcularemos a probabilidade: Acidente tipo 3 (18% = 0,18) e outro acidente tipo 3 (18% = 0,18) = 0,18 x 0,18 = 0,0324 Acidente tipo 2 (22% = 0,22) e outro acidente tipo 3 (18% = 0,18) = 0,22 x 0,18 = 0,0396 Acidente tipo 3 (18% = 0,18) e outro acidente tipo 2 (18% = 0,18) = 0,18 x 0,22 = 0,0396 Como podem ocorrer a 1ª ou a 2ª ou a 3ª situação, vamos somar as situações: , ,0396 = 0,1116 Para transformarmos em porcentagem, é só multiplicar por 100: 0,1116 x 100 = 11,16% Alternativa d (Cetro/Hemocentro) Para etiquetar os frascos utilizados num laboratório, foi criado um código formado por 3 letras e 3 algarismos, sendo as letras apenas vogais e sendo os algarismo distintos, portanto, a quantidade de códigos é igual a: a) 9 b) 81 c) 810 5

6 d) e) Resolução: Das informações, os números deverão ter 3 algarismo e cada algarismo terá 5 possibilidades (a, e, i, o, u). Para os números que não devem se repetir, teremos 10 possibilidades na primeira casa, 9 possibilidades na segunda e 8 possibilidades na terceira: Pelo princípio de contagem temos: = códigos. Alternativa e. CONJUNTO 1. Em um grupo de 200 estudantes, 150 estudam matemática e 130 estudam lógica. Quantos estudam matemática e lógica? Quantos estudam apenas matemática? Quantos estudam apenas lógica? 2. Uma pesquisa com 500 pessoas que praticam caminhada ou musculação, revelou que 350 fazem caminhada e 300 fazem musculação. Quantas praticam as duas modalidades de esportes? 3. Numa empresa em que todos os funcionários leem jornal constatou-se que 21 leem o jornal A; 14 leem o jornal B e 9 leem ambos. Qual o número de funcionários desta empresa? 4. Em um grupo de 140 estudantes, 60 estudam matemática, 70 estudam lógica e 80 estudam filosofia. Sabendo que 10 deles estudam as três disciplinas, 30 estudam apenas filosofia e lógica, 30 estudam apenas matemática; 20 estudam apenas lógica; quantos estudam apenas matemática e lógica e quantos estudam apenas matemática e filosofia e quantos estudam apenas filosofia? 5. Dentre 170 músicos, 70 tocam flauta, 100 tocam violino, 110 tocam piano. Sabendo que 40 tocam flauta e piano, 50 tocam piano e violino, 30 tocam violino e flauta, 10 tocam os três instrumentos, quantos tocam apenas um instrumento? 6. De um total de 800 rapazes, 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 gostam dos dois. Quantos não gostam nem de futebol nem de cinema? a) 100 b) 230 c) 30 d) 140 e) 120 6

7 7. A turma do 3º Ano A do Colégio Meta, possui 42 estudantes onde todos praticam futebol ou basquete, 36 gostam de futebol e 28 gostam de basquete. Quantos estudantes gostam ao mesmo tempo de futebol e de basquete? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) Num levantamento realizado por um agente de saúde e saneamento, verificou-se que de um grupo de 900 pessoas, 450 tinham sintomas de uma doença A, 280 tinham, sintomas de uma doença B e 80 tinham sintomas dessas duas doenças. O número de pessoas que não tinham sintomas nem de A nem de B corresponde a: a) 150 b) 200 c) 250 d) 300 e) Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% falam francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma dessas duas línguas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não fala inglês é de: a) 3% b) 15% c) 27% d) 30% e) 33% 10. Em um grupo de 160 estudantes, 60% assistem às aulas de Francês e 40% assistem às aulas de Inglês, mas não às de Francês. Dos que assistem às aulas de Francês, 25% também assistem às aulas de Inglês. O número de estudantes, do grupo de 160 estudantes, que assistem às aulas de Inglês é: a) 40 b) 64 c) 66 d) 88 e) (BACEN - FCC) Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo é a) 245 b) 238 c) 231 d) 224 e) (MPU) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 20 alunos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a a) 93. b) 110. c) 103. d) 99. e)

8 13. (ANEEL) Uma grande empresa multinacional oferece a seus funcionários cursos de português, inglês e italiano. Sabe-se que 20 funcionários cursam italiano e inglês; 60 funcionários cursam português e 65 cursam inglês; 21 funcionários não cursam nem português nem italiano; o número de funcionários que praticam só português é idêntico ao número dos funcionários que praticam só italiano; 17 funcionários praticam português e italiano; 45 funcionários praticam português e inglês; 30, entre os 45, não praticam italiano. Com estas informações podese concluir que a diferença entre o total de funcionários da empresa e o total de funcionários que não estão matriculados em qualquer um dos cursos é igual a: a) 93 b) 83 c) 103 d) 113 e) (SEBRAE) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que: 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os livros L e M; 25 utilizaram os livros M e N; 15 utilizaram os três livros. 15. Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 1. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 2. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 3. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. 4. O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a FCC_TJUPE - Anal.Jud.- Área Administrativa_Jan 2012_Em uma enquete dez pessoas apreciam simultaneamente as praias J, M e N. Doze outras pessoas apreciam apenas a praia N. O número de pessoas que apreciam apenas a praia M é 4 unidades a mais que as pessoas que apreciam apenas e simultaneamente as praias J e N. E uma pessoa a mais que o dobro daquelas que apreciam apenas a praia M são as que apreciam apenas e simultaneamente as praias J e M. Nenhuma outra preferência foi manifestada nessa enquete realizada com 51 pessoas. A sequência de praias em ordem decrescente de votação nessa enquete é (A) J; N; M. (B) J; M; N. (C) M; J; N. (D) M; N; J. (E) N; M; J. 17. FCC_TJUPE - Oficial de Justiça_Jan 2012_Em um clube com 160 associados, três pessoas, A, B e C (não associados), manifestam seu interesse em participar da eleição para ser o presidente deste clube. Uma pesquisa realizada com todos os 160 associados revelou que 20 sócios não simpatizam com qualquer uma destas pessoas. 20 sócios simpatizam apenas com a pessoa A. 40 sócios simpatizam apenas com a pessoa B. 30 sócios simpatizam apenas com a pessoa C. 10 sócios simpatizam com as pessoas A, B e C. A quantidade de sócios que simpatizam com pelo menos duas destas pessoas é (A) 20. (B) 30. (C) 40. (D) 50. (E) 60. 8

9 BÁSICA 18. Um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele não estude Engenharia e nem Economia? a) 11/25 b) 14/25 c) 16/25 d) 18/25 e) 17/ De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator RH positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator RH positivo e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual é a probabilidade de que seu sangue tenha fator RH positivo ou seja do tipo O? a) 1/10 b) 3/10 c) 4/10 d) 7/10 e) 9/ Em uma empresa, 100 funcionários foram treinados em Word, 110 em Excel, 10 em ambos os softwares. 50 funcionários ainda não receberam qualquer treinamento. A probabilidade de se selecionar um funcionário ao acaso e que ele tenha recebido treinamentos sobre o software Word é de: a) 31,25% b) 50% c) 25% d) 75% e) 40% 21. (FISCAL DO TRABALHO/ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em francês, 110 em inglês e 40 não estão matriculados nem em inglês nem em francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas é igual a: a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 9

10 22. Uma cidade tem habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que: Qual a probabilidade de que um habitante leia somente um jornal? a) 1/10 b) 1/11 c) 1/12 d) 1/14 e) 1/ Ainda em relação a tabela da questão anterior, qual é a probabilidade de que um habitante leia pelo menos um jornal? a) 4/15 b) 6/15 c) 7/15 d) 8/15 e) 11/ Uma cidade tem habitantes e 3 jornais A, B e C. Sabe-se que: Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela não leia nenhum dos três jornais? a) 20/50 b) 21/50 c) 23/50 d) 28/50 e) 29/50 10

11 25. Um colégio tem 1000 alunos. Observemos a tabela abaixo. Um aluno do colégio é selecionado ao acaso. Qual é a probabilidade de ele estudar somente Matemática e Química? a) 8% b) 10% c) 12% d) 14% e) 16% Gabarito: A 26. (SEFAZ RJ 2008) A tabela abaixo apresenta a distribuição de pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Viúvo). Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viúva é igual a: (A) 0,6. (B) 0,2. (C) 0,5. (D) 0,7. (E) 0, (TCU/CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus, espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes: a) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13 b) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52 c) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26 E C 11

12 28. (SEFAZ RIO FGV 2008) Sejam A, B e C, três eventos quaisquer definidos em um espaço amostral S. Então, refere-se à probabilidade de: a) um ou dois dos eventos b) exatamente um dos eventos c) pelo menos um dos eventos d) no máximo dois eventos e) pelo menos dois eventos Gabarito: A 29. (ANEEL) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas e apenas essas em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retirou, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5; b) 7/10, c) 3/5; d) 3/10; e) 2/3 30. (ATRFB 2009 ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar ao acaso as teclas da senha? a) 0,001. b) 0,0001. c) 0, d) 0,005. e) 0, (PETROBRÁS) Jogando-se um dado duas vezes, a probabilidade de a soma dos pontos obtidos ser igual a 4 é igual a: a) ½ b) 1/6 c) 1/12 d) 1/18 e) 1/ (PETROBRÁS) Jogando-se um dado duas vezes, a probabilidade de a soma dos pontos obtidos ser no mínimo igual a 9 é: a) 5/36 b) 5/18 c) 2/9 d) 1/18 e) 1/36 12

13 33. (SEFAZ RS 2006) Jogam-se dois dados equilibrados (entende-se por dado equilibrado aquele que, ao ser arremessado, todas suas 6 faces, com números de 1 a 6, possuem a mesma probabilidade de ocorrer). Qual a probabilidade de o produto dos números das faces superiores estar entre 12 (inclusive) e 15(inclusive)? a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6 34. (EPE 2007) Lançando um dado não tendencioso duas vezes, qual é a probabilidade de o resultado do segundo lançamento ser maior que o do primeiro? (A) 5/6 (B) 1/2 (C) 17/36 (D) 5/12 (E) 1/3 35. EPE 2007) Lança-se um dado não tendencioso três vezes. Qual é a probabilidade de todos os resultados serem maiores que 4? (A) 1/27 (B) 1/9 (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 1 Gabarito: A 36. Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa. É feita a seguinte experiência: seis cartas (numeradas de 1 a 6) são dadas à pessoa, que concentra sua atenção em duas delas. O adivinho terá que descobrir essas duas cartas. Se o adivinho estiver apenas chutando, qual a probabilidade de ele acertar as duas cartas, nas quais a outra pessoa concentra a atenção? a) 1/15 b) 1/16 c) 1/20 d) 1/30 e) 1/50 Gabarito: A 37. Uma urna contém seis bolinhas numeradas de 1 a 6. Quatro bolinhas são extraídas ao acaso sucessivamente, com reposição. Qual a probabilidade de que todas assinalem números diferentes? a) 1/18 b) 2/18 c) 3/18 d) 4/18 e) 5/18 13

14 38. Em uma joalheria, cada um de três armários idênticos tem duas gavetas. Em cada gaveta do primeiro armário há um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo armário há um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há um relógio de ouro, enquanto que em outra gaveta há um relógio de prata. Escolhido ao acaso um armário, e aberta uma das gavetas (também aleatoriamente), verifica-se conter um relógio de prata. Qual a probabilidade de a outra gaveta do armário escolhido conter um relógio de ouro? a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6 39. (PRF) Joga-se uma moeda honesta até a obtenção da primeira CARA. A probabilidade da moeda ter que ser lançada mais de três vezes é de: a) ½ b) 1/3 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/ (PETROBRÁS) Lançando-se uma moeda não tendenciosa até a obtenção da segunda cara. Qual é a probabilidade de a moeda ser lançada quatro vezes? a) 1/16 b) 1/8 c) 3/16 d) ¼ e) 5/ (PETROBRÁS) Um dado é lançado N vezes até a obtenção do número 6. Qual é a probabilidade de que N < 4? a) 89/216 b) 90/216 c) 91/216 d) 92/216 e) 93/ (PETROBRÁS) Lança-se um dado não-tendencioso até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de o dado ser lançado exatamente três vezes? (A) 1/2 (B) 1/6 (C) 1/9 (D) 5/36 (E) 1/36 14

15 43. (AFC) Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é de: a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) 35% 44. (SERPRO) Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0, (AFC CGU 2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0, (MPOG 2008) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a: a) 1/10 b) 8/5 c) 11/120 d) 11/720 e) 41/ (ANA ESAF 2009) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? a) 11,53% b) 4,24% c) 4,50% d) 5,15% e) 3,96% 15

16 48. Sete homens e cinco mulheres encontram-se numa reunião de trabalho e decidem criar, ao acaso, uma comissão de 5 pessoas. A probabilidade desta comissão contar com apenas 1 homem é igual a: a) 20/792 b) 35/792 c) 40/792 d) 350/792 e) 470/ (Fiscal do Trabalho ESAF) Beatriz, que é muito rica, possui 5 sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro, Carlos e Quintino. Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz resolveu sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e Sérgio, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os sorteados é igual a: a) 0,8 b) 0,375 c) 0,05 d) 0,6 e) 0, Um grupo é constituído de 6 homens e 4 mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens? a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 2/3 e) 3/5 51. (AGU) Um grupo de 4 Bolivianos e 4 Brasileiros será aleatoriamente dividido em dois grupos de tamanho 4. A probabilidade de que ambos tenham o mesmo número de Brasileiros e Bolivianos é: a) 17/35 b) 1/2 c) 18/35 d) 19/35 e) 2/3 52. Um pescador pegou 10 peixes. Dois dos peixes estragaram na viagem. Selecionando-se ao acaso, sem reposição, dois peixes, a probabilidade de que nenhum esteja estragado é igual a: a) 17/45 b) 64/45 c) 64/100 d) 36/100 e) 28/45 16

17 53. (BACEN) De uma urna contendo 10 bolinhas numeradas de 1 a 10, duas são sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em consideração). A probabilidade de que os números sejam inferiores a 4 é: a) 3/10 b) 1/15 c) 2/7 d) 1/3 e) 19/86 Gabarito: A 54. (SEFAZ RJ 2009 FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é: (A) 1/2. (B) 1/4. (C) 1/6. (D) 1/8. (E) 1/ (MPOG) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: a) 1/6 b) 1/3 c) 2/3 d) 4/5 e) 5/6 Gabarito: A 56. (ACE-TCU/ESAF) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado de modo que quando lançado, a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face ímpar (não necessariamente nessa ordem) é igual a: a) 0,1600 b) 0,1875 c) 0,3200 d) 0,3750 e) (ATA ESAF 2009) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50% 17

18 58. (ELETROBRÁS 2007) A urna I contém 4 bolas brancas e 2 bolas azuis; a urna II contém 5 bolas brancas e quatro bolas azuis. Uma bola é sorteada ao acaso da urna I e posta na urna II. Em seguida, uma bola é escolhida ao acaso da urna II. A probabilidade de que essa bola sorteada da urna II seja branca é: a) 1/3 b) 12/25 c) 17/30 d) 2/5 e) 2/3 59. (MPU) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe diz: Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a a) 1/2. b) 1/3. c) 2/3. d) 2/5. e) (PETROBRÁS) Uma corda é dividida em dois pedaços. O ponto de divisão é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o comprimento maior ser superior ao triplo do comprimento do pedaço menor? a) ¼ b) 1/3 c) 2/5 d) ½ e) 2/3 CONDICIONAL 61. (Petrobrás) João retirou uma carta de um baralho comum e pediu a José que adivinhasse qual era. Para ajudar o amigo, João falou: A carta sorteada não é preta, e nela não está escrito um número par. Se José considerar a dica de João, a probabilidade de que ele acerte qual foi a carta sorteada, no primeiro palpite, será de: a) ¼ b) 4/13 c) 8/13 d) 1/16 e) 5/26 18

19 62. (Petrobrás) Um levantamento feito em determinada empresa, sobre o tempo de serviço de seus funcionários, apresentou o resultado mostrado na tabela abaixo: Um prêmio será sorteado entre os funcionários que trabalham há pelo menos 10 anos nessa empresa. A probabilidade de que o ganhador seja uma mulher é de: a) 1/6 b) 5/6 c) 4/9 d) 7/18 e) 11/ (PETROBRÁS) Joga-se um dado não tendencioso. Se o resultado não foi quatro, qual é a probabilidade de que tenha sido um? a) 1/5 b) 1/6 c) 1/9 d) 1/12 e) 1/18 Gabarito: A 64. (TRIBUNAL DE CONTAS ESPIRÍTO SANTO) Uma universidade de grande porte que oferece cursos na área econômica quer determinar a associação existente entre o interesse de um estudante na área de finanças e sua habilidade em matemática. Neste contexto o corpo técnico da instituição torna uma amostra aleatória de 200 estudantes e os classifica segundo o quadro abaixo: Admitindo-se que as frequências relativas do quatro representam probabilidades populacionais, assinale a opção que corresponde à probabilidade de que um estudante tenha alto interesse na área de finanças, dado que tenha habilidade média em matemática. a) 2/5 b) 1/10 c) 1/25 d) 3/14 e) 7/ (AFPS) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C. a) 0,50 b) 0,08 c) 0,00 d) 1,00 e) 0,60 19

20 66. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispões, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 57 e) 4/7 67. (MPU/2004) Uma grande empresa possui dois departamentos: um de artigos femininos e outro de artigos masculinos. Para o corrente ano fiscal, o diretor da empresa estima que as probabilidades de os departamentos de artigos femininos e masculinos obterem uma margem de lucro de 10% são iguais a 30% e 20%, respectivamente. Além disso, ele estima em 5,1% a probabilidade de ambos os departamentos obterem uma margem de lucro de 10%. No final do ano fiscal, o diretor verificou que o departamento de artigos femininos obteve uma margem de lucro de 10%. Desse modo, a probabilidade de o departamento de artigos masculinos ter atingido a margem de lucro de 10% é igual a: a) 17% b) 20% c) 25% d) 24% e) 30% Gabarito: A 68. (MPU) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: a) 1/3 b) 1/5 c) 9/20 d) 4/5 e) 3/5 Gabarito: A 69. (BACEN/2006/FCC) O número de automóveis modelo K vendidos diariamente em uma concessionária de veículos é uma variável aleatória discreta (X) com a seguinte distribuição de probabilidades: O preço unitário de venda do modelo K é de R$ ,00 e somente em 20% dos dias tem-se vendas superiores a duas unidades. Se num determinado dia a receita de vendas referente a este modelo for positiva, a probabilidade de ela ser inferior a R$ ,00 é de: a) 60% b) 75% c) 80% d) 87,5% e) 90% 20

21 70. (MPU) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a: a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,15 e) 0, (TFC CGU 2008) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0, (ACE-TCU/ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é de: a) 1/5 b) 3/10 c) 2/5 d) 3/5 e) 7/10 EVENTOS INDEPENDENTES 73. (SEFAZ RIO 2008) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos: (A) mutuamente exclusivos. (B) complementares. (C) elementares. (D) condicionais. (E) independentes. 74. AFC/CGU/ESAF 2008) A e B são eventos independentes se: a) P(A B) = P(A) + P(B). b) P(A B) = P(A) / P(B). c) P(A B) = P(A) - P(B). d) P(A B) = P(A) + P(B/A). e) P(A B) = P(A) P(B). 21

22 75. MPOG/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: a) 4/25 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5 76. STN 2008 [ESAF] Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a (ACE-TCU/ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é de: a) 1/5 b) 3/10 c) 2/5 d) 3/5 e) 7/ (TFC 2000 ESAF) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é: a) 12,5% b) 15,5% c) 22,5% d) 25,5% e) 30% 79. APO/MPO/ESAF 2008) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a: a) 1/10 b) 8/5 c) 11/120 d) 11/720 e) 41/360 22

23 80. (FCC Analista Judiciário Especialidade Estatística TRT-2ª. Região-2008) A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a: a) 30% b) 36% c) 56% d) 38% e) 44% 81. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2 25 b) 8 25 c) 2 5 d) 3 25 e) (EPE 2007) A e B são eventos independentes com probabilidades P(A) = 1/2 e P(B) = 1/3. Quanto vale a probabilidade de A ocorrer e B não ocorrer? (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 5/12 (D) 1/2 (E) 2/3 83. (MPOG) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: a) 4/25 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5 23

24 84. (TFC 2000 ESAF) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participar de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é: a) 12,5% b) 15,5% c) 22,5% d) 25,5% e) 30% 85. (SEFAZ RIO 2008) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A B) = 0,14. Então, pode-se dizer que A e B são eventos: (A) mutuamente exclusivos. (B) complementares. (C) elementares. (D) condicionais. (E) independentes. 86. (Especialista em Regulação-Especialidade Economia ANP-2008) Três dados comuns, honestos, são lançados sequencialmente. Se o resultado S1 do primeiro dado for igual a 3, a distribuição de probabilidades da soma dos três resultados, condicional a S1 = 3, terá moda igual a: a) 11 b) 10 c) 9 d) 7 e) 1/6 87. (ESAF AFC/CGU Área Estatística e Cálculos Atuariais-2008) A e B são eventos independentes se: a) P(A B) = P(A) + P(B) b) P(A B) = P(A) / P(B) c) P(A B) = P(A) - P(B) d) P(A B) = P(A) P(B) 88. (ESAF Estatístico MPOG-2006) Se E1 e E2 são dois eventos independentes, então: a) a probabilidade de E1 é igual à probabilidade de E2 b) E1 e E2 são mutuamente exclusivos c) A probabilidade de E1 é maior do que a probabilidade de E2 d) A probabilidade de E2 é maior do que a probabilidade de E1 e) A ocorrência, ou não, de E1 não afeta a probabilidade de ocorrência de E2 89. (FCC Analista Judiciário Especialidade Estatística TRT-2ª. Região-2008) A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a: a) 30% b) 36% c) 56% d) 38% e) 44% 24

25 90. (FCC Analista em Estatística TRF-2ª. Região-2007) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que P(A) = 0,4 e P(A B) = 0,7 e P(B) = p. Os valores que fazem com que A e B sejam mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes são, respectivamente: a) 0,3 e 0,4 b) 0,6 e 0,2 c) 0,5 e 0,2 d) 0,4 e 0,2 e) 0,3 e 0,5 91. (SEFAZ RJ 2009 FGV) Os eventos A e B são tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um possível valor para P(A B). (A) 0,13. (B) 0,22. (C) 0,31. (D) 0,49. (E) 0, (PETROBRÁS) A probabilidade de se dar um evento em uma prova é igual a 1/k. A probabilidade desse evento se repetir n vezes em n provas é igual a: a) 1/n b) (1/k) n c) (1/n) k d) 1/k e) 0,8 TEOREMA DE BAYES 93. CESGRANRIO- BACEN Área 3) A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é de 1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um Fusca é 1/10, enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5, e para um indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é (A) 0,527 (B) 0,502 (C) 0,426 (D) 0,252 (E) 0,197 GABARITO: A 25

26 94. ESAF- BACEN 2001) Os registros de uma instituição financeira indicam que 90% das contas de empréstimo consideradas inadimplentes apresentaram pagamentos com mais de duas semanas de atraso em pelo menos duas prestações. Sabe-se também que 10% de todas as contas de empréstimo tornam-se inadimplentes e que 40% das contas de empréstimo Integralmente liquidadas mostram pelo menos duas prestações com atraso no pagamento em mais de duas semanas. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que uma conta de empréstimo com duas ou mais prestações pagas com atraso de duas semanas torne-se inadimplente. a) 20% b) 10% c) 9% d) 15% e) 18% GABARITO: A 95. ESAF- BACEN 2002) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. a) 0,400 b) 0,030 c) 0,012 d) 0,308 e) 0,500 GABARITO: D 96. FCC- BACEN Área 4) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores (A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,80 sendo empresa do setor B e 0,90 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo aleatoriamente uma empresa pertencente a esses três setores e detectando-se que ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de (A) 30% (B) 40% (C) 50% (D) 75% (E) 80% GABARITO: D 97. FCC- BACEN Área 3) Do total de títulos em poder de um investidor, 1/8 é do tipo T 1, ¼ é do tipo T 2 e o restante do tipo T 3. Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real de juros positiva com estas aplicações são 0,60 com T 1, 0,70 com T 2 e 0,80 com T 3. Se for escolhido um título aleatoriamente entre estes em poder do investidor e verificarem-se que apresentou uma taxa real de juros não positiva, a probabilidade dele ser do tipo T 3 é (A) 10% (B) 20% (C) 30% (D) 40% (E) 50% GABARITO: E 26

27 98. ESAF- SEFAZ 2005) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso trafego, se Ana escolher o trajeto A, existe uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B e igual a: a) 6/25 b) 6/13 c) 7/13 d) 7/25 e) 7/16 GABARITO: E 99. ESAF- Ministério da Integração 2012) O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20% da população adulta em determinada região e feito por um invasivo exame que produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram que esse exame produz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença. a)20% b) 15% c) 10% d) 5% e) 0% GABARITO: C 100. ESAF- MPOG 2012) Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. Sabendo-se que o morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher e igual a: a) 3/7 b) 8/15 c) 3/15 d) 1/30 e) 4/19 GABARITO: E 101. (GESTOR-MG/2005) Em uma caixa há 8 bolas brancas e 2 azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem haver recolocado a bola na caixa, retira-se, ao acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. A probabilidade de que a primeira bola extraída também seja azul é: a) 1/3 b) 2/9 c) 1/9 d) 2/10 e) 3/ (AFC) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: a) 10% b) 30% c) 40% d) 70% e) 82,5% 27

28 103. (SEFAZ) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Anália ir para seu trabalho, de metrô ou moto. A probabilidade de Anália ir de metrô é de 40% e de ir de moto é de 60%. Se ela for de metrô, a probabilidade de chegar ao trabalho com dez minutos de atraso é de 10%. Se ela for de moto a probabilidade de chegar com 10 minutos de atraso é de 20%. Sabe-se que Anália se atrasou dez minutos. A probabilidade de ter ido de metrô é: a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 45% 104. (MPU) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 1) 40% das vezes a sopa é feita por João; 2) 40% das vezes por José 3) 20% das vezes por Maria 4) João salga demais a sopa 10% das vezes, 5) José o faz em 5% das vezes 6) Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a a) 0,15. b) 0,25. c) 0,30. d) 0,20. e) 0, (MINC 2006) A probabilidade de um aluno da oitava série não ser capaz de resolver corretamente equações do primeiro grau era de 30%. Essa probabilidade era muito elevada e fez com que, em ¼ das escolas, fosse adotado um novo método de ensino. O novo método fez com que essa probabilidade baixasse para 10%. Um aluno foi selecionado aleatoriamente, e constatou-se que ele não saiba resolver corretamente equações do primeiro grau. Quanto vale a probabilidade de ele ter sido ensinado segundo o novo método? a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,25 Gabarito: A 106. (MPE RO) Na prova de língua estrangeira de um concurso, 60% dos candidatos optaram por Inglês e os demais, por Espanhol. Destes, 5% foram classificados e daqueles, 10% foram classificados. Escolhendo-se ao acaso um candidato aprovado, qual é a probabilidade de ele haver optado por Inglês? a) 0,06 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,75 28

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