... Onde usar os conhecimentos os sobre. inanceira?...

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1 Manual de XI Matemática MATEMÁTICA FINANCEIRA Por que aprender Matemática Financeir inanceira? a?... O mundo atual está diretamente ligado à economia de mercado. Para compreendermos, entre outras coisas, os fenômenos ligados à economia mundial na qual estamos inseridos é necessário o conhecimento da Matemática Financeira. Onde usar os conhecimentos os sobre Matemática Financeir inanceira? a?... Toda vez que você necessitar decidir sobre tipos de aplicações financeiras, fazer empréstimo, comprar algo a prazo etc. De forma direta ou indireta, você estará utilizando conceitos básicos da Matemática Comercial e Financeira. 522

2 Capítulo 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Razão Razão vem do latim ratio e nos dá idéia de relação. O matemático grego Euclides criou o conceito de razão, postulando que razão é uma relação de tamanho entre grandezas da mesma espécie. Existem razões especiais que são utilizadas no cotidiano, tais como densidade de um corpo, densidade demográfica, velocidade média e escala. Razão entre dois números racionais a e b, com b 0, é o quociente entre esses números. Indicamos a razão entre a e b por a ou a:b. b Exemplos: 1) A razão entre 30 e 60 é 30 = 1 ; já a razão entre 60 e 30 é =. 2) Numa classe há 25 rapazes e 35 moças. Encontre a razão entre: a) o número de rapazes e o número de moças = 35 7 b) o número de moças e o número de alunos da classe = ) De acordo com as figuras, determine: a) a razão entre os perímetros dos quadrados A e B. 523

3 Solução: = é a razão dos perímetros dos quadrados A e B b) a razão entre as áreas dos quadrados A e B. Solução: Calculando a área dos quadrados: A = l 2 B = l 2 A = 16 cm 2 B = 49 cm 2 16 é a razão das áreas dos quadrados A e B. 49 Proporção Proporção é uma igualdade entre duas razões. A proporção 3 = 6 é lida da seguinte forma: três está para quatro, assim 4 8 como seis está para oito. Podemos representar uma proporção por: a c = ou a:b=c:d b d Em que a e d são chamados extremos da proporção e b e a são chamados meios.

4 Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim: As razões 3 = 6 formam uma proporção, pois: x 8 = 4 x 6 24 = 24 Exemplos: 1) Calcule o valor de x nas proporções: 2 x a) = 3 6 3x = 2 6 3x = 12 x = 4 COMO A PROPORÇÃO É UTILIZADA NA GEOGRAFIA? É por meio de mapas e escalas que a aviação e a navegação planejam rotas de viagem, calculam distâncias e tempo de percurso. 525

5 3x b) = 4x 3 5 5(3x + 1) = 6(4x 3) 15x + 5 = 24x 18 9x = 23 9x = x = 9 2) (FAAP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, conforme indica a figura. Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a + b +c = 120 m, então os valores de a, b e c em metros são, respectivamente: a) 40, 40 e 40 m b) 30, 30 e 60 m c) 36, 64 e 20 m d) 30, 36 e 54 m e) 30, 46 e 44 m Solução: a+ b+ c= 120 a b c = = a + b + c = = a 3 b 3 c 3 = = = a = 60 2b = 72 2c = 108 a= 30 b= 36 c= 54 Resposta: d 526

6 Regra de Três Simples Manual de Matemática Encontramos no nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Podemos definir grandeza como tudo aquilo que pode ser medido, contado. São exemplos de grandezas: volume, massa, comprimento, velocidade e tempo. Os gregos e os romanos conheciam as proporções, porém não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Somente na Idade Média os árabes mostraram ao mundo a regra de três. Regra de três simples é o processo prático para resolver problemas que envolvem duas grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Exemplos: a) Um carro faz 80 km com 10 l de gasolina. Quantos litros de gasolina esse carro gastaria para percorrer 300 km? Solução: CRESCIMENTO POPULACIONAL X CONSUMO DE ÁGUA Dois dos grandes problemas que atingem as grandes cidades são a população e o consumo. Os esgotos domésticos e despejos industriais determinam a poluição das águas. Com essa poluição, a água não pode ser consumida, afetando nossa saúde. Na periferia das grandes cidades, o lixo doméstico e os esgotos sanitários são lançados diretamente na água. Vários estudos feitos mostram que o consumo de água aumenta numa proporção de duas vezes o crescimento populacional. 527

7 As grandezas distância e litros de gasolina são diretamente proporcionais. Indica-se com setas no mesmo sentido = 300 x 80x = x = 80 x = 37,5 Serão necessários 37,5 l de gasolina. b) Uma obra é construída em 30 dias por 6 operários. Em quanto tempo essa obra será construída por 12 operários? Solução: As grandezas são inversamente proporcionais. Indica-se com setas em sentidos contrários. Geralmente trocamos a razão que apresenta a variável x. Observe: A obra será construída em 15 dias. c) No tratamento da água consumida pela população e para diminuir a incidência de cáries dentárias, muitos países acrescentam flúor à água que será distribuída. A proporção recomendada é de 700 g de flúor para um milhão de litros de água. Para saber a quantidade de flúor em cada litro de água podemos utilizar a regra de três. Resolvendo: 528

8 10 6 litros 700 g 1 litro x g = 1 x Para cada litro de água tratada, será necessário g de flúor x = x = x = 7 10 Regra de Três Composta Utilizamos a regra de três composta quando temos mais de duas grandezas. Resolvemos a regra de três composta comparando as grandezas sempre com aquela que tem o valor desconhecido. Exemplo: 15 homens fazem um certo trabalho em 4 dias, trabalhando 8 horas por dia. Para fazer o mesmo trabalho, quantos dias levarão 8 homens, trabalhando 5 horas por dia? A água traz muitos benefícios à saúde. Ela é simples, eficiente e não tem contra-indicações. A receita é simples. Tome pelo menos oito copos de água por dia e os efeitos aparecem no corpo inteiro. Perder apenas 20% dos 40 ou 50 litros do volume total de água do corpo pode ser mortal. A sede pode ser um sinal de desidratação. Por isso tome muita água. 529

9 Solução: Porcentagem Podemos perceber que o símbolo % aparece com freqüência em jornais, revistas, televisão, anúncio de liquidação etc. Toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem. Exemplos: 1) Escreva como taxa de porcentagem: = 15% = 8% = 124% A Geografia utiliza-se de conhecimentos matemáticos para estudos populacionais. A tabela abaixo apresenta dados referentes à mortalidade infantil (1), à porcentagem de famílias de baixa renda com crianças menores de 6 anos (2) e às taxas de analfabetismo (3) das diferentes regiões brasileiras e do Brasil em geral. O campo da tabela mortalidade infantil indica o número de crianças que morrem antes de completar um ano de idade para cada grupo de crianças que nasceram vivas. 530

10 Agora é a sua vez: Manual de Matemática 3 4 = Para obtermos denominador 100, devemos multiplicar a fração por 25. Assim: 2) Represente por um número decimal: 16 0,2 a) 16% = = 0,16 c) 0,2% = = 0, ,05 b) 5% = = 0,05 d) 0,05% = = 0, ) Calcule 20% de 150. Podemos resolver de forma prática: 20% de 150 = 0,2 150 = 30 Ou usando a regra de três: Valor Taxa % % x 20% 100x = 3000 x = x = 30 4) Calcule: 12 representa quantos por cento de 48? 531

11 Solução: Para determinar a porcentagem, basta dividir 12 0,25 25% 48 = = 5) 60 representa 6% de qual número? Usando a regra de três: 6% % x 6 60 = 100 x 6x = 6000 x = ) Um quadrado tem uma área igual a 16 m 2. Se aumentarmos o lado de 50%, qual o valor da área desse novo quadrado? Solução: A área do quadrado é A = l 2 16 = l 2 l 2 = 16 l = 4m Setenta por cento da superfície da Terra é coberta por água, atingindo um volume de 1,5 milhões de km 2. Noventa e oito por cento dessa água é salgada e imprópria para o uso, a menos que seja dessalinizada. Dois por cento de água doce aparece na forma de gelo, calotas polares e água subterrânea, ficando apenas 0,44% da água disponível para os seres vivos. Para isso é necessário economizarmos água. Como? evitando desperdício; tratando os esgotos domésticos; tratando os poluentes líquidos industriais; fazendo projetos de irrigação; evitando o consumo exagerado. 532

12 Usando a regra de três: 4 100% x 50% = x 50 O novo lado será = 6 100x = 200 A = 6 2 x = 2 A = 36 m 2 7) Um sapato é vendido por R$ 20,00. Se o preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar? Solução: Aumento: 20% de 20 = 0,20 x 20 = 4,00 Novo preço = = 24,00 Poderíamos resolver o exercício de outra forma simples: ,20 20 = 20 (1 + 0,20) = 20 1,2 = 24,00 Obs.: Por exemplo, se houvesse um aumento: de 40%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,4. de 6%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,06. de 14%, multiplicaríamos o preço inicial por 1,14. Por exemplo, se houvesse um desconto: de 40%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,6. de 8%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,92. de 26%, multiplicaríamos o preço inicial por 0,74. Outro exemplo: O valor de uma passagem de ônibus foi majorado de R$ 1,10 para R$ 1,40. Qual foi a taxa percentual aproximada do aumento? Solução: Calculando a taxa percentual de aumento, temos: 1,40 1,10 = 0,30 (valor do aumento) 533

13 Podemos dividir o valor do aumento 0,30 por 1,10, obtendo 27% (taxa percentual do aumento) ou dividir o novo preço da passagem, 1,40, pelo preço antigo, 1,10. 1,40 : 1,10 = 1,27 = 1 + 0,27 = 100% + 27% Acréscimos Sucessivos Às vezes o valor de um produto pode sofrer um reajuste de preços para valores maiores (acréscimos sucessivos). Chamamos P o o preço inicial e i 1, i 2,..., i n as taxas percentuais. O preço desse produto após n reajustes, passará a P n. 534 P n = P o (1+i 1 ) (1+i 2 )... (1+i n ) Se esses acréscimos apresentarem taxas percentuais iguais, teremos: P n = P o. (1+i) n Exemplos: 1) O preço de uma mercadoria teve quatro aumentos sucessivos de 8% cada. Calcule o valor atual, sabendo que o preço da mercadoria antes dos reajustes era de R$ 15,00. Solução: n P = P 1+ i n o ( ) 8 P4 = P4 = 15 ( 1,08) 4 P4 = 20,40 O valor atual da mercadoria é R$ 20,40. 2) (MACK) O salário de uma determinada categoria teve reajustes no valor de 10% no mês de abril, de 20% no mês de maio e de 30% no mês de junho. O percentual total de aumento recebido nesses três meses foi de: a) 68,6% c) 600% e) 40% b) 60% d) 71,6%

14 Solução: Como a categoria teve acréscimos sucessivos, cujas taxas foram de 10%, 20% e 30%, usaremos a fórmula: P 3 = (1 + 0,10) (1 + 0,20) (1 + 0,30) P 3 = 1,1 x 1,2 x 1,3 P 3 = 1,716 (71,6%) Resposta: d Descontos Sucessivos Como o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos, pode também ter descontos sucessivos. Neste caso, aplicaremos a fórmula: P n = P o (1 i 1 ) (1 i 2 )... (1 i n ) Se o produto sofrer descontos com taxas percentuais iguais, teremos a fórmula: P n = P o (1 i) n Exemplo: O preço de uma televisão, que era de R$ 450,00, sofreu três descontos sucessivos de 2%, 4% e 7%. Determine o preço atual. Solução: P 3 = 450 (1 0,02) (1 0,04) (1-0,07) P 3 = 450 0,98 0,96 0,93 P 3 = 393,72 O preço atual é de R$ 393,72. Juros Em várias situações do nosso cotidiano aparecem juros. Exemplo: Kátia dispõe de uma importância em dinheiro e deseja aplicá-la em uma caderneta de poupança. Ao fim de um certo período, ela receberá essa importância acrescida de um valor referente aos juros da aplicação. 535

15 Os juros podem ser simples, quando não são acrescidos ao capital para renderem novos juros, ou compostos, quando são acrescidos ao capital, para em um período seguinte renderem novos juros. Juros Simples Podemos aplicar a fórmula para juros simples: C é o capital aplicado C i t j = em que téotempo i é a taxa percentual C i t Quando o tempo (t) for dado em meses, aplicaremos a fórmula j = e C i t quando for dado em dias, j = Exemplo: Calcule os juros de um capital de R$ ,00, aplicado à taxa de 36% a.a. em 5 meses. Solução: C = ,00 t = 5 meses i = 36% i = 36 j =? j = Os juros serão de R$ 4.500,00. Montante Define-se montante como Capital acrescido de seus juros (j). M = C + j, em que j = M = C M = C Devemos fazer as mesmas substituições de 100 para ou quando t for dado em meses ou em dias, respectivamente.

16 Exemplo: Qual o montante que resulta de um investimento de R$ ,00 aplicado durante 6 meses à taxa de 15% a.a.? Solução: C = R$ ,00 t = 6 meses i = 15% M =? i t M= C M = M = 1200 M = ,00 Juros Compostos É o regime de capitalização mais utilizado nas transações comerciais. Os juros do 1º período são calculados em função do capital inicial e acrescidos a ele formam um novo capital para o cálculo dos juros do 2º período e assim sucessivamente. Exemplo: Um capital de R$ ,00 é aplicado, a juros compostos, por um prazo de 4 meses, à taxa de 3% ao mês. Calcule o montante obtido no final. Solução: Construindo uma tabela, temos: Obs: No cálculo de juros compostos, o montante M é tal que: M = C (1 + i 1 ) (1 + i 2 )... (1 + i n ) Em que i 1, i 2,...i n são as taxas referentes aos 1º, 2º, 3º... períodos, respectivamente. Se i 1 = i 2 = i 3 =...= i n, então M = C(1+i) n. 537

17 Exemplo: Aplicando R$ 5.000,00 a juros compostos, 6% a.m. durante 3 meses, qual o valor do montante e dos juros adquiridos? Solução: M = C (1 + i) n C = M = (1 + 0,06) 3 i = 6% a.m. = 0,06 a.m. M = ,06 3 n = 3 meses M = ,19 J =? M = 5 955,08 M =? Como M = C + J, temos: J = M C J = 5 955, J = 955,08 Estatística Freqüentemente, assistindo à televisão, lendo um jornal ou uma revista, deparamos com gráficos e tabelas que nos dão muitas informações, como índices de inflação, consumo e restituição de água, taxa de desemprego e taxa de mortalidade infantil. A todas essas informações devemos inicialmente colher dados, em seguida organizá-los e analisá-los. Para chegarmos ao resultado desejado, utilizamos a Estatística. Vejamos o exemplo a seguir: 538

18 No gráfico acima, podemos analisar um dos dados mais importantes para a agricultura de uma região, que é a relação entre os meses do ano (x) e a quantidade de chuva índice pluviométrico (y). Com o gráfico podemos escolher a melhor época do ano para o plantio de certa cultura e concluir que: O maior índice pluviométrico foi em janeiro. O menor índice pluviométrico foi em julho. De janeiro a março, o índice decresceu. De outubro a dezembro, o índice cresceu. Portanto, a estação das chuvas é o verão. Capítulo 2 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA População É o conjunto de objetos, de indivíduos ou de ocorrência na observação desses grupos. Exemplos: Conjunto de estudantes do ensino fundamental de uma escola. Conjunto de pessoas que moram num condomínio fechado. Amostra É uma parte dessa população, isto é, um subconjunto do universo estudado. Freqüência Absoluta Freqüência absoluta de uma variável é dada pelo número de vezes que essa variável aparece no conjunto considerado. Freqüência Relativa É a razão entre a freqüência absoluta e o número total de elementos do conjunto. 539

19 A freqüência relativa é dada em porcentagem. Exemplo: A tabela mostra a distribuição das idades dos jogadores de um time de futebol. Obtemos a freqüência relativa: 4 7 = 0,13 14% = 0,23 24% = 0,20 20% = 0,06 6% = 0,10 = 10% 0,26 = 26% Freqüência Absoluta Acumulada A freqüência absoluta acumulada é obtida adicionando-se a cada freqüência absoluta os valores das freqüências anteriores. No exemplo dado temos: 540

20 Gráficos Estatísticos Podemos representar graficamente a distribuição de freqüências de um levantamento estatístico. É de grande importância a utilização de gráficos e tabelas na estatística. Com eles podemos fazer melhor a interpretação dos dados coletados. Veja alguns exemplos: pesquisa de opinião; pesquisa de mercado; índice de desemprego nas regiões do país etc. 541

21 As representações gráficas mais utilizadas são: Gráfico de Segmentos É o representado pela união dos segmentos. Gráfico de Barras 542

22 Gráfico de Colunas A ESTATÍSTICA APLICADA AOS ESPORTES Algumas atividades físicas, praticadas por alguns minutos todos os dias, diminuem o risco de doenças ligadas ao sedentarismo. Veja alguns exemplos: 30 minutos de caminhada (equivale a andar cerca de m); 10 a 15 minutos de corrida (equivale a andar cerca de m); 15 minutos subindo escadas. 543

23 Gráfico de Setores Exemplo: Distribuição de Freqüências com Dados Agrupados Observando-se o salário dos funcionários de uma empresa, foram obtidos os seguintes valores em reais: Com esses dados, construa uma tabela de freqüências absoluta e relativa. Para determinarmos a freqüência absoluta, organizamos os salários em ordem crescente Observamos que o menor salário é de 200 reais e o maior é reais. A variação de salários é =

24 Esse valor é chamado de amplitude total. Podemos agrupar esses valores em intervalos de classe da seguinte forma: Como o menor salário é de 200 reais e o maior é de reais, podemos agrupá-los em intervalos de amplitude 200, ou seja: Nesse caso, 200 é o limite inferior e é o limite superior da classe. A diferença entre o limite superior e o limite inferior é igual à amplitude. No intervalo, por exemplo, podemos determinar o ponto médio do intervalo = = Assim, podemos construir uma tabela de freqüência com classes. 545

25 Histograma de Freqüências Podemos utilizar o histograma de freqüências para a distribuição de freqüências com dados agrupados. No exemplo dado, podemos construir o seguinte gráfico: Polígonos de Freqüências Pelo histograma, traçamos segmentos de retas consecutivos com extremidades nos pontos médios das bases superiores dos retângulos que formam o histograma, formando um polígono de freqüências. 546

26 Medida de Tendência Central Chamamos de média, mediana e moda as medidas de posição ou tendência central. Média aritmética Média aritmética de um conjunto de números é a soma dos números dividida pela quantidade de números do conjunto. Exemplo: Calcule a média aritmética dos números 4, 5, 6, 8,7. Solução: Ma = Ma = = O cálculo da média é freqüente no nosso dia-a-dia. É comum determinarmos valores como a velocidade média, o salário médio de uma empresa, a estatura média das pessoas e o consumo médio de gasolina. 547

27 Média Ponderada Definimos média ponderada de dois ou mais números o quociente da soma dos produtos desses números pela soma dos respectivos pesos. Exemplo: O quadro mostra a avaliação anual de um aluno em Física: Qual a média anual que o aluno conseguiu? Solução: Mp = 8 55 Mp = = 6,8 8 Podemos utilizar o cálculo da média ponderada quando os valores da variável se apresentam numa distribuição de freqüências absolutas. Assim: x Freqüência absoluta Mp = Mp = = 5,

28 Mediana Dado um conjunto de números, ordenando seus elementos em ordem crescente, a mediana é o elemento que ocupa o termo central. Exemplo: Colocando em ordem crescente: termo central (medieval) Se o conjunto de elementos for par, a mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais. Exemplo: Para construir um túnel, os operários precisam colocar estacas para sustentação. Observando o triângulo abaixo, podemos concluir que o comprimento da estaca é a média geométrica das distâncias entre o ponto de apoio da estaca e as laterais do túnel. 549

29 Moda Moda é o valor que aparece mais vezes (maior freqüência) em um conjunto. Exemplos: a) A moda é 3. b) As modas são 2 e 6. c) Não existe moda. No exemplo dado, calcule a média aritmética; Observando a freqüência de cada intervalo e o respectivo ponto médio, obtemos: Média aritmética: (4 300) + (6 500) + (4 700) + (6 900) Ma = Ma = 20 M = 620 a Medidas de dispersão Variância Definimos variância o número real positivo Var x = x x + x x x x () ( ) ( ) ( ) 1 2 n 550

30 Considerando o mesmo exemplo; temos: Manual de Matemática () = ( ) ( ) ( ) ( ) Var x () ( ) + 6 ( ) + 4 ( 6400) + 6 ( 78400) Var() x = 20 Var x = Desvio-Padrão O desvio-padrão é uma medida de dispersão calculada pela raiz da variância. DP() x = Var No exemplo dado, temos: DP() x = DP x = 222,71 () O VELHO PAÍS DO FUTURO Nos últimos 30 anos a população brasileira mudou radicalmente de perfil. O envelhecimento é uma decorrência direta do bem-estar social. Hoje, a maior expectativa de vida no país é a da Região Sul: 70,4 anos. A menor é a do Nordeste: 64,8 anos. Daqui a 50 anos, o número de velhos com mais de 60 anos será maior que o de jovens de até 14 anos. Revista Superinteressante, abr

31 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Matemática Financeira 1) Calcule a velocidade média de uma moto que fez o percurso de 240 km em 4 horas. 2) (UNIFOR CE) Se a razão entre dois números é 3, a razão entre o quíntuplo 5 do primeiro e a terça parte do segundo é igual à: a) 1 9 b) 1 3 c) 1 d) 3 e) 9 3) Numa prova de matemática, um aluno acertou 30 questões e errou 20. Qual a razão entre o número de acertos e o número de questões? 4) (FESP SP) A solução do sistema x+ y+ z= 30 x y z = = é: a) x = 6, y = 14 e z = 10 d) x = 4, y = 5 e z = 21 b) x = 14, y = 6 e z = 10 e) x = 5, y = 4 e z = 21 c) x = 8, y = 5 e z = x 5) (UF BA) Na proporção 2 =, o valor de x é: a) b) c) d) ) (Cesgranrio) Se = 1, com a b c 1 1 a= e b=, então c vale: a) b) c) d)

32 7) (VUNESP SP) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado: a) 2 horas a menos por dia. c) 3 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia. d) 3 horas a mais por dia. 8) (FGV) De acordo com especialistas, a dificuldade de tradução do inglês para o português está para a dificuldade de tradução do francês para o português assim como 4 está para três. Um tradutor (que se comporta segundo essa regra) traduz 8 páginas de um texto em inglês em 7 horas. Quanto tempo (aproximadamente) gastará para traduzir 20 páginas de um texto em francês? Obs.: A paginação é a mesma nos dois livros. a) 9 horas b) 5 horas c) 13 horas d) 17 horas e) 23 horas 9) (FGV) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$ ,00 e que daqui a 5 anos valerá R$ 1.000,00, seu valor daqui a três anos será: a) R$ 5.400,00 d) R$ 4.600,00 b) R$ 5.000,00 e) R$ 3.200,00 c) R$ 4.800,00 10) O preço inicial de um certo produto é R$ 30,00. Então, se ele sofrer: a) um aumento de 20%, isto é,, que é R$, o preço final será de R$, que é equivalente ao preço inicial multiplicado por. b) dois aumentos sucessivos de 20% e 35%, basta multiplicarmos o preço inicial por para obtermos o preço final de R$, que corresponde a um único aumento de %, que é R$. c) dois descontos sucessivos de 20% e 20%, basta multiplicarmos o preço inicial por para obtermos o preço final de R$, que corresponde a um único desconto de %, que é. 553

33 Obs.: Nos exercícios 11, 12 e 13 trabalharemos com operações comerciais como compra e venda de mercadorias obtendo lucro ou prejuízo. Observe as fórmulas: 11) Calcule o preço de custo de uma televisão que foi vendida por R$ 800,00 com um lucro equivalente a 40% do preço de custo. 12) Vendi um microcomputador por R$ 2.000,00, o que significou um prejuízo de 15% em relação ao preço que paguei por ele. Qual foi o preço de compra? 13) Um terreno foi vendido por R$ 6.000,00, com R$ 1.200,00 de prejuízo sobre o valor de custo. Qual o valor de custo e a taxa percentual de prejuízo sobre o preço de venda? Obs.: A taxa percentual de desconto em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o desconto e o valor de venda: D i = 100% V A taxa percentual de desconto, em relação ao valor de custo, é dada pela razão entre o desconto e o valor de custo: D i = 100% C 14) (FATEC-SP) Desejo comprar uma televisão à vista, mas a quantia Q que possuo corresponde a 80% do preço P do aparelho. O vendedor ofereceu-me um abatimento de 5% no preço, mas, mesmo assim, faltam R$ 84,00 para realizar a compra. Os valores de P e Q são, respectivamente: a) R$ 520,00; R$ 410,00. d) R$ 550,00; R$ 438,50. b) R$ 530,00; R$ 419,50. e) R$ 560,00; R$ 448,00. c) R$ 540,00; R$ 429,

34 15) (CEFET-MG) Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. A porcentagem de gasolina na mistura é igual a: a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% 16) (VUNESP) As promoções do tipo leve 3, pague 2, comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: a) % b) 20% c) 25% d) 30% e) % ) (FAFI-MG) Um investidor possui R$ ,00. Ele aplica 30% desse dinheiro em um investimento que rende juros simples a uma taxa de 3% a.m., durante 2 meses, e aplica o restante em outro investimento que rende 2% a.m., durante 2 meses também. Ao fim desse período, esse investidor possui: a) R$ ,00 c) R$ ,00 e) R$ ,00 b) R$ ,00 d) R$ ,00 18) (UF-RS) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará em 5 anos se a taxa anual for de: a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 100% 19) (UF-MG) A quantia de R$ ,00 é emprestada a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se juros compostos, o valor que deverá ser pago para quitação da dívida, 3 meses depois, será: a) R$ ,00 c) R$ ,00 e) R$ ,00 b) R$ ,00 d) R$ ,00 20) (ESCCAI) Sendo R$ 7.860,00 o valor atual de um título, descontado à taxa de 6% a.a., 105 dias antes de seu vencimento, qual o seu valor nominal? a) R$ 8.000,00 c) R$ 9.000,00 e) R$ ,00 b) R$ 8.490,00 d) R$ ,00 21) Nos últimos seis anos uma certa indústria fez três reajustamentos de 30% cada um nos preços dos seus produtos. Isso totaliza um aumento sobre os preços de seis anos atrás de aproximadamente: a) 40% b) 120% c) 30% d) 90% e) 300% 555

35 22) (FAAP) Do preço de venda de um produto, um comerciante paga 20% de imposto. Do restante, 70% correspondem ao custo do produto e 30% ao lucro. Se o produto custou R$ ,00, então o preço de venda foi: a) R$ ,20 c) R$ ,00 e) R$ ,96 b) R$ ,20 d) R$ ,00 23) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela dos preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque ele sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 5% e) 36% 24) (FUVEST) Um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses. a) Qual a taxa mensal de juros? b) Em quantos meses a aplicação renderá 700% de juros? 25) (UNICAMP) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao mês nos últimos meses e continuem assim nos próximos meses. Calcule: a) quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa R$ ,00? b) quanto custava esse mesmo objeto há um mês? 26) (PUC) Uma solução tem 75% de ácido puro. Quantos gramas de ácido puro devemos adicionar a 48 gramas de solução para que a nova solução contenha 76% de ácido puro? 27) (VUNESP) Durante um certo período de tempo em que a inflação foi de 500%, o preço de certo modelo de automóvel subiu 700%, passando a custar R$ ,00. Quanto custaria esse modelo ao fim do período considerado, se os aumentos de preço tivessem se limitado a acompanhar a inflação? 556 Estatística 28) (FUVEST) Calcule a média aritmética dos números , e

36 29) (PUC) A média aritmética dos números positivos a, b e c é quanto por cento de sua soma? 1 a) 33 % 3 c) 3% e) depende dos valores de a, b e c. b) 30% 1 d) % 3 30) (FGV) A tabela a seguir apresenta a distribuição de salários de trabalhadores de uma cidade. Se todos passarem a ter o mesmo salário (mantendo o total de salários dado pela tabela), cada pessoa receberá: a) R$ 3.000,00 c) R$ 1.600,00 e) R$ 1.119,10 b) R$ 2.000,00 d) R$ 1.200,00 31) (FAAP) A biblioteca da FAAP comprou x livros ao preço unitário de R$ 28,00 e y livros ao preço unitário de R$ 22,00. O preço médio por livro é: a) (50xy) (28x + 22y) c) (28x + 22y) / 50 e) (28x + 22y) / (xy) b) (50xy) (x + y) d) (28x + 22y) / (x + y) 32) (FGV) Em uma classe com 20 rapazes e 30 moças, foi realizada uma prova. A média dos rapazes foi 8 e a das moças 7. A média da classe foi: a) 7,5 b) 7,4 c) 7,6 d) 7,55 e) 7,45 33) (ESPM) O salário médio de quatro pessoas (a, b, c, d) é R$ ,00. Se incluirmos uma quinta pessoa que ganha um salário de R$ ,00, qual será a nova média salarial? a) R$ ,00 c) R$ ,00 e) R$ ,00 b) R$ ,00 d) R$ ,00 557

37 34) (FUVEST) A tabela a seguir mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador) em função da profundidade: Profundidade Superfície 100 m 500 m m m Temperatura 27º C 21º C 7º C 4º C 2,8º C Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, à temperatura prevista para profundidade de 400 (em C) é de: a) 16 b) 14 c) 12,5 d) 10,5 e) 8 35) (FGV) Dois atiradores x e y obtiveram, numa série de 20 tiros num alvo da forma indicada na figura, os seguintes resultados: a) Qual é a média dos pontos por tiro de cada um dos atiradores? b) Compare os desvios-padrão de cada uma das séries de tiros e decida qual é o atirador com o desempenho mais regular. 36) (ENEM/98) Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20 e 21 horas, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras acima: 558

38 a) O número de residências atingidas nessa pesquisa foi aproximadamente de: a) 100 b) 135 c) 150 d) 200 e) 220 b) A porcentagem de entrevistados que declararam estar assistindo à TV B é aproximadamente igual a: a) 15% b) 20% c) 22% d) 27% e) 30% Respostas 1) 60km/h 2) e 3) 3 5 4) b 5) b 6) c 7) a 8) c 9) d 10) a) 0,20 x 30; 6,00; R$36,00; 30. (1 + 0,20) b) 30. (1 + 0,20). (1 + 0,35); 48,60; 62%, R$18,60 c) 30. (1 0,20). (1 0,20); R$19,20, 36%; R$10,80 11) R$ 571,42 12) R$ 2.352,94 13) C = 7.200,00 i = 20% 14) e 15) d 16) e 17) a 18) b 19) b 20) a 21) b 22) d 23) c 24) a) 41% b) 6 meses 25) a) R$ ,00 b) R$ ,00 26) 2 g de ácido puro. 27) R$ ,00 28) ) a 30) c 31) d 32) b 33) c 34) d 35) a) = 26 e =26 Como DPx < DPy, o desempenho b) DPx = 14,46 e DPy = 17,58 do atirador x é mais regular do que o do atirador y. 36) a) d b) a 559

39 Referências Bibliográficas BARRETO FILHO, Benigno. XAVIER, Cláudio. Matemática Aula por Aula. São Paulo: FTD, Vol. 1, 2 e 3. BELLOTO FILHO, Antônio. GENTIL, Nelson. GRECO, Antônio Carlos. GRECO, Sérgio Emílio. SANTOS, Carlos Alberto Marcondes dos. Matemática para o 2º Grau. São Paulo: Editora Ática, BONGIOVANNI. LAUREANO; VISSOTO. Matemática e Vida. São Paulo: Editora Ática, BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy. Matemática 2º Grau. São Paulo: FTD, FERNANDES, Valter dos Santos; SILVA, Jorge Daniel. Matemática. São Paulo: IBEP. FERNANDES, Vicente Paz; SOARES, Elisabeth; YOUSSEF, Antônio. Matemática para o 2º grau (Curso Completo). São Paulo: Editora Scipione, KIYUKAWA, Rokusaburo; SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática. São Paulo: Editora Saraiva, Sites para Pesquisa