E C O N O M I A D A E N G E N H A R I A MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 E C O N O M I A D A E N G E N H A R I A MATEMÁTICA FINANCEIRA e ANÁLISE de INVESTIMENTOS

2 2 CAP. 1 - JUROS 1.1- Valor do dinheiro no tempo O principal conceito existente na matemática financeira é o de que o dinheiro tem valor no tempo e que, em conseqüência, a soma de quantias que ocorrem em datas diferentes não tem sentido matemático. Uma quantia de dinheiro qualquer possuída hoje é diferente da mesma quantia recebida daqui a um mês. Significa que quantias de dinheiro que ocorrem em instantes diferentes no tempo não podem ser somadas, por serem grandeza heterogênea. A matemática financeira resolve esta dificuldade prática, desenvolvendo fórmulas que possibilitam fazer as necessárias correções em quantias de dinheiro que ocorrem em instantes diferentes, permitindo que elas possam ser somadas, comparadas, etc. Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguais a $1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período. Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% a.a., implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00 no final de um ano. Para uma taxa de juros de 8% a.a., é indiferente termos $1.000,00 hoje ou $1.080,00 daqui a um ano. Um capital de $1.000,00 hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a zero. A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros. A distinção entre inflação e valor tempo do dinheiro é exemplificado a seguir: Um indivíduo compra $1.000,00 em ações de uma determinada empresa. Seis meses após vende estas ações por $1.100,00. Se a inflação no período for inferior a 10%, o indivíduo ganhou dinheiro, ou seja, teve um ganho real (juros reais). Se a inflação for superior a 10%, o indivíduo perdeu dinheiro. Embora existam inúmeras taxas no mercado (para empréstimos pessoais, para desconto de duplicatas, para capital de giro, para empréstimos industriais e outros) é preciso considerar a diferença entre a taxa de juros real e a taxa de juros nominal, já que esta última tem embutida em si um componente da inflação esperada no futuro. As taxas nominal, real e de inflação (correção monetária) relacionam-se da seguinte forma: (1 + i) = (1 + i AM)(1 + i R) i AM = Taxa de Atualização Monetária por período de tempo: corresponde à taxa de inflação, desvalorização cambial, ou qualquer outra que represente a perda do poder de compra do dinheiro. I R = Taxa Real, aquela que supera a taxa de Atualização Monetária. É calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. i = Taxa Nominal (aparente), aquela que contém a taxa de Atualização Monetária mais a taxa real ou líquida. É aquela que vigora nas operações correntes. Em contextos inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão monetária ou rendimento aparente das aplicações e investimentos. Nessa situação, é importante determinar a taxa real de juros e o custo ou rendimento real de um financiamento ou aplicação Conceito de juros O conceito de juros pode ser fixado através das expressões: a) Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição.

3 3 b) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas, ou ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. Então, Juro é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. A diferença entre o montante (VF) e a aplicação (VP) denomina-se remuneração, rendimento ou juros ganhos: 1.3- Unidade de medida Juros ganhos = montante aplicação Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc. Ex: 15 % ao ano = 15 % a.a. 7 % ao semestre = 7% a.s. 1,5 % ao mês = 1,5% a. m. A obtenção de juros do período será feita através da aplicação da taxa de juros sobre o capital considerado. Exemplo: Um capital de $1.000,00 aplicado a uma taxa de 2% ao mês, proporcionará, no final de um mês, um total de juros equivalente a: 2% de = 2/100 x = 0,02 x = $20,00. É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros de 2% foi transformada em fração decimal (2/100 = 0,02) para permitir a operação. A representação da taxa de juros em percentagem é a comumente utilizada; entretanto, todos os cálculos e desenvolvimentos de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal. Devemos considerar ainda que quando o prazo de aplicação é dado considerando-se anos constituídos por meses de 30 dias, os juros são chamados comerciais; quando o número de dias corresponde àqueles do ano civil (365 dias), são chamados juros exatos. Exemplo: Qual é a taxa simples que transforma $4.500,00 em um montante de $8.100,00 em um ano? Dados: VP = 4.500, VF = 8.100, i =? J = VF VP = = i = J/VP = 0,80 = 80% a.a Os sistemas de capitalização (Tipos de juros) Os métodos para incorporação dos juros à quantias iniciais aplicada, adotados na prática comercial, denominados sistema de capitalização (tipos de juros) são dois: Simples e Compostos. Sejam: VP = quantia de dinheiro aplicada no instante 0 VF = quantia de dinheiro acumulada no instante n t: 1, 2, 3...n = período de tempo n i = taxa de juros por período J = Juros totais acumulados Tem-se: VP VF = VP + J VF A forma como os juros vão se incorporando a VP vai estabelecer o regime de capitalização, descritos a seguir: Juros Simples

4 4 No regime de juros simples, somente o capital aplicado rende juros. Assim, o valor de juros apurado no final de um período não é incorporado ao capital para render juros no período seguinte, ou seja, não existe capitalização de juros nesse regime. Os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros sempre sobre o capital inicial, fazendo com que o valor dos juros seja o mesmo em todos os períodos, conseqüentemente, o capital crescerá a uma taxa linear. Ex: $10.000,00 aplicados a 2% a. m. durante 4 meses. O saldo no final de cada mês será: SALDO NO INÍCIO SALDO NO FINAL MÊS DE CADA MÊS JUROS DE CADA MÊS DE CADA MÊS , x ,00 = 200, , ,00 0,02 x ,00 = 200, , ,00 0,02 x ,00 = 200, , ,00 0,02 x ,00 = 200, ,00 Fórmula para cálculo do Valor Acumulado (Montante ou Valor Futuro) de uma quantia VP, aplicado a uma taxa de i % ao período, no regime de juros simples, durante n períodos. 1º período VF 1 = VP + i x VP = VP (1 + i) 2º período VF 2 = VF 1 + i x VP = VP (1 + i) + i x VP = VP (1 + 2i) 3º período VF 3 = VF 2 + i x VP = VP (1 + 2i) + i x VP = VP (1 + 3i) Período n VF = VP (1 + n x i) A aplicação dos juros simples é muito limitada. Tem apenas algum sentido em um contexto não inflacionário e no curtíssimo prazo. Como visto no item 1.4, podemos obter o total de juros (nominal) em um ou mais períodos pela diferença: J = VF VP. Além disso, dado o comportamento linear dos cálculos no regime de juros simples, se aplicarmos um capital durante n períodos de tempo a que se refere à taxa de juros, os juros ganhos podem ser calculados da seguinte maneira: J = VP x i x n Por exemplo, se aplicarmos um capital de $100,00 à taxa de 15% a.a. durante três anos, temos os juros totais ganhos: J = $100 x 0,15 x 3 = $45 Fórmulas derivadas para juros simples: a) Quando a taxa é anual e o prazo mensal: J = VP x i x n Sendo i em % n = x J C o x i i = x J VP x n

5 5 b) Quando a taxa é anual e o prazo é em dias J = VP x i x n ou J = VP x i x n Exemplos: 1- Calcular o rendimento de $12.000,00 aplicados durante oito meses e três dias à taxa de juros simples de 40% a.a.. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato (365 dias). 2- Em sete meses $18.000,00 renderam $4.000,00 de juros. Qual é a taxa anual simples ganha? 3- Um capital aplicado por quatro meses e 18 dias a juros simples de 12% a.m. transformou-se em $23.000,00. Calcular os juros ganhos na aplicação Juros Compostos No regime de juros compostos, os juros são calculados em cada unidade de tempo e incorporados ao capital para render juros no período seguinte, ou seja, os juros são capitalizados periodicamente. O período de tempo considerado é, então, denominado período de capitalização. Assim, diz-se que os juros são capitalizados anualmente, semestralmente, mensalmente etc. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. O valor dos juros de cada período é obtido pela aplicação da taxa de juros sempre sobre o saldo existente no início do período correspondente. Ex: O mesmo exercício anterior, agora na modalidade de juros compostos: SALDO NO INÍCIO SALDO NO FINAL MÊS DE CADA MÊS JUROS DE CADA MÊS DE CADA MÊS ,00 0,02 x ,00 = 200, , ,00 0,02 x ,00 = 204, , ,00 0,02 x ,00 = 208, , ,08 0,02 x ,08 = 212, ,32 Fórmula para cálculo do valor acumulado (montante) de uma quantia VP, aplicada a uma taxa de i% ao período, no regime de juros compostos, durante n períodos: 1º período VF 1 = VP + i x VP = VP (1 + i) 2º período VF 2 = VF 1 + i x VF 1 = VP (1 + i) + i x VP(1 + i) = VP (1 + i) 2 3º período VF 3 = VF 2 + i x VF 2 = VP (1 + i) 2 + i x VP(1 + i) 2 = VP (1 + i) Período n VF = VP ( 1 + i ) n O fator (1 + i) n é chamado fator de capitalização ou fator de Valor Futuro para aplicação única. A taxa de juros deve ser sempre referida à mesma unidade de tempo do período financeiro. OBS.: 1- Esta é a principal fórmula da matemática financeira. A partir dela serão deduzidas todas as outras fórmulas. 2- O regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia, no sistema financeiro e no cálculo econômico. 3- O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo. A juros simples cresce linearmente (progressão aritmética)

6 6 Para cálculo dos juros, considerando J = VF VP, teremos: J = VP(1 + i) n VP J = VP[(1 + i) n 1] Exemplos: 1- Calcular o montante de uma aplicação de $50.000,00 à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, durante um ano. 2- O capital inicial de $10.000,00 atingiu o montante de $18.061,11, à taxa de juros compostos de 3% ao mês. Qual foi o prazo de aplicação? Cálculo com prazos fracionários No cálculo financeiro a juros compostos, muitas vezes o prazo de aplicação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere à taxa de juros, mas a um número fracionário. Nesse caso, geralmente admitem-se duas alternativas de cálculo: cálculo pela convenção linear e cálculo pela convenção exponencial. Cálculo pela convenção linear: Os juros compostos são usados para o número inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos. Cálculo pela convenção exponencial: Os juros compostos são usados tanto para o número inteiro de períodos quanto para a parte fracionária de períodos. Exemplo: 1- No dia , foi feito um depósito bancário de $20.000,00 a juros compostos, taxa anual de 20%, capitalização ao final de cada ano. Qual será o montante em ? Comentários Na maioria dos casos, o mercado financeiro segue a lei dos juros compostos. Assim, todos os papéis de renda fixa (fundos, certificados de depósitos etc.), as prestações de crediário, o sistema de habitação, os descontos de duplicatas, as prestações do consórcio etc..., seguem a lei dos juros compostos e não a dos juros simples. Entretanto, os juros simples são muitos utilizados pela facilidade de cálculo, e principalmente como argumento de vendas. O pior é que as contas são feitas a juros simples quando na realidade o fenômeno se comporta a juros compostos. Assim, por exemplo, um CDB com rentabilidade de 24% ao ano, é dito no mercado com rentabilidade de 2% ao mês, pois 24%/12 meses = 2% ao mês, quando realmente a juros compostos, a sua renda mensal é de apenas 1,81%, conforme veremos adiante Valor Atual (Valor Presente) O Valor Atual ou Valor Presente (VP) é conceitualmente o inverso do montante (VF). O problema consiste em se determinar qual o valor que, no dia de hoje, rendendo juros a uma taxa i por período, reproduzirá o montante VF (Valor Futuro) ao final do tempo considerado. Ou ainda, corresponde a um valor hoje de uma receita ou despesa futura (VF), em função da taxa de juros e do prazo considerado. VP = Valor Presente, ou Valor Atual. VF = Valor Futuro

7 7 Juros Simples: VP = VF (1 + n x i) O fator (1 + i) -n = 1 / (1 + i) n é conhecido como Fator de Valor Presente, fator de desconto ou fator de atualização para pagamento único. Juros Compostos: VP = VF (1 + i) n Os fatores (1 +i) n e (1 + i) -n têm a seguinte finalidade: O fator (1 +i) n empurra grandezas para frente; permite encontrar o montante ou valor futuro de uma aplicação. Ou seja, capitaliza um principal levando-o a uma data posterior. O fator (1 + i) -n = 1 / (1 +i) n puxa grandezas para trás; permite encontrar o principal de um determinado montante. Ou seja, desconta um valor futuro trazendo-o a uma data anterior. Exemplos: 1- Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% a.m. em 3 meses monta $8.000,00? 2- Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a., monta $14.000,00? CAP. 2- TAXAS DE JUROS É importante distinguir as diferentes formas em que a taxa de juros se apresenta no mercado e a maneira de tratá-la no cálculo financeiro Taxa nominal e taxa efetiva Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere à taxa de juros, ou seja, os juros são incorporados ao principal mais de uma vez no período da taxa de juros. Quando isso ocorre, a taxa de juros é chamada de taxa nominal. Em outra linguagem, taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo difere da unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais, etc. Ex: a) 12% a.a., capitalizados mensalmente. b) 24% a.a., capitalizados trimestralmente. c) 10% a.a., capitalizados semestralmente. d) 9% a.s., capitalizados mensalmente. A taxa nominal é bastante utilizada no mercado, entretanto o seu valor nunca é usado nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização. a) 12% a.a., capitalizados mensalmente, significa ema taxa efetiva de 12%/12 meses = 1% a.m. b) 24% a.a., capitalizados trimestralmente, significa uma taxa i ef = 6% a.t. c) 10% a.a., capitalizados semestralmente, significa i ef = 5% a.s. d) 9% a.s., capitalizados mensalmente, significa i ef = 1,5% a.m. A taxa nominal é uma taxa declarada ou taxa cotada que não incorpora capitalizações, sendo necessário o cálculo da taxa efetiva equivalente quando pretendemos efetuar cálculos e comparações no regime de juros compostos. A taxa efetiva pressupõe incidência de juros apenas uma única vez em cada período a que se refere à taxa; isto é, a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, ou seja, a taxa efetiva é a taxa por período de capitalização.

8 8 Então, quando o período da taxa de juros coincide com a periodicidade com que os juros são capitalizados, a taxa declarada é a própria taxa efetiva. Assim, evitando redundâncias, diz-se somente, por exemplo, 2% a.m., 5% a.t., 25% a.a., ficando subentendido o período de capitalização. Quando não se verifica essa coincidência entre os períodos, a taxa de juros costuma ser definida como taxa nominal. OBS: Os juros antecipados, os impostos, as comissões e os artifícios usados nos cálculos de juros fazem com que, tanto no regime de capitalização a juros simples quanto no regime de capitalização a juros compostos, as taxas efetivas e nominais difiram Equivalência entre taxas de juros Duas ou mais taxas de juros são ditas equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo. i Seja: k i k i k i k i Taxa de juros referente a um período unitário qualquer. Por exemplo, ano. i k Taxa de juros referente a cada k subperíodos contidos no período unitário Por exemplo, mês. i e i k são equivalentes quando aplicados a uma quantia VP produzem a mesma quantia VF após n períodos, sendo que em cada período temos k subperíodos com taxa de juros i k em cada um destes subperíodos Para juros Simples (Taxas proporcionais) Taxa i VF = VP (1 + n x i) Taxa i k VF = VP (1 + n x k x i k ) De onde i k = i / k Pelo critério de juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional. Assim, 2% a.t. é uma taxa proporcional (equivalente) a 8% a.a., pois: 4 trimestres x 2% a.t. = 8% a.a. Ex; A taxa de 24% a.a. é proporcional a: 12% ao semestre, pois 24 / 2 = 12 6% ao trimestre, pois 24 / 4 = 6. 2% ao mês, pois 24 / 12 = Para juros Compostos (Taxas equivalentes) Taxa i VF = VP (1 + i) n Taxa i k VF = VP (1 + i k ) k x n De onde: 1 + i = (1 + i k ) k Exemplo: Conforme dito no comentário anterior (item 1.4.3), vimos que um capital rendendo 24% a.a. é diferente do mesmo capital rendendo 2% a m., ou seja, imaginamos $1.000,00 aplicado durante um ano: Para i = 24% a.a. VF = (1 + 0,24) = 1.240,00. Para i = 2% a. m. VF = (1 + 0,02) 12 = 1.268,24.

9 9 A taxa de juros mensal equivalente à taxa anual de 24% será: 1 + 0,24 = (1 + i m ) 12 i m = 1,81% Exemplos: 1- Calcule: a) A taxa trimestral equivalente à taxa anual de 20% b) A taxa anual equivalente à taxa mensal de 1,5% c) A taxa mensal equivalente à taxa semestral de 9%. 2- Verificar se a taxa nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente é equivalente à taxa efetiva de 213,84% a.a. Se ficar demonstrada a equivalência, provar que o montante produzido por uma aplicação financeira de $1.000,00 durante dois anos a essas duas taxas é o mesmo Taxa de juros aparente e taxa de juros real Apenas recordando o mencionado no item 1.1, a taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários. As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma: (1 + i) = (1 + i R ) x (1 + i AM ) onde: i = taxa aparente; i R = taxa real; i AM = taxa de inflação (atualização monetária) Por exemplo, o custo real de um empréstimo contratado a uma taxa efetiva aparente de 20%, considerando uma inflação para o mesmo período de 15%, é: I R = (1 + i) / (1 + i AM ) - 1 = 1,20 / 1,15-1 = 0, = 4,3478% Exemplos: 1) Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Considerando uma taxa de inflação de 5,5% a.a., calcular as taxas de juros aparente e real ganhas pela aplicação. 2) Um cidadão depositou $5.000,00 na caderneta de poupança em A correção monetária foi: Jan. = 2%, Fev. = 1,5% e Mar. = 2,5% Taxa de juros real = 0,5% a.m. Calcular: a) Montante do capital em b) Qual seria o valor do depósito necessário para se conseguir um patrimônio de R$10.000,00 em CAP. 3 DESCONTO Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de vencimento. O banco, naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título dito nominal. A diferença entre o valor nominal (V N ) e o valor liberado (V L ) pago ao portador do título é o que se denomina desconto (D). O seguinte diagrama ilustra o processo: 0 k (t n -t k ) n

10 10 V L V N O uso do desconto simples (com juros simples) é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para operações de longo prazo. Pela sistemática de capitalização simples, o desconto pode ser classificado em duas modalidades: desconto racional (também chamado desconto por dentro) e desconto comercial (também chamado desconto por fora). 3.1 Desconto racional V L = V N 1 + i x (t n - t k ) D = V N V L = V N - V N 1 + i x (t n - t k ) D R = V N x i x (t n - t k ) 1 + i x (t n t k ) i representa a taxa de juros simples, t n t k é o prazo a decorrer até o vencimento do título e V L é o valor líquido liberado na data do desconto. O uso da equação anterior exige observar a regra de proporcionalidade entre as dimensões da taxa de juros e o prazo de operação Desconto comercial Nesta modalidade, também chamado desconto por fora, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título: D C = V N x d x (t n t k ) d representa a taxa de desconto comercial também chamada taxa por fora, (t n t k ) é o prazo e V N é o valor nominal (valor de resgate, valor futuro ou valor de fase) do título. Uma expressão para o valor liberado (valor líquido, valor descontado ou valor atual) pode ser obtida considerando-se que o valor do desconto é sempre igual à diferença entre o valor nominal e o valor liberado pelo título: D C = V N - V LC V N x d x (t n t k ) = V N V LC V LC = V N x [1 d x (t n t k )] OBS: 1- O desconto bancário pode ser considerado uma extensão do desconto comercial, basta acrescentar a taxa de serviço bancário s que comumente incide sobre o valor nominal. Logo, as expressões para o valor do desconto e para o valor liberado passam a ser as seguintes: D C = V N x [s + d x (t n t k )] V LC = V N x [1 s d x (t n t k ) 2- A taxa de juros i e a taxa de desconto d servem para calcular o rendimento de uma unidade monetária por unidade de tempo em diferentes momentos do horizonte temporal. Enquanto a taxa i é aplicada sobre um valor presente V L, a taxa d é aplicada sobre um valor futuro V N, originando um valor de desconto comercial maior que o valor de desconto racional. Quando as taxas são baixas, a

11 11 diferença entre os descontos racional e comercial não é relevante, porém, quando são altas, a diferença pode ser considerável. Exemplos: 1) Uma instituição financeira arremata no leilão do Banco Central uma LTN com as seguintes características: Valor nominal = $10.000,00 Prazo = 91 dias Taxa de deságio = 14% a.a. Calcular o valor de arremate da LTN, pelo valor atual racional. V = (1 + 0,14 x( 91/360)) V = 9.658,21 2) Um título no valor final de $2.000,00 vai ser descontado em um banco que cobra 10% de juros mensais. Calcular o valor do desconto comercial e valor atual comercial, faltando 45 dias para o vencimento do título. D B = x 0,10 x( 45/30) D B = 300 V B = V N D B = = ) Uma duplicata com vencimento em 15 de dezembro é descontada por $2.000,00 em 1º de setembro do mesmo ano a uma taxa simples de 6% a.m.. Nas modalidades de desconto comercial e racional simples, calcular o valor de resgate (valor nominal) do título e a taxa de desconto efetiva linear. a) Desconto comercial simples: Prazo de operação: 105 dias Cálculo do valor de resgate do título: V LC = V N x [1 d x (t n t k )] $2.000 = V N x [1 0,06 x (105/30)] V N = $2.531,65 Taxa de desconto efetiva linear: 2.531,65 = x [1 + d x (105/30)] d = 7,60% a.m. b) Desconto racional simples: Cálculo do valor de resgate do título: V L = V N 1 + i x (t n t k ) = V N 1 + 0,06 x (105/30) V N = $2.420,00 Taxa de desconto efetiva linear: = [1 + d(105/30)] d = 6% a.m. 4) Por quanto devemos comprar uma nota promissória cujo valor de resgate é de $12.000,00, pagável daqui a sete meses, se a taxa de juros é de 8% ao mês. V = (1 + 0,08) 7 V = 7.001,88

12 12 5) Admitamos que um título com valor nominal de $10.000,00 seja descontado em um banco, com 60 dias (2 meses) antes do seu vencimento à uma taxa de desconto de 2% a.m. e com IOF de 0,0041% a.d. incidente sobre a operação. O banco cobra ainda, Taxa de Serviço Bancário (TSB) de 2% sobre o valor nominal do título paga no ato da liberação dos recursos. Calcule a taxa efetiva mensal (em juros compostos) da operação. Valor nominal do título...$10.000,00 Valor do desconto: x 0,02 x ,00 IOF: x 0, x 60 dias... 24,60 TSB: x 0, ,00 Valor líquido liberado , , Cálculo da taxa efetiva da operação: VF = VP x (1 + i) n = 9.375,40 (1 + i) 2 (1 + i) 2 = 1, (1 + i) = 1, i = 0, i = 3,2774% a.m. CAP. 4- SÉRIE FINANCEIRA 4.1- Introdução A série financeira é uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos ao longo do tempo, que resulta, por exemplo, de uma operação financeira. Em termos gerais, a série financeira pode ser classificada em função do intervalo de tempo e do valor. O intervalo de tempo entre um pagamento e outro, ou um recebimento e outro, pode ser igual ou não. O valor do pagamento ou do recebimento pode ser igual ou não. Se o intervalo de tempo for igual e os pagamentos ou recebimentos forem também iguais, teremos a chamada SÉRIE PERIÓDICA UNIFORME ou simplesmente SÉRIE UNIFORME As séries periódicas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas. As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no fim de cada período e não na origem. Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do tipo compre hoje e comece a pagar daqui a x dias. Nas séries diferidas, quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida antecipada; se no fim, chama-se série diferida postecipada n 4.2- Valor Acumulado ou Montante ou Valor Futuro de uma Série Financeira

13 13 Representa a soma dos valores acumulados (montante ou valores futuros) de cada uma determinada data futura, calculada pela mesma taxa de juros. prestação em n-1 n P 2 P n-1 P 1 P 3 P n Instante VALOR ACUMULADO (Em n) 1 P 1 (1 + i) n-1 2 P 2 (1 + i) n-2 3 P 3 (1 + i) n n - 1 P n-1 (1 + i) n Pn O valor acumulado ou montante ou valor futuro (VF) será a soma dos valores de cada elemento na data n : VF = P 1 (1 + i) n-1 + P 2 (1 + i) n-2 + P 3 (1 + i) n P n-1 (1 + i) + P n Para o caso da série uniforme teremos: P 1 = P 2 = P 3 =... = P n-1 = P n = R VF = R(1 + i) n-1 + R(1 + i) n R(1 + i) + R Colocando R em evidência e invertendo a ordem: VF = R[1 + (1 + i) + (1 + i) (1 + i) n-1 ] A expressão entre colchete, nada mais é do que a soma dos termos de uma PG, cujos dados são: 1º termo = 1 = a 1 Razão = 1 + i = q Nº de termos = n Spg = a 1 (q n - 1) q - 1 Spg = 1[(1 + i) n - 1] = (1 + i) n i - 1 i VF = R (1 + i) n - 1 i Fator de Valor Futuro de séries uniformes. Internacionalmente é representado pelo símbolo S n i% onde n representa o nº de termos da série e i a sua taxa de capitalização. Exemplo: Um cidadão começou a pagar a contribuição para o fundo de aposentadoria na base de 100 UFIR por mês e pretende pagar durante 10 anos.

14 14 Qual será o total das contribuições pagas no fim do prazo, considerando a taxa real de 0,75% ao mês Valor Presente de uma Série Financeira O Valor Presente de uma série (VP) representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial (data zero) considerando a mesma taxa de juros Para uma série qualquer (tipo do item anterior), o Valor Atual ou Valor Presente da série, é a soma dos valores atuais de cada termo: VP = P 1 + P 2 + P P n-1 + P n (1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) 3 (1 + i) n-1 (1 + i) n Quando a série é uniforme e postecipada, o valor presente corresponde à soma dos valores atuais dos termos da série: VP = R + R R (1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) n Colocando R em evidência e adotando o mínimo múltiplo comum, teremos: VP = R (1 + i) n-1 + (1 + i) n (1 + i) + 1 (1 + i) n O numerador da fração representa a soma dos termos de uma progressão geométrica, já do nosso conhecimento: SPG = (1 + i) n - 1 i Assim: VP = R (1 + i) n - 1 (1 + i) n x i Fator de Valor Presente de séries uniformes. Internacionalmente recebe o símbolo a n i% Ex: O proprietário de uma jazida de minério de ferro espera obter lucro líquido anual de US$ ,00, nos próximos 8 anos, quando a jazida será exaurida. Se ele fosse vender essa mina agora, qual seria o valor de venda? Considerar a taxa de juros de 8% ao ano Fator de Formação de Capital Por exemplo, quer se saber que valor deverá ser periodicamente depositado para que, ao final de um determinado período de tempo, se haja constituído um fundo para fazer face a um certo compromisso. Caso típico é o fundo de Depreciação, que é uma reserva formada por depósitos periódicos, que se destina a repor um determinado bem de capital, de valor conhecido, ao final de sua vida útil. VF = R [(1 + i) n - 1] i Então: R = VF i (1 + i ) n - 1 Fator de Formação de Capital Ex: Um cidadão pretende ter um patrimônio de $ ,00 daqui a 2 anos, através de 8 depósitos trimestrais em caderneta de poupança. Qual seria o valor do depósito trimestral necessário para atingir a meta, supondo um rendimento trimestral, juros mais correção monetária, de 9%.

15 Fator de Recuperação de Capital Conhece-se um determinado valor no dia de hoje; deseja-se decompô-lo em n parcelas iguais, separadas por um mesmo intervalo de tempo, e cada parcela constituindo uma parte do montante dado, mais os juros contados desde o dia de hoje até o dia da efetivação de cada parcela. É o caso, por exemplo, de uma determinada dívida contraída hoje (financiamento) e que deve ser resgatada em n prestações iguais, juros compostos e uma taxa anual i. O que se quer conhecer é o valor de cada parcela (prestação). VP = R (1 + i) n - 1 (1 + i) n x i Então: R = VP (1 + i) n x i (1 + i) n - 1 Fator de Recuperação de Capital Ex: Um empresário investiu US$ ,00 para substituição de óleo combustível por carvão e pretende recuperar o capital em 10 anos. Qual seria a redução anual de custos necessária para conseguir o objetivo, considerando a taxa real de juros de 8% ao ano? 4.6- Séries Variáveis Existem situações em que as projeções dos fluxos de caixa das aplicações financeiras ou dos projetos de investimentos são crescentes ou decrescentes ao longo do tempo. Informaremos nesse item, basicamente fórmulas para dois tipos desses fluxos: o primeiro é denominado séries variáveis em progressão aritmética e o segundo, séries variáveis em progressão geométrica. Em uma anuidade vencida cujos termos ou rendas variam de acordo com uma lei predeterminada, denomina-se gradiente a diferença entre duas rendas. O diagrama a seguir mostra uma anuidade postecipada com gradiente uniforme: 1G 2G 3G 4G Gradientes A A A A A Renda-base Séries em progressão aritmética crescente A seguir apresentam-se os diagramas da série dos gradientes (postecipadas) e de sua decomposição em n- 1 séries uniformes com termos iguais ao gradiente G: n n-1 n G G 2G 2G Sn-2 S n-1 3G S 2 S 1

16 16 (n-1)g (n-1)g Montante ou Valor Futuro da série: S ou VF = S 1 + S 2 + S S n S ou VF = G (1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) (1 + i) n-1-1 i i i i S ou VF = G (1 + i) n 1 - n i i O Valor Presente da série é igual ao montante descontado n períodos à taxa de juros efetiva i: VP = G (1 + i) n 1 - n i i (1 + i) n VP = G (1 + i) n 1 - n i(1 + i) n i Séries em progressão aritmética decrescente A seguir apresenta-se uma série gradiente uniforme e a sua decomposição em n-1 séries uniformes com termos iguais ao gradiente G: n n G VP n G (n-3)g VP 4 (n 3)G VP 3 (n-2)g (n 2)G (n-1)g VP 2 (n 1)G ng VP 1 ng O valor presente da série é igual à soma dos valores presentes das n séries uniformes: VP = VP 1 + VP 2 + VP VP n VP = G (1 + i) G (1 + i) G (1 + i) G (1 + i) n 1 (1 + i) 1 x i (1 + i) 2 x i (1 + i) 3 x I (1 + i) n x i......

17 17 VP = G n(1 + i) n - (1 + i) n - 1 i(1 + i) n i Para obtermos o montante ou Valor Futuro basta multiplicarmos por (1 + i) n. Assim, teremos: VF = G n(1 + i) n - (1 + i) n - 1 i i Séries variáveis em progressão geométrica A seguir apresenta-se o diagrama de uma série de pagamentos em progressão geométrica e o cálculo de seu valor presente: Ah n-2 Ah n-1 Ah 3 Ah 2 Ah A n-1 n tempo VP = A + Ah + Ah Ah n-2 + Ah n-1 (1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) 3 (1 + i) n-1 (1 + i) n Observa-se que VP é a soma de uma progressão geométrica de razão q = h/(1 + i) e o primeiro termo é igual a a 1 = A/(1 + i). Utilizando a fórmula da soma das progressões geométricas, e simplificando teremos: VP = A h n (1 + i) n (1 + i) n h (1 + i) A fórmula anterior serve tanto para o cálculo do valor presente de séries geométricas crescentes quanto para séries decrescentes, basta que a razão (h) seja calculada com +c para as séries crescentes e com - c para as decrescentes Valor Presente de uma série infinita (Perpetuidades) O termo perpetuidade (ou série infinita) sugere fluxos de duração infinita sem limite. Entretanto, é mais apropriado dizer que uma perpetuidade se constitui de um conjunto de rendas cujo número não pode ser determinado exatamente, pois é muito grande e tende ao infinito, como sucede, por exemplo, com os dividendos pagos pelas empresas. Assim, quando n é muito grande, tendendo para o infinito, o VP da série se transforma em: VP = R (1 + i) n - 1 = R x (1 + i) n - 1 (1 + i) n x i (1 + i) n x i (1 + i) n x i VP = Lim. R 1-1

18 18 n oo i (1 + i ) n VP = R / i Se a perpetuidade postecipada cresce a uma taxa constante c, o valor presente será dado por: VP = R i - c para i > c; i = taxa de juros efetiva; c = taxa de crescimento No caso de a perpetuidade ser antecipada: R = VP x i R a (1 + i) = VP x i R a = VP x i 1 + i 4.8- Equivalência de Séries Financeiras Dois ou mais fluxos de caixa (séries financeiras) são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. Ex: Fluxo de caixa uniforme equivalente a um fluxo dado OBS: 1) A equivalência de fluxos de caixa não precisa obrigatoriamente ser verificada no período zero, isto é, com o cálculo de valores atuais. Ela pode ser realizada em qualquer período k, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos. 2) A equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada. Ex: Uma dívida vai ser liquidada através de 6(seis) pagamentos mensais de $625,33. Caso o devedor desejasse liquidá-la em 2(dois) pagamentos ao final do 3º e 6º mês, qual deveria ser o valor dos pagamentos, se a taxa do empréstimo é 120% a.a., capitalização mensal. CAP. 5- FINANCIAMENTO / SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

19 Introdução O financiamento é a operação de obtenção, por empréstimo de um determinado valor monetário, com a obrigação previamente assumida pelo financiado, de resgatar a dívida contraída, devolvendo ao financiador a quantia obtida, acrescentada da sua remuneração, que são os juros. Ou seja, quando uma dívida é saldada em prestações o devedor deverá, normalmente, restituir o principal mais os juros. As prestações pagas são compostas de uma parcela de juros e uma parcela de amortização. A amortização corresponde à parcela da prestação que é descontada do principal. Ao resgatar a dívida, então o devedor estará: Amortizando o capital que lhe foi emprestado, ou seja, devolução do principal. Pagando Juros sobre esse capital. PARCELA (OU PRESTAÇÃO) = AMORTIZAÇÃO + JUROS As formas de devolução do principal mais os juros chama-se de sistemas de Amortização e os juros são pagos sobre o saldo devedor do capital, ou seja, capital emprestado menos capital amortizado. Exemplo: Seja um valor emprestado de $12.000,00 a ser pago em 3 anos, juros de 20% a.a Sistema de Pagamento no Final O financiamento é pago de uma única vez, no final do prazo. Os juros são capitalizados ao final de cada período. Essa modalidade de pagamento é utilizada principalmente em: Papéis de Renda Fixa, com renda paga no final. Ex: LC, CDB, RDB. Títulos descontados em Banco Comercial. Ex: V N = (1 + 0,20) 3 = , Sistema Americano (Pagamento periódico de Juros) Neste sistema, o pagamento do capital (amortização) é feito em uma única vez, no fim do prazo, enquanto que são pagos juros periódicos sobre o capital emprestado. Aplicação: Papéis de Renda Fixa, com renda paga periodicamente. Ex: Pagamentos = Fim do 1º ano: 0,20 x = 2.400,00 Fim do 2º ano: 0,20 x = 2.400,00 Fim do 3º ano: 0,20 x = , Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) A denominação Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Esse sistema caracteriza-se por pagamentos de amortização mais os juros em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescentes e, conseqüentemente, as amortizações do principal são crescentes. Basicamente, o Sistema ou Tabela Price é um caso particular do Sistema de Amortização Francês, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na prática é dada em termos anuais) e as prestações têm

20 20 período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, as amortizações são pagas em base mensal). Nesse sistema, o cálculo das prestações é feito usando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. Ex: R = x (1 + 0,20) 3 x 0,20 = 5.696,70 (1 + 0,20) 3-1 1ª prestação:. Juros = 0,20 x = 2.400,00. Amortização = 5.696, = 3.296,70 2ª prestação:. juros = 0,20 x ( ,70) = 1.740,66. Amortização = 5.696, ,66 = 3.956,04 3ª prestação:. Juros = 0,20 x ( , ,04) = 949,45. Amortização = 5.696,70-949,45 = 4.747,25 Uma das razões de se estudar amortização de dívidas é de se obter resposta às perguntas: Qual o estado da dívida? Quanto já foi amortizado? Para isso, muitas vezes é necessário o cálculo dos valores para algum determinado período qualquer K, sem a necessidade de elaborar a planilha completa. Esses cálculos podem ser feitos do seguinte modo: Capital Financiado, ou emprestado, ou Valor Financiado, ou Valor emprestado (V P, V F ). Prestações, são os valores iguais a R R = VF (1 + i) n x i (1 + i ) n - 1 Carência, é o intervalo de tempo decorrido entre a data de obtenção do financiamento e a do pagamento da 1ª prestação. Pode ou não ser igual ao intervalo das prestações. Quota de Amortização (A k ), é a parcela de uma prestação que se destina a amortização do Capital Financiado. O valor da prestação em um período k qualquer é igual à soma da amortização desse período mais os juros respectivos, calculados com base no saldo devedor do período anterior (k 1). A 1 + J 1 = R A 1 = R - J 1 R = V F (1 + i) n x i (1 + i) n - 1 J 1 = V F x i, onde V F é o valor do financiamento Substituindo, teremos; A1 = V F x i (1 + i) n - 1 A 2 + J 2 = A 1 + J 1 A 2 = A 1 (1 + i) A 3 + J 3 = A 1 + J 1 A 3 = A 1 (1 + i) A k + J k = A 1 + J 1 A k = A 1 (1 + i) k-1 Ak = V F x i x (1 + i) k-1 (1 + i) n - 1

21 21 Juros de uma prestação (J k ), é a parcela de juros de uma prestação k. Incide sobre o saldo em t k-1, durante o período de tempo t k-1 a t k. A k + J k = R, então: J k = R - A k Total Amortizado até a prestação k (TA k ), é a somatória das parcelas de amortização até a prestação k. TA k = A 1 + A 2 + A A k = A 1 [1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) (1 + i) k-1 ] A expressão entre colchetes é a soma dos termos da nossa Progressão Geométrica, agora com k termos: SPG = (1 + i) k - 1 Assim, TAk = V F x i x (1 + i) k - 1 (1 + i) n -1 i i TAk = V F x (1 + i) k - 1 (1 + i) n - 1 Total de Juros até a prestação k, é a soma das parcelas de juros até a prestação k TJ k = k x R - Ta k Saldo Devedor (SD k ), é o valor que falta ser amortizado após o pagamento da prestação k SD k = V F - TA k Não é aconselhável sua utilização Ou, pode ser calculado como o valor Presente das prestações que faltariam pagar (retirada da parcela de juros). SDk = R x (1 + i) n-k - 1 (1 + i) n-k x i Ex: É concedido um financiamento de $50.000,00 a ser pago em 10 prestações mensais, a uma taxa de juros de 5% a.m.. Calcular: a) O valor de cada prestação b) A quota de amortização referente a 7ª prestação c) O total amortizado com o pagamento da 5ª prestação d) O total de juros pagos e) O saldo devedor após o pagamento da 4ª prestação 5.5- Sistema de Amortização Constante (SAC) Pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado em quotas de amortização iguais. Dessa maneira, diferente da Tabela Price (Sistema Francês), em que as prestações são iguais, no Sistema SAC as prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. Esse tipo de sistema às vezes é usado pelo Sistema Financeiro da Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Ex: Quota de amortização = / 3 = 4.000,00 1ª prestação = ,20 x = 6.400,00

22 22 2ª prestação = ,20 x = 5.600,00 3ª prestação = ,20 x = 4.800,00 Principais grandezas: Quota de Amortização: A k = VF / n Total Amortizado: TA k = k x V F / n Saldo Devedor: SD k = V F - k x V F / n ou (n - k) x V F / n Determinação de J k : J k = SD (k-1) x i Determinação de R k : R k = A k + J k Razão de decréscimo: = i x V F / n Exemplo: É concedido um financiamento de $40.000,00 a ser pago em 8 prestações mensais, a uma taxa de 5% a.m.. Calcular: a) O valor das amortizações b) O total amortizado com o pagamento da 4ª prestação c) O juro pago na 6ª prestação d) O saldo devedor após o pagamento da 5ª prestação e) O valor da 4ª prestação 5.6- Sistema de Amortização Crescente (Sacre) O Sistema de Amortização Crescente (Sacre), conhecido também como Sistema Misto adotado pelo SFH na liquidação de financiamento da casa própria é baseado no SAC e no Sistema Price, já que a prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente até a metade do período de financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema Price. Como decorrência disso, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do Sacre é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações Custo efetivo (taxa de juros) de sistema de financiamento / amortização Normalmente sobre os financiamentos incide uma série de custos adicionais, tais como IOF, comissões, aval, seguro etc. Devido a esses encargos, o custo do financiamento é maior que a taxa contratada, tornando-se indispensável a sua inclusão na planilha de amortização para o posterior cálculo do custo efetivo do empréstimo (taxa efetiva de juros). Exemplo: Um empréstimo de $ ,00 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais postecipadas, a juros efetivos de 10% a.m.. Elaborar planilhas de amortização considerando um período de carência de 3 meses para o caso em que durante a carência são pagos apenas os juros devidos e para o caso em que durante a carência os juros são capitalizados e incorporados ao principal.

23 23 a) Considerando que durante a carência são pagos unicamente os juros devidos: Mês (t) Saldo devedor (SD t = SD t-1 A t ) Amortização (A t = R t J t ) Juros (J t = i x SD t-1 ) Prestação (R t ) 0 $ , $ ,00 - $20.000,00 $20.000,00 2 $ ,00 - $20.000,00 $20.000,00 3 $ ,60 $43.094,00 $20.000,00 $63.094,00 4 $ ,60 $47.403,40 $15.690,60 $63.094,00 5 $ ,86 $52.143,74 $10.950,26 $63.094, $57.358,86 $ 5.735,89 $63.094,00 b) Considerando que no período de carência os juros são capitalizados e incorporados ao principal Mês (t) Saldo devedor (SD t = SD t-1 A t ) Amortização (A t = R t J t ) Juros (J t = i x SD t-1 ) Prestação (R t ) 0 $ , $ , $ , $ ,18 $52.143,82 $24.200,00 $76.343,82 4 $ ,98 $57.358,20 $18.985,62 $76.343,82 5 $ ,96 $63.094,02 $13.249,80 $76.343, $69.403,96 $ 6.940,40 $76.343,82 CAP. 6- CORREÇÃO MONETÁRIA 6.1- Conceito de inflação A inflação pode ser definida simplesmente por uma alta contínua dos preços de todos os bens de consumo existentes numa determinada economia. Há que se distinguir entre movimentos de preços relativos e um processo inflacionário. Ex: Se as chuvas bloqueiam uma determinada estrada, pode ser que os produtos originais da região servida pela referida estrada podem aumentar. Entretanto, pode ocorrer uma safra excepcional de um cereal fazendo que seu preço caia. Em conseqüência enquanto algumas mercadorias estavam com seus preços em elevação, outras estariam em queda. Haveria movimentos de preços relativos que se compensariam, conservando o nível de preços estável. A inflação não é fenômeno de causa única, é resultante de uma multiplicidade de fatores. Entre as principais causas podemos citar: a) Aumento da demanda de bens, cuja produção não pode ser aumentada na mesma proporção. b) Aumento dos custos dos Fatores de Produção c) Especulação com estoques d) Os choques de oferta: choques de petróleo, quebras de safras agrícolas, desvalorizações cambiais, etc. e) Inércia inflacionária: preços reajustados no presente em função do passado. Os efeitos da inflação são bastantes nocivos, principalmente no que tange ao seu impacto sobre os fluxos de caixa de financiamentos, projetos e investimentos, e suas respectivas taxas de rentabilidade. Mesmo em países com moedas fortes existe o fenômeno da inflação, ainda que com taxas percentuais reduzidas.

24 24 Em contextos inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusão monetária ou rendimento aparente das aplicações e investimentos. Nessa situação, é importante determinar a taxa real de juros e o custo ou rendimento real de um financiamento ou aplicação. De um modo geral, podemos transformar um valor monetário (inflacionado ou indexado) em um valor real, dividindo a taxa de rentabilidade expressa em termos monetários (que inclui a inflação) pelo índice de preço ou de inflação, válido para aquele mesmo período, utilizando-se a fórmula exibida no item 1.1, qual seja: (1 + i) = (1 + i AM ) x (1 + i R ) Em conjunturas inflacionárias são muito usadas as expressões em preços correntes e em preços constantes. Quando o fluxo de valores monetários está em preços correntes, significa que cada termo da série se encontra expresso em poder aquisitivo da data respectiva do termo, enquanto que, quando o fluxo está em preços constantes, todos os termos da série estão expressos em poder aquisitivo de uma única data, normalmente da data inicial do fluxo de caixa. Exemplos: 1- Se um CDB rendeu 19% no ano, e a inflação no mesmo período (ano) foi de 11%, a taxa de rentabilidade real desse CDB, já deflacionado, é claro, será: (1,19 / 1,11) - 1 = 0,0721 A rentabilidade real desse investimento foi, portanto, 7,21% a.a. 2- Uma aplicação de $100,00 teve um rendimento aparente de $35,00. Considerando uma inflação durante o período de investimento de 30%, calcular a rentabilidade aparente e real da operação. Rentabilidade aparente: i = rendimento aparente = 35 = 0,35 35% Aplicação 100 Rentabilidade real: (1 + i) = (1 + i AM )(1 + i R ) (1 + 0,35) = (1 + 0,30)(1 + i R ) i R = 3,85%, ou i R = rendimento real = 5 = 0,0385 3,85% aplicação corrigida 130 Comentário: Para amenizar os efeitos da inflação, fazendo com que, ao menos teoricamente, o valor dos ativos não permaneça imóvel no tempo, sendo, portanto, atualizado periodicamente, criou-se a Correção monetária, ou a Indexação dos Preços do sistema econômico. E, isso se aplica a quaisquer tipos de ativos, sejam eles financeiros ou não. Assim, a conversão de preços constantes para preços correntes, ou vice-versa, é feita através de índices ou indexadores, que refletem a perda do poder aquisitivo da moeda provocada pela inflação Índice de preços Para medida da inflação são desenvolvidos índices de preços que meçam o poder aquisitivo da moeda, que nada mais é do que a variação da quantidade de mercadorias constituintes de uma cesta adquiridas pela moeda no tempo. Em outras palavras, um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preços de um período para outro. Há uma grande variedade de índices de preços. Entre eles há profundas diferenças quanto aos tipos e mesmo qualidade dos bens e serviços que entram nas suas medidas, quanto ao espaço geográfico coberto e mesmo quanto a questões metodológicas de levantamento de informação. No Brasil, a maioria dos cálculos de índices de preços está a cargo da Fundação Getúlio Vargas (FGV) do Rio de Janeiro, que publica mensalmente na revista Conjuntura Econômica os índices nacionais e