MAT096. Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas - CCE Departamento de Matemática MAT096 Tutoria de Cálculo Diferencial e Integral Apostila DMA - UFV 010

2 Sumário 1 Função Noções básicas Domínio e imagem de uma função Funções pares e ímpares Função Crescente e Decrescente Função Modular Composição de funções Funções inversíveis Funções eponenciais e logarítmicas Funções trigonométricas Funções trigonométricas inversas Eercícios de Geometria Analítica Limites e continuidade 0.1 Noção intuitiva de limite Teorema do confronto (ou do sanduíche") Limites Fundamentais Continuidade Teoremas Assíntotas Derivadas Coeficiente Angular da Reta Regras de Derivação Regra da Cadeia Funções trigonométricas Derivação Implícita Teoremas Construção de Gráficos Funções Crescentes e Funções Decrescentes Etremos de Funções Teste da Derivada Primeira para Etremos Relativos

3 SUMÁRIO Teste da Concavidade Teste da Derivada Segunda para Etremos Relativos Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas Esboço de Gráficos Aplicações de Derivada Taas de Variação Taas Relacionadas Problemas de Otimização Diretrizes para a resolução de problemas de otimização Antiderivadas Introdução Métodos de Integração Integração por substituição ou mudança de variável Integração de potências de funções trigonométricas Integração por Partes Integração por Frações Parciais Integração por Substituição Trigonométrica Integrais e epressões quadráticas Integral Definida Introdução Propriedades da Integral Definida Área entre Curvas Aplicações de Integrais Introdução Volume por fatiamento Sólidos de revolução Seções transversais circulares Seções transversais em forma de arruela Modelando o volume usando anéis cilíndricos

4 Capítulo 1 Função 1.1 Noções básicas 1. O que é uma função? Dê um eemplo. A equação satisfeita pelos pontos de uma circunferência é uma função?. O que são o domínio e a imagem de uma função? 3. O que é variável? Considere uma função em que a variável está indicada por. Se trocarmos por outra letra, por eemplo t ou s, a função muda? Estabeleça as diferenças entre variável independente e variável dependente. 4. Quando duas funções são iguais? 5. O que é um par ordenado? Dê eemplos práticos. 6. O que se entende por plano cartesiano e coordenadas de um ponto no plano? 7. O que se entende por gráfico de uma função? 8. O que entendemos por função polinomial? Eercícios 1. Dadas as curvas representadas na figura 1.1, quais representam gráfico de função? Justifique sua resposta.. Dadas as funções f() = + 1 e g() = + 1, pede-se (a) Calcular f(0), g(0), f() e f(3) + g(); (b) f(1 + a) é igual a f(1) + f(a), onde a é um número real? (c) Eiste algum que anula f ou g? Caso eista, determine-o(s). 4

5 Domínio e imagem de uma função 5 y y 500 y Figura 1.1: Eercício 1 1. Domínio e imagem de uma função Domínio de uma função f É o conjunto de todos os valores admissíveis de (variável independente) e o denotamos por D f. Eemplo: Para f() = 1, temos D f = { R : 1 0} = { R : 1 ou 1}. Imagem de uma função f É o conjunto Im f de todos os valores y tal que f() = y, para algum no domínio de f. Em notação de conjunto escrevemos Im f = {y R : D f com f() = y}. Qual é o conjunto imagem da função f() = 1? Eercícios 1. Seja f() = a + b, onde a, b R. Esta é uma função polinomial de grau 1 (ou afim se b 0 e linear caso b = 0). Seu gráfico é uma reta, que pode ser obtida com apenas dois pontos distintos. Pede-se: (a) D f. (b) Traçar os gráficos da função f, no mesmo plano cartesiano, para a = e b assumindo os seguintes valores:, 0 e 3. (c) Onde as retas obtidas acima interceptam o eio y (eio das ordenadas)? Há alguma relação com o valor adotado por b? Por que isto ocorre? Como o valor b é chamado? (d) Mantendo a fio e variando o valor de b o que ocorre com as retas resultantes? Como o valor a é chamado? (e) Traçar os gráficos da função f, no mesmo plano cartesiano, para b = e a assumindo os seguintes valores: 5, 0 e 1.

6 6 Função (f) Que característica observada nos gráficos deve-se ao valor adotado por b? (g) Descreva suas observações referentes à influência do valor adotado por a no traçado das retas. E, quando a = 0, qual o nome dado à função obtida? (h) Calcule o valor em que cada reta, obtida no item (e), intercepta o eio das abcissas, ou seja, calcule as raízes das funções. (i) Para que valores de R temos f() > 0 ou f() < 0, considerando as funções obtidas no item (e). Estas funções são crescentes ou decrescentes?. Seja h(t) = at + bt + c, onde a, b, c R, com a 0. Esta é uma função polinomial de grau (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. Pede-se: (a) Traçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para a = 1, b = e c assumindo os seguintes valores: 3, 1 e 4. (b) Considerando o item (a) responda, em que ponto cada curva intercepta o eio das ordenadas? Comente a relação eistente com os valores adotados por c. (c) Determine, justificando suas respostas, para que valores de c a função h admite: i. duas raízes reais; ii. uma raiz real; iii. nenhuma raiz real. (d) Calcule as raízes das funções obtidas no item (a). (e) Esboçar os gráficos da função h, no mesmo plano cartesiano, para b = 0, c = 3 e a assumindo os seguintes valores: 1, 1 e. (f) O valor de a pode influenciar o número de raízes reais de h? Justifique. (g) Determine o intercepto das curvas com o eio das ordenadas e verifique sua relação com os valores de c. (h) Descreva a(s)característica(s) determinada(s) pelo valor de a. (i) Para que valores de t R temos h(t) > 0 e h(t) < 0, das funções obtidas no item (a)? (j) Determine o ponto de máimo ou de mínimo das funções obtidas no item (e) e avalie sua concavidade. 3. Faça um esboço do gráfico das seguintes funções e encontre o domínio e a imagem de cada uma: { 1 +, se > (a) f() = 1, se 9, se < 0 (b) f() = 9, se 0 < 3 16, se 3

7 Domínio e imagem de uma função 7 4. Qual o domínio das funções abaio? (a)f() = + 1 (c)f() = (e)f() = 1 (b)f() = ( 3 + 3)( 1) (d)f() = As funções reais f e g cujas leis de formação são f() = são iguais? Justifique sua resposta e g() = Em um curso de cálculo é fundamental conhecermos os gráficos das funções e entender o que eles significam. Não precisamos conhecer o gráfico de todas as funções mas ao menos o das principais. Os gráficos das funções polinomiais de grau 1 e já são conhecidos (a reta e a parábola). É interessante conhecer também os gráficos das funções de grau 3, mas mais importante é entender o que ele significa. Vamos estudar um pouco o gráfico de uma função cúbica (grau 3). Consideremos, por eemplo, g() = = ( 3)( + 1)( + ). O gráfico de g está ilustrado na figura 1. abaio: y Figura 1.: Eercício 6 (a) Determine os valores para os quais g() = 0 (as raízes de g). (b) Determine os subconjuntos dos números reais onde g() > 0 e onde g() < 0. (c) Esboce o gráfico da função h() = g(). 7. Relacione as funções dadas abaio com seus respectivos gráficos ilustrados na figura 1.3 (basta estudar as raízes de cada função). (a) f() = 4 (b) g() = = ( 4)( 3)(?)(?) (c) h() = = ( 5)( 4)( 3)( + 1)( + 3)

8 8 Função (d) p() = + (e) r() = 5 3 y 5 y y y 3 1 y Figura 1.3: Eercício 7 8. Dadas as funções f() = 4 e g() = 3. Determine: ( ) f (a) (f + g)(), (f g)(), (f g)(), (). g (b) Domínio de f, g, f + g, f g, f g, f g. 9. Um estudo das condições ambientais de uma comunidade suburbana indica que a taa média diária de monóido de carbono (CO) no ar será de C(p) = 0, 5p + 1 partes por milhão, quando a população for de p milhares. Imaginemos que, daqui a t anos, a população da comunidade será de p(t) = , 1t milhares. (a) Epresse a taa de CO no ar como uma função do tempo. (b) Quando o nível de CO atingirá 6, 8 partes por milhão? 10. A função f definida em R {} por f() = + é inversível. O seu contradomínio é R {a}. Calcule a. 1.3 Funções pares e ímpares Uma função f é dita: par se f( ) = f() para todo em seu domínio e

9 Função Crescente e Decrescente 9 ímpar se f( ) = f() para todo em seu domínio. Eemplos A função f() = é par, pois f( ) = ( ) = = f() e a função g() = é ímpar, pois f( ) = = () = f(). O que você pode concluir com relação ao gráfico destas funções? Já a função h, dada por h() = + 1 não é nem par nem ímpar (Verifique!). Eercícios 1. Verifique se a função é par, ímpar ou nenhum destes dois. (a) f() = 3 (b) g() = (c) h() = 1 (d) q(t) = t + 1. O produto de duas funções pares é par? E o produto de duas funções ímpares? Justifique suas respostas! 3. Uma função pode ser simultaneamente par e ímpar? Jusifique sua resposta! 1.4 Função Crescente e Decrescente Uma função é dita crescente no intervalo (a,b) se, e somente se, 1, (a, b) com 1 < f( 1 ) f( ) Uma função é dita decrescente no intervalo (a,b) se, e somente se, 1, (a, b) com 1 < f( 1 ) f( ) 1.5 Função Modular É a função f : R { R definida por f(u) = u. Ela também pode ser escrita da u, se u 0 seguinte forma: f(u) = u, se u < 0 Eemplo: 1. Seja f : R R definida por f() = 1 = { ( 1), se 1 0 ( 1), se 1 < 0.

10 10 Função Logo temos f() = 1 = Eercícios { 1, se 1 ou 1 + 1, se 1 < < Construa o gráfico de cada função modular dada abaio e determine o seu domínio e sua imagem. u + (a) t(u) = u + (b) r() = Considere a função f definida por f() = 1. (a)escreva f() eliminando o módulo, ou seja, escreva f() definida por várias sentenças. (b)faça um esboço do gráfico de f. 1.6 Composição de funções Definição: Sejam f e g duas funções tais que Imf D g. A função dada por y = g(f()), D f denomina-se função composta de g e f. É usual a notação g f para indicar a composta de g e f. Assim (g f)() = g(f()), D f. Observe que g f tem o mesmo domínio que f. O domínio de uma função composta f g é: D f g = { D g : g() D f }, onde D g é o domínio de g e D f é o domínio de f. Eercícios 1. Usando funções elementares, decomponha as funções abaio, conforme pedido: u() = ( ) 10 u() = g(f()), onde f() = e g() = 10. (a) r() = ( funções) ( ) (b) f() = (3 funções) 3

11 Funções inversíveis 11. Se f() = 4 5, g() = e h() = 1, resolva: (a)f(g(0)) (b)g(f(0)) (c)h(f(g())) (d)h(h(g())) 3. Sejam as funções f() = + 1 se 0 se 0 < 4 3 se > e g() = + 1 (a)faça um esboço do gráfico de f. (b)encontre o domínio de g f. (c)encontre (f g)(). 4. Sejam f e g funções tais que f() = 1 9 e g() = 16. (a)encontre o domínio de f g. (b)encontre (f g)(). 1.7 Funções inversíveis Uma função f é bijetora quando para todo y em seu contra-domínio eiste um único no domínio de f tal que f() = y. Uma função f : X Y se diz inversível se eiste uma função g : Y X, tal que g(f()) = id X (), e f(g(y)) = id Y (y), ou seja, a função g associa o valor y = f() ao valor g(y) =. A função g é chamada de função inversa de f e é denotada por f 1. Uma função é inversível se, e somente se, for uma função bijetora. Eercícios 1. Determine a inversa f 1 e verifique que (f f 1 )() = (f 1 f)() =. (a) f() = + 3 (b) f() = (c) f() = 3 1 (d) f() = ln( ) (e) f() =, < 0

12 1 Função. Determine y nas seguintes equações: (a) lny = t + 4 (b) ln(y 1) ln = + ln 3. Considere f() = ln( ) (a) Esboce o gráfico de f; (b) Justifique que f é inversível; (c) Encontre a inversa de f eibindo seu domínio e sua imagem; (d) Esboce o gráfico de f Funções eponenciais e logarítmicas Se a for um número real positivo qualquer, a função f() = a é chamada função eponencial de base a. O gráfico de uma função eponencial é crescente caso a > 1, figura 1.8 abaio à esquerda, e decrescente para 0 < a < 1, figura 1.8 abaio à direita. y 6 4 y Figura 1.4: Representação gráfica da curva a, a esquerda para a > 1 e à direita para 0 < a < 1. Se a e b forem números positivos e e y números reais quaisquer, então 1. a a y = a +y. (a ) y = a y 3. a a y = a y 4. (ab) = a b 5. a 0 = 1

13 Funções eponenciais e logarítmicas 13 A cada positivo corresponde um único y tal que = a y. Escrevemos y = log a e chamamos y de logaritmo de na base a. Conseqüentemente, y = log a tem o mesmo significado que = a y. Considerando isso, a função logarítmica de base a, g() = log a (), tem as seguintes propriedades: 1. log a (y) = log a () + log a (y) ( ). log a = log y a () log a (y) 3. log a (1) = 0 4. log a ( y ) = ylog a () O gráfico de uma função logarítmica de base a é crescente se tivermos a > 1, vide figura 1.5 à esquerda, e é decrescente no caso de 0 < a < 1, vide figura 1.5 abaio à direita. y y Figura 1.5: Representação gráfica da curva log a, a esquerda para a > 1 e à direita para 0 < a < 1. Eercícios 1. Considere as funções f() = e g() =. O que as diferencia? As propriedades de potências são válidas para ambas as situações? ( ) 1. Faça um esboço dos gráficos das funções: f() = e g() = e responda: (a) Em que ponto cada gráfico corta o eio das ordenadas? (b) De modo geral, quando a função eponencial será crescente? E decrescente? (c) Para que valores de as funções acima estão definidas? Quais os valores que f() pode assumir? 3. Determine o domínio das funções definidas pelas epressões abaio (e =, 718). (a) f() = e 1

14 14 Função (b) f() = e Faça um esboço do gráfico da função f() = log e responda às questões (a), (b) e (c) do eercício. Que conclusões pode-se retirar, observando-se os gráficos das funções f() = e f() = log? Qual a relação entre as respostas do eercício com as dadas neste eercício? 5. Sabendo-se que log e = 0, 69 e log e 3 = 1, 09 calcule log e 6 e log e Determine o domínio da função definida pela epressão: 7. Resolva as equações abaio: (a) 8 +1 = 4 + (a)f() = ln( + 1) (b)y = log ( 1)( ) (b) (log log 5 1) + log 5 ( 3 7) = 0 (c) 5 3 = 1 (d) log 5 + log 5 ( 3) = log Funções trigonométricas Considere uma circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas e raio 1. Imagine agora um ponteiro preso no centro do círculo com etremidade final P, como o do relógio, mas girando no sentido anti-horário a partir do ponto D(1, 0). Se o ângulo que o ponteiro faz com o eio das abscissas é radianos, então as coordenadas da etremidade P do ponteiro que está sobre a circunferência são eatamente (cos, sen). Veja a figura 1.6 abaio: r 1 B O P A C D Figura 1.6: figura ilustrativa do ciclo trigonométrico. Assim, temos OA=cos e OB=sen. Definimos a função seno como a função f de R em R que a cada > 0 faz corresponder o número real y =sen (abscissa de P ) e a cada

15 Funções trigonométricas 15 < 0, faz corresponder a abscissa do ponto P, mas girando no sentido horário a partir do ponto (1, 0). Analogamente, definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cada R faz corresponder o número real y =cos (ordenada de P ). O domínio da função cosseno é R e a imagem é o intervalo [ 1, 1]. Na figura, a reta r é a reta tangente ao círculo no ponto D(1, 0). Na figura 1.7 temos a função cosseno representada pela linha contínua e a função seno pela linha pontilhada. y Figura 1.7: A tangente de é a medida do segmento compreendido entre o ponto (1, 0) e o ponto de interseção da reta que contém o ponteiro com a reta r, isto é, tg = CD. O sinal da tangente será positivo se o segmento em questão estiver acima do eio, e negativo caso contrário. É fácil ver que tg = sen cos. Note que quando = π, 3π, 5π (n + 1)π,... =, com n = 0, 1,, 3, 4, 5... a função g() =tg não está definida (por quê?). O Gráfico da função tangente está ilustrado na figura 1.8 abaio: y Figura 1.8: Gráfico da função tangente

16 16 Função Algumas relações trigonométricas cos + sen = 1 sen = sen cos cos = cos sen 1 + cotg = cosec 1 + tg = sec tg() = sen() cos() Eercícios sec() = 1 cos() 1. Calcule: cossec() = 1 sen() cotg() = cos() sen() = 1 tg() (a) o valor de no triângulo tracejado da figura 1.9. (b) Utilizando o item (a) mostre que sen45 o = 1, cos45 o = e tg45o = Figura 1.9: Eercício 1.. Usando as relações do seno, cosseno e tangente e observando o triângulo retângulo tracejado na figura 1.10, mostre que: (a) cos30 o = cat.adjacente 3 hipotenusa = (b) tg30 o = cat.oposto cat.adjacente = = (c) sen60 o = cat.oposto 3 hipotenusa = (d) cos60 o = cat.adjacente hipotenusa = 1

17 Funções trigonométricas inversas Figura 1.10: Eercício. 3. Qual o domínio e a imagem da função seno? 4. Apenas observando o círculo trigonométrico (e sabendo que π radianos correspondem a 180 o ), dertemine: (a) sen(0); cos(0); (b) sen(π); cos(π); (c) sen( π ); cos(π ); (d) sen( π 4 ); cos( π 4 ); (e) sen( 3π ); cos( 3π ); (f) sen(π); cos(π); (g) sen(kπ), cos(kπ), k Z; (h) sen( + π); cos( + π); ( π ) ( π ) 5. Determine, se possível, tg(0), tg, tg( π), tg(π), tg(kπ), k Z, tg ( ) 4 3π tg. e 1.10 Funções trigonométricas inversas As funções trigonométricas [ não são inversíveis, pois não são bijetoras. Contudo, é fácil ver que, restrita ao intervalo π, π ] a função seno é inversível. Sua inversa é a função g() = arcsen() ([ chamada arco-seno, vide seu gráfico na figura 1.11 abaio à esquerda. Como, sen π, π ]) [ = [ 1, 1] então g() = arcsen() está definida no intervalo π, π ]. Da mesma forma, restringindo o domínio da função cosseno e da função tangente é possível definir suas inversas, arccos() e arctg(), vide seu gráfico na figura 1.11 abaio à direita.

18 18 Função y 1 y Figura 1.11: Gráfico das funções arcsen() e arctg(, respectivamente). Eercícios 1. Calcule: (a) arcsen(0) (b) arccos (d). Mostre que: ( arccos 1 ) (a) arccos( ) = π arccos() ( ) 1 (b) arcsec() = arccos (c) arcsec( ) = π arcsec() ( ) 1 (c) ( ) 3 arcsen ( ) 1 (e) arctg(1) (f) arctg Eercícios de Geometria Analítica 1. Determine as equações das retas que passam pelos pontos: (a) P (, 7) e Q(5, 6); (b) P (3, 5) e Q(4, 8);. Determine se as retas do item a e b do eercício anterior cortam os pontos (1, 3) e (1, 5), respectivamente. 3. Determine se as retas abaio são perpendiculares. (a) 3y = 0 e y 7 + = 0 (b) y = 0 e 3y + 8 = 0

19 Eercícios de Geometria Analítica Qual é o coeficiente angular da reta 3y = 3? 5. Determine o ponto de interseção das retas: { 8 + y = 9 (a) y = 9 { 3 + y 8 = 0 (b) y + 6y + 4 = 0 { 6 3y = 4 (c) y = 3 6. Determine as equações das circunferências: (a) Raio = 4 e centro (3, ). (b) Raio = 1 e centro (0, 0) 7. Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto de interseção das retas y = 0 e y + = 0, sendo o raio igual a Determine a equação da circunferência que corta os eios coordenados nos pontos (0, ) e (, 0). (Sugestão: desenhe).

20 Capítulo Limites e continuidade.1 Noção intuitiva de limite Em geral, se uma função f é definida em todo um intervalo aberto contendo um número real a, com a possível eceção que f() não precisa estar definida em a, podemos perguntar: 1. À medida que está cada vez mais próimo de a (mas a), o valor de f() tende para um número real L?. Podemos tornar o valor f() tão próimo de L quanto queiramos, escolhendo suficientemente próimo de a (mas a)? Se a resposta a estas perguntas é afirmativa, escrevemos lim f() = L a e dizemos que o limite de f(), quando tende para a é L, ou que f() se aproima de L quando se aproima de a. É possível também fazer essas perguntas considerando sempre maior do que a, ou sempre menor do que a. O primeiro caso é chamado limite lateral à direita de a e o segundo é chamado limite lateral à esquerda de a. Se a resposta ainda é afirmativa escrevemos lim a a f() = L e lim f() = L. + Considere uma função f() para a qual tem-se lim f() = 0. O que se pode afirmar sobre 0 os valores de f() quando está próimo de 0? Analisemos, por eemplo, qual valor da função f() = 1 cos() quando se aproima de zero. -0,01-0,001-0,0001 0,0001 0,001 0,01 f() = 1 cos() -0, , , , , ,

21 Noção intuitiva de limite 1 Vemos que ao aproimarmos o valor de de zero (tanto pela direita quanto pela esquerda), o valor da função se aproima do valor zero. Que informação lim f() dá a 0 respeito da função f()? Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto I contendo o ponto a, eceto possivelmente no ponto a. Escrevemos lim f() = L, se para cada ɛ > 0, eistir a um número correspondente δ > 0 tal que, para todos os valores de, 0 < a < δ f() L < ɛ. Eemplos: 1. Mostre que lim 1 (5 3) =. Resol.: De fato, observando a definição acima, dado qualquer ɛ > 0 tome δ = ɛ 5. Daí, 0 < 1 < δ = ɛ 5 0 < 5 1 < ɛ 0 < 5 1 < ɛ 0 < 5 5 < ɛ (5 3) < ɛ. Logo,. Mostre que lim 1 ( 1) = 0. lim(5 3) =. 1 Resol.: De fato, observando a definição, seja ɛ > 0. Tomando δ = min 0 < 1 < δ então Portanto ( ) 3. Mostre que lim = = 1 = < 5 5 ɛ = ɛ. lim 1 ( 1) = 0. { 1, } 5 ɛ. Se Resol.: Seja ɛ > 0. Tomando δ = min {1/, 3ɛ}. Se 0 < 1 < δ então temos = + 1 3ɛ1 3 = ɛ. Logo Poderíamos ter tomado δ = 3? ( ) lim =

22 Limites e continuidade Propriedades: Se lim p f() = L e lim p g() = M, então: 1. lim p (f() + g()) = lim p f() + lim p g() = L + M. lim p (f().g()) = lim p f(). lim p g() = L.M 3. lim p (k.f()) = k. lim p f() = k.l lim f() f() 4. lim p g() = p lim g() = L M, se M 0 p Eercícios 1. Dê a definição de: (a) lim f() = L a (e) lim f() = L (b) lim f() = L a + (c) lim f() = a (d) lim f() = L +. Mostre que lim f() = L se, e somente se, lim f() = L e lim f() = L. a + 3. Prove, por definição, que: a a (a) lim 1 = (b) lim ( 4) = 0 (b) lim 4 = 1 (c) lim 0 = + 4. Para o limite lim 5 1 =, determine um δ > 0 que sirva para ɛ = Dada a função f() = lim f()? Justifique , determine: lim f() e 1 + lim f(). Eiste 1 6. Eiste lim 0? Por quê? 7. (a) Admitindo que 0 < 1 < δ 1, mostre que < 10δ. (b) Utilizando o item (a) mostre, pela definição, que lim( + 5 3) = Prove que lim = 1, mostrando que para todo ε > 0, eiste um número real N > 0, tal que se > N então < ε. 4 3

23 Teorema do confronto (ou do sanduíche") 3 9. Calcule os seguintes limites: (a) lim (d) lim 3 ln 4 (g) lim (j) lim 1 (m) lim 0,5 (p) lim 1 (s) lim ( 1) (b) lim (e) lim (h) lim (k) lim y 5 y 5 y 5 {( ) ( )} + 5 (n) lim (q) lim (t) lim 5 4 (c) lim (f) lim 0 (i) lim 0 (l) lim t 1 t 4 1 t 3 1 (o) + + lim ( 3) + (r) lim 3 (u) lim (v) lim p n n p p 10. Calcule os limites no infinito (a) lim (d) lim (g) lim ( ) (b) lim (e) lim ( + 1) (h) lim (c) lim (F ) lim ( ) (i) lim ( + 1). Teorema do confronto (ou do sanduíche") Suponha que as funções f, g e h estejam definidas num intervalo aberto I contendo o ponto a, eceto possivelmente no ponto a e que g() f() h() para qualquer em I, com a. Se lim g() = lim h() = L, então lim f() = L. a a a

24 4 Limites e continuidade Eercícios 1. Sendo 1 4. Calcule lim 0 3 sen u() 1 + ( ). para qualquer 0, determine lim 0 u(). Obs: Note que não podemos utilizar a propriedade que lim f()g() = lim f() lim g(). a a a Por quê? 3. Sejam f e g duas funções com mesmo domínio D tais que lim f() = 0 e g() M a para todo em D, onde M > 0 é um número real fio. Prove que lim f()g() = 0. a { 1 se Q 4. Calcule lim g() onde g() = 0 1 se Q..3 Limites Fundamentais sen() lim 0 = 1 lim 0 1 cos Determine o valor dos limites, caso eista: ( = 0 lim a = e lim ) h 1 h 0 h = ln a Eercício ( ) sen(3) (a) lim (b) lim sen(5) sen() (d) lim (Sug.: faça t = π) π + π ( ) cos(5) cos(3) (g) lim 0 sen(4) ( ) cos cos 3 (e) lim 0 ( ) sen() (h) lim 0 + sen() (c) lim h 0 e +h e h ( ) cos() cos(a) (f) lim a sen() sen(a) ( ) 1 + cos() (i) lim cos() (j) lim 0 cos() 1 (k) lim 0 sen() 5.4 Continuidade Definição: Dizemos que uma função f é contínua em um número = a se as três condições abaio forem satisfeitas: (i) a D f (ii) lim a f() eiste (iii) lim a f() = f(a)

25 Continuidade 5 Eercícios 1. Determine se as funções abaio são contínuas ou descontínuas no ponto dado. No caso de descontinuidade, verifique qual dos ítens da definição de continuidade não é satisfeito. (a) f() = 1 1 ; a = 3 (b) g() = ; a = 3 (c) h() = (e) P () = { > 0 + > 0 = 0 + < (g) f() = 1 = 1 ; a = 0 (d) h() = ; a = 0 (f) f() = ; a = 1 (h) f() = { < ; a = { = < 1 1 = > 1 ; a = 3 ; a = 1 ( π ) (i) f() = sen( sen()); a = 0 (j) f() = tan 4 cos(senθ 1 3 ) ; θ = 0. Dada a função f definida por f() = 3 5 se < 3 a se determine a R para que eista lim f(). 3. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. 3 8 se (a) f() = em p = L se = (b) f() = se 5 4. Considere a função f dada por f() = f é contínua? Justifique. L se = 5 em p = , se, 3 5, se =. 3, se = 3

26 6 Limites e continuidade 5. Determine, se possível, os valores das constantes a e b de modo que a função f abaio seja contínua em R. sen 1 + b se < 0 f() = a se = 0 (1 + ) 3+1 se > 0 6. Determine, se possível, um valor para a constante real a de modo que a função { f() = 5 a se 1 a( 1) + 3 se < 1 seja contínua para todos os valores de R. 7. Intuitivamente, dizemos que uma determinada função real f é contínua, se o gráfico de f pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel. Observe os seguintes gráficos na figura.1 e defina quais são contínuos e quais são descontínuos. Nota: este fato só é matematicamente correto quando o domínio da função é um intervalo (um coneo). Mas uma coisa curiosa sempre acontece: para uma função ser contínua, o número de pedaços"de seu gráfico precisa coincidir com o número de pedaços"do domínio. Figura.1: Eercício Sejam f, g contínuas em p e k uma constante. Mostre que f + g, f.g e k.f são contínuas em p, e que f também será, desde que g(p) 0. g

27 Teoremas 7.5 Teoremas Teorema do Valor Intermediário: Uma função y = f() que é contínua em um intervalo [a, b] assume cada valor entre f(a) e f(b). Em outras palavras, se y 0 for qualquer valor entre f(a) e f(b), então y o = f(c) para algum c em [a, b]. Teorema de Bolzano: Seja f um função contínua em um intervalo [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 então eiste pelo menos um valor c em (a, b) tal que f(c) = 0, ou seja, se f muda de sinal em [a, b] então f possui pelo menos uma raiz no intervalo (a, b). Teorema do Ponto Fio de Brouwer: Seja f : [a, b] [a, b] uma função bijetora e contínua. Então eiste pelo menos um ponto em [a, b] tal que f() =. Ecercícios 1. Usando o teorema do valor intermediário, prove que, se f é contínua, então qualquer intervalo que f muda de sinal contém uma raiz de f.. Algum número real somado a um é igual a seu cubo? 3. Se f() = , mostre que há pelo menos um valor de c para o qual f(c) é igual a: (a) π (b) 3 (c) 0 4. Em quais intervalos as funções dadas abaio são contínuas? (a) y = 1 3 (b) z = t + 1 t 4t + 3 (c) r = cos (d) s = v Suponha que f seja uma função contínua em [a, b] e que f admita uma única raiz c [a, b]. Suponha que eista 0 em [a, b] tal que 0 > c, tal que f( 0 ) > 0. Prove que para todo [a, b], com > c, f() > Prove que a função f dada por f() = tem (pelo menos) uma raiz em [0, 1]. Justifique sua resolução. 7. Determine um intervalo onde a função f dada por f() = ( 3 3 ) 3.ln( + 3) tenha um zero. Justifique sua resposta..6 Assíntotas Definição: Seja f uma função e c um número. A reta de equação = c se diz assíntota vertical de f se

28 8 Limites e continuidade ou ou ou lim c lim c lim c lim c + f() = + + f() = f() = + f() = Definição: A reta y = L é dita uma assíntota horizontal do gráfico de f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida: (i) f() = L e eiste N > 0 tal que se > N, então f() L. lim + (ii) lim f() = L e eiste N < 0 tal que se < N, então f() L. Definição: A reta y = a + b é denominada assíntota inclinada (ou oblíqua), onde a e b são dados por f() a = lim ± desde que os limites eistam. Eemplo: y 0 b = lim (f() a ), ± Figura.: Eemplo No gráfico acima a reta = é uma assíntota vertical e a reta y = 5 é uma assíntota horizontal. Eercícios 1. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas abaio, caso eistam. (a) f() = + 1 (b) f() = + 1 (d) f() = 8 4 (c) f() = (e) f() = cotg() (f) f() = sen() + 1

29 Assíntotas 9. Encontre, se eistirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f() = Encontre as assíntotas horizontais das funções f() = + 3 e f() = Alguma dessas funções possui assíntota vertical? Dê eemplo de uma função que possua duas assíntotas verticais e uma horizontal. 4. Encontre, se eistirem, as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função f() = + 1.

30 Capítulo 3 Derivadas 3.1 Coeficiente Angular da Reta Dada uma reta y = a + b, o termo a é denominado coeficiente angular da reta, e o termo b é o coeficiente linear da reta. Podemos definir o coeficiente angular m de uma reta que passa pelos pontos ( 1, y 1 ) e (, y ) como: m = y = y y 1 1, com 1 (3.1) A equação da reta com coeficiente angular m e que passa pelo ponto ( 1, y 1 ) dada por 3 é y y 1 = m( 1 ). Nos eercícios a seguir, ache uma equação da reta que contenha os pontos P e Q. 1. P (-,1), Q(,4). P (,), Q(-5,). Num gráfico de uma função f qualquer, a tangente num ponto é a aproimação linear do gráfico neste ponto. Essa afirmação é eemplificada pela figura 3.1 abaio: Figura 3.1: Eemplo ilustrativo da tangente como aproimação linear do gráfico em um ponto. Para determinarmos a inclinação m do gráfico de f no ponto (, f()), basta acharmos o coeficiente angular da tangente em (, f()), que é dado por: 30

31 Coeficiente Angular da Reta 31 f( + h) f() m = lim, desde que o limite eista, ou seja, m R. h 0 h y Q f( ) P h f( +h) - f( ) +h Figura 3.: Eemplo geométrico ilustrativo para um melhor entendimento da definição de derivada. Desta forma, podemos definir uma nova função, a derivada de f em, isto é, f () = lim h 0 f( + h) f() h Obs: f () lê-se f linha de ". Uma outra alternativa para o cálculo da derivada de f no ponto a é o limite f (a) = lim a f() f(a) a Uma função é derivável em se sua derivada eiste em. O processo de cálculo de derivadas é chamado derivação. Notações para derivada de y = f(): f () = D y = y = dy d = d d f() Eercícios 1. Aplique a definição de limite para achar a derivada das funções dadas. (a) f() = 3 (b) f() = (c) h(t) = t 1 (d) g(s) = 1 s. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto indicado. Em seguida, determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f nos mesmos pontos.

32 3 Derivadas (a) f() = + 4 P (1, 6) (b) f() = Q(, 5) (c) f() = 1 A(0, 1) (d) f() = B(9, 4) Encontre as derivadas laterais em 1 se eistirem e determine se f é derivável em 1. { + se 4 (a) f() = 6 se > 4 1 = 4 (b) f() = 3 1 = 0 (c) f() = 1 = 0 (d) f() = 6 1 = 3 4. Sendo f() = ( 4 + 3) e g() = 1, sabe-se que para um determinado ponto 0, as tangentes aos gráficos de f e g são paralelas. Determine Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f() = 3 3 que passam pelo ponto (0,1). { 3 sen( 6. Considere a função f() = 1 ), >0; 0, =0.. Calcule pela definição f (0). 7. Determine o valor das constantes a e b de modo que a função f dada abaio seja derivável em todo número real. { f() = + a, <=; b ( 1), >. 3. Regras de Derivação As regras de derivação abaio não devem ser decoradas. A demonstração formal de algumas delas certamente será feita em sala pelo professor de cálculo. Que tal tentar demonstrar as restantes? É só usar a definição! Função Derivada Função Derivada y = c, c = cte y = 0 y = f(g()) y = f (g())g () y = n y = n n 1 y = a y = a ln a y = f() ± g() y = f () ± g () y = e y = e y = f()g() y = f ()g() + f()g () y = log a y = 1 ln a y = f() g() y = f ()g() f()g () (g()) y = ln y = 1 Eercício

33 Regra da Cadeia 33 Encontre a derivada da função dada aplicando as regras de derivação. (a) y() = (b) f() = 7 + (c) h(t) = 1 t t (d) s() = (e) y(t) = 4t 3 (f) g() = (g) f() = ( + ) (h) h(p) = p p 3 (i)g(t) = (t 4 1)(5t 3 + 6t) (j) g(w) = we w + ln(w)cos(w) 3.3 Regra da Cadeia Função Composta Imagine que uma indústria consiga vender tudo o que produzir. É claro que o lucro L da empresa depende de sua produção p. Ou seja, L é uma função de p (podemos escrever L(p)). Mas a produção, por sua vez, pode depender do tempo t durante o qual determinada máquina funciona. Isto é, p depende de t (escrevemos p(t)), e portanto, o lucro L também depende de t (escrevemos L(p(t))). Neste caso, o que temos é a composição das funções L e p. Queremos introduzir agora o tipo de função que modela situações como estas. Definição 1 A função dada por (fog)() = f(g()) é a composta de f com g. O domínio de fog é o conjunto de todos os valores de do domínio de g tais que g() está no domínio de f (Vide seção 1.). Eemplo: Epresse y = ( + 5) 8 sob forma de uma função composta. Suponha que, para um número real, queiramos calcular ( + 5) 8 usando uma calculadora. Primeiro calcularíamos + 5 e em seguida elevaríamos o resultado à potência 8. Isto sugere fazer u = + 5 e y = u 8, que é uma forma funcional composta para y = ( + 5) 8. Eercício Determine uma forma funcional composta para y: (a) y = ( + 3) 1 3 (b) y = (c) y = (sen ) 3

34 34 Derivadas Se y = f(u), u = g(), e as derivadas dy du e du d definida por y = f(g()) tem derivada dada por eistem, então a função composta Eercícios dy d = dy du du d = f (u)g () = f (g())g () 1. Dadas as funções f e g abaio, determine h() = (fog)() e os domínios de f, g e h. Calcule h () diretamente e usando a regra da cadeia. (a) f() = + e g() = (b) f() = 3 e g() = + 5 (c) f() = + 1 e g() = (d) f() = 1 e g() = (e) f() = + 1 e g() =. Use a regra da cadeia para derivar as funções: (a) f() = ( + ) (b) f() = ( + 1) t (c) f(t) = 4t + 1 (d) y = 1 s (e) h(t) = t t + 6t (f) g(s) = s4 3s + 1 (s + 3) 4 (g) f() = e e (h) f() = log + 6 (i) f() = 4 3 (j) f() = e 1 (k) g(w) = e w

35 Funções trigonométricas Funções trigonométricas A tabela abaio não deve ser decorada. A dedução das fórmulas abaio é simples e seu tutor pode te ajudar a entender o processo. No caso das funções trigonométricas, faça pelo menos os casos y = arcsen() e y = arctg() e os outros serão análogos. Os passos, no primeiro caso, são: aplique a função seno em ambos os lados, derive implicitamente em relação a, use uma importante identidade trigonométrica e pronto. Derivada de Funções Trigonométricas e Trigonométricas Inversas Função Derivada Função Derivada y = sen y = cos y = arcsen y 1 = 1 y = cos y = sen y = tan y = sec y = arccos y = 1 1 y = sec y = sec tan y = csc y = csc cot y = arctan y = y = cot y = csc Eemplo: Encontre a derivada de arcsen. Temos que a função seno, [ sen : π, π ] [ 1, 1] y = sen é inversível e sua inversa é definida por [ arcsen : [ 1, 1] π, π ] y = arcsen Calculemos então a derivada de y = arcsen. Como y = arcsen, segue que seny =. Derivando em relação a e lembrando que y depende de temos: y cos y = 1. Então y = 1 cos y. Mas cos y = 1 sen y = 1. Portanto y = ( arcsen ) 1 =. 1 Eercícios 1. Derive as funções:

36 36 Derivadas (a) f() = e sen3 (b) f() = cos (c) f() = ln csc cot (d) f() = tan (e) f() = 5 sec (f) f() = sen + cos cos (g) f() = (h) f() = 1 csc (i) f() = e +cos. Derive as funções trigonométricas inversas (a) f() = arctan (b) f() = arcsen (c) f() = arctan 1 (d) f() = arccos (e) f() = arcsec( + 1) (f) f() = arccos 1 (g) f() = ln arctan 3 (h) f() = arccsc + 4 (i) f() = arccos( ) 3.5 Derivação Implícita Dada a equação y = 3 5, costumamos dizer que y é uma função eplícita de, pois podemos escrever y = f() com f() = 3 5. A equação 6 y = 10 define a mesma função f, pois, resolvendo em relação a y, temos y = 10 6 ou y = 3 5. Para o caso 6 y = 10, dizemos que y é uma função implícita de, ou que f é definida implicitamente pela equação. O método da diferenciação implícita consiste em diferenciar cada termo da equação em relação a. Eercícios

37 Teoremas Suponha y uma função de. Derive implicitamente as seguintes equações. (a) 4 9y = 1 (b) 4y = y (c) y 3 + y = e 4 (d) ( + y) ( y) = 3 (e) 3 + y 3 = 8y (f) y = 4y (g) 4y + ln( y) = 7 (h) y = cos( y) (i) 5y + 3 = seny (j) y + y cos = 1 (k) y = (1 + ) e (l) cos y + ln( + y ) = (m) y = tgh( 3 ) + log (n) y = ( + cos ) (1+sen). Suponha que a equação + y = 1 defina, implicitamente, uma função diferenciável 8 tal que y = f(). Determine a equação da reta normal à curva dada em um ponto P dessa curva de abiscissa = 1, localizado no 4 quadrante. 3.6 Teoremas Teorema 1 (Teorema de Rolle) Se f : [a, b] R é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b) com f(a) = f(b), então eiste c em (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema (Teorema do Valor Médio) Se f : [a, b] R é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então eiste c em (a, b) tal que f f(b) f(a) (c) =. b a Eercícios 1. Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função f() = 3cos no intervalo [ π, 3π ] e ache um valor adequado de c que satisfaça a conclusão desse teorema.. Verifique que as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas pela função f() = ( ) no intervalo [0, 1] e ache um valor adequado de c que satisfaça a conclusão desse 3 teorema. 3. Mostre que:

38 38 Derivadas (a) sen, para todo 1 (b) ln <, para todo 1 (c), para todo 1 (d) < tg, para [0, π ) (e), para todo 1 (f) tg 1 π 4, para todo π 4

39 Capítulo 4 Construção de Gráficos 4.1 Funções Crescentes e Funções Decrescentes Definição Seja f uma função definida num intervalo I, e sejam 1 e números em I (i) f é crescente em I se f( 1 ) < f( ) quando 1 < ; (ii) f é decrescente em I se f( 1 ) > f( ) quando 1 < ; (iii) f é constante em I se f( 1 ) = f( ) para todos 1 e. f (a)>0 f (c) f (d)<0 f (b)=0 f (e)=0 O a b c d e g h Figura 4.1: Relação entre uma curva e sua derivada. Observe, na figura 4.1 acima, que quando a declividade da reta tangente ao gráfico de f é positiva, a função é crescente. Quando a declividade da reta tangente é negativa, a função é decrescente. Isso é formalizado no teorema abaio: Teorema 3 Seja f uma função diferenciável no intervalo (a, b). (i) Se f () > 0 para todo em (a, b), f é crescente em (a, b). (ii) Se f () < 0 para todo em (a, b), f é decrescente em (a, b). (iii) Se f () = 0 para todo em (a, b), f é constante em (a, b). 39

40 40 Construção de Gráficos Definição 4 Se f é definida em c e f (c) = 0 ou se f não é definida em c, então c é um ponto crítico de f. Suponhamos que tivéssemos que determinar os intervalos em que a função contínua f é crescente e decrescente. Para tanto, poderíamos levar em consideração os pontos críticos de f. Diretrizes para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função: 1. Achar a derivada de f.. Determinar os pontos críticos de f e utilizá-los para estabelecer os intervalos de teste. 3. Testar o sinal de f () para um valor arbitrário em cada um dos intervalos de teste. 4. Estudar o sinal de f () para decidir se f é crescente ou decrescente em cada intervalo. Obs.: Devemos tomar cuidado com os pontos onde a função é descontínua. Eercícios 1. Encontre os pontos críticos e os intervalos abertos onde a função é crescente ou decrescente. a) f() = ( 1) b) f() = 4 c) f() = cos() + sen(); com (0, π) d) f() = Etremos de Funções Os pontos em que uma função passa de crescente para decrescente, ou vice-versa são chamados de etremos relativos da função, que podem ser mínimos relativos ou máimos relativos. Definição 5 Seja f uma função definida num intervalo I tal que c I. (i) f(c) é um valor máimo relativo de f se eiste um intervalo (a, b) I contendo c tal que f() f(c) para todo em (a, b). Neste caso, c é dito ponto de máimo relativo de f. (ii) f(c) é um valor mínimo relativo de f se eiste um intervalo (a, b) I contendo c tal que f() f(c) para todo em (a, b). Neste caso, c é dito ponto de mínimo relativo de f. Teorema 6 Se f tem um etremo relativo em um ponto c em um intervalo aberto, então c é um ponto crítico de f, isto é, ou f (c) = 0 ou f (c) não é definida.

41 Teste da Concavidade 41 Definição 7 Seja f uma função definida num intervalo I tal que c I. (i) f(c) é um valor máimo absoluto de f se f() f(c) para todo em I. (ii) f(c) é um valor mínimo absoluto de f se f() f(c) para todo em I. Eercício Determine os etremos relativos e absolutos da função f() = 1 em cada intervalo. a) [0, 5] b) (0, 4) c) (0, ) d) [, 5] 4..1 Teste da Derivada Primeira para Etremos Relativos Seja c um ponto crítico de f, e suponhamos f contínua em c e diferenciável em um intervalo aberto I contendo c, eceto possivelmente no próprio c. 1. Se f () passa de positiva para negativa em c, então f(c) é valor máimo relativo de f.. Se f () passa de negativa para positiva em c, então f(c) é valor mínimo relativo de f. 3. Se f () tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de = c no intervalo I, então f(c) não é etremo relativo de f. Eercícios 1. Determine os etremos relativos de f, os etremos absolutos de f e os intervalos em que f é crescente ou decrescente, utilizando o teste da derivada primeira. a) b) 3 c) f() = 16 d) tan() sec(); com ( π, 4 4. Encontre a, b, c e d tal que a função f() = a 3 + b + c + d tenha etremos relativos em (1, ) e (, 3). 3. Encontre a, b e c, tal que a função f() = a + b + c tenha um valor máimo relativo y = 7 em = 1 e o gráfico de y = f() passe pelo ponto (, ). 4.3 Teste da Concavidade Definição 8 Seja uma função f diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é (i) côncavo para cima em I se f é crescente em I. (ii) côncavo para baio em I se f é decrescente em I.

42 4 Construção de Gráficos Teste da Concavidade: Se a derivada segunda f de f eiste em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é (i) côncavo para cima em I se f () > 0 em I. (ii) côncavo para baio em I se f () < 0 em I. Definição 9 Um ponto (c, f(c)) do gráfico de f é um ponto de infleão se são verificadas as duas condições: (i) f é contínua em c. (ii) Eiste um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em (a, c) e côncavo para baio em (c, b), ou vice-versa. Observação: Se (c, f(c)) é um ponto de infleão do gráfico de f, então ou f () = 0 ou f () não eiste. Eercícios 1. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baio. a) f() = + 4 b) f() = 9 c) f() = 3 d) f() = 1 sen(); com (0, π). Determine os pontos de infleão, se eistirem, para as funções do eercício anterior. 3. Considerando a primeira figura deste capítulo, determine os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baio. 4. Considerando o gráfico de f na figura 4. abaio determine os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baio. O a b c d Figura 4.: Eercício Teste da Derivada Segunda para Etremos Relativos Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c tal que f (c) = Se f (c) > 0, então f(c) é mínimo relativo em c.

43 Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas 43. Se f (c) < 0, então f(c) é máimo relativo em c. Eercícios 1. Encontre os etremos relativos, usando o teste da derivada segunda, para as seguintes funções: a) f() = + 4 b) f() = 9 c) f() = 3 d) f() = 1 sen(); com (0, π) 4.4 Assíntotas Verticais, Horizontais e Oblíquas Definição 10 A reta = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas for verdadeira: (i) lim a +f() = + (ii) lim a +f() = (iii) lim a f() = + (iv) lim a f() = Definição 11 A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida: (i) f() = b e para um número N, se > N, então f() b; (ii) lim + lim f() = b e para um número N, se < N, então f() b. Definição 1 A reta y = a + b é denominada assíntota inclinada (ou oblíqua), onde a e b são dados por a = f() lim ± b = lim (f() a ), ± desde que os limites eistam. Eercícios Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função. 4 3 a) f() = b) f() = 4 + 1

44 44 Construção de Gráficos 4.5 Esboço de Gráficos Para obter um esboço do gráfico de uma função f, você deverá aplicar as propriedades já discutidas e proceder da seguinte forma: 1. Achar o domínio de f.. Determinar se f é contínua em seu domínio e, caso contrário, achar e classificar as descontinuidades. 3. Calcular os interceptos e y. Os interceptos- são as soluções da equação f() = 0; o intercepto-y é o valor f(0) da função, se eistir. 4. Testar a simetria em relação ao eio-y e a origem. Se f é uma função par, o seu gráfico é simétrico em relação ao eio-y. Se f é uma função ímpar, o seu gráfico é simétrico em relação à origem. 5. Calcular f () e determinar os pontos críticos de f, isto é, os valores de tais que f () = 0 ou f () não eiste. Use o teste da derivada primeira para auiliar na pesquisa dos etremos relativos. Utilize o sinal de f () para achar intervalos em que f é crescente (f () > 0) ou decrescente (f () < 0). 6. Determinar f () e usar o teste da derivada segunda sempre que adequado. Quando f () > 0 em um intervalo I, o gráfico é côncavo para cima. Quando f () < 0 o gráfico é côncavo para baio. Se f é contínua em c e se f () muda de sinal em c, então (c, f(c)) é um ponto de infleão. 7. Verificar a eistência de possíveis assíntotas. Eercícios 1. Esboce os gráficos das funções seguintes usando as diretrizes acima. a) f() = 3 9 b) f() = 9 c) f() = ep d) f() = Leve em conta as informações abaio e o gráfico da derivada f de uma função f na figura 4.3 para resolver esta questão. (i) f(0) = 1, f( 1) = f(1) = 0 8 (ii) lim f() = lim f() = 1 + (iii) lim +f() = e lim f() = + (iv) lim +f() = + e lim f() =

45 Esboço de Gráficos 45 f -4-4 Figura 4.3: Eercício a) Determine os pontos críticos de f. b) Determine o(s) intervalo(s) em que f é crescente e decrescente. c) Determine o(s) etremo(s) relativo(s) de f. d) Determine o(s) intervalo(s) em que f é côncava para cima ou para baio. e) Determine o(s) ponto(s) de infleão do gráfico de f, se eistirem. 3. Considere a função f() = 3 3. (a) Analise o crescimento; (b) Ache os pontos críticos e classifique-os; (c) Analise a concavidade; (d) Esboce o gráfico.

46 Capítulo 5 Aplicações de Derivada 5.1 Taas de Variação Aprendemos que a derivada de f é a função que a cada de seu domínio associa a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, f()). Apresentaremos agora, um novo conceito: a derivada de f é uma função que dá a taa de variação de f() em relação a no ponto (, f()). Eistem inúmeras aplicações de taas de variação na vida real: velocidade, aceleração, taas de crescimento populacional, taas de desemprego, taas de produção, taas de fluo de água,... Eercícios 1. (Eficácia de um remédio) A eficácia E de um remédio (em uma escala de 0 a 1) de um analgésico t horas após penetrar na corrente sanguínea é dada por E = 1 7 (9t + 3t t 3 ), 0 4, 5. Determine a taa de variação da eficácia E quando: (a) t = 0 (b) t = 1 (c) t = 3. (Congelamento) A 0 o Celsius, a perda H de calor (em quilocalorias por metro quadrado por hora) do corpo de uma pessoa pode ser dada por H = 33(10 v v + 10, 45), onde v é a velocidade do vento (em metros por segundo). Ache a taa de variação de H quando: (a) v = e (b) v = 5 3. (Velocidade) Deduza a equação da velocidade instantânea de um objeto cuja posição s (em metros) é s(t) = t + t, onde t é o tempo (em segundos). 4. O Modelo de Ebbinghaus para a memória humana é p(t) = (100 a)e bt + a, onde p é a percentagem retida após t semanas - as constantes a e b variam de uma pessoa para outra. Se a = 0 e b = 0, 5, qual a taa de retenção de informações após: (a) 1 semana e (b) 3 semanas 5. (Química) Os isótopos radioativos de einstenium têm uma meia-vida de 76 dias. Se 1 grama de isótopos está presente em um objeto agora, a quantidade A (em gramas) 46

47 Taas Relacionadas 47 presente após t dias é A(t) = 0, 5 t/76. A que taa a quantidade A está variando quando t = 500 dias? 5. Taas Relacionadas Suponha que duas variáveis e y sejam funções de outra variável t, (t) = f(t) e y(t) = g(t). Podemos interpretar as derivadas d dt e dy como as taas de variação de e dt y em relação a t. Em certas aplicações, e y podem estar relacionadas por uma equação, neste caso as derivadas d dt e dy são chamadas taas relacionadas. dt Diretrizes para resolver problemas de taas relacionadas: Faça uma figura, se isto for possível. Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem de t. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação a t. Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa anterior. Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa anterior e resolva em termos da quantidade desejada. Eercícios 1. Nos eercícios a seguir admita que todas as variáveis sejam funções de t. (a) Se A = e d dt = 3, determine da dt (b) Se y = 10 e dy dt (c) Se 3 y + = 3 e dy dt (d) Se y 4y = 44 e d quando = 5. = 3 quando = e y = 1, determine d dt. = 4 quando = e y = -3, determine d dt. = 5 quando = 3 e y =, determine dy dt. dt (e) Uma pessoa parte do ponto A em direção sul a 4m/s. Um minuto depois, outra pessoa parte de A em direção oeste a 3m/s. A que taa está variando a distância entre elas 1min após a partida da segunda pessoa?

48 48 Aplicações de Derivada (f) Joga-se uma pedra em um lago, produzindo ondas circulares cujos raios aumentam a uma razão constante de 0,5m/seg. A que taa está aumentando a circunferência da uma onda quando o raio é de 4m? (g) Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo? (h) Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60km/h. Qual a taa segundo a qual eles se aproimam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0,km do cruzamento e o segundo a 0,15km? (i) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 1m/min. Determine a taa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 0m. (j) Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taa de 10m 3 /min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura? (k) Suponha que os comprimentos dos segmentos OA e OB sejam, respectivamente, 5cm e 3 cm. Suponha, ainda, que θ esteja variando a uma taa de 1 rad/s. Determine a velocidade de A quando θ = π rad. (l) O café escoa de um filtro cônico de 10cm de raio e 10cm de altura para uma cafeteira cilíndrica de 10 cm de raio e 15 cm de altura a uma taa de 0cm 3 /s. A que taa o nível no filtro diminuirá quando o café no filtro estiver a 6cm de altura? A que taa o nível na cafeteira aumentará nesse momento? (m) O lado de um triângulo está crescendo a cm/s e o lado y a 3cm/s. Suponha que θ, o ângulo formado pelos lados e y, decresça de tal modo que a área de 4cm do triângulo permaneça constante. A que velocidade está diminuindo θ quando = y = 4? (n) Uma fonte de luz move-se a 3 pés/s e se aproima de um homem de 6 pés de altura a 1 pés de uma parede vertical. A luz está a 3 pés acima do nível do chão. A que velocidade está se movendo o etremo superior da sombra do homem sobre a parede quando a luz estiver a 4 pés da parede? 5.3 Problemas de Otimização Em aplicações, uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de alguma função. Por eemplo, a função T pode representar a temperatura de um objeto num instante t. Se T é diferenciável, então a derivada T pode ser útil na pesquisa de máimos e mínimos de T. A tarefa de determinar esses valores constitui um problema de otimização. Um resultado importante para trabalharmos com esse tipo de problema é o seguinte:

49 Problemas de Otimização 49 Teorema 13 (Weierstrass) Se f é uma função contínua no intervalo [a, b] então f possui um valor máimo e um valor mínimo em [a, b], ou seja, eistem 1 e pertencentes ao intervalo [a, b] tal que f( 1 ) = m, f( ) = M e m f() M, para todo [a, b]. M m a 1 b Figura 5.1: Figura ilustrativa do teorema de Weierstrass Diretrizes para a resolução de problemas de otimização 1. Ler cuidadosamente o problema algumas vezes, refletindo sobre os fatos descritos e as quantidades desconhecidas a serem determinadas.. Sempre que possível, esboçar um diagrama e rotulá-lo adequadamente, introduzindo variáveis para representar as quantidades desconhecidas. 3. Registrar os fatos conhecidos juntamente com quaisquer relações envolvendo as variáveis. 4. Determinar qual variável deve ser maimizada ou minimizada, e epressar esta variável como função, f, de uma das outras variáveis. 5. Determinar o domínio e os pontos críticos da função, f, obtida no passo Determinar os etremos da função f da seguinte forma: (i) se o domínio for um intervalo aberto, utilizar os testes de derivadas primeira ou segunda. (ii) se o domínio for um intervalo fechado e f for contínua neste intervalo, verificar o valor de f nos pontos etremos do domínio e nos pontos críticos o maior (menor) valor assumido será o máimo(mínimo). Eemplo: Deve-se construir uma caia de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 5 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do quadrado que permite construir uma caia com volume máimo. (Desprezar a espessura da cartolina).

50 50 Aplicações de Derivada Solução: 1) Ler o problema ao menos uma vez mais. ) Fazer um esboço da caia como na figura 5. abaio, introduzindo uma variável para denotar o lado do quadrado a ser cortado de cada canto. Figura 5.: Eemplo. 3) Dobrando-se a cartolina, a base da caia obtida terá dimensões 5 e 40. 4) A quantidade a ser maimizada é o volume V da caia. Com base na figura 5. acima, epressamos V como função de : V () = (40 )(5 ) = 4( ) 5) Para determinar o domínio de V, basta analisar as restrições do problema: as dimensões, 5 e 40, bem como o volume, V, da caia devem ser não negativos, isto é: 0 e (5 ) 0 e (40 ) 0 e (40 )(5 ) 0 Daí, resulta D(V ) = [0, 0]. E para encontrar os pontos críticos da função, diferenciamos V em relação a : V () = 4( ) Fazendo V = 0, obtemos as raízes(aproimadas) 3, 19 e 7, 47, que são possíveis pontos críticos. Como 3, 19 está fora do domínio da função volume V, o ponto crítico é 7, 47. 6) Uma vez que V possui como domínio o intervalo fechado [0, 0] e é continua neste intervalo, basta calcularmos os valores que V assume nos etremos do domínio e nos pontos críticos o maior valor será o máimo e o menor, o mínimo: os pontos = 0 e = 0 dão o valor mínimo V (0) = V (0) = 0, já para o ponto crítico = 7, 47, obtemos V = 15, 537cm 3, que é o valor máimo. Eercícios

51 Problemas de Otimização Resolva os seguintes problemas : (a) Um fazendeiro tem 00m de cerca para construir três lados de um cercado retangular. Um muro longo e retilíneo servirá como o quarto lado. Que dimensões maimizarão a área do cercado? (b) Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com eceção do lado ao longo rio. O custo do material é de R$1 por metro linear no lado paralelo ao rio e R$8 por metro linear nos dois etremos. Ache a maior área possível do campo que possa ser cercado com um custo de R$3600 de material. (c) Sendo 583 cm 3 o volume de um reservatório de base quadrada, R$ 3,00 por cm o preço do material da tampa e da base e R$ 1,50 por cm o valor do material para os lados, calcule as dimensões desse reservatório de modo que o custo total do material seja mínimo. (d) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375πcm 3. O custo do material usado para base do recipiente é de 15 centavos por cm e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material. (e) Numa determinada vila, a taa segundo a qual um boato se espalha é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que ouviram o boato e ao número de pessoas que não ouviram. Mostre que o boato será espalhado com velocidade máima, quando a metade da população já o escutou. (f) Para um pacote ser aceito por um determinado serviço de entrega de encomendas, a soma do comprimento e do perímetro da seção transversal não deve ser maior que 100cm. Se um pacote tiver o formato de uma caia retangular com uma seção quadrada, ache as dimensões do pacote, tendo o maior volume possível, que possa ser despachado. (g) Uma pessoa se acha em um bote a km de distância do ponto mais próimo em uma praia retilínea, e deseja atingir uma casa a 6km praia abaio. Se a pessoa pode remar à razão de 3km/h e andar à razão de 5km/h, determine o tempo mínimo que a pessoa levará para atingir a casa. (h) Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30m 3, teto plano e base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo do material, por m, é de R$36.000,00 para o chão, R$04.000,00 para os lados e R$10.000,00 para o teto. Que dimensões minimizarão o custo? (i) Corta-se em duas partes um pedaço de arame de 100 cm. Com um pedaço forma-se um círculo, e com o outro, um quadrado. Onde se deve cortar o arame original para maimizar a soma das áreas do quadrado e do círculo? E para minimizar essa soma? (j) Um cone circular reto deve ser inscrito numa esfera com um raio dado. Ache a razão entre a altura e o raio da base do cone de maior volume possível.

52 5 Aplicações de Derivada (k) De um ponto A situado numa das margens de um rio de 100 m de largura, deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa R$5,00 o metro, e o que será utilizado fora, R$3,00 o metro. Como deverá ser feita a ligação para que os gastos com o fio seja o menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas.)

53 Capítulo 6 Antiderivadas 6.1 Introdução Até aqui nossa atenção esteve voltada essencialmente para o seguinte problema: dada uma função, achar a sua derivada. Muitas aplicações importantes do Cálculo envolvem o problema inverso: determinar uma função, dada sua derivada. Esta operação, que consiste em determinar a função original a partir de sua derivada, é chamada antidiferenciação ou integração. Como estas operações são inversas, algumas aplicações da integração são imediatas. Por eemplo, a integração de uma função aceleração gera uma função velocidade. A integração pode ser utilizada para achar a área de uma região, o valor médio de uma função ou o volume de um sólido. Definição 14 Uma função F é uma antiderivada de uma função f se, para todo no domínio de f, temos F () = f(). Se F () é uma antiderivada de f(), então F () + C também o é, onde C é uma constante arbitrária. Assim, o processo de antidiferenciação não define uma única função, e sim uma família de funções que diferem entre si por uma constante. Notação: O símbolo denota a operação de antidiferenciação e escrevemos f()d = F () + C, onde f() é o integrando e C é a constante de integração. A diferencial d na equação acima identifica a variável de integração. Ou seja, o símbolo f()d denota a antiderivada de f em relação a (ou integral indefinida de f em relação a ). Eercícios 1. Verifique se F 1 () =, F () = 1 e F 3 () = ( 1) são antiderivadas de f() =. Faça o gráfico de F 1, F e F 3 no mesmo plano coordenado. Como se relacionam estes gráficos? Que podemos dizer sobre o gráfico de qualquer outra antiderivada de f? 53

54 54 Antiderivadas. Utilize as regras básicas de integração para resolver a integral indefinida e verifique o resultado por diferenciação. (a) 1d (d) 3 d (g) sec u tgu du (j) (4 + 4tg v)dv 5 (b) 1 dt (e) [sen(t) + cos(t)]dt (h) ( )d (k) t +dt t t (c) e t dt (f) 3 1 d (i) 3 1 d (l) 1 dz sen z 3. Resolva os problemas seguintes utilizando seus conhecimentos de derivação e integração. (a) (Movimento Vertical) Joga-se uma bola para cima, de uma altura inicial de 80 m, com uma velocidade inicial de 64 m/s. Deduza a função que dê a altura h (em metros) como função do tempo t (em segundos). Em que instante a bola atinge o solo? (Considere a gravidade g = 10 m/s ). (b) (Consumo de Gás Natural) O consumo S (em quatrilhões de m 3 ) de gás natural aumentou consistentemente entre 1986 e 199. A taa de aumento admite como modelo ds = 0, dt 175t +0, 4t+0, 81, com 0 t 6 onde t = 0 representa Em 1986, o consumo foi de 16,7 quatrilhões de m 3. Estabeleça um modelo para o consumo de 1986 a 199 e determine o consumo em 199. (c) (Custo) O Custo Marginal* da fabricação de unidades de um produto tem como modelo dc = 3 0, 04. A produção de uma unidade custa R$ 50,00. d Ache o custo total da produção de 00 unidades. *Custo Marginal é a taa de variação do custo em relação ao número de unidades produzidas ou vendidas. 6. Métodos de Integração 6..1 Integração por substituição ou mudança de variável Esta técnica utiliza a Regra da Cadeia para a Antidiferenciação. Considere a integral indefinida f(g())[g ()d]. Fazendo u = g() e, conseqüentemente, du = g ()d, fazemos as substituições e obtemos: f(g())[g ()d] = f(u)du = F (u) + C = F (g()) + C. Esta técnica só é possível se o integrando for do tipo f(g())g (), ou seja, deve conter uma função composta e a derivada da função interna da composta. Pode ser necessária a introdução de constantes no integrando a fim de ajustá-lo para que esteja na forma f(g())g (). Quando fazemos uma substituição, o objetivo é obter um integrando f(u) que é facilmente integrado através das regras básicas de integração.

55 Métodos de Integração 55 Diretrizes para a integração por substituição: 1. Analisar o integrando e decidir se é possível obter uma função u = g(), dependendo de, conveniente.. Derivar a função u em relação a e destacar o diferencial du. 3. Fazer os ajustes necessários no integrando para proceder a substituição. 4. Escrever todo o integrando em função da variável u e procurar adaptá-lo a uma ou mais regras básicas de integração. Se nenhuma se ajustar, tentar outra substituição. 5. Após efetuar a integração, escrever a antiderivada como função de. Eemplo: Para calcular a integral indefinida + 1d, considere a seguinte substituição u = 1. Assim du =, ou seja, du = d. Para d fazer com que d faça parte do integrando, sem alterá-lo, multiplicamos e dividimos por como segue: + 1d = d = 1 u 1 1 u 3 du = 3 + C = 1 3 ( 1) 3 + C. Eercícios 1. Identifique f(g())g () no integrando, faça a substituição u = g() e reescreva a integral em termos de u e du. Depois calcule as integrais indefinidas a partir das integrais obtidas após a substituição. 1 (a) 1 3d (b) e d (c) e (d) d (e) 1 e4 3 + d (f) t 1 dt ln t t dt. Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de mudança de variáveis (a) d (b) d (c) d 3t (d) d (e) ( + 1) dt (f) 1 d 1 t 3. Determine as integrais indefinidas. (a) tg sec d (b) (sen + cos ) d (c) 7 d csc (d) sen() d (e) e cos send

56 56 Antiderivadas 6.. Integração de potências de funções trigonométricas Convém relembrar as seguintes relações trigonométricas: (a) sen + cos = 1 (b) sen = sen cos (c) cos = cos sen (d) sec = 1 + tg (e) sen = 1(1 cos ) (f) cos = 1 (1 + cos ) Diretrizes para calcular sen n d : 1. Se n é um número inteiro positivo ímpar, fazemos sen n d = sen n 1 send Como o inteiro n 1 é par, podemos utilizar a identidade sen = 1 cos para chegar a uma fórmula fácil de integrar.. Se n é um inteiro positivo par, aplicamos sen = 1 (1 cos ), fórmula de ângulometade, para simplificar o integrando. A fórmula de ângulo-metade sen = 1 (1 cos ) pode ser obtida da seguinte maneira: De sen + cos = 1 obtemos cos = 1 sen. Sabemos que cos = cos sen. Daí, temos que cos = (1 sen ) sen. Portanto, sen = 1 (1 cos ). Diretrizes para calcular cos n d: 1. Se n é um número inteiro positivo ímpar, fazemos cos n d = cos n 1 cos d Como o inteiro n 1 é par, podemos utilizar a identidade cos = 1 sen para chegar a uma fórmula fácil de integrar.. Se n é um inteiro positivo par, aplicamos a fórmula cos = 1 (1 + cos ), ângulometade, para simplificar o integrando. Já a fórmula de ângulo-metade cos = 1 (1 + cos ) pode ser obtida da seguinte maneira: De sen + cos = 1 obtemos sen = 1 cos. Sabendo que cos = cos sen, temos cos = cos (1 cos ). Assim, cos = 1 (1 + cos ). Eercício Calcule as integrais indefinidas. (a) sen 3 d (b) sen 4 d (c) cos 4 d (d) cos 3 d

57 Métodos de Integração Integração por Partes Se duas funções f e g deriváveis, então D [f()g()] = f()g () + g()f () ou ainda, f()g () = D [f()g()] g()f (). Integrando ambos om membros, teremos, f()g ()d = D [f()g()]d g()f ()d f()g ()d = f()g() g()f ()d Esta equação denominamos integração por partes, uma fórmula alternativa é utilizada quando tomamos u = f() e v = g(), e daí obtemos, du = f ()d e dv = g ()d. Portanto, udv = uv vdu Observações: 1. Para os casos onde se desejar aplicar a técnica de intergração por partes, ao se escolher a função de substituição para u, o restante do integrando obrigatóriamente será designado como dv.. Devemos ter em mente que ao escolhermos u, precisamos encontrar a sua derivada du, por outro lado, para encontrarmos v precisaremos integrar dv. Logo é viável escolher para dv termos que saibamos integrar, pois independente de qual seja u haverá uma regra para derivá-lo. Eemplo: Desejamos calcular cos d. Neste caso conhecemos tanto a derivada quanto a integral dos membros do produto, todavia se integramos o polinômio dado neste caso por, estaremos aumentando o seu grau do polinômio e conseqüentemente a compleidade de nosso problema, isso portanto sugere: Assim, u = e dv = cos d du = d e v = sen. cos d = sen send e por fim,

58 58 Antiderivadas Eemplo: Desejamos calcular cos d = sen + cos + C e send. Neste eemplo se adotarmos u = e e dv = send, teremos du = e d e v = cos, por outro lado se adotarmos u = sen e dv = e d, teremos v = cos e v = e, ou seja, independente do que escolhermos o resultado será semelhante. Neste caso adotaremos a primeira escolha, daí teremos: e send = e ( cos ) ( cos )e d e send = e cos + e cos d Esta última se assemelha a inicial, porém em termo de cosseno, logo devemos aplicar integração por partes novamente. Escolhendo u = e e dv = cos, teremos du = e d e v = sen, logo, e send = e cos + (e sen e send) Porém o último termo foi o nosso ponto de partida, portanto podemos fazer, e send = e sen e cos E finalmente, e send = 1 e (sen cos ) + C Observação: Caso fizemos a seguinte escolha u = cos e dv = e d, teríamos du = send e v = e, e no final encontraríamos a identidade, e send = e send. Verifique! Eercício Resolva as integrais a seguir utilizando a técnica de integração por partes. (a) e 3 d (b) ln d (c) arctan d (d) sec d

59 Métodos de Integração 59 (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) cos d sen ln(cos )d e cos d sec 3 d sen ln d ( + 3) 99 d e ( + 1) d 6..4 Integração por Frações Parciais Nesta seção estamos interessados em calcular integrais do tipo P () Q() d, onde P () e Q() são polinômios. Se o grau do numerador for maior do que o grau do denominador, temos uma fração imprópria, e, nesse caso, dividimos o numerador pelo denominador até obter uma fração própria, isto é, uma fração cujo grau do numerador seja menor do que o grau do denominador. Por eemplo, = Em geral é necessário escrever o quociente P ()/Q() como a soma de frações parciais. Os denominadores das frações parciais são obtido por meio da fatoração de Q() em produtos lineares de primeira e segunda ordem, sendo que os de segunda ordem não apresentam raízes reais. Após fatorar Q() num produto de fatores, o método de determinar as frações irá depender da natureza dos fatores. Caso 1: Os fatores de Q() são todos lineares e nenhum é repetido. Ou seja, Podemos escrever, Q() = (a 1 + b 1 )(a + b )...(a n + b n ) P () Q() = A 1 a 1 + b 1 + A a + b Onde A 1, A,..., A n são constante a definir. A n a n + b n

60 60 Antiderivadas 1 Eemplo: Desejamos calcular 4 d. Fatorando o denominador, teremos o seguinte produto notável, 1 4 = 1 ( )( + ) Assim, fazemos a separação em frações parciais, 1 4 A ( ) + B ( + ) Temos portanto, a partir do mínimo comum, a identidade a seguir, 1 = A( + ) + B( ) Para encontramos os valores das constantes faremos as seguintes suposições. Primeiro, vamos adotar =, pois assim teremos, Posteriormente, faremos =, e teremos, 1 = A( + ) + B( ) A = = A( + ) + B( ) B = 1 4. Substituindo os valores das constantes na fração parcial teremos, = 4 ( ) ( + ). Assim a integral dada pode ser representada da seguinte forma: 1 4 d = d d = 1 4 ln 1 ln + + C 4 = 1 4 ln + + C Caso : Os fatores de Q() apresentam algumas raízes repetidas, mas são lineares. Suponha que o fator linear (a i + b i ) se repita por p vezes. Então este fator será representado por: A 1 (a i + b i ) p + A (a i + b i ) p A p 1 (a i + b i ) + A p (a i + b i )

61 Métodos de Integração 61 Eemplo: Desejamos calcular a integral a seguir: d 3 A fração do integrando pode ser escrita pela fração parcial a seguir: = ( 1) Através do mínimo comum teremos: A + B + C = A( 1) + B( 1) + C Seguindo o raciocínio do eemplo anterior, vamos assumir = 0, Para = 1, teremos, 1 = B( 1) B = = C C = 3 Por não ter um valor real que eplicite o termo em A, adotaremos um valor qualquer como, por eemplo, = 1, daí, = A( 1)( ) + B( ) + C 5 = A ( 1) + 3 A = 0 Assim, podemos representar nossa integral como, d = 3 d d = ln 1 + C Caso 3: Os fatores de Q() são lineares e quadrática, porém os fatores quadrático não possuem termos repetidos. Para os fatores quadráticos temos uma fração parcial na forma: A + B a + b + c. + 1 Eemplo: Calcular 3 + d. Vamos desmembrar o integrando em em frações parciais: Através do mínimo comum temos: A + B + C = A( + 1) + (B + C)

62 6 Antiderivadas Adotando = 0, teremos que A = 1. Agora para encontrar o valor das demais constantes adotaremos = 1 e = 1. Primeiramente, vamos obter = + B + C B + C = 0, e depois, 0 = + B C B C = Por fim tem-se que B = 1 e C = 1 e, assim, poderemos escrever: d = d = d d + 1 d 1) + C Nota: Para calcular a integral u = + 1 teremos du = ln + arctan 1 ln C = ln + arctan 1 ln( + = d. Logo d utilizamos substituição simples. Tomando + 1 Eercícios 1 du u = 1 ln u = 1 ln( + 1) + C. Calcule as seguintes integrais indefinidas: 5 (a) 4 d t + t + 1 (b) (t + 1)(t + 1) d 1 (c) ( + 1) d (d) ( 4) d (e) d (f) 4 1 d 1 (g) d 6 1 (h) d 4 3 e 3 (i) (e + 1)(e + 1) d

63 Métodos de Integração 63 1 (j) d 4 (k) 3 4 d (l) ( + 3)( + 3) d 1 (m) d 1 (n) d 6..5 Integração por Substituição Trigonométrica Vamos aprender agora uma poderosa técnica de integração que nos auiliará a resolver integrais que contenham em seu integrando as seguintes epressões: a u, a + u e u a, essa técnica se chama substituição trigonométrica. As substituições trigonométricas nos permitem substituir os binômios a +, a e a pelo quadrado de um único termo e, portanto, transformar várias integrais que contém raízes quadradas em integrais que podemos calcular diretamente. Para efeito de simplificação vamos considerar cada forma como um caso separado. Para fazer uma escolha adequada da substituição que utilizaremos podemos proceder de duas formas: Para efeito de visualização, imagine que queremos resolver uma integral com a forma a d 1) Podemos olhar para o famoso teorema de Pitágoras que diz h = co + ca, onde h é a hipotenusa, co é o cateto oposto e ca é o cateto adjacente de um triângulo retângulo. E reescrevê-lo na forma que comparando com ca = h co a nos induz a identificar h a e co, e da figura 6.1 vemos que senθ = a = a senθ. ) O segundo método consiste em identificar a semelhança do integrando com uma das formas abaio: Para todo θ IR, tem-se

64 64 Antiderivadas Figura 6.1: Figura ilustrativa para auiliar na escolha da substituição trigonométrica sen θ + cos θ = 1 { cos θ = 1 sen θ sen θ = 1 cos θ (6.1) tan θ + 1 = sec θ tan θ = sec θ 1 (6.) Nosso integrando tem a forma a que pode ser escrita como [ ( ) ] u a 1 a que comparando com (6.1) e (6.) vemos que é razoável identificar u a com senθ ou seja u = a senθ, que é a mesma substituição que havíamos chegado no primeiro método. Comparando a última epressão com (6.1) e (6.) a única substituição possível é a que escolhemos? Então, para resolver a integral vamos tentar a seguinte mudança de variável = a senθ d = a cosθ dθ daí a d = a = asen θ cos a cosθ dθ = a θ cosθ dθ = a cosθ cosθ dθ (6.3) Você consegue justificar porque em (6.3) as três últimas passagens são verdadeiras? a.b = a b e a = a é sempre verdadeiro? Note que na última integral temos cosθ. Como faremos para resolvê-lo? Vamos analisar com bastante cuidado o intervalo onde θ varia, pois é isso que nos dará a resposta de como ficará esse módulo.

65 Métodos de Integração 65 Olhando para a figura 1 parece bastante óbvio que θ está entre 0 < θ < π, mas cuidado! É importante ter em mente que a figura 1 é apenas um desenho que foi feito somente com o intuito de nos auiliar na escolha da substituição mais propícia para resolver nossa integral. O que eu quero dizer é o seguinte: a figura 1 poderia ter sido feita em qualquer quadrante que chegaríamos ao mesmo resultado em (6.3), no entanto, o intervalo onde θ varia será diferente para cada quadrante, e consequentemente cosθ também poderá ser diferente. Como escolheremos o intervalo onde θ varia então? É importante ter em mente que queremos que toda substituição que usarmos em uma integração seja reversível de maneira que possamos voltar para a variável original posteriormente. Por eemplo, se = a tgθ, queremos poder estabelecer que θ = arctg a após a integração ter ocorrido. Se = a senθ, queremos poder estabelecer que θ = arcsen a no final, o mesmo valendo para as demais substituições trigonométricas. Para garantir a reversibilidade temos que: = a tgθ eige θ = arctg a com π < θ < π = a senθ eige θ = arcsen a com π θ π = { 0 θ < π se a 1 a secθ eige θ = arcsec a com π < θ π se a 1 Como ficam esses intervalos para as outras substituições? Esses intervalos são os únicos possíveis? Com isso, vemos que em nosso problema inicial θ varia de π < θ < π e como = a senθ devemos pegar 0 < θ π π se > 0 e θ < 0 se < 0. Senda assim, podemos concluir com segurança que cosθ = cosθ. Caso 1 O integrando contém uma epressão da forma a u. Vamos introduzir uma nova variável θ tomando u = a senθ, onde 0 θ π se u 0 e π u 0. Então du = a cosθ dθ, e a u = a asen θ a(1 sen θ) = a cos θ como π θ π, cosθ 0. Então cos θ = cosθ, e a u = a cosθ como senθ = u a e π θ π, θ = sen 1 u a. Eemplo 1 Calcule 5 d

66 66 Antiderivadas Solução: Seja = 5 senθ, onde 0 < θ π d = 5 cosθ dθ e π se > 0 e θ < 0 se < 0. Então 5 = 5 5sen θ = 5 cos θ = 5 cosθ Logo, 5 5 cosθ( 5cosθ dθ) d = 5sen θ 5 5 = cotg θ dθ = (cosec θ 1) dθ 5 = cotgθ θ + C Como senθ = e π θ π, θ = arcsen. Para encontrar cotgθ, consulte as Figuras (a) (para > 0) e 6. (b) (para < 0). Observe que em ambos os casos cotgθ = 5. Logo, 5 5 d = arcsen 3 + C Figura 6.: (a)figura ilustrativa para o caso > 0 (b) Figura ilustrativa para o caso < 0 Caso O integrando contém uma epressão da forma a + u Agora vamos introduzir uma nova variável θ fazendo u = a tgθ, onde 0 θ < π se u 0 e π < θ < 0 se u < 0 então du = a sec θ dθ, e a + u = a + atg θ = a 1 + tg θ

67 Métodos de Integração 67 a sec θ Como π < θ < π, secθ 1. Assim sec θ = secθ, e a + u = a secθ Como tgθ = u a e π < θ < π, θ = arctg u a Eemplo Calcule + 6 d Solução: Substituímos = 6 tgθ, onde 0 θ < π π se 0 e < θ < 0 se < 0. Entãão d = 6 sec θ dθ e + 6 = 6tg θ + 6 = 6 sec θ = 6 secθ Logo, d = secθ( 6 sec θ) dθ = 6 sec 3 θ dθ Usando o resultado do eercício 8 da secção 4..3 (que esperamos que você tenha feito!), temos + 6 d = 6 secθtgθ + 6 ln secθ + tgθ + C Determinamos secθ das Figuras 6.3 (a) (para 0) e 6.3 (b) (para < 0), onde tgθ = 6. Em ambos os casos vemos que secθ = + 6 d = ln 6. Logo, C = ln ln 6 + C = ln ( ) + C 1 Observe que substituímos 3 ln 6 + C pela constante arbitrária C 1. Além disso, como > 0, retiramos as barras de valor absoluto. Caso 3 O integrando contém uma epressão da forma u a.

68 68 Antiderivadas Figura 6.3: (a)figura ilustrativa para > 0 (b) Figura ilustrativa para < 0 Agora faremos a seguinte substituição u = a secθ, onde 0 θ < π π θ < 3π se u a. Então du = a secθ tgθ dθ e se u a e u a = asec θ a a(sec θ 1) = a tg θ Como 0 θ < π ou π θ < 3π, tgθ 0. Assim, tg θ = tgθ, e temos u a = a tgθ Como secθ = u a e θ está em [0, π ] [π, 3π ], θ = arcsec u a Eercícios Calcule as integrais indefinidas: 4 (a) d 4 (b) d

69 Integrais e epressões quadráticas 69 (c) + 6 d d (d) (16 + ) 3/ 16 e (e) d e d (f) Integrais e epressões quadráticas A decomposição em frações parciais, vista anteriormente, pode conduzir a integrandos que contêm uma epressão quadrática irredutível como a + b + c. Se b = 0 é necessário às vezes completar o quadrado como segue: a + b + c = a ( + ba ) ( + c = a + b ) + c b a 4a A substituição u = + b a pode então conduzir a uma forma mais fácil de integrar. Eercício Calcule as integrais. (a) + 10d + 5 (d) d (b) (e) 1 d (c) d ( + + 5) ( ) d (f) 1 d (7 + 6 ) 1

70 Capítulo 7 Integral Definida 7.1 Introdução A figura 7.1 abaio eibe uma região delimitada pelo eio e o gráfico da função f definida em [a, b], a qual desejamos encontrar a sua área através de aproimações por retângulos. Para isso, particionaremos o intervalo [a, b] em n partes. f f a= i... b = n i n Figura 7.1: Figura ilustrativa da aproimação de uma área por retângulos. A soma das áreas destes n retângulos é dada por: S n = f( 1 ) 1 + f( ) + f( 3 ) f( n ) n ou, como somatória, cuja soma é denominada Soma de Riemann, n S n = f( i ) i i=1 Por sua vez, se fiarmos o incremento de, ou seja, consideremos uma partição regular, teremos: n S n = f( i ) i=1 70

71 Introdução 71 Definição 15 Se f for uma função definida no intervalo fechado [a, b], então a integral definida de f de a até b, denotada por b f()d, será dada por a b n f()d = lim f( i ) 0 se o limite eistir. a i=1 Obs: Note que à medida que decresce, n cresce. Na notação de integral definida, b f()d, f() é chamada de integrando, a de a limite inferior e b de limite superior. Se uma função for contínua no intervalo fechado [a, b], então ela será integrável em [a, b]. Definição 16 Seja f uma função contínua em [a, b] e f() 0 para todo em [a, b]. Seja R a região limitada pela curva y = f(), pelo eio e pelas retas = a e = b como mostra a figura 7.. Então, a medida A da área da região R é dada por A = lim 0 n f( i ) A = i=1 b a f()d y =a =b f R O a b Figura 7.: Área da região limitada pela curva f e pelas retas = a e = b e pelo eio. Propriedades: 1. Sendo a > b, se b a f()d eistir, então. Se f(a) eiste, então f()d = 0 b f()d = a a b a a f()d.

72 7 Integral Definida 7. Propriedades da Integral Definida Teorema 3 Se k for qualquer constante, então b kd = k(b a) Eemplo: Calcule 5 d. Pelo Teorema 3, temos: 5 d = (5 ) = 6 Teorema 4 Se a função f for integrável no intervalo fechado [a, b] e se k for uma constante qualquer, então Eemplo: 5 b a kf()d = k b 7 d. Pelo Teorema 4, temos: 5 a 7 d = 7 a f()d. 5 d. Teorema 5 Se as funções f e g forem integráveis em [a, b], então f + g será integrável em [a, b] e Eemplo: b a 5 [f() + g()]d = b a f()d + b a g()d. ( + 1 ) d. Pelo Teorema 5, temos: 5 ( + 1 ) d = 5 d d. Teorema 6 Se a função f for integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b], então b a f()d = Eemplo: c a 5 f()d + b c f()d, onde a < c < b. 4 3 d. Pelo Teorema 6, temos: d = d d. Teorema 7 Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a, b] e se f() g() para todo em [a, b], então b a f()d b a g()d. Eemplo: Sejam as funções f e g dadas, respectivamente, por f() = 3/ + 1 e g() =, como podemos visualizar na figura 7.3 abaio, temos que f() g() no intervalo fechado de [0, ]. Daí, pelo Teorema 7, teremos ( 3/ + 1 ) d d. 0 0

73 Propriedades da Integral Definida 73 y Figura 7.3: Eemplo Teorema 8 (Teorema do Valor Médio para Integrais) Se a função f for contínua no intervalo fechado [a, b], eiste um número c em [a, b] tal que b a f()d = f(c)(b a). Teorema 9 (Teorema Fundamental do Cálculo-Parte 1) Se f for contínua em [a, b], então a função F definida por F () = é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e F () = f(). a f(t)dt, a b (7.1) Teorema 10 (Teorema Fundamental do Cálculo-Parte ) Se f for contínua em [a, b], então b a f()d = G(b) G(a) onde G é qualquer antiderivada de f, isto é, uma função tal que G = f. Eercícios 1. Calcule a integral definida: (a) (b) (c) z (z + 1) 3 dz 4d 1 + d

74 74 Integral Definida (d) (e) (f) (g) (h) 1 0 π/ t t dt senθ cos θ dθ 4 d 3 e d d (i) 4 f()d, onde f() = { 3, 1; 3, > 1. (j) 1 0 ( 4 3 ) 3 d. Calcule a derivada: (a) (b) d d d d tan Afirmar que t + 4 dt t + 1dt d = 3 é uma verdade? Justifique sua resposta. 4. Se f for contínua e 4 0 f()d = 7, calcule 0 f()d. 5. Se sen(π) = f(t)dt, onde f é uma função contínua, ache f(4) Eplique por que d = 1 1 = = 1 ( ) = d = 1 = 1 3 = 1 ( ) 1 3 = 4 está errado está certo, e 7.3 Área entre Curvas Se f e g são funções contínuas em [a, b] e f() g() para todo no intervalo, então a área da região delimitada pelos gráficos de f e g, e as retas = a e = b é dada por A = b a [f() g()] d.

75 Área entre Curvas 75 Obs: É possível que os gráficos das duas funções f e g se interceptem em alguns pontos e que a área procurada corresponda à região entre estes dois gráficos. Observe a figura 7.4 abaio. Neste caso, devemos encontrar os pontos de interseção das funções f e g, fazendo f() = g(). Os valores de obtidos correspondem aos limites de integração. y A 1 A f() g() a c b Figura 7.4: Ilustração de duas curvas que se interceptam. A 1 = A = c a b c [g() f()]d [f() g()]d Eercícios 1. Faça o esboço da região cuja área é representada pela integral definida. (a) (b) [ ( + 1) ] d [ (1 ) ( 1) ] d. Faça um esboço região delimitada pelos gráficos das funções e calcule a área da região. (a) f() =, g() = 4 (b) y =, y =, = 1, = 4 (c) y = 3, y = (d) f() = sen, g() = cos, π π (e) f() = e 0.5, g() = 1, = 1, =

76 76 Integral Definida (f) f() =, = 1, = (g) y = sec ; eio ; eio y; y = π 4 (h) + y + 4 = 0; y = 8 3. Ache a reta horizontal y = k que divide a área entre as curvas y = e y = 9 em duas partes iguais. 4. Ache a área da região destacada no gráfico da figura 7.5 a seguir. y Figura 7.5: Eercício 4

77 Capítulo 8 Aplicações de Integrais 8.1 Introdução Muitos problemas de engenharia, física, computação e claro matemática, podem ser resolvidos com o auílio de integrais definidas. Como por eemplo o volume de sólidos, o comprimento de curvas, a quantidade de trabalho necessário para bombear líquidos do subsolo, as forças eercidas contra comportas, as coordenadas dos pontos onde objetos sólidos estarão em equilíbrio (centro de massa) etc. O nosso objetivo agora é estudar uma dessas aplicações, a saber, o volume do sólido de revolução. Eles recebem esta designação porque se originam por revolução de uma curva ou uma reta em torno de um eio. Se a reta que gira está inclinada determinando um triângulo com o eio y e o eio, obtemos o cone, se a reta é paralela ao eio y, obtemos um cilindro e se é uma semicircunferência, o objeto obtido é uma esfera. Esferas, cones, bolas de futebol e pneus são sólidos de revolução. O volume da esfera já era conhecido desde o século III A.C., quando Arquimedes empregou uma forma primitiva, bonita e engenhosa de integração para calculá-lo. Neste capítulo, usando integrais, vamos deduzir um método geral para calcular o volume de qualquer sólido de revolução. Há muitos objetos nos quais não são possíveis calcular seu volume eato, ou mesmo área, usando de métodos simples, como base altura, porque há curvas, deformações, inclinações, entre outros, de modo que, o mais próimo seria aproimar de modo ad infinitum do seu volume eato. Com a evolução da matemática, especialmente com Isaac Newton, o qual consolidou melhor o cálculo diferencial e integral, hoje, podemos encontrar precisamente a área e volumes de tais objetos, usando-se integrais definidas. 8. Volume por fatiamento Suponha que desejamos determinar o volume de um sólido como o da figura 8.1. A seção transversal do sólido em cada ponto no intervalo [a, b] é uma região R() de área A(). Se A é uma função contínua de, podemos usá-la para definir e calcular o volume do sólido como uma integral, da seguinte maneira: dividimos [a, b] em subintervalos de 77

78 78 Aplicações de Integrais comprimento e fatiamos o sólido (como se faz com um pão) por planos perpendiculares ao eio nos pontos de partição. A k-ésima fatia, que está entre os planos por k 1 e k, tem aproimadamente o mesmo volume que o cilindro compreendido entre os dois planos com base na região R(). Sabemos que o volume do cilindro é Figura 8.1: Figura de um sólido com seção transversal em no intervalo[a, b], que é uma região R() de área A(). e a soma V k = (área da base).(altura) = A(). (8.1) n V k = k=1 n A(). (8.) k=1 é uma aproimação do volume do sólido. Dizemos que (8.) é uma soma de Rieman para A() em [a, b]. Esperamos que as aproimações melhorem conforme as normas das partições tendam a zero, portanto definimos a integral, que é o limite dessas somas como o volume do sólido b b A(). = A()d (8.3) lim o k=a Definição 1 O volume de um sólido compreendido entre os planos =a e =b e cuja área de seção transversal por é uma função integrável A(), é a integral de a a b de A V = b Diretriz 1 Cálculo de volume pelo método de fatiamento Esboce o sólido e uma seção transversal típica Encontre uma fórmula para A() Encontre os limites de integração a a A()d (8.4)

79 Volume por fatiamento 79 Integre A() para determinar o volume Eemplo 3 Volume de uma cunha Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles é perpendicular ao eio do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um ângulo de 45 no centro do cilindro. Determine o volume da cunha. Solução: Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig. 8.. (9-²) X X 45º Figura 8.: Esboço da cunha e de uma seção transversal típica para o eemplo. Passo : Uma fórmula para A(). A secção transversal em é um retângulo de área A() = (altura)(largura) = ()( 9 ) = 9 unid. quadradas Passo 3: Os limites de integração. Os retãngulos vão de = 0 a = 3. Passo 4: Integre para determinar o volume Eercícios V = b a A()d = d = 18 unid. cúbicas 1. Calcule o volume dos sólidos dados nos items abaio. (a) O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eio em = π/3 a = π/3. As secções transversais perpendiculares ao eio são discos circulares com diâmetros que vão da curva y = tan() à curva y = sec(); (b)o sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eio em = π/3 a = π/3. As secções transversais perpendiculares ao eio são quadrados cujas bases vão da curva y = tan() à curva y = sec(); (c) O sólido situa-se entre os planos perpendiculares ao eio y em y = 0 e y =. As secções transversais perpendiculares ao eio y são discos circulares com diâmetros que vão do eio y à parábola = y 5.. Prove que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada de lado a e com altura h é a h. Sugestão: use semelhança de triângulos 3

80 80 Aplicações de Integrais 8.3 Sólidos de revolução Seções transversais circulares O método de volume por fatiamento possui várias aplicações, dentre essas, a mais comum é em sólidos de revolução. Sólidos de revolução são sólidos cujas formas podem ser geradas pela revolução de regiões planas em torno de eios. Quando as seções transversais são circulares o que muda é a fórmula para a área A(). A secção transversal típica de um sólido perpendicular ao eio de revolução é um disco de raio R() e área A() = π.(raio) = π[r()] (8.5) por isso, o método geralmente é denominado método do disco. Diretriz Determinar volumes com seções transversais circulares (método do disco) Desenhe a região e identifique a função raio R() Esboce R() ao quadrado e multiplique por π Integre para determinar o volume Eemplo 4 Rotação em torno do eio A regiaão entre a curva y =, 0 4, e o eio gira em torno do eio para gerar um sólido. Determine seu volume. Solução: Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig Figura 8.3: Esboço da figura gerada pela rotação da função f() = em torno do eio. note que Passo : Determinar a área A() A() = π[r()]

81 Sólidos de revolução 81 R() = então, A() = π( ) = π unid. quadradas. Passo 3: Integrar para determinar o volume V = 4 A()d = 4 πd =... = 8π unid. cúbicas 0 0 Eemplo 5 Rotação em torno da reta y = 1 Determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta y = 1, da região definida por y = e pelas retas y = 1 e = 4. Solução: Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig Figura 8.4: Esboço da figura gerada pela rotação da função f() = em torno da reta y = 1. Passo : Determinar a área A() A() = π[r()] note que agora R() = 1 (você consegue ver porque?) então, A() = π( 1) = π( + 1) unid. quadradas. Passo 3: Integrar para determinar o volume V = 4 1 A()d = 4 1 π( + 1)d =... = 7π 6 unid. cúbicas. Eemplo 6 Rotação em torno do eio y Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eio y, da região compreendida entre o eio y e a curva = y, 1 y 4. Solução: Passo 1: Um esboço da figura pode ser visto na Fig Passo : Determinar a área A() A() = π[r(y)] = π( y ) unid. quadradas

82 8 Aplicações de Integrais Figura 8.5: Esboço da figura gerada pela rotação da curva = y em torno da reta y = 1. Passo 3: Integrar para determinar o volume Eercícios V = 4 1 π[r(y)] dy = 4 1 π( y ) dy =... = 3π unid. cúbicas. 1. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eio, da região limitada pela curva y = cos, 0 π/, e pelas retas y = 0 e = 0.. Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região, no primeiro quadrante, limitada superiormente pela reta y =, inferiormente pela curva y = sec()tan() e à esquerda pelo eio y, em torno da reta y =. 3. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta = 3, da região compreendida entre a parábola = y + 1 e a reta = Seções transversais em forma de arruela Não é difícil perceber que se a região que giramos para gerar um sólido de revolução não atingir ou cruzar o eio de revolução, o sólido de revolução terá um orifício no meio (como uma rosquinha). As secções transversais perpendiculares ao eio de revolução serão arruelas, e não discos. Note que as dimensões típicas de uma arruela são Raio eterno: R() Raio interno: r() A área da arruela é A() = π[r()] π[r()] (8.6) Diretriz 3 Volumes com seções transversais em forma de arruelas

83 Sólidos de revolução 83 Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse perpendicularmente ao eio de rotação. Quando se faz a região girar, esse segmento gera uma secção transversal típica, em forma de arruela, do sólido gerado. Determine os limites de integração Determine os raios eternos e internos da arruela gerada pelo segmento de reta Integre para determinar o volume Observe que para determinarmos o volume do sólido obtido com a rotação de uma região em torno do eio y, usamos os passos enumerados acima, porém integramos em relação a y em vez de. Eemplo 7 Volume do toro O toro é obtido pela rotação de um disco ao redor de um eio que não o encontra; vamos calcular o volume do toro gerado pela rotação do círculo mostrado na Figura 1.6 em torno do eio. Solução: Passo 1: Esboço da figura pode ser visto na Fig Figura 8.6: Esboço da figura gerada pela rotação da curva + (y a) = c em torno do eio.. Passo : Determinar os limites de integração. Note que no eio, o círculo começa em c e termina em c, logo nosso limite de integração deve ser de c a c. Passo 3: Determinação dos raios internos e eternos. Note que a equação do círculo é + (y a) = c logo, y = a ± c

84 84 Aplicações de Integrais então e Logo, R() = a + c r() = a c Passo 4: Integrando para determinar o volume. Concluímos então, que o volume do toro deverá ser dado pela diferença V = π V = π c c c R ()d π c c r ()d c (R () r ())d = π 4a c d c c c = 4aπ c d = 4aπ. 1 πc c = aπ c Obs: Note que a integral calculada acima é 1 + y = c Eercícios da área da região interna ao círculo 1. A região limitada pela curva y = + 1 e pela reta y = + 3 gira em torno do eio para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.. A região compreendida entre a parábola y = e a reta y = no primeiro quadrante gira em torno do eio y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. 3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região compreendida entre y = sen, 0 π, e a reta = π em torno do eio y. 4. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelos gráficos das funções f(y) = y y e g(y) = y 3 em torno da reta = Modelando o volume usando anéis cilíndricos Nas seções precedentes calculamos volumes de sólidos de revolução usando discos circulares, ou anéis. O método de anéis cilíndricos é uma segunda maneira de calcular volumes de sólidos de revolução. É uma técnica de aproimação de um sólido de revolução por uma coleção de cilindros circulares ocos ( ou cascas cilíndricas delgadas ) do tipo ilustrado na figura 8.7, onde r 1 é o raio eterior, r é o raio interior, h é a altura e r = r 1 r é a espessura do anel, que em geral conduz a cálculos mais simples do que o método das secções transversais.

85 Sólidos de revolução 85 Figura 8.7: esboço da figura de um anel cilíndrico. O raio médio do anel é r = 1 (r 1 + r ). Podemos achar o volume do anel subtraindo o volume πr h do cilindro interior do volume πr 1h do cilindro eterior. Fazendo isso temos Que nos sugere a seguinte regra geral πr 1h πr h = π(r 1 r )h π(r 1 r )(r 1 + r )h π 1 (r 1 + r)h(r 1 r ) πrh r V = π(raio médio)(altura)(espessura) (8.7) Se fizermos a região hachurada na figura 8.8 (a) girar em torno do eio y teremos um sólido de revolução (você consegue visualizá-lo?). Seja P uma partição de [a, b] e considerando o retângulo vertical típico da figura 8.8 (b), onde w k é o ponto médio de [ k 1, k ]. Se fizermos estes retângulos girar em torno do eio y, obteremos um anel cilíndrico de raio médio w k, altura f(w k ) e espessura k. Logo, de acordo com (8.7) πw k f(w k ) k fazendo girar o polígono retangular formado por todos os retângulos determinados por P, obtemos um sólido muito próimo do que queremos (você consegue visualizar?). O volume deste sólido é uma soma de Riemann πw k f(w k ) k k note que quanto menor for a norma P da partição, mais a soma se aproimará do volume V do sólido que desejamos calcular.

86 86 Aplicações de Integrais Figura 8.8:. Definição Seja f contínua e suponhamos f() 0 em [a, b], onde 0 a b. Seja R a região sobre o gráfico de f de a a b. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno do eio y é V = lim P 0 πw k f(w k ) k = k b a πf()d (8.8) Diretriz 4 Como usar o método dos anéis cilíndricos Independentemente da posição do eio de revolução (horizontal ou vertical), os passos para implementar o método dos anéis cilíndricos são estes. Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse paralelamente ao eio de revolução. Nomeie a altura ou o comprimento do segmento (altura do anel), a distãncia do eio de revolução (raio do anel) e a largura (espessura do anel). Determine os limites de integração para a variável espessura e escreva a integral do volume. Integre o produto π(raio da casca)(altura da casca) em relação à variável espessura ( ou y) para determinar o volume. Eemplo 8 Determinando o volume utilizando o método dos anéis cilíndricos A região compreendida pelo eio e pela parábola y = f() = 3 gira em torno da reta = 1 para gerar o formato de um sólido (figuras 8.9 (a) e 8.9 (b)). Qual é o volume deste sólido? Solução: Seria complicado integrar aqui em relação a y, pois não é fácil obter a parábola original em termos de y (para notar isso tente calcular este volume por meio de arruelas). Para integrar em relação a, você pode resolver o problema usando o método de anéis cilíndricos, o que eigirá cortar o sólido de uma forma menos usual. Passo 1: Em vez de cortar o sólido em forma de cunha, corte uma fatia cilíndrica, fazendo-o diretamente para baio (paralelamente ao eio de revolução) em toda a volta,

87 Sólidos de revolução 87 Figura 8.9:. próimo à borda do orifício. Depois, corte outra fatia cilíndrica em torno do orifício aumentado, então uma outra e assim por diante. O raio dos cilindros aumenta gradualmente e sua altura segue o contorno da parábola: do menor para o maior e depois de novo para o menor. Cada fatia se situa ao longo de um subintervalo do eio da comprimento. Seu raio é aproimadamente (1 + k ) e sua altura, cerca de 3 k k. Passo : Imagine que você pudesse desenrolar o cilindro verticalmente em k ele se tornará (essencialmente) uma fatia retangular com espessura. O comprimento da circunferência interna do cilindro é π(raio) = π(1 + k ), e esse é o comprimento da fatia retangular desenrolada. Portanto, o volume do sólido retangular (aproimadamente) plano é V (largura).(altura).(espessura) π(1 + k ).(3 k k). Passo 3: Somando os volumes dos anéis cilíndricos individuais ao longo do intervalo 0 3 obtemos a soma de Riemann π(1 + k ).(3 k k ).. Considerando-se o limite como a espessura 0 teremos a integral do volume V = 3 0 π( + 1)(3 )d Eercícios = 3 0 = π π( )d 3 0 ( )d =... = 45π unid. cúbicas

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