Simulação Numérica da Transferência de Calor em Problemas Radiativos Condutivos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Smulação Numérca da Transferênca de Calor em Problemas Radatvos Condutvos DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MARCUS VINICIUS FILGUEIRAS DOS REIS FLORIANÓPOLIS, FEVEREIRO DE 00

2 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM PROBLEMAS RADIATIVOS - CONDUTIVOS MARCUS VINICIUS FILGUEIRAS DOS REIS ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM ENGENHARIA ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO ENGENHARIA E CIÊNCIAS TÉRMICAS, APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA. Prof. CLOVIS RAIMUNDO MALISKA, Ph.D. ORIENTADOR Prof. JÚLIO CÉSAR PASSOS, Dr. Eng. Mec. COORDENADOR DO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO BANCA EXAMINADORA Prof. VICENTE DE PAULO NICOLAU, Dr. - Presdente Profa. MÁRCIA BARBOSA MANTELLI, Ph. D. Prof. FERNANDO OSCAR RUTTKAY PEREIRA, Ph. D.

3 Dedco este trabalho a meus pas por terem me ensnado, através de seus exemplos pessoas, a valorzar o saber.

4 AGRADECIMENTOS Aos contrbuntes brasleros que através do CNPq fnancaram este trabalho. Ao Prof. Clovs Ramundo Malska pela orentação, motvação, suporte e pacênca proporconados em todos os momentos do trabalho. Ao amgo Axel Dhlmann pela presteza que sempre me atendeu e pelo estímulo que sempre me proporconou. Ao Dr. Humberto Pontes Cardoso por nos ter trazdo o assunto e o desafo de trabalhar com problemas envolvendo radação e condução. Aos amgos Clovs R. Malska Jr, Marcos Cabral Daman e em especal Rodrgo M. Lucanett, pela valosa e mprescndível colaboração e suporte na programação do smulador por mm utlzado neste trabalho. A Noel por toda sua colaboração e pacênca ao longo do período de elaboração deste texto. Aos colegas do SINMEC pelo excelente ambente de trabalho. Aos professores do curso de Pós-Graduação do Departamento de Engenhara Mecânca da UFSC.

5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO. PRELIMINARES. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 3.. FATOR DE FORMA 3.. TROCA RADIATIVA ENTRE SUPERFÍCIES 9..3 METODOLOGIAS COMPUTACIONAIS.3 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES.4 ESCOPO DO TRABALHO CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA 4. O PROBLEMA RADIATIVO-CONDUTIVO 4 3 FATOR DE FORMA 7 3. DEFINIÇÃO DO FATOR DE FORMA ENTRE SUPERFÍCIES DIFUSAS FATOR DE FORMA ENTRE DOIS ELEMENTOS DE ÁREA INFINITESIMAL FATOR DE FORMA ENTRE UM ELEMENTO DE ÁREA INFINITESIMAL E UM ELEMENTO DE ÁREA FINITA FATOR DE FORMA ENTRE DOIS ELEMENTOS DE ÁREA FINITA 8 3. PROPRIEDADES DO FATOR DE FORMA ENTRE SUPERFÍCIES DIFUSAS REGRA DA SOMA RELAÇÃO DE RECIPROCIDADE RELAÇÃO DE ADIÇÃO ANALOGIA DE NUSSELT ACURÁCIA E RECIPROCIDADE 3.3 MÉTODOS ANALÍTICOS PARA O CÁLCULO DO FATOR DE FORMA 3.3. INTEGRAÇÃO DIRETA 3.3. INTEGRAL DE CONTORNO MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DO FATOR DE FORMA APROXIMAÇÕES E HIPÓTESES UTILIZADAS DUPLA DISCRETIZAÇÃO UTILIZANDO APROXIMAÇÃO DE DISCO HEMI-CUBE INTEGRAL DE CONTORNO VERIFICAÇÃO DE OBSTRUÇÕES 50 4 TROCA RADIATIVA ENTRE SUPERFÍCIES DIFUSAS CINZENTAS HIPÓTESES SIMPLIFICATIVAS TROCAS RADIATIVAS UTILIZANDO O CONCEITO DO FATOR DE FORMA MÉTODO DA RADIOSIDADE MÉTODO DE GEBHART 60

6 4.5 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DA RADIOSIDADE 63 5 SOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA RADIATIVO-CONDUTIVO DISCRETIZAÇÃO GEOMÉTRICA A VIZINHANÇA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALOR ACOPLAMENTO DAS SOLUÇÕES CONDUTIVAS E RADIATIVAS ACOPLAMENTO COM O MÉTODO DA RADIOSIDADE ACOPLAMENTO COM O MÉTODO DE GEBHART 76 6 RESULTADOS E DISCUSSÕES ALGUMAS OBSERVAÇÕES QUANTO ÀS IMPLEMENTAÇÕES COMPUTACIONAIS DOS MÉTODOS DE CÁLCULO DO FATOR DE FORMA ANÁLISE DA PRECISÃO DOS MÉTODOS DE CÁLCULO DO FATOR DE FORMA DUAS PLACAS PARALELAS Hem-Cube Dupla Dscretzação Integral de Contorno Comparação entre os Métodos DUAS PLACAS PERPENDICULARES Hem-Cube Dupla Dscretzação Integral de Contorno Comparação entre os Métodos DUAS PLACAS PARALELAS COM OBSTRUÇÃO Hem-Cube Dupla Dscretzação Integral de Contorno Comparação dos Métodos PARALELEPÍPEDO COM OBSTRUÇÃO ANÁLISE DA PERFORMANCE DOS MÉTODOS DE CÁLCULO DO FATOR DE FORMA GEOMETRIAS SEM OBSTRUÇÃO DUAS PLACAS PARALELAS COM OBSTRUÇÃO PARALELEPÍPEDO COM OBSTRUÇÃO VALIDAÇÃO NUMÉRICA DOS MÉTODOS PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA RADIATIVO- CONDUTIVO 6.4. CONDUÇÃO BI-DIMENSIONAL 6.4. ALETA RADIATIVA COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA RADIATIVO-CONDUTIVO RADIAÇÃO E CONDUÇÃO ENTRE PLACAS PLANAS Análse da Convergênca dos Métodos Análse do Tempo de Processamento PROBLEMA ILUSTRATIVO 3 7 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 35

7 7. CONCLUSÕES RECOMENDAÇÕES PARA FUTUROS TRABALHOS 36 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 38

8 v RESUMO O presente trabalho tem enfoque no estudo de técncas numércas para a solução de problemas radatvos-condutvos envolvendo superfíces dfusas cnzentas. Maor ênfase é dada nas duas prncpas etapas do processo de cálculo da transferênca de calor: o cálculo do fator de forma entre superfíces e na metodologa de solução do problema conjugado da troca de calor radatva-condutva. Dversas técncas para o cálculo do fator de forma consderando superfíces obstrutoras, como Dupla Dscretzação, Integral de Contorno e Hem-Cube são analsados em aspectos como acuráca, efcênca e custo computaconal. Um esquema baseado na metodologa CVFEM (Control Volume Fnte Element Method) é utlzado para a dscretzação do problema condutvo em superfíces delgadas, sendo a parte radatva resolvda utlzando o clássco método das radosdades e sua performance comparada com uma mplementação do método de Gebhart.

9 x ABSTRACT The present work deals wth numercal technques for the soluton of coupled radaton/conducton heat transfer problems nvolvng dffuse gray surfaces wth nonabsorbng meda. The two man focus of ths work are the vew factor calculaton between obstructng surfaces and the dfferent approaches for couplng the radaton and conducton equatons. Numercal technques for vew factor calculaton, lke Double Area Integraton, Contour Integraton and the Hem-Cube are presented ncludng methodologes for checkng possble obstructng surfaces. Performance and accuracy of each method s demonstrated and analyzed. A control volume fnte element methodology s used for the soluton of the heat conducton nsde thn surfaces and the surface-to-surface radaton s solved usng dfferent numercal approaches. A numercal mplementaton of the Radosty method s compared aganst the Gebhart s approach coupled wth the soluton of the heat conducton problem.

10 x LISTA DE FIGURAS Fgura. Problema radatvo-condutvo 4 Fgura. Balanço de energa em um volume de controle elementar 5 Fgura 3. Troca radatva entre dos elementos nfntesmas 7 Fgura 3. Analoga de Nusselt (Segel e Howell, 99) 0 Fgura 3.3 Fator de forma entre duas placas paralelas (Segel e Howell, 99) Fgura 3.4 Fator de forma entre duas placas perpendculares (Segel e Howell, 99) 3 Fgura 3.5 Fator de forma entre um elemento nfntesmal e um dsco de rao r (Segel e Howell, 99) 3 Fgura 3.6 Entdades geométrcas envolvdas no Teorema de Stokes (Segel e Howell, 99) 4 Fgura 3.7 Dscretzação utlzada para o cálculo do problema radatvo 5 Fgura 3.8 Volação da hpótese da proxmdade 6 Fgura 3.9 Volação da hpótese da vsbldade 7 Fgura 3.0 Aproxmação F - por F d- 8 Fgura 3. Redução de erros devdo a volação da hpótese da proxmdade 8 Fgura 3. Redução de erros devdo a volação da hpótese da vsbldade 9 Fgura 3.3 Elementos geométrcos envolvdos no método da dupla dscretzação com a aproxmação de dsco 30 Fgura 3.4 Fator de forma entre um elemento nfntesmal e um dsco posconado arbtraramente no espaço 3 Fgura 3.5 Dupla dscretzação com a aproxmação de dsco 33 Fgura 3.6 Algortmo do método da dupla dscretzação com a aproxmação de dsco 34 Fgura 3.7 Implementação numérca da analoga de Nusselt 35 Fgura 3.8 O Hem-Cubo 36 Fgura 3.9 Pxels das faces lateras e superor 37 Fgura 3.0 Superfíces com fatores de forma dêntcos 38 Fgura 3. Volação da hpótese do falseamento 39 Fgura 3. O processo de clppng 40 Fgura 3.3 Algortmo do método Hem-Cube 4 Fgura 3.4 Algortmo do método Hem-Cube (cont.) 4 Fgura 3.5 Elementos geométrcos envolvdos no método de Mtalas e Stephenson 43 Fgura 3.6 Dos Segmentos em coordenadas undmensonas 44 Fgura 3.7 Contornos de área vsível 46 Fgura 3.8 Projeção do sub-elemento n na superfíce A m com obstrução 47 Fgura 3.9 Algortmo do método de Mtalas e Stephenson 48 Fgura 3.30 Algortmo do método de Mtalas e Stephenson (cont.) 49 Fgura 3.3 Entes geométrcos envolvdos no teste do cone 5 Fgura 4. Cavdade com superfíces magnáras 54 Fgura 4. Dscretzação com superfíces sotérmcas 55

11 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,839 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:57 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

12 x Fgura 4.3 Emssvdade espectral de superfíce cnzenta por faxas 55 Fgura 4.4 Cavdade composta por N superfíces 58 Fgura 4.5 Grandezas envolvdas no método de Gebhart e no método das Radosdades 66 Fgura 5. Malhas radatva e condutva 68 Fgura 5. Volume de controle para o método da medana crado na malha condutva 70 Fgura 5.3 Elemento trangular 7 Fgura 5.4 Representação de J nas nterfaces de ntegração 7 Fgura 5.5 Transferênca de fluxos e temperatura nas malhas condutvas e radatvas 75 Fgura 5.6 Transferênca dos acoplamentos radatvos das superfíces para os volumes de controle 78 Fgura 6. Duas placas untáras paralelas separadas por uma dstânca d 83 Fgura 6. Duas placas paralelas Método Hem-Cube: Análse da resolução do Hem-Cubo 83 Fgura 6.3 Duas placas paralelas Método Hem-Cube: Análse do nível de dscretzação 84 Fgura 6.4 Duas placas paralelas Método Hem-Cube: Análse do nível de dscretzação (Zoom) 85 Fgura 6.5 Duas placas paralelas Método da Dupla Dscretzação: Análse do nível de dscretzação 86 Fgura 6.6 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Análse em função do número de dvsão dos contornos 87 Fgura 6.7 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Utlzando dvsão automátca dos contornos 88 Fgura 6.8 Duas placas paralelas Convergênca dos métodos 89 Fgura 6.9 Duas placas perpendculares 90 Fgura 6.0 Duas placas perpendculares Método Hem-Cube: Análse da resolução do Hem-Cubo 9 Fgura 6. Duas placas perpendculares Método Hem-Cube: Análse do nível de dscretzação da superfíce 9 Fgura 6. Duas placas paralelas Método da Dupla Dscretzação: Análse do nível de dscretzação 93 Fgura 6.3 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Análse em função do número de dvsão dos contornos 94 Fgura 6.4 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Utlzando dvsão automátca dos contornos 95 Fgura 6.5 Duas placas perpendculares Convergênca dos métodos 96 Fgura 6.6 Duas placas paralelas com obstrução 97 Fgura 6.7 Duas placas paralelas com obstrução Método Hem-Cube 97 Fgura 6.8 Duas placas paralelas com obstrução Método da Dupla Dscretzação 98 Fgura 6.9 Duas placas paralelas com obstrução Método da Integral de Contorno 99 Fgura 6.0 Duas placas paralelas com obstrução Comparação dos Métodos 00 Fgura 6. Paralelepípedo com obstrução 0 Fgura 6. Placas Paralelas com obstrução: Performance do método Hem-Cube 04 Fgura 6.3 Placas paralelas com obstrução: Performance do método da Dupla dscretzação 05 Fgura 6.4 Placas paralelas com obstrução: Performance do método da ntegral de Contorno 05

13 x Fgura 6.5 Placas paralelas com obstrução: Comparação da performance dos métodos 06 Fgura 6.6 Paralelepípedo com obstrução: Performance do método Hem-Cube 09 Fgura 6.7 Paralelepípedo com obstrução: Análse do método Hem-Cube 09 Fgura 6.8 Paralelepípedo com obstrução: Performance do método da Dupla Dscretzação 0 Fgura 6.9 Paralelepípedo com obstrução: Performance do Método da Integral de Contorno 0 Fgura 6.30 Paralelepípedo com obstrução: Comparação da performance dos métodos Fgura 6.3 Problema da condução b-dmensonal em uma placa plana com temperatura prescrta nas faces Fgura 6.3 Malha smulada e campo de sotermas obtdas o problema da condução b-dmensonal em uma placa plana com temperatura prescrta nas faces 3 Fgura 6.33 Perfl de temperatura ao longo da reta y = Fgura 6.34 Perfl de temperatura ao longo da reta x = Fgura 6.35 Problema da aleta radatva 5 Fgura 6.36 Balanço de energa em um volume de controle de uma aleta radatva 5 Fgura 6.37 Malha undmensonal para o problema da aleta radatva 7 Fgura 6.38 Perfl de temperatura ao longo da dreção x obtdo para o problema da aleta radatva 9 Fgura 6.39 Esquema do problema radatvo-condutvo utlzado para a comparação dos métodos de Gebhart e Radosdade 0 Fgura 6.40 Malha utlzada para o problema radatvo-condutvo Fgura 6.4 Campo de fator de forma para o problema radatvo-condutvo Fgura 6.4 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 00 e 50 K) Fgura 6.43 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 73 e 300 K) Fgura 6.44 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 350 e 400 K) 3 Fgura 6.45 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 450 e 500 K) 3 Fgura 6.46 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 550e 600 K) 4 Fgura 6.47 Perfs de temperatura em x = 0,5 quando T = 400 K para dversos valores da emssvdade em A 5 Fgura 6.48 Convergênca obtda com o método de Gebhart para dversos valores de T 6 Fgura 6.49 Convergênca obtda com o método da Radosdade para dversos valores de T 7 Fgura 6.50 Convergênca obtda com o método da Radosdade para dversos valores de T (Zoom) 8 Fgura 6.5 Tempo de processamento do método de Gebhart para dversos valores de T 9 Fgura 6.5 Tempo de processamento do método da Radosdade para dversos valores de T 30 Fgura 6.53 Problema lustratvo 3 Fgura 6.54 Dscretzação utlzada no problema lustratvo 3 Fgura 6.55 Campo de temperaturas obtdo no problema lustratvo 33 Fgura 6.56 Isotermas obtdo no problema lustratvo 33 Fgura 6.57 Posção da lnha ao longo do hemsféro 34 Fgura 6.58 Isotermas obtdo no problema lustratvo 34

14 x SIMBOLOGIA As Área da superfíce s (,, 3,...) [m ] Ap Área projetada [m ] n Vetor normal à superfíce [m] da Elemento de área nfntesmal [m ] F - Fator de forma entre A ea F I-J Fator de forma entre A I e A J F d-d Fator de forma entre da e da F d- Fator de forma entre da ea F -j Fator de forma entre A e A j σ Constante de Stefan-Boltzmann [W/m K 4 ] α ε ρ Absortvdade Emssvdade Refletvdade τ Transmssvdade k Condutvdade térmca [W/mK] c p Calor específco [J/KgK] ρ Densdade [kg/m 3 ] I Intensdade Radatva [W/m sr] E Emtânca [W/m ] G Irradânca [W/m ] J Radosdade [W/m ] Acoplamento radatvo entre as superfíces A e A j G -j T Temperatura [K] Q Fluxo de Calor [W/m ] E Energa por undade de tempo [W] q Geração de calor [W/m 3 ] Φ Energa radante [J] q Taxa de fluxo da calor [W]

15 xv t Tempo [s] w Ângulo sóldo [sr] θ Ângulo polar (meddo da normal da superfíce) [rad] ϕ Ângulo azmutal [rad] r Dstânca em coordenadas esfércas [m] x, y, z Coordenadas cartesanas [m] λ Comprmento de onda [ µ m ] S Dstânca entre duas superfíces [m] N Número de superfíces em uma cavdade Norma Eucldana dos resíduos Subíndces e Superíndces P Área projetada,,... Superfíces,,... d,d,... Elemento de área nfntesmal,,..., j,... Superfíces, j,... λ Grandeza espectral e Energa emtda s Área superfcal Energa Incdente b Corpo Negro ' Grandeza dreconal

16 Introdução. Prelmnares Fenômenos envolvendo troca de calor por radação e condução são comumente encontrados em númeras stuações de engenhara. A título de exemplo, pode-se ctar os problemas envolvdos no controle térmco de satéltes. Em vrtude de dferentes solctações térmcas, tanto externas como nternas, durante todo o período de sua exstênca, os satéltes encontram-se sujetos a elevados gradentes de temperaturas. Por um lado, tem-se grandes fontes de calor como a radação solar e a dsspação de energa devdo a componentes nternos, e por outro, tem-se todo o espaço sderal ao seu redor, um enorme sumdouro de calor comumente consderado como um corpo negro a 4 K Sob a nfluênca destes grandes gradentes de temperatura, grande parte de sua carga útl (payload), como bateras, lentes e sensores óptcos, possuem característcas de comportamento térmco bem peculares e necesstam permanecer em estretas faxas de temperatura para a obtenção de seus pontos ótmos de funconamento. O bom funconamento destes componentes assegura todo o período de vda útl do satélte. Como no espaço exste vácuo, a forma mas efcente de dsspação de calor é obtda através do controle de fenômenos de radação e da condução de calor no nteror dos equpamentos. Conhecer o comportamento do campo de temperaturas nos pontos crítcos do projeto, sto é, as temperaturas máxmas e mínmas para cada ponto de nteresse e garantr que todos os componentes operem dentro da faxa desejada ao longo de toda a órbta, é o objetvo do engenhero térmco. Em vrtude dos altos custos envolvdos tanto na construção e na operação destes equpamentos espacas, a smulação computaconal de todo o sstema térmco é uma ferramenta útl e de vtal mportânca para o engenhero desta área, pos possblta de manera prátca e econômca, que todas as stuações possam ser smuladas e prevstas em computador, vsando garantr que os comportamentos térmcos de todos os componentes durante o vôo, estejam dentro dos lmtes especfcados. O trabalho aqu proposto consste no estudo e desenvolvmento de técncas numércas

17 Capítulo - Introdução para a smulação de problemas radatvos-condutvos acoplados, envolvendo superfíces dfusas, cnzentas e opacas, na ausênca de fludos (meo partcpante). Não somente na ndústra espacal como também em outras aplcações, a hpótese de superfíces dfusas, cnzentas, opacas e n vacuo pode ser assumda. De acordo com Gebhart (96), esta hpótese pode ser uma boa aproxmação mesmo tratando-se de superfíces não dfusas e dreconas, pos em geral estas encontram-se sujetas a város tpos de desgastes, como erosões, corrosões e outros tpos de alterações superfcas que acabam por alterar as suas propredades. O presente estudo dedca maor ênfase nas duas prncpas etapas do processo de modelagem computaconal dos fenômenos acma menconados: o cálculo do fator de forma (ou de confguração) entre as superfíces e nas possíves metodologas de solução do problema da troca de calor acoplando radação e condução. Pode-se dzer que uma das grandes dfculdades em problemas radatvos é a precsão do cálculo do fator de forma entre um conjunto de superfíces quasquer e o tempo computaconal envolvdo para o seu cálculo. O valor do fator de forma de uma superfíce no nteror de um cubo para as outras demas superfíces é de aproxmadamente 0,. Valores do fator de forma computados entre superfíces quadradas untáras, separadas por dstâncas de,, 5 e 0, são aproxmadamente 0,; 0,05; 0,0 e 0,005. Na maora dos problemas reas, dstâncas de aproxmadamente 5 vezes as dmensões característcas representam a maor parte dos problemas e os valores encontrados estão em torno de 0,0 e 0,; sendo usualmente encontrados valores da ordem de 0,00 para mutos pares de superfíces. Analsando os dados aqu demonstrados, conclu-se que qualquer método computaconal utlzado para este cálculo, deve ser capaz de obter precsões na ordem de quatro dígtos ou mas. De acordo com Walton (987), o problema no cálculo dos fatores de forma não está no fato de que eles são dfíces de serem computados, mas sm, no fato de que o tempo necessáro para o seu processamento aumenta exponencalmente com o número de superfíces envolvdas. Em problemas que envolvem N superfíces, exstem N fatores de forma que precsam ser calculados. Utlzando smplfcações como a recprocdade (mostrada adante), ocorre uma redução desse valor para N(N - )/. Se exstem bloqueos entre superfíces para cada cálculo do fator de forma devem ser realzadas (N ) checagens para a procura de possíves superfíces que causem obstruções. Isto fornece um total de N(N -)(N -)/

18 Capítulo - Introdução 3 verfcações, resultando em valores da ordem de N 3. Em adção a sso, a maora dos procedmentos para o cálculo onde há bloqueo, tende a ser muto menos efcente, mas demorada e menos precsa. Taylor et al. (994) demonstrou também que o cômputo da troca de calor pode ser altamente sensível à mprecsão do cálculo do fator de forma, sendo este o responsável por consderáves fontes de erros nos modelos. A solução do problema conjugado da troca de calor radatva e condutva não é recente e vem ao longo do tempo sendo realzado de dversas maneras. Dversos smuladores térmcos voltados para aplcações espacas e ndustras já foram construídos e vem sendo utlzados amplamente. Dentre eles destacam-se o SINDA (99), construído pela agênca espacal amercana - NASA, o ESATAN (998) construído pela agênca espacal européa ESA, e o PCTER (985) Pacote de Análse Térmca, desenvolvdo pelo INPE - Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas. O presente trabalho pode ser entenddo como uma contnuação dos estudos baseados nos modelos já mplementados nestes smuladores, comparando duas possíves mplementações para o cálculo da parte radatva, vsando a melhor performance e o menor custo computaconal. É mportante ressaltar que caso as etapas do cálculo do fator de forma e da troca de calor radatva sejam mprecsamente computadas, os seus efetos podem nvablzar a construção de modelos com alto grau de fdeldade, como os necessáros na ndústra espacal. A segur é apresentada a evolução dos dversos esquemas propostos para o cálculo do fator de forma entre superfíces, e dos modelos computaconas utlzados para a solução de problemas envolvendo radação e condução.. Revsão Bblográfca.. Fator de Forma A determnação da troca radatva entre superfíces vem sendo objeto de pesqusa ao longo dos anos nas mas dversas áreas. Na engenhara mecânca, a radação sempre fo e contnua sendo estudada como um fenômeno de transferênca de calor vsando o projeto térmco de equpamentos. Pode-se ctar como exemplo, o grande número de trabalhos

19 Capítulo - Introdução 4 publcados na área de radação em meados das décadas de 60 e 70, quando a corrda tecnológca para a conqusta do espaço forneceu um grande estmulo às determnações precsas das trocas radatvas em equpamentos eletrôncos. Na área de edfcações e arqutetura, o assunto de lumnação é foco de constante pesqusa envolvendo temas relaconados ao conforto térmco e o cálculo da radação solar. Recentemente, a área de computação gráfca, a qual tem se benefcado dretamente do menso avanço dos recursos computaconas e do nteresse em construr magens cada vez mas realístcas consderando o precso cálculo da lumnação em ambentes, vem realzando grandes contrbuções. Esta últma alcerça suas técncas de construção de magens em teoras báscas de radação de calor, amplamente conhecda pelos engenheros da área térmca. As áreas de engenhara e físca são poneras no estudo do fator de forma. O conceto que se poda, na equação de radação, defnr um fator que contvesse somente elementos geométrcos e representasse quantdades energétcas, deve-se certamente a Nusselt (98) no seu trabalho onde apresenta a dervação da técnca da Esfera Untára. Neste texto ele refereseaum angle-factor, que em termos atuas, representa a parcela de energa radante que sa deumasuperfíceeéncdenteemoutra. Incalmente, quando não se tnha acesso aos computadores, para um conjunto muto lmtado de confgurações geométrcas, valores analítcos para o cálculo do fator de forma eram calculados (Hamlton e Morgan, 95; Howell, 98; Gross et al., 98). Apesar desse pouco número de confgurações não fornecer muta versatldade para cálculos reas, a metodologa analítca anda é muto utlzada para a valdação e comparação de métodos numércos. Quando exste a possbldade de obstruções, a avalação dos fatores de forma de manera analítca é, em geral, mpossível, sendo necessáro a utlzação de técncas aproxmadas. Os métodos numércos para o cálculo do fator de forma, dferem na manera como realzam o cálculo da ntegral dupla de área, consderando a presença ou não de obstruções. Em meados da década de 60, como descrto por Kadaba (98), com o surgmento dos computadores, técncas numércas aproxmadas para a realzação da ntegração da expressão do fator de forma foram desenvolvdas. Métodos como a Dupla Dscretzação (Shapro, 985) foram um dos prmeros a surgr, pos são decorrentes dretos de uma dscretzação superfcal e da conseqüente avalação numérca da dupla ntegral. Ao longo do tempo, númeras varações deste método foram mplementadas e anda vem sendo utlzadas em váras rotnas

20 Capítulo - Introdução 5 computaconas como o VIEWC (Emery, 986) e FACET (Shapro, 983). Um outro exemplo da avalação numérca da dupla ntegral de área, consste na utlzação do Teorema de Stokes para a redução da dupla ntegral de área para uma dupla ntegral ao longo dos contornos das superfíces envolvdas (Segel e Howell, 99). Este método, embora se apresente rápdo quando mplementado computaconalmente (Shapro, 985), sofre de problemas para a determnação dos contornos vsíves quando obstruções estão presentes. Com a utlzação do trabalho de Mtalas e Stephenson (966), aonde fo mostrado que quando utlzamos contornos retos, uma destas ntegras de contorno pode ser resolvda analtcamente, este método ganha maor precsão, pos resulta em menores aproxmações na avalação do fator de forma. O trabalho de Walton (987) fo um dos poneros na utlzação do método da Integral de Contorno consderando obstruções. Ele utlza o trabalho de Mtalas e Stephenson e compara sua performance com a técnca da Dupla Dscretzação. O seu trabalho utlza uma assocação de técncas de projeções e clppng (recorte) de polígonos para a determnação das regões de sombra. Vsando obter maor precsão, Walton utlza expressões analítcas quando exstem contornos adjacentes e a técnca da Quadratura Gaussana para avalação numérca da ntegral. Ele também propõe uma sére de checagens herárqucas para a elmnação de superfíces não obstrutoras. Vale a pena ser ressaltado que, em vrtude do refnamento e da qualdade deste trabalho, o mesmo fo tomado como referênca para o presente estudo. Anda no campo da engenhara, outras técncas numércas que possuem algumas semelhanças com o método de elementos fntos foram também utlzadas para o cálculo do fator de forma entre superfíces, sendo um bom exemplo apresentado no trabalho de Chung e Km (98). Em 993, trabalhos como o de Saltel e Kolba (993) demonstram a utlzação de malhas superfcas adaptatvas na obtenção de fatores de forma cada vez mas precsos. Paralelamente aos desenvolvmentos nos segmentos de engenhara e arqutetura, durante a década de 80, os trabalhos da área de computação gráfca trouxeram as maores contrbuções para o cálculo do fator de forma. Como vem se observando nos últmos anos, a representação de magens realístcas tem se tornado uma vertente própra do ramo de computação gráfca. Neste tpo de aplcações, o cálculo do fator de forma está ntmamente relaconado com a técnca utlzada para o cômputo da troca de calor, pos objetva-se a determnação das ntensdades lumnosas ncdentes nos objetos que serão desenhados nas magens. De acordo com Claro (998), exstem duas técncas de construção de magens

21 Capítulo - Introdução 6 amplamente dfunddas: o método Ray Tracng (termo que pode ser traduzdo como persegução ao rao) e o tradconal método das Radosdades. De manera smples e genérca, o método Ray Tracng consste em emtr raos em dreções aleatóras (da superfíce de nteresse ou na dreção do observador), computando aqueles que atngem as outras superfíces do ambente (ou cena). O cálculo do fator de forma, ou até mesmo a troca radatva, será função do número de raos que atngram as superfíces. Este método começou a ser utlzado pela Apple Co. a partr de 968 apenas na determnação do ocultamento de superfíces em magens trdmensonas. Somente em 979 é desenvolvdo o prmero uso do Ray-Tracng ncorporando reflexão e sombras (Watt, 990; Foley et al.990). Apesar de apresentar bons resultados, a cada mudança de posção do observador, a lumnação precsava ser recalculada, tornando este método bastante moroso. Um dos métodos de Ray-Tracng mas dfunddos é o Monte-Carlo. Conforme descrto por Pattanak et al. (99) este método utlza uma dstrbução estatístca para as dreções de emssão e um gerador de números aleatóros entre 0 e para obter probabldades acumuladas, obtendo mplctamente as dreções de emssões. Desta manera, raos ou fótons são emtdos em dreções aleatóras de pontos escolhdos (aleatoramente ou não) da superfíce emssora. Para cada rao emtdo é realzado uma verfcação para que se possa analsar se esse atngu a superfíce desejada. Caso o rao atnja a superfíce receptora, valores são adconados para o cálculo do fator de forma, e assm sucessvamente. A prncpal vantagem deste método probablístco é o fato de poder se estmar o grau de ncerteza de seus cálculos. Apesar de demandar enorme esforço computaconal para o cálculo do fator de forma ou troca de calor em superfíces dfusas (pos em geral centenas de mlhares de raos são necessáros), pequenas modfcações são necessáras para que o modelo leve em consderação os efetos especulares. Assm este método apresenta vantagens sgnfcatvas quando problemas mas complexos são analsados. Em meados da década de 80, Goral et al. (984) apresentaram um dos prmeros trabalhos de computação gráfca vsando a representação de magens, que se apóa nas técncas do cálculo de radosdades amplamente utlzadas pelos engenheros térmcos. Em 985, Cohen e Greenberg, dando contnudade ao trabalho de Goral et al., baseando-se no cálculo das radosdades, propõe um método que fcou amplamente dfunddo no tratamento da luz dfusa em computação gráfca. Este método chamado de Hem-Cube, é uma extrapolação do método de projeção da esfera untára de Nusselt (Segel e Howell, 99)

22 Capítulo - Introdução 7 para o cálculo dos fatores de forma. Anda de acordo com Claro (998), a grande vantagem apontada pela utlzação do Hem-Cube com o método das Radosdades é o fato de ser um modelo que relacona a geometra entre os objetos do ambente ndependentemente do ponto de vsta do observador, permtndo que os valores da lumnânca das superfíces sejam utlzados na construção da magem segundo dversos pontos de vsta, sem a necessdade de se efetuar o cálculo a cada mudança da posção do observador. Este método será explcado em detalhe ao longo do texto, pos consttu um dos focos prncpas do presente estudo. Nos anos posterores, Wallace e Cohen (987) e Kajya (986) e Immel et al. (986) publcaram seus prmeros trabalhos unndo e analsando as vantagens e desvantagens da unão das técncas de Ray-Tracng e Radosdades com o ntuto de analsar o problema envolvendo superfíces dfusas e especulares. Em 988, Cohen et al. propuseram o método do Refnamento Progressvo, o qual muda um pouco a abordagem anteror da radosdade e da utlzação do Hem-Cube, focando não a superfíce que recebe energa, mas sm as superfíces que emtem mas energa e depos as que emtem menos energa. No método apresentado, a vsualzação da magem é possível a cada teração. Isto fo realzado utlzando les de recprocdade vsando a obtenção de maor efcênca do modelo. O ntuto era obter a representação de magens, alterando a posção do observador em tempo real. Em 989, Wallace et al., publcaram um trabalho comentando as lmtações do Hem- Cube e propondo um esquema de Ray-Traycng utlzando um método baseado no Refnamento Progressvo acma ctado. Este esquema propõe uma nova abordagem para a técnca da Dupla-Dscretzação, analsada agora do ponto de vsta de um método tpo Ray- Tracng. Wallace sugere uma nova aproxmação para a avalação dos fatores de forma da dupla ntegral, utlzando a chamada dsc aproxmaton. Esta nova aproxmação corrge o método da Dupla Dscretzação quando as superfíces envolvdas estão muto próxmas, evtando que seus fatores de forma excedam a undade. Esta aproxmação será mas detalhada posterormente. De acordo com Claro (998), os trabalhos acma ctados de Cohen e Wallace servram como base para pratcamente todos os desenvolvmentos posterores para os modelos de lumnação utlzados em computação gráfca, nfluencando também a comundade de engenhara preocupada com as trocas térmcas e a precsão do cálculo do fator de forma. A partr destes trabalhos, as publcações seguntes tendem a corrgr pequenas defcêncas e

23 Capítulo - Introdução 8 aumentar a performance destes métodos. Nesta lnha, Baum et al. em 989, publcaram um artgo onde descrevem os erros nerentes do método do Hem-Cube e propõem um algortmo que verfca a exstênca destes erros, utlzando correções através da utlzação de um método analítco. O autor ressalta também que estes erros são mas freqüentes quando se utlza a técnca do Refnamento Progressvo. O algortmo proposto resolve a ntegral externa do fator deformanumercamenteeanternaanaltcamente. Como resultado, eles propõem uma nova estratéga chamada de Refnamento Progressvo Híbrdo. No mesmo ano, Slon e Puech (989), utlzando o trabalho de Wallace como base, propõem um método geral para a ntegração da reflexão dfusa e especular. Neste trabalho, utlza-se um novo método de dstrbução de raos. No ano segunte, Rushmeer (990), publcou o seu prmero artgo que propõe uma otmzação do algortmo Hem-Cube utlzando rotnas já mplementadas em nível de hardware da máquna. Os resultados são uma redução do tempo de processamento da ordem de6a7vezes. Na seqüênca, Hanrahan et al. (99), baseado em um método de Ray-Tracng recursvo propõem um algortmo de Radosdade Herárquca Rápda, sendo detalhado posterormente por Auperle em 993. De manera smplfcada, este algortmo utlza uma sucessão de refnamento das superfíces do ambente, até que o erro no cálculo do fator de forma esteja dentro de um valor prevamente especfcado. Em 993, Hanrahan e Schroder, apresentam um dos prmeros trabalhos com uma expressão fechada para o cálculo do fator de forma entre dos polígonos quasquer no espaço. Porém a solução não é elementar, pos utlza complexas e extensas funções d-logarítmcas. Os autores reconhecem que o valor prncpal da fórmula é ser utlzada como solução benchmark para os métodos numércos. Na mesma lnha que Baum et al. (989), Schroder em 993 publcou outro artgo que utlza funções analítcas aproxmadas para a estmação dos fatores de forma entre polígonos com frontera comum. Embora este método apresente um erro relatvamente baxo, é um método computaconalmente dspendoso. Como descrto em Claro (998), Hanrahan e Teller em 994, vsando reduzr o número de checagens para as verfcações de obstruções, propõem o conceto de células de vsbldade, onde também permte-se a pror, exclur do cálculo do fator de forma as superfíces que não se enxergam. Anda no mesmo ano, Muller e Schoeffel (994), apresentaram um método nteratvo para a vsualzação de ambentes vrtuas, ou seja, com a

24 Capítulo - Introdução 9 movmentação do observador. Este trabalho julga o método do Hem-Cube nadequado e utlza o Ray-Tracng recursvo. Anda na área de computação gráfca, entre 994 e 997 números trabalhos surgram dando, agora, mas ênfase no método de Monte Carlo (Ray-Tracng) e melhorando sua performance. Dentre eles podemos ctar (Keller, 995; Drakos, 996; Khodulev, 996 e Rademacher, 997). Em vrtude do crescmento do poder computaconal e da utlzação de funções já mplementadas em nível de hardware, o método de Monte Carlo dexou de ser tão custoso computaconalmente, e por ser mas flexível para poder ldar com superfíces mas complexas (especulares) começou a ser utlzado em maor escala. Recentemente alguns trabalhos começaram a trar proveto das arquteturas dstrbuídas e das técncas de processamento paralelo, vsando um cálculo mas precso dos fatores de forma. Os trabalhos de Schmdt (997) e Stuttard et al. (996) são bons exemplos de técncas aproxmadas para o cálculo do fator de forma que utlzam tal funconaldade. As técncas e melhoras ntroduzdas pela computação gráfca contrbuíram muto para o cálculo do fator de forma, mas pouco nfluencaram nos algortmos de solução das equações de troca de calor radatva. Alguma contrbução pode ser obtda quando da utlzação do método probablístco de Monte Carlo para a obtenção da troca de calor, mas quando voltamos nossa atenção para a solução do sstema resultante do método das Radosdades, poucos avanços surgram. Isto deve-se ao fato de que o prncpal foco da computação gráfca, naturalmente, é a síntese de magens realístcas, e não a determnação do campo de temperaturas acopladas com outros modos de transferênca de calor. Outro fator a ser salentado é que em vrtude do sstema lnear resultante do método das Radosdades possur uma matrz com dagonal domnante, o mesmo é relatvamente smples de ser resolvdo. Assm, números processos teratvos poderam ser utlzados sem apresentar sgnfcatvas dferenças de desempenho. O trabalho de Wesenhofer (996), é um bom exemplo, pos lustra dversas técncas teratvas desenvolvdas para a solução da matrz de radosdades utlzadas pelos especalstas da área de computação gráfca... Troca Radatva entre Superfíces Como menconado anterormente, durante o começo da corrda espacal, mutos mlhares de dólares foram gastos pelos governos de város países para a pesqusa envolvendo trocas radatvas. Nesta ocasão, dversas técncas surgram para a solução deste problema. De

25 Capítulo - Introdução 0 acordo com Sparrow (963), os métodos apresentados por Hottel (954), Oppenhem (956), Eckert e Drake (959), e Gebhart (96) podem ser referencados como os poneros neste tpo de aplcação. O texto de Eckert e Drake (959) descreve o clássco Método das Radosdades. Este método faz um balanço de energa para cada superfíce, levando em consderação toda a energa que sa dela por radação (emtda + refletda) comumente chamada de radosdade. Este método resulta em um sstema de N equações que precsam ser resolvdas para cada superfíce. O trabalho de Hottel (954) aplca uma estratéga dferente, fazendo um balanço de energa dando ênfase à troca líquda entre somente um par de superfíces. Esta troca líquda entre as duas superfíces leva em consderação somente as energas emtdas entre elas, com as outras superfíces do ambente apenas servndo de assstentes, transferndo a energa através das mult-reflexões. Embora este método utlze um ponto de partda dferente do Método das Radosdades, ele chega as mesmas equações de trocas líqudas entre as superfíces. Fazendo uma analoga com crcutos elétrcos, Oppenhem (956) deduz uma sére de equações para a troca radatva que são tratadas como se fossem crcutos elétrcos, montados através de uma sére de resstêncas e capactores, utlzando as les comumente empregadas para análses deste tpo. Este trabalho tornou smples o entendmento e o cálculo do fenômeno da radação. Em 96, Gebhart propõe um novo conceto chamado de absorpton factors (coefcentes de absorção), fazendo uma análse levando em consderação a energa que é absorvda na superfíce. No seu trabalho, ele deduz uma seqüênca de equações de trocas radatvas que comprovam que superfíces cnzentas e opacas atngem uma temperatura de equlíbro que é ndependente da sua emssvdade (ou absortvdade). Através do trabalho de Gebhart temos a ntrodução do conceto de acoplamento radatvo (G -j ) entre duas superfíces que se enxergam. Este método demonstra-se muto vantajoso por apresentar smples mplementação computaconal, quando acoplado com a solução de outros modos de transferênca de calor, prncpalmente os métodos smples que resolvem a condução de calor utlzando um crcuto elétrco análogo. Com a noção de acoplamento radatvo pode-se faclmente para cada superfíce, em um problema complexo, saber qual a sua contrbução radatva para uma outra. Este método será detalhado ao longo deste texto.

26 Capítulo - Introdução..3 Metodologas Computaconas Referente a construção de sstemas computaconas completos que acoplem a solução radatva com a solução dos outros modos de transferênca de calor, váras metodologas numércas como o método dos nós, dferenças fntas, elementos fntos e volumes fntos já foram utlzadas e são amplamente dfunddas para a solução de problemas de dfusão e convecção. O presente trabalho resolve a condução de calor em superfíces b-dmensonas (placas planas delgadas) posconadas arbtraramente no espaço e dscretzadas em trângulos. Um esquema tpo CVFEM (Control Volume Based Fnte Element Method) (Balga e Patankar, 980), é usado para a aproxmação do problema dfusvo. Maores nformações sobre este método e outras técncas numércas para a solução de problemas de condução de calor podem ser encontradas em Malska (995). Especfcamente, no níco da ndústra aeroespacal, quando não se dspunha de computadores, metodologas mas smples que representavam sstemas térmcos analsados de forma dscreta como em crcutos elétrcos foram utlzados. Análses smplfcadas podem ser faclmente realzadas à mão e modelos mas complexos acabam sendo resolvdos em computador. Métodos numércos baseados nesta metodologa tpo lumped foram desenvolvdos ncalmente por Southwell, Emmons e Dusnberre nos anos 40 (ESATAN, 998). Em 966 J. Gask na NASA, baseado nesta metodologa, desenvolve o códgo SINDA (99) System Improved Numercal Dfferencng Analyzer, consttundo o prmero sstema de análse térmca voltado para aplcações espacas. Já no níco da década de 80 a ESA desenvolve o ESATAN (998), substtundo o SINDA em seus laboratóros e adconando algumas melhoras. Com a mesma flosofa, no Brasl, o PC-TER (985) fo desenvolvdo pelo INPE. Como dto anterormente, o trabalho aqu proposto pode ser entenddo como um descendente dreto desta evolução..3 Objetvos e Contrbuções Os objetvos do trabalho aqu proposto estão galgados no estudo e mplementação de técncas numércas para o cálculo do fator de forma entre superfíces dfusas, cnzentas e opacas. Vsando nvestgar aspectos como acuráca, desempenho do método na presença de

27 Capítulo - Introdução obstruções e rapdez computaconal, algumas confgurações geométrcas de nteresse são analsadas. Além do estudo envolvendo o cálculo do fator de forma, o trabalho apresenta duas possíves mplementações para a solução de problemas envolvendo radação e condução acoplados. A prmera mplementação utlza o tradconal Método das Radosdades e a segunda o Método de Gebhart. Como dto anterormente, para a solução da parte dfusva é empregado um esquema tpo CVFEM, mplementado aqu para tratar superfíces dscretzadas em trângulos. Em vrtude destes dos métodos apresentarem característcas dstntas de acoplamento com a solução da condução de calor e de como tratam as não lneardades do problema, fatores como convergênca e tempo de processamento são objetos de nteresse. Uma contrbução mportante deste estudo é o fato de que o mesmo fo dretamente empregado no desenvolvmento do aplcatvo de análse térmca SATER00 (000). O software SATER00 consste de uma ferramenta de smulação e análse do problema conjugado de transferênca de calor por condução e radação, em superfíces de geometras tr-dmensonas. O aplcatvo também apresenta a flexbldade de tratar problemas de convecção e transferênca de massa, por utlzar uma representação smplfcada destes coefcentes quando tas fenômenos estão presentes. O projeto ctado acma, ncou em feverero de 999, e tem seu encerramento planejado para o níco de 00, sendo um consórco desenvolvdo entre as empresas ESSS-Engneerng Smulaton and Scentfc Software (Floranópols), Equatoral Sstemas (São José dos Campos), TCS Engenhara (São José dos Campos) e o Laboratóro de Smulação Numérca em Mecânca dos Fludos e Transferênca de Calor EMC/UFSC. O presente estudo vsou analsar, mplementar e verfcar quas metodologas seram mas adequadas e efcentes para o tpo de aplcação que se pretende resolver com tal aplcatvo. Toda a mplementação computaconal fo desenvolvda na lnguagem C++, utlzando a técnca de Programação Orentada a Objetos (OOP), vsando garantr uma boa performance numérca alada a uma programação organzada e de fácl re-usabldade (Barton e Nackman, 997)..4 Escopo do Trabalho Os capítulos subseqüentes estão dvddos da segunte manera:

28 Capítulo - Introdução 3 No capítulo segunte (segundo) caracterza-se o problema a ser estudado e apresenta-se alguns fundamentos e defnções físcas necessáros para a ntrodução e o entendmento de hpóteses envolvendo os fenômenos radatvos e condutvos que serão expostos. Objetva-se neste capítulo fornecer uma vsão geral do problema e abordar alguns aspectos e concetos que podem, se adequadamente esclarecdos, facltar o estudo de outros engenheros que porventura necesstem trabalhar com problemas envolvendo condução e prncpalmente radação. No tercero capítulo é ntroduzdo o assunto sobre fatores de forma, apresentando sua defnção, suas característcas e os métodos aqu utlzados para o seu cálculo computaconal. Em síntese, são apresentados os métodos de Dupla Dscretzação, Integral de Contorno e Hem-Cube. Neste capítulo são também dscutdas as rotnas computaconas necessáras para a mplementação destes métodos adconados de algortmos para tratamento de obstruções. No quarto capítulo são apresentados os dversos métodos de solução do problema radatvo solado. O tradconal Método das Radosdades e o Método de Gebhart são apresentados e comparados sob o ponto de vsta de suas formulações. No qunto capítulo apresenta-se a metodologa CVFEM utlzada para a solução do problema da dfusão de calor. Neste capítulo também é explcado como é realzado o acoplamento entre as equações de radação e condução para os dos métodos (Radosdades e Gebhart) apresentados para a troca de calor entre as superfíces. Este capítulo dedca-se também a explcar a mplementação computaconal e aos algortmos estudados para a solução do problema radatvo-condutvo acoplado, com ênfase nos processos teratvos para a solução da não lneardade presente entre as equações. O sexto capítulo é reservado para a apresentação dos resultados numércos. Dversas confgurações geométrcas para a avalação dos modelos do fator de forma foram utlzados. Aspectos como acuráca, sensbldade, precsão e performance computaconal são analsados. Também são apresentados resultados vsando valdar os algortmos para a solução dos problemas radatvos-condutvos e analsar o efeto da nfluênca da troca de calor por radação em um problema tradconal de condução de calor. Por fm, no sétmo capítulo são menconadas as conclusões do presente estudo e recomendações para futuros trabalhos.

29 Caracterzação do Problema Neste capítulo apresentam-se o problema de estudo, seus fundamentos físcos e matemátcos e as defnções necessáras para o entendmento dos desenvolvmentos deste trabalho. O que será apresentado abaxo fo retrado de textos clásscos de transferênca de calor como Incropera e De Wtt (99), Segel e Howell (993) e Modest (993).. O Problema Radatvo-Condutvo Como dto anterormente, o presente trabalho objetva-se na determnação da troca de calor, em regme permanente, entre superfíces delgadas, sem a presença de meo partcpante. condução A condução A 3 radação A condução Fgura. Problema radatvo-condutvo De acordo com a Fg.., os fenômenos de nteresse são a condução de calor bdmensonal (com ou sem geração) no nteror das superfíces, acoplada com a troca de calor radatva entre elas. Vsando a modelagem do problema radatvo, as superfíces serão admtdas como sendo dfusas e cnzentas e a possbldade de obstrução parcal ou total entre elas é levada em consderação.

30 Capítulo - Caracterzação do Problema 5 A condução de calor é um fenômeno físco que está assocado ao nível energétco das moléculas que compõem um determnado meo. Este nível está assocado ao movmento aleatóro das moléculas, responsável pela transferênca de energa das partículas de maor para menor nível energétco. Este processo é também chamado de dfusão de energa, e sempre ocorre na presença de um meo e de um gradente de temperatura. Uma forma bastante lustratva de entender o fenômeno da condução está apresentado em Incropera e De Wtt (99). A taxa com que a transferênca de calor se propaga em um determnado meo é dado pela Le de Fourer. Esta equação pode ser utlzada para calcular a quantdade de energa transferda neste meo por undade de tempo, sendo expressa em termos do fluxo de calor perpendcular a uma superfíce sotérmca ( n ) de acordo com a segunte expressão q ' c dt = k d n ' (.) onde T é a temperatura do materal e k a condutvdade térmca, possundo a undade W/m k. A condutvdade térmca (k) é uma propredade que proporcona uma ndcação sobre a taxa de transferênca de energa, que acontece pelo processo de dfusão, e depende da estrutura físca e molecular da matéra. Consderando as placas da Fg.. meos b-dmensonas homogêneos, podemos realzar o balanço de energa em um volume de controle elementar, consderando a parcela de energa que é transportada por dfusão no nteror deste meo e a parcela de energa que esta superfíce recebe por radação, de acordo com a Fg... T q rad T(x,y) q y+dy dy dx q q x E g + E ac q x+dx q rad T z y x q rad q y Fgura. Balanço de energa em um volume de controle elementar

31 Capítulo - Caracterzação do Problema 6 O balanço de energa é dado por entra sa + gerada = (.) acumulada E E E E Empregando a Le de Fourer [Eq.(.)], em um volume de controle de espessura δ [m] encontramos onde ρ e cp T T k + k + q gerado x x y y q + " radação δ = ρc p T t (.3) são a densdade e o calor específco do materal, respectvamente. O termo q [W/m 3 ], representa o termo fonte da equação responsável pela geração ou sumdouro de calor e o termo " q radação [W/m ] representa os fluxos de calor absorvdos-emtdos nas superfíces do volume de controle orundos do fenômeno da radação. A Eq.(.3) é a forma geral em coordenadas cartesanas da equação da transferênca de calor que utlzaremos para tratar as superfíces em questão. Desprezando o termo transente e unndo os termos de radação e geração de calor em uma únca parcela de fluxo ncdente, esta equação resulta na expressão abaxo T k + x x T k + Q T y y ( ) = 0 Esta é a equação de dfusão de calor b-dmensonal em regme permanente, e será o objeto de estudo ao longo do texto. A contrbução dos termos radatvos está embutda no termo Q, e como será apresentado adante, é função da temperatura. Este fato fornece uma forte não-lneardade à equação acma. (.4)

32 3 Fator de Forma Neste capítulo apresenta-se dversos métodos e aproxmações utlzadas para o cálculo do fator de forma entre superfíces dfusas emtndo radação unforme. Será fornecda atenção especal para as rotnas e algortmos utlzados à verfcação de obstruções entre as superfíces. Os métodos aqu descrtos serão utlzados para as análses comparatvas realzadas ao longo do presente estudo. 3. Defnção do Fator de Forma entre Superfíces Dfusas 3.. Fator de Forma entre dos Elementos de Área Infntesmal A obtenção da expressão do fator de forma entre dos elementos de área nfntesmal que possuem superfíces dfusas, nca-se consderando a quantdade de energa que é emtda pela superfíce da echegaemda (Fg.3.). A d normal à A d θ A S normal à A d θ A d A Fgura 3. Troca radatva entre dos elementos nfntesmas

33 Capítulo 3 - Fator de Forma 8 Com auxílo do capítulo anteror, esta quanta de energa é representada por dq ( λ) = I ( λ) da cosθ dω d d λ, e, (3.) Analsando a Fg.3., temos que o ângulo sóldo dω é expresso por d da cosθ S Substtundo a Eq.(3.) na Eq.(3.), obtemos ω = (3.) dq d d ( λ) = I λ, e, ( λ) da cosθ da S cosθ (3.3) O conceto do fator de forma entre duas superfíces nfntesmas ( Fd d ) envolve fatores puramente geométrcos e defne-se como a fração de energa ncdente em da, provenente de da. Esta expressão é obtda dvdndo a Eq.(3.3) pela energa total provenente de da, resultando em F d d = I λ, e, ( λ) da cosθ da cosθ πi ( λ) da S λ, e, cosθ cosθda = πs O mesmo desenvolvmento podera ser feto baseado na fração de energa que atnge da, provenente de da obtendo-se o fator de forma da superfíce da em relação a da. (3.4) 3.. Fator de Forma entre um Elemento de Área Infntesmal e um Elemento de Área Fnta No caso de substturmos o elemento da por um elemento de área A, para obtermos a expressão do fator de forma entre um elemento de área nfntesmal e um elemento de área fnta, devemos realzar a ntegração da Eq.(3.4) ao longo desta superfíce. Esta operação nos fornece cosθ cosθ F d = dfd d = da (3.5) πs A A 3..3 Fator de Forma entre dos Elementos de Área Fnta Segundo a mesma lógca, se a Eq. (3.5) for ntegrada ao longo de A, obtemos a fração da energa que sa de A e atnge A ( F ). Assm, a expressão para F vale

34 Capítulo 3 - Fator de Forma 9 = cosθ cosθ πs F dada A (3.6) AA A expressão acma é de extrema mportânca no cômputo das trocas radatva entre superfíces, sendo de dfícl cálculo quando superfíces com formas complexas estão envolvdas e exste a presença de obstruções. A avalação da expressão acma de forma correta e precsa, representa uma grande etapa no cômputo da troca radatva entre duas superfíces. Como a parcela do fluxo de calor que chega em A provenente de A é sempre menor ou gual a parcela que sa de A, temos que 0 F (3.7) 3. Propredades do Fator de Forma entre Superfíces Dfusas 3.. Regra da Soma Consderemos agora a superfíce A em uma cavdade fechada, formada por N outras superfíces. Toda a energa que sa desta superfíce será totalmente dstrbuída entre todas as outras, ou seja, não haverá parcela de energa perdda para fora da cavdade. Para satsfazer a conservação de energa devemos ter a soma do fator de forma da superfíce A para todas as outras superfíces da cavdade gual a undade, ou seja N j= F j = (3.8) 3.. Relação de Recprocdade Além da propredade acma menconada, de acordo com Segel e Howell (993), nvertendo a ordem de ntegração da Eq.(3.6), é fácl provar que exste uma recprocdade entre F e F dada por: A (3.9) F = A F

35 Capítulo 3 - Fator de Forma Relação de Adção Consderemos agora a superfíce A composta por duas superfíces A a e A b. A energa provenente de A que atngu A é composta pela soma das parcelas que atngram as superfíces A a e A b. Transportando sto para a nomenclatura do fator de forma temos F = F a + F b (3.0) Esta expressão pode ser estendda para qualquer superfíce compostas por N outras superfíces e, ao utlzar esta defnção, algum cudado deve ser tomado, pos o nverso nem sempre é verdadero Analoga de Nusselt UmaoutracaracterístcamportantedofatordeformaéachamadaAnalogadeNusselt (Segel e Howell, 99). Consdera-se um hemsféro untáro sobre um elemento de área da, como mostrado na Fg.3. Fgura 3. Analoga de Nusselt (Segel e Howell, 99) por Sabemos que o fator de forma de uma área nfntesmal para um área fnta (A ) é dado

36 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,839 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:57 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

37 Capítulo 3 - Fator de Forma cos θ Fd = cos θ da = cosθdω π S π A A (3.) Sabendo também que d ω (ângulo sóldo) representa a projeção de da na superfíce do hemsféro, obtemos cosθ da da S d = = = ω (3.) S onde r representa o rao untáro. Podemos portanto, escrever o fator de forma utlzando a Eq.(3.) da segunte manera r F = cosθ π d da S A S da S (3.3) Ofator cosθ da s equvale a projeção de da s na base do hemsféro. Se realzarmos a ntegração de cosθ da s, obteremos a projeção de A s na base do hemsféro, chamada aqu de A b. A equação acma pode então ser escrta como Fd = θ π cos da A S S Ab = π (3.4) Analsando a Eq.(3.4) podemos conclur que se conhecermos o valor da área projetada na base do hemsféro (A b ) de uma superfíce A, podemos faclmente determnar o fator de forma F d-. Alguns métodos numércos, como o Hem-Cube, baseam-se nesta analoga para a determnação do fator de forma entre superfíces Acuráca e Recprocdade De posse de todas as propredades e defnções sobre fator de forma é mportante realzarmos algumas observações sobre a precsão envolvda nos métodos numércos que serão apresentados ao longo deste capítulo e como eles utlzam a relação de recprocdade para o cálculo dos fatores de forma. Métodos probablístcos como o Monte Carlo (Pattanak et al.,99), utlzam estmatvas para conhecer a precsão do cálculo de F -. A maora dos outros métodos tende a utlzar a le da soma (verfcando se a soma resulta em um valor untáro) ou da recprocdade (comparando os valores de A F - com A F - ) para esse fm. Essa prmera comparação resulta em grande ncerteza, pos embora o somatóro dos fatores de forma possa resultar em um valor untáro, não se asseguram valores ndvduas de F -. A utlzação da le da

38 Capítulo 3 - Fator de Forma recprocdade representa uma medda muto mas confável, mas como dto anterormente, é necessáro que ambos os valores de F - e F - sejam calculados, processo que é computaconalmente caro. Atualmente, a maora dos sstemas computaconas desenvolvdos para o cálculo do fator de forma utlzam a le da recprocdade para dmnur o número de processamentos a serem realzados e utlzam algumas expressões analítcas, desenvolvdas para confgurações geométrcas smples, para a verfcação de sua precsão. Assm, observa-se que atualmente não exste nenhuma metodologa numérca absoluta que garanta a precsão do cálculo do fator de forma consderando a presença de obstruções. 3.3 Métodos Analítcos para o Cálculo do Fator de Forma Para um grupo reduzdo de confgurações geométrcas, a ntegração da Eq.(3.6) pode ser realzada analtcamente. Estas soluções analítcas, mesmo com suas lmtações de confgurações geométrcas, são amplamente utlzadas para valdação e entendmento do comportamento dos métodos numércos. Nesta seção somente exemplos de alguns casos comumente utlzados para comparação de métodos numércos serão apresentados Integração Dreta Para o caso de geometras smples, realzando a ntegração dreta da Eq.(3.6), algumas expressões analítcas para o fator de forma podem ser obtdas. Apesar do resultado nos fornecer uma forma fechada para a sua avalação, as expressões resultantes são em geral extensas. Os dos exemplos a segur, apresentados nas Fgs. 3.3 e 3.4 lustram sto: a a X =, Y = c b c c b A A F ( + X )( + Y ) X ln + + X Y tan + X + Y = + Y πxy Y + Y + X tan X tan X Y tan + X Y Fgura 3.3 Fator de forma entre duas placas paralelas (Segel e Howell, 99)

39 Capítulo 3 - Fator de Forma 3 b a c A A 90 o F = tan π Y Y Y ( + X + ln ( + Y )( X a b X =, Y = b c + Y ) + Y ) X Y + Y tan X + Y Fgura 3.4 Fator de forma entre duas placas perpendculares (Segel e Howell, 99) A segur, na Fg.3.5, é também apresentado um exemplo que será utlzado ao longo deste capítulo. A smplcdade desta fórmula é orunda do fato de envolver um elemento de área nfntesmal. A h r = r F d r + h da Fgura 3.5 Fator de forma entre um elemento nfntesmal e um dsco de rao r (Segel e Howell, 99) 3.3. Integral de Contorno Uma ferramenta bastante útl na avalação do fator de forma éautlzação do teorema de Stokes para a redução das ntegras de área, encontradas na expressão do fator de forma, em ntegras de contorno. Sejam P, Q e R quasquer funções duplamente dferencáves em x, y, ez. Oteoremade Stokes, utlzado em três dmensões, fornece a segunte relação entre a ntegral na superfíce de área A eantegraldep, Q e R no contorno C desta superfíce, conforme Fg.3.6. C A ( Pdx + Qdy + Rdz) = R Q P R Q P cosα + cos γ + cosδda y z z x x y (3.5)

40 Capítulo 3 - Fator de Forma 4 Fgura 3.6 Entdades geométrcas envolvdas no Teorema de Stokes (Segel e Howell, 99) Representando adequadamente as funções P, Q e R, pode-se utlzar esta técnca nas ntegras presentes na Eq.(3.6), resultando em A F = π (ln Sdxdx + ln Sdydy + CC ln Sdz dz ) (3.6) onde S é a dstânca entre as superfíces. Maores detalhes podem ser obtdos em Segel e Howell (99). Utlzando este método, Schroder e Hanrahan (993) obtveram uma complexa expressão fechada para o fator de forma entre dos polígonos sem obstrução posconados arbtraramente no espaço. 3.4 Métodos Numércos para o Cálculo do Fator de Forma A determnação do fator de forma entre duas superfíces é uma smples tarefa de avalar uma ntegral dupla. Quando não exstem obstruções e entre superfíces de geometras smples é possível obter uma solução analítca. Quando as geometras são complexas, mas sem obstruções, a avalação numérca da ntegral é, concetualmente, um processo smples, onde a precsão e conseqüentemente o tempo de computação são fatores mportantes. Quando

41 Capítulo 3 - Fator de Forma 5 exstem obstruções, os algortmos complcam-se consderavelmente em função da pesqusa necessára para a verfcação de superfíces obstrutoras e nas determnações das regões de sombra. As seções seguntes fornecem um apanhado sobre algumas técncas numércas empregadas no cálculo do fator de forma e descrevem alguns algortmos utlzados para a dmnução das checagens destas obstruções e para a determnação das regões obstruídas Aproxmações e Hpóteses Utlzadas Como todo método numérco, o prmero passo para o cálculo do fator de forma, consste na dscretzação dos elementos geométrcos envolvdos. Assm, cada superfíce geométrca em questão é subdvdda em superfíces menores e nestas são calculadas os fatoresdeformaeatrocalíqudaradatva.esteprocessodenomna-segeração da malha radatva. (malha radatva) Fgura 3.7 Dscretzação utlzada para o cálculo do problema radatvo No presente estudo, cada superfíce geométrca fo dscretzada em trângulos (ver Fg.3.7, utlzando a técnca descrta em Malska Jr. (00). Como será mas detalhado adante, uma vez dscretzadas as superfíces e os trângulos resultantes utlzados para o cálculo do fator de forma e das trocas de calor, estamos assumndo a hpótese de que as propredades e ntensdades radatvas nestes trângulos são constantes. Obvamente, quanto menores forem estes trângulos, ou seja, quanto mas refnada for a malha radatva, melhor será esta aproxmação. A partr de agora, ao longo deste texto, quando utlzarmos o termo superfíce ou elementos, deve fcar claro que estamos tratando das superfíces trangulares orundas do processo de dscretzação. Mutas vezes, com fns ddátcos e lustratvos, os desenhos aqu

42 Capítulo 3 - Fator de Forma 6 mostrados apresentam superfíces dvddas em quadrados. Nestas ocasões, as hpóteses em questão serão váldas para todos os tpos de elemento (quadrados ou trângulos). Caso sto não seja verdadero, as observações serão devdamente apresentadas. Uma outra hpótese comumente utlzada por alguns métodos numércos para o cálculo do fator de forma entre duas superfíces é a de se aproxmar a Eq.(3.6) utlzando a Eq.(3.5), ou seja, aproxma-se o valor do fator de forma entre duas superfíces pelo fator de forma entre um elemento de área nfntesmal e uma superfíce. Assumndo-se algumas hpóteses, esta condção pode ser aplcada. Reorganzando estas duas equações temos que F cosθ cosθ = dada = A πs AA A A F d da (3.7) Analsando a Eq.(3.7), podemos verfcar que a função da ntegral externa éade realzar a méda na área entre todos os elementos nfntesmas da eaáreaa. Assm, aproxmando F - por F d-, estaremos assumndo a hpótese de que F d- é constante ao longo de A,ouseja F F (3.8) d Geralmente, o centro do elemento dscretzado é utlzado como ponto representatvo para ser utlzado por esta aproxmação. Examnando a Eq.(3.7), a hpótese acma descrta é bastante válda se duas condções forem satsfetas. A prmera condção dz que a dstânca entre as duas superfíces (S), deve ser muto maor que o tamanho médo do elemento A.Esta hpótese é chamada de hpótese da proxmdade (Baum et al. 989), e é válda se S não varar muto ao longo de A. Como a dependênca do fator de forma com a dstânca é não lnear, erros surgrão quando a dstânca vara muto ao longo de A. Como um exemplo, sempre que duas superfíces forem adjacentes e a dstânca S for pequena em comparação ao tamanho da superfíce em questão (A ), a hpótese que F d- é representatvo de F - é volada, como pode ser vsto na Fg.3.8. A A S da da Fgura 3.8 Volação da hpótese da proxmdade

43 Capítulo 3 - Fator de Forma 7 Por outro lado, se agora estvermos nteressados no cálculo do fator de forma F -, analsando a Fg.3.8 podemos verfcar que a utlzação da hpótese acma poderá fornecer boas aproxmações, pos a dstânca S entre os centros das superfíces é grande comparada com o tamanho médo da superfíce A. Assm, como a varação de F d- ao longo da superfíce A é menor comparada com a varação F d- ao longo da superfíce A, a aproxmação de F - por F d- será mas bem avalada do que F - por F d-. Uma outra aproxmação comumente assumda é que a vsbldade da superfíce A é constante quando vsta da superfíce A. Esta hpótese é chamada de hpótese da vsbldade (Baum et al. 989). A A 3 A Fgura 3.9 Volação da hpótese da vsbldade Analsando a Fg.3.9, o centro da superfíce A não será representatvo da vsbldade que A possu de A. Ambas as hpóteses até agora apresentadas, assumem que F d- seja constante ao longo de A, sendo assm, é fácl perceber que, à medda que o tamanho de A cresce, a chance de volações nas hpóteses da proxmdade e vsbldade também cresce (ver Fg.3.0). Portanto, reduzndo o tamanho destas superfíces, teremos maores chances de estarmos utlzando estas aproxmações corretamente.

44 Capítulo 3 - Fator de Forma 8 A 3 A A da F d- Fgura 3.0 Aproxmação F - por F d- Se agora utlzarmos um outro nível de subdvsões no nteror dos elementos orundos da dscretzação, ou seja, um refnamento desta malha, obteremos melhores resultados. Consderando a superfíce A subdvdda em M sub-elementos, a Eq.(3.7) resulta em F = A M u= F d A, u, u (3.9) Percebe-se que com a subdvsão dos elementos dscretzados e a utlzação da expressão acma, estamos avalando numercamente a ntegral externa da expressão do fator de forma, resultando em um valor mas precso e menos sujeto a erros de vsbldade. Varando o número de M sub-elementos na superfíce A, teremos controle sobre a precsão do método e também do tempo computaconal. A subdvsão unforme gera um tempo computaconal elevado e mutas vezes cra sub-elementos desnecessáros, sem fornecer qualquer melhora na precsão. Pode-se utlzar um procedmento mas adequado, como o descrto por Sllon e Puech (994), aonde os elementos dscretzados são dvddos (refnados) adaptatvamente, somente nas regões que volam as hpóteses acma, concentrando acuráca e otmzando o tempo de processamento. A A A A (subdvsão unforme) (subdvsão adaptatva) Fgura 3. Redução de erros devdo a volação da hpótese da proxmdade

45 Capítulo 3 - Fator de Forma 9 A A A 3 A 3 A A (subdvsão unforme) (subdvsão adaptatva) Fgura 3. Redução de erros devdo a volação da hpótese da vsbldade Outro bom exemplo da utlzação de malhas adaptatvas para o cálculo do fator de forma é o trabalho de Saltel e Kolbal (993), aonde utlza-se refnamentos do tpo p e h (comumente utlzados em elementos fntos), e crtéros de erro defndos pelo usuáro para a obtenção de fatores de forma mas precsos Dupla Dscretzação Utlzando Aproxmação de Dsco O clássco método da dupla dscretzação realza a avalação numérca da expressão do fator de forma F d- entre um elemento de área nfntesmal e uma superfíce fnta. Este método consste na subdvsão da superfíce A em N elementos de área A, v. De posse das posções e das áreas destes elementos, calcula-se cada fator de forma F d, v entre a superfíce da e o elemento F d, v A, v. Para o cômputo fnal da Eq.(3.5), é realzada a soma destes. As seguntes expressões esclarecem este procedmento. F d = cosθ cosθ dfd d = da = πs = A A v N A, v cosθ, v πs cosθ, v da, v (3.0) N F d = F d, v v= (3.) onde, F d, v = A, v cosθ, v πs cosθ, v da, v (3.)

46 Capítulo 3 - Fator de Forma 30 Assumndo a hpótese de que A, v é pequeno quando comparado com o termo da dstânca (S ), podemos aproxmar a Eq.(3.) por o que resulta em cosθ, v, v F d, v A, v πs cosθ (3.3) F d N v= cosθ, v πs cosθ, v A, v (3.4) Analsando a expressão acma, podemos verfcar que caso haja volação da hpótese, ou seja, se a dstânca S for pequena comparada com o tamanho de A, v,ovalordef d- tenderá ao nfnto à medda que o valor de S for dmnundo e o tamanho de A, v for crescendo. Assm, para evtar valores fscamente rreas, a superfíce A deverá ser dvdda em um número muto grande de elementos, resultando em um aumento proporconal do tempo computaconal. Fgura 3.3 Elementos geométrcos envolvdos no método da dupla dscretzação com a aproxmação de dsco Vsando reduzr a necessdade de se utlzar um grande número de elementos na dvsão da superfíce A, Wallace et al. (989), ntroduzram a chamada aproxmação de dsco. Eles

47 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,840 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:57 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

48 Capítulo 3 - Fator de Forma 3 sugerem que A, v seja aproxmado por um smples elemento geométrco com a mesma área, para o qual uma fórmula smples e exata do fator de forma seja conhecda. Em vrtude da smplcdade, a utlzação da expressão contda na Fg.3.5 é recomendada. Esta expressão refere-se ao fator de forma de um elemento nfntesmal e um círculo paralelo de rao r, e pode ser faclmente complementada para levar em consderação as dferente orentações espacas que estes dos entes geométrcos possam vr a ter. Isto é realzado multplcando os cosenos dos ângulos formados pelas normas das superfíces com o vetor dstânca entre elas. θ,v A r θ,v S da Fgura 3.4 Fator de forma entre um elemento nfntesmal e um dsco posconado arbtraramente no espaço A segunte expressão é resultado desta aproxmação (ver Fg.3.5) r Fd, v = cosθ, v cosθ (3.5), v r + S Multplcando e dvdndo a expressão acma por π,temos πr cosθ cosθ, v, v F d, v = cosθ, v cosθ, v = A, v πr + πs πs + A, v (3.6) Notequeapresençade A, v no denomnador prevne o problema de termos valores que tendem ao nfnto, ou seja F d, v maores que. Isto é faclmente verfcado, pos quando S 0, F d, v cosθ, v cosθ, v e por outro lado quando A, v 0, F d, v aproxma de seus valores exatos. Utlzando esta aproxmação, fatores de forma com excelente precsão podem ser atngdos aumentando o número de elementos A, v se. Somando os valores de cada F d, v, temos a segunte expressão para a F d

49 Capítulo 3 - Fator de Forma 3 F d = N v= cosθ πs, v cosθ + A, v, v A, v (3.7) Na mplementação numérca da expressão acma utlza, após a dscretzação da superfíce A, utlzam-se técncas conhecdas como ray-tracng (Foley et al.,990), amplamente dfunddas na comundade de computação gráfca. A versão desta técnca mplementada aqu neste trabalho não dspõe de nenhum algortmo de aceleração, e consste em emtr um rao do elemento de superfíce da em dreção a A, v. Durante este processo, verfcações são realzadas envolvendo possíves superfíces para a checagem de obstrução. Este passo consste na smples verfcação da ntersecção do rao emtdo com as demas superfíces do problema. Se não exste obstrução a soma correspondente a A, v é computada. Caso contráro, a mesma é descartada e passa-se para o elemento segunte. Vsando a dmnução deste número de checagens por superfíces obstrutoras, a mplementação computaconal deste método, durante este estudo, utlzou os algortmos que serão descrtos na seção A volação da vsbldade sgnfca que a vsão do centro do elemento nfntesmal da não é representatva do elemento A, v. Para dmnur este erro podemos aproxmar a ntegral externa da expressão do fator de forma, dvdndo agora a superfíce A em M elementos e utlzando a Eq.(3.9), resultando em cosθ cosθ M M N, uv, uv F = Fd A, u = δu, v A, v A, u A u= A u= v= πs + A, v (3.8) A técnca que utlza a equação acma apresentada é conhecda como dupla dscretzação com aproxmação de dsco, em vrtude de sua smlardade com a expressão analítca do fator de forma. O termo δu, v dos elementos se vêem, ele vale, caso contráro, o seu valor é 0. fo adconado para representar a vsbldade. Se

50 Capítulo 3 - Fator de Forma 33 Fgura 3.5 Dupla dscretzação com a aproxmação de dsco A rotna computaconal para a mplementação desta técnca é apresentada de manera smples para dos elementos (A e A ) no dagrama contdo na Fg.3.6. Uma das prncpas vantagens deste método é a facldade com que ele pode ser mplementado para utlzar dscretzações adaptatvas, reduzndo os erros nas suas aproxmações. Obvamente, o mesmo pode ser atngdo utlzando-se um refnamento unforme, mas utlzando uma malha adaptatva pode-se otmzar o tempo computaconal necessáro com um ganho efetvo na precsão, refnando mas em elementos mas crítcos. Por outro lado, em vrtude deste método comumente necesstar de um número elevado de elementos nas superfíces envolvdas, quando o mesmo não utlza técncas de aceleração para o processamento dos raos, ele se apresenta lento computaconalmente quando comparado com os outros métodos. Este fato será verfcado ao longo deste trabalho.

51 Capítulo 3 - Fator de Forma 34 Iníco F - = 0 dvdr A dvdr A em M elementos em N elementos u = 0, v = 0 u < M? Sm c u = centro do elemento[u] v < N? Sm c v = centro do elemento[v] Não c u e c v se vêem? Não v = 0 cos θ Sm cos θ, uv, uv F = F + A, v A, u πs + A, v Não v = v + u = u + F = F A Fm Fgura 3.6 Algortmo do método da dupla dscretzação com a aproxmação de dsco

52 Capítulo 3 - Fator de Forma Hem-Cube O método do Hem-Cube, desenvolvdo por Cohen e Greenberg (985), é dretamente dervado da Analoga de Nusselt apresentada na seção Em vrtude dos métodos baseados na Analoga de Nusselt possuírem a mesma abordagem, eles são também classfcados como métodos de projeção e seu entendmento fca fácl quando observamos a Fg.3.7. Fgura 3.7 Implementação numérca da analoga de Nusselt A prmera etapa destes métodos consste na cração de um novo sstema coordenado posconado no centro da superfíce da superfíce A e um novo exo (z ) normal a esta superfíce.. Assm, somente superfíces que estão acma do plano z =0 são consderadas, pos as que estão abaxo dela possuem fator de forma nulo. Após sto, dvde-se o hemsféro da Fg.3. em um determnado número de sub-elementos denomnados pxels, e que são projetados em pequenas áreas da base. À medda que uma superfíce A, para o qual se deseja calcular o fator de forma, cobre um determnado conjunto de pxels, utlzando-se a Eq.(3.4) calcula-se o fator de forma somando as áreas projetadas pelos pxels que são cobertos por esta superfíce. Se exstr casos onde uma superfíce A 3 cobre o mesmo pxel já coberto por outra, é então verfcada a dstânca de cada superfíce até o centro da superfíce consderada, sendo credtado o fator de forma àquele que possur menor dstânca.

53 Capítulo 3 - Fator de Forma 36 A mplementação computaconal destes métodos apresentaram algumas falhas. Dentre elas pode-se ctar o fato de que a projeção de elementos na superfíce e posteror projeção na base, em geral, fornece elementos com contornos muto curvos e suas áreas são de dfícl determnação. Assm, para a obtenção destes valores com precsão é necessáro a utlzação de um número muto grande de pxels. Vsando resolver esta problema, em 985, Cohen e Greenberg ntroduzram o conceto do Hem-Cubo. Como pode ser vsto na Fg.3.8, este método basea-se na utlzação de metade de um cubo posconado no centro da superfíce de onde se deseja determnar o fator de forma. Como a superfíce do hemsféro, a superfíce do cubo também é dvdda em pxels, assm, cada uma das cnco faces deste hem-cubo é unformemente dscretzada em elementos quadrados (pxels) de tamanho A. Fgura 3.8 O Hem-Cubo Vsando a aceleração do método, pode-se utlzar um hem-cubo de tamanho fxo. Desta manera, o fator de forma correspondente a cada pxel com relação ao centro, de fácl determnação, pode se encontrar prevamente calculado e armazenado, fazendo que o seu cálculo não seja mas necessáro ao longo do problema. Se A é pequeno comparado com o tamanho do hem-cubo, sto é, se a resolução do hem-cubo é sufcente, o valor deste F

54 Capítulo 3 - Fator de Forma 37 pode ser aproxmado pela expressão do fator de forma entre dos elementos nfntesmas, dada por cos (3.9) θ θ F = cos πs A Fgura 3.9 Pxels das faces lateras e superor Devdo a smetra, somente um quarto da face superor e um otavo das faces lateras necessta ser calculado e armazenado. Para estes pxels temos S + = x + y z,e (3.30) θ z = S cos (3.3) Para a face superor, com z constante, temos z S s cos θ =,e (3.3) s

55 Capítulo 3 - Fator de Forma 38 z s s Fs = As = 4 πss π( xs + ys + zs ) z A s (3.33) Analogamente, na face lateral y S l cos θ =,e (3.34) l y z y z l l l l Fs = Al = 4 πsl π( xl + yl + zl ) A l (3.35) Da defnção do fator de forma sabemos também que se duas superfíces dstntas dspostas aleatoramente no espaço, quando projetadas com relação a um centróde, cobrrem a mesma área de um hemsféro (Fg.3.0), estas possurão o mesmo ângulo sóldo e conseqüentemente, o mesmo fator de forma. A B C D E Fgura 3.0 Superfíces com fatores de forma dêntcos De posse deste conceto, cada pxel de cada face deste hem-cubo, possu um ângulo sóldo determnado pela projeção da superfíce do pxel em um hemsféro untáro. Se uma determnada superfíce A for projetada nas superfíces deste hem-cubo e esta projeção cobrr um determnado número de pxels, o ângulo sóldo resultante desta superfíce será a soma do ângulo sóldo dos pxels cobertos pela sua projeção. Conseqüentemente, utlzando a relação de adção, apresentada na seção 3.., o seu fator de forma pode ser aproxmado pela soma dos fatores de forma dos pxels cobertos. Assm, o fator de forma entre uma superfíce A e uma superfíce A pode ser aproxmado pela expressão entre um elemento nfntesmal e uma área fnta, resultando em

56 Capítulo 3 - Fator de Forma 39 F d = F q q P (3.36) onde P é o conjunto de pxels cobertos pela projeção de A. Esta aproxmação é baseada em uma smplfcação chamada de hpótese do falseamento (alasng). Esta smplfcação assume que a projeção de uma superfíce vsível nas faces do hem-cubo é precsamente avalada pelas áreas dos pxels cobertos em um hem-cubo de resolução fnta. É sabdo, entretanto, que alguns problemas sempre surgrão, pos a dscretzação fnta e unforme das faces do hem-cubo é ncapaz de captar corretamente todos os contornos que podem surgr. Estes erros são conhecdos como erros de falseamento eeles podem vr a superestmar ou subestmar os valores do fator de forma, conforme mostrado na Fg.3.. Fgura 3. Volação da hpótese do falseamento Erros de falseamento são reduzdos com o aumento da resolução do hem-cubo, resultando também em um aumento do tempo de processamento. Intutvamente, a escolha da resolução adequada de um hem-cubo depende do número de superfíces envolvdas [ Ο (N) ]. Deve-se também levar em consderação o formato geométrco destas superfíces e o fato de que superfíces mas próxmas são mas propícas a este tpo de problema do que as mas afastadas, pos em geral, possuem maor área projetada. Resumndo, a escolha do grau de refno da face do hem-cubo não é uma tarefa fácl, pos consttu um compromsso entre acuráca e tempo de processamento. É mportante salentar que neste método temos a necessdade de se efetuar o processamento de corte (clppng) nas faces do cubo, quando a regão das superfíces

57 Capítulo 3 - Fator de Forma 40 projetadas abranjam parcalmente sua área, conforme Fg.3.. Város algortmos como o Sutherland-Hodgman descrto em (Foley et al., 990) podem ser utlzados para este fm. Fgura 3. O processo de clppng Após o processo de clppng é necessáro determnar quas pxels estãocobertos.istoé realzado verfcando se a posção do pxel em consderação se encontra dentro da área recortada. Esta operação é faclmente realzada transformando o plano em questão para coordenadas homogêneas (Foley et al., 990). A vsbldade é avalada utlzando um smples e efcente algortmo tpo Z-buffer, amplamente dfunddo no meo da computação gráfca (Foley et al., 990). Resumdamente, este algortmo consste na assocação de um valor de profunddade (dstânca entre o centro do hem-cubo e cada superfíce) para cada pxel em questão. Assm, caso duas superfíces projetadas cubram o mesmo pxel, o valor desta profunddade é comparado e o pxel será assocado com a superfíce mas próxma, ou seja, a que possu a menor profunddade. Para a realzação de tal verfcação, para cada face do hem-cubo, todas as superfíces envolvdas devem ser projetadas, resultando no cálculo smultâneo de uma lnha ntera da matrz do fator de forma. Isto sgnfca que, em um ambente com N superfíces, N fatores de forma são calculados de uma só vez para cada face do hem-cubo. O seu algortmo é descrto a segur.

58 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,840 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:58 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

59 Capítulo 3 - Fator de Forma 4 Iníco u = 0, v = 0, x = 0, s = 0, x c = 0 u < número de superfíces de A? Sm Não F d- = 0 u = u + poscone o hem-cubo no centro da superfíce A, alnhe o exo z do hem-cubo com a normal da superfíce A v < 4 (número de faces do hem-cubo) Sm (ver próxma págna) Não x = 0 x < número de pxels na face [v] Sm Não F d-[tem(x)] =F d-[tem(x)] + F [tem(x)] x = x + v = v + Fm Fgura 3.3 Algortmo do método Hem-Cube

60 Capítulo 3 - Fator de Forma 4 x = 0 x < número de pxels na face [v] Sm Não tem[x] = NULO, profunddade[x] = x = x + s < número de superfíces A? Sm realzar projeção de A na face recortar A projetado com área da face verfcar quas pxels foram cobertos pela área recortada Não x c < número de pxel cobertos? Sm p = dstânca entre o centro de xea Não x c = 0 p < profunddade[x]? Sm Não tem[x] = A profunddade[x] = p x c = x c + s = s + Fgura 3.4 Algortmo do método Hem-Cube (cont.) Em vrtude da flosofa nerente deste algortmo, o mesmo não necessta realzar processos de checagem (como os que serão descrtos na seção 3.4.5) utlzados para a seleção de superfíces obstrutoras. O fato de o própro método do hem-cube ser responsável por esta tarefa faz com que este tenha boa performance computaconal. Atualmente, este método está trando proveto da capacdade computaconal das poderosas workstatons presentes no mercado. Estas rotnas para projeção, clppng e verfcação de nterferêncas já estão otmzados e se encontram presentes e mplementados em bblotecas em nível do hardware da máquna, sendo responsabldade do usuáro somente acessá-las e utlzá-las. Um exemplo da aplcação destas novas técncas é mostrada

61 Capítulo 3 - Fator de Forma 43 por Rushmeer et al. (990), onde uma redução drástca no tempo de processamento é atngda. Como fo mostrado, o método Hem-Cube calcula fator de forma F d- entre um elemento nfntesmal e uma área fnta. Portanto, cudado deve ser tomado na sua utlzação para a não volação da hpótese da proxmdade e vsbldade. Vsando a dmnução destes erros, no presente trabalho, o método Hem-Cube mplementado dscretza também a superfíce A, avalando a ntegral externa numercamente, como mostrado na seção anteror e expresso pela Eq.(3.9) Integral de Contorno O método da ntegral de contorno é uma aproxmação numérca da Eq.(3.6). O método aqu descrto basea-se em uma smplfcação desta expressão, desenvolvda por Mtalas e Stephenson (966), onde uma das ntegras é avalada analtcamente, conforme Fg.3.5. Se os contornos das superfíces A e A forem compostos por um número fnto de segmentos retos podemos escrever a Eq.(3.6) como A F = π 4 4 cosθ p, q p= q= C [( T cosα lnt + S cos β ln S + Uγ R) dl ] p, q (3.37) q= q=4 q= A R q=3 α β T U S γ dl p=3 A p=4 p= p= Fgura 3.5 Elementos geométrcos envolvdos no método de Mtalas e Stephenson

62 Capítulo 3 - Fator de Forma 44 onde C é o contorno da superfíce A e θ p, q é ângulo entre os contornos p e q. As varáves S, T, U,α,β e γ são funções de l, que é a posção ao longo do contorno p onde está sendo avalada a ntegral. Por smplfcação, as áreas A e A são apresentadas possundo 4 lados, mas a Eq.(3.37) pode ser estendda para dos polígonos quasquer de n e m lados, respectvamente. O método numérco utlzando a expressão de Mtalas e Stephenson consste na avalação numérca da ntegral da Eq.(3.37), obtda realzando-se a dvsão do contorno p em um número dscreto de segmentos. De acordo com Walton (987), a maor precsão é atngda avalando a ntegral ao longo da frontera da superfíce que possur menores contornos. O presente estudo utlza anda mas duas sugestões descrtas por Walton (987). A prmera consste em utlzar a metodologa da Quadratura Gaussana (Abramowtz e Stegun, 964) para a avalação numérca da ntegral, que consste na dvsão do contorno p em segmentos de tamanhos dferentes, resultando em uma maor precsão na avalação da ntegral. O tamanho destes segmentos e a posção onde a ntegral será avalada é escolhda pelo método, em vrtude do número de segmentos escolhdos para a dscretzação do contorno em questão. Walton (987) relata em seu trabalho sgnfcantes melhoras na precsão com a utlzação deste procedmento. A segunda sugestão aqu mplementada consste na verfcação da exstênca de contornos adjacentes e na avalação analítca desta ntegral, quando sto acontecer. Se dos contornos forem adjacentes, como no problema de duas placas perpendculares mostradas na Fg.3.4, avalando-se numercamente a ntegral da manera com que é apresentada na Eq.(3.37) resultará em erros grosseros. Estes problemas podem ser resolvdos avalando a expressão da Eq.(3.37) analtcamente. A dedução abaxo, lustra como obter a expressão utlzada para a avalação analítca da ntegral. Por smplcdade é assumdo um sstema coordenado undmensonal. x x x 3 x 4 Fgura 3.6 Dos Segmentos em coordenadas undmensonas Conforme a Fg.3.6, temos a = x d = x 4 x x b = x 4 3 x 3 e = x x c = x x 3 f = x 4 x (3.38)

63 Capítulo 3 - Fator de Forma 45 ( d ln d d + c c lnc + e lne e + f f ln f ) 4 ab (3.39) Sabemos também que se dos segmentos forem colneares cos θ p, q = e U = 0. Assm, observando a Fg.3.6 quando o níco e o fm dos dos contornos são concdentes, a expressão da Eq.(3.39) resulta em ( R ln R R ) R (3.40) Walton (987) também descreve que o tempo de processamento necessáro para utlzar a expressão analítca não é muto dferente do que aquele comparado com a avalação numérca, mesmo tendo que se verfcar a exstênca de contornos adjacentes. Isto porque o tempo gasto nesta verfcação é compensado pela rápda avalação analítca da ntegral. Uma vantagem deste método é que, à medda que as dstâncas entre as superfíces envolvdas va aumentando, uma dvsão cada vez menor de elementos é necessára para mantermos a mesma precsão do resultado. Portanto, podemos controlar a velocdade de processamento do algortmo realzando um número de dvsões baseadas em uma precsão constante, prevamente estpulada em função das dstâncas. Em vrtude da grande dfculdade, e conseqüentemente do tempo computaconal envolvdo para a determnação dos contornos de númeras superfíces obstrutoras, o método aqu mplementado, da mesma manera que o método da Dupla Dscretzação apresentado na seção anteror, utlza as rotnas que serão descrtas na seção 3.4.5, vsando a dmnução da lsta de superfíces que podem estar causando obstruções. Uma vez determnadas as superfíce A e A e uma lsta de superfíces obstrutoras, o fator de forma utlzando ntegral de contorno e consderando obstruções, é verfcado utlzando técncas de projeção. Isto é feto somando o fator de forma da área da superfíce de nteresse sem obstrução e subtrando da soma do fator de forma da área de sombra das superfíces que obstruem o campo de vsão. Este procedmento será mas bem detalhado a segur.

64 Capítulo 3 - Fator de Forma 46 contornos vsíves Fgura 3.7 Contornos de área vsível Incalmente, deve-se determnar sobre qual superfíce remos realzar as projeções. Walton (987) em seu trabalho descreve que erros menores são obtdos quando as superfíces obstrutoras são projetadas no plano que contêm a superfíce mas próxma das mesmas. Para sto, a dstânca do centro de cada superfíce obstrutora com relação ao centro da superfíce A é calculada, obtendo-se uma méda destes valores. Procedmento semelhante é realzado para a superfíce A, sendo que a superfíce escolhda será aquela que possur menor valor desta dstânca méda. Umavezdetermnadaasuperfíce(A m ) na qual remos realzar as projeções, um novo sstema coordenado é crado e um novo exo z é posconado nesta superfíce alnhado com sua normal. Qualquer elemento que possur alguma parte com z negatvo é recortado, utlzando um algortmo de clppng, restando somente a parte do elemento com z postvo, ou seja, a parte da superfíce que possu fator de forma não nulo. Deve-se recortar ou elmnar também qualquer superfíce que esteja totalmente ou parcalmente atrás da outra superfíce em questão, chamada daqu por dante de A n. Isto é realzado para evtarmos problemas nas projeções. A segur é usada a Eq.(3.37) para as duas superfíces (A m e A n ) desconsderando obstruções. Caso haja contornos colneares é utlzada a Eq.(3.40). O número de dvsões por contorno é escolhdo utlzando valores baseados na dstânca e na precsão requerda, sendo a ntegral calculada utlzando a Quadratura Gaussana. O presente trabalho pode utlzar valores fxos para o número de subdvsões ou valores que são calculados utlzando uma correlação empírca que fornece o número de subdvsões baseado na precsão e na dstânca

65 Capítulo 3 - Fator de Forma 47 entre as superfíces. Em seguda, a superfíce A n é dscretzada em N sub-elementos. Para cada ponto de vsta de um sub-elemento n, uma projeção no plano z = 0 é realzada para cada superfíce obstrutora. Caso esta sombra possua alguma regão fora da área A m ela será recortada somente levando em consderação a sombra da área da obstrução que realmente afeta a vsão. Em seguda, as regões de sombra resultantes são adconadas utlzando técncas de ntersecção e unão de polígonos convexos em coordenadas homogêneas (Foley et al., 990). De posse do polígono de sombra resultante, a Eq.(3.37) é avalada levando em consderação a área do sub-elemento e o contorno fnal da sombra, sendo este valor subtraído do valor ncal computado entre as duas áreas desconsderando obstrução. Este processo é realzado para todos os sub-elementos, resultando no valor do fator de forma F -. A segunte expressão resume esta operação A F = A F N A F ( sem obstrução) n n sombras (3.4) = A n A m A sombra Fgura 3.8 Projeção do sub-elemento n na superfíce A m com obstrução Nas fguras a segur, de manera smplfcada é apresentado o algortmo utlzando as operações acma desenvolvdas.

66 Capítulo 3 - Fator de Forma 48 Iníco c = 0, d = 0, d = 0, A m F m-n =0,n=0,k = 0 c < número de superfíces possíves obstrutoras (s)? Sm Não d = d +(dstânca entre centro de A 3 e centro de A )/s d = d +(dstânca entre centro de A 3 e centro de A )/s c = c + Sm d > d? Não superfíce A n = superfíce A superfíce A m = superfíce A d > d? Sm Não superfíce A n = superfíce A superfíce A m = superfíce A alnhe o exo z com a normal da superfíce A m recortar ou elmnar todos os polígonos com z < 0 recortar ou elmnar todos os polígonos atrás de A n Ver próxma págna Fm Fgura 3.9 Algortmo do método de Mtalas e Stephenson

67 Capítulo 3 - Fator de Forma 49 p < número de contornos de A m Sm Sm q < número de contornos de A m contornos são colneares? Sm Não Não Não A m F m-n = A m F m-n + avalar ntegral MS analtcamente q = 0 A m F m-n = A m F m-n + avalar ntegral MS utlzando Quad. Gaussana q = q + p = p + A st = 0, A sr = 0, A subnfsubn-asr = 0 A st A sr = 0 // área projetada da sombra total = 0 // área projetada da sombra que está contda em A m dvdr a superfíce A n em N elementos Sm n < número de elementos em A m k < número de superfíces possíves obstrutoras (A k ) Sm Não Não k = 0 A p = projetar A k no plano de A m, A sr = A p ntersecção com A m //soma dos polígonos da sombra A st = A st + A sr k = k + A subn F subn-asr = A subn F subn-asr + avalar ntegral MS utlzando Quad. Gaussana A m F m-n = A m F m-n - A subn F subn-asr n = n + Fgura 3.30 Algortmo do método de Mtalas e Stephenson (cont.)

68 Capítulo 3 - Fator de Forma 50 Uma característca mportante desta metodologa está no fato de que ela necessta que somente seja dscretzada uma das superfíces em questão, resultando em menos processamento. Por outro lado, por ser bastante complexa com relação as checagens e as operações de recorte, unão, nterseções e projeções de polígonos, esta metodologa é propíca ao surgmento de erros relaconados com mprecsão das operações computaconas, que em geral utlzam valores não-nteros truncados para armazenamento das varáves Verfcação de Obstruções Como já dto anterormente, métodos numércos como a Dupla Dscretzação são em geral mas custosos computaconalmente. Este fato, não é somente devdo a natureza ntrínseca de seus métodos, mas prncpalmente ao tempo gasto para a realzação de númeras checagens por possíves superfíces obstrutoras. O tempo de processamento necessáro para estatarefaédaordemden 3, aumentando drastcamente com o aumento do número de superfíces em questão. Vsando reduzr este número de verfcações, os algortmos utlzados neste estudo, com exceção do Hem-Cube, utlzam um conjunto de testes que objetvam reduzr o número de superfíces a serem consderadas como possíves obstrutoras. A metodologa aqu demonstrada é baseada no trabalho de Walton (987) e será brevemente descrta. Dado um par de superfíces entre as quas se deseja calcular o fator de forma (A e A ), este conjunto de testes se basea na cração de uma lsta de possíves superfíces obstrutoras e, através de sucessvas verfcações, va classfcando-as ou elmnando-as destas lsta, vsando a redução deste número. Os testes são apresentados a segur:.teste do produto normal. Este prmero teste é o mas básco de todos. Ele vsa classfcar e elmnar todas as superfíces que não obstruem um campo de vsta qualquer. Uma superfíce será elmnada da lsta de possíves obstrutoras caso não exstr qualquer outra atrás dela. Esta observação é realzada verfcando o produto nterno do vetor normal desta superfíce com o vetor que lga o seu centro aos vértces das demas superfíces envolvdas. Caso o valor deste produto nterno seja negatvo pelo menos por uma vez, sgnfca que esta superfíce possu outras superfíces atrás dela e assm não deve ser elmnada da lsta. Este teste é muto útl para a elmnação das superfíces mas externas do ambente em questão e deve ser realzado nas etapas

69 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,840 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:58 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

70 Capítulo 3 - Fator de Forma 5 ncas do algortmo, pos dferentemente dos outros, ele não necessta que se saba a pror entre quas superfíces deseja-se calcular o fator de forma..teste da auto-obstrução. Dadas duas superfíces A e A entre as quas se deseja determnar o fator de forma, o campo de vsta entre elas pode ser obstruído pelas suas própras posções relatvas e orentações. A superfíce A pode estar nteramente atrás de A ou vce-versa. Esta checagem é faclmente determnada utlzando também a verfcação do snal do produto nterno entre o centro de A e os vértces de A.Caso esta operação resulte em todos os valores negatvos, a superfíce A se encontra atrás de A. Se este resultado for sempre postvo, a superfíce A está na frente de A.No caso deste resultado fornecer valores negatvos e postvos, obstruções parcas estão presentes. Desta forma, um processo de clppng deverá ser realzado e o polígono resultante, o qual contém somente a área de A vsta pela superfíce A, é construído. O mesmo processo é realzado para a superfíce A. 3.teste do cone. Após ter sdo verfcada somente a stuação envolvendo as duas superfíces em questão, é necessáro agora verfcar se outra qualquer superfíce A 3 pode obstrur o campo de vsta de A e A. Este processo é realzado ncalmente construndo um cone que contém as superfíces A e A. Este cone é construído utlzando o maor rao que crcunscreve cada um dos elementos e é alnhado ao vetor que lga os centros das superfíces.

71 Capítulo 3 - Fator de Forma 5 A R3 D R A Fgura 3.3 Entes geométrcos envolvdos no teste do cone Para cada superfíce da lsta de obstrutoras a menor dstânca entre o seu centro e o vetor que une os centros de A e A é calculado. Esta dstânca é comparada com o rao do cone na altura do centro da possível superfíce obstrutora, de acordo com a segunte expressão: D + > ( R R3 ) (3.4) onde R 3 é o rao da crcunferênca que crcunscreve o elemento. Se a expressão anteror for satsfeta, a superfíce A 3 será excluída da lsta de possíves superfíces obstrutoras. 4.teste de orentação das superfíces. A próxma fltragem consste em uma sucessva utlzação dos testes de produto nterno envolvendo as superfíces A, A e a possível obstrutora A 3. A superfíce A 3 deve ser elmnada da lsta caso ela satsfaça alguma das seguntes stuações: a) A 3 está completamente atrás de A ;b)a 3 está completamente

72 Capítulo 3 - Fator de Forma 53 atrás de A ;c)a e A estão ambos na frente de A 3 ed)a e A estão ambos atrás de A testes de projeção. Este últmo teste é um pouco mas elaborado computaconalmente. Consste na cração de um novo exo (z ) alnhado com o vetor que une os centros das superfíces A e A. Em vrtude da razão entre os tamanhos dos raos das crcunferêncas que crcunscrevem estas áreas, uma projeção reta ou cônca (smlar ao teste do cone) é realzada envolvendo estas duas superfíces. De posse das áreas destas projeções, é então construído o menor polígono convexo que contém as duas áreas. Este polígono é comumente chamado de convex hull pelos especalstas em computação gráfca e sua construção é também realzada utlzando os concetos de coordenadas homogêneas (Foley et al. 990). Após sto, cada superfíce obstrutora é projetada neste plano, sendo elmnada da lsta caso nenhum ponto da projeção de seus vértces esteja dentro deste polígono.

73 4 Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas Neste capítulo serão apresentadas duas metodologas comumente utlzadas para o cômputo de trocas radatvas entre superfíces dfusas cnzentas, o método de Gebhart e o tradconal método da Radosdade. Estas abordagens são amplamente empregadas nos smuladores térmcos comercas dsponíves no mercado, dferndo somente das grandezas que levam em consderação e da forma com que são mplementadas computaconalmente. Como será mostrado, estas metodologas baseam-se no mesmo conjunto de hpóteses fundamentas e portanto fornecem os mesmos resultados. 4. Hpóteses Smplfcatvas Como descrto por Sparrow (963), todo problema envolvendo trocas radatvas começa com o conceto de cavdade. Este conceto é muto útl para desenvolvermos as relações de troca de calor entre superfíces. Consdere a superfíce A da Fg.4. onde as superfíces estão trocando calor por radação. Para determnarmos a quantdade de calor ncdente em A é necessáro levarmos em consderação todas as parcelas provenentes das demas superfíces do ambente. Isto fca facltado se construrmos uma cavdade fctíca que envolva todas as superfíces em questão. O termo fctíco é ntroduzdo, pos algumas fronteras desta cavdade podem ser magnáras. Por exemplo, uma janela aberta em um ambente pode ser entendda como uma frontera desta cavdade que não reflete calor e possu uma ntensdade radatva gual a toda a radação que passa através dela. A A 3 sup. magnára A sup. magnára A n Fgura 4. Cavdade com superfíces magnáras

74 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 55 De posse do conceto de cavdade, os balanços radatvos para cada superfíce podem ser realzados e todas as parcelas levadas em consderação como se fossem smples superfíces nteragndo entre s através das mult-reflexões. Não somente os métodos que serão apresentados a segur, como também o método de Hottel (954) e o método de Oppenhem(956), são baseados em um determnado conjunto de hpóteses, cnco no total, que formulam a base para o entendmento e posteror cômputo da troca radatva entre superfíces. A prmera hpótese é de que as superfíces em questão são sotérmcas. Na prátca o que acontece é que durante a aplcação destes métodos, a superfíce é dscretzada em superfíces menores, processo conhecdo como geração da malha radatva, e as superfíces contdas nesta malha são assumdas tendo somente um valor de temperatura, como lustrado pela Fg.4.. sotérmca (malha radatva) Fgura 4. Dscretzação com superfíces sotérmcas A segunda hpótese consdera as superfíces cnzentas. Caso as superfíces não apresentem tal comportamento em todo o espectro em questão, o ntervalo de nteresse pode ser dvddo em bandas menores e as superfíces serem tratadas como cnzentas nestes ntervalos, tornando váldas as aplcações destes métodos (Fg.4.3). ε(λ) Fgura 4.3 Emssvdade espectral de superfíce cnzenta por faxas λ

75 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 56 Ressalta-se que durante este trabalho estamos levando em consderação somente a faxa de comprmento de onda relatva ao espectro nfra-vermelho, e todas as superfíces envolvdas serão consderadas cnzentas nesta faxa. Se, por exemplo, estvéssemos também nteressados no cômputo das trocas de calor no espectro solar, teríamos que consderar se as propredades em questão (emssvdade, absortvdade e refletvdade) no espectro da luz vsível possuem os mesmos valores e comportamentos que no espectro nfra-vermelho. Se sto acontecer, podemos utlzar as mesmas smplfcações e resolver o problema conjuntamente. Caso esta smplfcação não se aplque, as trocas radatvas no espectro vsível devem ser computadas separadamente do espectro nfra-vermelho e os valores dos fluxos radatvos devem ser adconados no fnal. A tercera smplfcação é pertnente à energa que é refletda pela superfíce. Esta smplfcação assume que a superfíce reflete energa dfusamente, sto é, a reflexão acontece de manera unforme em todos os ângulos. Analogamente, a quarta hpótese assume que emssão de energa pela superfíce não possu também dreção preferencal, ou seja, é dfusa. O conjunto destas duas hpóteses, como já fo apresentado, defne o conceto de superfíces dfusas e faz com que as trocas radatvas não tenham hstórco, pos um observador olhando para uma superfíce qualquer não terá condções de dstngur qual parcela de energa é refletda e emtda, sendo todas as parcelas tratadas juntas como a energa total (refletda + emtda) que dexa a superfíce, conhecda como radosdade. A qunta e últma hpótese é talvez a menos dfundda, pos aparece ndretamente nas equações e nos cálculos efetuados. Esta smplfcação está relaconada com a utlzação do valor constante do fator de forma de uma superfíce fnta para outra superfíce fnta. Quando estamos utlzando este valor no cálculo da energa trocada entre superfíces, estamos mplctamente assumndo que a energa total que dexa ou ncde em uma superfíce é unformemente dstrbuída ao longo dela. Em problemas reas, mesmo com temperaturas e emssvdades unformes é pouco provável que teremos também reflexões unformes, desta forma, esta hpótese amplamente assumda não é em geral satsfeta. As hpóteses acma apresentadas fazem com que o complexo fenômeno da radação seja faclmente tratado computaconalmente.

76 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas Trocas Radatvas Utlzando o Conceto do Fator de Forma À segur, uma extensão do segundo e tercero capítulo será fornecda somente com o ntuto de ntroduzr as equações de trocas radatvas entre superfíces. Manpulando as Eqs.(3.3) e (3.4) do capítulo anteror, podemos ncalmente expressar a troca radatva entre superfíces negras em função do seu fator de forma e de suas temperaturas, obtendo a segunte equação para a troca radatva entre dos elementos nfntesmas de área dq d d = σ T T ) Fd d da = σ( T T ) ( F da d d (4.) Analogamente, para um elemento nfntesmal de área e uma superfíce fnta, temos dq d = σ T T ) Fd da = σ( T T ) ( F A d (4.) Da mesma manera, entre duas superfíces negras de tamanho fnto, temos q = σ T T ) F A = σ( T T ) ( F A (4.3) No caso de superfíces cnzentas, para conhecermos a troca radatva entre dos elementos, temos que levar em consderação todas as superfíces da cavdade em que as mesmas estão presentes, pos elas nteragem entre s através das mult-reflexões devdo às parcelas de energa refletdas. Estas parcelas podem ser expressas da segunte forma para uma cavdade de N superfíces Parcela emtda de A que chega em uma superfíce A q 4, emtdo = F A εσt (4.4) Parcela refletda de A que chega em uma superfíce A Parcela absorvda por A q N 4 = A F ε σt A F =, refletdo q ρ (4.5) N 4 = α εσt A F =, absorvdo Para conhecermos o troca de calor líquda na superfíce, devemos realzar um balanço (4.6)

77 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 58 envolvendo as grandezas acma. Exstem váras maneras de realzarmos este balanço, sendo que estas abordagem dferem na grandeza levada em consderação. A título de exemplo podemos realzar o balanço em todas as superfíces focando na energa total (emtda + refletda), que sa de uma superfíce ou na energa total que é absorvda por esta superfíce. Apresentar estas abordagens é o objetvo das próxmas seções. 4.3 Método da Radosdade A explcação deste método, descrto no texto de Eckert e Drake (959), fca facltada com a apresentação da Fg.4.4, aonde é lustrada uma cavdade composta por N superfíces. N A A A 3 Fgura 4.4 Cavdade composta por N superfíces Por smplcdade assumremos que as temperaturas T, T, T 3,..., T N são prescrtas e conhecdas. A condção de fluxo prescrto na face também pode ser aplcada eadedução faclmente desenvolvda. O prmero passo deste método consste na realzação de um balanço de calor para cada superfíce. Para sto, vamos prmeramente defnr duas quantdades J energa que sa da superfíce = ; tempo área H energa que chega na superfíce = tempo área (4.7) OtermoJ, como dto anterormente é conhecdo por radosdade e representa a energa total que sa de uma superfíce, ou seja, é a soma das parcelas emtda e refletda. Para cada superfíce nesta cavdade, podemos escrever a segunte expressão, aqu demonstrada para a superfíce A J 4 εσt + ρh = (4.8) Da forma com que está escrto acma, a Eq.(4.8) contém duas ncógntas H e J. Otermo H pode ser elmnado conhecendo-se a fonte de onde provém esta energa que chega na

78 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 59 superfíce A. É fácl de ver que esta energa é advnda das parcelas de energa que saem das outras superfíces da cavdade. Temos, por exemplo, que a energa que sa da superfíce A e atnge dretamente a superfíce A éguala A J F. Utlzando a le da recprocdade do fator de forma e dvdndo pela área de A, obtemos a expressão para a energa que chega na superfíce A em termos da energa que sa das suas vznhas H J F J F J J N F = N F... (4.9) OtermoF - fo adconado pos a superfíce A pode ser côncava e parte da energa por ela refletda pode ser por ela absorvda dretamente. Introduzndo esta nova expressão na Eq.(4.8), obtemos J N 4 = εσt + ρ J k F k (4.0) k= Reorganzando a expressão acma e apresentando-a na forma matrcal temos o segunte sstema de equações que precsa ser resolvdo envolvendo todas as superfíces da cavdade ρf ρf... ρn FN ρ F ρ ρ F... N F N ρ F ρ ρ N... N F N F N N 4 J ε σt 4 J εσt = J N εnσtn Uma superfíce negra (A b ), onde a radosdade é conhecda e vale (4.) 4 σ T b, pode ser retrada da matrz, dmnundo o número de ncógntas a serem resolvdas. Uma vez soluconado o sstema lnear acma, temos a condção de determnar a troca líquda de calor radatva para cada superfíce envolvda, somente realzando o balanço de energa na superfíce, dado por q = ( A (4.) 4 εσt αh) A = ( J H) onde q é a energa fornecda ou retrada da superfíce A por outros meos que não a radação em consderação. Utlzando a Eq. (4.8), podemos elmnar H da equação acma, obtendo ε q = A (4.3) 4 ( σt J) ε Assm, podemos perceber que o fluxo de calor líqudo, resultante em cada superfíce é

79 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 60 obtdo uma vez que a sua radosdade é conhecda. Deve-se salentar que o sstema lnear não homogêneo, apresentado pela Eq.(4.), possu a característca de ter domnânca dagonal, sendo fácl de ser resolvdo por qualquer processo teratvo. Isto pode ser comprovado analsando os valores dos elementos desta matrz. Sabemos que os valores do fator de forma e refletvdade para os elementos fora da dagonal prncpal sempre estão entre 0 e, sendo que sua multplcação em geral fornece valores pequenos (menores do que ). Como estamos trabalhando com superfíces dscretzadas em elementos convexos, o valores de F -, F -,... F N-N são sempre nulos, resultando em elementos untáros na dagonal prncpal. 4.4 Método de Gebhart O ponto de partda da metodologa proposta por Gebhart (96) é a expressão que fornece a troca de calor líquda de uma superfíce A com todas as outras do sstema. Consdere uma cavdade composta de N superfíces dfusas, cnzentas como a utlzada na seção anteror. De acordo com a Eq.(4.), para uma superfíce A qualquer da cavdade, a trocadecalorlíqudaresultanteéadferençaentreoqueelaemteeaenergaabsorvda ncdente devdo a emssão das demas superfíces. Gebhart então defne G -j, absorton factor (coefcente de absorção), como sendo a fração da energa emtda pela superfíce A que atnge A j e é absorvda. Isto nclu todos os camnhos possíves, sto é, dretamente por meo de uma ou múltplas reflexões. Logo, A ε σt 4 G -j é a quantdade de energa emtda por A que é absorvda por A j. Aplcando um balanço de energa para A,tem-se q = Aε σt A εσt G + Aε σt G 4 + A εσt G + + AN ε σt G N + + A ε σt G 4 N N j j 4 j j + (4.4) q = Aε σt 4 N j = A ε σt G j j 4 j j (4.5) Portanto, o cálculo dos fluxos requer a determnação dos coefcentes de absorção (G -j ). G - normalmente não são nulos, mesmo para uma superfíce plana, pos parte do que é emtdo pode retornar a ela mesma, através da reflexão em outras superfíces. Devemos, agora, determnar os fatores G. Sabemos que a energa total emtda de A é

80 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,840 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:58 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

81 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 6 A ε σt 4. A porção desta energa que atnge A j dretamenteeéabsorvdaédadapora ε σt 4 F - jε j, onde, F -j é o fator de forma entre as superfíce A e A j, e como fo vsto, corresponde a fração da energa radante que dexa A e atnge A j apenas pelo camnho dreto. Observe que para uma superfíce cnza dfusa, a emssvdade ε é gual a absortvdade α. Qualquer outra energa radante que atnge A j vndo de A deve sofrer ao menos uma reflexão. Mas, a energa emtda de A que chega em uma superfíce A n eérefletdaégualaa ε σt 4 F -n ρ n. Sob a hpótese de que a energa emtda e refletda possuem a mesma dstrbução espectral, a fração G n-j (A ε σt 4 F -n ρ n ), então, atnge A j e é absorvda. Sendo assm, computando agora toda energa absorvda em A j, orgnalmente emtda por A, obtemos a segunte expressão ρ σ ε + + ρ σ ε + + ρ σ ε + ρ σ ε + ε σ ε j N N N j j j j j j G F T A G F T A G F T A G F T A F T A (4.6) Dvdndo esta energa pela emssão total de A,tem-se j N N N j j j j j j j j j G F G F G F G F F G ρ + + ρ + + ρ + ρ + ε = (4.7) Fazendo j varar de a N, obtemos o segunte sstema de equações relatvo à superfíce k, aqu expresso em forma matrcal ε ε ε = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ N k N k k k N k k N N N N N N N N N F F F G G G F F F F F F F F F (4.8) O sstema lnear acma depende apenas de valores conhecdos e, portanto, pode ser resolvdo para G -k, G -k,,g N-k. Note que, como estamos tratando com superfíces opacas e cnzas, ρ =-ε. A utlzação do índce k, sgnfca que a solução do sstema acma obtém os fatores G para apenas uma superfíce da cavdade de cada vez, logo devemos repetr os cálculos para todas as outras. Analsando a Eq.(4.8) para todas as outras superfíces, verfcamos que estas possuem a mesma matrz de coefcentes, podendo as expressão acma ser escrta de manera genérca, para todas as superfíces como f m G j k = (4.9) onde

82 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 6 = G G G G G G G G G G N j k (4.0) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ = N N N N N N N N N F F F F F F F F F m (4.) ε ε ε ε ε ε ε ε ε = k k N k N k k k k k k F F F F F F F F F f (4.) Analsando as expressões anterores, podemos perceber que o esforço computaconal para o cálculo dos fatores G se resume na nversão da matrz m. Assm, temos que o esforço computaconal despenddo neste método é o mesmo que para o método das radosdades, pos a matrz de coefcentes que necessta ser resolvda para o método de Gebhart é exatamente a transposta da matrz a ser resolvda para o cálculo das radosdades. De posse dos coefcentes G, que serão daqu por dante chamados de acoplamentos radatvos, podemos dervar um conjunto de relações que são útes para deduzrmos uma expressão smples para o cálculo da troca de calor radatva líquda em uma superfíce. Se mpusermos a condção de que a temperatura entre duas superfíces A e A j são dêntcas, a troca de calor entre elas deverá ser nula, assm deduzmos uma equação de recprocdade que possu a segunte forma j j j j G A G A ε = ε (4.3) Podemos também observar, que a energa total emtda por uma superfíce A deve obedecer a segunte expressão = σ ε = σ ε + + σ ε + σ ε = σ ε N j j N G T A G T A G T A G T A T A (4.4) dvdndo por A ε σt 4,tem-se = = = N j j N G G G G (4.5)

83 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 63 De posse das Eq.(4.3) e (4.5), podemos retornar a (4.5) que fornece a troca líquda de calor em uma superfíce e reordená-la da segunte forma q = A ε N j= G j 4 4 σ( T T ) (4.6) j 4.5 Generalzação do Método da Radosdade Como já lustrado anterormente, vmos que para o cômputo da troca líquda de calor provenente da radação, os dos métodos apresentados acma necesstam do mesmo custo computaconal. O objetvo desta seção é dscutr um pouco mas os dos métodos e comparálos do ponto de vsta de suas formulações, deduzndo uma expressão orunda do método das radosdades que apresenta uma forma smlar a Eq.(4.6), expressando a troca líquda de calor em função da temperatura na quarta potênca, fornecendo assm uma correlação envolvendo a radosdade de cada superfíce (J) e o acoplamento radatvo (G). O procedmento que será agora descrto, contém a essênca do método da radosdade, por sso chamado por Sparrow (963), como generalzação do método da radosdade. O objetvo aqu, da mesma forma com que o método de Gebhart, é expressar as trocas de calor em função de coefcentes que separam os termos de temperatura na quarta potênca dos termos geométrcos e de propredades dos materas. Consderemos uma cavdade onde somente a superfíce A possu uma temperatura T e as outras superfíces possuem valor zero para temperatura. Após sto, defnmos uma radosdade admensonal dada por J σt () γ = (4.7) 4 Substtundo esta expressão na Eq.(4.0), temos o segunte conjunto de equações lneares para a superfíce A γ γ () () = ε () () = ρ + ρ N k = k = γ k k k N γ F k Analsando a expressão anteror, podemos verfcar que a solução das ncógntas F (4.8) γ ()

84 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 64 não dependem de valores de temperatura. Se agora consderássemos uma segunda cavdade onde a superfíce A, possuísse uma temperatura T e todas as outras cavdades possuíssem temperatura zero, obteríamos os mesmo conjunto de equações, só que agora as ncógntas seram γ ( ). Este procedmento podera ser repetdo para númeras outras superfíces e todas resultaram em um conjunto de equações, aonde os seus coefcentes seram ndependentes de valores de temperatura. Consderemos agora a stuação aonde a cavdade pode ser substtuída por um conjunto de superfíces onde cada uma possu uma temperatura T. Este problema pode ser analsado como uma superposção dos dversos problemas acma onde somente uma temperatura de cada vez tem valores não nulos. Em vrtude desta lneardade, a solução geral deste problema pode ser obtda somando-se as soluções dos sub-problemas anterores, resultando em γ γ = γ = γ () () () σt 4 ( ) ( ) ( ) σt 4 + γ + γ σt 4 σt γ γ N N σt 4 N σt 4 N (4.9) A Eq.(4.9) pode ser reescrta de manera smplfcada utlzando uma relação de recprocdade que exste entre os város γ (963), possu a segunte forma: (). Esta relação, deduzda no texto de Sparrow ε ε A γ ε ( k ) k () = A γ (4.30) ε k k k Introduzndo a equação anteror na Eq.(4.9), temos a expressão geral para a radosdade dada por J ε = ε A N k= ε k A k ε k γ k () σt 4 k (4.3) Analsando a Eq.(4.3), podemos perceber que a expressão fnal para J, por exemplo, contém somente expressões de () γ k. O mesmo é váldo para as outras superfíces. Isto sgnfca que caso estejamos nteressados somente na troca líquda para a superfíce A, precsamos somente resolver o conjunto de equações fornecdo pela Eq.(4.8). Vsando a determnação de uma relação semelhante a expressão fnal do método de Gebhart para as trocas radatvas, podemos novamente retomar a cavdade onde somente a superfíce A, possu uma temperatura T e as outras superfíces possuem valor zero para temperatura. Da Eq.(4.3) a troca de calor para cada superfíce vale

85 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 65 q q k ε = ε ε k = ε ( γ k () ( γ ) σt k () 4 A ) σt 4 A k k (4.3) Como o balanço de energa na cavdade exge que a soma do calor líqudo para todas as superfíces seja zero, manpulando a expressão anteror, obtém-se ε ε A = N k= ε k ε k γ k () A k (4.33) Fnalmente, de manera análoga a anteror, extrapolando para uma cavdade que possu um conjunto de superfíces onde cada uma possu uma temperatura T, aplcando a Eq.(4.3) para uma superfíce típca A e ntroduzndo J da Eq.(4.3), resulta na segunte expressão para a troca líquda de calor nesta superfíce q ε N 4 = A σt ε k = ε k ε k γ k () 4 A σt k k (4.34) Elmnando o prmero termo da expressão anteror utlzando a Eq.(4.33), obtemos q N ε k = ε k= k γ k () A σ( T k 4 T 4 k ) (4.35) Analsando a expressão anteror, podemos perceber muta smlardade com a expressão semelhante fornecda pelo método de Gebhart [Eq.(4.6)], pos ambas expressam a troca líquda de calor para cada superfíce em função da temperatura na quarta potênca e de parâmetros escrtos em função do fator de forma edesuaspropredades. Realzando uma análse mas precsa, sabendo que as expressões fornecem resultados dêntcos, podemos então conclur que exste uma correspondênca entre os valores da radosdade (J) e o acoplamento radatvo (G)dadopor ( k ) γ k =, ε G G = ( ) γ ε ε (4.36) Apesar dos métodos de Gebhart e da radosdade realzarem balanços focalzando grandezas dferentes (Fg.4.5), eles fornecem os mesmos valores para a troca líquda de calor radatva para cada superfíce conforme esperado. Fo também lustrado que quando estamos somente preocupados com o cálculo das trocas radatvas entre superfíces, os esforços computaconas são os mesmos.

86 Capítulo 4 - Troca Radatva entre Superfíces Dfusas Cnzentas 66 A A A J F - 3 A A 3 4 A4 J E E G - A A * E = emtânca da superfíce (Radosdade) (Gebhart) Fgura 4.5 Grandezas envolvdas no método de Gebhart e no método das Radosdades Entretanto, quando estamos nteressados no acoplamento da radação com outros modos de transferênca calor, como condução por exemplo, dependendo de como será realzado o procedmento de solução do problema completo, a efcênca computaconal poderá ser dferente. Este assunto será o enfoque do próxmo capítulo.

87 5 Solução Numérca do Problema Radatvo- Condutvo O objetvo deste capítulo é apresentar os detalhes numércos necessáros para a solução do problema acoplado de transferênca de calor por condução e radação. Os métodos para resolver o problema das trocas radatvas entre superfíces dfusas e cnzentas foram apresentados no capítulo anteror. Com relação a modelagem do problema condutvo, fo assumda a smplfcação de que as superfíces são formadas por um conjunto de cascas fnas. Esta smplfcação faz com que o problema da dfusão de calor seja tratado como um problema b-dmensonal em geometras arbtráras. 5. Dscretzação Geométrca O presente trabalho dvde as superfíces em questão em um número fnto de trângulos, refnados e posconados de acordo com um crtéro defndo pelo usuáro. Nestes trângulos é calculado o fator de forma entre as superfíces, quando utlzamos o método da Radosdade ou o método de Gebhart. É nesta malha que calculamos os acoplamentos radatvos entre as superfíces em questão. Assm, tanto para o fator de forma e conseqüentemente para os dos métodos de cômputo das trocas radatvas (Gebhart e Radosdade) utlzamos a mesma dscretzação, que a partr de agora será chamada de malha radatva. Em vrtude do cálculo do fator de forma ser uma das partes mas demoradas do processo e, em geral, a radação não fornecer gradentes de temperatura muto grandes nas superfíces, esta malha radatva quase sempre não apresenta um número muto grande de elementos. Por outro lado, como no fenômeno da condução podemos ter gerações de calor e condções de contorno varáves que podem crar grandes gradentes locas de temperatura, para a grande maora dos problemas necesstamos de uma maor resolução para a malha condutva do que radatva. Em busca de efcênca, a metodologa desenvolvda permte que utlzemos uma dscretzação dferente da radatva para o problema dfusvo. Esta dscretzação condutva, utlza a malha radatva como base e smplesmente é resultado da subdvsão dos trângulos

88 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 68 que compõem a malha radatva de acordo com um crtéro defndo pelo usuáro. Esta subdvsão é realzada de manera smples e consste na unão dos pontos médos de cada lado do trângulo, resultando em quatro novos trângulos a cada sub-dvsão. O número de subdvsões é também defndo pelo usuáro. A fgura a segur, lustra a malha radatva e malha condutva com város níves de sub-dvsão para a malha condutva. Maores detalhes com relação a dscretzação podem ser obtdos no trabalho de Malska Jr. (00). malha radatva malha condutva (nível 0) (nível ) (nível ) Fgura 5. Malhas radatva e condutva Assm, analsando a Fg.5., podemos ver que o número de elementos da malha condutva é sempre gual ou maor aos da malha radatva. Uma outra característca mportante é que sempre um número fxo de elementos condutvos estão nteramente contdos em um elemento da malha radatva. Este fato smplfca em muto os cálculos dos fluxos e aproxmações que serão adotados para o acoplamento destas soluções. 5. A Vznhança Outro fator mportante a ser apresentado antes da ntrodução dos aspectos numércos é a consderação da vznhança (espaço ao redor) no sstema. No Capítulo 4 fo mostrado que para o cômputo das trocas radatvas entre superfíces dfusas cnzentas é sempre nteressante possurmos uma cavdade ao redor dos elementos em consderação. Como é comum utlzarmos o sstema computaconal em questão para a análse de elementos geométrcos que não consttuem uma cavdade fechada, se faz nteressante defnrmos a vznhança como sendo uma superfíce com temperatura e propredades fxas que envolve todas as outras superfíces do problema. No caso de tratarmos de aplcações espacas, como o controle

89 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 69 térmco de satéltes, estaremos representando a vznhança como uma superfíce negra a 4 K. É mportante salentar que para a representação da vznhança, não é necessáro a construção geométrca de superfíces que envolvam os elementos em análse. Esta tarefa é realzada mplctamente no cálculo do fator de forma. No capítulo 3, já fo apresentado que quando estamos ldando com uma cavdade fechada a soma do fator de forma de cada elemento para as demas superfíces deve ser gual a undade. Assm, após o cômputo dos fatores de forma, é verfcado se a soma do fatores de forma de cada elemento para as demas superfíces é gual a mas ou menos uma tolerânca especfcada. Se sto for verdadero, a superfíce em questão se encontra em uma cavdade fechada, caso o contráro aconteça, é atrbuído à vznhança o restante do valor do fator de forma, de acordo com a segunte expressão espaço N F = F (5.) j= O mesmo pode ser realzado quando estamos tratando dos acoplamentos radatvos entre as superfíces utlzando o método de Gebhart. j 5.3 Solução da Equação da Condução de Calor Apesar da metodologa em uso, Control Volume Fnte Element, conter a denomnação de elementos fntos, de acordo com Malska (995), é um procedmento classfcado como de volumes fntos em função das equações serem obtdas através de balanços, neste caso de energa. A denomnação de elementos fntos vem pela forma da montagem das equações e pelo uso de funções de nterpolação utlzadas no método tradconal de elementos fntos. De acordo com o Capítulo, a equação da condução de calor para uma geometra D em regme permanente, no sstema coordenado cartesano é dada por T k x x + T k + y y q = 0 (5.) Se defnrmos um fluxo J,por J = k T (5.3) a Eq.(5.) pode ser escrta da segunte manera

90 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 70 q = 0 J (5.4) O objetvo deste método numérco é a aproxmação das equações dferencas acma descrtas por um sstema de equações algébrcas obtdas através de um balanço realzado em volumes de controle construídos na malha condutva. Então, o próxmo passo a ser segudo é a ntegração da equação dferencal em sua forma conservatva neste volume de controle elementar crado pelo método da medana. 3 4 c o a 5 Fgura 5. Volume de controle para o método da medana crado na malha condutva 6 Assm, o volume de ntegração mostrado anterormente, em uma malha trangular é crado pela unão dos centródes com as medanas de cada trângulo. O volume de controle (hachurado) mostrado na Fg. 5. é composto por contrbuções de dversos elementos do tpo 3, mostrado na Fg A ntegração da Eq.(5.4) usando o teorema da dvergênca, no volume de controle mostrado resulta em 0 a J n ds + c 0 J n ds qdv + a0c [ Contrbuções de outros elementos assocados ao nó ] = 0 (5.5) Observe que a ntegração dada pela Eq.(5.5) requer o valor da dervada de T ao longo das lnhas ao e oc. Os valores de T, por outro lado, são armazenados nos vértces dos elementos trangulares. É necessáro, portanto, o estabelecmento de uma função de nterpolação para T. Tal função de nterpolação deve, a partr do conhecmento de T nos

91 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,840 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:58 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

92 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 7 vértces dos trângulos, permtr o cálculo de T e de suas dervadas em qualquer posção dentro do elemento trangular. Especalmente os valores das dervadas de T serão necessáros nos pontos t e r, conforme mostra a Fg c t y o x a r Fgura 5.3 Elemento trangular Por estarem presentes apenas efetos dfusvos, a função de nterpolação utlzada pode ser lnear, dada por Com os valores det, T e 3 T Ax + By + C = (5.6) T e os valores das coordenadas ( y) x, nos pontos, e 3, encontramos as constantes A, B e C (Malska, 995), como [( y y ) T + ( y y ) T + ( y y ) T ] A = D [( x x ) T + ( x x ) T + ( x x ) T ] B = D [( x y x y ) T + ( x y x y ) T + ( x y x y ) T ] C = D (5.7) (5.8) (5.9) com D dado por D = ( x y + x y + x y x y x y x ) y3 (5.0) Lembrando que o vetor fluxo é dado por

93 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 7 T T J = J + J y j = k + k j x y x (5.) e obtendo o valor das dervadas da T através da função de nterpolação, as componentes do fluxo J resultam em J x = Ak, J = B k (5.) x expressões Portanto, podemos expressar as ntegrações ao longo de ao e oc com as seguntes a ( Ak) y a ( B k) x a 0 J n ds = (5.3) c ( Ak) y c ( B k ) x c J n ds = (5.4) 0 Y c c J Y t J J X Y J o Y X J X c Ya r J X X a a Fgura 5.4 Representação de J nas nterfaces de ntegração A Fg.5.4 extraída de Malska (995), apresenta a nterpretação geométrca das ntegrações dadas pelas Eq.(5.3) e (5.4). Consderando o vetor J nos pontos r e t, J y + J x nos dá o fluxo que atravessa a face ao, e x a y a J y + J x c y x c calcula o fluxo em oc. Os snas que aparecem estão de acordo com o sstema de exo centrado em o. A ntegração ao longo da superfíce pertencente ao elemento 3 resulta portanto, em

94 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 73 0 a J n ds + c 0 J n ds onde os coefcentes são dados por qdv a0c = C T + C T + C T + B 3 3 (5.5) C C C k D [( y y )( y y ) + ( x x )( x )] = a c 3 a c x3 k D [( y y )( y y ) + ( x x )( x )] = a c 3 a c 3 x k D [( y y )( y y ) + ( x x )( x )] 3 = a c a c x (5.6) (5.7) (5.8) B D 3 = q (5.9) É fácl ver que, quando a parcela correspondente aos outros elementos for adconada, teremos uma equação algébrca para o volume de controle centrado em que conecta este volume de controle com todos os seus vznhos, como esperado, na forma A T A T + B = vznhos vznhos (5.0) vznhos Vale a pena salentar que para o problema da condução de calor, o presente estudo consdera aplcação das condções de contorno de fluxo nulo na sua frontera. Uma outra stuação possível é a presença de nós com temperaturas fxas, sendo que sto pode acontecer a qualquer nó, esteja ele no nteror ou na frontera do domíno. Caso a temperatura do nó seja conhecda ele é retrado da matrz fnal, dmnundo o número de ncógntas a serem resolvdas. 5.4 Acoplamento das Soluções Condutvas e Radatvas As seções seguntes descrevem duas estratégas capazes de realzar o acoplamento da solução do problema dfusvo com o problema das trocas radatvas entre as superfíces. Em vrtude dos dos problemas, condutvo e radatvo, serem função da temperatura, adconados ao fato de que o fluxo radatvo é escrto em função da temperatura na quarta potênca, temos que acoplamento resultante entre estas duas equações apresenta a característca de ser fortemente não lnear. O tratamento destas não-lneardades também consttu um dos focos

95 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 74 prncpas deste texto Acoplamento com o Método da Radosdade Uma possbldade para solução de problemas radatvos e condutvos smultâneos consttu em um algortmo que utlze o método CVFEM descrto na seção anteror e o método da radosdade para o cômputo da troca radatva entre as superfíces. Em vrtude da não lneardade exstente, um processo teratvo entre as duas etapas é necessáro para a obtenção da convergênca. A segur, a mplementação que fo utlzada neste estudo é descrta e comentada. Consdere um conjunto de superfíces dscretzadas aonde possuímos uma malha radatva e uma malha condutva, conforme o procedmento descrto na seção 5.. Consderemos também um problema aonde todas as propredades térmcas e óptcas das superfíces estão defndas, a matrz do fator de forma já calculada e desejamos conhecer o campo de temperaturas em regme permanente. Assm, a segunte metodologa de solução é então empregada:. Como todo procedmento teratvo, o prmero passo é fornecer um campo de temperaturas aos nós condutvos como um estmatva ncal ao processo.. A segur, para cada elemento radatvo, uma méda envolvendo os nós condutvos no seu nteror é realzada para conhecermos os valores de temperatura nas suas faces. Este etapa se encontra lustrada na Fg Conhecendo o valor desta temperatura, calcula-se a matrz de radosdades conforme descrto na Seção 4.3 do capítulo anteror utlzando um solver teratvo ou um método dreto de nversão de matrz. 4. Com a matrz de radosdades conhecda, faclmente obtemos o fluxo líqudo de calor em cada superfíce radatva de acordo com a Eq.(4.3). 5. Transporta-se agora os fluxos radatvos para os volumes de controle dos elementos condutvos, sendo realzada uma dvsão ponderada pela área de cada trângulo e posterormente dvdda pela área que cada elemento ocupa no volume de controle mostrado na Fg.5., ou seja, um terço da área total do trângulo condutvo. Este etapa também se encontra lustrada na Fg Resolve-se então a parte dfusva do problema nos volumes de controle condutvos, sendo

96 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 75 que os fluxos radatvos calculados anterormente são adconados como termos fonte da Eq.(5.0), como descrto no tem 5. Em vrtude da não lneardade entre as equações e dos valores altos que este termo pode assumr (orundos dos fluxos radatvos) uma sub-relaxação aplcada a este termo fonte deve ser utlzada para evtarmos problemas de nstabldade e dvergênca da solução do problema. A sub-relaxação utlzada neste estudo segue a segunte expressão, descrta por Malska (995). k+ k+ q = wq + ( w) q k (5.) Sendo k, o nível teratvo e w um coefcente de relaxação defndo pelo usuáro. Analsando a equação anteror, temos que para valores de w menores do que, o termo fonte é sub-relaxado. Isto sgnfca que a cada teração somente uma parcela do mas recente valor do termo fonte será adconado ao valor atual, fazendo com que a solução camnhe de manera mas suave para a convergênca entre as duas equações. 7. De posse deste novo campo de temperaturas nos nós condutvos, retorna-se ao tem e o processo é novamente repetdo. Isto é realzado até que a varação da temperatura de cada nó se establze ou sua varação esteja dentro de um valor prevamente defndo pelo usuáro. malha radatva malha condutva *A = área T T 4 C T C C T 4 6 C T elemento radatvo (R) elemento radatvo (R) 3 5 T 3 volume de controle devdo a C nó C C C 4 C 3 T= R (T +T 4 +T )AC + (T +T +T )AC (T +T +T 3 5)AC 3+ (T 4+T 5+T 6)AC4 3*AR q = q R AC * 3 contbução de outros + elementos condutvos Tnós condutvos Tsuperfíce radatva q superfíce radatva q v.c. dos nós condutvos Fgura 5.5 Transferênca de fluxos e temperatura nas malhas condutvas e radatvas O método descrto acma possu a característca de resolver os problemas de condução e radação sucessvos, utlzando um processo teratvo para a obtenção da convergênca. A únca lgação entre as duas equações consste na aplcação dos fluxos radatvos calculados

97 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 76 pelo método da radosdade como termos fonte na equação da condução de calor. Este procedmento possu a vantagem de que a montagem das matrzes de radosdades e condução e sua posteror solução, são processos trvas e podem faclmente serem resolvdas por qualquer solver teratvo. Por outro lado, esta metodologa não possu um nível de acoplamento tão forte entre as duas equações, caracterzando um método explícto de solução entre a parte dfusva e radatva, pos quando estamos resolvendo a parte radatva, admtmos que todos os fluxos condutvos são constantes e vce-versa. Esta forma explcta de solução, como será mostrado adante, dependendo do problema, possu a característca de ser muto nstável e bastante sensível ao coefcente de relaxação apresentado anterormente Acoplamento com o Método de Gebhart Uma outra estratéga de solução para os problemas radatvos e condutvos smultâneos consttu em um algortmo que utlze o método CVFEM descrto na seção anteror e o método de Gebhart para o cômputo da troca radatva entre as superfíces. A unão deste dos métodos fca melhor entendda quando prestamos atenção nas expressões resultantes dos fluxos entre os elementos envolvdos. Do método CVFEM temos que a Eq.(5.5) expressa o balanço de fluxos de calor em cada volume de controle elementar, onde as constantes C, C e C 3 podem ser entenddas como uma espéce da acoplamentos condutvos entre os nós, e 3. De manera semelhante, a Eq.(4.6) do método de Gebhart nos fornece uma expressão para o fluxo de calor radatvo entre as superfíces que estão acopladas radatvamente. Após calculado o acoplamento radatvo entre as superfíces podemos obter os valores destes acoplamentos para cada volume de controle centrado em um nó qualquer em função dos valores dos acoplamentos radatvos da superfíce na qual este nó está contdo. Este procedmento será mas detalhado adante. De posse da Eq.(5.5) e da Eq.(4.6) agora expressa em termos dos nós, podemos realzar um balanço de energa para cada volume de controle, envolvendo smultaneamente os fluxos condutvos e radatvos da segunte manera C T v. c. acoplados rad. + B + CvTv + A ε G nós vznhos de j= j σ( T 4 T 4 j ) = 0 (5.) Resolvendo o sstema de equações acma, obteremos valores de temperatura para cada nó condutvo. Como o sstema de equações acma é não lnear, em vrtude de apresentar a

98 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 77 temperatura na quarta potênca, ele precsa ncalmente ser lnearzado para depos ser resolvdo. Para esta tarefa, o presente estudo sugere uma lnearzação utlzando o método de Newton (Dembo et al., 98). No método de Newton, o conjunto das equações não-lneares dscretzadas [Eq.(5.)] que regem o problema, pode ser escrto na forma de equações resíduos, dada por F T ( T ) = [ f ( T ) f ( T )... f n ( T )] 0 = (5.3) onde n é número de nós da malha condutva. Aplcando o método de Newton, a cada teração é resolvdo o segunte sstema lnear J k ( ) k k δt = F T (5.4) onde, J é a matrz jacobana, δt é vetor varação da temperatura, F(T ) é o resíduo da Eq.(5.) e k refere-se a teração newtonana. Cada elemento da matrz jacobana é representado pela dervada da Eq.(5.) em relação à temperatura, dada por O sstema não-lnear converge quando F J f j = (5.5) T j k o ( T ) tolf F ( T ) <,e (5.6) δ k k + T < toldelta T (5.7) onde tolf e toldelta são tolerâncas defndas pelo usuáro. Para a nversão da matrz jacobana podemos utlzar um solver teratvo ou um solver dreto. Ao utlzarmos um processo teratvo para a solução do sstema lnear o método de Newton resultante é chamado na lteratura de Método de Newton Inexato ou Método de Newton Krylov (Dembo et al., 98). Uma vez convergdo este conjunto de equações possuremos o campo de temperaturas nos nós condutvos. De acordo com a Eq.(5.), temos que transportar os valores dos acoplamentos radatvos que foram calculados entre as superfces da malha radatva para os volumes de controle centrados ao redor do nó. Isto é realzado com um pouco de algebrsmo e utlzando

99 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 78 as relações para G -j fornecdas no Capítulo 4. A fgura a segur lustra esta operação. C A j G vc-vc malha radatva malha condutva *C = elemento da malha condutva C G -j A (superfíce radatva) G -j G (volume de controle) vc - vc Fgura 5.6 Transferênca dos acoplamentos radatvos das superfíces para os volumes de controle A expressão para obtermos o acoplamento radatvo entre dos volumes de controle utlzando valores dos acoplamentos das superfíces radatvas é obtdo em dos passos consecutvos: O prmero passo consste em obtermos os valores dos acoplamentos radatvos entre os trângulos da malha condutva das quas estes volumes de controle fazem parte. Sabendo que a sub-dvsão que gera a malha condutva sempre fornece trângulos do mesmo tamanho, utlzando relações de recprocdade, e assumndo a hpótese smplfcatva de que G -j é constante ao longo das superfíces A e A j, podemos faclmente demonstrar que: G vc vc = G j (5.8) n j onde n j é o numero de sub-elementos condutvos contdos na superfíce radatva A j. O segundo passo consste em transferr os acoplamentos já calculados para os trângulos condutvos para os volumes de controle ao redor de cada nó. Este processo é concluído pela smples dvsão da expressão anteror pela área de cada

100 Capítulo 5 - Solução Numérca do Problema Radatvo-Condutvo 79 trângulo contda no volume de controle em questão. Como o volume de controle é crado a partr da unão das medanas dos trângulos, a área assocada a cada volume de controle é um terço da área do trângulo. Este processo precsa ser repetdo para cada trângulo condutvo ao redor do nó de nteresse, o que fornece a segunte expressão: G vc vc = trângulos entorno de G j (5.9) 3 n A prncpal característca deste método consste no forte acoplamento entre as duas equações. Isto acontece em vrtude da utlzação do método de Newton, aonde as duas equações são resolvdas smultaneamente. Por outro lado, como desvantagem, temos que sempre transportar os acoplamentos radatvos das superfíces para os volumes de controle condutvos. Esta operação pode ser muto custosa computaconalmente, pos quando temos uma malha condutva bastante refnada comparada com a malha radatva, o sstema necesstará de mas tempo para montar a matrz fnal, do que para sua própra solução. j

101 6 Resultados e Dscussões O presente capítulo tem o objetvo de apresentar os resultados e descrever os testes realzados para a valdação e comparação dos modelos dscutdos ao longo do texto. Este capítulo é dvddo em duas partes. A prmera apresenta os testes realzados com os métodos de cálculo do fator de forma. A segunda mostra a solução de problemas radatvos-condutvos vsando a comparação do método de Gebhart com o método da Radosdade acoplados à solução da condução de calor nas superfíces. Parâmetros como acuráca e performance computaconal são objetos de análse tanto na prmera quanto na segunda parte deste capítulo. Por fm, vsando demonstrar a versatldade dos sstema mplementado, um modelo mas lustratvo é construído e seus resultados apresentados. 6. Algumas Observações Quanto às Implementações Computaconas dos Métodos de Cálculo do Fator de Forma Antes de ncarmos a dscussão sobre os resultados deste trabalho é mportante apresentarmos algumas característcas da mplementação computaconal dos métodos estudados. Estas característcas são de extrema mportânca, pos podem fornecer maor ou menor precsão aos métodos, segudos de um ganho ou não na efcênca computaconal. Estas característcas são váldas para todos os resultados apresentados ao longo deste capítulo. Hem-Cube: Este método fo mplementado possundo duas característcas adconas que o dferem um pouco do método Hem-Cube tradconal. Para facltar os cálculos das projeções e clpng nas faces do Hem-Cubo, nesta mplementação o mesmo possu um tamanho varável calculado em função da menor aresta da superfíce onde ele está posconado. Este fato, embora faclte os cálculos das projeções, torna o método um pouco mas lento computaconalmente, pos em toda nova posção o fator de forma do centro em relação aos pxels das faces precsa ser recalculado. A outra característca desta mplementação esta relaconada ao fato de que o método tradconal aproxma o fator de forma de F - pelo valor de F d-. No método aqu mplementado, a superfíce A onde o Hem-Cubo está posconado pode ser subdvdda em trângulos menores em um processo

102 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,84 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:59 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

103 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 8 semelhante ao da cração da malha condutva apresentada no Capítulo 5. Ou seja, para cada subdvsão teremos 4 novos trângulos. Cada uma destas subdvsões será daqu por dante chamada de nível; assm,nível0,,,sgnfcadvdrmos a superfíce da malha radatva em 4, 6 e 64 superfíces menores, respectvamente. Para cada uma destas novas sub-superfíces avalamos o fator de forma F d- e depos realzamos uma méda ponderada pela área de cada sub-superfíce para obtermos F -.Esteprocedmentode avalar a ntegral externa numercamente, (como mostrado na seção 4. do Capítulo 3), fornece maor precsão ao método; pos reduz os erros relaconados à volação da hpótese da proxmdade. Dupla Dscretzação: A varante do método da Dupla Dscretzação mplementado neste estudo utlza a aproxmação de dsco descrta no Capítulo 3. Como este método necessta da dscretzação das duas superfíces envolvdas, necesstamos estender os concetos de nível de dscretzação de superfíce apresentados para o método Hem-Cube, anterormente aplcados somente na superfíce A (onde posconamos o Hem-Cubo), para as duas superfíces envolvdas (A e A ). Assm, quando neste método aumentamos o nível de dscretzação da malha radatva, estamos aumentando o número de sub-elementos de ambas as superfíces em questão. Outro fator mportante é que, na presença de superfíces obstrutoras, a mplementação deste método utlza os algortmos de checagem descrtos na seção do Capítulo 3, vsando dmnur o número de superfíces nas quas necesstamos verfcar a ntersecção dos raos emtdos, aumentando a performance do método. Integral de Contorno: O método da ntegral de contorno mplementado neste trabalho utlza a expressão desenvolvda por Mtalas-Stephenson apresentada no Capítulo 3 e a avala de manera analítca quando exstem contornos adjacentes, como recomendado por Walton (987). Uma outra recomendação apresentada por Walton (987) e aqu também mplementadaéautlzação da técnca da quadratura Gaussana para avalação numérca da ntegral. Além dsto, como descrto no Captulo 3, quando exstem obstruções é necessáro dscretzarmos a superfíce que remos projetar para determnarmos com precsão o contorno da sua sombra. Assm, neste método, também utlzaremos o conceto de nível de dscretzação, aplcado agora a superfíce que será projetada. Vale a pena ressaltar que de manera dferente do método da Dupla Dscretzação aqu mplementado, o método da Integral de Contorno necessta somente da subdvsão de uma superfíce (A

104 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 8 ou A ) do par em consderação. Por outro lado, este método é bem semelhante ao da Dupla Dscretzação quando temos a presença de obstruções, pos utlza os mesmos algortmos de checagem descrtos na seção do Capítulo 3, para dmnur o número de superfíces em consderação e aumentar a performance do método. 6. Análse da Precsão dos Métodos de Cálculo do Fator de Forma Para estudo da precsão dos métodos numércos para o cálculo do fator de forma fo realzado um conjunto de testes padrão. Estes testes envolveram superfíces smples, mas com resultado analítco do fator de forma entre elas conhecdo, sendo portanto útes para verfcação da precsão dos métodos Duas Placas Paralelas O prmero teste realzado fo o clássco teste das duas placas paralelas. Este teste está lustrado na Fg.6.. Ele consste no cálculo do fator de forma entre duas placas paralelas de tamanho x, separadas por uma dstânca d. Nos testes realzados varou-se esta dstânca de 0, a 00 e analsou-se o comportamento dos métodos. A Fg.6. também apresenta a dscretzação das superfíces, ou seja, a malha radatva contendo as superfíces trangulares onde fo calculado o fator de forma. Os gráfcos apresentados são obtdos comparando a solução numérca com a solução analítca apresentada anterormente pela Fg.3.3. A segunte equação fo utlzada para o cálculo do erro percentual F j ( Numérco) F j ( Analítco) Erro% = x00 F ( Analítco) j Valores postvos do erro ndcam que o fator de forma fo superestmado, sendo que os valores negatvos ndcam que o mesmo fo subestmado. A segur serão apresentados os resultados obtdos com os métodos apresentados no Capítulo 3. (6.)

105 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 83 A d z y x a A geometra a d = 0, - 00 a=.0 malha radatva Fgura 6. Duas placas untáras paralelas separadas por uma dstânca d Hem-Cube Para a avalação deste método foram utlzadas dversas resoluções do Hem-Cubo (4x4, 0x0, 0x0, 50x50, 00x00, 00x00 e 500x500). Neste teste fo utlzado o nível de dscretzação da superfíce aonde estamos posconando o Hem-Cubo. Assm para cada superfíce da malha radatva apresentada na Fg.6. utlzamos 4 sub-superfíces para o cálculo do fator de forma. O gráfco apresentado pela Fg.6. demonstra o comportamento do método Hem-Cube quando varamos a dstânca d de 0, a 00. placas paralelas (x) - Hem-Cube (nível ) Erro % 50,0 40,0 30,0 0,0 0,0 0,0-0,0-0,0-30,0-40,0-50,0 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 dstânca (d) 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 Fgura 6. Duas placas paralelas Método Hem-Cube: Análse da resolução do Hem-Cubo 4x4 0x0 0x0 50x50 00x00 00x00 500x500

106 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 84 Analsando a Fg.6. podemos perceber que a medda que a dstânca va aumentando é necessáro uma resolução maor do Hem-Cubo para que consgamos obter uma melhor precsão do fator de forma. Isto é explcado pelo fato de que a medda que os objetos fcam mas longe, a sua sombra projetada na face do Hem-Cubo se torna menor, necesstando de uma maor resolução para que possamos defn-la. Conseqüentemente, para uma dada resolução, a partr de uma certa dstânca nenhum pxel se encontrará coberto, resultando em um valor nulo para o fator de forma entre as duas superfíces. O segundo teste com o método Hem-Cube fo realzado para estudar o comportamento deste método quando varamos o nível de dscretzação da superfíce aonde estamos posconando o Hem-Cubo. Assm, para uma dada resolução fxa (50x50) foram utlzados város níves (0,, e 3). O resultado é apresentado na Fg.6.3, sendo que o mesmo gráfco, somente com uma nova escala, é apresentado na Fg.6.4. com o objetvo de facltar a vsualzação. placas paralelas (x) - Hem-Cube (50x50) 00,0 80,0 60,0 Erro % 40,0 0,0 0,0-0,0 nível 0 nível nível nível 3-40,0-60,0-80,0-00,0 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6.3 Duas placas paralelas Método Hem-Cube: Análse do nível de dscretzação

107 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 85 placas paralelas (x) - Hem-Cube (50x50) 0,0 5,0 Erro % 0,0 5,0 0,0-5,0-0,0-5,0-0,0 nível 0 nível nível nível 3 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6.4 Duas placas paralelas Método Hem-Cube: Análse do nível de dscretzação (Zoom) Analsando a Fg.6.4 podemos conclur que para uma dada dstânca e uma dada resolução, os erros no cálculo do fator de forma são bastante reduzdos se aumentarmos os nível de dscretzação da superfíce onde estamos posconando o Hem-Cubo. Este fato é mas evdencado para as dstâncas d menores que,0; pos os erros devdo a resolução do Hem-Cubo (falseamento) são reduzdos e podemos então analsar com melhor clareza a nfluênca de utlzarmos um nível maor de dscretzação. Isto é uma conclusão lógca do fato de utlzarmos um número maor de pontos para avalarmos numercamente a ntegral externa da expressão do cálculo do fator de forma Dupla Dscretzação Os resultados obtdos para o método da Dupla Dscretzação são apresentados na Fg.6.5. Para cada superfíce orgnal da malha radatva apresentada na Fg.6. fo varado o seu nível de dscretzação de 0 até 3.

108 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 86 placas paralelas (x) - Dupla Dscretzação 50,0 40,0 30,0 Erro % 0,0 0,0 0,0-0,0 nível 0 nível nível nível 3-0,0-30,0-40,0-50,0 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6.5 Duas placas paralelas Método da Dupla Dscretzação: Análse do nível de dscretzação Observando o gráfco da Fg.6.5 podemos conclur que, ao contráro do método Hem- Cube, este método apresenta bons resultados a medda que a dstânca va aumentando. A aproxmação de que cada superfíce possu um formato de dsco se torna melhor a medda que esta é vsta de dstâncas maores. Isto é váldo também para níves de dscretzação muto baxos, como o nível 0. Por outro lado, quando as dstâncas são pequenas em comparação ao tamanho das superfíces, o formato trangular dfere muto de um dsco e esta aproxmação falha, fornecendo resultados pobres Integral de Contorno Para avalarmos o comportamento deste método varou-se o número de dvsões nos contornos das superfíces, pos é ao longo deles que avalamos a ntegral. O resultado deste teste é apresentado na Fg.6.6. Como neste caso não temos a presença de obstruções, as superfíces da malha radatva não foram subdvddas (nível 0).

109 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 87 placas paralelas (x) - Integral de Contorno (nível 0),0 0,8 0,6 Erro % 0,4 0, 0,0-0, N= N=3 N=4 N=5-0,4-0,6-0,8 -,0 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6.6 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Análse em função do número de dvsão dos contornos Analsando a Fg.6.6 podemos conclur que para esta stuação o método da Integral de Contorno fornece resultados excelentes. A medda que vamos aumentando o número de dvsões nos contornos o erro tende a zero. Outro fator mportante a ser salentado é que o nível de precsão deste método possu uma ordem de grandeza a mas do que os outros anterormente apresentados. Isto é observado pelos valores dos erros apresentados no gráfco anteror, os quas encontram-se na faxa de,0 a,0 %. Pode-se também perceber que a medda que a dstânca va aumentando necesstamos de uma dvsão menor nos contornos para a obtenção da mesma precsão. De posse desta nformação podemos desenvolver uma expressão que calcule automatcamente o número de dvsões necessáras em função da dstânca envolvda entre as duas superfíces e de um nível de erro pré-estpulado. Isto é realzado através de dversas smulações onde, varando-se a dstânca, podemos verfcar qual o número de dvsões nos contornos fornece resultados com a mesma margem de erro. Realzando este procedmento, para esta confguração geométrca e para dstâncas maores do que,0; obtemos a segunte expressão para um nível de erro de 0-4 %.

110 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 88 d d = ,04789 N (nt) e e e onde d é a dstânca entre as placas. Os resultados obtdos utlzando esta aproxmação podem ser vstos na Fg.6.7. Podemos observar que para dstâncas maores que,0 o erro está dentro da margem especfcada. d.053 (6.) placas paralelas (x) - Integral de Contorno (nível = 0) (Expressão Automátca) 0,00 0,05 0,00 Erro % 0,005 0,000-0,005 N = automátco -0,00-0,05-0,00 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 dstânca (d) 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 Fgura 6.7 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Utlzando dvsão automátca dos contornos O mesmo procedmento anterormente apresentado para o método da Integral de Contorno pode ser faclmente estenddo para o método Hem-Cube e o método da Dupla Dscretzação. A únca dferença e que nestes métodos ao nvés de obtermos o número de dvsões nos contornos podemos obter como resultado a resolução do Hem-Cubo ou o nível de dscretzação das faces, no caso da Dupla Dscretzação, mnmzando a entrada de dados pelo usuáro e automatzando o processo Comparação entre os Métodos Vsando realzar uma análse comparatva entre os métodos para o caso de duas placas paralelas a uma dstânca fxa (d =,0), a segur, é apresentado um gráfco onde podemos

111 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 89 analsar a convergênca dos métodos a medda que vamos aumentando o seu nível de refnamento. Este nível de refnamento depende do método, no caso do Hem-Cube ele sgnfca a sua resolução, no caso da Dupla Dscretzação este índce sgnfca o nível de dscretzação das superfíces e no caso da Integral de Contorno este nível representa o número de dvsões nos contornos. Convergênca dos Métodos placas paralelas (x) - d =.0 6,5 5,5 (0x0) (nível 0) (0x0) 4,5 Erro % 3,5,5,5 (nível ) (50x50) (00x00) (00x00) (500x500) Hem-Cube (nível ) Dupla Dscretzação Integral de Contorno 0,5-0,5 (nível ) (nível 3) (nível 4) (N = ) (N = 3) (N = 4) (N = 5) (N = 6) Nível de Refnamento (nível 5) (N = 7) Fgura 6.8 Duas placas paralelas Convergênca dos métodos Analsando a Fg.6.8 podemos perceber que para esta stuação o método da Integral de Contorno possu uma melhor convergênca em comparação aos outros métodos. Percebe-se que 3 dvsões nos contornos fornecem erros bem menores do que Hem-Cubos com resolução de 500x500 ou a utlzação de um nível 3 de dscretzação das superfíces para o método da Dupla Dscretzação. Podemos conclur também que a medda que vamos aumentando o nível da dscretzação nas superfíces, o método da Dupla Dscretzação converge para erros bastante pequenos. Por outro lado, se aumentarmos contnuamente a resolução do Hem-Cubo, para uma dstânca fxa o erro tende a se establzar em um valor. Isto se deve ao fato de que a partr de uma certa resolução os erros dexam de ser ocasonados pela hpótese de falseamento e passam a ser predomnantemente orundos da aproxmação de F d- por F -. Se desejarmos que o erro se reduza, devemos aumentar o nível de dscretzação da superfíce onde estamos posconando o Hem-Cubo. Este fato será mas evdencado nos

112 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 90 exemplos a segur Duas Placas Perpendculares O segundo teste realzado para avalar o comportamento dos métodos para o cálculo do fator de forma é bem semelhante ao exemplo anteror. Nesta confguração são utlzadas duas placas perpendculares com uma aresta concdente, conforme lustrado na Fg.6.9. A d z y x a A geometra a d = 0, - 00 a=.0 malha radatva Fgura 6.9 Duas placas perpendculares Nesta confguração varou-se o parâmetro d de 0, a 00. Os gráfcos apresentados são obtdos comparando a solução numérca com a solução analítca apresentada anterormente pela Fg.3.4 do tercero capítulo. Os erros apresentados foram calculados utlzando a expressão da Eq.(6.) e como neste caso não temos a presença de obstruções, as análses realzadas são semelhantes às da seção anteror Hem-Cube Para esta confguração geométrca, de manera dferente do exemplo anteror, o método Hem-Cube apresentou bons resultados, à medda que o parâmetro d é aumentado. Como antes, fo estudado o comportamento para váras resoluções do Hem-Cubo e posterormente varou-se também o nível de dscretzação da superfíce onde o Hem-Cubo é posconado. Os resultados destas smulações são apresentados na Fg.6.0.

113 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,84 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:59 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 55 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

114 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 9 placas perpendculares (x) - Hem-Cube (nível ) 5,0 0,0 Erro % 5,0 0,0 5,0 0,0-5,0-0,0-5,0 4x4 0x0 0x0 50x50 00x00 00x00 500x500-0,0-5,0 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6.0 Duas placas perpendculares Método Hem-Cube: Análse da resolução do Hem-Cubo Podemos conclur que para valores grandes do parâmetro d obtemos bons resultados para Hem-Cubos com resolução maores do que 0x0. Quando temos valores de d pequenos (entre 0, e,0) podemos perceber que o fato de aumentarmos a resolução do Hem-Cubo não acarreta redução dos erros. Isto é explcado pela ajuda da Fg.6. e basea-se em uma justfcatva já apresentada. Com a ajuda das Fg.6.0 e Fg.6. percebemos que para valores pequenos de d os erros são reduzdos somente se aumentarmos o nível de dscretzação da superfíce onde estamos posconando o Hem-Cubo. De manera semelhante a anteror, conclu-se que, para uma certa dstânca, exste um momento onde elmna-se o erro de falseamento do Hem-Cubo e este método fca lmtado pela aproxmação de F - por F d-. Assm somente reduzremos o erro se aumentarmos o nível de subdvsões da superfíce em questão.

115 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 9 placas perpendculares (x) - Hem-Cube (50x50) 5,0 0,0 5,0 Erro % 0,0 5,0 0,0-5,0-0,0 nível 0 nível nível nível 3-5,0-0,0-5,0 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6. Duas placas perpendculares Método Hem-Cube: Análse do nível de dscretzação da superfíce Dupla Dscretzação Os resultados obtdos com o método da Dupla Dscretzação são apresentados na Fg.6.. Neste caso, de manera análoga a anteror, varou-se o nível de subdvsões nas superfíces e observou-se o comportamento do método, enquanto o parâmetro d aumenta. Analsando este gráfco observa-se que o método apresenta um alto nível de erro, sendo necessáro elevados níves de dscretzação para atngrmos erros da ordem de 0% para dstâncas próxmas a,0. Este fato torna-se mas grave a medda que o parâmetro d aumenta. Isto é explcado pela aproxmação utlzada neste método, pos de acordo com a Fg.6.9 temos que as superfíces orundas do processo de dscretzação possuem o formato trangular e à medda que o parâmetro d aumenta, a sua forma se alonga cada vez mas, dferndo em muto do formato de um dsco. Para que esta aproxmação seja válda é necessáro um altíssmo nível de dscretzação, fazendo com que os trângulos resultantes fquem cada vez menores comparados com a dstânca entre as superfíces.

116 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 93 placas perpendculares (x) - Dupla Dscretzação 50,0 40,0 30,0 Erro % 0,0 0,0 0,0-0,0-0,0-30,0 nível 0 nível nível nível 3 nível 4 nível 5-40,0-50,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6. Duas placas paralelas Método da Dupla Dscretzação: Análse do nível de dscretzação Vale a pena ressaltar que as sub-superfíces orundas das dscretzações das superfíces da malha radatva em níves não altera o formato orgnal da malha, pos o processo de subdvsão utlzado gera sempre 4 trângulos menores com o mesmo aspecto que o trângulo orgnal. Assm, quando a dstânca d égrandeeadscretzação pobre, estaremos trabalhando com trângulos bastante dstorcdos. Este comportamento ndesejado pode ser reduzdo se utlzarmos uma dscretzação um pouco mas unforme das superfíces Integral de Contorno A medda que vamos aumentando o número de dvsões ao longo dos contornos das superfíces, para esta confguração geométrca, o método da Integral de Contorno também apresenta excelentes resultados, como lustrado na Fg.6.3. Isto é, em grande parte, devdo ao fato de estarmos avalando analtcamente a ntegral contda na expressão de Mtalas-Stephenson ao longo dos contornos adjacentes, conforme procedmento descrto no Capítulo 3.

117 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 94 placas perpendculares (x) - Integral de Contorno (nível 0),0 0,8 0,6 Erro % 0,4 0, 0,0-0, -0,4 N= N=3 N=4 N=5-0,6-0,8 -,0 0,0 0,5 0,50 0,75,00,50 5,00 7,50 0,00 5,00 50,00 75,00 00,00 dstânca (d) Fgura 6.3 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Análse em função do número de dvsão dos contornos De manera análoga a confguração anteror, podemos perceber que o este método é uma ordem de grandeza mas precso do que os outros, mesmo para dstâncas pequenas onde a aproxmação numérca da ntegral não é tão boa. Podemos também estudar o comportamento da Eq.(6.), desenvolvda para duas placas paralelas para esta stuação, onde as placas são perpendculares. Analsando o resultado mostrado na Fg.6.4, podemos conclur que a sua utlzação fornece resultados com níves de erro maores do que 0-4 %. Podemos estender este resultado se também possuíssemos uma relação semelhante para o método Hem-Cube e para o método da Dupla Dscretzação. Portanto, conclu-se ser muto dfícl a obtenção de uma expressão que se adeque a todas as confgurações e garanta um determnado nível de precsão do cálculo do fator de forma para a maora das confgurações geométrcas.

118 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 95 placas perpendculares (x) - Integral de Contorno (nível 0) (Expressão Automátca) Erro % N = automátco dstânca (d) Fgura 6.4 Duas placas paralelas Método da Integral de Contorno: Utlzando dvsão automátca dos contornos Comparação entre os Métodos Como feto na seção anteror podemos comparar a convergênca destes métodos para a confguração de duas placas perpendculares com o parâmetro d fxo. Analsando a Fg.6.5 podemos perceber que o mesmo comportamento observado no caso anteror é aqu verfcado. A únca dferença é que neste caso o método Hem-Cube possu uma taxa da convergênca melhor do que o da Dupla Dscretzação, fornecendo, em geral, erros menores.

119 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 96 Convergênca dos Métodos placas perpendculares (x) - d =.0 -,0-6,0 (0x0) (N = ) (N = 3) (N = 4) (N = 5) (N = 6) (0x0) (50x50) (00x00) (00x00) (N = 7) (500x500) Erro % -,0-6,0 -,0 (nível 3) (nível 4) (nível 5) Hem-Cube (nível ) Dupla Dscretzação Integral de Contorno -6,0-3,0 (nível ) -36,0 (nível ) -4,0 (nível 0) Nível de Refnamento Fgura 6.5 Duas placas perpendculares Convergênca dos métodos 6..5 Duas Placas Paralelas com Obstrução O tercero teste realzado envolvendo o cálculo do fator de forma fo apresentado no trabalho de Walton (987). Esta confguração geométrca, apresentada na Fg.6.6, consste em duas placas paralelas (A e A ) de dmensões x separadas por uma dstânca de,0 e possundo o seu campo de vsão obstruído por uma superfíce menor de dmensões 0,5x0,5 posconada a 0,5 de A. O objetvo deste teste é avalar os métodos no cálculo do fator de forma entre A e A e avalar o seu comportamento na presença de superfíces obstrutoras. De acordo com Walton (987) o valor correto de F - vale 0,56. Vale a pena relembramos que os métodos da Integral de Contorno e da Dupla Dscretzação, que foram mplementados ao longo deste estudo, quando na presença de obstruções, utlzam os algortmos de checagem e elmnação de superfíces apresentados no Capítulo 3. Os erros apresentados nos gráfcos desta seção foram também calculados utlzando a Eq.(6.).

120 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 97 a a A d b A 3 d b z y x A a geometra a d = 0,5 d = 0,75 a=,0 b=0,5 malha radatva Fgura 6.6 Duas placas paralelas com obstrução Hem-Cube Para avalarmos o desempenho do método Hem-Cube para esta confguração geométrca fo varado a sua resolução e o nível de dscretzação da superfíce onde estamos posconando o Hem-Cubo. Os resultados estão apresentados na Fg.6.7. placas paralelas (x) com obstrução - Hem-Cube Erro % nível 0 nível nível nível 3 nível 4 nível x4 0x0 0x0 50x50 00x00 00x00 Resolução do Hem-Cubo Fgura 6.7 Duas placas paralelas com obstrução Método Hem-Cube

121 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 98 Analsando o gráfco anteror podemos perceber que o método Hem-Cube apresenta bons resultados à medda que vamos aumentando a sua resolução e o nível de dscretzação das superfíces. Da mesma manera que as stuações anterores, necesstamos do aumento dos dos parâmetros para obtermos uma boa precsão. Uma característca nteressante deste método é o fato de que ele possu a mesma mplementação quando temos a presença ou não de superfíces obstrutoras. A sua concepção mas genérca fornece uma boa relação precsãocusto computaconal na presença de um número consderável de superfíces obstrutoras. Esta fato será melhor explcado ao longo deste capítulo Dupla Dscretzação De acordo com a Fg.6.8 podemos perceber que quando aumenta-se o nível de dscretzação das superfíces, para esta stuação, este método converge para erros cada vez menores. Um fator mportante a ser menconado é que necesstamos de um nível 7 de dscretzação das superfíces, ou seja utlzando aproxmadamente 4 7 sub-elementos para cada superfíce trangular da malha radatva para obter uma precsão equvalente ao nível com um Hem-Cubo de resolução 00x nível da dscretzação Erro % -7.0 Dupla Dscretzação placas paralelas (x) com obstrução - Dupla Dscretzação Fgura 6.8 Duas placas paralelas com obstrução Método da Dupla Dscretzação

122 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões Integral de Contorno Agora, além de vararmos o número de dvsões nos contornos, alterou-se também o nível de dscretzação da superfíce que será projetada para a determnação de seus contornos vsíves, neste caso a superfíce A. Os resultados estão apresentados na Fg.6.9. placas paralelas (x) com obstrução - Integral de Contorno 5.9 Erro % nível 0 nível nível nível 3 nível 4 nível 5 nível Número de dvsões dos contornos Fgura 6.9 Duas placas paralelas com obstrução Método da Integral de Contorno Analsando o gráfco anteror podemos perceber que a precsão deste método está, agora, mas sensível ao nível de dscretzação da superfíce do que com o aumento do número de dvsão dos contornos. Observa-se que da mesma manera que quando não possuímos obstruções, uma vez que utlzamos um nível de dscretzação sufcente para a determnação precsa dos contornos da regão a ser projetada, este método fornece bons resultados, embora esta lmtação com a dependênca da dscretzação de uma das superfíces seja um fator lmtante em aspectos de performance Comparação dos Métodos Para uma análse comparatva da precsão envolvda, a segur é apresentado um gráfco onde os três métodos em análse são comparados em função do seu nível de refnamento. Com o objetvo de apresentá-los na mesma escala, é lustrada a curva de resolução para o método Hem-Cube e o método da Integral de Contorno utlzando um nível para a dscretzação das superfíces.

123 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 00 Convergênca dos Métodos placas paralelas (X) com obstrução 8,0 (0x0) (50x50) 3,0 -,0-7,0 (N = ) (N = 3) (0x0) (N = 4) (nível ) (00x00) (00x00) (500x500) (N = 5) (nível 3) (nível 4) (N = 6) (nível 5) (N = 7) Erro % -,0 (nível ) -7,0 -,0-7,0-3,0 (nível 0) Nível de Refnamento Hem-Cube (nível ) Dupla Dscretzação Integral de Contorno (nível ) Fgura 6.0 Duas placas paralelas com obstrução Comparação dos Métodos Observando as curvas da Fg.6.0 podemos conclur que com a presença de obstruções, a precsão do método da Integral de Contorno não é mas uma ordem de grandeza menor do que as dos outros métodos. Este método possu agora sua acuráca lmtada e defnda pelo nível de dscretzação da superfíce que será projetada. Este fato faz com que o método Hem- Cube, utlzando uma resolução de somente 00x00 apresente uma precsão melhor, utlzando o mesmo nível de refnamento nas superfíces, quando comparado com o método da Integral de Contorno. Acredta-se que quando o número de superfíces obstrutoras aumentar, para mantermos a mesma precsão, necesstamos aumentar na mesma proporção o nível de dscretzação da superfíce utlzado pelo Método da Integral de Contorno. Para o Hem-Cube sto não é necessáro, pos podemos varar a resolução do Hem-Cubo, obtendo resultados equvalentes. Esta conclusão é feta baseada nos gráfcos anterores onde pode-se observar que no caso do Hem-Cube, o aumento da resolução possu uma nfluênca maor na precsão do que o aumento do número de dvsões nos contornos para o método da Integral de Contorno Paralelepípedo com Obstrução O últmo teste realzado para avalação da precsão dos métodos de cálculo de fator de

124 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,84 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:59 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 56 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

125 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 0 forma também fo retrado do trabalho de Walton (987). Esta geometra consste em uma caxa untára (xx) onde suas lateras foram dvddas em 4 superfíces de acordo com a Fg.6.. Esta caxa possu uma superfíce obstrutora (com dos lados) em seu nteror posconada no meo de suas faces e com o tamanho equvalente a metade de seu lado, fnalzando um total de 6 superfíces retangulares. A Fg.6. também apresenta a malha radatva orunda do processo de dscretzação. Observe que em vrtude deste processo, se estvermos utlzando o nível 0 de dscretzação equvale a estarmos trabalhando com 64 superfíces trangulares. b b b 5 4 b 6 5 z y x a 3 geometra (6 superfíces) a a=,0 b = 0,5 malha radatva Fgura 6. Paralelepípedo com obstrução Em vrtude de que na presença de obstruções ser dfícl a determnação analítca do fator de forma entre duas superfíces e devdo ao fato de possurmos uma cavdade fechada, a comparação da precsão dos métodos para esta confguração será feta através da soma do fator de forma de cada superfíce para as demas, que deve ser gual a. Assm o erro percentual será calculado de acordo com a segunte expressão N Erro % = max F j= j x00 (6.3) A expressão acma fornece como erro percentual a maor dferença encontrada em cada lnha da matrz do fator de forma. Os resultados deste teste são descrtos na tabela a segur.

126 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 0 Hem-Cube (nível 0) Integral de Contorno (N=4) Dupla Dscretzação Refnamento Erro Refnamento Erro Refnamento Erro 0x0-0,5460% nível 0,07% nível 0 0,7674% 50x50-0,00% nível 0,3706% nível,6599% 00x00-0,0050% nível 0,0537% nível 0,658% 00x00-0,000% nível 3 0,0356% nível 3 0,537% Tabela 6.- Resultados para o teste do paralelepípedo com obstrução Analsando os valores apresentados na tabela acma, podemos perceber que o método Hem-Cube apresenta os melhores resultados. Isto é uma conseqüênca lógca da característca do método, onde em uma cavdade espera-se que todos os pxels das faces se encontrarão naturalmente encobertos. Os erros aqu exstentes podem ser orundos de duas fontes. A prmera fonte de erro pode acontecer quando durante as operações de projeções alguma lnha ou ponto é projetada exatamente em cma de um pxel e, em vrtude das mprecsões destes cálculos, este pxel pode acabar sendo processado como não coberto. A segunda fonte de erros dz respeto a aproxmação do fator de forma do centro do Hem-Cubo em relação a suas faces. Esta aproxmação consdera que o Hem-Cubo tenha uma resolução sufcente para aproxmarmos o valor deste fator de forma pelo valor do fator de forma entre dos elementos de áreas nfntesmas. Dependendo do tamanho da varável utlzada para o armazenamento deste valor na memóra do computador, esta soma somente resulta exatamente em uma undade para resoluções de 00x00 ou mas. Podemos também observar que o método da Integral de Contorno apresenta um nível de precsão ntermedáro, mas que precsamos utlzar um nível 3 de dscretzação das superfíces para obtermos uma precsão equvalente ao Hem-Cubo de resolução 50x50 possundo um nível 0. Quando voltamos a nossa atenção para o método da Dupla Dscretzação verfcamos que é necessáro um nível de dscretzação bastante elevado para obtermos um nível de erro comparável com os outros métodos. Devemos sempre lembrar que os erros aqu apresentados, dependendo do nível de fdeldade do modelo térmco em consderação, poderão nfluencar os resultados dos campos de temperatura smulados. No caso deste exemplo, se consderássemos o método da Dupla Dscretzação utlzando um nível, estaríamos modelando um sstema que possu um desbalanço de energa radatva de,6 % aproxmadamente.

127 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões Análse da Performance dos Métodos de Cálculo do Fator de Forma Após a análse da precsão dos métodos para o cálculo do fator de forma realzou-se uma análse para determnar a sua performance computaconal. Para sso realzou-se uma seqüênca de testes baseados em duas geometras anterormente apresentadas, a de duas placas paralelas com obstrução e a geometra do paralelepípedo com obstrução. Foram levadas em conta somente as geometras com obstruções pos o objetvo era verfcar o comportamento dos métodos em stuações realístcas. Estes testes basearam-se em um refnamento sucessvo das malhas radatvas obtendo um número cada vez maor de superfíces e a partr daí realzava-se o cálculo do fator de forma entre elas medndo-se o tempo de computação Geometras sem Obstrução Antes da apresentação dos resultados, e também em vrtude dos testes realzados envolverem somente geometras com obstruções, vale a pena realzar alguns breves comentáros sobre a performance dos métodos frente a geometras sem obstrução, como as apresentadas nos testes de placas paralelas e das placas perpendculares. Nos casos sem obstrução observou-se que o método da Integral de Contorno apresenta o melhor desempenho computaconal alado a melhor precsão de resultados. Isto deve-se ao fato de que na ausênca de obstruções o método da Integral de Contorno com a expressão de Mtalas-Stephenson somente realza avalação numérca de uma ntegral ao longo dos contornos, sendo portanto rápdo e precso. Além dsto quando temos a presença de contornos adjacentes a ntegral é avalada analtcamente. Walton (987) relata em seu trabalho que nestes casos sem obstrução, o tempo de processamento do método da Integral de Contorno utlzando a expressão de Mtalas- Stephenson é da ordem de N (número de dvsões ao longo dos contornos) e se realzarmos a sua comparação com o método da Dupla Dscretzação, o tempo deste últmo é da ordem de N 4, se cada superfíce for dvdda em N elementos (onde N também é o número de dvsões ao longo dos contornos). Podemos analsar também que o método Hem-Cube não apresenta vantagens sgnfcatvas quando comparado com o método da Integral de Contorno. Isto é devdo ao fato de que este método utlza o mesmo algortmo para ambos os casos, ou seja, realza as

128 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 04 mesmas operações na presença e na ausênca de superfíces obstrutoras, sendo mas compettvo nas stuações com obstruções Duas Placas Paralelas com Obstrução Os resultados dos testes realzados para a confguração de duas placas paralelas com obstrução são apresentados a segur. Neste teste varou-se o número de superfíces de até 768. Estes casos foram smulados em um mcro-computador Pentun III 700 MHz com 5 Mb de memóra RAM e os códgos foram complados sem opções de otmzação. Acredta-se que melhoras nos tempos de processamento podem ser obtdas com algumas alterações nos algortmos, mas a característca do perfl das curvas apresentadas rá permanecer constante pos é predomnantemente função do número de superfíces envolvdas. O gráfco apresentado na Fg.6. mostra o desempenho do método Hem-Cube. Neste caso, como o refnamento da malha radatva equvale a um aumento do nível de dscretzação da superfíce onde estamos posconando o Hem-Cube, fo utlzado um nível 0 de dscretzação, varando-se somente o número de superfíces da malha radatva e analsando a performance do método. Este gráfco lustra os tempos de processamento obtdos para dversas resoluções do Hem-Cubo à medda que vamos aumentando o número de superfíces da geometra. Observando este gráfco podemos conclur que as curvas para cada resolução são pratcamente paralelas, lustrando uma varação lnear do tempo de processamento com a resolução do Hem-Cubo. placas paralelas (x) com obstrução - Hem-Cube ,0 Tempo de CPU (s) 00000,0 0000,0 000,0 00,0 0,0,0 4x4 0x0 0x0 50x50 00x00 00x00 0, número de superfíces Fgura 6. Placas Paralelas com obstrução: Performance do método Hem-Cube

129 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 05 As Fg.6.3 e Fg.6.4, a segur, lustram os resultados obtdos com os métodos da Dupla Dscretzação e Integral de Contorno. Tanto no método da Dupla Dscretzação quanto no método da Integral de Contorno foram varados os níves de dscretzações das superfíces. No método da Integral de Contorno utlzou-se 3 dvsões ao longo dos contornos. placas paralelas (x) com obstrução - Dupla Dscretzação Tempo de CPU (s) nível 0 nível nível nível número de superfíces Fgura 6.3 Placas paralelas com obstrução: Performance do método da Dupla dscretzação placas paralelas (x) com obstrução - Integral de Contorno Tempo de CPU (s) nível 0 nível nível nível número de superfíces Fgura 6.4 Placas paralelas com obstrução: Performance do método da ntegral de Contorno

130 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 06 Com o objetvo de realzar uma análse comparatva da performance dos métodos, a segur é apresentado um gráfco aonde algumas curvas dos gráfcos anterores foram sobrepostas. placas paralelas (x) com obstrução - Comparação dos Métodos 00000,0 0000,0 (3 s) (7508 s) Tempo de CPU (s) 000,0 00,0 (aprox. 00 superfíces) Dupla Dscretzação - nível Hem-Cube 50x50 Integral de Contorno - nível 0,0,0 0, número de superfíces Fgura 6.5 Placas paralelas com obstrução: Comparação da performance dos métodos Analsando a Fg.6.5 podemos verfcar que para um número pequeno de superfíces o método da Integral de Contorno e da Dupla Dscretzação são mas rápdos do que o Hem- Cube. À medda que o número de superfíces va aumentando podemos conclur que exste um determnado valor onde o tempo de processamento do Hem-Cubo será sempre menor do que os outros métodos. Realzando uma verfcação vsual da ntersecção das curvas acma podemos conclur que para esta confguração geométrca, utlzando um Hem-Cubo de resolução 50x50, a partr 00 superfíces aproxmadamente este método será menos custoso computaconalmente quando comparado com o método da Dupla Dscretzação e Integral de Contorno utlzando um nível de dscretzação. Esta comparação podera ser feta utlzando Hem-Cubos com outras resoluções e outros níves de refnamento para os métodos da Dupla Dscretzação e Integral de Contorno, pos analsando as curvas da Fg. 6.3 e 6.4 verfcamos que as mesmas possuem uma nclnação maor do que as curvas apresentadas no método do Hem-Cube (Fg. 6.). Assm, sempre exstrá uma stuação onde uma

131 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 07 determnada resolução de Hem-Cubo possurá um tempo de processamento menor do que qualquer nível de dscretzação utlzado pelo método da Integral de Contorno e Dupla Dscretzação. Este fato é melhor compreenddo quando prestamos atenção na ordem de grandeza do tempo de processamento dos métodos, comentada a segur. O método Hem-Cube apresenta a característca de possur um aumento gradatvo da sua performance computaconal quando comparado com os outros métodos. Consderando uma geometra com N superfíces, como já dto anterormente, este método realzará os mesmos procedmentos na ausênca ou presença de superfíces obstrutoras. Para cada superfíce onde poscona-se o Hem-Cubo, calcula-se uma lnha da matrz de fator de forma (N cálculos) de uma vez só, utlzando os mesmos procedmentos de projeção e verfcação da dstânca da superfíce projetada até ao pxel. Este algortmo faz com que o método Hem- Cube calcule N fatores de forma sem nenhum esforço adconal para a verfcação de obstruções. Como utlzamos a Le da Recprocdade para dmnur o número de cálculos a serem realzados, o método do Hem-Cube calcula somente N(N-)/ fatores de forma. O únco fator que nfluenca o tempo de processamento é a resolução do Hem-Cubo. Por outro lado os métodos da Dupla Dscretzação e Integral de Contorno além de processaram N(N-)/ fatores de forma, necesstam realzar verfcações para saber quas elementos estão obstrundo o campo de vsão do par de superfíces em consderação. Assm, para cada par de superfíces precsamos realzar N(N-)(N-)/ checagens por superfíces obstrutoras, fornecendo um processo da ordem de N 3. Além dsso, depos de verfcada a exstênca da obstrução, o método da Integral de Contorno necessta que dscretzemos uma das superfíces do par em consderação em n sub-elementos, e para cada um destes devemos projetá-lo para a determnação dos seus contornos vsíves, o que faz o tempo de processamento deste método seja bastante nfluencado pelo valor deste nível de subdvsão. O método da Dupla Dscretzação além de necesstar das mesmas checagens para a verfcação de superfíces obstrutoras que o método da Integral de Contorno, necessta da subdvsão de ambas as superfíces em consderação. Assm, podemos perceber que na sua concepção este método é função de n, onde n, como no caso da Integral de Contorno também é o número de sub-elementos orundo dos níves dscretzação. Este fato ajuda entender porque a partr de um certo número de superfíces o método da Dupla Dscretzação aqu mplementado é mas lento do que o método da Integral de Contorno para o mesmo nível de dscretzação.

132 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 08 De posse destas nformações e analsando o gráfco da Fg.6.5 podemos verfcar que para um número pequeno de superfíces os procedmentos genércos realzados pelo método do Hem-Cube são mas morosos que os procedmentos para verfcação de obstruções e dscretzações apresentados pela Dupla Dscretzação e Integral de Contorno, mas a medda que o número de superfíces va aumentando, esta stuação se nverte. Os fatos aqu apresentados serão também evdencados no exemplo a segur, onde fo testado uma geometra um pouco mas complexa envolvendo, um número maor de superfíces Paralelepípedo com Obstrução O últmo teste realzado com os algortmos de cálculo do fator de forma consste na geometra da Fg.6.. Neste teste fo também utlzado um mcrocomputador modelo Pentum III 700 MHz com 5 Mb de memóra RAM. O objetvo aqu é o mesmo que o anteror, a análse do tempo de processamento dos métodos frente a uma confguração mas complexa. Como a geometra em questão possuía um número maor de superfíces orgnas, o teste ncou-se com 64 elementos da malha radatva e o objetvo era r aumentando o nível de refnamento para 56, 04 e 4096 superfíces. Em vrtude do tempo de processamento ser extremamente longo, não fo possível realzar as análses para o número maor de superfíces, sendo os resultados obtdos apresentados na Fg.6.6, 6.8 e 6.9. Apesar da Fg. 6.6 lustrar os resultados para todas as faxas de superfíces varando-se a resolução do Hem-Cubo de 4x4 até 00x00, foram smulados somente as resoluções de até 00x00. A curva de 00x00 fo construída por analoga, a partr da observação de que a relação do aumento do tempo de processamento da resolução de 00x00 para 00x00 neste caso deva ser a smlar a que fo obtda no caso anteror, entre as duas placas paralelas com obstrução. Isto fo constatado em vrtude desta relação ser verdade para as resoluções de 0x0 para 0x0, de 0x0 para 50x50 e de 50x50 para 00x00. Assm sabendo a relação do caso anteror de quantas vezes o tempo de CPU aumentava quando varava de 00x00 para 00x00, obtemos a curva para o presente caso. É mportante salentar que as conclusões acma apresentadas tram proveto da observação do comportamento aproxmadamente lnear do método do Hem-Cube em função do número de superfíces envolvdas, pos os esforços computaconas na presença de uma ou mas superfíces obstrutoras tende a ser o mesmo.

133 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 09 Paralelepípedo com obstrução - Hem-Cube Tempo de CPU (s) número de superfíces 4x4 0x0 0x0 50x50 00x00 00x00 Fgura 6.6 Paralelepípedo com obstrução: Performance do método Hem-Cube De posse destas conclusões podemos unr os pontos obtdos do teste das duas placas paralelas com obstrução com os pontos obtdos neste caso e construrmos uma curva que forneça o comportamento do tempo de processamento do método Hem-Cube para uma faxa maor do número de superfíces. Esta curva está lustrada na Fg.6.7. Performance - Hem-Cube 00000,0 0000,0 Tempo de CPU (s) 000,0 00,0 0,0,0 0x0 (Paralelepípedo com obstrução) 0x0 (Paralelas com obstrução) 0, número de superfíces Fgura 6.7 Paralelepípedo com obstrução: Análse do método Hem-Cube

134 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 0 O resultado obtdo nos testes para esta confguração para o método da Dupla Dscretzação e Integral de Contorno são apresentados a segur. Paralelepípedo com obstrução - Dupla Dscretzação Tempo de CPU (s) nível 0 nível nível nível número de superfíces Fgura 6.8 Paralelepípedo com obstrução: Performance do método da Dupla Dscretzação Paralelepípdeo com obstrução - Integral de Contorno Tempo de CPU (s) nível 0 nível nível nível número de superfíces Fgura 6.9 Paralelepípedo com obstrução: Performance do Método da Integral de Contorno

135 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,84 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 9:59 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 56 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

136 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões Fnalmente, podemos realzar uma comparação smlar àquela realzada na confguração anteror e ratfcarmos as afrmações anterormente realzadas sobre o comportamento dos métodos. A Fg.6.30, a segur, apresenta os gráfcos para os três métodos. Paralelepípedo com obstrução - Comparação dos Métodos , ,0 Tempo de CPU (s) 00000,0 0000,0 000,0 00,0 (aprox. 900 superfíces) Integral de Contorno (nível ) Hem-Cube 50x50 0,0 Dupla Dscretzação (nível ), número de superfíces Fgura 6.30 Paralelepípedo com obstrução: Comparação da performance dos métodos De manera análoga podemos verfcar que a partr de um determnado número de superfíces (neste caso aprox. 900) o método Hem-Cube com uma resolução de 50x50 começa a apresentar-se mas rápdo computaconalmente quando comparado com o método da Integral de Contorno e Dupla dscretzação utlzando um nível de sub-dvsões na superfíce. 6.4 Valdação Numérca dos Métodos para a Solução do Problema Radatvo-Condutvo Esta seção tem o objetvo de apresentar os testes realzados para a valdação numérca dos algortmos mplementados. Para este fm, dos casos testes foram modelados os resultados encontram-se a segur. Em vrtude da escassez de soluções padrão envolvendo aplcações

137 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões prátcas dsponíves na lteratura, foram utlzados problemas smples e de fácl comparação Condução B-Dmensonal O prmero caso smulado, lustrado na Fg.6.3, vsou a comparação somente do algortmo que calcula a troca de calor por condução b-dmensonal utlzando malhas trangulares. Este problema consste na condução de calor em regme permanente em uma placa (x) possundo uma temperatura constante de 88.5 K prescrta em uma de suas faces e as outras faces possundo temperatura prescrta de 83.5 K. T T T placa (x) T = 88,5 K T = 83,5 K T Fgura 6.3 Problema da condução b-dmensonal em uma placa plana com temperatura prescrta nas faces A equação que rege o problema acma, em um meo homogêneo, é dada pela segunte expressão T = 0 (6.4) No caso de temperaturas prescrtas nas faces de uma placa untára (x), onde somente uma das temperaturas é dferente das outras, a equação anteror possu solução analítca dada por (Incropera e DeWtt, 99) T ( x, y) T T T = π n= n+ ( ) n + nπx snh sn L snh ( nπy) ( nπ) De posse desta expressão, que fornece o campo de temperaturas em qualquer posção da placa, podemos comparar os resultados numércos. (6.5)

138 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 3 = (dscretzação) (sotermas) Fgura 6.3 Malha smulada e campo de sotermas obtdas o problema da condução b-dmensonal em uma placa plana com temperatura prescrta nas faces A Fg.6.3 lustra a malha trangular utlzada e o campo de sotermas obtdos da smulação. A comparação com a solução analítca é apresentada na Fg.6.33 e na Fg Nestas fguras os perfs de temperatura ao longo das retas x = 0,5 e y = 0,5 obtdos com a solução analítca é apresentado juntamente com a solução numérca. Analsando estes gráfcos podemos conclur que o algortmo construído baseado nas técncas de CVFEM, utlzado aqu para resolver o problema da condução está corretamente mplementado.

139 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 4 Temperatura (K) em y = Temperatura (K) dstânca (x) Numerco Analtco Fgura 6.33 Perfl de temperatura ao longo da reta y = 0.5 Temperatura (K) em x = Temperatura (K) Numerco Analtco dstânca (y) Fgura 6.34 Perfl de temperatura ao longo da reta x = Aleta Radatva O segundo problema utlzado para valdação dos algortmos utlzados neste estudo fo o problema de uma aleta colocada no espaço (n vácuo), trocando calor com as redondezas

140 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 5 através do fenômeno da radação. Este problema está lustrado na Fg T=4K e q f T b x L q rad A c w t T b= 300 K L=,0 w=,0 t = 0,0 k=,0 q rad Fgura 6.35 Problema da aleta radatva Analsando Fg.6.35 podemos perceber que a transferênca de calor ao longo da aleta será undmensonal. Em vrtude da dfculdade de obtermos uma solução analítca para este problema, fo construído um algortmo especal para resolver a equação que governa a troca de calor nesta superfíce expandda. q x dq rad A c A s dx q x+dx Fgura 6.36 Balanço de energa em um volume de controle de uma aleta radatva Realzando um balanço de energa em um volume de controle nfntesmal, de acordo com a Fg.6.36, obtemos a seguntes expressões q q + dq x = + (6.6) x dx rad onde,

141 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 6 q x dt = kac, (6.7) dx qx dx = qx + dqx dx dx +,e (6.8) dq rad 4 e 4 = εσda ( T T ) (6.9) s Nas equações acma, da s é a área superfcal da aleta, da c é área da seção transversal, ε a emssvdade da superfíce, k a condutvdade térmca da aleta e T e a temperatura do espaço. Substtundo as Eqs.(6.7), (6.8) e (6.9) na expressão do balanço (6.6), e assumndo que as áreas da seção transversal são constantes, obtemos a expressão que, quando resolvda, fornece o perfl de temperatura ao longo da aleta, dada a segur d T dx εσ das 4 4 = ( T Te ) (6.0) k dx A c Reconhecendo que da s = P, (perímetro da aleta) (6.) dx podemos defnr então duas constantes C e C, dadas por C εσ P = k,e (6.) A c C = C T (6.3) 4 e Assm, reescrevemos a Eq.(6.0)da segunte forma d T dx 4 = CT C (6.4) ou de uma manera mas compacta, dada por d T dx = S( T ) (6.5) onde S 4 ( T ) CT C = (6.6) Vsando a solução destas equações, neste presente estudo utlzamos a técnca de

142 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 7 volumes fntos (Malska, 995), ntegrando a Eq.6.5 ao longo do elemento P, na malha undmensonal lustrada na fgura a segur. T b W P E x Fgura 6.37 Malha undmensonal para o problema da aleta radatva ComootermofonteS(T) da Eq.6.5 é altamente não lnear, propomos uma lnearzação da segunte forma ( T ) S pt Sc S + = (6.7) onde, 3 S p = C T,e (6.8) S c = C (6.9) Após a ntegração da Eq.6.5 ao longo do volume P, e aplcando as condções de contorno de temperatura prescrta na base da aleta e de fluxo nulo na extremdade, obtemos o segunte conjunto de expressões algébrcas que necesstam de ser resolvdas para a obtenção do campo de temperaturas A T = A T + A T B (6.0) P P e E w W + onde os coefcentes desta equação para os volumes dos centros são dados por A e = A w = x (6.) A p = A + A S x (6.) e w p B = (6.3) Sc x Para o canto esquerdo, onde a temperatura é prescrta temos

143 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 8, A x e = w = 0 A (6.4) A p = A + A e w S p x + x (6.5) Tb B = Sc x + x (6.6) Fnalmente, na extremdade da aleta onde o gradente de temperatura é nulo temos, A x w = e = 0 A (6.7) A p = A + A S x (6.8) e w p B = (6.9) Sc x No presente trabalho o sstema apresentado na Eq.(6.0) fo resolvdo utlzando um solver teratvo ponto a ponto e a malha utlzada possuía 00 elementos ao longo da aleta. Os resultados obtdos com a solução acma descrta estão apresentados na Fg.6.38 na curva chamada Benchmark. Como o objetvo na obtenção desta solução era a valdação dos algortmos bdmensonas construídos para resolver o problema radatvo-condutvo utlzando os métodos de Gebhart e da Radosdade, é lustrado neste gráfco também as soluções obtdas com estes códgos utlzando malhas condutvas dêntcas as malhas radatvas, possundo 5, 49 e 44 nós. A únca alteração na solução deste problema é que para compararmos estes dos algortmos com a solução undmensonal, tvemos que,nesta últma, desprezar as trocas de calor nas superfíces lateras da aleta, pos os algortmos aqu desenvolvdos desconsderam as faces lateras. Isto é faclmente ntroduzndo alterando-se o perímetro da aleta da Fg Analsando este gráfco podemos perceber que a medda que vamos refnando a malha os dos algortmos camnham para a mesma solução Benchmark. Pratcamente, neste estudo, não é verfcado nenhuma dferença com relação as aproxmações realzadas nos métodos da Radosdade e Gebhart acoplados com a solução do algortmos que resolve a condução de calor. Para a mesma malha as dferenças entre os resultados são mínmas.

144 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 9 Aleta Radatva (x - e = 0.0 m) (Tb = 300 k, Te = 4K, ε=0,5) Temperatura (K) Benchmark Gebhart (44 nós) Gebhart (49 nós) Gebhart (5 nós) Radosdade (44 nós) Radosdade (49 nós) Radosdade (5 nós) Comprmento (m) Fgura 6.38 Perfl de temperatura ao longo da dreção x obtdo para o problema da aleta radatva 6.5 Comparação dos Métodos para a Solução do Problema Radatvo-Condutvo Depos de estudarmos as técncas para o cálculo do fator de forma e valdarmos os algortmos do método de Gebhart e do método das Radosdades undos à solução da condução de calor nas placas, partu-se para um estudo comparatvo da performance destes dos últmos métodos. Aspectos como convergênca da solução, tempo de processamento e establdade do acoplamento entre as equações serão dscutdos nesta seção Radação e Condução entre Placas Planas Vsando o estudo do comportamento deste dos métodos, o problema lustrado na Fg.6.39 fo modelado.

145 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 0 A T(cte.)=00-600K d a a 60,0 o a q rad T =83,5 K A T(x,y) a T = 73,5 K e T =88,5 K a=,0 d=0, e=,0 k =,0W/mK Cp=,0J/kgK ρ =,0 kg/m3 Fgura 6.39 Esquema do problema radatvo-condutvo utlzado para a comparação dos métodos de Gebhart e Radosdade Este problema consste em duas placas planas untáras (x) formando um ângulo de 60 o entre s. A placa nclnada (A ) possu uma temperatura prescrta em toda a sua extensão enquanto a placa A possu temperaturas especfcadas apenas em suas fronteras. Ambas as placas trocam calor por radação com o espaço que se encontra a 73,5 K. A placa A possu as temperaturas especfcadas da mesma manera que o problema puramente condutvo apresentado para valdação do algortmo de condução de calor, ou seja, uma de suas fronteras se encontra a 88,5 K e as outras três fronteras se encontram a 83,5 K. A borda nferor da placa A se encontra a 0, da placa A. As duas placas trocam calor por radação pelos seus dos lados e suas emssvdades no espectro nfra-vermelho valem 0,5. Oobjetvodestetesteéadetermnação do campo de temperaturas em A àmeddaque vara-se o valor da temperatura em A. Realzando esta varação de temperatura, estaremos levando o problema para níves altos de troca de calor por radação e assm poderemos verfcar a sensbldade destas duas metodologas frente a estas stuações. Neste estudo, varou-se a temperatura de A de 00 a 600K e analsou-se a sensbldade dos métodos frente a esta varação. A malha utlzada para este estudo está lustrada na Fg Com o objetvo de facltar as análses a malha radatva é dêntca a malha condutva, possundo 00 nós na placa A.

146 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,84 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 0:00 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 56 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

147 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões Fgura 6.40 Malha utlzada para o problema radatvo-condutvo Analsando a fgura anteror, podemos perceber que malha da superfíce A é grossera, pos nela já conhecemos a temperatura. Como não temos obstruções, este fator também não nfluencara no cálculo das trocas radatvas. De posse desta dscretzação, fo calculado o fator de forma entre os elementos trangulares das superfíces e deles para o espaço. O campo de fator de forma de cada um dos elementos trangulares de A para os elementos de A é mostrado na Fg.6.4. Fgura 6.4 Campo de fator de forma para o problema radatvo-condutvo

148 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões Foram smulados 0 stuações, para T= 00, 50, 73,5, 300, 350, 400, 450, 500, 550 e 600K. A título lustratvo, a sotermas em A para estas dversas stuações são apresentadas da Fg.6.4 até Fg T = 00 K T = 50 K Fgura 6.4 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 00 e 50 K) T = 73,5 K T = 300 K Fgura 6.43 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 73 e 300 K)

149 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 3 T = 350 K T = 400 K Fgura 6.44 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 350 e 400 K) T = 450 K T = 500 K Fgura 6.45 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 450 e 500 K)

150 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 4 T = 550 K T = 600 K Fgura 6.46 Isotermas obtdas do problema radatvo-condutvo (T = 550e 600 K) Analsando as fguras anterores podemos perceber que o campo de temperaturas em A é fortemente nfluencado pela temperatura de A. Em vrtude da temperatura do espaço (73,5K) ser próxma da temperatura de A, o mesmo não exerce muta nfluênca radatvamente sobre esta placa. Pode-se também perceber que as maores varações acontecem quando a temperatura de A ultrapassa 300K. Este fato faz com que a o campo de temperaturas em A seja domnado mas pelas trocas radatvas do que pelo calor advndo por condução de suas fronteras que possuem temperaturas prescrtas em torno de 85 K, fazendo com que, a altas temperaturas de A, o problema seja predomnantemente radatvo. Um exemplo nteressante para analsarmos o efeto da troca de calor por radação neste problema é lustrado no gráfco da Fg.6.47, onde para T = 400 K, varamos o valor da emssvdade em A até solá-la completamente dos efetos radatvos. Podemos observar que à medda que a sua emssvdade va sendo reduzda, o perfl de temperatura recupera aquele da expressão analítca do problema puramente condutvo lustrado na Fg.6.34.

151 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 5 Temperatura em x = 0,5 quando T = 400 K 94,00 9,00 Temperatura (K) 90,00 88,00 86,00 ε 0 eps_0.5 eps_0.4 eps_0.3 eps_0. eps_0. eps_0.00 analítco 84,00 8,00 0,00 0,0 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90,00 dstânca (y) Fgura 6.47 Perfs de temperatura em x = 0,5 quando T = 400 K para dversos valores da emssvdade em A Análse da Convergênca dos Métodos Como já dto anterormente, à medda que aumentamos a temperatura de A, o problema torna-se radatvo domnante. Como podemos ver nas fguras a segur, este fator nfluenca a convergênca dos métodos. Ambos os métodos foram smulados utlzando um solver teratvo (GMRES) e fo admtdo como convergdo a stuação quando o campo de temperaturas apresentava varações menores do que 0-5. As curvas a segur lustram o número de terações do resíduo não-lnear, ou seja, do processo teratvo entre as equações radatvas e condutvas. No caso do método de Gebhart este resíduo corresponde a cada passo teratvo do método de Newton. No caso do método da Radosdade, como obtemos uma solução segregada das duas equações, este resíduo é computado entre as soluções do problema radatvo e condutvo. A Fg.6.48 lustra a curva de convergênca obtda com o método de Gebhart. Podemos

152 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 6 observar que o fato de aumentarmos o caráter radatvo do problema dfculta um pouco a convergênca. Observa-se também que necesstamos de um número bastante reduzdo de terações entre as equações para obtermos a convergênca (e-5). Em geral ou 3 terações são necessáras para atngrmos o crtéro de resíduo. Este fato é resultado do forte acoplamento entre as soluções radatvas e condutvas do problema que são resolvdas smultaneamente através da lnearzação do método de Newton. Convergênca (Gebhart) 00 Erro K 50 K 73.5 K 300 K 350 K 400 K 450 K 500 K 550 K 600 K No. de Iterações Fgura 6.48 Convergênca obtda com o método de Gebhart para dversos valores de T A Fg.6.49 apresenta a convergênca obtda com o método da Radosdades acoplada com a solução da condução de calor. Para este problema, em vrtude da forte não-lneardade entre as equações, fo utlzado um coefcente de relaxação de 0,03 para o termo fonte da equação da condução, orundo da solução radatva. De modo dferente do gráfco anteror, observa-se que são necessáras de 00 a 000 terações para obtermos a convergênca. Pode-se também conclur que o número de terações necessáras para a obtenção da convergênca aumenta consderavelmente com o aumento do caráter radatvo do problema. Analsando este gráfco observa-se uma lenta convergênca do resíduo das equações a partr da metade do número de terações. Isto é devdo ao fato de estarmos utlzando um únco coefcente de relaxação ao longo de todo o problema. Como é sabdo que os maores gradentes térmcos acontecem nos prmeros passos do processo

153 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 7 teratvo, esta convergênca podera ser melhorada se em um momento adequado fosse aumentado gradatvamente este coefcente de relaxação. Este procedmento não fo feto neste estudo. Convergênca (Radosdade) 000 Erro No. de Iterações 00 K 50 K 73.5 K 300 K 350 K 400 K 450 K 500 K 550 K 600 K Fgura 6.49 Convergênca obtda com o método da Radosdade para dversos valores de T Uma outra característca mportante deste método é a forte dependênca da convergênca com o coefcente de relaxação utlzado. Como dto anterormente, são nas prmeras terações do problema onde verfca-se os maores gradentes térmcos. Assm, quando utlzamos este método, cudado deve ser tomado para a que o problema não dvrja nestas prmeras etapas. O gráfco apresentado na Fg.6.50 lustra as mesmas curvas apresentadas no gráfco anteror, mas desta vez é realzado uma amplação na escala para podermos entender o que acontece durante as prmeras terações. Analsando esta fgura podemos verfcar fortes osclações na convergênca durante as prmeras 50 terações do processo, mesmo utlzando um coefcente de relaxação baxo (0,03). Observa-se também que a ampltude destas osclações va aumentando a medda que a temperatura de T cresce. Isto é uma conseqüênca lógca do fato de que o valor do termo fonte da equação va crescendo na mesma proporção que esta temperatura aumenta. Durante a realzação deste trabalho város valores de coefcentes de relaxação foram utlzados, mas em vrtude de ser um parâmetro fortemente dependente do problema, se torna

154 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 8 dfícl a obtenção de valor ótmo recomendado para todos os casos. Neste problema, com já dto, fo utlzado um coefcente de relaxação de 0,03. Tentouse, obvamente, valores um pouco maores, como 0,, mas o problema dverga mesmo para valoresbaxosdet. Mesmo com a utlzação de um coefcente pequeno (0,03), quando atngmos a temperatura de 600K para a placa superor, não obtemos convergênca, como observado pela lnha mas escura do gráfco a segur. Convergênca (Radosdade) 000 Erro No. de Iterações 00 K 50 K 73.5 K 300 K 350 K 400 K 450 K 500 K 550 K 600 K Fgura 6.50 Convergênca obtda com o método da Radosdade para dversos valores de T (Zoom) Esta dfculdade e lenta resposta da convergênca apresentada pela solução com o método da Radosdade à medda que vamos aumentando a temperatura T, é resultado dreto do fraco acoplamento entre as equações condutvas e radatvas que são resolvdas separadamente. Como em problemas radatvos o caráter não-lnear é alto, em termos de curva de convergênca, quanto mas acoplada for a solução, melhor ela será. A manera explícta de solução do problema acoplado radatvo-condutvo resolvdo aqu com método da Radosdade fornece uma característca muto nstável a solução do problema durante os prmeros passos do cclo teratvo. A medda que obtemos uma establdade na convergênca, a mesma se torna muto lenta. Esta característca fo observada todos outros números testes realzados durante este estudo, sendo apresentado aqu somente para este problema, escolhdo em função de seu caráter bastante lustratvo.

155 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 9 É fácl de perceber que todos os fatores anterormente ctados são extremamente sensíves ao valor deste coefcente de relaxação. Como exste um valor ótmo para cada problema, em caráter de convergênca, este método apresenta-se muto nferor ao método de Gebhart. Além da convergênca, o tempo de computação deve ser avalado para podermos possur uma comparação deal sobre as efcêncas computaconas dos métodos, pos de nada adanta termos métodos com excelente taxa da convergênca mas que demoram demasadamente para realzar cada teração. Este assunto é o objeto de análse da próxma seção Análse do Tempo de Processamento Os gráfcos a segur, apresentados na Fg.6.5 e 6.5 lustram o tempo de processamento necessáro para a obtenção do tempo da convergênca nos dos métodos em estudo. Estes tempos de processamento foram obtdos em um mcrocomputador Pentum III 700 Mhz com 56 Mb de memóra RAM. Performance (Gebhart) Tempo de CPU (s) Temperatura (K) Gebhart Fgura 6.5 Tempo de processamento do método de Gebhart para dversos valores de T

156 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 30 Performance (Radosdade) Tempo de CPU (s) Radosdade Temperatura (K) Fgura 6.5 Tempo de processamento do método da Radosdade para dversos valores de T Analsando as fguras acma, podemos verfcar que o tempo de processamento necessáro para a atngrmos a convergênca utlzando o método de Gebhart pratcamente não se altera a medda que vamos aumentando a temperatura T. Deve-se relembrar que o tempo de processamento mostrado no gráfco da Fg.6.5 nclu o cálculo dos acoplamentos radatvos conforme descrto no Capítulo 4. Ressalta-se que o tempo necessáro para o cálculo dos acoplamentos radatvos é o mesmo para todos as stuações smuladas, pos os acoplamentos não são função da temperatura e somente das propredades dos materas e do fator de forma entre os elementos. Em méda, o tempo necessáro para o calculo dos acoplamentos radatvos, para esta stuação e com esta malha, é em torno de 4 segundos, sendo que o restante, aproxmadamente 0,0 segundos, é o tempo necessáro para a realzação de todas as terações do método de Newton. Acredta-se que o tempo de CPU para obtemos a convergênca com o método de Newton deva crescer um pouco em vrtude do aumento do caráter radatvo do problema, mas por estarmos tratando com valores muto pequenos, esta pequena dferença não tenha sdo captada pelos sstemas de verfcação de tempo de processamento utlzados neste estudo. Por outro lado, analsando o gráfco da Fg.6.5 podemos verfcar que o tempo de processamento utlzando o método das Radosdades aumenta exponencalmente com o

157 Flename: dssert.doc Drectory: D:\marcus\mestrado\text\docps Template: D:\czesnat\Pos\dssertação\dss.dot Ttle: Subject: Author: czesnat Keywords: Comments: Creaton Date: 8/8/98 :30 PM Change Number: 336 Last Saved On: 7/3/0 9:55 PM Last Saved By: Marcus Res Total Edtng Tme:,84 Mnutes Last Prnted On: 7/3/0 0:00 PM As of Last Complete Prntng Number of Pages: 56 (approx.) Number of Words: 37,99 (approx.) Number of Characters: 6,553 (approx.)

158 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 3 aumento do caráter radatvo do problema. Isto é uma conseqüênca dreta do grande número de terações necessáro para a obtenção da convergênca. De posse destas duas análses envolvendo tempo de processamento e a convergênca do problema, podemos conclur que a lnearzação das equações utlzando o método de Newton fornece uma solução muto mas rápda e efcente do que a solução obtda utlzando o método das Radosdades. Mesmo este últmo método resolvendo dos sstemas lneares mas smples (um para condução e outro para a radação) solados, a forte não-lneardade presente no acoplamento entre as equações faz com que esta solução seja muto mas demorada, sofrendo problemas de nstabldade e convergênca. 6.6 Problema Ilustratvo Com o ntuto de lustrar a flexbldade do sstema construído em ldar com geometras arbtráras, o problema apresentado na Fg.6.53 fo modelado. r t: 0,5 topo: ε = 0,5 T = 00 K α = 44 o T:4K e lateras: ε = 0,8 h =,0 r:0,5 b z y x base: T=400K ε = 0,8 Fgura 6.53 Problema lustratvo Este problema consste em uma geometra semelhante a de um cone com um hemsféro em sua ponta, posconado no espaço a 4K com uma abertura de 44 o em sua lateral. A base desta geometra encontra-se a uma temperatura constante de 400K. Na regão nferor do

159 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 3 hemsféro, ao longo de uma lnha que contorna a abertura da face lateral, a temperatura é mantda a 00K. Todas as superfíces deste problema trocam calor por radação pelos dos lados, sendo que a emssvdade da superfíce lateral e da base vale 0,8 e a emssvdade do topo vale 0,5. O objetvo deste problema é avalar a nfluênca da radação sobre a temperatura no topo desta geometra, ou seja, ao longo do hemsféro. Assm, foram smulados duas stuações: a prmera envolvendo somente a troca térmca por condução e a segunda envolvendo também radação. A malha utlzada possuía aproxmadamente 450 nós, apresentando um refno maor no hemsféro, conforme lustrado na Fg Neste caso, vsando smplfcar o modelo, a malha condutva é dêntca a radatva. Fgura 6.54 Dscretzação utlzada no problema lustratvo O modelo fo smulado utlzando o método de Gebhart e a convergênca obtda em 6 terações. Os resultados foram admtdos convergdos quando a varação da temperatura eram menores do que 0-5. A Fg.6.55 e a Fg.6.56 lustram o campo de temperaturas para as duas stuações.

160 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 33 (somente condução) (condução e radação) Fgura 6.55 Campo de temperaturas obtdo no problema lustratvo (somente condução) (condução e radação) Fgura 6.56 Isotermas obtdo no problema lustratvo Para obtermos uma melhor vsualzação da nfluênca da radação, o gráfco contdo na

161 Capítulo 6 - Resultados e Dscussões 34 Fg.6.58 apresenta o perfl de temperatura ao longo da lnha que corta o hemsféro na dreção z (Fg.6.57). Fgura 6.57 Posção da lnha ao longo do hemsféro Temperatura no Hemsféro Temperatura (K) Rad + Cond Cond dstânca (z) Fgura 6.58 Isotermas obtdo no problema lustratvo Analsando este gráfco, podemos conclur que a radação exerce, neste caso, uma forte nfluênca elevando as temperaturas em torno de 0 K. Este fato demonstra a mportânca de levarmos em consderação na construção do modelo os dos modos de transferênca de calor.