Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Transcrição

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2 Programação Não Linear Aula 26: Programação Não-Linear - Funções de Uma única variável (Prática) Método da Bissecção; Método de Newton. 2

3 Considere o seguinte problema Faculdade de Engenharia Optimização Problema 26.1 Maximizar f(x)=x 4 +40x+x 2 -x 7-2x 5 +x 3 a) Aplique o método de Bissecção para resolver aproximadamente esse problema. Use uma tolerância de erro ε=0,02 e limites iniciais [0 e 5] b) Aplique o método de Newton, com ε=0,0001 e x 1 =5 a este problema 3

4 Problema 26.1 (Resolução I) 60 y = x 4 +40x+x 2 -x 7-2x 5 +x

5 Problema 26.1 (Resolução II) Método da Bissecção As duas primeiras derivadas são dadas por: df ( x) 4x 40 2x 7x 10x 3x dx 2 df ( x) x 2 42x 40x 6x dx Pelo facto da segunda derivada ser não positiva em qualquer ponto, f(x) é uma função côncava e portanto o método da bissecção pode ser aplicado tranquilamente para encontrar o seu máximo global (supondo-se que exista um máximo global). 5

6 Problema 26.1 (Resolução III) Método da Bissecção x Iteração f (x) novo x f (x) x ,5-644,727 continuar ,36 0 2,5 1,25 45,08514 continuar 2 3, ,25 2,5 1,875-30,3536 continuar 3-347,095 1,25 1,875 1, ,35275 continuar 4-95,76 1,25 1,5625 1, ,04517 continuar 5-33,3722 1,25 1, , ,78928 continuar 6-12,2129 1,25 1, , ,0942 continuar 7-3, ,25 1, , ,12619 parar 6

7 Problema 26.1 (Resolução IV) Método de Newton As duas primeiras derivadas são dadas por: df ( x) 4x 40 2x 7x 10x 3x dx 2 df ( x) x 2 42x 40x 6x dx Portanto, a fórmula para calcular a nova solução experimental (x i+1 ) a partir da actual x i é: f ( x) 4x 40 2x 7x 10x 3x x x x i i 1 i i f xi 12x 2 42x 40x 6x 7

8 Problema 26.1 (Resolução V) Método de Newton Após seleccionar-se ε=0,001, e escolher-se x i =5 como solução experimental inicial pode-se ver na tabela seguinte as soluções restantes: Iteração x i f (x) f ' (x) f '' (x) x i +1 (x i +1-x i )<=ε , continuar 2 4, , , ,4 3, continuar 3 3, , , ,9 2, continuar 4 2, , , ,75 2, continuar 5 2, , , ,95 1,96767 continuar 6 1, , , ,29 1, continuar 7 1, , , ,07 1, continuar 8 1, , , ,155 1, continuar 9 1, , , ,712 1,27299 continuar 10 1, , , ,834 1, continuar 11 1, , , ,411 1, parar 8

9 Considere o seguinte problema Faculdade de Engenharia Optimização Problema 26.2 Maximizar f(x)=x 3 +20x-x 7-2x 4-3x 2 a) Aplique o método de Bissecção para resolver aproximadamente esse problema. Use uma tolerância de erro ε=0,007e encontre limites iniciais [0 e 2] b) Aplique o método de Newton, com ε=0,001 e x 1 =1 a este problema 9

10 Problema 26.2 (Resolução I) 40 y = x³ + 20x-x 7-2x⁴-3x

11 Problema 26.2 (ResoluçãoII) Método da Bissecção As duas primeiras derivadas são dadas por: df ( x) x 20 7x 8x 6x dx 2 df ( x) 5 2 6x 42x 24x 6 dx Pelo facto da segunda derivada ser não positiva em qualquer ponto, f(x) é uma função côncava e portanto o método da bissecção pode ser aplicado tranquilamente para encontrar o seu máximo global (supondo-se que exista um máximo global). 11

12 Problema 26.2 (Resolução III) Método da Bissecção x Iteração df/dx Novo x f(x) , , ,5 1, , ,25 1, , ,125 1, , ,0625 1, , , , , , , , , , , , x 12

13 Problema 26.2 (Resolução IV) Método de Newton As duas primeiras derivadas são dadas por: df ( x) 2 3 3x 20 7x6 8x 6x dx 2 df ( x) 5 2 6x 42x 24x 6 dx Portanto, a fórmula para calcular a nova solução experimental (x i+1 ) a partir da actual x i é: f x x x x x x x x ( i) i 1 i i 5 2 f xi 6x 42x 24x 6 13

14 Problema 26.2 (Resolução V) Método de Newton Após seleccionar-se ε=0,001, e escolher-se x i =1 como solução experimental inicial, pode-se ver na tabela seguinte as soluções restantes: Iteração i x i f(x i ) f (x i ) f (x i ) x i , , ,0291-0, ,0559 1, , ,0292-0, ,6037 1, Parar 14

15 Macro do Excel (I) Parar de editar o Macro Nome do macro Editar o macro Atalho de acesso Descrição do Macro 15

16 Macro do Excel (II) Área reservada à informação Área reservada ao programa 16

17 Macro do Excel (III) Planilha onde se vai escrever os resultados do programa 17

18 Macro do Excel Programa (IV) Sub Bisseccao() ' ' Bisseccao Macro ' Método de Bissecção ' ' Keyboard Shortcut: Ctrl+Shift+B ' Dim I, Xesq, Xdir, Xnovo, dfx, Fx I = 0 KI = 23 K = 23 Xesq = 0 Xdir = 2 18

19 Macro do Excel Programa (V) Do K = 23 + I Range("J" & K).Value = I Range("L" & K).Value = Xesq Range("M" & K).Value = Xdir Xnovo = (Xdir + Xesq) / 2 Range("N" & K).Value = Xnovo Fx = Xnovo ^ * Xnovo - Xnovo ^ 7-2 * Xnovo ^ 4-3 * Xnovo ^ 2 Range("O" & K).Value = Fx 19

20 Macro do Excel Programa (VI) I = I + 1 KI = KI + 1 dfx = 3 * Xnovo ^ * Xnovo ^ 6-8 * Xnovo ^ 3-6 * Xnovo Range("K" & KI).Value = dfx If dfx < 0 Then Xesq = Xesq Else Xesq = Xnovo If dfx > 0 Then Xdir = Xdir Else Xdir = Xnovo Loop Until (Abs((Xesq - Xdir) / 2) <= ) End Sub 20

21 Macro do Excel (VI) Resultados do programa 21

22 Trabalho Para Casa Considere o seguinte problema: Uma forjadora funciona em turnos, 24 horas por dia, com uma função de consumo de energia 2.5+sen(0,12*h+6) [GW]. Onde h é a hora. Os gestores da fábrica tem o compromisso de não ultrapassar certos consumos, então precisam de saber em que altura do dia a fábrica atinge o consumo máximo e também o consumo na quarta e oitavas horas do dia a) Aplique o método de Bissecção usando um Macro do Excel para resolver aproximadamente esse problema. Use uma tolerância de erro ε=0,0008 b) Aplique o método de Newton usando um Macro do Excel, com ε=0,