APRESENTAÇÃO INICIAL... 2 CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE (K)...

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1 AULA DEMONSTRATIVA 1. APRESENTAÇÃO INICIAL... 2 CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE (K) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DIVISÃO PROPORCIONAL GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS REGRAS DE TRÊS LISTA COM OS EXERCÍCIOS ABORDADOS NA AULA DE HOJE CONSIDERAÇÕES FINAIS Concurso: Caixa Econômica Federal Cargo: Técnico Bancário nível médio Matéria:. Professor: Bruno Leal Professor: Angela Zanolla Este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei n.º 9.610/1998, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá outras providências.

2 1. APRESENTAÇÃO INICIAL Olá, pessoal! Tudo bem? Espero que sim! Resolveremos na aula de hoje cerca de 50 questões e espero que todos, ao final delas, tenham entendido tudo! Mastigarei, engolirei e digerirei e ao máximo as questões pra vocês! Só não vou... deixa pra lá!

3 2. Proporcionalidade; Porcentagem CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE (K) Vamos iniciar a aula de hoje com um conceito importantíssimo: o de constante de proporcionalidade. Considere a série de razões equivalentes (proporção): Repare que podemos simplificar cada uma das razões obtendo, como não poderia deixar de ser, um valor comum, igual a 1. Esse número é chamado de CONSTANTE DE 2 PROPORCIONALIDADE e representado pela letra k Exercícios Resolvidos 01) Sendo x + y + z = 195 e x/4 = y/5 = z/6, pode-se afirmar que (x + y z) vale: x y z Solução Como acabamos de discutir acima, podemos escrever que k, onde k é a constante de proporcionalidade. Cada letra (incógnita) é igual ao seu respectivo peso, os denominadores, multiplicado pela constante: x = 4. k, y = 5. k e z = 6. k. Podemos, agora, substituir esses valores na primeira equação, escrevendo 4k + 5k + 6k = k = 195 k = 13. Daí, basta substituir k por 13 para encontrar os valores de x, y e z: x = = 52; y = = 65 e z = = 78. Note que = 195. Mas o que o enunciado pediu foi x + y z, que vale = 39. GABARITO: 39 02) (FURNAS) As idades de Renato, Paula e Marcelo estão representadas por r, p e m, respectivamente. Sabe-se que r/3 = p/4 = m/5 e que r + p + m = 72. A idade de Paula é:

4 r p m Como na questão anterior, podemos escrever que k. Como cada incógnita é igual ao seu peso multiplicado pela constante, r = 3. k, p = 4. k e m = 5. k. Substituindo na segunda equação, vem: 3k + 4k + 5k = 72 12k = 72 k = 6 Como o enunciado pede a idade de Paula, temos que p = 4. 6 p = 24 GABARITO: Divisão Proporcional É um dos assuntos mais cobrados em qualquer concurso, de qualquer banca. Ainda bem que é dos mais fáceis! Caso caia, você precisa acertar a questão! 3.1. Grandezas diretamente proporcionais Dada a sucessão de valores (a 1, a 2, a 3, a 4,... ), dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b 1, b 2, b 3, b 4,...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. Conforme visto anteriormente, o resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamado de constante de proporcionalidade (k). Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, pois as razões 6/12 = 7/14 = 10/20 = 15/30 são todas iguais, sendo 1/2 a constante de proporcionalidade Grandezas inversamente proporcionais Dada a sucessão de valores (a 1, a 2, a 3, a 4,... ), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão b 1, b 2, b 3, b 4,... ), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.

5 Exemplo: Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 são todos iguais Exercícios Resolvidos 03) Repartindo o número 36 em 3 partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4, obtemos: Sejam x, y e z as 3 partes procuradas. Temos que x + y + z = 36. Como as partes são diretamente proporcionais a 2, 3 e 4, podemos escrever a x y z proporção Conforme vimos nos exercícios anteriores, x = 2k, y = 3k e z = 4k, onde k é a constante de proporcionalidade. Daí, 2k + 3k + 4k = 36 9k = 36 k = 4 e as partes procuradas são x = 2. 4 = 8, y = 3. 4 = 12 e z = 4. 4 = 16. Note que realmente dá 36. GABARITO: 8, 12 e 16 04) Dividindo-se 580 em partes diretamente proporcionais a 7, 10 e 12, obtém-se: x y z Partes: x, y e z x + y + z = 580 e Como x = 7k, y = 10k e z = 12k, temos: 7k + 10k + 12k = k = 580 k = 20. Logo, x = = 140, y = = 200 e z = = 240. GABARITO: 140, 200 e 240

6 05) Para construir uma empresa, Carlos, Fábio e Antônio formaram um capital inicial de R$ ,00, onde Carlos participou com R$ ,00, Fábio com R$ ,00 e Antônio entrou com R$ ,00. Ao final de um ano de atividades eles obtiveram um lucro de R$ ,00. A parte do lucro que caberá a Fábio é: A divisão do lucro é diretamente proporcional ao capital inicial de cada c f a sócio. Temos que c + f + a = 40000, e que c = 10000k, f = k e a = 18000k. Logo, 10000k k k = k = k = 3/2 Como queremos a parte de Fábio: f = /2 = reais GABARITO: ) Renato e Paulo têm uma conta conjunta numa caderneta de poupança que está hoje com R$ 2030,00. As quantias que Renato e Paulo investiram deve ser repartido de forma proporcionais aos números 2 e 5, nessa ordem. Qual é a quantia que cabe a cada um nessa caderneta, hoje? r p Temos: r + p = 2030, e r = 2k e p = 5k 2k + 5k = k = 2030 k = 290. Daí, r = 2 x 290 = 580 reais e p = 5 x 290 = 1450 reais. GABARITO: ) (Petrobras) Dividindo-se R$ 3800,00 em partes inversamente proporcionais a 1, 3 e 4, a menor parte corresponderá a: Sejam x, y e z as partes. Como a divisão é em partes inversamente proporcionais aos pesos, a MENOR parte corresponderá ao MAIOR peso (o número 4). Logo, a menor parte será a terceira (z). Precisamos inicialmente calcular os inversos dos pesos, que são 1, 1/3 e 1/4.

7 Portanto: x + y + z = 3800 e x y z CAIXA ECONOMICA FEDERAL Como vimos anteriormente: x = 1. k, y = 1. 3 k e z = 1. 4 k k + k/3 + k/4 = 3800 eliminando os denominadores multiplicando cada fração por 12, o mmc entre 1, 3 e 4, vem: 12k + 4k + 3k = k = k = Queremos o valor de z: z = 2400/4 = 600 reais. Solução 2: Vimos na teoria que, se duas sucessões de números são inversamente proporcionais, então o PRODUTO entre eles é constante. Logo, o produto entre as partes e seus respectivos pesos é constante: x. 1 = y. 3 = z. 4. Dividindo todos os produtos por 12, o mmc(1, 3, 4), ficamos com x/12 = y/4 = z/3. Pronto, agora é só proceder como se fosse uma divisão proporcional direta: x = 12k; y = 4k e z = 3k 12k + 4k + 3k = k = 3800 k = 200. Como já sabemos que o que se pede é o valor de z, este será = 600 reais. GABARITO: ) (TRT) Certa quantia foi dividida em partes inversamente proporcionais a 7 e 15. Sabendo que a diferença entre as partes é de R$ 160,00, o valor, em reais, da menor parte é de: As partes são x e y. Os inversos dos pesos são 1/7 e 1/15. A menor parte será a segunda, y, por ter o maior peso. De acordo com o enunciado: x y 1 1 x = k e y = k x y 160 k/7 k/15 = 160 multiplicando todos os termos por 105, o mmc (1, 7, 15) 15k 7k = k = Logo, y = 2100/15 = 140 reais. Solução 2: Numa divisão proporcional inversa, o produto entre as partes e os respectivos pesos é constante, logo x. 7 = y. 15.

8 Dividindo ambos os produtos por 105, o mmc(7, 15), encontramos x/15 = y/7. Agora, é só proceder como numa divisão direta: x = 15k e y = 7k (note que bastou inverter os pesos, você pode fazer isso toda vez que forem apenas 2 pesos). Logo, 15 k 7k = 160 8k = 160 k = 20 e y = = 140. GABARITO: ) (TRF) O juiz da 99ª Vara resolveu distribuir 3800 processos entre 3 auxiliares, em parcelas inversamente proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Antônio tem 25 anos de serviço, Bernardo, 20 e Carlos, 10. O número de processos que Bernardo recebeu é igual a: Inversos dos pesos: 1/25, 1/20 e 1/10; a + b + c = 3800 e a = k, b = k e c = 1. k k/25 + k/20 + k/10 = k + 5k + 10k = k 10 = k = Como queremos o valor de b, temos b = 20000/20 = 1000 processos. Solução 2: Numa divisão proporcional inversa, o produto entre as partes e os respectivos pesos é constante, logo a. 25 = b. 20 = c. 10 Dividindo ambos os produtos por 100, o mmc(25, 20, 10), encontramos a/4 = b/5 = c/10. Agora, é só proceder como numa divisão direta: a = 4k, b = 5k e c = 10k. Logo, 4k + 5k + 10k = k = 3800 k = 200. Daí, b = = 1000 processos. GABARITO: ) (Banco Central) No mês de agosto, 132 processos deram entrada num certo setor para serem examinados e foram divididos entre dois técnicos, em quantidades inversamente proporcionais aos seus tempos de serviço no setor. Se o primeiro trabalha há 3 anos e o segundo há 2 anos e meio, a quantidade de processos que caberá ao primeiro é:

9 Inicialmente temos que 3 anos = 36 meses e 2 anos e meio = 30 meses. x y Logo, os inversos dos pesos são 1/36 e 1/30. Temos que x + y = 132 e que Como sabemos, x = k/36 e y = k/30 k/36 + k/30 = 132 5k + 6k = k = k = Então o valor de x será 2160/36 = 60 processos. Solução 2: Sabemos que, numa divisão proporcional inversa com dois pesos, basta inverte-los e proceder como se fosse uma divisão direta (vide questão 82), logo, x/30 = y/36 x = 30k e y = 36k. Logo, 30k + 36k = k = 132 k = 2. Daí, x = = 60. GABARITO: 60 11) Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, tem-se que suas medidas valem: Basta lembrarmos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Logo, sendo x, y e z os ângulos internos procurados, temos que x + y + z = 180º e que x = 2k, y = 3k e z = 4k. Substituindo como de praxe, encontramos 10k = 180º k = 18º, sendo os ângulos em questão 36º, 54º e 72º. GABARITO: 36º, 54º e 72º. 4. Regras de Três 4.1. Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência;

10 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exercícios Resolvidos 12) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65 km. Num percurso de 910 km a quantidade consumida em litros de combustível será de: 1ª etapa: tabelar os dados Litros Km x 910 2ª etapa: verificar se as grandezas (litros e km) são direta ou inversamente proporcionais Quanto mais km percorrermos com o automóvel, mais litros de combustível serão consumidos, logo as grandezas são DIRETAMENTE proporcionais 3ª etapa: montamos a proporção correspondente x = 9100 x = 140 litros. x 910 GABARITO: 140 l 13) Em um acampamento com 80 militares, há comida para 48 dias. Tendo o comandante do acampamento dispensado 20 militares, para quantos dias a comida será suficiente para alimentar os militares que ficaram? 1ª etapa: (note que foram dispensados 20 militares, portanto ficam apenas 60) Militares Dias x 2ª etapa: Quanto mais militares houver no acampamento, menos dias a comida irá durar, portanto as grandezas são inversamente proporcionais

11 3ª etapa: montamos a proporção correspondente, INVERTENDO a razão correspondente aos militares x x = 192 x = 64 dias. x 4 GABARITO: 64 dias 14) Corrigindo provas de um exame vestibular, 4 professores gastaram 75 horas. Em quanto tempo esse tempo será feito por 12 professores? Professores Horas x Notemos que quanto mais professores corrigirem as provas, em menos horas as provas acabam de ser corrigidas, logo as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais. Por isso, INVERTEREMOS a razão correspondente aos professores x x = 75 x = 25 horas x 1 GABARITO: 25 15) Uma pessoa digita um trabalho com 48 toques por minuto, em 6 horas. Para que essa pessoa possa realizar o mesmo trabalho em 8 horas, seriam necessários quantos toques por minuto? Toques por minuto Horas 48 6 x 8

12 Quanto mais toques por minuto a pessoa digitar, em menos horas o serviço fica pronto. Mais uma vez, as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais. Não se esqueça de inverter a razão correspondente às horas. Logo: 48 8 x x = 144 x = 36 toques/min. x 3 GABARITO: 36 16) Uma revista foi impressa com 120 páginas, tendo 48 linhas em cada página. Se a revista for impressa com 28 linhas a menos em cada página, qual será o número de páginas? Páginas Linhas x 20 (28 linhas a menos) As grandezas são INVERSAMENTE proporcionais, pois quanto mais linhas houver em cada página, menos páginas são necessárias para escrever a revista. Devemos, pois, inverter a razão correspondente às linhas x 48 x 12 5x = 1440 x = 288 páginas. GABARITO: ) (Petrobras) Em um acampamento, havia comida para alimentar as 10 pessoas presentes, durante 15 dias. Após uma permanência de 3 dias, 2 das pessoas foram embora. A comida restante pode alimentar as 8 pessoas que ficaram durante alguns dias a mais. Quantos? É importantíssimo reparar que a alteração na quantidade das pessoas do acampamento só se deu após o terceiro dia. Nesses 3 dias iniciais, o planejamento

13 foi seguido normalmente (10 pessoas no grupo e comida para 15 dias). Por isso, ao tabelarmos os dados, precisamos descontar esses 3 dias iniciais. Vejamos o que teria acontecido se o planejado continuasse ocorrendo e o que efetivamente ocorreu: Pessoas Dias (após os 3 dias iniciais) 8 x As grandezas são inversamente proporcionais (o próprio enunciado coloca isso claramente). Temos, portanto: x 10 x 5 4x = 60 x = 15 dias. Mas o enunciado pedia quantos dias A MAIS. Ora, a comida deveria durar 12 dias, mas se durou 15 dias, então as pessoas puderam ficar 3 dias a mais no acampamento, o que se constitui a chamada resposta. GABARITO: 3 18) (Banco do Brasil/CESPE) O euro, moeda oficial da União Européia, que existe como moeda e cédula desde 1.º/1/2002, é adotado, hoje, por 13 dos 27 Estadosmembros. O último Estado-membro a adotar o euro foi a Eslovênia, em 1.º/1/2007, que estabeleceu a conversão de 239,64 tolares o tolar era a moeda até então oficial na Eslovênia para cada euro. a) Considere que, no dia 1.º/1/2007, no câmbio oficial brasileiro, fosse possível comprar exatamente 1 euro por R$ 3,00. Nessa situação, nesse mesmo dia, R$ 1,00 equivalia a menos de 78 tolares. ERRADO temos que 1 euro = 239,64 tolares 240 tolares = 3 reais. Logo, 1 real será aproximadamente igual a 240 : 3 = 80 tolares. b) Considere que o alfa fosse a moeda oficial de um dos 13 Estados-membros que adotaram o euro como moeda oficial. Considere, ainda, que 6 tolares equivaliam a 11 alfas no dia 1.º/1/2007. Nessa situação, nesse mesmo dia, um euro equivalia a mais de 450 alfas. ERRADO montemos a seguinte Regra de Três: Alfas tolares 11 6

14 x 240 (aproximadamente 1 euro) 6x = 2640 x = 440 alfas. GABARITO: E E 4.2. Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 19) Se 16 homens gastam 10 dias montando 32 máquinas, o número de dias que 20 homens necessitarão para montar 60 máquinas é: 1ª etapa: vamos tabelar os dados Homens Dias Máquinas x 60 2ª etapa: destacamos a grandeza que queremos determinar (dias) e escrevemos os seus dados sob a forma de razão e a deixamos isolada em um dos membros da equação; 3ª etapa: verificamos se a variação de cada uma das grandezas cujos valores conhecemos (homens e máquinas) se dá de forma direta ou inversamente proporcional com relação àquela que queremos determinar (dias), uma de cada vez e uma independente da outra. Caso a variação seja inversa, como de costume, invertemos a razão correspondente. Multiplicamos, no outro membro da equação, as duas razões obtidas dessas comparações. Dias e homens são inversamente proporcionais e máquinas e dias são diretamente proporcionais. Vejamos como fica a equação: x simplificando o 2º membro x = 30 x = 15 dias. x 3 GABARITO: 15

15 20) Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo será armado, trabalhandose 10 horas por dia? Tabelando os dados: (note que foram dispensados 20 homens, ficando apenas 30) Homens Dias Horas/dia x 10 Como no anterior, dias e homens são inversamente proporcionais, o mesmo ocorrendo com dias e horas por dia. Logo, precisamos inverter ambas as razões x x = 30 dias. x 15 GABARITO: 30 21) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias? Pessoas Dias Toneladas x Temos que toneladas e dias são diretamente proporcionais, pois quanto mais dias as pessoas trabalharem, mais toneladas de lixo serão retiradas, o mesmo ocorrendo com toneladas e pessoas. Logo, podemos escrever que toneladas x x = 5400 x = 1800 x 40 GABARITO: 1800

16 22) Três pedreiros constroem um muro de 20 m de comprimento em 10 dias. Para construírem 30 m de um muro do mesmo tipo, 5 pedreiros levarão quantos dias? Pedreiros Comprimento Dias x Dias e pedreiros são inversamente proporcionais enquanto que dias e comprimento do muro são diretamente proporcionais (quanto maior for o tamanho do muro, mais dias serão necessários para construí-lo). Logo: x x 9 x = 9 dias. GABARITO: 9 23) Um programa de reflorestamento de uma certa região possui 4 homens trabalhando 8 horas por dia que plantaram, em 10 dias, 6000 mudas. Quantas horas por dia terão que trabalhar 6 homens para plantar 9000 mudas em apenas 8 dias? Homens Horas por dia Dias Mudas x Horas por dia e homens são inv. prop., horas por dia e dias também são inv. prop., enquanto que horas por dia e mudas são dir. proporcionais. Logo, x x = 40 x = 10 horas por dia. x 5

17 GABARITO: 10 24) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas, por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é: Pedreiros Barracões Dias Horas/dia x Horas por dia e pedreiros são inv. prop.; horas por dia e barracões são dir. prop.; horas por dia e dias são inv. prop. Logo, temos: x x = 12 horas por dia. x 2 GABARITO: 12 25) Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10 dias perceberam que só haviam realizado 2/5 da obra. Se o grupo for reforçado com mais 12 homens, quanto tempo a mais que o pretendido levarão para concluir a obra? Homens Dias Fração da Obra /5 30 x 3/5 Repare que são 30 homens, 12 a mais que os 18 iniciais. Note também que na primeira linha são 10 os dias e não 15, pois os 2/5 da obra são realizados em 10 e não em 15 dias. Planeja-se construir TODO o muro em 15 dias, e não 2/5 dele. Dias e homens são inv. prop., enquanto que dias e fração da obra são dir. prop. Mais uma vez, os denominadores poderão ser cancelados.

18 Logo,. x x 9 x = 9 dias. GABARITO: 9 5. Porcentagem É, de longe, o assunto mais cobrado em concursos. No Enem, uns 70% (olha ela aí!) das questões de matemática envolvem porcentagens (posso ter exagerado, mas não é muito menos que isso não...). Como o nome sugere, uma porcentagem ou razão centesimal é uma razão com consequente 100. Exemplo: 32% = 32/100 = 0,32. Sem sombra de dúvida, todos nós estamos familiarizados com porcentagens, devido à larga utilização das mesmas no cotidiano. Vamos ver como elas são cobradas nos mais diferentes concursos através de exercícios. Iremos, sempre que possível, privilegiar a resolução dos mesmos via regra de três Exercícios Resolvidos 26) Uma televisão custa 500 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? Calculando 10% de 500 reais, temos: 10/100 x 500 = 50 reais. Logo, pagarei = 450 reais. GABARITO: 450 reais 27) Paulo usou 32% de um rolo de fita adesiva de 50 m. Determine quantos metros de fita adesiva Paulo usou. Calculando 32% de 50, temos: 32/100 x 50 = 16, logo, Paulo gastou 16 m de fita. GABARITO: 16 28) Inscreveram-se num concurso 1480 candidatos. Qual o número de aprovados se foram reprovados 35%?

19 Se foram reprovados 35%, então foram aprovados 100% - 35% = 65% do total de candidatos. Basta calcularmos, portanto, 65% de 1480: 65/100 x 1480 = 962 candidatos GABARITO: ) Em um grupo de 20 pessoas, 40% são homens e 75% das mulheres são solteiras. O número de mulheres casadas é: 1º) Número de homens: 40/100 x 20 = 8, logo o número de mulheres é 20 8 = 12. 2º) Mulheres solteiras: 75/100 x 12 = 9, logo o número de casadas é 12 9 = 3. GABARITO: 3 30) Sabendo que 120 fuzileiros navais de um quartel correspondem a 15% do efetivo total, quantos fuzileiros navais há no quartel? Vamos utilizar uma regra de três simples e direta: Fuzileiros % x x = x = 800 GABARITO: ) Em uma fábrica, 28% dos operários são mulheres. Se nesta fábrica há 216 operários homens, o número total de operários é:

20 Se 28% dos operários são mulheres, então 100% - 28% = 72% são homens. Logo, temos: Operários % x x = x = 300. GABARITO: ) Numa cidade, 30% da população é de homens adultos e 45%, de mulheres adultas. Quantos habitantes possui a cidade, se o número de crianças é 50000? Adicionando as porcentagens referentes aos homens e mulheres, obtemos 30% + 45% = 75%. Como o total de habitantes corresponde a 100%, as crianças corresponderão a 100% 75% = 25% do total. Logo, temos a seguinte regra de três simples e direta: Habitantes % x 100 Daí, vem: 25x = x = habitantes. GABARITO: ) Num concurso com candidatos inscritos registraram-se 1300 ausências às provas e 3471 reprovações. A porcentagem das aprovações sobre o número de candidatos que efetivamente participaram das provas foi de: 1º) Se houve candidatos e 1300 ausências, então compareceram = 8900 candidatos 2º) Destes 8900 candidatos, 3471 foram reprovados. Daí, concluímos que foram aprovados = 5429 candidatos. 3º) Podemos montar a seguinte regra de três:

21 Candidatos % x 8900x = x = 61%. GABARITO: 61% 34) O preço de uma geladeira é de R$ 1200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 30% de entrada e pagando o restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será: 1º) Acréscimo: 10% de /100 x 1200 = 120 reais 2º) Valor a prazo: = 1320 reais 3º) Entrada: 30% de /100 x 1320 = 396 reais 4º) Valor financiado: = 924 reais 5º) Valor de cada prestação: 924 : 2 = 462 reais GABARITO: 462 reais 33) (FURNAS) O consumo de energia elétrica de uma residência passou, de um mês para o outro, de 150 kwh para 192 kwh. Esse aumento corresponde, em porcentagem, a: Se o consumo passou de 150 para 192 kwh, então o aumento foi de 42 kwh. Logo: kwh % x 150x = 4200 x = 28% GABARITO: 28%

22 35) A comissão de um vendedor de lanchas é igual a 6% do valor de cada venda efetuada. Se um proprietário recebe pela venda de sua lancha R$ ,00, já descontada a comissão do vendedor, então o valor dessa comissão foi de: R$ % (descontou-se a comissão do vendedor) x 6 94x = x = 2700 reais. GABARITO: 2700 reais 36) Um videocassete foi comprado com um desconto de 20% sobre o preço da loja, ficando em R$ 400,00. Neste caso, o preço da loja era de: R$ % (o valor normal do objeto menos o desconto) x 100 (o valor normal do objeto, o preço da loja ) 80x = x = 500 reais GABARITO: 500 reais 37) (INFRAERO) João constatou que, no mês de dezembro, a venda de garrafas de água mineral em sua mercearia teve um aumento percentual de 14% com relação ao mês anterior. Sabendo que a mercearia de João vendeu 171 garrafas de água mineral em dezembro e que X representa o número de garrafas de água mineral vendidas em novembro, podemos afirmar que X é: Garrafas %

23 (garrafas vendidas em nov. + aumento) x x = x = 150 GABARITO: ) Aumentando-se de 20% a base de um retângulo e diminuindo-se de 10% a sua altura, a área do retângulo aumentará de: Sabemos que a área de um retângulo é dada por A = b x h, onde b é a base e h, a altura. Tanto a base quanto a altura, inicialmente, valem 100% em relação a elas mesmas. Como a base aumentou 20%, passou a ser 120% do seu valor original e como a altura diminuiu 10%, passou a ser 90% do que era inicialmente Logo, a nova área será dada por 120%.b x 90%.h x x b x h 108% x b x h, o que corresponde a um aumento de 8% em relação à área original. GABARITO: 8% 39) (Agência Nacional do Petróleo) Uma refinaria vende 20% de sua produção de gasolina para distribuidoras do Estado de São Paulo. Do restante da produção, 60% são vendidos para distribuidoras da Região Sul. O que sobra é comprado por distribuidoras da Região Centro-Oeste. O percentual da produção de gasolina dessa refinaria destinado à Região Centro-Oeste é de: O total produzido, como sabemos, é 100%. Se 20% foram para São Paulo, sobram 80%. Para a Região Sul, foram 60% DO RESTANTE, ou seja, 60% de 80% 60/100 x 80/100 = 48%. Logo, o que sobra para a Região Centro-Oeste é 80% 48% = 32% GABARITO: 32%

24 40) (TRT) Mário investiu 30% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda fixa. Após um mês, a quotas dos fundos de ações e de renda fixa. Após um mês, as quotas dos fundos de ações e de renda fixa haviam se valorizado 40% e 20%, respectivamente. A rentabilidade do capital de Mário foi, nesse mês, de: Investimento em ações: 30% do capital; Em renda fixa: 70% do capital; Valorização das ações: 40% de 30% 40/100 x 30/100 = 12% do capital; Do fundo de renda fixa: 20% de 70% 20/100 x 70/100 = 14% do capital; Portanto, a rentabilidade foi de 12% + 14% = 26% do capital. GABARITO: 26% 41) (Petrobras) Na compra de uma mesma calculadora, Luiz obteve 40% de desconto e André, apenas 20%. Qual é a porcentagem, do preço pago por André, que representa o preço pago por Luiz? Admitamos, para simplicidade de raciocínio, que o valor inicial da calculadora é 100 reais. Luiz acabou pagando 60 reais (40% de desconto) e André, 80. (20% de desconto). Podemos montar a seguinte regra de três: R$ % x Logo, 80x = 6000 x = 75% GABARITO: 75% 42) (Petrobras) As promoções do tipo "leve 5 e pague 4", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de:

25 Se pago 4 em vez dos 5 que deveria, meu desconto é de 1 unidade em cada 5, ou seja, de 1/5 do total levado. Convertendo 1/5 para a forma percentual, temos 1 x 5x = 100 x = 20, ou seja, 20% de desconto GABARITO: 20% 43) (Fuvest) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ ,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador? O preço, sem imposto, do carro é representado por 100%. Com o imposto de 30%, passa a valer 130% do que era. Como o imposto passou a ser de 60%, o valor do carro passou a ser 160% do que era. Podemos montar a regra de três: R$ % x x = x = reais GABARITO: ) (Escola Naval) Uma senhora extremamente gorda resolveu fazer uma dieta e perdeu em 3 meses 30% de seu peso; entretanto, nos 3 meses seguintes, ela aumentou seu peso em 40%. No decorrer desse semestre, a variação percentual do peso da senhora foi de: Questões como essa são extremamente comuns em concursos. Poderíamos pensar num primeiro momento que seria suficiente fazer 40% 30% = 10% a mais que no início. Porém, tal raciocínio está equivocado, e por quê? Para facilitar nosso entendimento do exercício, vamos supor que a senhora pesava, por exemplo, 100 kg. Como ela inicialmente perdeu 30% do seu peso, então ela passou a pesar = 70 kg.

26 Como depois o peso dela aumentou 40%, é importante o prezado leitor perceber que tal aumento recai sobre os 70 kg atuais da senhora E NÃO SOBRE OS 100 Kg INICIAIS. As porcentagens são incididas sobre VALORES DIFERENTES, por isso era falho o raciocínio inicial. Estamos diante de uma questão que versa sobre aumentos e/ou descontos sucessivos. Há um processo muito rápido e simples para resolver questões como essa. Basta aplicar a fórmula (100% x%)(100% + y%), onde x representa a diminuição, no caso de 30% e y, o aumento, no caso, de 40%. Aplicando a fórmula, vem: (100% 30%)(100% + 40%) 70%. 140% 70/ /100 = 98/100 = 98%. Não se esqueça que inicialmente o peso da senhora era 100% em relação a ele mesmo, como agora é 98% em relação ao que era no início, conclui se que houve uma DIMINUIÇÃO DE 2%. GABARITO: diminuição de 2% 45) (Petrobras) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale a aumentar o preço original em: Como no anterior: (100% + 30%)(100% 20%) 130/ / %, ou seja, aumento de 4% em relação ao valor inicial. GABARITO: 4% 46) O preço inicial de um videogame sofreu 2 aumentos consecutivos de 25% e de 55%, motivados pela inflação. Em porcentagem, o aumento total sofrido pelo preço desse videogame foi: Temos: (100% + 25%)(100% + 55%) 125/ /100 = 19375/10000 = 193,75/100 = 193,75%, ou seja, aumento de 93,75%. GABARITO: 93,75% 47) Seja P o produto de três números positivos. Se aumentarmos dois deles de 20% e diminuirmos o outro de 40%, veremos que P:

27 (100% + 20%)(100% + 20%)(100% - 40%) = 120/ / /100 = 864/1000 = 86,4/100 = 86,4% de P, ou seja P diminuiu 13,6% de seu valor inicial. GABARITO: diminuiu 13,6% 48) Num certo país, o governo resolveu substituir todos os impostos por um imposto único que seria, no caso dos salários, de 20% sobre os mesmos. Para que um trabalhador receba, após o desconto, o mesmo salário que recebia antes, deverá ter um aumento sobre o mesmo de: Admitamos, por simplicidade, que o salário inicial é de 100 reais. Com o desconto, passou a ser de 80 reais. Devemos dar um aumento sobre os 80 reais para que ele volte a ser os 100 reais iniciais. Temos: R$ % x 80x = x = 125% aumento de 25% GABARITO: 25% 49) O valor do produto (5%) 2. (10%) 2 é: Não podemos nos esquecer que 5% = 5/100 e que 10% = 10/100, ou seja, frações, por isso, ambos os termos devem ser elevados ao quadrado, e não apenas os numeradores 5 e 10. Logo, temos: (5/100) 2. (10/100) =.. 0,0025 % GABARITO: 0,0025%

28 50) Certa mercadoria foi vendida por R$ 2 500,00, dando um lucro de 20% sobre o preço de custo ao vendedor. Quanto lhe custou a mercadoria? Sabemos que a relação entre o preço de custo (ou preço de compra), PC, com o preço de venda, PV, com o lucro (L) obtido na transação é dado por PV = PC + L. Temos que PV = 2500 e L = 20% do preço de custo (PC). Como PV = PC + L, 120 então 2500 = PC + 20%. PC 120%. PC = 2500 PC PC = PC = 2083,33 reais. GABARITO: 2083,33 reais 51) Um minério A tem massa igual a 5 kg e contém 72% de ferro, e um minério B tem massa m, contém 58% de ferro. A mistura dessas massas contém 62% de ferro. A massa m, em kg, é: Minério A Ferro: 72% de 5 kg 72/100 x 5 = 3,6 kg; Minério B Ferro: 58% de m kg 0,58 m kg; Mistura A + B Massa total (5 + m) kg Ferro: 3,6 + 0,58 m. Como a porcentagem de ferro na mistura é de 62%, podemos escrever que 3,6 0,58m m = m 50 = 4m m = 12,5 kg. 5 m 100 GABARITO: 12,5 kg 6. Lista com os exercícios abordados na aula de hoje 01) Sendo x + y + z = 195 e x/4 = y/5 = z/6, pode-se afirmar que (x + y z) vale: GABARITO: 39 02) (FURNAS) As idades de Renato, Paula e Marcelo estão representadas por r, p e m, respectivamente. Sabe-se que r/3 = p/4 = m/5 e que r + p + m = 72. A idade de Paula é:

29 GABARITO: 24 03) Repartindo o número 36 em 3 partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4, obtemos: GABARITO: 8, 12 e 16 04) Dividindo-se 580 em partes diretamente proporcionais a 7, 10 e 12, obtém-se: GABARITO: 140, 200 e ) Para construir uma empresa, Carlos, Fábio e Antônio formaram um capital inicial de R$ ,00, onde Carlos participou com R$ ,00, Fábio com R$ ,00 e Antônio entrou com R$ ,00. Ao final de um ano de atividades eles obtiveram um lucro de R$ ,00. A parte do lucro que caberá a Fábio é: GABARITO: ) Renato e Paulo têm uma conta conjunta numa caderneta de poupança que está hoje com R$ 2030,00. As quantias que Renato e Paulo investiram deve ser repartido de forma proporcionais aos números 2 e 5, nessa ordem. Qual é a quantia que cabe a cada um nessa caderneta, hoje? GABARITO: ) (Petrobras) Dividindo-se R$ 3800,00 em partes inversamente proporcionais a 1, 3 e 4, a menor parte corresponderá a: GABARITO: ) (TRT) Certa quantia foi dividida em partes inversamente proporcionais a 7 e 15. Sabendo que a diferença entre as partes é de R$ 160,00, o valor, em reais, da menor parte é de: GABARITO: 140

30 09) (TRF) O juiz da 99ª Vara resolveu distribuir 3800 processos entre 3 auxiliares, em parcelas inversamente proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Antônio tem 25 anos de serviço, Bernardo, 20 e Carlos, 10. O número de processos que Bernardo recebeu é igual a: GABARITO: ) (Banco Central) No mês de agosto, 132 processos deram entrada num certo setor para serem examinados e foram divididos entre dois técnicos, em quantidades inversamente proporcionais aos seus tempos de serviço no setor. Se o primeiro trabalha há 3 anos e o segundo há 2 anos e meio, a quantidade de processos que caberá ao primeiro é: GABARITO: 60 11) Sabendo-se que os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, tem-se que suas medidas valem: GABARITO: 36º, 54º e 72º. 12) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65 km. Num percurso de 910 km a quantidade consumida em litros de combustível será de: GABARITO: 140 l 12) Em um acampamento com 80 militares, há comida para 48 dias. Tendo o comandante do acampamento dispensado 20 militares, para quantos dias a comida será suficiente para alimentar os militares que ficaram? GABARITO: 64 dias 13) Corrigindo provas de um exame vestibular, 4 professores gastaram 75 horas. Em quanto tempo esse tempo será feito por 12 professores? GABARITO: 25 14) Uma pessoa digita um trabalho com 48 toques por minuto, em 6 horas. Para que essa pessoa possa realizar o mesmo trabalho em 8 horas, seriam necessários quantos toques por minuto? GABARITO: 36

31 15) Uma revista foi impressa com 120 páginas, tendo 48 linhas em cada página. Se a revista for impressa com 28 linhas a menos em cada página, qual será o número de páginas? GABARITO: ) (Petrobras) Em um acampamento, havia comida para alimentar as 10 pessoas presentes, durante 15 dias. Após uma permanência de 3 dias, 2 das pessoas foram embora. A comida restante pode alimentar as 8 pessoas que ficaram durante alguns dias a mais. Quantos? GABARITO: 3 17) (Banco do Brasil/CESPE) O euro, moeda oficial da União Européia, que existe como moeda e cédula desde 1.º/1/2002, é adotado, hoje, por 13 dos 27 Estadosmembros. O último Estado-membro a adotar o euro foi a Eslovênia, em 1.º/1/2007, que estabeleceu a conversão de 239,64 tolares o tolar era a moeda até então oficial na Eslovênia para cada euro. a) Considere que, no dia 1.º/1/2007, no câmbio oficial brasileiro, fosse possível comprar exatamente 1 euro por R$ 3,00. Nessa situação, nesse mesmo dia, R$ 1,00 equivalia a menos de 78 tolares. b) Considere que o alfa fosse a moeda oficial de um dos 13 Estados-membros que adotaram o euro como moeda oficial. Considere, ainda, que 6 tolares equivaliam a 11 alfas no dia 1.º/1/2007. Nessa situação, nesse mesmo dia, um euro equivalia a mais de 450 alfas. GABARITO: E E 18) Se 16 homens gastam 10 dias montando 32 máquinas, o número de dias que 20 homens necessitarão para montar 60 máquinas é: GABARITO: 15 19) Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo será armado, trabalhandose 10 horas por dia?

32 GABARITO: 30 20) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias? GABARITO: ) Três pedreiros constroem um muro de 20 m de comprimento em 10 dias. Para construírem 30 m de um muro do mesmo tipo, 5 pedreiros levarão quantos dias? GABARITO: 9 22) Um programa de reflorestamento de uma certa região possui 4 homens trabalhando 8 horas por dia que plantaram, em 10 dias, 6000 mudas. Quantas horas por dia terão que trabalhar 6 homens para plantar 9000 mudas em apenas 8 dias? GABARITO: 10 23) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas, por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é: GABARITO: 12 24) Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10 dias perceberam que só haviam realizado 2/5 da obra. Se o grupo for reforçado com mais 12 homens, quanto tempo a mais que o pretendido levarão para concluir a obra? GABARITO: 9 25) Uma televisão custa 500 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? GABARITO: 450 reais

33 26) Paulo usou 32% de um rolo de fita adesiva de 50 m. Determine quantos metros de fita adesiva Paulo usou. GABARITO: 16 27) Inscreveram-se num concurso 1480 candidatos. Qual o número de aprovados se foram reprovados 35%? GABARITO: ) Em um grupo de 20 pessoas, 40% são homens e 75% das mulheres são solteiras. O número de mulheres casadas é: GABARITO: 3 29) Sabendo que 120 fuzileiros navais de um quartel correspondem a 15% do efetivo total, quantos fuzileiros navais há no quartel? GABARITO: ) Em uma fábrica, 28% dos operários são mulheres. Se nesta fábrica há 216 operários homens, o número total de operários é: GABARITO: ) Numa cidade, 30% da população é de homens adultos e 45%, de mulheres adultas. Quantos habitantes possui a cidade, se o número de crianças é 50000? GABARITO: ) Num concurso com candidatos inscritos registraram-se 1300 ausências às provas e 3471 reprovações. A porcentagem das aprovações sobre o número de candidatos que efetivamente participaram das provas foi de: GABARITO: 61%

34 33) O preço de uma geladeira é de R$ 1200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 30% de entrada e pagando o restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será: GABARITO: 462 reais 33) (FURNAS) O consumo de energia elétrica de uma residência passou, de um mês para o outro, de 150 kwh para 192 kwh. Esse aumento corresponde, em porcentagem, a: GABARITO: 28% 34) A comissão de um vendedor de lanchas é igual a 6% do valor de cada venda efetuada. Se um proprietário recebe pela venda de sua lancha R$ ,00, já descontada a comissão do vendedor, então o valor dessa comissão foi de: GABARITO: 2700 reais 35) Um videocassete foi comprado com um desconto de 20% sobre o preço da loja, ficando em R$ 400,00. Neste caso, o preço da loja era de: GABARITO: 500 reais 36) (INFRAERO) João constatou que, no mês de dezembro, a venda de garrafas de água mineral em sua mercearia teve um aumento percentual de 14% com relação ao mês anterior. Sabendo que a mercearia de João vendeu 171 garrafas de água mineral em dezembro e que X representa o número de garrafas de água mineral vendidas em novembro, podemos afirmar que X é: GABARITO: ) Aumentando-se de 20% a base de um retângulo e diminuindo-se de 10% a sua altura, a área do retângulo aumentará de: GABARITO: 8%

35 38) (Agência Nacional do Petróleo) Uma refinaria vende 20% de sua produção de gasolina para distribuidoras do Estado de São Paulo. Do restante da produção, 60% são vendidos para distribuidoras da Região Sul. O que sobra é comprado por distribuidoras da Região Centro-Oeste. O percentual da produção de gasolina dessa refinaria destinado à Região Centro-Oeste é de: GABARITO: 32% 39) (TRT) Mário investiu 30% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda fixa. Após um mês, a quotas dos fundos de ações e de renda fixa. Após um mês, as quotas dos fundos de ações e de renda fixa haviam se valorizado 40% e 20%, respectivamente. A rentabilidade do capital de Mário foi, nesse mês, de: GABARITO: 26% 40) (Petrobras) Na compra de uma mesma calculadora, Luiz obteve 40% de desconto e André, apenas 20%. Qual é a porcentagem, do preço pago por André, que representa o preço pago por Luiz? GABARITO: 75% 41) (Petrobras) As promoções do tipo "leve 5 e pague 4", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: GABARITO: 20% 42) (Fuvest) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ ,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador? GABARITO: ) (Escola Naval) Uma senhora extremamente gorda resolveu fazer uma dieta e perdeu em 3 meses 30% de seu peso; entretanto, nos 3 meses seguintes, ela

36 aumentou seu peso em 40%. No decorrer desse semestre, a variação percentual do peso da senhora foi de: GABARITO: diminuição de 2% 44) (Petrobras) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale a aumentar o preço original em: GABARITO: 4% 45) O preço inicial de um videogame sofreu 2 aumentos consecutivos de 25% e de 55%, motivados pela inflação. Em porcentagem, o aumento total sofrido pelo preço desse videogame foi: GABARITO: 93,75% 46) Seja P o produto de três números positivos. Se aumentarmos dois deles de 20% e diminuirmos o outro de 40%, veremos que P: GABARITO: diminuiu 13,6% 47) Num certo país, o governo resolveu substituir todos os impostos por um imposto único que seria, no caso dos salários, de 20% sobre os mesmos. Para que um trabalhador receba, após o desconto, o mesmo salário que recebia antes, deverá ter um aumento sobre o mesmo de: GABARITO: 25% 48) O valor do produto (5%) 2. (10%) 2 é: GABARITO: 0,0025% 49) Certa mercadoria foi vendida por R$ 2 500,00, dando um lucro de 20% sobre o preço de custo ao vendedor. Quanto lhe custou a mercadoria?

37 GABARITO: 2083,33 reais 50) Um minério A tem massa igual a 5 kg e contém 72% de ferro, e um minério B tem massa m, contém 58% de ferro. A mistura dessas massas contém 62% de ferro. A massa m, em kg, é: GABARITO: 12,5 kg 7. Considerações Finais Outra aula bastante longa e cansativa chega ao fim. Resolvemos 50 exercícios. Espero que todos tenham entendido esses assuntos tão frequentes em concursos. Até a próxima aula!

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