Máquinas Elétricas 1. Capítulo 1 Circuitos Magnéticos

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1 Máquinas Elétricas 1 Capítulo 1 Circuitos Magnéticos Prof. Alvaro Augusto W. de Almeida Universidade Tecnológica Federal do Paraná Departamento Acadêmico de Eletrotécnica alvaroaugusto@utfpr.edu.br

2 2 do Capítulo 1 Introdução Revisão de eletromagnetismo Materiais ferromagnéticos Problemas de circuitos magnéticos Superposição em circuitos magnéticos Uma aplicação da força magnética: relés Ensaios de laboratório Exercícios Referências

3 3 Introdução Estes slides foram preparados como parte do conteúdo da disciplina de Máquinas Elétricas 1 dos cursos de Engenharia Elétrica e Engenharia de Controle e Automação da UTFPR, campus Curitiba. Esperamos que este material possa servir também como uma pequena apostila, além de material a ser exibido em sala de aula. Daí a maior quantidade de texto. Todas as ilustrações, exceto menção em contrário, foram confeccionadas pelo autor por meio do GIMP , GNU Image Manipulation Program. As fotografias foram pesquisadas por meio do Google e, quando a fonte não foi encontrada, foram consideradas de domínio comum. Caso não seja este o caso, basta entrar em contato e solicitar a retirada. alvaroaugusto@utfpr.edu.br.

4 4 Revisão de Eletromagnetismo

5 5 Lei de Ampère (1) As grandezas mais importantes no estudo de circuitos magnéticos são: Intensidade de campo magnético H (medida em ampere-espiras por metro, Ae/m). Densidade de corrente elétrica ԦJ (medida em amperes por metro quadrado, A/m 2 ). Fluxo magnético φ (medido em webers, Wb). Campo elétrico E (medido em volts por metro, V/m). Três dessas grandezas se relacionam por meio da Lei de Ampère: ර H. dl = ඵ ԦJ. d ԦS + d dt ඵ S εe. d ԦS (1.1) C S

6 6 Lei de Ampère (2) A Lei de Ampère nos diz que existem duas formas de produzirmos campos magnéticos: Por meio de correntes AC ou DC de densidade ԦJ. Por meio de campos elétricos E variáveis no tempo. Em dispositivos operando nas frequências de 50Hz ou 60Hz a derivada de E em relação ao tempo é aproximadamente nula e o regime de operação é então denominado quase estático. A Lei de Ampère pode então ser escrita como abaixo. ර C H. dl = ඵ S ԦJ. da (1.2)

7 Lei de Ampère Aplicada a um Toroide Considere agora o toroide mostrado na Figura (1.1), de comprimento médio l, área da seção reta A e envolto por uma bobina de N espiras através da qual circula uma corrente I. Vamos aplicar a Lei de Ampère aqui, desprezando a derivada do campo elétrico. Figura (1.1) 7

8 8 Lei de Ampère Aplicada a um Toroide No toroide representado o elemento de área da é paralelo ao elemento de linha dl em todos os pontos do caminho, assim como é paralelo a ԦJ. Assim, podemos escrever: ඵ S ԦJ. da = ԦJ ඵ da = J. A (1.3) S Devemos agora lembrar que a corrente I passa N vezes pela bobina. Logo, a equação (1.3) deve ser escrita como: ඵ S ԦJ. da = NI (1.4)

9 9 Lei de Ampère Aplicada a um Toroide Substituindo (1.4) em (1.1), vem agora: ර C H. dl = NI (1.5) A equação (1.5) deixa claro que, quanto maior a corrente elétrica e maior o número de espiras da bobina, maior o campo magnético produzido.

10 10 Forças Eletromotriz e Magnetomotriz A equação (1.5) guarda uma relação formal com a Lei de Faraday: e = ර C E. dl = dφ dt (1.6) Como sabemos, a quantidade e é denominada força eletromotriz (f.e.m.). Por analogia, a integral do campo H na equação (1.2) será denominada força magnetomotriz (f.m.m.) e denotada por F: F = ර C H. dl (1.7)

11 11 Forças Eletromotriz e Magnetomotriz Em núcleos de material ferromagnético, sem entreferro, o fluxo magnético está confinado no interior do núcleo, ou seja, a dispersão e o espraiamento são desprezíveis. Além disso, o campo magnético é tangencial ao caminho magnético e é aproximadamente uniforme. Podemos então escrever: ර H. dl = H ර dl = Hl (1.8) C A equação (1.7) pode ser agora simplificada: C F = Hl = NI (1.9)

12 12 Lei de Hopkinson A analogia entre as leis de Ampère e de Faraday permite o entendimento da corrente elétrica I em um circuito elétrico como análoga ao fluxo magnético φ em um núcleo ferromagnético. A Lei de Ohm tem também uma análoga magnética, denominada Lei de Hopkinson, escrita como: F = Rφ (1.10) R é uma grandeza análoga à resistência elétrica, denominada relutância magnética.

13 Indução e Permeabilidade Magnéticas A indução magnética, ou densidade de fluxo magnético (medida em teslas, T), é obtida por meio da relação constitutiva do material: B = μ(h)h (1.13) A permeabilidade magnética μ é uma função de H para os materiais ferromagnéticos. Por esta razão, a curva B = f(h), denominada curva de magnetização, é linear apenas no trecho inicial. 13

14 14 Relutância Magnética A partir da Lei de Hopkinson e da definição de f.m.m. a relutância pode ser escrita como R = F φ = Hl (1.11) φ O fluxo magnético pode ser escrito como φ = BA, onde B é a densidade de fluxo magnético (ou indução magnética) e A é a área da seção reta. Assim: R = Hl BA = Hl μha Finalmente: R = l μa (1.12)

15 15 Analogia Eletro-Magnética Grandezas Elétricas Corrente Elétrica I Força Eletromotriz e Resistência Elétrica R Condutância Elétrica G Condutividade Elétrica σ Campo Elétrico E Densidade de Fluxo Elétrico D = σe Lei de Ohm e = RI Grandezas Magnéticas Fluxo Magnético φ Força Magnetomotriz F Relutância Magnética R Permeância Magnética (P) Permeabilidade Magnética μ Campo Magnético H Densidade de Fluxo Magnético B=μH Lei de Hopkinson F = Rφ

16 Exemplo 1.1 Considere o circuito magnético da Figura (1.2). O comprimento médio do núcleo é 0,4 m e a espessura do entreferro é 1,0 mm. As demais dimensões do núcleo são: a=5 cm e b=10 cm. O fluxo magnético dentro do núcleo é 4 mwb, não há espraiamento de fluxo e a permeabilidade relativa é 500. O número de espiras é 100. Calcule A Fe, A g, R, F, H, B e I. Figura (1.2) 16

17 17 Exemplo 1.1 Solução (1) O fato de que não há espraiamento no entreferro significa que A Fe = A g. Tais áreas podem ser calculadas em função das dimensões do núcleo: A = a b = 5 cm 10 cm A = 50cm 2 A indução magnética é a mesma no núcleo e no entreferro: B = φ A = B = 0,8 T As relutâncias são calculadas em função das características magnéticas e geométricas do núcleo. A relutância do núcleo é: R Fe = l Fe μ Fe A = l Fe μ r μ 0 A = 0, π R Fe = 127,32 kae/wb

18 18 Exemplo 1.1 Solução (2) A relutância do entreferro é: R g = g μ 0 A = π R g = 795,78 kae/wb A relutância total é: R T = R Fe + R g R T = 923,10 kae/wb A f.m.m. pode ser calculada a partir da Lei de Hopkinson: F = φ R T F = 3.692,4 Ae

19 19 Exemplo 1.1 Solução (3) A corrente necessária para produzir o fluxo magnético é: I = F N = 641, I = 6,42 A Finalmente, as intensidade de campo magnético são: H Fe = B μ r μ 0 = 0, π 10 7 H Fe = 1,27 kae/m H g = B 0,8 = μ 0 4π 10 7 H g = 636,62 kae/m

20 Espraiamento no Entreferro No Exemplo 1.1 a desconsideração do espraiamento no entreferro só foi possível porque a espessura do entreferro era pequena em comparação ao comprimento médio do núcleo. Quando a dispersão não for desprezível, como na Figura (1.3), devemos considerar que as áreas do ferro A Fe e do entreferro A g se relacionam por meio de um fator de dispersão f d, cujo valor mínimo é 1,0 e corresponde ao caso sem dispersão: A g = f d A Fe (1.13) Todas as grandezas que dependem da área, como a indução magnética e a relutância, se alteram, mas o fluxo permanece o mesmo no ferro e no entreferro. Figura (1.3) 20

21 Casos de Entreferro: Flyback O princípio operacional dos flybacks, transformadores usados em fontes chaveadas, é mais semelhante ao dos indutores armazenadores de energia do que dos transformadores convencionais. A energia é inicialmente armazenada no campo magnético no primeiro ciclo e transmitida para o secundário somente no segundo ciclo. Uma maneira usual de se armazenar a energia é por meio de um entreferro. Sendo usados em frequências elevadas, os núcleos dos flybacks são usualmente construídos de ferrite, material de elevada permeabilidade mesmo em altas frequências. Figura (1.4) 21

22 Casos de Entreferro: Máquinas Girantes Máquinas girantes, como motores e geradores, têm um estator e um rotor separados por um entreferro. Em um Motor de Indução Trifásico (MIT), como aquele mostrado na Figura (1.5), o campo eletromagnético produzido no estator atravessa o entreferro e induz um campo eletromagnético no secundário. Um MIT de alto rendimento, portanto, deve ter o entreferro uniforme e tão estreito quanto possível, de o fluxo espraiado no entreferro seja mínimo.. Figura (1.5) 22

23 23 Indução e Relutância com Espraiamento Quando consideramos o espraiamento no entreferro no Exemplo 1.1 as induções e relutâncias devem ser escritas respectivamente como: B Fe = φ A Fe (1.14) B g = φ A g (1.15) R Fe = l Fe (1.16) R g = g μ Fe A Fe μ 0 A (1.17) g Note que em um circuito em série, como no do Exemplo 1.1, o fluxo é o mesmo dentro ou fora do entreferro, descontando-se a dispersão.

24 24 Materiais Magnéticos

25 Diamagnéticos e Paramagnéticos Os materiais encontrados na natureza ou fabricados se dividem em três grupos: diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos. Os dois primeiros não são capazes de reter o magnetismo. Os paramagnéticos (a) aproximam um pouco as linhas de fluxo, enquanto os diamagnéticos (b) afastam um pouco as linhas. Esse efeito de afastamento ou aproximação é muito fraco nesses materiais e desaparece quando o campo externo é removido. Por esse motivo tais materiais não são usados na construção de transformadores e máquinas elétricas. Figura (1.6) 26

26 Ferromagnéticos Os materiais ferromagnéticos, por outro lado, respondem fortemente à aplicação de campos externos, resultando em permeabilidades centenas ou mesmo milhares de vezes maiores do que a do ar. Na natureza existem seis elementos ferromagnéticos, conforme tabela ao lado. Apenas o ferro, o níquel e o cobalto são utilizados na fabricação de ligas para transformadores e máquinas elétricas. A temperatura Curie é aquela na qual o elemento perde duas propriedades ferromagnéticas. Temperatura Curie Kelvin Celsius Cobalto ,85 Ferro ,85 Níquel ,85 Gadolinio ,85 Térbio ,15 Disprósio ,15 26

27 27 Domínios Magnéticos Uma característica importante dos materiais ferromagnéticos é a presença de domínios magnéticos, pequenas regiões onde a magnetização é aproximadamente uniforme. Quando os domínios estão desalinhados (a) o material está desmagnetizado. À medida em que os domínios vão se alinhando ( b até d) o material vai se magnetizando. Figura (1.7)

28 Curva de Magnetização A curva de magnetização B=f(H) pode ser dividida em quatro regiões: (a) região inicial, na qual os domínios começam a se alinhar. (b) região de magnetização, aproximadamente linear. (c) região do cotovelo, na qual muitos dos domínios já se alinharam. (d) região de saturação, na qual grandes aumentos do campo H produzem aumentos reduzidos da indução magnética B, pois todos ou quase todos os domínios já estão alinhados. Figura (1.8) 28

29 29 Curvas de Magnetização As curvas ao lado podem ser usadas para a resolução de circuitos magnéticos dos tipos 1 e 2. Curvas semelhantes podem ser obtidas junto aos fabricantes para outros materiais. Figura (1.9),Fonte: SMITH, R.J.

30 30 Curvas de Magnetização do Aço-Si

31 31 Laminação do GO

32 32 Permeabilidade do Aço-Silício

33 33 Empacotamento do Aço-Silício

34 34 Ligas Amorfas Pol Duwez, Caltech, 1959.

35 35 Melt Spinning

36 36 Histerese de Material Amorfo

37 37 Compósitos Magnéticos Doces SMC: Soft Magnetic Composite. Pó de ferro puro com adição de resinas. Pós sinterizados baseados em resinas. Pó de ferro puro com adição de carbono e estearato de zinco. Ligas de ferro em pó e outros elementos como níquel, cobalto e silício. Pó de ferro microencapsulado.

38 38 Pó de Ferro Microencapsulado Micropartículas de ferro, com diâmetro da ordem de 100 m. Recobertas por uma camada fina de dielétrico, que pode ser orgânico ou inorgânico.

39 39 SMC Resposta em Frequência

40 40 SMC: Facilidade de Montagem

41 41 Problemas de Circuitos Magnéticos

42 42 Tipos de Circuitos Magnéticos Os circuitos magnéticos podem ser divididos em três tipos, para fins de cálculo: Tipo 1: Circuito Linear. a permeabilidade magnética é constante e conhecida. O fluxo magnético φ é conhecido e queremos H, ou, então, temos H e queremos φ. Outra possibilidade é φ e H serem conhecidos e querermos B e I. A problemática é a mesma. Tipo 2: Circuito não Linear Direto. a permeabilidade é desconhecida e temos a curva de magnetização. Temos φ e queremos H. A solução é direta, como no Tipo 1. Tipo 3: Circuito não Linear Indireto. a permeabilidade é desconhecida e temos a curva de magnetização. Temos H ou I e queremos B ou φ. O problema é que precisamos da indução magnética B, para calcular φ, e da permeabilidade, para calcular as relutâncias. Entretanto, tudo o que temos é a relação constitutiva B = μh, que contém simultaneamente B e μ. Nesse caso o circuito deve ser resolvido de forma iterativa ou gráfica.

43 43 Exemplo 1.2 Circuito Magnético Linear (1) As dimensões do núcleo ilustrado na Figura 1.2 são: a=8cm, b=20 cm e g=0,5 mm. A espessura é 8 cm em todos os segmentos, o núcleo é magnetizado por meio de uma bobina de 200 espiras e o campo magnético é 520 Ae/m. Deseja-se produzir 8,0 mwb na perna circundada pelas espirais. Pede-se: (a) desenhe o circuito magnético equivalente; (b) a densidade de indução magnética; (c) a relutância magnética de cada segmento relevante; (d) o fluxo magnético em cada perna do circuito; (e) a corrente necessária para produzir o fluxo desejado.

44 44 Exemplo 1.2 Circuito Magnético Tipo 1 (1) Figura (1.10)

45 45 Exemplo 1.2 Circuito Magnético Tipo 1 (2) A figura abaixo mostra o circuito magnético abstraído da figura anterior. Figura (1.11)

46 46 Exemplo 1.2 Circuito Magnético Tipo 1 (3) O primeiro passo é calcular os comprimentos dos caminhos l 1, l 2 e l 3 : l 1 = l 3 = R Fe = 3b + 6a 2 = = 84 cm. l 2 = b + 2 a 2 = = 28 cm. O próximo passo é calcular a permeabilidade do material: A = = m 2. B = μ = Τ φ A = Τ B H = Τ = 1,25 T. Τ 1, = 2, H/m.

47 47 Exemplo 1.2 Circuito Magnético Tipo 1 (4) As relutâncias podem ser calculadas a partir de l 1, l 2, l 3 e g: R 1 = R 3 = l 1 μa = R 2 = l 2 μa = R g = g μ 0 A = A relutância total é: , = 54,6 kh , = 18,2 kh 1. 0, π = 62,2 kh 1. R T = R 1 + R 3 R 2 + R g = 87,1 kh 1.

48 48 Exemplo 1.2 Circuito Magnético Tipo 1 (5) Os fluxos φ 2 e φ 3 podem ser obtidos por uma técnica análoga à da divisão de correntes: φ 2 = φ 1 R 3 R 2 + R 3 + R g = 4,43 mwb. φ 3 = φ 1 R 2 + R g R 2 + R 3 + R g = 4,76 mwb. Finalmente, a corrente pode ser calculada por meio da Lei de Hopkinson: F = NI = R T φ; I = R Tφ N = 87, = 3,48 A

49 49 Exemplo 1.3 Circuito Magnético Tipo 2 O núcleo é o mesmo daquele do Exemplo 1.2. Deseja-se produzir 8,0 mwb na perna circundada pelas espirais e o material é o aço-silício da Figura (1.9). Pede-se as mesma variáveis do Exemplo 1.2. A indução magnética é B=1,25 T. Colocando esse valor na curva para o aço-silício obtemos H 520 Ae/m. O restante do exercício é igual ao Exemplo 1.2. Figura (1.12),Fonte: SMITH, R.J.

50 50 Circuito Magnético Tipo 3 Nesse caso temos a corrente I, a geometria do núcleo, a curva de magnetização e queremos B (ou φ) e H. Começamos com H c = F c l c = NI F g l c = NI φ gr g l c Sabendo que o fluxo é o mesmo dentro e fora do entreferro, temos: H c = NI φ gr g = NI φ cr g = NI B ca c R g l c l c l c Substituindo R g = g/(μ 0 A g ), a equação da reta de carga é mostrada no próximo slide.

51 51 Circuito Magnético Tipo 3 Reta de carga: H c = NI l c B c A c g A g μ 0 l c (1.18) Se o espraiamento for desprezível, temos: H c = NI l c B c g μ 0 l c (1.19) Tendo a geometria do núcleo e o número de espiras, a reta de carga pode ser desenhada em cima da curva de magnetização, determinandose o ponto de operação (B op, H op ).

52 52 Referências do Capítulo 1 ÁLVAREZ, J. Circuitos magnéticos BIN, E. Máquinas elétricas e acionamento CHAPMAN, S.J. Fundamentos de máquinas elétricas, 5ed Encyclopedia Magnetica. FITZGERALD, A.E. et al. Máquinas elétricas com introdução a eletrônica de potência, 6ed SILVA, S.R. Conceitos básicos em circuitos magnéticos Parte SILVA, S.R. Princípios da conversão eletromecânica de energia Parte SILVA, S.R. Introdução às máquinas rotativas Parte WOLSKI, B. Eletromagnetismo para estudantes de engenharia, 2013.