Astronomia... também para astrólogos

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1 Astronomia... também para astrólogos Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo] Céu e Terra - noções básicas #1 - Resumo histórico A cada dia o universo todo (esfera celeste) parece efetuar uma revolução completa em torno do observador, suposto fixo, na superfície da Terra. Este movimento é só aparente e deve-se ao movimento real de rotação da Terra em torno do seu eixo diametral Sul-Norte (do qual o observador não tem noção direta). A Terra circunda o Sol, tal como os demais planetas, em movimento de translação elíptica. A Lua é satélite da Terra. Inventada na Holanda (1608), a luneta astronômica foi modificada por Galileu (1609- ocular divergente). Com sua luneta, Galileu descobriu os satélites de Júpiter, o que contribuiu para prestigiar o Sistema Planetário concebido por Copérnico. Baseando-se nas medições astronômicas realizadas por Tycho Brahe, Kepler enunciou as três leis que descrevem o movimento dos planetas (cinemática). Com bases nestas, Newton descobriu a Lei da Gravitação Universal, assim estendendo ao Cosmos as Leis da Dinâmica descobertas na Terra. #2 - Ptolomeu e Copérnico Referenciais Astronomia significa leis dos movimentos dos astros. O estudo de qualquer movimento requer a adoção de um referencial, isto é, um corpo geométrico rígido adequado para determinar inequivocamente a posição do móvel em qualquer data. Pode ser um sistema de três eixos Ox, Oy e Oz perpendiculares dois a dois (referencial cartesiano). Em geografia adota-se sistema de referência constituído por planos paralelos e planos meridianos; as correspondentes coordenadas são a latitude e a longitude (figura 01); segundo a vertical do lugar mede-se a altitude. 1

2 Figura 01 - Ponto genérico P no espaço é determinado univocamente por suas coordenadas no referencial adotado. Na figura representam-se dois referenciais: c1- Referencial cartesiano Oxyz com origem O, eixo das abscissas Ox, eixo de ordenadas Oy, eixo de cotas Oz, normais entre si dois a dois. e1- Referencial esférico O r com origem no centro O, distância P à origem OP = r, eixo Oz, plano-base z=0 (o próprio plano xoy), plano-meridiano-de-orígem y=0 (o plano zox) o plano meridiano de P zop=zop". Para o ponto genérico P indicam-se, na figura: c2) Coordenadas cartesianas x, y, z; simbolicamente P(x,y,z,) e2) Coordenadas esféricas,r; simbolicamente P(,r). Em geometria mede-se de 0 a 360º positivo no sentido indicado, e de 0 a 90º, positivo para z>0 e negativo para z<0. Em Oz é indeterminada. (ver longitude geográfica na figura 03). Ptolomeu adotara referencial fixo na Terra (Ver #8 A1). Seu sistema astronômico é geocêntrico. Para corpos celestes resulta uma cinemática sofisticada e, em decorrência, uma Dinâmica complicada (Newton - Coriolis). Copérnico adotou referencial ligado a estrelas: origem no Sol e eixos ligados rigidamente a estrelas fixas (Ver #8 A2). Seu sistema astronômico é heliocêntrico. A Cinemática é simples (Leis de Kepler), a Dinâmica também (Leis de Newton). #3 - Movimentos Principais da Terra Adotemos referencial com origem no Sol e eixos ligados a estrelas fixas (Ver #8 A2 e A3). Constata-se que o globo terrestre executa dois movimentos principais: um movimento diurno e um movimento anual. O globo terrestre descreve sua órbita anual em torno do Sol em movimento de translação elíptico (aproximadamente circular), com período igual a 365,25 dias solares médios. Simultaneamente, ele executa seu movimento diurno: rotação em torno do eixo diametral Sul- Norte, com período sideral s, período solar 24 h= s. Figura 02 - Movimento de rotação possui velocidade angular. Esta é vetor na direção do eixo de rotação e sentido determinado pela Regra da Mão Direita. Os movimentos de rotação e de translação da Terra são concordes em sentido dito progressivo. Em sentido oposto, o movimento é dito retrógrado (por exemplo a precessão dos equinócios). O eixo de rotação da Terra é um diâmetro do globo; suas extremidades são os pólos geográficos Sul e Norte da Terra. #4 - Coordenadas Geográficas Equador da Terra é o plano que passa pelo centro e é normal ao eixo Sul-Norte; é o círculo máximo normal ao eixo. 2

3 Equador significa "o que divide em partes iguais". Em Geografia o eixo Oz (figura 01) coincide com o eixo Sul-Norte da Terra (Figura 03); plano-base é o equador. Todo plano que contém o eixo Sul-Norte é um meridiano. Na superfície do globo terrestre consideremos um ponto genérico P fora dos pólos. Um particular ponto G em Greenwich determina o meridiano-de-origem (meridiano zero). As coordenadas geográficas do ponto P são a sua latitude e sua longitude (Figura 03). Plano meridiano P significa "plano-do-meio-dia" em P, pois o Sol em culminância transpõe o semi-plano meridiano superior de P ao meio-dia no local. Figura 03 - Coordenadas geográficas da Terra. Ponto G no meridiano-de-origem, ponto P genérico (fora dos pólos) tendo longitude e latitude. Os arcos medem ângulos: Arco P'P =, latitude de P (de 0 a 90º, positiva ao Norte, negativa ao Sul). Arco G'P' =, longitude geográfica de P (de 0 a 180º, positiva a W de Greenwich, negativa a E). Na figura é = ângulo G'CP'. Paralelo, como diz o nome, é todo plano paralelo ao equador, logo normal ao eixo Sul-Norte. A intersecção da superfície do globo terrestre com o plano meridiano é a correspondente linha meridiana; com um plano paralelo, é a correspondente linha paralela. Todo ponto P fora do eixo Sul-Norte pertence a um só meridiano e a um só paralelo. Na superfície do globo terrestre, meridianas e paralelas formam uma rede esférica. São constantes a longitude em cada meridiana, a latitude em cada paralela. Pode interessar também uma coordenada linear, a altitude de ponto fora da superfície do geóide, e que se mede na vertical ascendente, a partir da superfície do geóide. #5 - Esfera Celeste Eclíptica Esfera celeste (orbe) é a esfera de raio infinito centrada na Terra ou no Sol, indiferentemente. As estrelas fixas parecem engastadas na esfera celeste; em conjunto elas constituem o fundo no qual de projetam os astros móveis (planetas e outros menores), tais como são vistos por observador na Terra. Salvo expressa declaração contrária, admitimos referencial ligado às estrelas fixas (Ver #8, A2 e A3). Para observador na Terra, a projeção do Sol S na esfera celeste é o Sol aparente S'. A Terra e o Sol aparente são alinhados com o Sol real, de lados opostos deste. O movimento orbital da Terra e o movimento do Sol aparente têm velocidades angulares iguais em direção, sentido e intensidade. Figura 04 - O Plano da figura é o da eclíptica. Visto da Terra T, o Sol real S projeta-se na esfera celeste em S' que é o Sol aparente. 3

4 A órbita terrestre pertence a um plano que contém o Sol S e é fixo na esfera celeste. No mesmo plano estende-se a órbita do Sol aparente S' na esfera celeste. O citado plano é chamado plano da eclíptica; qualquer das órbitas citadas é chamada eclíptica. Eixo Sul-Norte celeste é toda reta fixa paralela ao eixo Sul-Norte terrestre; pode-se imaginá-la passando pelo centro do Sol. Na esfera celeste ele determina os pólos celestes Sul e Norte. Equador celeste é todo plano fixo paralelo ao equador terrestre; pode-se imaginá-lo contendo o centro do Sol. Eixo da eclíptica é toda reta fixa normal a ela; pode-se imaginá-la passando pelo centro do Sol. Na esfera celeste o eixo da eclíptica determina os pólos celestes austral (ao Sul) e boreal (ao Norte). A eclíptica forma com o equador um ângulo diedro (Figura 05); sua aresta é AA'; seu ângulo plano é chamado obliqüidade da eclíptica. As medições dão = 23º 27'. O eixo Sul-Norte e o eixo da eclíptica formam o ângulo. No ponto A a Terra, na eclíptica, passa de Sul para Norte em 23-set; o Sol aparente faz isso em 21-mar. Normal à linha AA' concebe-se na eclíptica a linha BB'. Figura 05 - Posições notáveis da Terra em sua órbita. Sejam S e C os centros do Sol e da Terra respectivamente. O observador, suposto em C, visa o ponto S. O raio virtual CS forma com o plano do equador o ângulo chamado declinação do Sol. Ela varia lentamente enquanto a Terra percorre a sua órbita. Latitude de ponto genérico P na superfície da Terra representa-se por. A latitude do Sol é chamada declinação e representada por. Sendo a obliqüidade da eclíptica, tem-se max = + (Terra em B'), = 0 (Terra em A ou A'), min = - (Terra em B). (figura 06) figura 06 - Posições notáveis da Terra em sua órbita. 4

5 Em A e A' o equador terrestre contém o Sol (d = 0). Em B e B' a declinação do Sol é extremante. Em resumo: Posição Posição Declinação Data da Terrado Sol do Sol 21-Mar A' A, = 0 21-Jun B' B, = (máx) 23-Set A A', = 0 21-Dez B B', = - (mín) Figura 07 - Considerar pontos P, Q e Q' na superfície do globo terrestre. A declinação do Sol é d, considerada constante durante um dia solar = 24 h. Em P o Sol culmina no Zênite (meio-dia em P). No mesmo instante o Sol está no horizonte tanto em Q como em Q'. Na sucessão das horas, qual é o lugar geométrico de P? O de Q? E o de Q'? a) Ponto P: p =, logo p pertence ao intervalo. Logo P está na zona Tórrida, entre os trópicos de Capricórnio ( p =, Terra em B) e de Câncer ( p =, Terra em B'). b) Ponto Q: Q = (90 - ), com no intervalo 0. Q pertence ao intervalo (90º - 90º. Q está na calota polar ártica, entre a circunferência polar ártica Q = 90º - ) e o pólo Norte Q = 90º). A Terra está em B'). c) Ponto Q': Analogamente, com Q' = Q', calota polar antártica, entre Q' = - 90º (pólo Sul) e - (90º - ), circunferência polar antártica. A Terra está em B. Figura 08 - Paralelos notáveis da Terra. Os problemas precedentes mostram que, em cada latitude, a distribuição da radiação solar pela superfície da Terra depende da declinação do Sol. Destacam-se na Terra quatro paralelos notáveis. (1) Trópico de Câncer = N (2) Trópico de Capricórnio = S (3) Círculo polar ártico = (90º - ) N (4) Círculo polar antártico = (90º - ) S Entre os trópicos fica a Zona Tórrida, em cujos pontos o Sol pode culminar no Zênite. Nas calotas polares o Sol pode incidir rasante. 5

6 Figura 09- O plano da figura é meridiano. Na sucessão dos dias, a declinação do Sol é extremante nas datas indicadas no quadro abaixo. O Sol culmina no Zênite. Data 21 - Jun B' 21 - B Dez Posição da Terra Posição do Sol B = B' =.N.S Local da Terra Trópico de Câncer Trópico de Capric. Estação do ano Verão N Inverno S Inverno N Verão S #6 - Precessão da Terra A eclíptica, e portanto seu eixo, são fixos na esfera celeste. Já o eixo Sul-Norte da Terra e o eixo Sul-Norte celeste, assim como os planos do equador terrestre e celeste, movem-se lentamente. O eixo Sul-Norte descreve em torno do eixo da eclíptica um cone de revolução de semiabertura em sentido retrógrado. É este o movimento de precessão da Terra; seu período é T = anos. O Sol aparente passa pelo ponto A (Figuras 05 -parte1- e 10) em 21-mar, início da primavera no hemisfério Norte da Terra. Em astronomia este ponto é chamado de "ponto vernal" (do latim: ver, vernis = primavera); ele é representado pelo símbolo (signo de Áries, ver #7). Hiparco (aproximadamente antes de Cristo), fundador da astronomia científica, localizara o ponto na constelação de Áries. Desde então, devido à precessão da Terra, o ponto recuou para a constelação de Peixes. O ponto A', nas figuras 05 e 10, é chamado de "ponto de outono" (símbolo, signo Libra). Originalmente ele correspondia a constelação da Libra; atualmente está na constelação da Virgem. A reta AA' é chamada linha dos equinócios (ver #10); por isso, o recuo do ponto vernal é chamado "precessão dos equinócios". Os signos do Zodíaco (ver #7) acompanham o ponto vernal, logo sofrem precessão em relação às constelações. Datas, signos e estações do ano são acoplados de modo imutável. É desconsiderando o lentíssimo movimento de precessão que se pode afirmar: o eixo Sul-Norte da Terra executa movimento de translação elíptico (aproximadamente circular) em torno do Sol. 6

7 Figura 10 - A Terra é um giroscópio com três movimentos de rotação: o "spin" (rodopio, movimento diurno), a precessão e a nutação. O "spin" tem eixo de rotação Sul-Norte. Em relação à esfera celeste o eixo Sul-Norte move-se lentamente levando consigo o plano do equador, que lhe é normal. A intersecção AA' do plano do equador (em precessão) com o plano da eclíptica (fixo) gira lentamente em torno do eixo da eclíptica (Pólos Austral e Boreal). A nutação é um floreio da precessão; presentemente não interessa. #7 - Zodíaco. Signos Do grego: zóon = ser vivo). É na esfera celeste, a zona compreendida entre 8,5º acima e 8,5º abaixo da eclíptica. Nele se movem o Sol aparente, a Lua, todos os planetas grandes e a maioria dos pequenos. A partir do ponto vernal ele é dividido em 12 partes iguais, cada uma se estendendo por 30º de longitude. A cada parte se atribui um nome e um símbolo: signo do Zodíaco. Os signos são designados pelos nomes das constelações que ocupavam suas partes no século II antes de Cristo (Hiparco). O Sol aparente penetra no signo de Áries no ponto vernal em 21-mar. A partir desta data o ano é dividido em intervalos de aproximadamente um mês cada. Na sucessão destes intervalos o Sol aparente ocupa respectivamente a sucessão dos signos. Em 23-set o Sol aparente passa pelo ponto de outono (símbolo ) ingressando no signo Libra. Devido à precessão do ponto vernal (ver #6), o conjunto dos signos gira lentamente recuando em relação às constelações. Atualmente correspondem-se: Signo Áries Libra Constelação Peixes Virgem A reta ( - ) é o eixo equinocial (AA' nas figuras 05 e 10). Ver #10 - Equinócios. Signos do Zodíaco Nome Áries Touro Gêmeos Câncer Leão Virgem Libra Símbolo Data 21-Mar. 21-Jun. 23-Set. 7

8 Escorpião Sagitário Capricórnio Aquário Peixes 21-Dez. A seqüência dos signos corresponde à escala de longitudes celestes (ver #8 - A3). A correspondência imutável entre datas e signos simplifica a explicação dos equinócios (ver #10) e dos solstícios (ver #11), portanto, das estações do ano. Figura 11 Seqüência dos signos do Zodíaco Áries/Libra linha equinocial Câncer/Capricórnio linha solsticial #8- Referenciais astronômicos Adotam-se coordenadas esféricas. Visando um astro P na esfera celeste, é r infinito (coordenada inútil). Restam duas coordenadas angulares. Elas determinam univocamente a direção na qual, a partir do observador O, se encontra o astro visado. Apresentamos três referenciais astronômicos, a saber: A1 - Referencial Horizontal (R.H.) A2 - Referencial Equatorial (R.Eq.) A3 - Referencial Eclitical (R.Ecl.) A1) Referencial Horizontal. Seja O qualquer o local do observador na superfície do globo terrestre. Sua latitude seja, com < 90º (por desinteressante, excluímos observador O em pólo geográfico N ou S da Terra). Plano horizontal em O é o plano tangente ao globo neste ponto. Ele intercepta a esfera celeste no horizonte de O. A vertical por O contém o centro C do globo terrestre. Na esfera celeste a vertical determina o Zênite no alto e o Nadir em baixo. O plano do horizonte e o eixo Na - Z são os elementos essenciais do R.H. emo. Plano vertical que interessa contém a vertical Na - Z do local. Referencial Horizontal depende do local do observador. Figuras 12 e 13. 8

9 Figura 12 - Referencial Horizontal. O plano da figura é o meridiano de O. Ele contém os eixos coincidentes SN terrestre e S c N c celeste, o local O do observador e os correspondentes zênite e Nadir. O plano meridiano de O intercepta o plano horizontal segundo a reta Sul-Norte local, tangente à linha meridiana. Na citada reta, os pontos impróprios S h e N h situam-se na esfera celeste respectivamente ao Sul e ao Norte do paralelo por O. Fica assim determinada a "Rosa dos ventos" local em O. Todo plano que contém a vertical Na - Z é vertical, logo normal ao horizonte. Interessam dois planos verticais contendo Na - Z : o meridiano de O e o plano vertical pelo astro P. Na figura: T = rotação da Terra em relação à esfera celeste; E = rotação aparente da esfera celeste em relação à Terra, temse: E = - T. Estando geralmente em outro meridiano, o ponto P não está representado. Figura 13 O mesmo Referencial Horizontal em O visto em perspectiva. O R.H. em O é transladado para o centro C do globo terrestre. Ao plano do horizonte fixa-se a rosa-dos-ventos: pontos impróprios S h, N h, E e W com E - W perpendicular a S h - N h Os arcos medem ângulos. As coordenadas de P no R.H. do observador são: altura h = arco PP' azimute a = arco S h P' A altura h é medida no plano vertical por P. Ao invés da altura H, é usual também a distância zenital (90º - h) = arco ZP. Visando-se o Sol (com proteção eficiente dos olhos!), seja P o centro do disco solar. A altura h de P é nula ao nascer-do-sol (a Este, E, aurora), e novamente ao pôr-do-sol (a Oeste, W, crepúsculo). A altura do Sol passa por seu máximo (culminância) ao meio-dia local (passagem do Sol pelo meridiano do observador). A2) Referencial Equatorial Ele compõe-se de plano do equador e eixo Sul-Norte da Terra. Ele não depende do local do observador. Por conter Na - Z e S - N, o meridiano de O interliga os referenciais R.H. e R.Eq. O plano meridiano de origem contem o ponto vernal. 9

10 Figura 14 R.H. e R.Eq. O plano da figura é o plano meridiano do local do observador. Ele é elemento comum aos referenciais R.H. e R.Eq. O meridiano de O e o plano do equador interceptam-se em CM. Imagine-se O em C. O observador em O visa o ponto P na esfera celeste. Pelo ponto P passam os planos: NPS - meridiano de P (perpendicular ao equador) e ZPN a - vertical em P (perpendicular ao horizonte). No R.Eq. as coordenadas de P são: declinação = arco TP ascensão reta = arco PT Em particular, a declinação do Sol depende da posição da Terra em sua órbita. (Ver figuras 08 e 09 - parte1). É útil também o conceito de ângulo horário - arco TM. As medições são efetuadas no R.H. e transformadas para o R.Eq. ou para o R. Ecl. A3) Referencial Eclitical O observador O é imaginado no centro do Sol. Plano-base é o plano da eclíptica; normal a ele adota-se o eixo da eclíptica (com pólos austral e boreal). As coordenadas de P são análogas às terrestres: latitude celeste longitude celeste A longitude é medida a partir do ponto vernal. #9 - Dia e noite. Durações Seja P na latitude um ponto na superfície do globo terrestre. A figura 15(a) está no meridiano de P, e este contém o centro do Sol: é meio-dia em P. A declinação do Sol é ; ela varia lentamente na sucessão dos dias. A figura 15 representa um estado da Terra entre as posições A' e B' na figura 05. O segmento de reta PT é a projeção do paralelo de P no plano da figura. No globo terrestre, o círculo máximo normal aos raios solares, logo frontal ao Sol, tem traço e - e no plano da figura. O hemisfério voltado para o Sol é iluminado, nele é dia. No outro hemisfério está a sombra da própria Terra, nele é noite. A figura 15(b) esta no paralelo de P. A circunferência PVTV'P é a paralela de latitude. Nela é dia no arcovpv' = arco 2.VP, é noite em VTV'= arco 2.VT. A rotação da Terra é uniforme, logo a duração do dia está para a da noite na razão dos arcos VP e VT: 10

11 duração do dia arco VP = duração da noite arco VT Figura 15(a) O plano da figura é o meridiano de P. Ao meio-dia em P este plano contém o Sol; consideremos este instante. Declinação do Sol é o ângulo d entre o plano do equador e o raio Sol-Terra; este pertence ao plano da eclíptica. (Ver Figura 16) Figura 15(b) O plano da figura é o paralelo por P. VV' é a intersecção deste paralelo com o plano e - e frontal ao Sol. Seja o ponto P no hemisfério Norte ( > 0). O segmento PV" cresce com, logo em P a duração do dia é máxima com max =, o que se verifica na órbita terrestre em B' (Figura 05 - parte 1). Mutatis mutandis, o exposto se aplica se P estiver no hemisfério Sul: a duração do dia é máxima com min = -, o que se verifica com Terra em B (Figura 05 - parte 1). 11

12 Nas estações quentes do ano a duração do dia (com ganho de energia radiante) supera a da noite, com perda. Nas estações frias dá-se o contrário. Logo, as quatro estações (Primavera, Verão, Outono, Inverno) decorrem da inclinação da eclíptica. Quando a duração do dia é máxima no hemisfério Norte, ela é mínima no hemisfério Sul; e viceversa. Para o estudo matemático do assunto pode convir o ângulo entre o raio visual do Sol e o eixo Sul-Norte; ele é o complemento da declinação do Sol: = 90º -. Figura 16 Pontos de tangência de raios solares com o globo terrestre. O círculo máximo frontal aos raios solares tem traço e - e e circunferência em cujos pontos o globo é tangenciado por raios do Sol. Os pontos de tangência são as extremidades de diâmetros de círculos normais ao diâmetro e - e, que é o lugar geométrico dos centros destes círculos. Por exemplo, o círculo de centro V" e diâmetro (f - f) perpendicular (e - e) é tangenciado em V e V' por raios solares pertencentes a seu plano. #10 - Equinócios A palavra significa noites iguais aos dias, em duração. Previamente analisemos um caso particular: ponto no equador terrestre. Na figura 15(a) P coincide com P', o paralelo PT coincide com o equador P'T'; V" coincide com C. Na Figura 15(b) V" coincide com C, o segmento VV' torna-se diâmetro do equador. Resulta arco VP = arco VT, logo: Seja qual for a declinação do Sol, no equador dias e noites têm durações iguais. Pergunta-se: De que outro modo pode ser arco VP = arco VT? Na Figura 15(a), se for = 0 (Sol no plano do equador terrestre) o circulo máximo frontal ao Sol tem traço e- e coincidente com o eixo Sul-Norte da Terra. Resulta PV" = V"T, logo, na Figura 15(b): arco VP = arco VTindependentemente da latitude de. Assim, dia e noite têm durações iguais em todo ponto fora dos pólos: é equinócio (Ver Figura 06 - parte 1). Isso acontece em duas posições da Terra, A e A' (Figura 17). 12

13 Os raios solares são normais ao eixo Sul-Norte. No equador terrestre a culminância do Sol se dá no Zênite. Nota: Na tabela abaixo, a notação <=> indica "corresponde a". Data Posição Posição da Terra do Sol 21 - Mar. A' A <=> = 0 Declinação do Sol 21 - Jun. B' B <=> = Set. A A' <=> = Dez. B B' <=> = - Estado na Terra Equinócio Primavera N Outono S Solstício Verão N Inverno S Equinócio Outono N Primavera S Solstício Inverno N Verão S Figura 17 Posições notáveis da Terra em sua órbita. Ocorrem os equinócios em A e A', os solstícios em B e B'. (ver Figuras 05 e 06) #11 - Solstícios. O termo significa paradas do Sol. Para observador fixo na superfície da Terra, o Sol descreve diariamente um arco desde o nascente a leste (Este, east, E) até o poente a oeste (Oeste, west, W). No céu o Sol se eleva até a culminância ao meio-dia (passagem do Sol pelo meridiano do lugar), e baixa em seguida. Em dezembro, observador no hemisfério Sul vê o arco descrito pelo Sol em dias sucessivos conforme a Figura 18 nas datas indicadas; para maior clareza, exageramos as diferenças de dia para dia. Até 21-Dez a culminância se eleva, a partir daí ela se abate. Em 21-Dez a culminância não se eleva mais e ainda não se abate: ela está na altura máxima. O Sol está em Capricórnio. Esta parada na variação da culminância do Sol é o solstício de Verão no hemisfério Sul. A declinação do Sol é a mínima do ano: = -. Ao meio-dia o Sol está no zênite no Trópico de Capricórnio.(Ver Figura 06). 13

14 #12 - Geometria - Ângulos Figura 20 - (21-Jun) No trópico de Câncer o Sol culmina no zênite. No trópico de Capricórnio o Sol culmina com distância zenital 2.e N, altura h= (90º - 2.e). São Paulo fica um pouco ao Sul do Trópico de capricórnio; o Sol culmina com altura h de quase 45º N, a menor do ano. (21-Dez) No Trópico de Capricórnio o Sol culmina no zênite. No Trópico de Câncer o Sol culmina com distância zenital 2.e S, altura h= (90º - 2.e). Havana- Cuba, fica um pouco ao Sul do Trópico de Câncer; o Sol culmina com altura h de quase 45º S, a menor do ano. Figura 21(a) - Sejam dois planos que se interceptam segundo a reta d. Esta limita quatro semiplanos. Dois destes, por exemplo A e B, formam um ângulo diedro de aresta d; pode-se representá-lo por (AdB). Figura 21(b) - Plano C normal à aresta d é normal a ambos os planos A e B; é ele secção reta do diedro (AdB). É em secção reta como C que se mede o ângulo plano do diedro (AdB); é o ângulo. 14

15 Figura 22 - Ângulo entre uma reta r e um plano A. Por r constroe-se o plano D perpendicular a A; a intersecção destes é a reta i. O ângulo entre r e i é Figura 23 - Ângulo diedro em perspectiva. Os retângulos AA'B'B horizontal e AA'C'C inclinado formam um ângulo diedro cujo ângulo plano é BAC =. Representa-se o segmento AN vertical. Com o plano horizontal a diagonal r = AC' forma o ângulo B'AC' = (em perspectiva alterado) Para obter-se em verdadeira grandeza, o AB'C' é rebatido em torno do eixo AN, sobre o plano ABC. Obtem-se o AB"C", no qual é = BAC". Se for r paralela a AA', r é uma horizontal no plano inclinado, e = 0. Se for r paralela a AC, é reta-de-maior-declive no plano inclinado, e =. Exceto nestes casos limites, com r qualquer no plano inclinado é <. Em geral 0 <= <=. Na esfera celeste, com equador horizontal a eclíptica é inclinada; estes planos formam o ângulo diedro. O eixo S-N é paralelo ao segmento AN na figura supra. Sejam S e T os centros do Sol e da Terra respectivamente. Imaginar S em A e T em C'. O rio de luz solar ST = r pertence à eclíptica. O ângulo deste raio com o equador é a declinação do Sol. Em particular: Equinóxios - ST = r na aresta do diedro, = 0 Solstícios - ST = r é reta-de-maior-declive na eclítica = #13 - Raio da terra - Heron de Alexandria No século I d.c. viveu em Alexandria um grego, matemático e físico de nome Heron. Ele fôra informado de que em Assuan, em certo dia do ano, o Sol em culminância se refletia na água no fundo de um poço. Sabendo que Assuan e Alexandria se situavam aproximadamente no mesmo meridiano separados por distância d, Heron concebeu um modo de calcular o raio R do globo terrestre. Ver esquema abaixo: 15

16 Na mesma data, em Alexandria, Heron mediu a sombra s de um poste vertical de altura a. Presumindo que seja um ângulo pequeno, os triângulos são aproximadamente semelhantes, logo: Heron obteve resultado bem próximo do correto. Um milênio e meio após, Colombo teve dificuldade em convencer seus contemporâneos que a Terra é redonda! 16