Simetria e anti-simetria na análise das estruturas

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1 Simetria e anti-simetria na análise das estruturas Estruturas simétricas: estruturas que têm um plano de simetria, plano que funciona como um espelho para a estrutura - uma parte da estrutura que se reflecte e a outra é um reflexo desta, e cuja intersecção com o plano da estrutura dá origem ao eixo de simetria Uma estrutura se considera simétrica quando se verificam relativamente ao eixo (plano) de simetria as seguintes condições: simetria de topologia (distribuição das barras); simetria na distribuição dos aparelhos de apoio; simetria na distribuição das libertações; simetria das propriedades mecânicas (E, ν); simetria das propriedades geométricas (I, A); Estruturas simétricas com carregamento simétrico Caracterização do comportamento O comportamento das estruturas simétricas com carregamento simétrico se refere a três aspectos: deformada, reacções nos apoios e campo dos esforços. Reacções de apoio - simétricas Campo dos deslocamentos - simétrica pontos sobre o eixo da simetria: rotações nulas; deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria nulos; deslocamentos paralelos ao eixo de simetria em geral não nulos. pontos fora do eixo da simetria: rotações simétricas rotação igual mas de sentido inverso da do seu simétrico; deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria simétricas iguais mas de sentido inverso da do seu simétrico ; deslocamentos paralelos ao eixo de simetria iguais e no mesmo sentido da do seu simétrico. 1 Ildi Cismasiu -2007/2008

2 Campo de esforços simétrico excepto o esforço transverso barras coincidentes com o eixo da simetria: diagrama do momento flector (M) nulo; diagrama do esforço transverso (V ) nulo; diagrama do esforço normal (N) em geral não nulo. barras não coincidentes com o eixo da simetria: diagrama do momento flector (M) simétrico (em traçado); diagrama do esforço transverso (V ) anti-simétrico (em valor); diagrama do esforço normal (N) simétrico (em valor). Caso uma estrutura se encontra nesta situação, deixa de ser preciso estudar a estrutura na globalidade. Simplificações na análise Estuda-se apenas metade da estrutura introduzindo simplificações para simular o comportamento da outra metade podendo-se extrapolar os resultados obtidos para toda a estrutura. As simplificações devem atendidas da seguinte forma: cargas aplicadas sobre o eixo da simetria e que tenham a direcção do eixo da simetria devem ser consideradas com metade do seu valor. (Não se pode ter nenhuma força com direcção perpendicular ao eixo da simetria, nem momento no eixo de simetria. nas barras coincidentes com o eixo de simetria deve ser libertado o momento flector (as barras devem ser tornadas bi-rotuladas) e deve ser considerado apenas metade da sua rigidez axial (A/2); sempre que o eixo de simetria intercepta a estrutura, deve ser libertado libertado o deslocamento segundo o eixo da simetria (deve-se introduzir encastramentos deslizantes e/ou apoios simples que permitam o deslocamento paralelo com o eixo de simetria); As extrapolações fazem-se de acordo com a caracterização dos esforços e nas barras coincidentes com o eixo de simetria, o esforço normal na estrutura real tem o valor dobro do valor existente na meia estrutura. (Todas as barras com rigidez axial reduzido.) "Deformada é simétrica "DMF (M) simétrico em traçado "DEV (V) Anti-simétrico "DEA (N) Simétrico "Barras no eixo de simetria tem N a dobrar e V,M nulos "Reacções de apoio - Simétricas 2 Ildi Cismasiu -2007/2008

3 Estruturas simétricas com carregamento anti-simétrico Anti-simetria é o inverso de simetria, além de reflectir inverte a imagem que simetricamente é reflectida. Caracterização do comportamento O comportamento das estruturas simétricas com carregamento anti-simétrico se refere a três aspectos: deformada, reacções nos apoios e campo dos esforços. Reacções de apoio - anti-simétricas Campo dos deslocamentos - anti-simétrico pontos sobre o eixo de simetria: rotações, em geral, não nulas; deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria, em geral, não nulos; deslocamentos paralelos ao eixo de simetria nulos. pontos fora do eixo da simetria: rotações iguais e no mesmo sentido da do seu simétrico; deslocamentos perpendiculares ao eixo da simetria e no mesmo sentido da do seu simétrico; deslocamentos paralelos ao eixo de simetria iguais mas no sentido inverso da do seu simétrico. Campo de esforços barras coincidentes com o eixo da simetria: diagrama do momento flector (M), em geral, não nulo; diagrama do esforço transverso (V ), em geral, não nulo; diagrama do esforço normal (N) nulo. barras não coincidentes com o eixo da simetria: diagrama do momento flector (M) anti-simétrico (em traçado); diagrama do esforço transverso (V ) simétrico (em valor); diagrama do esforço normal (N) anti-simétrico (em valor). Caso uma estrutura se encontra nesta situação, deixa de ser preciso estudar a estrutura na globalidade. 3 Ildi Cismasiu -2007/2008

4 Simplificações na análise Estuda-se apenas metade da estrutura introduzindo simplificações para simular o comportamento da outra metade podendo-se extrapolar os resultados obtidos para toda a estrutura. As simplificações devem atendidas da seguinte forma: cargas aplicadas sobre o eixo da simetria e que tenham a direcção perpendicular ao eixo da simetria devem ser consideradas com metade do seu valor. (Não se pode ter nenhuma força com direcção do eixo da simetria) nas barras coincidentes com o eixo de simetria deve ser libertado o esforço axial (deve ser colocada uma libertação axial) e deve ser considerado apenas metade da sua rigidez a flexão e corte (I/2 e A /2); sempre que o eixo de simetria intercepta a estrutura, deve ser impedido o deslocamento segundo o eixo da simetria (deve-se introduzir apoios simples que impeçam o deslocamento paralelo com o eixo de simetria); As extrapolações fazem-se de acordo com a caracterização dos esforços e nas barras coincidentes com o eixo de simetria, o momento flector e o esforço transverso na estrutura real tem o valor dobro do valor existente na meia estrutura. (Todas as barras com rigidez a flexão e corte reduzidos.) "Deformada é anti-simétrica "DMF (M) anti-simétrico em traçado "DEV (V) Simétrico "DEA (N) Anti-simétrico "Barras no eixo de simetria tem N=0 e V,M a dobrar "Reacções de apoio Anti-simétricas Estruturas simétricas com carregamento assimétrico Qualquer carregamento pode ser sempre decomposto numa parcela simétrica e numa parcela anti-simétrica, desde que seja válida a sobreposição dos efeitos, o comportamento de uma estrutura simétrica pode ser obtida na soma dos efeitos devidos à parcela simétrica e anti-simétrica do carregamento. A parcela simétrica do carregamento pode ser obtida por meio da soma de metade do carregamento com o complemento simétrico do metade do carregamento. A parcela anti-simétrica do carregamento pode ser obtida por meio da soma de metade do carregamento com o complemento anti-simétrico do metade do carregamento. 4 Ildi Cismasiu -2007/2008

5 Análise 0.1 Estruturas de Estruturas simétricas - Simetria - resumo e anti-simetria 0.1 Estruturas simétricas - resumo ESTRUTURAS SIMETRICAS CARREGAMENTO SIM CARREGAMENTO AS CARACTERIZAÇAO/COMPORTAMENTO DEFORMADA SIMETRICA ANTI SIMETRICA PONTOS COINCID. C/EIXO DE SIMETRIA φ = 0 δ = 0 δ = 0 φ = 0 δ = 0 δ = 0 REACÇOES ESFORÇOS BARRAS COINCID. C/EIXO DE SIMETRIA REACÇOES SIM DMF SIM DEN SIM DEV AS REACÇOES AS DMF AS DEN AS DEV SIM M = 0 V = 0 N = 0 M = 0 V = 0 N = 0 SIMPLIFICAÇOES 1/2 ESTRUTURA BARRAS QUE COINCIDEM C/EIXO DE SIMETRIA LIBERTACOES MF EN RIGIDEZ CARREGAMENTO DESLOCAMENTOS EA/2 (EI qq, GA qq) EI/2, GA /2 (EA qq) λ λ/2 EXTRAPOLAÇOES ESTRUTURA ORIGINAL λ, M λ/2 BARRAS QUE INTERCEPTAM O EIXO DE SIMETRIA PERMITIR δ IMPEDIR δ ESFORÇOS FINAS N NA ESTRUT. ORIG f = 2xN 1/2E M f = 2xM 1/2E V f = 2xV1/2E BARRAS QUE COINCIDEM C/EIXO DE SIMETRIA excepto se tiver impedido por apoios na estrutura 5 Ildi Cismasiu -2007/2008