MINISTÉRlO DA EDUCACAO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO

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1 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes CAPITULO SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES 4. METODO DA BISSECÇÃO OU PESQUISA BINARIA Descrição: Para BARROSO (987), seja f(x) uma função contínua no intervalo [a;b] e f(a)f(b)<0. Divide se o intervalo [a;b] ao meio, obtém se xo. Existem dois subintervalos [a,xo] e [b,xo], então a raiz estará presente no intervalo aonde f(xo)f(a)<0. A cada subintervalo obtido as imagens são sinais contrário. O processo se repete até que se obtenha uma aproximação da raiz exata Є, com tolerância desejada. Convergência Em alguma etapa do processo tem se ou raiz exata Є ou seqüência infinita de intervalos encaixados a,b,a2,b2...,an,bn,...tal que f(a n )f(b n ) <0 n = 0,, 2, 3,... Como cada iteração o intervalo [a;b] é dividido ao meio, na n ésima iteração o comprimento do intervalo será de : b n a n = b a 2 n ou x n x n = b a 2 n Desde que então: b a 2 n ou x n x n (épsilon) para calcular o numero de iterações (n) isola se a variável (n ), aplica se o logaritmo neperiano ou natural (ln)

2 2 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes ln b a n ln2 Interpretação geométrica do método da Bissecção Corte se o intervalo dado [x,x2] ao meio x3=(x+x2)/2. Escolha se um dos sub intervalos [x,x3] ou [x3,x2] que respeite a condição segundo a qual a função muda de sinal. Repita se até obter a precisão desejada. fonte:

3 3 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes construção da função y=x^2 sin(x) no calc do broffice calc x y=x^2 sin(x) y=x^2 sin(x) EXERCICIOS ) Calcular a raiz da equação f(x) = x 2 +ln(x) com ε < 0 3. n a b x n = a b 2 0 0,5 0,75 0, ,5 0,75 0,625-0, ,25 2 0,625 0,75 0,6875 0, , ,625 0,6875 0, , ,0325 fx tol

4 4 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes 4 0,625 0, , ,0349 0, , , , ,0272 0, Busca do intervalo aonde existem possíveis raízes. x f(x) 0, -2,2926 0,5-0,443 0,7 0,333,7 3,4 Calculo do numero de iterações a=0,5 b=0,7 ε<0 3 n=6,64 2) Calcular a raiz positiva da equação f(x)=x com ε<0. Isolando se a raiz, tem se que a raiz pertence (,2) e que f(a)=f()= 2<0 e f(b)=f(2)= >0 n an b n x n f(x n)=x³-3 ɛ 0 2,5-0,75,5 2,75 0,6250 0,25 2,5,75,625-0, ,25 3,625,75,6875-0,5234 0,0625 4,6875,75,7875-0,4590 0,0325 5,7875,75, , ,0563 6,7875,73437, ,0898 0,0078 3) BURDEN (2003), use o metodo da bissecção para encontrar uma raiz f(x)= x cos (x) em [0;].

5 5 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes 4) BARROSO (987), calcular pelo menos uma raiz real da equação, com 0 2, usando o método da bissecção: y=3x cos (x) R:0, MÉTODO REGULA FALSI OU FALSA POSIÇÃO OU PÉGASO Descrição: Segundo BARROSO (987), seja f(x) uma função continua no intervalo [x o;x ] ] e f(x o) ) f(x ) ) < 0.Como existe uma raiz neste intervalo as sucessivas aproximações x 2,x 3,... desta raiz podem ser obtidas pela formula de recorrencia: x n = x n f x n x n f x n f x n f x n para n=,2,3,... Interpretação grafica do método Regula Falsi ou Falsa Posição

6 6 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes fonte : Calculo para encontrar a formula iterativa Achar a equação que passa por dois pontos [a,f(a)] e [b;f(b)]: x a b x y f(a) f(b) y determinante igual a zero y = 0 isolar x a f b b f a x n = f b f a

7 7 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes EXERCICIOS 5) Calcular pelo menos uma raiz das equações, 0 3, usando o método Pégaso: a)y= x cos(x) k a f(a) b f(b) x (raiz) f(x)=x-cos(x) b) y=e cos(x) + x 3 3 =0 c)f(x)=0, x 3 e 2x +2=0 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 6) Um gravador de DVD e Vídeo Cassete c/progressive Scan, DivX e MP3 RC7000B, custa R$ 849,00 ou 24 vezes R$ 46,42, encontre o polinomio e a taxa de juros. FERRAMENTAS MATEMATICAS Juros compostos Segundo LAUREANO(987), a compensação em dinheiro pelo emprestimo de um capital financeiro, a uma taxa combinada, por um prazo determinado, é chamado de juro composto quando produzida pelo capital inicial e pelos respectivos juros que a ele são incorporados no final de cada periodo. Formula do Juro Composto C(o)=C(o) capital inicial C()=C(o)+C(o)*i =C(o)[+i] i= taxa C(2)=C()+C()*i

8 8 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes C(2)=C()[+i]=C(o)[+i][+i] C(t)=C(o)[+i] t t=tempo i=taxa e t= tempo mesmo periodo mensal, anual, diária 7) EXEMPLO: Co=000,00 t= 2 meses i=2% ao mês solução: C(2)=000(+0,02)^2=$040,40 MODELO BÁSICO DE SISTEMA PRICE OU SISTEMA FRANCÊS Para LAUREANO (987), este financiamento basea se em pagamentos são iguais (prestações iguais), é o mais utilizado pelas pessoas fisicas, por facilitar o planejamento dos pagamentos das prestações. FORMULA DO MODELO BÁSICO Em geral uma pessoa fisica ou juridica, na data zero, uma divida, que pode ser um emprestimo, ou financiamento qualquer. Esta divida será paga, parceladamente, em n prestações iguais de valor PMT cada uma, em t periodos, pagando se uma prestaçaõ por periodo, a uma taxa efetiva de juro i por periodo. O valor PV ( valor presente) é o valor da atual dívida. É a soma de todas as prestações com sua referida taxa de juro i. A primeira prestação será paga um periodo após a data do fechamento do negócio. MODELO MATEMATICO C(t)=C(o)[+i] t C(o)=PV ( valor presente) C(t)=PMT ) prestações)

9 9 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 PV = PMT t para t=0,,2,... i cálculo numérico equações algébricas e transcendentes 8)EXEMPLO :PV=000 i=0% ao mês t= mês PV = PMT 000= PMT i t PMT=$00 0, 9)EXEMPLO: t=3 meses i=0% ao mês PMT=402, 000=PMT [ 0, 0, 2 0, ] 3 MODELO MATEMATICO PV =PMT [ fazendo +i=x i i... 2 i ] t soma da progressão geométrica: S= x x 2 x t... x t PV =PMT x x 2.. x t Multiplicar a equação por /x S x = x... 2 x t x t x subtrair os dois membros S x e S S x S= x t x x x S S= x t x S = x t x x S = x x t x x simplificando /x no denominador e numerador

10 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 x t S= x fazendo x=+i S= i t i i t PV PMT = i t i i t ou formula da soma progressão geométrica cálculo numérico equações algébricas e transcendentes S = a n q a q a = x q= x a n = x t substituindo em S tem se : S = i t i t i CONSTRUÇÃO DO POLINÔMIO Em BARROSO (987), fazendo PV =K e (+ i )= x tem se o polinômio: PMT P(x)= kx t+ (k+)x t + PV(VALOR PRESENTE) = VALOR AVISTA MENOS O VALOR DA ENTRADA PMT = PRESTACOES MENSAIS SOLUÇÃO DO PROBLEMA 0) Um gravador de DVD e Vídeo Cassete c/progressive Scan, DivX e MP3 RC7000B, custa R$ 849,00 ou 24 vezes R$ 46,42, encontre o polinomio e a taxa de juros. Solução no WXMAXIMA: find_root(8.29*x^ *x^24+=0, x,.00, 2); x= i= x i=2,22%

11 prof. Jorge Roberto Grobe /09/4 4:2 cálculo numérico equações algébricas e transcendentes REFERENCIAS BARROSO, L.C. et. al. Calculo Numérico (com aplicações). 2. ed. Editora Harbra.SP BURDEN, R.L. e FAIRES, J.D. Analise Numérica.SP.Editora.Thomson LAREANO, J.L e LEITE, O. V. Os Segredos da Matematica Financeira. Editora Atica S.A.SP.987. Disponível em acessado em 09/06/2008