Grafos em planeamento

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1 Planeamento Enquadramento Linguagens para planeamento Planeamento com procura em espaço de estados Planeamento de ordem parcial Grafos em planeamento Planeamento com lógica proposicional Análise das abordagens para planeamento

2 Grafos de planeamento Estrutura de dados usada para obter estimativas mais precisas para as heurísticas Solução também pode ser directamente extraída usando o algoritmo GRAPHPLAN

3 Grafos de planeamento S 0 A 0 Consiste numa sequência de níveis que correspondem a instantes de tempo no plano S 0 é o estado inicial Cada nível (S i + A i ) consiste num conjunto de literais e num conjunto de acções S i = Literais ( ) = todos os literais que podem ser verdadeiros nesse instante de tempo, dependendo das acções executadas no instante de tempo anterior A i = Acções ( ) = todas as acções que podem ter as suas précondições satisfeitas nesse instante de tempo, dependendo dos literais verdadeiros nesse instante

4 Grafos de planeamento Significado de podem? Registo de apenas um sub-conjunto restrito de possíveis interacções negativas entre acções Funciona apenas para problemas proposicionais Exemplo em STRIPS: Init(Have(Cake)) Goal(Have(Cake) Eaten(Cake)) Action(Eat(Cake), PRECOND: Have(Cake) EFFECT: Have(Cake) Eaten(Cake)) Action(Bake(Cake), PRECOND: Have(Cake) EFFECT: Have(Cake))

5 Exemplo do bolo Início em S 0 Representa o estado inicial A 0 contém as acções cujas pré-condições são satisfeitas por S 0 Inacção é representada pela persistência de acções () (para cada literal C é adicionado ao grafo uma acção C com pré-condições C e efeito C) Conflitos entre acções são representadas por relações mutex Representadas pelas linhas curvas a cinzento Representam exclusividade mútua: neste caso acção Eat(Cake) tem como efeitos Have(Cake) Eaten(Cake)

6 Exemplo do bolo S 1 contém todos os literais resultantes de qualquer subconjunto de acções em A 0 S 1 contém também relações mutex Contradições: Have(Cake) e Have(Cake), Eaten(Cake) e Eaten(Cake) Outros casos: Have(Cake) e Eaten(Cake) (dependendo da escolha de acções em A0, um ou outro, mas não os dois, pode ser o resultado), Have(Cake) e Eaten(Cake) Consequência de só poder ser escolhida uma acção em A 0

7 Exemplo do bolo Em A1 podem ter lugar as duas acções Relações mutex em A1 Contradições: Have(Cake) e Have(Cake), Eaten(Cake) e Eaten(Cake) Outros casos: Bake(Cake) e Have(Cake), Bake(Cake) e Eat(Cake) (por causa das pré-condições, uma ou outra, mas não as duas, é possível), Eaten(Cake) e Eat(Cake)

8 Exemplo do bolo Continuar até que dois níveis consecutivos tenham os mesmos literais: grafo está leveled off Significa que expansão adicional é desnecessária

9 Exemplo do bolo Uma relação mutex é estabelecida entre duas acções quando: Inconsistência: uma acção nega o efeito da outra e.g. acções Eat(Cake) e Have(Cake) (Have(Cake) pode ser vista como uma acção que tem como pré-condição Have(Cake) e como efeito Have(Cake)) Interferência: um dos efeitos de uma acção é a negação da pré-condição de outra e.g. acções Eat(Cake) e Have(Cake) Competição: uma das pré-condições de uma acção é mutuamente exclusiva em relação à pré-condição de outra e.g. acções Eat(Cake) e Bake(Cake)

10 Exemplo do bolo Relação mutex entre dois literais (suporte inconsistente) quando: Um é a negação do outro Cada par de acções possível que podia produzir esses literais é mutex Em S 1 : literais Have(Cake) e Eaten(Cake) não são possíveis porque a única forma de obter Have(Cake) (acção Have(Cake) ) é incompatível com a única forma de obter Eaten(Cake) (acção Eat(Cake)) Em S 2 : literais Have(Cake) e Eaten(Cake) já são possíveis porque podem ser adquiridos por duas acções compatíveis (Eaten(Cake) e Bake(Cake))

11 Relações mutex: resumo Inconsistência: uma acção nega o efeito da outra

12 Relações mutex: resumo Interferência: um dos efeitos de uma acção é a negação da pré-condição de outra

13 Relações mutex: resumo Competição: uma das pré-condições de uma acção é mutuamente exclusiva em relação à pré-condição de outra

14 Relações mutex: resumo Suporte Inconsistente: Um é a negação do outro Cada par de acções possível que podia produzir esses literais é mutex

15 Grafos de planeamento e heurísticas Planeamento com grafos disponibiliza informação sobre o problema Um literal que não aparece no nível final do grafo não pode ser alcançado por nenhum plano Útil para procura por retrocesso (custo = inf) Nível pode ser usado como estimativa do custo de alcançar literais objectivo = custo de nível Problema: podem ocorrer várias acções em cada nível Restrição a uma acção usando grafos em série (adicionar ligações de exclusividade mútua entre cada par de acções, excepto para acções persistentes) Heurísticas: máximo nível (usa o sub-objectivo com mais nº de níveis), soma de níveis (soma os custos de nível de cada sub-objectivo),

16 Problema relaxado Planeamento com grafos pode ser visto como um problema relaxado que é eficientemente resolvido

17 Obter plano a partir de grafo Um plano válido é obtido a partir de um grafo de planeamento nas seguintes condições: Objectivos são satisfeitos Acções num mesmo nível não interferem uma com as outras (não têm ligações mutex) As pré-condições de cada acção são satisfeitas pelo plano

18 Algoritmo GraphPlan: intuição Gerar o grafo de planeamento até que todos os objectivos sejam alcançados e não se excluam mutuamente Se entretanto o grafo fica levelled off sem que tal aconteça significa que não há solução Procurar um plano válido a partir do grafo Se não for encontrado, adicionar mais um nível ao grafo

19 Algoritmo GraphPlan Como extrair uma solução directamente de um grafo? função GRAPHPLAN(problema) devolve solução ou falha grafo GRAFO-INICIAL-PLANEAMENTO(problema) objectivos OBJECTIVOS[problema] loop se objectivos são todos não mutex no último nível do grafo então solução EXTRAI-SOLUÇÃO(grafo,objectivos,COMPRIMENTO(grafo)) se solução falha então devolve solução senão se NÃO-HÁ-SOLUÇÃO-POSSÍVEL(grafo) então devolve falha grafo EXPANDE-GRAFO(grafo, problema)

20 Procura no grafo Objectivos presentes e não mutex: Escolher acção para alcançar cada objectivo Adicionar pré-condições das acções ao conjunto de objectivos

21 Exemplo: Pneu sobresselente Init(At(Flat, Axle) At(Spare,Trunk)) Goal(At(Spare,Axle)) Action(Remove(Spare,Trunk) PRECOND: At(Spare,Trunk) EFFECT: At(Spare,Trunk) At(Spare,Ground)) Action(Remove(Flat,Axle) PRECOND: At(Flat,Axle) EFFECT: At(Flat,Axle) At(Flat,Ground)) Action(PutOn(Spare,Axle) PRECOND: At(Spare,Ground) At(Flat,Axle) EFFECT: At(Spare,Axle) Ar(Spare,Ground)) Action(LeaveOvernight PRECOND: EFFECT: At(Spare,Ground) At(Spare,Axle) At(Spare,Trunk) At(Flat,Ground) At(Flat,Axle) )

22 Exemplo GRAPHPLAN Inicialmente o plano consiste em 5 literais obtidos a partir do estado inicial (assumindo que o mundo é fechado) Adicionar acções cujas pré-condições sejam satisfeitas por EXPANDE- GRAFO (A 0 ) Adicionar acções de persistência e relações mutex Adicionar os efeitos no nível S 1 Repetir até que o objectivo esteja no nível S i

23 Exemplo GRAPHPLAN Em S 2, o literal objectivo existe e é não mutex em relação a qualquer outro literal Solução pode existir e EXTRAI-SOLUÇÃO tentará encontrá-la EXTRAI-SOLUÇÃO usa um algoritmo de procura: Estado inicial = último nível do grafo e objectivos do problema de planeamento Acções = qualquer selecção de acções não conflituosas que cubram os objectivos nesse estado Objectivo = alcançar o nível S 0 tal que os objectivos sejam satisfeitos Custo = 1 por cada acção

24 Exemplo GRAPHPLAN EXPANDE-GRAFO também procura relações mutex Efeitos inconsistentes E.g. Remove(Sobresselente,Bagageira) e DeixarDuranteANoite Interferência E.g. Remover(Furado,Eixo) e DeixarDuranteANoite Competição E.g. Colocar(Sobresselente,Eixo) e Remover(Furado,Eixo) Suporte inconsistente E.g. em S2, Em(Sobresselente,Eixo) e Em(Furado,Eixo)

25 GRAPHPLAN: solução

26 Observações Será que se pode garantir que se um problema não tem solução, não vai ficar em loop eterno? Como evoluem em número ao longo do grafo? Número de literais Número de acções Número de ligações mutex entre literais Número de ligações mutex entre acções Estas observações são importantes para garantir que se pode obter sempre uma solução recorrendo a grafos de planeamento (ideias para uma prova)

27 Observação 1 p p p p q A q A q A q r q r B q r B q r r r Número de literais aumenta monotonicamente literal que aparece uma vez aparece sempre daí para a frente por causa das acções de persistência ( aumentar monotonicamente significa que literais do nível i são subconjunto dos literais do nível i+1)

28 Observação 2 p p p p q A q A q A q r q r B q r B q r r r Número de acções aumenta monotonicamente uma acção que aparece uma vez aparece sempre daí para a frente como consequência dos literais aumentarem monotonicamente

29 Observação 3 p p p q r A q r q r Ligações mutex entre literais diminuem monotonicamente (considerando que acções/literais que não aparecem são mutex) porque número de literais e acções aumenta monotonicamente

30 Exemplo do bolo Note-se que em S1 há um mutex entre Have(Cake) e Eaten(Cake) e em S2 já não há. Isto deve-se a: Em S1, dependendo da escolha de acções em A0, um ou outro, mas não os dois, pode ser o resultado Em S2, podem vir de acções que não são incompatíveis (Bake(Cake) e Eaten(Cake))

31 Observação 4 p q B p q r s p q r s A C B C A p q r s B C A Ligações mutex entre acções diminuem monotonicamente (considerando que acções/literais que não aparecem são mutex) porque número de literais e acções aumenta monotonicamente

32 Observação 5 Grafo de planeamento levels off /nivela Após a expansão de alguns níveis os últimos níveis são todos iguais Como o espaço é finito (lógica proposicional!), o o número de literais nunca dimuniu e o número de relações mutex nunca aumenta

33 Exemplo GRAPHPLAN Portanto: Termina? SIM Grafos de planeamento são monotonamente crescentes ou decrescentes: Literais aumentam monotonamente: um literal que apareça num estado aparece em todos os estados seguintes Acções aumentam monotonamente Mutexes diminuem monotonamente Devido a estas propriedades e ao facto de existir um número limitado de acções e literais, qualquer procura em grafo termina

34 Planeamento O problema de planeamento Linguagens para planeamento Planeamento com procura em espaço de estados Planeamento de ordem parcial Grafos em planeamento Planeamento com lógica proposicional Análise das abordagens para planeamento

35 Planeamento com lógica proposicional (SAT): intuição Traduzir um problema de planeamento para lógica proposicional e aplicar um algoritmo para SAT para encontrar um modelo que corresponde a um plano válido

36 Planeamento com lógica proposicional (SAT) Planeamento com SAT: testar a satisfação de uma frase em lógica proposicional (na forma normal conjuntiva CNF): Frase contém proposições para a ocorrência de qualquer acção initial state " all possible action descriptions " goal Um modelo atribui verdadeiro às acções que fazem parte do plano correcto e falso às outras Uma atribuição que corresponde a uma plano incorrecto não será um modelo porque entrará em conflito com a necessidade do objectivo ser verdadeiro Se não existir nenhum plano possível então a frase será não satisfazível (não há nenhuma solução possível)

37 Algoritmo SATPLAN: intuição Objectivo é encontrar um plano exequível no menor espaço de tempo Em que cada acção ou conjunto de acções realizadas em paralelo corresponde a uma unidade de tempo Começar com T=0 e codificar em CNF o estado inicial, o objectivo e as acções para T=0 Ir incrementando o valor de T até encontrar uma solução usando um algoritmo SAT A partir da solução obter plano

38 SATPlan: arquitectura

39 Algoritmo SATPLAN função SATPLAN(problema, T max ) devolve solução ou falha inputs: problema, um problema de planeamento T max, um limite superior para o comprimento do plano para T = 0 T max cnf, mapeamento TRADUZ-PARA_SAT(problema, T) atribuição SAT-SOLVER(cnf) se atribuição não é vazia então devolve falha devolve EXTRAI-SOLUÇÃO(atribuição, mapeamento)

40 cnf,mapeamento TRADUZ-PARA_SAT(problema,T) Proposições diferentes para factos em cada instante de tempo Cada proposição tem um instante de tempo associado Em(A1,SFO) 0 Em(A2,JFK) 0 Não podemos assumir que o mundo é fechado logo temos que especificar que proposições não são verdadeiras Em(A1,JFK) 0 Em(A2,SFO) 0 Proposições desconhecidas não são especificadas Estado inicial está associado ao instante 0 Objectivo está associado ao instante T (comprimento do plano)

41 cnf,mapeamento TRADUZ-PARA_SAT(problema,T) Como determinar o instante de tempo T em que o objectivo será alcançado? Começar em T=0 Verificar Em(A1,JFK) 0 Em(A2,SFO) 0 Se falha... Tentar T=1 Verificar Em(A1,JFK) 1 Em(A2,SFO) 1 Repetir este processo até que um caminho de comprimento mínimo seja alcançado Terminação é assegurada por T max

42 cnf,mapeamento TRADUZ-PARA_SAT(problema,T) Como codificar acções em lógica proposicional? Versão proposicional dos axiomas de estado sucessor Em(A1,JFK) 1 (Em(A1,JFK) 0 (Voa(A1,JFK,SFO) 0 Em(A1,JFK) 0 )) (Voa(A1,SFO,JFK) 0 Em(A1,SFO) 0 ) Este tipo de axiomas é necessário para cada avião, aeroporto e instante de tempo Se tivermos mais aeroportos temos de acrescentar mais informação Uma vez construídos estes axiomas, um algoritmo para lógica proposicional (SAT) pode começar a procurar um plano

43 atribuição SAT-SOLVER(cnf) MAS... com esta codificação podem ser encontrados vários modelos que NÃO são satisfatórios: (para T=1) Voa(A1,SFO,JFK) 0 Voa(A1,JFK,SFO) 0 Voa(A2,JFK,SFO) 0 A segunda acção não é possível Ainda que o plano seja um modelo da frase initial state " all possible action descriptions " goal Evitar acções impossíveis através de axiomas de précondição Voa(A1,SFO,JFK) 0 Em(A1,JFK) 0 Agora existe apenas um modelo que satisfaz todos os axiomas e para o qual o objectivo é alcançado em T=1

44 atribuição SAT-SOLVER(cnf) E se se acrescentar um terceiro aeroporto? Não devia ser possível um avião voar para dois destinos ao mesmo tempo! Voa(A1,SFO,JFK) 0 Voa(A2,JFK,SFO) 0 Voa(A2,JFK,LAX) 0 A terceira acção não é possível Ainda que um plano possa conter acções irrelevantes Evitar acções irrelevantes: axiomas de exclusividade de acções (Voa(A2,JFK,SFO) 0 Voa(A2,JFK,LAX) 0 ) Evita acções simultâneas Perca de flexibilidade porque o plano tem de ser totalmente ordenado: não podem ocorrer acções no mesmo instante de tempo Usar exclusões parciais limitadas a pré-condições: duas acções não podem ocorrer simultaneamente se uma delas nega a précondição ou efeito da outra

45 Planeamento O problema de planeamento Linguagens para planeamento Planeamento com procura em espaço de estados Planeamento de ordem parcial Grafos em planeamento Planeamento com lógica proposicional Análise das abordagens para planeamento

46 Análise das abordagens de planeamento Planeamento é uma área de grande interesse em IA Procurar uma solução Provar construtivamente a existência de uma solução O maior problema é a possibilidade de uma explosão combinatória no número de estados