O ENSINO DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Transcrição

1 O ENSINO DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Luanne Lima Ferreira 1, Leonardo Brito da Silva 2, Célia Barros Nunes³ 1 UNEB/Departamento de Educação/Campus X, luanne.math@gmail.com 2 UNEB/Departamento de Educação/Campus X, leobstx@hotmail.com 3 UNEB/Departamento de Educação/Campus X, celiabns@gmail.com Resumo A partir de leituras, acreditamos que o ensino de Cálculo tem sido foco de discussões e investigações, tanto sobre questões curriculares quanto sobre questões metodológicas. Aumenta-se cada vez mais o índice de reprovação e evasão na disciplina de Cálculo, o que, consequentemente, prejudica os discentes e atrasa o curso universitário. Nesse sentido, a presente comunicação relata parte de uma pesquisa de conclusão de curso em Licenciatura em Matemática, realizada na Universidade do Estado da Bahia (UNEB)- Campus X, que teve como objetivo principal investigar se, num curso de Engenharia Civil, a Metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, pode auxiliar futuros engenheiros à compreensão da Matemática, especificamente da disciplina de Calculo Diferencial e Integral. A abordagem metodológica foi qualitativa, com orientações metodológicas de Thomas A. Romberg. A coleta de dados se deu por meio de quatro encontros através de aulas por nós ministradas, observações e registros dos alunos. A pesquisa ainda está em processo de análise, no entanto, para essa comunicação vamos tecer breves considerações sobre o ensino da disciplina Cálculo no Ensino Superior e sobre a Resolução de problemas, seguida de resultados preliminares desse trabalho. Com base nos resultados apresentados podemos concluir que, de fato, a Resolução de Problemas quando trabalhada em um ambiente de motivação, do prazer pela descoberta, do favorecimento aos alunos da autonomia e da criatividade ao coloca-la no centro das atividades de sala de aula, representa uma forma de se fazer e aprender matemática. Palavras-chave: Resolução de Problemas, Otimização, Calculo Diferencial, Engenharia Civil, Ensino-aprendizagem do Calculo. CONSIDERAÇÕES INICIAIS A Educação Matemática no Brasil e no mundo tem defendido constantemente a necessidade de mudança na forma de se conceber o ensino da Matemática nos mais diversos níveis, seja ele o fundamental, médio ou superior, já que num mundo cada vez mais globalizado não faz sentido o ensino enciclopédico em que o aluno apenas recebe o conhecimento e não se posiciona criticamente frente a ele. Ciente das dificuldades com as quais deparam os estudantes de Cálculo e do baixo índice de aprovação desta disciplina, educadores e matemáticos buscam encontrar métodos que visem facilitar o entendimento do Cálculo por parte dos estudantes. Muito tem se conseguido, mas é importante dizer que nenhuma fórmula mágica foi encontrada até hoje. Em nossa convivência no meio acadêmico, percebemos que estamos situados em altos índices de reprovação na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, ou simplesmente Cálculo, o que prejudica o rendimento dos alunos, atrasando seus respectivos cursos universitários.

2 As dificuldades apresentadas dificilmente são espontâneas e imediatas ao início dos estudos do Cálculo. Estes impasses, em geral, têm seu início no ensino mal concretizado das aprendizagens anteriores. Ao se depararem com o Cálculo, por terem um fraco conhecimento matemático naquilo que parte desde as séries iniciais até o ensino médio, os alunos tem por dificuldade a compreensão de conceitos e formalizações mais elaboradas desta nova vertente matemática. Nos últimos anos, o ensino no curso de Engenharia está fortemente embasado em fatores intuitivos, verbais, dedutivos e sequenciais (Felder, 1966, apud NASSER, 2009, p. e 45). Porém, a minoria dos estudantes deste curso se encaixa em todas essas especificações. Desta forma, a dificuldade enfrentada por muitos se torna potencializada. Felder, (1966, apud NASSER, 2009, p. 44 e 45) afirma que o ensino deve ser de forma que todos sejam favorecidos em seus pessoais estilos. Para que a aprendizagem se torne mais compreensível, o autor ainda sugere que o professor Faça uso extensivo de esboços, gráficos, esquemas, diagramas vetoriais, ilustrações computacionais e demonstrações físicas (visual), além das explanações e derivações orais e escritas (verbal), nas aulas e apostilas. (Ibid., p;11) Em um curso de Cálculo, a dificuldade de compreensão, devida a grande abstração necessária para tal, somado com a forma mecanizada que o mesmo é aplicado, podem levar alguns alunos a desistirem do curso. No que se refere ao estudo da derivada, por exemplo, diversos fatores influenciam de forma negativa para as possíveis evasões nos cursos superiores, dentre os quais: aplicação de conteúdos complexos; a forma mecanizada que não garante o real aprendizado do conteúdo; a dificuldade da aplicação dos conteúdos aprendidos em sala nos problemas reais; a falta de metodologia que envolva o aluno, o conteúdo e as possíveis aplicações no mundo real. Acarretando com isso, para o aluno, um salto na fase do conhecimento teórico partindo para a aplicação, o que não garante um conhecimento gerador de aplicações dos mesmos. Desse modo, acreditamos que um trabalho por parte do professor com a Resolução de Problemas, neste caso, especificamente no ensino de Cálculo no que tange a Otimização, poderá despertar e desencadear nos alunos a capacidade e o interesse de aprender a aprender, valorizando sempre o conhecimento vigente, possibilitando a correlação dos conteúdos estudados com as necessidades do dia-a-dia, pois [...] Resolução de Problemas é um método eficaz para desenvolver o raciocínio e para motivar os alunos para o estudo da Matemática. O processo ensino e aprendizagem podem ser desenvolvidos através de desafios, problemas interessantes que possam ser explorados e não apenas resolvidos (Lupinacci e Botin, 2004, p. 1). ENSINAR MATEMÁTICA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Atualmente faz-se necessário que o professor busque, cada vez, elementos motivadores que proporcionem maior entusiasmo nos alunos, para as aprendizagens seja em qual área ou disciplina, mas no caso especifico da Matemática essa necessidade parece ainda maior, visto que há certa dificuldade, para o aluno, de assimilar determinados conceitos nessa área do conhecimento. Nesse aspecto podermos apontar os trabalhos em equipe, as atividades em grupo e o uso dos meios tecnológicos, como recursos usados pelo professor, que podem funcionar como elementos motivadores para que o aluno sinta-se mais entusiasmo para novas

3 aprendizagens. Tudo isso é possível ao se trabalhar em um ambiente de resolução de problemas. A Resolução de Problemas, enquanto metodologia de trabalho em sala de aula, favorece um ambiente de motivação e de desafio necessário para envolver o aluno em processos elaborados de pensamento. Nessa perspectiva, estamos considerando aqui a Resolução de Problemas que objetiva ensinar, aprender e avaliar o conhecimento matemático desenvolvido pelos alunos, sob a orientação e coordenação do professor através da Resolução de Problemas. Ensinar Matemática através de é uma forma de se ensinar e aprender de modo contínuo, ou seja, está presente durante todo o processo, pois, em meio ao problema, o aluno deve apresentar-se como responsável pela construção do seu próprio conhecimento. Sua base tem por objetivo apresentar ao aluno problemas que irão introduzir e construir novos conteúdos e conceitos. Utilizar com competência esta metodologia não é uma tarefa simples. Requer do professor planejamento, dedicação, organização, dentre outros aspectos fundamentais para o sucesso do processo de ensino-aprendizagem. Ele deve se por como um condutor de conhecimento e não um transmissor, impedindo o desenvolvimento do aluno. Assim sendo, criar um ambiente propício para que o conhecimento aflore é fundamental. No nosso trabalho, estaremos utilizando esta metodologia. Onuchic, junto ao Departamento de metodologia de Ensino da UFSCAR (Universidade Federal de São Carlos- São Carlos, SP) propõe em 1998, um roteiro de aula que tem por objetivo o ensino-aprendizagem acompanhado de compreensão e significado, através da Resolução de Problemas. É válido ressaltar que existe um modelo mais recente, entretanto, para essa pesquisa utilizamos o de Segue o roteiro de atividades. Onuchic (2009) explicita cada uma dessas atividades, que o compõe Ao formar grupos- entregar a atividades, os estudantes tem a oportunidade de experimentar o processo cooperativo. O professor ao observar e incentivar, deixa de ser o detentor do conhecimento e passa a ser o observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador do processo da aprendizagem. Quando o professor auxilia nos problemas secundários, ele incentiva os seus alunos a utilizarem conhecimentos prévios ou técnicas já conhecidas para resolver o problema. Após registrar na lousa todos os resultados obtidos pelos diferentes grupo, o professor realiza a plenária, afim de discutir todos os resultados encontrados, e a partir das analises feita e após todas as duvidas sanadas, o professor orienta a sala para a busca de um consenso sobre o resultado pretendido. E por fim, após todo este trabalho realizado em conjunto, o professor formalizar o conteúdo,

4 fazendo uma síntese do que se objetivava aprender a partir do problema trabalhado e apresentando o conteúdo formalmente: definição, propriedades e demonstrações. Após leituras realizadas, Onuchic (1999), Onuchic e Allevato (2005), Pollya (1994), entendemos que a Resolução de Problemas, objetiva potencializar a compreensão e a dedução de forma coerente e não mecanizada das atividades matemáticas, tornando o aluno o sujeito responsável pelo seu próprio aprendizado, visando respeitar, valorizar e utilizar os seus conhecimentos já adquiridos. METODOLOGIA DA PESQUISA A pesquisa monográfica segue a abordagem das pesquisas qualitativas, orientada pela metodologia de Thomas A. Romberg (1992), trata-se de orientações metodológicas por meio de um fluxograma com 10 atividades para execução de uma pesquisa. O fluxograma é dividido em 3 blocos de modo que o 1ª bloco, constituído de 4 atividades, é considerado por Romberg, como o bloco da identificação do problema de pesquisa. Como orienta a quarta atividade do 1º bloco de Romberg, nossa pergunta foi definida assim: Quais contribuições que um curso sobre Derivada, com foco na Otimização, utilizando-se da Metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas pode trazer aos alunos da Engenharia Civil? Dessa forma, de modo amplo, objetivamos investigar se num curso de Engenharia Civil, a Metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, pode auxiliar futuros engenheiros à compreensão da Matemática, especificamente da disciplina de Calculo Diferencial e Integral. A fim de explicitar cada detalhe do objetivo geral, delimitamos as seguintes metas especificas: Detectar através de um teste diagnóstico problemas vigentes no ensino do Calculo Diferencial e Integral; Através dos Encontros, buscar sanar as dificuldades detectadas no teste diagnóstico; Mostrar aos alunos do curso de Engenharia as aplicações contextualizadas do estudo da Derivada, especificamente a Otimização; Apresentar uma nova abordagem metodológica de resolução de problemas; Verificar a eficácia da metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas no Ensino Superior. Em busca de resposta à questão de pesquisa, partimos para o segundo bloco de Romberg. Tal bloco nos remete a uma estratégia e procedimentos da pesquisa a fim de verificar se, de fato, a Resolução de Problemas, potencializa uma aprendizagem com compreensão e significado. Neste caso, a nossa estratégia geral foi à criação de um projeto utilizando a Metodologia de Resolução de Problemas, defendida por Onuchic, para trabalhar a Otimização numa turma de Engenharia Civil. O projeto intitulado: Um sonho diferenciado e otimizado surgiu através de um trabalho realizado no componente curricular Cálculo III. Este material didático apresenta situações-problemas que abordam o estudo da derivada através de problemas de otimização matemática, de modo a estabelecer a função que deve ser maximizada ou minimizada. Vale ressaltar que o material didático, o qual estamos chamando de livro, de nossa autoria, foi elaborado com inspiração nas ideias apresentadas pelo livro de James Stwart (2013), volume 1. Em seu conteúdo, apresentamos problemas de otimização abordando conceitos importantes como perímetro, área e volume, utilizando uma metodologia de Resolução de Problemas proposta por Onuchic (2009). Vale ressaltar que os problemas apresentados visavam a (re)construção de um dos conceito mais importante na Matemática- as funções, como por exemplo, a função quadrática

5 No livro, elaborado para o projeto, é valido ressaltar que o nível das questões aumenta de acordo com o avançar dos capítulos, podendo revelar, na integra, o progresso do aluno. A aplicação do projeto ocorreu em quatro encontros, nos sábados à tarde, tendo a duração de 4horas/aula. Diz Dante (1996) que trabalhar a matemática por meio de situações problemas própria da vivencia do aluno que façam o aluno pensar, refletir, analisar, julgar e decidir pela melhor solução irá propiciar um trabalho do conteúdo com significado. Diante dessa constatação por Dante, apresentaremos aqui, alguns resultados do primeiro encontro. O primeiro encontro fora aplicado um teste diagnóstico individual, que tinha por objetivo detectar o conhecimento sobre a ideia de limite e derivada. Em seguida, explicitamos o conteúdo de Limite e Derivada, visto que são conceitos indispensáveis para o estudo de Otimização. DESCRIÇÃO E ANALISE DE DADOS Trataremos aqui da descrição e análise dos dados obtidos na aplicação do projeto proposto. Como dito anteriormente, a cada encontro propusemos um problema o qual, para orientação, baseamo-nos na Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas. É valido ressaltar que a cada encontro, os alunos foram avaliados individualmente, através de um minucioso acompanhamento nosso, mediadores dos encontros. Entretanto, o desenvolvimento das atividades propostas e a busca pela aprendizagem ocorreram em grupo, pois como afirma Onuchic (1999, p. 217): Lembrar que, no mundo real, aprender é muitas vezes um processo compartilhado e que o progresso em direção a um objetivo vem através de esforços combinados de muita gente. É preciso que os estudantes experimentem este processo cooperativo e que se lhes dê a oportunidade de aprender uns com os outros.(..) (ONCHIC, 1999, p. 217) Á medida em que os alunos se concentravam para a resolução dos problemas observávamos o modo que eles interagiam entre si, analisavam e compreendiam cada problema. E também, a forma com que eles lidavam com a ideia dos demais colegas na interação de grupo. A todo momento, incentivávamos e auxiliávamos os participantes da pesquisa nos problemas secundários, que, segundo a metodologia, era necessário para dar continuidade no processo de resolução, conforme ressalta Onuchic (1999) : o professor faz a intermediação, leva os alunos a pensar, espera que eles pensem, dá tempo para isso, acompanha suas explorações e resolve, quando necessário, problemas secundários A princípio, os alunos apresentaram insegurança naquilo que estavam fazendo. Por isso, vimos à necessidade que os participantes tinham de receber uma aprovação de nossa parte para continuar o processo. Essa insegurança mostrou-se proveniente da falta de intimidade dos alunos em serem, naquele momento, protagonistas e autônomos do processo de ensino-aprendizagem. No entanto, no decorrer de todo o processo, observamos que eles se adaptaram bem a essa nova forma de aprendizagem, pois, ao termino do ultimo encontro foi visível a evolução dos alunos que participaram com afinco do minicurso, por se mostrarem mais seguros. Além disso, a boa relação entre os mediadores e os alunos combinada com a paciência e com esta metodologia foram cruciais para o bom desenvolvimento deste trabalho. Cabe, aqui, agora descrever e analisar como se desenvolveu o primeiro encontro.

6 PRIMEIRO ENCONTRO No primeiro momento, após as devidas apresentações entre os pares, foi enunciado o que objetivávamos em cada encontro, seguida de uma breve explanação do que seria a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas. Após isso, com a chegada de alguns alunos atrasados, demos inicio ao teste de diagnóstico, que foi aplicado a 15 alunos do curso de Engenharia Civil. Segue o teste diagnóstico que foi aplicado: Figura 1: Teste Diagnóstico Ao aplicar este teste, orientamos os alunos para não se identificarem, pois nosso objetivo era diagnosticar de forma coletiva os conhecimentos e as dificuldades da turma sobre Limite e Derivada. Durante a aplicação notamos dificuldades por parte deles. Utilizaram algumas propriedades de Derivada dentro de Integral e vice-versa. Ou seja, eles possuíam as ferramentas corretas, mas faltava-lhes orientação para utiliza-las. Em seguida apresentaremos os gráficos que mostram a quantidade de alunos que responderam ou não às questões 1 e 2, além das questões que mais se aproximaram dos resultados esperados. Na primeira questão uma pequena parte tentou resolvê-la, e, por agravante, nenhum destes a acertaram por completo.

7 Figura 2: Gráfico da quantidade de alunos que responderam ou não a primeira questão do teste diagnóstico Segue uma das resoluções dos alunos: Figura 3: Resolução da primeira questão do teste diagnóstico realizado por um aluno do curso de engenharia civil Nota-se pela quantidade de erros e pela quantidade de testes não resolvidos, a falta de habilidade dos alunos sobre Limite. Na segunda questão observa-se que a maioria dos alunos tentou resolvê-la. Das questões resolvidas, analisa-se a falta de conhecimento sobre função, em especial do segundo grau. Os alunos apenas atribuíram valores para x, jogaram os pontos obtidos no plano cartesiano e os ligaram, formando um esboço de uma parábola, e em um caso, o esboço de uma reta. Nenhum dos alunos tentou encontrar os vértices da função e nem as raízes da função, mesmo esta função não apresentando raízes reais. Apenas um aluno respondeu de forma coerente toda a questão, os demais alunos esboçaram o gráfico de modo correto (exceto um que esboçou uma reta), e consequentemente, erraram ao estudar o limite da função.

8 Figura 4: Gráfico da quantidade de alunos que responderam ou não a segunda questão do teste diagnóstico 2ª Questão 27% 73% Resolveram Não Resolveram Segue duas das resoluções dos alunos Figura 5: Resolução correta da segunda questão do teste diagnóstico realizado por um aluno do curso de engenharia civil Figura 6: Resolução incompleta da segunda questão do teste diagnóstico realizado por um aluno do curso de engenharia civil

9 Como mostrado acima, a primeira imagem refere-se à resolução correta e a segunda imagem é um exemplo de uma resolução incompleta, incoerente e incorreta, que evidencia o despreparo e o baixo nível de conhecimento do aluno sobre este conteúdo especifico. Na terceira questão todos responderam. Entretanto, nenhum aluno conseguiu resolver com êxito a questão por completo. Segue duas das resoluções dos alunos Figura 7: Resolução da terceira questão do teste diagnóstico realizado por um aluno do curso de engenharia civil Figura 8: Outro exemplo da resolução da terceira questão do teste diagnóstico realizado por um aluno do curso de engenharia civil Nota-se que os alunos entendem a Regra da Potencia comumente utilizada no estudo de derivada, porém, possuem dificuldade nos conteúdos básicos como radiciação e as propriedades da multiplicação. A quarta questão não foi resolvida por nenhum aluno, o qual revela que os alunos não possuem conhecimentos necessários para a resolução do problema que tratava de uma aplicação da derivada, neste caso o problema referia-se a Otimização. Nos mostra a falta de sensibilidade para lidar com questões aplicadas que envolvam Derivada. O teste diagnóstico revelou grande dificuldade dos alunos em trabalhar assuntos básicos da matemática escolar e do Ensino Superior. A simples mecanização de certos processos matemáticos não garantiu o êxito na resolução das questões, o que revela a necessidade de uma metodologia emancipadora no Ensino Superior. Corroborando com isto, Reis, (2009, p. 81) diz que [...]a pratica pedagógica do professor de Cálculo deve se pautar, primeiramente na reflexão e compreensão sobre que papel o Cálculo Diferencial e Integral representa na formação matemática dos estudantes. Somente estabelecendo elementos que esclareçam a real função do Cálculo

10 na formação matemática do estudante é que o professor terá condições de refletir sobre que objetivos traçar, que conteúdos estabelecer, que metodologias desenhar; enfim, que praticas pedagógicas desenvolver no ensino de tal conteúdo(reis, 2009,p.81) Após o termino do teste e como havia tempo disponível, buscamos dinamizar este encontro, dividindo a turma em grupo de três pessoas e pedimos que fizessem o gráfico da função, definida por, e analisassem o seu comportamento quando x se aproximasse de 3 tanto pela direita, quanto pela esquerda. Assim como no teste, os alunos apresentaram dificuldade na resolução, mesmo sendo resolvido em grupo. Fizemos isso, porque percebemos, ao observar a realização do teste feita por eles individualmente, que a maioria não tinha um conhecimento bem estruturado sobre função do segundo grau. Nenhum deles resolveu o gráfico usando conhecimento de vértice da parábola, eixo de simetria, raízes da função, etc. O que fizeram foi atribuir valores a x para encontrar o y da função e o mais interessante é que boa parte dos alunos sempre toma valores para x de números naturais. O que, de fato, comumente se vê. Após alguns minutos, fomos resolver a questão de forma socializada e participativa. Fizemos o gráfico no quadro, pois os alunos não tinham familiaridade em fazer gráficos de funções. Neste momento aproveitamos para retomada de propriedades utilizadas para a construção de gráficos. Notamos que o pouco que eles haviam escrito estava bastante distante da nossa resolução, não porque o conteúdo era complexo, mas porque eles não utilizaram de modo eficaz o conhecimento que tinham. Em seguida, de acordo com a Metodologia de Resolução de Problemas, proposta por Onuchic, foi formalizado o conceito de Limite, com suas propriedades básicas. Analisamos novamente a questão anteriormente passada em grupo e obtivemos maior êxito após a clareza dos fatos. Faltando uma hora para o término do encontro passamos novamente a primeira e segunda questão utilizada no teste de diagnostico, mas agora com outro caráter. Não tinha apenas por objetivo avaliar o conhecimento deles, mas também fixar o que fora visto durante o encontro que, segundo ONUCHIC et al (2014) o novo problema proposto ao aluno possibilita analisar se foi compreendido os elementos essenciais do conteúdo matemático introduzido naquela aula. Com a explanação feita por nós sobre limite (definição, propriedades, etc), de modo a orienta-los para a resolução das questões do teste diagnostico, percebemos que os alunos conseguiram ver e dar sentido ao que faziam na resolução das questões, o que nos deixou satisfeitos e mais motivados a dar continuidade ao nosso trabalho. Nos encontros que se sucederam foram visíveis os bons frutos deste primeiro encontro. CONSIDERAÇÕES FINAIS Deste modo desafiador e problematizador, construir o conhecimento torna-se natural e praticamente instantâneo, pois a solidificação do conhecimento será nada mais do que uma conseqüência deste delicado processo, caso este seja trabalhado de forma eficaz. É valido ressaltar que esta comunicação faz parte de um trabalho de conclusão de curso que esta em processo de finalização, no entanto, como pode ser visto, obtivemos resultados positivos em nossas aplicações. Naquilo que buscávamos, que era a utilização da Resolução de Problemas como possível metodologia no Ensino Superior, logramos êxito. A Metodologia foi aplicada de forma eficaz; os alunos conseguiram resolver as atividades em tempo hábil; confirmamos nossa ideia de que a criação de um ambiente que desperte o interesse do aluno e que o respeite pode potencializar o seu aprendizado. Mas, é importante aqui levantarmos algumas reflexões:

11 A Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre ideias e sobre o dar sentido. Ao resolver problemas, os alunos necessitam refletir sobre ideias que são inerentes ou estão ligadas ao problema; A formalização de toda teoria matemática pertinente a cada tópico trabalhado, dentro do programa assumido, feita pelo professor no final da atividade, passa a fazer mais sentido para os alunos. Assim sendo, fica evidente o quanto que um ambiente propício para o aprendizado pode estimular e modificar a história do aluno, despertando até, quem sabe, gostos então ocultos por não terem sido estimulados de modo envolvente. Com base nos resultados apresentados podemos concluir que, de fato, a Resolução de Problemas quando trabalhada em um ambiente de motivação, do prazer pela descoberta, do favorecimento aos alunos da autonomia e da criatividade ao coloca-la no centro das atividades de sala de aula, representa uma forma de se fazer e aprender matemática (NUNES, 2015). REFERÊNCIAS DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas da Matemática. São Paulo: Ática, IGLIORI, Sonia Barbosa Camargo. Considerações sobre o ensino do cálculo e um estudo sobre os números reais. In: FROTA, Maria Clara Rezende e NASSER, Lilian. Educação Matemática no Ensino Superior: pesquisa e Debates. Recife: SBEM, 2009, pg LUPINACCI, M. L. V. e BOTIN, M. L. M. Resolução de problemas no ensino de matemática. VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife, 2001, p NASSER, Lilian. Uma pesquisa do desempenho de alunos de calculo no traçado de gráficos. In: FROTA, Maria Clara Rezende e NASSER, Lilian. Educação Matemática no Ensino Superior: pesquisa e Debates. Recife:SBEM, 2009, pg NUNES, C.B. Resolução de Problemas e Investigação Matemática: caminhos para fazer e aprender matemática. In: XVI Encontro Baiano de Educação Matemática. Salvador: IFBA, 2015, p. 1-3 (pen drive) NUNES, C.B. O Processo Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Geometria através da Resolução de Problemas: perspectivas didático matemáticas na formação inicial de professores de matemática. 430f. Tese de Doutorado Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio claro, ONUCHIC, L.R. e ALLEVATO, N.S. G. Formação de professores- Mudanças urgentes na licenciatura em Matemática. In: FROTA, Maria Clara Rezende e NASSER, Lilian. Educação Matemática no Ensino Superior: pesquisa e Debates. Recife:SBEM, 2009, pg ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999, pg ONUCHIC, L.R.; ALLEVATO, N.S.G. Novas reflexões sobre o ensino- aprendizagem da matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M.A.V.; BORBA, M.C. (Org).

12 Educação Matemática: pesquisa em movimento. 2ed. São Paulo: Cortez, 2005, pg ONUCHIC, L.R et al. Resolução de Problemas: teoria e prática. Jundiaí, Paco Editorial, POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2. ed, ROMBERG, T.A. Perspectivas sobre o Conhecimento e Métodos de Pesquisa. Tradução de ONUCHIC, L.; BOERO, M.L. In: Boletim de Educação Matemática (BOLEMA). Rio Claro: UNESP, n. 27, , REIS, Frederico da Silva. Rigor e intuição no ensino de cálculo e análise. Racque. Pesquisa sobre própria prática no ensino superior de matemática In: FROTA, Maria Clara Rezende e NASSER, Lilian. Educação Matemática no Ensino Superior: pesquisa e debates. Recife: SBEM, 2009, pg STEWART, James. Cálculo, volume I. São Paulo: Cangage Learning, 2013.