Movimento Circular Uniforme

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1 . (Unifesp 07) Um avião, logo após a aterrissagem, está em movimento retilíneo sobre a pista horizontal, com sua hélice girando com uma frequência constante de 4 Hz. Considere que em um determinado intervalo de tempo a velocidade escalar desse avião em relação ao solo é constante e igual a Calcule: m s, que cada pá da hélice tem m de comprimento e que π 3. a) a distância, em metros, percorrida pelo avião enquanto sua hélice dá voltas completas. b) o módulo da velocidade vetorial instantânea, em m s, de um ponto da extremidade de uma das pás da hélice do avião, em relação ao solo, em determinado instante desse intervalo.. (Ufu 07) Ainda que tenhamos a sensação de que estamos estáticos sobre a Terra, na verdade, se tomarmos como referência um observador parado em relação às estrelas fixas e externo ao nosso planeta, ele terá mais clareza de que estamos em movimento, por exemplo, rotacionando junto com a Terra em torno de seu eixo imaginário. Se consideramos duas pessoas (A e B), uma deles localizada em Ottawa (A), Canadá, (latitude 45 Norte) e a outra em Caracas (B), Venezuela, (latitude 0 Norte), qual a relação entre a velocidade angular média ( ) e velocidade escalar média (v) dessas duas pessoas, quando analisadas sob a perspectiva do referido observador? a) A B e va vb b) A B e va vb c) A B e va vb d) A B e va vb 3. (Uece 06) Em uma obra de construção civil, uma carga de tijolos é elevada com uso de uma corda que passa com velocidade constante de 3,5 m s e sem deslizar por duas polias de raios 7 cm e 54 cm. A razão entre a velocidade angular da polia grande e da polia menor é a) 3. b). c) 3. d). 4. (Ufpa 06) Durante os festejos do Círio de Nazaré, em Belém, uma das atrações é o parque de brinquedos situado ao lado da Basílica, no qual um dos brinquedos mais cobiçados é a Roda Gigante, que gira com velocidade angular, constante. de 6 Prof. Allan Borçari

2 Considerando-se que a velocidade escalar de um ponto qualquer da periferia da Roda é V m s e que o raio é de 5 m, pode-se afirmar que a frequência de rotação f, em hertz, e a velocidade angular, em rad s, são respectivamente iguais a: a) b) c) d) e) 30π e 5π e 30π 5π 30π e e e π 5. (Eear 06) Duas polias estão acopladas por uma correia que não desliza. Sabendo-se que o raio da polia menor é de 0 cm e sua frequência de rotação 50 cm? a) b) 7.00 c).440 d) 70 f é de rpm, qual é a frequência de rotação f da polia maior, em rpm, cujo raio vale 6. (Enem 06) A invenção e o acoplamento entre engrenagens revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de várias tecnologias, como os relógios. Ao construir um pequeno cronômetro, um relojoeiro usa o sistema de engrenagens mostrado. De acordo com a figura, um motor é ligado ao eixo e movimenta as engrenagens fazendo o ponteiro girar. A frequência do motor é de 8 rpm, e o número de dentes das engrenagens está apresentado no quadro. Engrenagem Dentes A B 4 7 C 36 D 08 de 6 Prof. Allan Borçari

3 A frequência de giro do ponteiro, em rpm, é a). b). c) 4. d) 8. e) (Unicamp 05) Considere um computador que armazena informações em um disco rígido que gira a uma frequência de 0 Hz. Cada unidade de informação ocupa um comprimento físico de 0, μ m na direção do movimento de rotação do disco. Quantas informações magnéticas passam, por segundo, pela cabeça de leitura, se ela estiver posicionada a 3 cm do centro de seu eixo, como mostra o esquema simplificado apresentado abaixo? (Considere π 3.) a) b) c) d) 6,6 0. 6, ,8 0. 8, (G - cps 05) Em um antigo projetor de cinema, o filme a ser projetado deixa o carretel F, seguindo um caminho que o leva ao carretel R, onde será rebobinado. Os carretéis são idênticos e se diferenciam apenas pelas funções que realizam. Pouco depois do início da projeção, os carretéis apresentam-se como mostrado na figura, na qual observamos o sentido de rotação que o aparelho imprime ao carretel R. 3 de 6 Prof. Allan Borçari

4 Nesse momento, considerando as quantidades de filme que os carretéis contêm e o tempo necessário para que o carretel R uma volta completa, é correto concluir que o carretel F gira em sentido a) anti-horário e dá mais voltas que o carretel R. b) anti-horário e dá menos voltas que o carretel R. c) horário e dá mais voltas que o carretel R. d) horário e dá menos voltas que o carretel R. e) horário e dá o mesmo número de voltas que o carretel R. dê 9. (Ufrgs 03) A figura apresenta esquematicamente o sistema de transmissão de uma bicicleta convencional. Na bicicleta, a coroa A conecta-se à catraca B através da correia P. Por sua vez, B é ligada à roda traseira R, girando com ela quando o ciclista está pedalando. Nesta situação, supondo que a bicicleta se move sem deslizar, as magnitudes das velocidades angulares, A, B e R, são tais que a) A B R. b) A B R. c) A B R. d) A B R. e) A B R. 0. (Fuvest 07) De férias em Macapá, cidade brasileira situada na linha do equador e a 5 de longitude oeste, Maria faz um selfie em frente ao monumento do marco zero do equador. Ela envia a foto a seu namorado, que trabalha em um navio ancorado próximo à costa da Groenlândia, a 60 de latitude norte e no mesmo meridiano em que ela está. Considerando apenas os efeitos da rotação da Terra em torno de seu eixo, determine, para essa situação, a) a velocidade escalar v M de Maria; b) o módulo a M da aceleração de Maria; c) a velocidade escalar v n do namorado de Maria; 4 de 6 Prof. Allan Borçari

5 d) a medida do ângulo α entre as direções das acelerações de Maria e de seu namorado. Note e adote: Maria e seu namorado estão parados em relação à superfície da Terra. As velocidades e acelerações devem ser determinadas em relação ao centro da Terra. Considere a Terra uma esfera com raio Duração do dia π s m. Ignore os efeitos da translação da Terra em torno do Sol. sen30 cos60 0,5 sen60 cos30 0,9. (Unesp 07) As pás de um gerador eólico de pequeno porte realizam 300 rotações por minuto. A transformação da energia cinética das pás em energia elétrica pelo gerador tem rendimento de 60%, o que resulta na obtenção de.500 W potência elétrica. de Considerando π 3, calcule o módulo da velocidade angular, em rad s, e da velocidade escalar, em m s, de um ponto P situado na extremidade de uma das pás, a, m do centro de rotação. Determine a quantidade de energia cinética, em joules, transferida do vento para as pás do gerador em um minuto. Apresente os cálculos.. (Uece 07) Considere o movimento de rotação de dois objetos presos à superfície da Terra, sendo um deles no equador e o outro em uma latitude norte, acima do equador. Considerando somente a rotação da Terra, para que a velocidade tangencial do objeto que está a norte seja a metade da velocidade do que está no equador, sua latitude deve ser a) 60. b) 45. c) 30. d) 0,5. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o módulo da aceleração da gravidade como 3 e utilize π 3. G 6,7 0 m kg s g 0,0 m s e a constante da gravitação universal como 3. (Upe-ssa 07) Como um velocista, Bolt passa muito pouco tempo correndo. Em todas as finais olímpicas das quais participou, nos últimos três jogos (Pequim, Londres e Rio), ele correu um total de apenas 4 segundos, ou seja, nem dois minutos. 5 de 6 Prof. Allan Borçari

6 00 m 00 m 400 m Pequim 008 Londres 0 Rio 06 9,69 9,3 8,98 9,63 9,3 8,7 9,8 9,78 *O tempo individual de Bolt ainda não foi publicado. Medimos o tempo dele pela TV. Fonte: acessado em 0 de agosto de 06. 9* Esteiras ergométricas são dispositivos que auxiliam no treino e na execução de atividades físicas, como caminhada e corrida. Uma esteira é formada por uma lona, que envolve dois cilindros idênticos, C e C, de cm de raio, conforme indicado na figura a seguir. No eixo do cilindro frontal, está montada uma polia P de 4 cm de raio que, através de uma correia, está acoplada ao eixo de um motor elétrico. O motor gira a correia em uma polia P, que possui cm de raio. Supondo que Usain Bolt desenvolvesse a velocidade média da prova 4 00 m dos Jogos Olímpicos Rio 06, utilizando a esteira ergométrica descrita anteriormente, qual seria a velocidade aproximada de rotação da polia P em r.p.m.? a) b) c) d) e) (Unesp 06) Um pequeno motor a pilha é utilizado para movimentar um carrinho de brinquedo. Um sistema de engrenagens transforma a velocidade de rotação desse motor na velocidade de rotação adequada às rodas do carrinho. Esse sistema é formado por quatro engrenagens, A, B, C e D, sendo que A está presa ao eixo do motor, B e C estão presas a um segundo eixo e D a um terceiro eixo, no qual também estão presas duas das quatro rodas do carrinho. 6 de 6 Prof. Allan Borçari

7 Nessas condições, quando o motor girar com frequência f M, as duas rodas do carrinho girarão com frequência f R. Sabendo que as engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D possuem 4 dentes, que não há escorregamento entre elas e que f M 3,5 Hz, é correto afirmar que em Hz, é igual a a),5. b) 3,0. c),0. d),0. e),5. f R, 5. (Unesp 05) A figura representa, de forma simplificada, parte de um sistema de engrenagens que tem a função de fazer girar duas hélices, H e H. Um eixo ligado a um motor gira com velocidade angular constante e nele estão presas duas engrenagens, A e B. Esse eixo pode se movimentar horizontalmente assumindo a posição ou. Na posição, a engrenagem B acopla-se à engrenagem C e, na posição, a engrenagem A acopla-se à engrenagem D. Com as engrenagens e C acopladas, a hélice e, com as engrenagens A e D acopladas, a hélice B H gira com velocidade angular constante H gira com velocidade angular constante. Considere r A, r B, r C, e r D, os raios das engrenagens A, B, C é correto afirmar que a relação é igual a a),0. b) 0,. c) 0,5. d),0. e),. 6. (Ime 06) e D, respectivamente. Sabendo que r B r A e que r C r D, 7 de 6 Prof. Allan Borçari

8 Uma corda de comprimento L e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma velocidade angular constante igual a Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade v do pulso, no referencial da corda, a uma distância r da extremidade fixa é dada por a) b) c) L r d) e) L(L r) (L r ) L L r L L r L r. 7. (Ufpr 0) Um ciclista movimenta-se com sua bicicleta em linha reta a uma velocidade constante de 8 km/h. O pneu, devidamente montado na roda, possui diâmetro igual a 70 cm. No centro da roda traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada de diâmetro 7,0 cm. Junto ao pedal e preso ao seu eixo há outra roda dentada de diâmetro 0 cm. As duas rodas dentadas estão unidas por uma corrente, conforme mostra a figura. Não há deslizamento entre a corrente e as rodas dentadas. Supondo que o ciclista imprima aos pedais um movimento circular uniforme, assinale a alternativa correta para o= número de voltas por minuto que ele impõe aos pedais durante esse movimento. Nesta questão, considere. 3 a) 0,5 rpm. b),50 rpm. c) 5,00 rpm. d) 5,0 rpm. e) 50,0 rpm. 8. (Udesc 00) O velódromo, nome dado à pista onde são realizadas as provas de ciclismo, tem forma oval e possui uma circunferência entre 50,0 m e 330,0 m, com duas curvas inclinadas a 4 o. Na prova de velocidade o percurso de três voltas tem.000,0 m, mas somente os 60 π últimos metros são cronometrados. Determine a frequência de rotação das rodas de uma bicicleta, necessária para que um ciclista percorra uma distância inicial de 4 π metros em 30 segundos, considerando o movimento uniforme. (O raio da bicicleta é igual a 30,0 cm.) Assinale a alternativa correta em relação à frequência. a) 80 rpm b) 0,8 π rpm c) 40 rpm d) 4 π rpm e) 40 π rpm 8 de 6 Prof. Allan Borçari

9 Gabarito: Resposta da questão : f 4 Hz; v m s; m; π 3. Dados: hel av hel a) O tempo gasto pela hélice para realizar Δt T f hel voltas completas corresponde a: sendo T f hel o período de cada ciclo da hélice. Substituindo na equação os valores de parâmetros conhecidos, tem-se que: Δt 3 s f 4 hel A distância percorrida pelo avião no intervalo de tempo ΔS vav Δt 3 6 m Δt 3 s, é: b) A velocidade vetorial instantânea da extremidade de uma das hélices será uma composição da velocidade da extremidade da hélice relativa ao avião, v, t e a velocidade do avião em relação ao solo, v av : lembrando que o símbolo na segunda figura representa um vetor perpendicular ao plano do papel, "saindo" do mesmo. Da composição vetorial, conclui-se que t av t av v v v v v v A velocidade do avião v av possui módulo conhecido e igual a m s. A velocidade v, t ou melhor, o seu módulo, é obtido da seguinte forma: v π f m s t hel hel hel Substituindo-se os parâmetros conhecidos na equação do módulo da velocidade total, obtém-se: v m s Resposta da questão : [C] 9 de 6 Prof. Allan Borçari

10 A velocidade angular média ( ) depende basicamente da frequência da rotação (f ) ou do período (T) sendo dada por: π πf T Para ambos os observadores (A e B), tanto suas frequências como seus períodos de rotação são os mesmos, pois quando a Terra dá uma volta completa, qualquer ponto do planeta também dá uma rotação completa, então suas velocidades angulares médias ( ) devem ser exatamente iguais. fa fb A B TA TB Já a velocidade escalar média (v) dessas duas pessoas, depende do raio (R) de curvatura da Terra. Pontos mais próximos dos polos têm raios menores que pontos próximos ao Equador, portanto temos que: RA RB Como a velocidade escalar média (v) é diretamente proporcional ao raio e dada por: πr v πrf, temos que T va v B. Resposta da questão 3: [D] A velocidade linear é a mesma para as duas polias. G R M 7 G vg v M G R G M R M. M R G 54 M Resposta da questão 4: [C] V V πr f f f Hz. πr π5 30 π π f π rad/s. 30 π 5 Resposta da questão 5: [C] πr f πr f πr f πr f R f R f R f f f f.440 rpm R 50 Resposta da questão 6: [B] No acoplamento coaxial as frequências são iguais. No acoplamento tangencial as frequências (f) são inversamente proporcionais aos números (N) de dentes; Assim: 0 de 6 Prof. Allan Borçari

11 fa fmotor 8 rpm. fb NB fa N A fb fb 6 rpm. fc fb 6 rpm. fd ND fc N C fd fd rpm. A frequência do ponteiro é igual à da engrenagem D, f rpm. ou seja: Resposta da questão 7: [D] - Espaço ocupado por cada informação: 7 L 0, μm 0 m. - Comprimento de uma volta: C π r m. - Número de informações armazenadas em cada volta: C n 9 0. L Como são 0 voltas por segundo, o número de informações armazenadas a cada segundo é: 5 8 N n f 90 0 N,08 0. Resposta da questão 8: [D] A análise da situação permite concluir que o carretel F gira no mesmo sentido que o carretel R, ou seja, horário. Como se trata de uma acoplamento tangencial, ambos têm mesma velocidade linear, igual à velocidade linear da fita. ff r v R F v R πff rf πfr r R ff r F fr r R. f r R F Essa expressão final mostra que a frequência de rotação é inversamente proporcional ao raio. Como o carretel F tem maior raio ele gira com menor frequência, ou seja dá menos voltas que o carretel R. Resposta da questão 9: [A] Como a catraca B gira juntamente com a roda R, ou seja, ambas completam uma volta no mesmo intervalo de tempo, elas possuem a mesma velocidade angular: B R. Como a coroa A conecta-se à catraca B através de uma correia, os pontos de suas periferias possuem a mesma velocidade escalar, ou seja: VA VB. Lembrando que V.r : VA V B A.r A B.r B. Como: r A r B A B. Resposta da questão 0: A figura ilustra a situação, mostrando Maria (M) e seu namorado (N) em duas posições diferentes, sobre o mesmo meridiano de 6 Prof. Allan Borçari

12 6 a) O raio da trajetória de Maria é igual ao raio da Terra: RM R 6 0 m. Como o movimento de Maria é circular uniforme: 6 ΔSM πrm vm vm 450m s. Δt T b) No movimento circular uniforme, a aceleração é centrípeta. vm am a 6 6 M 0,034m s. RM c) O movimento do namorado de Maria também é circular uniforme, de raio R cos 60 n Rn Rcos 60 R ΔSn πrn πrcos 60 πr vn cos 60 vm cos vm 5m s. Δt T T T d) Como mostra a figura, as acelerações de Maria e de seu namorado, a M e a n, são paralelas entre si, logo: α 0. R n. Resposta da questão : Dados: f 300rpm 5Hz; π 3; R,m; P.500 W; η 60% 0,6. Velocidade (escalar) angular: πf rad s. U Velocidade (escalar) linear: v R 30, v 36m s. Energia cinética transmitida: de 6 Prof. Allan Borçari

13 Ecin PT Δt PU PU PU Ecin Δt 60 Ecin,5 0 J. η PT η 0,6 PT η Resposta da questão : [A] A figura ilustra a situação, considerando a Terra esférica. Todos os pontos da Terra têm a mesma velocidade angular. Assim, para V v, tem-se: v V v v R r. r R r R Mas: r R cos θ cos θ θ 60. R R Resposta da questão 3: [D] A velocidade de rotação, mais comumente conhecida como frequência f está relacionada com a velocidade linear das correias com a seguinte equação: v πr f onde: velocidade linear das correias em m s; v R raio da polia em m; f frequência em Hz. Para transformar a frequência em rotações por minutos, basta multiplicar o resultado em hertz por 60. Para efetuar o cálculo, devemos obter a velocidade linear na lona que envolve os cilindros idênticos, C e C, sabendo que o corredor Bolt faz 00 m em 9 s : 00 m v v,m s 9s Para o acoplamento das polias C e P temos que as frequências em cada uma delas são iguais entre si, portanto: v,m s v π R f f f f 9,6 Hz πr 3 0,0 m 3 de 6 Prof. Allan Borçari

14 Passando para r.p.m: f 9,6 Hz 60 f 5.555,5 rpm Correspondendo então, de forma aproximada, à alternativa [D]. Resposta da questão 4: [A] Os raios das engrenagens (R) e os números de dentes (n) são diretamente proporcionais. Assim: R A RC n A 8. R R n 4 3 B D B - A e B estão acopladas tangencialmente: v v πf R πf R f R f R. A B A A B B A A B B RA fm Mas : fa f M fmra fb R B fb fm f M f B. RB B e C estão acopladas coaxialmente: fm fc f B. 3 - C e D estão acopladas tangencialmente: v v πf R πf R f R f R. C D C C D D C C D D R f C M fm Mas : fd f R f C RC fr R D fr f C f R f R RD ,5 F R fr,5 Hz. 9 Resposta da questão 5: [D] Na posição : rb r A. vb vb B A A A vb A r A. rb ra vc v B C rc A r A. C rc A r A. (I) Na posição : vd v A DrD A r A. D. rc r D. rc A r A. (II) Dividindo membro a membro (I) por (II): rc A ra. r r C A A Resposta da questão 6: [D] 4 de 6 Prof. Allan Borçari

15 A tração no ponto B deverá ser igual à força centrífuga que puxa o trecho BC para fora. Portanto: T F B cf TB mbc BC r L T B μ(l r) T L r B μ Pela Lei de Taylor: T v μ v v L L r r Resposta da questão 7: [E] A figura abaixo mostra os diversos componentes do mecanismo e suas dimensões. Denominemos Ω rodam solidárias. a velocidade angular da coroa e a velocidade angular da catraca e consequentemente da roda, já que elas Como a coroa e a catraca são interligadas por uma correia podemos dizer que as velocidades lineares de suas periferias são iguais. 5 de 6 Prof. Allan Borçari

16 r Vcoroa Vcatraca ΩR r Ω (0) R Por outro lado a velocidade da bicicleta pode ser calculada por: Substituindo 0 em 0, vem: Vr Ω RD (03) D V V (0) D V =8km/h = 5,0m/s D= 70cm = 0,7m R = 0cm R = 0,m r = 7cm r = 0,035m Substituindo os valores em 03, temos: 5 rot.5.0,035 5 Ω 5,0rd / s Ω 5,0rd / s π 60 50RPM 0, 0,7 6 min 60 Resposta da questão 8: [A] S 4 8 V R.0,3 rd / s t voltas 4 rd volta s volta 4 3 X voltas 3 60s X 80RPM 6 de 6 Prof. Allan Borçari

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