Lições de Análise Matemática 2. Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

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1 Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Julho de 008

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3 Conteúdo Prefácio vii 1 Breves Noções de Topologia em R n 1 Funções Diferenciáveis 9.1 Funções Escalares e Funções Vectoriais Geometria das Funções Escalares Limites e Continuidade Diferenciação Propriedades da Derivada Propriedades do Gradiente Derivadas de Ordem Superior Derivadas Parciais Iteradas Teorema de Taylor Extremos de Funções Escalares Multiplicadores de Lagrange Função Inversa Função Implícita Cálculo Integral em R n Integração Integrais Duplos Integrais Duplos em Rectângulos Integrais Duplos sobre outras regiões de R Integrais Duplos sobre regiões elementares de R Integrais Triplos Integrais Triplos em Paralelepípedos

4 4.3. Integrais Triplos sobre outras regiões de R Integrais Triplos sobre regiões elementares de R Mudança de Variável Coordenadas Polares Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas Integrais Imprópios Exercícios 135

5 Lista de Figuras.1 Astróide, x 3 + y 3 = Gráfico de f : f(x) = sin x (linha) e de g : g(x) = x x3 (pontos) Gráfico de f : f(x, y) = x + y Curvas de nível de f : f(x, y) = x y Gráfico de f : f(x, y) = x y Gráfico de f, descontínua em x = Gráfico de f : f(x, y) = xy x +y Gráfico de f e da recta tangente no ponto (, f()) Gráfico de f e do plano tangente em (a, f(a)) Curvas de nível e campo de gradientes Gráfico de cos(x + y) e de 1 (x + y) / (0, 0) ponto de máximo absoluto de f : f(x, y) = e (x +y ) (0, 0) ponto de mínimo absoluto de f : f(x, y) = x + y (0, 0) ponto de sela de f : f(x, y) = x y Gráfico de f : f(x, y) = (x y) x 4 y Gráfico de f : f(x, y) = x + y Estudo de f : f(x, y) = xy em x + y Encontrar os extremos de xy em x + y = Gráfico de f : f(x) = 1 x numa vizinhança de x = Numa vizinhança de (1, 0), x + y = 1 não pode ser gráfico de uma função Cálculo de um volume usando 4 paralelepípedos Volume aproximado da região V com 7 paralelipipedos Volume aproximado da região V com 0 paralelipipedos Região elementar do tipo 1: φ(x) = 1x+ 3 x 1 e ψ(x) = (x 1) +1

6 4.5 Região elementar do tipo 1: φ(x) = x 1 e ψ(x) = e x 1, 1.5 x Região elementar do tipo : φ(y) = 1 e ψ(y) = y, 1 y. 101 y 4.7 Região elementar do tipo : φ(y) = 1 e ψ(y) = 4 y y Região elementar do tipo : φ(y) = y e ψ(y) = y Região elementar do tipo 1 definida por y = 4 x e y = 1 x Região elementar do tipo definida por y = 4 x e y = 1 x Cone definido por z = 5 e z = x + y D = {(x, y) : x + y = 5} D = {(x, z) : 0 z 5 z x z} Sólido S Coordenadas Polares Mudança de variável para coordenadas polares Elemento de área em coordenadas polares Cardióide, a = Coordenadas Cilindricas Projecção do sólido no plano xy Coordenadas Esféricas

7 Prefácio Imagination is more important than knowledge. (Albert Einstein) Estes apontamentos em forma de E-book, foram elaborados com o objectivo de oferecer ao aluno um instrumento de trabalho que oriente e desperte o interesse pela disciplina de Análise Matemática. Não se pretende substituir a bibliografia existente, mas simplesmente fornecer um ponto de partida para a aprendizagem. Uma nota que gostaríamos realçar é que a Matemática não se aprende passivamente. Os exercícios, quando não mecanizados, ensinam a usar conceitos, esclarecer dúvidas e dão oportunidade de explorar um universo diversificado. Esta disciplina de Análise Matemática trata do estudo das funções de várias variáveis. Como é natural pressupomos uma certa familiaridade com funções reais de variável real. Além disso admitem-se conhecidas algumas noções básicas de Álgebra Linear. Iremos recorrer à Álgebra Linear para (re)formular conceitos e demonstrar os teoremas do cálculo diferencial de funções de várias variáveis. Todos os conceitos introduzidos são ilustrados por meio de exemplos e em muitas situações os resultados são estabelecidos usando teoremas da análise de funções reais de variável real. Em diversas situações é sugerido o uso do maple ou do maxima. Refirase que apenas se utiliza este software como uma ferramenta, por isso pode utilizar a sua máquina gráfica ou mesmo prescindir de todo do uso de um instrumento de cálculo e usar apenas lápis e papel. Bom trabalho! O meu agradecimento à Doutora Isabel Magalhães pela colaboração dada e leitura crítica deste manual.

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9 Capítulo 1 Breves Noções de Topologia em R n Neste capítulo apresentamos breves noções de topologia do espaço euclidiano n-dimensional. São conceitos importantes para o estudo de funções de R n em R m. Recordemos que o conjunto R n munido das operações soma de vectores e produto de um vector por um número real, x + y = (x 1, x,..., x n ) + (y 1, y,..., y n ) = (x 1 + y 1, x + y,..., x n + y n ) R n λx = λ(x 1, x,..., x n ) R n define um espaço vectorial real. Os elementos de R n são por vezes chamados pontos (elementos de um conjunto) e outras vezes designados por vectores (elementos de um espaço vectorial). Sabemos também que os vectores e 1 = (1, 0,..., 0); e = (0, 1,..., 0);...; e n = (0, 0,..., 1) são linearmente independentes e que qualquer outro vector x = (x 1, x,..., x n ) se exprime linearmente e de forma única como combinação linear dos vectores e i, i = 1,,...n, i.e., x = n i=1 x ie i. O conjunto de vectores {e i, i = 1,,...n} define pois uma base, a base canónica, de R n, que terá assim dimensão n. As bases canónicas permitem estabelecer uma bijecção entre, L (R n, R m ), o conjunto das transformações lineares de R n em R m e o conjunto M (m n) das matrizes reais com m linhas e n colunas. A matriz associada à transformação linear A é definida por A = [a ij ], tal que se e j é o j-ésimo vector coluna

10 Breves Noções de Topologia em R n da base canónica de R n então A e j é um vector de R m com componentes iguais às da j-ésima coluna de A. Isto significa que a i-ésima componente de A e j é a ij. Um espaço vectorial real diz-se normado quando a cada vector x está associado um número real não negativo, designado por norma de x, x, que goza das propriedades: x 0 e x = 0 x = 0 R n, x R n (1.1) λx = λ x, x R n, λ R (1.) x + y x + y, x, y R n (1.3) Nos espaços R e R 3 é bem conhecida de todos a noção de produto interno ou produto escalar. Generalizando a R n, o número real x y = n x i y i (1.4) i=i designa-se por produto interno ou produto escalar dos vectores x e y. Por exemplo, em R, (1, 3) (3, ) = = 9 e é bem conhecida de todos a noção de norma, (1, 3) = (1, 3) (1, 3) = 10 (3, ) = (3, ) (3, ) = 13 e a noção de ângulo formado pelos vectores (1, 3) e (3, ), (1, 3) (3, ) = (1, 3) (3, ) cos θ pelo que o ângulo θ, formado pelos vectores (1, 3) e (3, ) é tal que cos θ =

11 3 Exercício 1 Verifique que o produto interno goza das seguintes propriedades: Se x, y, z R n e α, β R então x x 0 e x x = 0 x = 0 (1.5) x y = y x (1.6) (αx + βy) z = α(x z) + β(y z) (1.7) Definição 1 Mais geralmente diz-se que num espaço vectorial, de dimensão finita ou não, está definido um produto interno quando a cada par de vectores está associado um escalar com as propriedades 1.5, 1.6 e 1.7. A um espaço vectorial real de dimensão finita munido de um produto interno dá-se o nome de espaço euclidiano. Proposição 1 O espaço vectorial R n munido de x : R n R + 0 x x x é um espaço vectorial normado. x = x x designa-se por norma euclidiana. Partindo da definição axiomática de produto interno, demonstremos que a norma euclidiana satisfaz os axiomas 1.1, 1. e 1.3. Para a demonstração da validade do axioma 1.1 observe-se que x = x x = n (x i ) Ora, como sabemos o quadrado de um número real é um número não negativo, (x i ) 0. Assim a soma de números reais não negativos é ainda um número não negativo. Será igual a zero se e só se todos as parcelas forem zero, isto é, se e só se x = 0. A validade de 1. é demonstrada considerando a definição de norma e as propriedades sobre os reais, λx = (λx) (λx) = n (λx i ) = λ i=i i=i n (x i ) = λ n (x i ) = λ x i=i i=i

12 4 Breves Noções de Topologia em R n Para demonstrar a validade do axioma 1.3, também designado por desigualdade triangular, demonstremos primeiramente o seguinte teorema: Teorema 1 Se x, y R n então x y x y Esta desigualdade é designada por desigualdade de Cauchy-Schwarz. Demonstração: Se x e y são linearmente dependentes então existe um α R, tal que y = αx, e portanto pelas propriedades do produto interno e atendendo a que x = x x x y = α (x x) = α x = x αx = x y Caso contrário, se x e y são linearmente independentes, temos que y αx 0, qualquer que seja α R. Ora, 0 < y αx = (y αx) (y αx) = y y αy x + α x x Observemos que o membro direito é uma equação quadrática na variável α que não se anula. Portanto o seu discriminante na variável α é negativo, o que significa que 4(y x) 4(y y)(x x) < 0 o que é equivalente a y x < y x cqd Para demonstrar a desigualdade triangular, observe-se que pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, e, desenvolvendo x + y obtemos, x y x y x y x + y = x + x y + y x + x y + y = ( x + y ) e portanto o que conclui a demonstração. x + y x + y (1.8)

13 5 Pelo exposto podemos afirmar que todo o espaço vectorial com produto interno é um espaço normado. Por sua vez todo o espaço normado se pode tornar num espaço métrico definindo a função distância entre dois pontos por d(x, y) = x y Quando não for explicitamente referido qual a norma em R n que estamos a utilizar fica subentendido que se trata da norma euclidiana. Assim a distância euclidiana fica definida por d(x, y) = (x 1 y 1 ) + (x y ) (x n y n ) Observe-se que é possível definir em R n outras distâncias provenientes de outras normas. Por exemplo a norma do máximo, x, e a norma 1, x 1 são duas normas de manipulação algébrica simples e x = max i=1,...,n { x i } x 1 = n x i É também possível definir distâncias que não provêm de normas e normas que não provêm de produtos internos. Seja agora A uma matriz real n n. Uma vez escolhida uma norma para o espaço vectorial R n é possível definir uma norma matricial correspondente para A, Ax A = max x =0 x onde o máximo é tomado sobre todos os vectores não nulos de R n. Se considerarmos a norma vectorial euclidiana, a norma matricial associada é de cálculo difícil. No entanto a norma matricial i=1 Ax A = max x =0 x baseada na norma do máximo é calculada facilmente e mostra-se que n A = max a ij 1 i n j=1

14 6 Breves Noções de Topologia em R n Exemplo 1 A norma do máximo para a matriz, [ ] A = é A = max { , } = A norma do máximo da matriz identidade, [ ] 1 0 I = 0 1 é A = 1. Nas definições que se seguem consideramos o espaço métrico R n e designamos por d a função distância induzida pela norma euclidiana. Definição Seja a R n e r um número real positivo. O subconjunto de R n definido por B(a, r) = {x R n : d(x, a) < r} diz-se bola aberta de centro a e raio r. Definição 3 Um subconjunto de R n que contenha uma bola aberta de centro a e raio r diz-se uma vizinhança de a e representa-se por V a. Definição 4 Seja U um subconjunto de R n. Um ponto x R n diz-se: 1. Ponto interior a U se e só se existe r > 0 tal que B(x, r) U.. Ponto exterior a U se e só se ( ) existe r > 0 tal que B(x, r) R n U. 3. Ponto da fronteira de U sse para todo r > 0, B(x, r) U e B(x, r) R n U. 4. Ponto isolado de U se e só se existe r > 0, tal que B(x, r) U = {x}.

15 7 5. Ponto de acumulação de U se e só se para todo r > 0, B(x, r) ( ) U {x}. Exercício Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R em que possa indicar: 1. um ponto da fronteira que não pertença ao conjunto;. um ponto isolado; 3. um ponto interior; 4. um ponto exterior; 5. um ponto da fronteira que pertença ao conjunto. Definição 5 Seja U R n. O conjunto dos pontos interiores a U diz-se o interior de U e representa-se por int(u) = U U. O conjunto dos pontos ( exteriores ) a U diz-se o exterior de U e representa-se por ext(u) = R n U. O conjunto dos pontos fronteiros a U diz-se a fronteira de U e representa-se por fr(u) = U. O conjunto ad(u) = U= fr(u) int(u) diz-se a aderência ou fecho de U. O conjunto dos pontos de acumulação de U diz-se o derivado de U e representa-se por U. Definição 6 Seja U R n. U diz-se aberto se e só se int(u) = U. U diz-se fechado se e só se U= U. U diz-se limitado se e só se existe r > 0 tal que U B(0, r). Exercício 3 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R e de R 3 que sejam: 1. abertos;

16 8 Breves Noções de Topologia em R n. fechados; 3. não abertos; 4. limitados; 5. abertos e fechados; 6. não abertos e não fechados; Definição 7 Seja E um espaço vectorial normado. Um subconjunto S de E diz-se compacto quando toda a sucessão de elementos de S tem uma subsucessão convergente para um elemento de S. Proposição Um conjunto de U R n é compacto se e só se é limitado e fechado. Exercício 4 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R e de R 3 que sejam compactos. Definição 8 Diz-se que um conjunto U R n é convexo quando contém qualquer segmento de recta cujos extremos pertençam a U. Nota: O segmento de recta de extremos x e y de R n é o subconjunto de R n, S = {z R n : z = (1 α)x + αy, 0 α 1} Exercício 5 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R e de R 3 que sejam conjuntos convexos e de outros que o não sejam. Definição 9 Uma cisão de um subconjunto U R n é uma decomposição U = A B, onde A B = e os conjuntos A e B são abertos em U. A cisão U = U diz-se cisão trivial. Um conjunto diz-se conexo quando não admite outra cisão para além da trivial. Exercício 6 Quais são os conexos de R? Exercício 7 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R e de R 3 que sejam conjuntos conexos e outros que o não sejam. Exercício 8 Dê exemplo de um subconjunto de R conexo mas não convexo. Exercício 9 Para um subconjunto de R relacione os dois conceitos: convexo e conexo.

17 Capítulo Funções Diferenciáveis.1 Funções Escalares e Funções Vectoriais Como sabemos, para descrever uma função necessitamos de informação sobre: Domínio Contradomínio Lei de transformação Definição 10 Uma função cujo domínio é um subconjunto de R n e cujo contradomínio está contido em R diz-se uma função escalar (real) de n variáveis reais. Definição 11 Uma função cujo domínio é um subconjunto de R n e cujo contradomínio está contido em R m, m > 1, diz-se uma função vectorial de n variáveis reais. Usaremos a seguinte notação para indicar o domínio da função U R n, o conjunto de chegada e a lei de transformação. Funções escalares: f : U R n R x f(x)

18 10 Funções Diferenciáveis em que x = (x 1, x,..., x n ). Funções vectoriais: F : U R n R m x F (x) em que x = (x 1, x,..., x n ) e F (x) = (f 1 (x), f (x),..., f m (x)). Definição 1 As funções escalares f 1, f,..., f m dizem-se as funções componentes da função vectorial F. Vejamos alguns exemplos de funções de várias variáveis: Exemplo Exemplo 3 f : R \ {(0, 0)} R (x, y) x y x +y f : U R R (x, y) x ln y U = {(x, y) R : y > 0} é o domínio de f. Exemplo 4 F : R \ {(0, 0)} ( R y (x, y) x +y, ) x x +y Exemplo 5 g : U R R (x, y) x 3x x y U = {(x, y) R : y x } é o domínio de g. Exemplo 6 Função distância à origem d : R 3 R (x, y, z) x + y + z Exemplo 7 Função Projecção sobre o eixo dos xx: p 1 : R 3 R (x, y, z) x

19 .1 Funções Escalares e Funções Vectoriais 11 Exemplo 8 Função Projecção sobre o eixo dos yy: p : R 3 R (x, y, z) y Exemplo 9 Função Projecção sobre o eixo dos zz: p 3 : R 3 R (x, y, z) z Exemplo 10 Função Projecção sobre o plano xy: Exercício 10 Considere a função, 1. Qual o domínio de f? p : R 3 R (x, y, z) (x, y) f : U R 3 R (x, y, z) ln (x/y) + ln (y/x). Represente U geometricamente. 3. Indique a sua fronteira, fr(u). 4. Diga se U é um aberto, fechado, limitado, conexo, convexo ou compacto. Exemplo 11 O contradomínio da função, F : R R t (sin t, cos t) é o subconjunto de C R definido por C = { (x, y) R : x + y = 1 } que como sabemos define a circunferência de centro (0, 0) e raio 1. Esta função não é injectiva pois há objectos distintos com a mesma imagem, por exemplo, F (π) = F (3π) = (0, 1).

20 1 Funções Diferenciáveis Exemplo 1 O contradomínio da função, G : [ π, π[ R t (cos 3 t, sin 3 t) é o subconjunto de A R definido por { } A = (x, y) R : x 3 + y 3 = 1 representado pelo gráfico apresentado na figura.1 e que se designa por astróide. Será G uma função injectiva? Figura.1: Astróide, x 3 + y 3 = 1 Definição 13 Uma função vectorial definida por F : U R n R n x F (x) diz-se um campo vectorial ou campo de vectores em U. As funções vectoriais permitem criar modelos matemáticos para problemas reais. Vejamos alguns exemplos:

21 . Geometria das Funções Escalares 13 Exemplo 13 Consideremos uma massa M, posicionada em (0,0,0). Seja r = (x, y, z) o vector posição não nulo, de uma partícula de massa m << M. De acordo com a lei de gravitação de Newton a força de atracção exercida sobre a massa m é dada por F : R 3 \ {(0, 0, 0)} R 3 r GMm r r 3 em que G = N m kg. F diz-se o campo de forças gravítico. Exemplo 14 O potencial gravítico é a função escalar f : R 3 \ {(0, 0, 0)} R r GMm r Exemplo 15 O movimento de um fluido num canal pode ser representado por uma função vectorial F : U R 3 R (x, y, t) F (x, y, t) em que F (x, y, t) representa a velocidade do fluido num ponto (x, y) do canal no instante t.. Geometria das Funções Escalares O gráfico de uma função real de variável real é, como sabemos, um subconjunto de R. Por exemplo, a figura seguinte mostra o gráfico das funções reais de variável real definidas por f(x) = sin(x) e g(x) = x x3 6 Definição 14 Seja f : U R n R uma função escalar. O conjunto Graf(f) = { (x, f(x)) R n+1 : x U } diz-se gráfico de f.

22 14 Funções Diferenciáveis Figura.: Gráfico de f : f(x) = sin x (linha) e de g : g(x) = x x3 6 (pontos) Exemplo 16 Consideremos a função O gráfico de f é o subconjunto de R 3 definido por f : R R (x, y) x + y (.1) Graf(f) = {( x, y, x + y ) : (x, y) R } Geometricamente, temos o parabolóide elíptico representado na figura.3 Definição 15 Seja f : U R n R uma função escalar e c um número real. O conjunto N c (f) = {x U : f(x) = c} diz-se conjunto de nível de valor c de f. Se n = os conjuntos de nível designam-se usualmente por curvas de nível. Se n = 3, os conjuntos de nível designam-se usualmente por superfícies de nível. Exemplo 17 Consideremos a função definida por.1. Para c < 0 os conjuntos de nível são conjuntos vazios. Para c = 0, N c (f) = {(0, 0)}. Para c>0 os conjuntos de nível são circunferências de centro (0, 0) e raio c, N c (f) = {x U : x + y = c}.

23 .3 Limites e Continuidade 15 Figura.3: Gráfico de f : f(x, y) = x + y Exemplo 18 Para a função f : R R (x, y) x y as curvas de nível de valor c são as curvas de equação x y = c. Para c = 0 o conjunto de nível é definido pelas rectas bissectrizes dos quadrantes e para c 0 por hipérboles, tal como a figura.4 ilustra. O gráfico desta função é o parabolóide hiperbólico representado na figura.5..3 Limites e Continuidade Como introdução, recordemos a noção de limite de uma função real de variável real num ponto. Consideremos a função definida por g(x) = { x + 10, x < 1 ln(x) + 10 x 1 (.) Analisemos, pelo esboço do gráfico de g, o comportamento da função numa vizinhança do ponto x = 1.

24 16 Funções Diferenciáveis Figura.4: Curvas de nível de f : f(x, y) = x y Figura.5: Gráfico de f : f(x, y) = x y

25 .3 Limites e Continuidade 17 Figura.6: Gráfico de f, descontínua em x = 1 Como facilmente verificamos, lim x 1 + f(x) = 11 e lim x 1 f(x) = 10. Pelo teorema da unicidade do limite, não existe lim x 1 f(x). A definição de limite para funções de várias variáveis é análoga à definição conhecida para funções de uma só variável. Definição 16 Seja f : U R n R uma função escalar, a um ponto de acumulação de U e l R. Dizemos que f tem limite l quando x se aproxima de a R n, se e só se para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que x U 0 < x a < δ f(x) l < ε. Por outras palavras, dada uma tolerância ε em torno de l, é possível encontrar uma bola aberta de centro a, B(a, δ), tal que, para todo x a e x B(a, δ) o valor correspondente de f(x) situa-se no intervalo de tolerância ]l ε, l + ε[. Observe-se que na definição a condição 0 < x a garante que x a. Dizer que existe lim x a f(x) significa que os valores f(x) estão tão próximo de l quanto se queira desde que x a esteja suficientemente perto de a.

26 18 Funções Diferenciáveis Exemplo 19 Consideremos a função projecção sobre o i-ésimo eixo, p i : R n R (x 1, x,..., x n ) x i Vejamos que lim x a p i (x) = a i. Seja ε > 0 qualquer. Observe-se que x a = (x 1 a 1 ) (x i a i ) (x n a n ) (x i a i ) = x i a i Portanto x a < ε x i a i < ε,o que permite concluir que ε > 0 δ = ε : 0 < x a < δ x i a i < ε provando que o limite da função projecção p i quando x tende para a é a i. Note-se que o valor de lim x a f(x) é independente do que acontece no ponto a. A função pode mesmo não estar definida no ponto a. Apesar disso é legítimo questionar sobre o comportamento da função numa vizinhança desse ponto. Vejamos um exemplo: Exemplo 0 Consideremos a função, f : U R (x, y) 3x y x +y em que o domínio é U = R \ {(0, 0)}. Vamos mostrar que lim f(x, y) = 0 (x,y) (0,0) Seja ε > 0 qualquer. Observe-se que x x + y. Para (x, y) (0, 0), 3x y x + y 0 = 3 y x x + y 3 y 3 x + y. Portanto 0 < (x, y) (0, 0) = x + y < ε 3 f(x) 0 = 3x y x + y 0 < ε, o que permite concluir que ε > 0 δ = ε 3 : (x, y) U 0 < (x, y) < δ 3x y x + y < ε, provando que o limite da função dada quando (x, y) tende para (0, 0) é 0.

27 .3 Limites e Continuidade 19 Definição 17 Sejam L = (l 1, l,..., l m ) R m, a um ponto de acumulação de U, x = (x 1, x,..., x n ) e F : U R n R m x (f 1 (x), f (x),..., f m (x)) (.3) Dizemos que lim x a F (x) = L se e só se lim x a f i (x) = l i, para toda a função componente f i, i = 1,..., m. Podemos definir lim x a F (x) de outro modo dizendo que lim x a F (x) = L se e só se ε > 0 δ : x U, 0 < x a R n < δ F (x) L R m < ε. (.4) Exercício 11 Mostre que a equivalência entre as duas definições apresentadas na definição 17. Sugestão: Observe que se A = (a 1, a,..., a n ) então a i A (max a i ) n. No estudo da função. evocámos o teorema da unicidade do limite que continua a ser válido para funções vectoriais ou escalares de várias variáveis: Teorema Seja L, M R m, a um ponto de acumulação de U e F : U R n R m. Se existe lim x a F (x) e lim x a F (x) = L e lim x a F (x) = M então L = M. Demonstração: Seja ε > 0 qualquer. Admitamos, por redução ao absurdo, que L M. Como por hipótese lim x a F (x) = L existe γ > 0 tal que x U, 0 < x a < γ F (x) L < ε Por outro lado, como lim x a F (x) = M existe δ > 0 tal que x U, 0 < x a < δ F (x) M < ε Seja então η = min(γ, δ). Uma vez que L M = F (x) L (F (x) M) F (x) L + F (x) M < ε segue-se que ε > 0 L M < ε

28 0 Funções Diferenciáveis Então, se por exemplo, escolhermos ε = L M, obtemos L M < L M o que é absurdo. O absurdo resultou de termos suposto que L M. Logo L = M. cqd Vejamos como este teorema pode ser usado para o estudo de limite de funções de várias variáveis. Salientemos ainda que quando investigámos a existência de limite nesse exemplo usámos a noção de limite à esquerda e limite à direita em vez da definição de limite. Para o caso de, por exemplo, funções escalares de duas variáveis facilmente constatamos a impossibilidade de investigar todos os modos possíveis de nos aproximarmos de um ponto. Daí a necessidade de se introduzir a noção de limite de uma função num ponto numa restrição ao domínio da função. Exemplo 1 Consideremos a função, f : R \ {(0, 0)} R (x, y) xy x +y e procuremos investigar a existência de lim (x,y) (0,0) f(x, y). Para tal analisemos o gráfico de f. Consideremos o subconjunto S de R \ {(0, 0)}, definido por S = { (x, y) R \ {(0, 0)} : x = y }. Averiguemos se existe limite de f quando (x, y) tende para (0, 0) e (x, y) S. Ora se (x, y) S, f (x, y) = f(x, x) = x = 1. Então x lim f(x, y) = 1 (x,y) (0,0),(x,y) S. Por análise do gráfico de f facilmente se verifica que se considerarmos o subconjunto T de R \ {(0, 0)}, definido por T = { (x, y) R \ {(0, 0)} : x = y } E, estudando a existência de limite de f quando (x, y) tende para (0, 0) e (x, y) T, tem-se, lim (x,y) (0,0),(x,y) T f(x, y) = 1. lim f(x, y) lim f(x, y) (x,y) (0,0),(x,y) S (x,y) (0,0),(x,y) T e, pelo teorema da unicidade do limite concluímos que não existe lim f(x, y). (x,y) (0,0)

29 .3 Limites e Continuidade 1 Figura.7: Gráfico de f : f(x, y) = xy x +y Proposição 3 Sejam f, g, l : U R n R, a um ponto de acumulação de U, tais que, f (x) = g(x)l(x) (.5) então lim x a f(x) = 0. lim g(x) = 0 (.6) x a M R + δ > 0 : l(x) < M, x B(a, δ) U (.7) Demonstração: Seja ε > 0 qualquer e ε = ε M para este ε, > 0. Por hipótese.6, δ : x U 0 < x a < δ g(x) 0 < ε M. Observemos que pelos hipóteses.5 e.7 f(x) 0 = f(x) = g(x)l(x) M g(x), x B(a, δ) U Logo f(x) 0 < M ε M = ε desde que 0 < x a < min(δ, δ ), o que prova que lim x a f(x) = 0. cqd

30 Funções Diferenciáveis Proposição 4 Sejam f, g, h : U R n R, a um ponto de acumulação de U e l, l 1, l R. Então lim f(x) = l lim f(x) l = 0. (.8) x a x a Se f(x) h(x) g(x), x B(a, δ) U e além disso lim x a f(x) = l e lim x a g(x) = l então lim h(x) = l (.9) x a Se lim x a f(x) = l 1 e lim x a g(x) = l então lim (f(x) + g(x)) = l 1 + l (.10) x a Se lim x a f(x) = l 1 e lim x a g(x) = l então lim (f(x)g(x)) = l 1l (.11) x a Se lim x a f(x) = l 1 e g(x) 0, x U e lim x a g(x) = l 0 então lim x a ( ) f(x) = l 1 /l (.1) g(x) Definição 18 Seja f : U R n R, a U. Dizemos que f em a U se e só se lim f(x) = f(a). x a ou seja, é contínua ε > 0 δ : x U, x a < δ f(x) f(a) < ε. Dizemos que f é contínua em U se e só se f é contínua em todos os pontos de U. Seja F : U R n R m, a U. Dizemos que F é contínua em a U se e só se lim x a f i(x) = f i (a), f i, i = 1,..., m. Dizemos que F é contínua em U se e só se F é contínua em todos os pontos de U.

31 .3 Limites e Continuidade 3 Exemplo A função projecção definida e estudada no exemplo 19 é contínua em R n. De facto seja a R n um ponto qualquer. Ora por definição da função p i p i (a 1, a,..., a n ) = a i Por outro lado, no exemplo 19, vimos que lim x a p i(x) = a i Logo, lim p i(x) = p i (a) x a o que mostra que p i é contínua em a. Teorema 3 Sejam F : D F R n R m, contínua em a D F e G : D G R m R p, contínua em b = F (a) D G. Admita-se que F (D F ) D G. Então a função composta G F é contínua em a D F. Demonstração: Seja ε > 0 qualquer. Por hipótese G é contínua em b, logo δ : y D G, y b < δ G(y) G(b) < ε. como F é contínua em a, para este δ existe γ > 0 tal que Logo x a < γ F (x) F (a) < δ y b < δ ε > 0 γ > 0 : x D F, x a < γ G(F (x)) G(F (a)) < ε o que significa que G F é contínua em a D F. cqd Proposição 5 Seja f, g : U R n R funções contínuas em a U. Seja α R. Então são contínuas em a U as funções definidas por (f + g) (x) = f(x) + g(x) (.13) (fg) (x) = f(x)g(x) (.14) (αf) (x) = αf(x) (.15) (f/g) (x) = f(x), g(x) 0, x U (.16) g(x)

32 4 Funções Diferenciáveis Demonstração: Para demonstrar qualquer destas proposições basta recorrer à definição de continuidade num ponto e às propriedades dos limites. Por exemplo, para demonstrar.14 basta usar a propriedade.10 da proposição 4 e a definição de continuidade num ponto lim (fg) (x) = lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x) = f(a)g(a) = (fg)(a) x a x a x a x a cqd Exemplo 3 Consideremos a função estudada no exemplo 0 f : U R (x, y) 3x y x +y O domínio de f é U = R \ {(0, 0)}. Pela propriedade.16 do teorema 5 podemos justificar a continuidade de f em U. De facto, f é o quociente de duas funções contínuas, não se anulando a função denominador em U. A função definida por h(x, y) = 3x y é contínua pois é o produto de funções continuas, a função constante c(x, y) = 3 e as funções projecção p 1 e p, definidas em R. A função denominador, d(x, y) = x + y, não se anula em U e é contínua pois é a soma de duas funções contínuas, os quadrados das funções projecção p 1 e p. Como vimos no exemplo 0 esta função não está definida na origem mas provámos que o limite da função quando (x, y) tende para (0, 0) é 0. Isto significa que é possível definir um prolongamento contínuo de f a R, bastando para isso considerar uma nova função, g : R R, tal que g(0, 0) = lim (x,y) (0,0) g(x, y), ou seja, { f(x, y), (x, y) (0, 0) g(x, y) = 0 (x, y) = (0, 0) A função g assim definida é contínua em R. Exercício 1 Defina, se possível, um prolongamento contínuo das seguintes funções a R h : R \ {(0, 0)} R (.17) (x, y) xy x +y 4 f : R \ {(0, 0)} R (x, y) x y x +y 4 g : R \ {(0, 0)} R (x, y) sin(x +y ) x +y

33 .4 Diferenciação 5.4 Diferenciação Usando limites e continuidade podemos descrever algumas propriedades de uma função. Para obter mais informação usamos um outro conceito, o conceito de derivada. Isto já sucedia com as funções reais de variável real. Por exemplo, consideremos a função definida por f(x) = e x. A informação relativa à continuidade diz-nos que é possível traçar o seu gráfico sem levantar o lápis do papel! A informação proveniente dos limites diz-nos que y = 0 é a sua assimptota horizontal! Com o auxílio da sua derivada a função, f (x) = xe x, podemos dizer que é crescente para x > 0 e decrescente para x < 0. Além disso podemos descrever como varia f. Observando que f ( ) 0, 07 e que f ( 0, 5) 0, 78 podemos afirmar que f cresce mais depressa para valores de x perto de -0,5 do que para valores de x perto de -. Dada uma função f definida num aberto A R n vamos analisar a variação de f numa vizinhança de a A, ao longo de uma dada direcção orientada definida pelo versor v. Consideremos então S = {x A : x = a + hv}. Dizemos que estamos a estudar a derivada direccional de f no ponto a segundo a direcção do versor v. Definição 19 Seja f : A R n R, A um aberto de R n e a A. Se existir limite, o número real definido por f(a + hv) f(a) lim h 0 h diz-se derivada direccional de f no ponto a segundo a direcção do versor v e denota-se f v(a). Nesta definição usamos vectores unitários para ser possível comparar o comportamento de f quando x varia ao segundo direcções distintas. Se a direcção segundo a qual se pretende calcular a derivada direccional for dada por um vector não unitário, u, é necessário normalizá-lo fazendo v = u u. Exemplo 4 Calcule f u(0, 0) sendo u = (1, 1) e f : R R tal que f(x, y) = { xy x +y 4, (x, y) (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0)

34 6 Funções Diferenciáveis Normalizando u obtemos v = u u = (, f v(0, f((0, 0) + h( 0) = lim h 0 ). Então, h )) f((0, 0)) = lim ( ) ( ( ) ) h h h 0 h 3 ( ) 3 = lim h 0 ( ) = 1 + h Observe-se que em.17 verificámos que não existia lim (x,y) (0,0) xy x + y 4 Isto permite concluir que f não é contínua em (0, 0). Esta função é pois um exemplo de uma função não contínua num ponto mas que tem derivada segundo v nesse ponto. Definição 0 Seja f : A R n R, A um aberto de R n e a A. Seja e i um dos vectores da base canónica de R n. Então, se existir, a derivada direccional de f no ponto a segundo a direcção e i, denota-se por f x i (a) e designa-se a i-ésima derivada parcial de f, isto é, f f(a + he i ) f(a) (a) = lim x i h 0 h Exemplo 5 Seja f : R 3 R, tal que f(x, y, z) = x + y + z. Calculemos (x, y, z). f f z f(x, y, z + h) f(x, y, z) (x, y, z) = lim z h 0 h = lim h 0 x + y + (z + h) (x + y + z ) h (z + h) z = lim h 0 h = lim h 0 zh + h h = lim h 0 (z + h) = z (.18)

35 .4 Diferenciação 7 Como facilmente se observa, o resultado obtido é o mesmo que se obtém considerando as variáveis x e y como constantes e derivando f como se z fosse a única variável. Esta é uma regra prática que podemos adoptar. Exemplo 6 Seja Se (x, y) (0, 0) então No ponto (0, 0), f : R R (x, y) 3 x 4 + y 4 f 4x3 ( (x, y) = x 4 + y 4) /3 x 3 f f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) = lim x h 0 h = lim h 0 3 h4 0 h = lim h 0 3 h = 0 Portanto podemos definir uma nova função, f : x R R tal que { f 4x 3 (x, y) = 3 (x4 + y 4 ) /3, (x, y) (0, 0) x 0, (x, y) = (0, 0) Exercício 13 Defina a função f y. Exemplo 7 A função f : R R { xy, (x, y) (0, 0) f(x, y) = x +y 0, (x, y) = (0, 0) não é contínua na origem pois como vimos no exemplo 1 não existe lim (x,y) (0,0) xy x + y No entanto existem as derivadas parciais na origem pois, e f f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) = lim x h 0 h f f(0, 0 + h) f(0, 0) (0, 0) = lim y h 0 h = lim h h = lim h h = 0 = 0

36 8 Funções Diferenciáveis Na teoria das funções reais de variável real sabemos que uma função derivável é contínua. Se para funções de várias variáveis um teorema semelhante for válido então esta função não é derivável na origem. Este exemplo mostra que possuir derivadas parciais num ponto não basta para a função ser derivável nesse ponto. Vamos procurar agora definir derivada de uma função num ponto. Para uma função real de variável real a derivada de uma função num ponto representa o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto (x, y). Por exemplo se f for a função definida por f(x) = x + 5, a recta tangente ao seu gráfico em x = tem declive 4 e fica definida por y = 4x + 1. Na figura.8 podemos verificar que numa vizinhança do ponto (, f()) o gráfico da função definida por y = 4x + 1 se confunde com o gráfico de f. Figura.8: Gráfico de f e da recta tangente no ponto (, f()) A questão que se nos coloca é a de generalizar a definição de derivada num ponto para funções escalares e para funções vectoriais. Recordemos

37 .4 Diferenciação 9 que f : I R R, I um aberto de R, é derivável em a R se e só se existe o número real f (a) tal que f (a) = lim x a f(x) f(a) x a Reescrevamos a definição de modo a que ela se possa aplicar a uma função de várias variáveis. Usando as propriedades dos limites, f f(x) f(a) (a) = lim lim f(x) f(a) x a x a x a f (a) x a = 0 mas, f(x) f(a) x a f (a) = f(x) f(a) f (a) (x a) x a Assim a nova definição de derivada de f no ponto a tem o seguinte enunciado: Definição 1 Seja f : I R R, I um aberto de R. f é derivável em a I se e só se existe o número real f (a) tal que f(x) f(a) f (a) (x a) lim x a x a = 0 (.19) Seja l a função definida por l(x) = f(a) + f (a) (x a). O gráfico de l é a recta tangente ao gráfico de f em (a, f(a)). Então.19 significa que, perto de a, l está suficientemente próximo de f, no sentido de que f(x) l(x) tende mais depressa para 0 do que x a, quando x tende para a. Considerando a definição de derivada de uma função real de variável num ponto dada por.19 vejamos como é possível generalizá-la a funções de duas variáveis. Definição Seja f : A R R, A um aberto de R. Dizemos que f é derivável em a = (x 0, y 0 ) A se e só se existem f (x x 0, y 0 ) e f (x y 0, y 0 ) e além disso f(x, y) z(x, y) lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) = 0 (.0) onde z(x, y) = f(x 0, y 0 ) + [ f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) ] [ x x 0 y y 0 ]

38 30 Funções Diferenciáveis Definição 3 Seja f : A R R, A um aberto de R, uma função derivável em a = (x 0, y 0 ) A. O plano em R 3 definido por [ ] [ ] f f z = f(x 0, y 0 ) + x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) (.1) designa-se por plano tangente ao gráfico de f em (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Observe-se que afirmar.0 significa que, perto de (x 0, y 0 ), z definido por.1 está suficientemente próximo de f, no sentido de que f(x, y) z(x, y) tende mais depressa para 0 do que (x, y) (x 0, y 0 ), quando (x, y) tende para (x 0, y 0 ). Exemplo 8 Consideremos a função f : R R (x, y) x + y Vejamos que f é derivável no ponto (1, 1 ). De facto, existem as derivadas parciais de f neste ponto, f x (1, 1 ) = f y (1, 1 ) = 1 e x + y 5 lim 4 (x,y) (1, 1 ) (x 1) + ( ) = 0 y 1 Para verificar que este limite é zero basta simplificar o numerador, x + y 5 4 (x 1) 1(y 1 ) = x + y x y = (x 1) + (y 1 ) e portanto lim (x,y) (1, 1 ) = lim (x,y) (1, 1 ) x + y 5 (x 1) 1(y 1) 4 (x 1) + ( ) y 1 (x 1) + ( y 1 ) = 0

39 .4 Diferenciação 31 o que mostra que f é derivável em (1, 1 ). Então podemos definir o plano tangente ao gráfico de f em a = (1, 1, 5 ), como o plano de equação 4 z = (x 1) + 1(y 1 ) ou seja, z = 5 + x + y tal como a figura ilustra. 4 Figura.9: Gráfico de f e do plano tangente em (a, f(a)) Vamos designar por Df(x 0, y 0 ) a matriz das derivadas parciais, a matriz linha [ ] Df(x 0, y 0 ) = f (x f x 0, y 0 ) (x y 0, y 0 ) Então, a definição.0 garante que [ ] x x0 f(x 0, y 0 ) + Df(x 0, y 0 ) y y 0 (.)

40 3 Funções Diferenciáveis é uma boa aproximação de f perto de (x 0, y 0 ). Mais uma vez realcemos que boa aproximação significa que. difere de f por uma quantidade inferior a (x, y) (x 0, y 0 ). Dizemos que. é a melhor aproximação linear de f perto de (x 0, y 0 ). Estamos agora em condições de introduzir a definição de derivada num ponto para funções F : A R n R m, A um aberto de R n. Caso exista, a derivada DF (a) de F = (f 1, f,..., f m ) em a A é a transformação linear definida pela matriz T,tal que t ij = f i x j (a). matriz essa que se designa por matriz das derivadas parciais de F em a ou matriz jacobiana F em a. Definição 4 Seja A um aberto de R n e F : A R n R m. Dizemos que F é derivável (ou diferenciável) em a A se e só se existem as derivadas parciais de F em a e F (x) F (a) J (x a) lim R m x a x a R n = 0 (.3) onde J = DF (a) é a matriz das derivadas parciais de F em a que também se designa por matriz jacobiana F em a. A transformação linear definida por J diz-se derivada de F em a. Exemplo 9 Vejamos que a função f : R R { xy, (x, y) (0, 0) f(x, y) = x +y 0, (x, y) = (0, 0) não é derivável na origem. Vimos no exemplo 7 que no entanto lim (x,y) (0,0) = lim (x,y) (0,0) f f (0, 0) = (0, 0) = 0 x y f(x, y) f(0, 0) [ 0 0 ] [ x 0 y 0 xy x +y x + y (x, y) (0, 0) R ] R

41 .4 Diferenciação 33 não existe. Para concluirmos a não existência deste limite consideremos a restrição definida por U = {(x, y) R \ {(0, 0)} : y = 0}. Então lim (x,y) (0,0),(x,y) U xy x +y x + y = lim x 0 0 x x = 0 o que significa que a existir limite será 0. Seja agora S = { (x, y) R \ {(0, 0)} : x = y } Então lim (x,y) (0,0),(x,y) S xy x +y x + y = lim x 0 1 x = + Pelo teorema da unicidade do limite podemos concluir que não existe L e portanto f não é derivável na origem. Exemplo 30 Calcular a matriz das derivadas parciais da função G : R + 0 [0, π] R (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) [ cos θ ρ sin θ A matriz das derivadas parciais da função G é a matriz DG (ρ, θ) = sin θ ρ cos θ ]. Definição 5 Dizemos que uma função f é derivável (ou diferenciável) se e só se f for derivável em todos os pontos do seu domínio. Definição 6 Seja f : A R n R, A um aberto de R n, uma função derivável em a A. O vector definido por ( f f(a) = (a), f (a),..., f ) (a) x 1 x x n designa-se por vector gradiente de f em a. Definição 7 Seja f : A R R, A um aberto de R, uma função derivável em a = (x 0, y 0 ) A. O plano em R 3 definido por z = f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) designa-se por plano tangente ao gráfico de f em (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )).

42 34 Funções Diferenciáveis Exemplo 31 Seja x = (x 1, x,..., x i,..., x n ). A função projecção p i : R n R (x 1, x,..., x i,..., x n ) x i é derivável em a = (a 1, a,..., a i,..., a n ) R n. De facto, p i (a) = a i e p i x i = 1 = 0, j i. Logo p i (a) = e i. Vejamos que se verifica.3. Seja e p i x j L = lim x a p i (x) p i (a) J (x a) R x a R n L = lim x a Então p i é derivável em R n. x i a i e i. (x a) (x 1 a 1 ) (x n a n ) x i a i (x i a i ) = lim = 0 x a (x 1 a 1 ) (x n a n ) Exemplo 3 A função f : R R, definida por f(x, y) = x +y é derivável na origem. De facto, f(0, 0) = 0, f f (0, 0) = 0 e = (0, 0) = 1. Averiguemos x y agora L = 0, sendo L o limite, f(x, y) f(0, 0) [ 0 1 ] [ ] x 0 y 0 R L = lim (x,y) (0,0) (x, y) (0, 0) R x + y y = lim (x,y) (0,0) x + y Ora L = lim (x,y) (0,0) x x x + y = lim (x,y) (0,0) x x + y x = 0 pois 0 x x 1 e x 0, quando (x, y) tende para (0, 0). Então f é +y derivável na origem e Df(0, 0) = [ 0 1 ], isto é a derivada de f em (0, 0) é a aplicação linear definida pela matriz linha [ 0 1 ], Df(0, 0) : R R (x, y) y O plano definido por z = y é o plano tangente ao gráfico de f em (0, 0, 0).

43 .5 Propriedades da Derivada 35.5 Propriedades da Derivada Teorema 4 Seja A um aberto de R n, F, G : A R n R m funções deriváveis em a A. Então a função F + G é derivável em a A e D (F + G) (a) = DF (a) + DG(a) (.4) Seja α R, então αf é derivável em a A e D (αf ) (a) = αdf (a) (.5) Seja A um aberto de R n, f, g : A R n R funções deriváveis em a A. Então a função fg é derivável em a A e D (fg) (a) = g(a)df(a) + f(a)dg(a) (.6) Seja A um aberto de R n, f, g : A R n R, funções deriváveis em a A e tal que g(a) 0. Então a função f é derivável em a A e g D ( ) f (a) = g g(a)df(a) f(a)dg(a) (g(a)) (.7) Exemplo 33 Mostrar que a função f : R R definida por f(x, y) = xy é derivável em R. A função f é o produto das funções projecção e p 1 : R R (x, y) x p : R R (x, y) y Como demonstrámos no exemplo 31 estas funções são deriváveis em R. Sabemos que Dp 1 (x, y) = [ 1 0 ] Dp (x, y) = [ 0 1 ] Aplicando agora.6, podemos afirmar que f é derivável e Df(x, y) = p (x, y) [ 1 0 ] + p 1 (x, y) [ 0 1 ] = y [ 1 0 ] + x [ 0 1 ] = [ y x ]

44 36 Funções Diferenciáveis Exemplo 34 Mostrar que a função f : R R { xy x y, (x, y) (0, 0) f(x, y) = x +y 0, (x, y) = (0, 0) é derivável. Se (x, y) (0, 0), f = h é o quociente de duas funções deriváveis, não se anulando a função denominador, logo pela propriedade.7 g do teorema 4 f é derivável. De facto, h : R R definida por h(x, y) = xy ( x y ) é derivável porque é a soma (algébrica) de produtos das duas funções projecção que já sabemos serem funções deriváveis. Pelas propriedades.4 e.6 podemos garantir que h é derivável. Quanto a g : R \ {(0, 0)} R definida por g(x, y) = x + y temos que g(x, y) 0, (x, y) R \ {(0, 0)} é a soma dos quadrados das funções projecção e portanto pelo teorema 4 é uma função derivável em R \ {(0, 0)}. Vejamos agora se f é derivável na origem. Ora e f f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) = lim x h 0 h f f(0, 0 + h) f(0, 0) (0, 0) = lim y h 0 h = lim h h = lim h h Portanto f é derivável na origem se e só se f(x, y) f(0, 0) [ 0 0 ] [ ] x 0 y 0 L = lim (x,y) (0,0) (x, y) (0, 0) R = 0 = 0 R = 0 Ora Observando que L = lim (x,y) (0,0) xy (x y ) (x + y ) x + y xy (x y ) (x + y ) x + y x y x (x + y ) x + y + x y y (x + y ) x + y

45 .5 Propriedades da Derivada 37 e que segue-se que Logo, temos que ε > 0 δ = ε x (x + y ) y 1 (x + y ) 1 y x + y 1 xy (x y ) (x + y ) x (x, y) x + y tal que 0 < (x, y) < δ xy (x y ) (x + y ) x + y < ε ou seja L = 0. Portanto f é derivável na origem. Logo f é derivável. Exemplo 35 Definir o plano tangente à superfície, z = x + y 3 no ponto (3, 1, 10). A superfície dada é o gráfico da função f : R R definida por f(x, y) = x + y 3 Atendendo às propriedades das derivadas podemos afirmar que f é derivável em R. De facto f = (p 1 ) 3 +(p ) 3, isto é f é soma de duas funções deriváveis logo derivável. (p 1 ) e (p ) 3 são funções deriváveis pois resultam do produto de funções deriváveis - as funções projecção p 1 e p. Por outro lado, f(3, 1) = 10, f f (3, 1) = 6 e = (3, 1) = 3. Logo o plano tangente à superfície, z = x y x + y 3 no ponto (3, 1, 10) fica definido por isto é, z = 6x + 3y 11. z = 10 + (6, 3) (x 3, y 1) Teorema 5 Seja A um aberto de R n, F : A R n R m uma função derivável em a A e G : B R m R p uma função derivável em F (a) B, B um aberto de R m tal que F (A) B. Então a função G F é derivável em a A e além disso D (G F ) (a) = DG(F (a))df (a)

46 38 Funções Diferenciáveis Exemplo 36 Seja F : R R 3, tal que F (x, y) = ( e x y, x, sin(x + y) ) e G : R 3 R, tal que G(u, v, w) = ( v, u + w ) Uma vez que F e G são funções deriváveis, calculemos D (G F ) (π, 0). Pela regra da derivada da função composta também designada por regra da cadeia, D (G F ) (π, 0) = DG(F (π, 0)).DF (π, 0) Ora, F (π, 0) = (e π, π, 0), e segue-se que DF (π, 0) = DG (e π, π, 0) = D (G F ) (π, 0) = Exemplo 37 Seja f : R R, tal que e C : R R, tal que = e π e π [ 0 π [ ] e π e π 0 π [ ] π 0 e π 1 e π 1 f(x, y) = x + y 3 C(t) = (sin(t), cos(t)) Calculemos D (f C) (0). Ora C(0) = (0, 1) e [ ] 1 DC(0) = 0 ]

47 .5 Propriedades da Derivada 39 Df(0, 1) = [ 0 3 ] pelo que, uma vez que f e C são funções deriváveis, D (f C) (0) = [ 0 3 ] [ ] 1 = [0] 0 Observe-se que f C é a função real de variável real definida por (f C) (t) = f (sin(t), cos(t)) = (sin(t)) + (cos(t)) 3 e portanto (f C) (0) = 0. Exemplo 38 Sejam f : R 3 R e C : R R 3 funções deriváveis, sendo C tal que C(t) = (x(t), y(t), z(t)) Calculemos D (f C) (t). Ora Df(C(t)) é a matriz linha, Df(C(t)) = [ f x C(t) f y C(t) ] f z C(t) e DC(t) é a matriz coluna, DC(t) = x (t) y (t) z (t) Logo D (f C) (t) = [ f x c(t) f y c(t) f z c(t) ] x (t) y (t) z (t) Observe-se que g = f C é uma função real de variável real. Portanto g (t) = f C(t) x (t) + f C(t) y (t) + f C(t) z (t) x y z Exemplo 39 Consideremos o caso mais geral em que f : R 3 R e G : R 3 R 3 são funções deriváveis. Admitamos que f = f(u, v, w) e que G(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))

48 40 Funções Diferenciáveis Então a função escalar h = f G é também derivável e (Dh) (x, y, z) = [ h x h y h z ] (x,y,z) Pode ser calculada usando a regra da cadeia, D (f G) (t) = [ f u f v f w ] G(x,y,z) u x v x w x u y v y w y u z v z w z (x,y,z) Ou seja, h x (x,y,z) = f u + f v u G(x,y,z) x (x,y,z) v G(x,y,z) x (x,y,z) + f w w G(x,y,z) x (x,y,z) h = f u + f v y (x,y,z) u G(x,y,z) y (x,y,z) v G(x,y,z) y (x,y,z) + f w w G(x,y,z) y (x,y,z) h z (x,y,z) = f u + f v u G(x,y,z) x (x,y,z) v G(x,y,z) z (x,y,z) + f w w G(x,y,z) z (x,y,z) Lema 1 Seja A um aberto de R n e F : A R n R m uma função derivável em a A. Então para x a, x pertencente a uma vizinhança de a, F (x) F (a) (1 + DF (a) ) x a Demonstração: Por hipótese F é derivável em a A, logo por definição F (x) F (a) DF (a) (x a) lim x a x a = 0

49 .5 Propriedades da Derivada 41 o que significa que ε > 0 δ > 0 : 0 < x a < δ Seja então ε = 1. Existe δ > 0 tal que F (x) F (a) DF (a) (x a) x a < ε F (x) F (a) DF (a) (x a) < x a (.8) desde que 0 < x a < δ. Por outro lado F (x) F (a) = F (x) F (a) DF (a) (x a) + DF (a) (x a) e usando a desigualdade triangular, F (x) F (a) F (x) F (a) DF (a) (x a) Usando agora a propriedade da norma matricial + DF (a) (x a) (.9) DF (a) (x a) DF (a) x a (.30) e combinando.8 com.9 e.30 obtemos o que mostra que F (x) F (a) x a + DF (a) x a F (x) F (a) (1 + DF (a) ) x a para x pertencente à vizinhança δ de a. cqd Teorema 6 Seja A um aberto de R n e F : A R n R m uma função derivável em a A. Então F é contínua em a. Demonstração: Seja ε > 0 qualquer. Pelo Lema 1, F (x) F (a) (1 + DF (a) ) x a desde que 0 < x a < δ. Então existe δ ε = min(δ, ) > 0 tal que 1+ DF (a) 0 < x a < δ implica ε F (x) F (a) (1 + DF (a) ) 1 + DF (a) < ε o que prova que lim F (x) = F (a) x a ou seja, F é contínua em a. cqd

50 4 Funções Diferenciáveis Teorema 7 Seja A um aberto de R n, f : A R n R, e a A. Se existem as derivadas parciais de f numa vizinhança de a e se as derivadas parciais forem funções contínuas em a então f é derivável em a. Definição 8 Seja A um aberto de R n, f : A R n R. Se f for contínua em A, f diz-se uma função de classe C 0. Se f é uma função de classe C 0 e além disso existem e são contínuas as derivadas parciais de f, então f diz-se uma função de classe C 1. Os resultados sobre a diferenciabilidade de uma função num ponto podem ser resumidos no seguinte esquema: f de classe C 1 f derivável = existem derivadas parciais de f f contínua.6 Propriedades do Gradiente Teorema 8 Seja A um aberto de R n, f : A R n R e u um versor de R n. Se f for derivável em a A então f u(a) = f(a) u Demonstração: Seja s : R R n a função derivável em R definida por s(t) = a + tu Consideremos a função composta g = f s definida por g(t) = f(s(t)) Uma vez que s(0) = a e f é derivável em s(0) = a e s derivável em 0, pelo teorema da derivada da função composta, g é derivável em 0. Além disso, e como s (0) = u, segue-se que Dg(t) = Df(s(t)).Ds(t) g (0) = f(a) u (.31)

51 .6 Propriedades do Gradiente 43 Por outro lado a definição de derivada num ponto segundo um vector é f u(a) = lim h 0 f(a + hu) + f(a) h e atendendo à definição de derivada num ponto de uma função real de variável real f u(a) = lim h 0 f(s(h)) + f(s(0)) h Por.31 e.3 temos cqd = lim h 0 g(h) + g(0) h f u(a) = f(a) u Exemplo 40 Averiguar se a função f : R R { xy, (x, y) (0, 0) f(x, y) = x +y 4 0, (x, y) = (0, 0) é diferenciável na origem Consideremos o versor u = ( f u(0, 0). Ora, f u(a) = lim h 0 f ((0, 0) + hu) + f(0, 0) h 1 = lim h 0 h As derivadas parciais de f na origem existem pois e f f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) = lim x h 0 h f f(0, 0 + h) f(0, 0) (0, 0) = lim y h 0 h = g (0) (.3), ) e calculemos h 3 1 h ( 1 + 1h) = 4 = lim h h = lim h h Então pelo teorema anterior se f fosse derivável na origem f u(a) = f(a) u. Ora ( ) = f u(a) (0, 0), = 0 Logo f não é derivável na origem, pelo que não é contínua na origem. Observe-se que no exercício 1 tinhamos verificado que não é possível definir um prolongamento contínuo à função definida por.17. = 0 = 0