1) Tomada de Decisão Sem Experimentação, e 2) Tomada de Decisão Com Experimentação.

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1 Análise de Decisão 1. Introdução A Análise de Decisão envolve o uso de processos racionais para selecionar a melhor alternativa dentre um conjunto de alternativas possíveis. Os processos de tomada de decisão podem ser divididos em duas principais categorias: 1) Tomada de Decisão Sem Experimentação, e 2) Tomada de Decisão Com Experimentação. Os problemas abaixo exemplificam algumas situações nas quais se faz necessário tomar alguma decisão: Uma indústria lança um novo produto no mercado. Qual será a reação dos clientes potenciais? Quanto deveria ser produzido? A aceitação do produto por parte do mercado deveria ser testada em uma pequena região antes de decidir sobre a distribuição total do produto? Quanto se deve investir em publicidade para lançar o produto? Uma concorrência pública será aberta. Qual será o custo do projeto? Quais as potencias companhias que poderiam concorrer? Uma firma agrícola necessita planejar para o próximo ano o uso de suas terras. Quantos hectares devem ser destinados a pastagens para criação de gado e quantos hectares devem ser destinados ao plantio de milho e soja? Estes exemplos são tipos de processos de tomada de decisão nos quais existe uma grande incerteza envolvida. Análise de Decisão fornece uma metodologia para tomar tais decisões de maneira racional. O exemplo protótipo abaixo será utilizado para ilustrar a metodologia envolvida. Exemplo Protótipo: a companhia GoferBroke possui terras que podem ter petróleo. Um levantamento geofísico determinou que existe 1 chance em 4 de realmente existir petróleo nestas terras. Por causa desta informação, outra companhia petrolífera quer comprar estas terras por $90.000,00. Entretanto, a GoferBroke sabe que o custo para perfurar um poço Notas de Aula - Fernando Nogueira 1

2 naquela região é $ ,00. Se for encontrado petróleo, o retorno esperado deverá ser de $ ,00. Descontando o custo da perfuração, o lucro então será de $ ,00. A tabela abaixo resume estas informações. Tabela 1 - Payoff para a companhia GoferBroke Estado Payoff Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco Perfurar $ ,00 $ ,00 Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 Chance 1 em 4 3 em 4 Qual a decisão que a companhia GoferBroke deve tomar: 1) vender a terra e ganhar $90.000,00 sem riscos ou 2) perfurar o poço a um custo de $ ,00 e obter um retorno de $ ,00, resultando em lucro de $ ,00 com um risco estimado em 75% (3 em 4)? 2. Tomada de Decisão Sem Experimentação Como se percebe no exemplo protótipo, existe uma informação referente à chance que existe em achar petróleo ou não. Esta informação pode ser convertida em uma medida de probabilidade. Com isso, pode-se dizer que existe uma probabilidade de 0.25 de encontrar petróleo e conseqüentemente, uma probabilidade de 0.75 de não encontrar petróleo. A estas probabilidades dá-se o nome de Probabilidades a Priori. Na terminologia de Análise de Decisão, os valores $ ,00, $ ,00, $90.000,00 e $90.000,00 da tabela 1 são denominados Payoffs e os nomes Poço com Petróleo e Poço Seco são denominados Estados da Natureza. Por Tomada de Decisão Sem Experimentação, entende-se que é de conhecimento apenas as Probabilidades a Priori e os Estados da Natureza. Neste tipo de tomada de decisão pode-se utilizar, entre outros, três critérios: 1. Critério de Maximin Payoff, 2. Critério de Máxima Verossimilhança, e 3. Critério da Regra de Bayes. 2.1 Critério de Maximin Payoff Neste critério, o problema de tomar uma decisão é vista como um Jogo (Teoria dos Jogos) entre o Tomador de Decisão (jogador A) e a Natureza (jogador B). Notas de Aula - Fernando Nogueira 2

3 Como a matriz de Payoff é geralmente formada para o Tomador de Decisão (os valores da matriz são os payoff para o jogador A), a decisão pode ser tomada baseada no Critério de Maximin Payoff. Critério de Maximin Payoff: para cada ação (estratégia), encontrar o mínimo payoff entre todos os Estados da Natureza e então encontrar o máximo destes payoff mínimos. Escolher a ação cujo mínimo payoff resultou neste máximo. No exemplo protótipo o Maximin é: Alternativa Estado Payoff Poço com Petróleo Poço Seco Mínimo em Linha Perfurar $ ,00 -$ ,00 $ ,00 Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 $90.000,00 Maximin Com isso, a decisão a ser tomada é vender a terra. 2.2 Critério de Máxima Verossimilhança Este critério assume como decisão a ser tomada a que for mais provável. Critério de Máxima Verossimilhança: identificar o Estado da Natureza mais provável (o com maior probabilidade). Para este Estado da Natureza, encontrar a ação com máximo payoff. Escolher esta ação. Aplicando este critério para o exemplo protótipo, indica que o Estado Poço Seco possui a maior probabilidade. Na coluna "Poço Seco", a alternativa "Vender a terra" possui o maior payoff. Estado Payoff Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco Perfurar $ ,00 $ ,00 Vender a terra $90.000,00 $90.000,00 Máximo Probabilidade à Prior Máximo Notas de Aula - Fernando Nogueira 3

4 Com isso, a ação a ser tomada, segundo este critério é vender a terra. O maior problema deste critério é que este ignora completamente muita informação relevante. Nenhum outro Estado da Natureza é considerado, a não ser o mais provável. 2.3 Critério da Regra de Bayes Thomas Bayes (*1702, Londres, Inglaterra; 1761 em Tunbridge Wells, Inglaterra). Regra de Decisão de Bayes: usando a melhor estimativa das probabilidades dos respectivos Estados da Natureza (as Probabilidades à Priori), calcular o valor esperado de payoff para cada alternativa possível. Escolher a alternativa com máximo payoff esperado. Para o exemplo protótipo, os payoff esperados E são calculados diretamente a partir da tabela 1 como: [ Payoff ( Perfurar) ] = 0.25* , * ( ,00) , 00 (1) [ Payoff ( Vender Terra) ] = 0.25* , * ( ,00) , 00 (2) E = E = Uma vez que $ ,00 é maior que $90.000,00 a ação a ser tomada, segundo este critério é perfurar o poço. Percebe-se que este critério resultou em uma ação diferente das ações obtidas segundo os dois critérios anteriores. A grande vantagem deste critério em relação aos demais é que este incorpora todas as informações disponíveis (Estados da Natureza e Probabilidades a Priori). A fim de verificar o efeito de possíveis imprecisões nas Probabilidades a Priori, pode-se realizar uma Análise de Sensibilidade. Notas de Aula - Fernando Nogueira 4

5 2.3.1 Análise de Sensibilidade para o Critério da Regra de Bayes A Análise de Sensibilidade para o Critério da Regra de Bayes é facilmente implementado através da generalização das expressões (1) e (2). Denominando p como a Probabilidade a Priori para poço com petróleo, a Probabilidade a Priori para poço seco é dada por 1-p, uma vez que a soma das probabilidades a Priori resulta em 1. Os payoff esperados (em milhares de $, para simplificação da notação) ficam: E [ Payoff ( Perfurar) ] = 700p 100( 1 p) = 800p 100 (3) [ Payoff ( Vender Terra) ] = 90p + 90( 1 p) 90 (4) E = A figura abaixo mostra em azul a reta dada pela expressão (3), em vermelho a reta dada pela expressão (4) e em verde a reta que divide a região onde a decisão deveria ser vender a terra (região à esquerda) da região onde a decisão deveria ser perfurar o poço (região à direita). 700 Analise de Sensibilidade para o exemplo GoferBroke Região onde a decisão deveria ser vender a terra Região onde a decisão deveria ser perfurar o poço Payoff Esperado Probabilidade a Priori para Poço com Petroleo Fig. 1 - Regiões de Decisão para o Critério da Regra de Bayes Para encontrar a Probabilidade a Priori (ponto no eixo x do gráfico da figura 1) onde a decisão a ser tomada muda (Crossover Point) faz-se: Notas de Aula - Fernando Nogueira 5

6 [ ( Perfurar) ] = E[ Payoff ( Vender Terra) ] E Payoff 190 p = = = 800p 100 = 90 (5) Com isso, pode-se concluir que se p>0.2375, a decisão deveria ser perfurar o poço e se p<0.2375, a decisão deveria ser vender a terra. Para outros problemas que possuem mais de que duas alternativas, o mesmo procedimento pode ser aplicado, a diferença é que vai haver mais retas (uma para cada alternativa). No entanto, a reta que estiver mais acima (no exemplo, reta azul acima da vermelha para a região onde p> e reta vermelha acima da azul para a região onde p<023.75) dentre as demais em uma região indica a decisão a ser tomada. Com mais que duas retas, poderá haver mais de um Crossover Point, onde a decisão muda de uma alternativa para outra. Para problemas com mais de dois Estados da Natureza, a metodologia mais direta é realizar a Análise de Sensibilidade sobre somente dois Estados de cada vez. 3. Tomada de Decisão Com Experimentação Freqüentemente, testes adicionais (experimentações) podem ser realizadas para melhorar as estimativas preliminares dos respectivos Estados da Natureza fornecidos pelas Probabilidades a Priori. Estas estimativas melhoradas são denominadas Probabilidades a Posteriori. Exemplo Protótipo com Experimentação: a companhia GoferBroke pode realizar um levantamento geofísico mais detalhado das suas terras para obter uma melhor estimativa da probabilidade de encontrar petróleo. O custo deste levantamento é $30.000,00. O levantamento geofísico obtém sondagens sísmicas que indicam se a estrutura geológica é favorável para a presença de petróleo. Assim, as possibilidades de encontrar petróleo podem ser divididas em duas categorias: USS: Sondagem Sísmica Desfavorável presença de petróleo na região é pouco provável; FSS: Sondagem Sísmica Favorável presença de petróleo na região é bastante provável. Baseado em experiências passadas, se existir petróleo, então a probabilidade de Sondagem Sísmica Desfavorável é: Notas de Aula - Fernando Nogueira 6

7 ( USS Estado petróleo) 0. 4 ( FSS Estado petróleo) = P = =, e (6) P = = (7) Similarmente, se não há petróleo (isto é, o Estado da Natureza é Poço Seco), então a probabilidade de Sondagem Sísmica Desfavorável é estimada para ser: ( USS Estado poço sec o) 0. 8 ( FSS Estado poço sec o) = P = =, e (8) P = = (9) A estas probabilidades dadas em (6), (7), (8) e (9) dá-se o nome de Probabilidades Condicionais, a partir das quais se podem encontrar as Probabilidades a Posteriori dos respectivos Estados da Natureza dada as Sondagens Sísmicas. 3.1 Probabilidades a Posteriori Em termos gerais, considerando que: n = número de Estados da Natureza; P(Estado = estado i) = Probabilidade a Priori que o Estado verdadeiro da Natureza é o estado i, para i = 1, 2,..., n; Constatação = constatação a partir de uma experimentação (uma variável aleatótia); Constatação j = um valor possível de constatação; P(Estado = estado i Constatação = constatação j) = Probabilidade a Posteriori que o Estado verdadeiro da Natureza é estado i, dado que Constatação = constatação j, para i = 1, 2,..., n. O objetivo é: Dado P(Estado = estado i) e P(Constatação = constatação j Estado = estado i), para i = 1, 2,...,. Qual é P(Estado = estado i Constatação = constatação j)? Esta questão é respondida por combinar as seguintes fórmulas da teoria de Probabilidade: P ( ) ( Estado = estado i, Constatação = constatação j) (10) Estado = estado i Constatação = constatação j = P( Constatação = constatação j) P Notas de Aula - Fernando Nogueira 7

8 P P P n ( Constatação = constatação j) = P( Estado = estado k, Constatação constatação j) = k= 1 ( Estado = estado i, Constatação = constatação j) ( Constatação = constatação jestado = estado i).p( Estado = estado i) = (11) (12) A probabilidade em (12), dá-se o nome de Probabilidade Conjunta. Portanto, para cada i =1, 2,..., n, a fórmula desejada para a Probabilidade a Posteriori é: ( Estado = estado i Constatação = constatação j) = P( Constatação = constatação jestado = estado i).p( Estado = estado i) n P( Constatação = constatação j Estado = estado k).p( Estado = estado k) P (13) k= 1 A expressão 13 é denominada Teorema de Bayes. Retomando o exemplo protótipo, se a constatação do levantamento sísmico é Sondagem Sísmica Desfavorável (USS), então as Probabilidades a Posteriori são: ( Estado = petroleo Constatação = USS) 0.4(0.25) P = = 0.4(0.25) + 0.8(0.75) ( Estado = poço sec o Constatação = USS) 1 P = 1 = (14) (15) Similarmente, se o levantamento sísmico resulta em Sondagem Sísmica Favorável (FSS), então: ( Estado = petroleo Constatação = FSS) 0.6(0.25) P = = 0.6(0.25) + 0.2(0.75) ( Estado = poço sec o Constatação = FSS) 1 P = 1 = (16) (17) Uma maneira interessante de organizar estes cálculos é utilizar um diagrama em árvore de probabilidade. Notas de Aula - Fernando Nogueira 8

9 Fig. 2 - Diagrama em Árvore de Probabilidades. No diagrama da figura 2, as Probabilidades a Priori estão na primeira coluna e as Probabilidades Condicionais estão na segunda coluna. Estas probabilidades são as informações de entrada. Multiplicando cada Probabilidade na primeira coluna por uma probabilidade na segunda coluna resulta na Probabilidade Conjunta correspondente na terceira coluna. Cada Probabilidade Conjunta torna-se o numerador no cálculo das Probabilidades a Posteriori na quarta coluna. Acumulando as Probabilidades Conjuntas com mesma constatação, fornece o denominador para cada Probabilidade a Posteriori com esta constatação. Depois que estes cálculos foram completados, a Regra de Decisão de Bayes pode ser aplicada simplesmente como em (1) e (2), com as Probabilidades a Posteriori no lugar das Probabilidades a Priori. De novo, usando os payoffs dados e subtraindo o custo da experimentação, obtém-se o seguinte resultado: Payoff Esperado se constatação é Sondagem Sísmica Desfavorável (USS): E 1 6 [ Payoff ( Perfurar Constatação = USS) ] = ( 700) + ( 100) 30 = (18) Notas de Aula - Fernando Nogueira 9

10 1 6 [ Payoff ( Vender Constatação = USS) ] = ( 90) + ( 90) E = 7 7 (19) Payoff Esperado se constatação é Sondagem Sísmica Favorável (FSS): 1 1 [ Payoff ( Perfurar Constatação = FSS) ] = ( 700) + ( 100) E = [ Payoff ( Vender Constatação = FSS) ] = ( 90) + ( 90) E = 2 2 (20) (21) Uma vez que o objetivo é maximizar o Payoff Esperado, estes resultados produzem a seguinte política ótima, como mostra a tabela 2. Constatação a partir do Levantamento Sísmico Tabela 2 - Politica Ótima com Experimentação sob a Regra de Decisão de Bayes. Ação Ótima Payoff Esperado excluindo custos de levantamento Payoff Esperado incluindo custos de levantamento USS vender a terra FSS perfurar Entretanto, este resultado não responde se é válido gastar (ou não) $30.000,00 para realizar a experimentação. 3.2 O Valor da Experimentação Antes de realizar qualquer experimentação, deve-se estimar seu valor potencial. Para isto pode-se utilizar dois métodos. O primeiro método assume que o experimento irá remover toda a incerteza sobre o verdadeiro Estado da Natureza e então se calcula a melhora no Payoff Esperado ignorando o custo da experimentação. Esta quantidade, denominada Valor Esperado da Informação Perfeita (EVPI) fornece um limite superior para o valor potencial do experimento. Portanto, se este limite superior é menor que o custo da experimentação, a experimentação não deve ser realizada. Entretanto, se este limite superior excede o custo da experimentação, então um segundo método deverá ser utilizado. Este segundo método calcula a melhora atual no Payoff Esperado (ignorando o custo da experimentação) que resultaria a partir de realizar a Notas de Aula - Fernando Nogueira 10

11 experimentação. A comparação da melhora do Payoff Esperado com o custo indica se a experimentação deve ou não ser realizada. Valor Esperado da Informação Perfeita: admitindo que a experimentação permita identificar o verdadeiro Estado da Natureza (informação perfeita) e portanto, a ação a ser realizada é aquela que fornece o maior Payoff para aquele Estado. Uma vez que não se conhece qual o Estado da Natureza que será identificado como verdadeiro Estado da Natureza, o cálculo do Payoff Esperado com Informação Perfeita (ignorando os custos da experimentação) requer ponderar o máximo Payoff para cada Estado da Natureza pelas suas respectivas Probabilidades a Priori. A tabela 3 mostra os Payoff Máximos (em milhares de $) para os possíveis Estados da Natureza do exemplo protótipo. Tabela 3 - Payoff Máximos para os possíveis Estados da Natureza Estado Payoff Alternativa Poço com Petróleo Poço Seco Perfurar $700 $-100 Vender a terra $90 $90 Probabilidade à Prior Máximo Payoff $700 $90 então: O Payoff Esperado com Informação Perfeita (EVWPI) para o exemplo protótipo é EVWPI 0.25(700) (90) = = (22) O Valor Esperado da Informação Perfeita (EVPI) é calculado como: EVPI = EVWPI EVWOE (23) onde: EVWOE é o Valor Esperado Sem Experimentação. Geralmente a experimentação não fornece Informação Perfeita, porém o EVPI fornece um limite superior do valor esperado da experimentação. Para o exemplo protótipo, o Valor Esperado Sem Experimentação (seção 2.3) é 100. Portanto: Notas de Aula - Fernando Nogueira 11

12 EVPI = = (24) Uma vez que é maior que 30 (custo do levantamento geofísico), deve-se proceder com o levantamento geofísico. O segundo método citado abaixo avalia o potencial benefício da experimentação. Valor Esperado da Experimentação: para calcular esta quantidade requer primeiro computar o Payoff Esperado Com Experimentação (ignorando os custos da experimentação) (seção 3.1) e as probabilidades das Constatações P(Constatação = constatação j). Esta quantidade então fica: Payoff Esperado ( Constataçã o constataçã o j).e [ payoff Constataçã o = constataçã o j] P = j Com Experiment açao = (25) onde: P ( Constatação = constatação j) = (26) n ( Constatação = constatação j Estado = estado k ).P ( Estado estado k) P = k= 1 Para o exemplo protótipo, tem-se que: ( USS) P( USS petroleo ).P(petroleo) + P( USS poço sec o ).P(poço sec o) = 0.4* * P = = (27) ( FSS) P( FSS petroleo ).P(petroleo) + P( FSS poço sec o ).P(poço sec o) = 0.6* * ( Payoff Constatação USS) 90 ( Payoff Constatação FSS) 300 P = = (28) E = = (29) E = = (30) Com isso, o Payoff Esperado Com Experimentação é: Payoff Esperado Com Experiment açao 0.7(90) + 0.3(300) = 153 = (31) O Valor Esperado da Experimentação (EVE) é dado então por: EVE = Payoff Esperado Com Experiment açao Payoff Esperado Sem Experiment açao (32) Para o exemplo protótipo, fica: Notas de Aula - Fernando Nogueira 12

13 EVE = 53 = (33) Uma vez que este valor excede 30 (o custo do levantamento geofísico), a experimentação deverá ser realizada. 4. Árvores de Decisão Árvores de Decisão fornecem uma maneira útil de visualmente mostrar o problema e então organizar o trabalho computacional descrito nas seções anteriores. Tais árvores são úteis quando uma seqüência de decisões precisa ser realizada. O exemplo protótipo envolve uma seqüência de duas decisões: 1. O levantamento geofísico deverá ser realizado? 2. Qual ação (perfurar ou vender a terra) deverá ser realizada? Nestas árvores, os nós são denominados bifurcações (forks) e os arcos são denominados galhos (branches). Uma bifurcação de decisão (decision fork), representada aqui por um quadrado, indica que uma decisão precisa ser feita naquele ponto do processo. Uma bifurcação de chance (chance fork), representada por um círculo, indica que um evento randômico ocorre naquele ponto. A árvore da figura 3 mostra a árvore para o exemplo protótipo. Fig. 3 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo. Notas de Aula - Fernando Nogueira 13

14 Na árvore da figura 3, a primeira decisão é representada pela bifurcação a. A bifurcação b é a bifurcação de chance representando o evento randômico do resultado do levantamento geofísico. Os dois galhos provenientes da bifurcação b representam os dois resultados possíveis do levantamento. Após, vem a segunda decisão (bifurcações c,d e e) com duas escolhas possíveis. Se a decisão é perfurar, então resultará em outras bifurcações de chance (f, g e h), que se conectam a dois galhos que representam os dois Estados da Natureza. O próximo passo na construção da árvore de decisão é inserir o fluxo de dinheiro e as probabilidades referentes a cada galho (arco). Na figura 4, as probabilidades estão em azul dentro de parênteses e o fluxo de dinheiro (em milhares de $) em vermelho e em verde, no canto direito da figura encontra-se os valores de Payoff para cada ação. Fig. 4 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo com fluxo de dinheiro e probabilidades. Notas de Aula - Fernando Nogueira 14

15 4.1 Realizando a Análise De posse da Árvore de Decisão (como na figura 4), pode-se realizar a análise, de acordo com os seguintes passos: 1. Começar no lado direito da Árvore e mover para a esquerda uma coluna de cada vez. Para cada coluna, utilizar o passo 2 ou passo 3, dependendo se a bifurcação na coluna é uma bifurcação de chance ou uma bifurcação de decisão. 2. Para cada bifurcação de chance calcular seu Payoff Esperado multiplicando o Payoff Esperado de cada galho (em verde, na figura 4) pela probabilidade de cada galho e então somar estes produtos. Armazenar este Payoff Esperado para cada bifurcação de decisão (também em verde na figura 5) e designar esta quantidade como sendo o Payoff Esperado para o galho oriundo desta bifurcação. 3. Para cada bifurcação de decisão comparar o Payoff Esperado de seus galhos e escolher a alternativa cujo galho tem maior Payoff Esperado. Em cada caso, armazenar a escolha na Árvore de Decisão inserindo barras duplas (representando uma barreira) em cada galho rejeitado (ver figura 5). Para começar o procedimento, considere a coluna mais à direita cujos galhos originamse das bifurcações f, g e h. Aplicando o passo 2, seus Payoff Esperados (EP) são calculados como: 1 6 EP = (670) + ( 130) = EP = (670) + ( 130) = EP = (700) + ( 100) = para bifurcação f (34) para bifurcação g (35) para bifurcação h (36) Estes Payoff Esperados são colocados acima destas bifurcações (ver figura 5). Dando seqüência, move-se uma coluna para a esquerda, o que consiste em alcançar as bifurcações de decisão c,d e e. Através do passo 3 obtém-se: Bifurcação c: perfurar com EP = vender com EP = 60 60>-15.7, portanto escolher vender Notas de Aula - Fernando Nogueira 15

16 Bifurcação d: perfurar com EP = 270 vender com EP = >60, portanto escolher perfurar Bifurcação e: perfurar com EP = 100 vender com EP = >90, portanto escolher perfurar Estes Payoff Esperados são colocados acima destas bifurcações de decisão (ver figura 5). A alternativa escolhida também está indicando para inserir barras duplas nos galhos rejeitados. Movendo mais uma coluna a esquerda alcança-se a bifurcação de chance b. Aplicando o passo 2, os Payoff Esperados de seus galhos encontram-se armazenados sobre as seguintes bifurcações de decisão (c e d). Portanto, o Payoff Esperado é: EP = 0.7(60) + 0.3(270) = 123 para bifurcação b (37) Finalmente, alcança-se a bifurcação de decisão a. Aplicando o passo 3, resulta em: Bifurcação a: fazer levantamento geofísico com EP = 123. não fazer levantamento geofísico com EP = >100, portanto escolher fazer levantamento. O Payoff Esperado de 123 deve ser colocado sobre a bifurcação a e uma barra dupla indicando o galho rejeitado. Notas de Aula - Fernando Nogueira 16

17 Fig. 5 - Árvore de Decisão final para o exemplo protótipo. Uma vez concluída a Árvore, move-se da esquerda para a direita através apenas dos caminhos abertos (sem barras duplas), o que resulta na seguinte política ótima: Política Ótima: Fazer levantamento geofísico, Se resultado é desfavorável, vender a terra, senão perfurar. O Payoff Esperado (incluindo os custos do levantamento) é 123 ($ ,00). Esta solução ótima (única) é a mesma que pode ser obtida sem o beneficio da Árvore de Decisão aplicando a expressão 37 para os valores da tabela 2. Notas de Aula - Fernando Nogueira 17

18 5. Teoria da Utilidade Nas seções anteriores, considerou-se que o Payoff Esperado em termos monetários é uma medida apropriada das conseqüências de tomar uma ação. Entretanto, em muitas situações esta consideração não reflete o "verdadeiro" Payoff Esperado que o tomador de decisões deseja. O parágrafo abaixo explica o porquê disto. Supondo que seja oferecido a um indivíduo um investimento (jogo, negócio,...) no qual há (1) uma chance de 50% de ganhar $ ,00 ou (2) receber $40.000,00 com garantia (chance de 100%). Muitas pessoas devem preferir a opção 2 (receber $40.000,00 com garantia), mesmo embora o Payoff Esperado de ganhar $ ,00 em uma chance de 50% é $50.000,00. Este exemplo não invalida a Regra de Decisão de Bayes porque existe uma maneira de transformar os valores monetários para uma escala apropriada que reflete as preferências do tomador de decisão. Esta escala é denominada Função de Utilidade para o Dinheiro. A figura 6 mostra um exemplo desta função para um indivíduo (organização) que tem "aversão ao risco" (verde), "indiferente ao risco" (azul), "atração ao risco" (vermelho). As funções na figura 6 indicam que o valor do dinheiro M possui uma utilidade u(m). De maneira textual, para a curva "aversão ao risco", por exemplo, um ganho de 600 (M = 600) possui uma utilidade de apenas algo em torno de 300 (u(m) = 300), enquanto um prejuízo de 600 (M = -600) possui uma utilidade em torno de (u(m) = ). Para as demais curvas o raciocínio é análogo. Um modelo bastante comum utilizado para a Função de Utilidade u(m) é dado abaixo: u ( M) = R 1 e R M (38) onde: M é o valor do dinheiro; R é a tolerância ao risco do indivíduo. Assim, uma grande aversão ao risco corresponde para um pequeno valor de R, enquanto uma atração ao risco corresponde para um alto valor de R. Neste contexto é comum apresentar as curvas da figura 6 como na figura 7. Notas de Aula - Fernando Nogueira 18

19 Função de Utilidade atração ao risco 1000 u(m) indiferença ao risco aversão ao risco M Fig. 6 - Exemplo de Função de Utilidade para o Dinheiro. aversão ao risco indiferença ao risco atração ao risco Fig. 7 - Função de Utilidade tipicamente apresentada. Como exemplo desta teoria, tem-se a Função de Utilidade do Dinheiro para o exemplo protótipo da companhia GoferBroke de acordo com a figura 8. A companhia GoferBroke possui aversão ao risco (curva verde). O procedimento para utilizar a árvore de decisão para analisar o problema de tomada de decisão é idêntico ao descrito na seção 4, exceto que os Payoff monetários são substituídos pelos valores de utilidade u(m). Notas de Aula - Fernando Nogueira 19

20 800 Funçao de Utilidade para o dinheiro da GoferBroke u( M) indiferença ao risco aversão ao risco M Fig. 8 - Função de Utilidade para o Dinheiro da companhia GoferBroke. A tabela abaixo mostra os valores dos Payoff monetários e seus respectivos valores de utilidade. Tabela 4 - Utilidade para a companhia GoferBroke Payoff Monetário Utilidade A Árvore de Decisão agora fica: Notas de Aula - Fernando Nogueira 20

21 Fig. 9 - Árvore de Decisão para o exemplo protótipo com valores de utilidade. A Política Ótima obtida com os valores de utilidade neste exemplo é a mesma obtida com os Payoff monetários, apenas com a diferença no valor da Utilidade Esperada (que corresponde ao Payoff Esperado no caso de utilizar Payoff monetário). Política Ótima (utilidade): Fazer levantamento geofísico, Se resultado é desfavorável, vender a terra, senão perfurar. A Utilidade Esperada (incluindo os custos do levantamento) é ($ ,00). FONTE: Hiller & Lieberman, CAP. 15 Notas de Aula - Fernando Nogueira 21

22 Exercícios - Análise de Decisão qualquer erro, favor enviar para fernog@engprod.ufjf.br 1) Uma companhia desenvolveu um novo chip de computador que a habilita a produzir computadores. Alternativamente, está firma pode vender os direitos do chip por $ ,00. Se a companhia escolhe produzir os computadores, a lucratividade dependerá da habilidade da companhia para vender os computadores. Devido a informações dos distribuidores, a companhia irá vender com certeza computadores, porém se o produto "emplacar", a companhia poderá vender computadores. Para propósitos de análise, estes dois níveis de vendas são dois resultados possíveis, porém, suas probabilidades a priori não são conhecidas. O custo de instalação da linha de produção é de $ ,00. O lucro sobre cada computador vendido é $600,00. a) Identifique as ações (alternativas), os estados da natureza e a tabela de Payoff. b) Desenvolva um gráfico dos Payoff Esperados para cada ação alternativa versus a probabilidade a priori de vender c) Determine o ponto de Crossover para o gráfico acima. Qual o significado deste ponto? d) Assumindo que as probabilidades a priori dos dois níveis de venda são ambos iguais a 0.5, qual ação deveria ser tomada? 2) Dada a seguinte tabela de investimentos: Economia Crescente Economia Estável Economia Decrescente Investimento Conservador Investimento Especulativo $30.000,00 $5.000,00 $ ,00 $40.000,00 $10.000,00 $ ,00 Investimento Cíclico $ ,00 $0,00 $15.000,00 Probabilidade a Priori Qual investimento deve ser escolhido segundo cada um dos critérios abaixo: a) Maximin Payoff b) Máxima Verossimilhança c) Decisão de Bayes 3) Reconsidere o problema 1 agora considerando que uma pesquisa de mercado ao custo de $ ,00 pode ser realizada para prever qual dos dois níveis de Notas de Aula - Fernando Nogueira 22

23 demanda é mais provável ocorrer. Experiências prévias indicam que tais pesquisas são corretas em dois terços das vezes em que são realizadas. a) Encontre o EVPI para este problema. Considere a probabilidade a priori de vender igual a probabilidade a priori de igual a 0.5. b) A resposta em a) indica que compensa realizar a pesquisa de mercado? c) Desenvolva um diagrama em árvore de probabilidade para obter as probabilidades a posteriori dos dois níveis de demanda para cada dos dois resultados possíveis da pesquisa de mercado. d) Encontre EVE. 4) José toma decisões de acordo com a regra de decisão de Bayes. José construiu a seguinte tabela de Payoff : a) Qual alternativa José deve escolher? b) Encontre EVPI Estado da Natureza Alternativa S 1 S 2 S 3 A A A Probabilidade a Priori c) Qual é o máximo que José deve pagar para obter maiores informações sobre qual estado da natureza irá ocorrer? 5) Suponha que você more em uma região sujeita a terremotos, assim você está considerando comprar um seguro para sua casa ao custo anual de $180,00. A probabilidade de um terremoto danificar sua casa durante um ano é Se isto acontece, você estima que o custo dos danos (totalmente cobertos pelo seguro) é $ ,00. Seus bens (incluindo a sua casa) totalizam $ ,00. a) Aplique a regra de decisão de Bayes para determinar qual alternativa (comprar ou não o seguro) maximiza seus bens esperados após 1 ano. b) Você agora tem construído uma função de utilidade que mede o valor dos seus bens (x) em $. Está função é dada por u ( x) = x. Compare a utilidade de reduzir seus bens totais no próximo ano pelo custo do seguro contra terremotos com a utilidade esperada no próximo ano de não comprar o seguro contra terremoto. Você deveria comprar o seguro? Notas de Aula - Fernando Nogueira 23

24 6) Faça um programa que calcule, dado uma matriz de Payoff para n estados da natureza e m alternativas, os payoff s seguindo os critérios de Maximin, Maxima Verossimilhança e Bayes. 7) Faça um programa que gere, a cada iteração, uma matriz de Payoff com valores aleatórios para os intervalos dado na tabela abaixo: Alternativa Estado Poço com Petróleo Payoff Poço Seco Perfurar M 11 M 12 Vender a terra M 21 M 22 Probabilidade à p 1 p 2 Prior onde: M 11 = [300,1000] M 12 = [-300,-50] M 21 = M 22 = [50,120] p 1 = [0.05,0.40] p 2 = 1- p 1 A cada iteração o programa deverá determinar os Payoff s seguindo os critérios de Maximin, Maxima Verossimilhança e Bayes. Após várias iterações, verificar qual dos critérios resultou em melhor payoff a cada iteração e os payoff s médios para cada critério. Notas de Aula - Fernando Nogueira 24

25 Respostas 1.a) Alternativas Estado da Natureza Vender Vender Produzir Computadores 0 54 Vender Direitos b) E [ Payoff ( Pr oduzir Computadores) ] = 0p + 54( 1 p) = 54p + 54 E [ Payoff ( Vender Direitos) ] = 15p + 15( 1 p) = Analise de Sensibilidade Payoff Esperado Probabilidade a Priori para Vender c) 39 E = 54 [ Payoff ( Pr oduzir Computadores) ] = E[ Payoff ( Vender Direitos) ] 54p + 54 = 15 p = O significado do ponto de crossover é que se a probabilidade a priori de vender computadores for menor que , a decisão a ser tomada, segundo o critério de Bayes é Produzir Computadores, caso contrário, é Vender Direitos. 1.d) Obviamente, Produzir Computadores. Notas de Aula - Fernando Nogueira 25

26 2.a) Economia Crescente Economia Estável Economia Decrescente Mínimo em Linha Investimento Conservador Investimento Especulativo Investimento Cíclico $30.000,00 $5.000,00 $ , ,00 Maximin $40.000,00 $10.000,00 $ , ,00 $ ,00 $0,00 $15.000, ,00 Maximin Investimento Conservador ou Investimento Cíclico. 2.b) Economia Crescente Economia Estável Economia Decrescente Investimento Conservador Investimento Especulativo $30.000,00 $5.000,00 $ ,00 $40.000,00 $10.000,00 $ ,00 Máximo Investimento Cíclico $ ,00 $0,00 $15.000,00 Probabilidade a Priori Máximo Investimento Especulativo. 2.c) E [ Payoff ( Conservador) ] = 0.1* , *5.000, * ( ,00) = 1.500, 00 E[ Payoff ( Especulativo) ] = 0.1* , *10.000, * ( ,00) = 3.000, 00 E [ Payoff ( Cíclico) ] = 0.1* ( ,00) + 0.5* 0, *15.000,00 = 5.000, 00 Máximo Investimento Cíclico. Notas de Aula - Fernando Nogueira 26

27 3.a) Alternativas Estado da Natureza Vender Vender EVWPI = 0.5(15) + 0.5(54) = 34.5 Produzir Computadores 0 54 Vender Direitos Probabilidade a Priori Máximo Payoff Alternativas Vender Estado da Natureza Vender Payoff Esperado Produzir Computadores * *0.5 = 27 Máximo Vender Direitos * *0.5 = 15 Probabilidade a Priori EVWOE = 27 EVPI = EVWPI EVWOE = = b) Uma vez que ,00 é maior que ,00, a pesquisa deve ser realizada segundo este critério. 3.c) Notas de Aula - Fernando Nogueira 27

28 2 1 P = 3 3 ( Pesq10) = P( Pesq10 V10 ).P(V10) + P( Pesq10 V100 ).P(V100) = *0.5 + * P = 3 3 ( Pesq100) = P( Pesq100 V10 ).P(V10) + P( Pesq100 V100 ).P(V100) = *0.5 + * d) Regra de Bayes com probabilidade a posteriori. Payoff Esperado se constatação é Pesq10: 2 1 [ Payoff ( Pr oduzir Constatação = Pesq10) ] = ( 0) + ( 54) 1 17 E = [ Payoff ( Vender Constatação = Pesq10) ] = ( 15) + ( 15) 1 14 E = 3 3 Payoff Esperado se constatação é Pesq100: 1 2 [ Payoff ( Pr oduzir Constatação = Pesq100) ] = ( 0) + ( 54) 1 35 E = [ Payoff ( Vender Constatação = Pesq100) ] = ( 15) + ( 15) 1 14 E = 3 3 Notas de Aula - Fernando Nogueira 28

29 Constatação a partir da Pesquisa Politica Ótima com Experimentação sob a Regra de Decisão de Bayes. Ação Ótima Payoff Esperado excluindo custos de levantamento Payoff Esperado incluindo custos de levantamento Pesq10 produzir Pesq100 produzir Payoff Esperado Com Experiment açao = P(pesq10)*(18) + P(pesq100)*(36) = 0.5* * 36 = 27 EVE = Payoff O Valor Esperado da Experimentação (EVE) é dado por: EVE = = 0 Esperado Com Experiment açao Payoff Esperado Sem Experiment açao Uma vez que 0 é menor que ,00, a pesquisa não deve ser realizada segundo este critério. 4.a) E [ Payoff ( A1) ] = 0.5* * * ( 100) = 35 Máximo E [ Payoff ( A2) ] = 0.5* * * ( 10) = 1 E Payoff ( A3) = 0.5* * *( 40) = [ ] 14 4.b) Estado da Natureza Alternativa S 1 S 2 S 3 A A A Probabilidade a Priori Máximo Payoff EVWPI = 0.5* * * ( 10) = 53 EVWOE = 35 EVPI = EVWPI EVWOE = = 18 4.c) José deverá gastar no máximo a) Notas de Aula - Fernando Nogueira 29

30 Alternativas Estado da Natureza Haver terremoto Não haver terremoto Payoff Esperado Comprar Seguro Não Comprar Seguro Probabilidade a Priori , , , , , ,00 Máximo Portanto, não comprar seguro. 5.b) Alternativas Estado da Natureza Haver terremoto Não haver terremoto Payoff Esperado Comprar Seguro Não Comprar Seguro Probabilidade a Priori Máximo Portanto, comprar seguro. Notas de Aula - Fernando Nogueira 30