Noções necessárias sobre a física das junções p-n

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1 Noções necessárias sobre a física das junções p-n 17 de Outubro de Bandas de energia Quando se dá a ligação de dois átomos iguais as orbitais com a mesma energia sobrepõem-se e dão origem a duas orbitais com energias distintas (gura 1). Figura 1: A separação dos níveis 3s quando dois átomos de sódio se aproximam Quando mais átomos são trazidos para o conjunto continuam a formar-se mais níveis intermédios (gura 2). Figura 2: A separação dos níveis 3s quando 6 átomos de sódio se aproximam No limite em que N temos o aparecimento de uma banda contínua de energias (gura 3). 1

2 Figura 3: A separação dos níveis 3s quando N átomos de sódio se aproximam As bandas estão separadas em energia: é o hiato de energia (band gap). A origem do hiato está na diferença de energia das orbitais iniciais (este ponto está mais bem discutido nos apontamentos relativos a conceitos fundamentais de estado sólido). A gura 4 ilustra este ponto. Figura 4: Formação de bandas Originam-se assim bandas cheias, vazias e parcialmente preenchidas. As primeiras são as bandas de valência e as últimas as de condução. As vazias não conduzem, naturalmente, a não ser que haja forma de promover electrões a essas bandas. 2 As bandas cheias não conduzem À primeira vista todas as bandas deviam conduzir. Uma banda, mesmo cheia, deveria conduzir porque as orbitais estendem-se por todo o sólido. Os electrões deveriam então andar ao longo do sólido e formar assim corrente. Na verdade as bandas cheias não conduzem. Uma explicação simplicada é dada a seguir 1 1 Para quem quer saber mais: Kittel, Introduction to Solid State Physics, 7 a ed., Wiley 2

3 Os níveis de energia dentro das bandas estão quanticados. Para um modelo simples de um gás de electrões temos que a equação de Schrödinger é h ( ) 2 2m x y + 2 ψ 2 z 2 k (r) = ɛ k ψ k (r), (1) em que h é a constante de Planck, ψ k (r) é a função de onda do estado k e ɛ k a sua energia. Dada a periodiciade da rede cristalina, as funçõse de onda devem satisfazer a condições fronteira periódocas. Isto vai conduzir a funções de onda da forma [ ( )] 2π ψ k (r) = A exp i L (n x, n y, n z ) r, (2) em que os n i são inteiros. A energia do estado vale ɛ k = h2 2m (k2 x + k 2 y + k 2 z) = 2π2 h 2 ml 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z). (3) A quanticação das bandas é a quanticação dos momentos dos electrões. Na ausência de campo eléctrico aplicado exterior a soma dos momentos é nula, porque há tantos valores de k numa direcção como noutra. Para que haja condução o momento global tem de variar e car diferente de zero. Ora, uma banda cheia não se pode reorganizar de forma a ter momento global diferente de zero, porque os electrões não têm para onde se mover. Mesmo que troquem de estado uns com os outros, a resultante é sempre nula. Apenas numa banda semi-preenchida se pode dar uma alteração do centro de massa dos k, porque há níveis vazios para ocupar. Portanto a condução é feita pelos electrões das bandas semi-preenchidas. Os electrões das bandas cheias não podem contribuir para a condução. 3 Isolantes, Condutores e Semi-condutores Dada a explicação anterior percebemos agora a razão de haver isolantes e condutores (ver gura 5). Os semicondutores têm um hiato de energia muito pequeno, de forma que basta a energia térmica para promover electrões à banda de condução. Os semicondutores têm portanto uma banda de valência quase cheia e uma banda de condução quase vazia. São estes quase que conduzem. 4 Lacunas A gura 6 mostra bem o que se passa na banda de valência. Imaginemos que numa dada banda falta só um electrão (que subiu à banda de condução). À (1996), caps. 6 e 7; Ashcroft and Mermin, Solid State Physics, Saunders College (1976), cap

4 Figura 5: Isolantes, condutores e semi-condutores medida que os electrões se delocam no sentido inverso ao do campo o buraco parece deslocar-se no sentido do campo. Então comporta-se como se fosse uma carga positiva. Em T=0 o semicondutor é um isolante. Quando um electão é promovido forma-se um par electrão-lacuna Dopagem A dopagem consiste em acrescentar átomos com 3 ou 5 electrões exteriores à rede semicondutora. O Silício, por exemplo, tem 4 electrões exteriores: Si 14 = 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 2 O Si faz 4 ligações covalentes (ver gura 7). Cada um dos átomo contribui com um electrão para a ligação. O Fósforo, por exemplo, tem 5 electrões exteriores: P 15 = 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 3 Quando se introduzem átomos de Fósforo na rede estes vão incorporar-se nos tetraedros, mas por cada átomo de P vai sobrar um electrão (gura 8). O Boro tem 3 electrões exteriores: B 5 = 1s 2 2s 2 2p 1 4

5 Figura 6: Uma lacuna comporta-se como uma carga positiva Figura 7: Ligações do Si Quando se introduzem átomos de Boro na rede estes vão incorporar-se nos tetraedros, mas cada átomo de B vai atrair um electrão extra à rede para completar a sua ligação covalente. Este electrão foi retirado à rede de ligações covalentes, que assim passa a ter uma lacuna. Os níveis de energia correspondentes aos estados destas ligações diferentes estão próximos das bandas de condução ou valência. Os níveis de energia dos electrões extra do P estão muito próximos da banda de condução. Assim, muito facilmente são para aí promovidos. Isto está ilustrado na gura 9. Os níveis de energia associados aos estados em que falta um electrão na ligação covalente estão muito próximos da banda de valência. Assim, os electrões são facilmente promovidos para estes níveis a partir da banda de valência. Quando isto acontece cam lacunas na banda de condução. P = dador de electrões semicondutor tipo n 5

6 Figura 8: Dopagem com P. Figura 9: Os níveis do dador. (n-negative, excesso de portadores negativos, cedidos pelo dador) B = aceitador de electrões semicondutor tipo p (p-positive, excesso de portadores positivos, já que o aceitador xou electrões) 6 6. Junção p-n Consideremos agora que juntamos um semicondutor tipo p com outro tipo n. O que vai acontecer na junção p-n? A situação está ilustrada na gura 10 Como existe um gradiente de concentração de portadores, estes vão difundir-se através da junção. É realmente um proceso de difusão. À medida que as cargas se difundem para a zona oposta deixam na sua zona iões xos de carga oposta. Por exemplo, se saem lacunas da zona p, sendo que esta era inicialmente neutra, então isto quer dizer que começa a faltar carga positiva à zona p, e ela deixa de ser neutra, para se tornar negativa. A zona p ca então com iões xos negativos. Da mesma maneira, a zona n ca com iões xos positivos. Forma-se então um campo como está indicado na gura e 6

7 que se opõe à difusão. A difusão continua a dar-se até que o campo gerado a contrabalance por completo. Forma-se assim a zona de deplexão. Na zona de deplexão não há cargas livres: o campo gerado pela difusão, a que vamos chamar de E zd, arrasta as cargas livres para fora desta zona. Figura 10: A zona de deplecção numa junção p-n Vejamos agora o que podemos dizer sobre o campo e o potencial ao longo do semicondutor. O gráco do potencial está na gura 11. O campo é nulo em ambos os extremos porque há neutralidade. Na zona de junção o campo tem sentido negativo, de acordo com a convenção para o sentido de x. O valor mínimo (máximo em módulo) atinge-se na junção. O que quer isto dizer em termos do potencial? O potencial é denido a menos de uma constante e por isso podemos assumir que é nulo na zona p. Como E se torna negativo na zona de deplecção e E = V, temos que V tem de ter derivada positiva na zona de deplecção, i. e., aumenta. Na zona n o potencial ca de novo constante. Portanto o potencial sobe desde a zona p até à zona n. Isto permite-nos fazer outra descrição para a mobilidade dos portadores. AS cargas postivas vão dos potenciais altos para os potenciais baixos. A zona de deplecção constitui portanto uma barreira de potencial para a difusão das lacunas desde a zona p até à zona n. Inversamente, os electrões sobem pelo potencial, 7

8 Figura 11: Campo eléctrico e potencial ao longo da zona da junção p-n. pelo que a diminuição de V na z. d. é também uma barreira de potencial à difusão dos electrões desde a zona n até à zona p Polarização O que acontece se ligarmos os extremos da junção p-n a uma fonte de tensão? Depende de como se faz a polarização. A gura 12 ilustra este problema Convenção: V é positiva se o terminal positivo da fonte estiver ligado à parte p da junção. Consideremos então que ( φ) 0 é a diferença de potencial entre as partes p e n antes da aplicação da tensão. É fácil de perceber que pela aplicação de uma tensão V a diferença de potencial passa a ser φ = ( φ) 0 V. (4) É agora fácil de perceber que se V > 0 (polarização directa) a ddp entre as zonas p e n diminui, constituindo uma barreira de potencial mais fácil de atravessar. Se V > ( φ) 0 a barreira desaparece e a condução dá-se 8

9 livremente. Há passagem de corrente na polarização directa (gura 12, meio). Outra forma de ver é notar que o campo aplicado pela fonte, E a opõe-se ao campo E zd, tornando o mecanismo de deplecção menos eciente ou mesmo eliminando-o, se E a > E zd. Por outro lado, se V < 0 (polarização inversa), então a ddp aumenta; a barreira de potencial é maior a oposição à passagem das cargas também aumenta. Compreendemos então que na polarização inversa não deve haver passagem de corrente (gura 12, em baixo). Outra forma de ver é notar que o campo aplicado pela fonte, E a tem o mesmo sentido do campo E zd, tornando o mecanismo de deplecção mais eciente. Figura 12: Efeito do potencial aplicado à junção p-n. 9

10 8 Característica V-I O modelo simples que acabámos de descrever conduz à seguinte curva I-V para o díodo está ilustrado na gura 13: Figura 13: Modelo simples para o díodo. Note-se que por convenção a tensão é igual a V = v p V n, (5) sendo portanto positiva para polarização directa. Naturalmene que então a corrente também é positiva para o sentido p n. Podemos melhorar este modelo. Para isso temos de renar um pouco mais a nossa descrição do semiciondutor: Na verdade na parte n não há só portadores negativos. Há portadores positivos e negativos, só que os últimos são largamente maioritários. Portanto na parte n temos que os electrões são os portadores maioritários e as lacunas são os portadores minoritários. Na parte p temos o inverso. Os portadores têm uma dada probabilidade de atravessar a barreira de potencial. Basta que tenham energia térmica suciente. 10

11 Podemos agora compreender que existam dois tipos de corrente: Correntes de geração de lacunas e electrões: são correntes de portadores minoritários. No caso da corrente de geração de lacunas, é uma corrente de lacunas que vêm do lado n (onde são minoritárias) para o lado p. Esta corrente acaba por ser importante porque, apesar da concentração de lacunas no lado n ser muito pequena, todas as lacunas que chegam ao lado n da zona de deplexão são imediatamente levadas para o lado p pelo campo interno da z. d. Esta corrente não depende de V. Com efeito, basta aos portadores chegar à z. d.. Também é fácil de ver que esta corrente é negativa (lacunas no sentido n p). Correntes de recombinação de lacunas e electrões. São as corentes dos portadores maioritários. Por xemplo, a corrente de recombinação de lacunas leva as lacunas do lado p para o lado n. O campo da zona de deplexão opõe-se a este movimento, como já vimos. No entanto, se os portadores tivrem energia suciente para atravessar a barreira de potencial fá-lo-ão. O número de portadores que podem atravessar a barreira de potencial é igual ao número de portadores que têm energia superior a q φ. Portanto o seu número vai ser proporcional ao factor de Boltzmann habitual, (n o de portadores com E > q φ) e q φ/k BT = e q[( φ) 0 V ]/k B T, (6) em que q é a carga do electrão, k B é a constante de Boltzmann e T a temperatura em graus Kelvin. Portanto a corrente de recombinação há-de ser proporcional a este factor. Vemos que ao contrário das correntes de geração, as correntes de recombinação dependem fortemente de V. Quando V = 0 aos extremos da junção não pode haver corrente: tem de haver equilíbrio. Isso quer dizer que as correntes de geração (negativas) e recombinação (positivas) se anulam algebricamente. Portanto, para cada espécie de portador α = e, h Iα rec V =0 = Iα ger. (7) Mas isto quer dizer que I ger α = e q( φ) 0/k B T e que a corrente de recombinação se pode escrever A corrente total de α vale então I rec α (8) = I ger α e qv/k BT. (9) I α = I rec α I ger α = I ger α (e qv/k BT 1) (10) 11

12 Finalmente, a corrente total é I = (I ger e + I ger h )(eqv/k BT 1) I 0 ( e qv/k B T 1 ). (11) Em resumo: a curva I-V para um díodo ideal (mas modelado rigorosamente) é dada através de I = I 0 ( e qv/k B T 1 ), (12) em que I 0 é a corrente de saturação, que depende das características do díodo. A curva mais relaista está ilustrada na gura 14 Figura 14: Modelo mais realista para um díodo Podemos ainda escrever ( I = I 0 e V/V T 1 ), (13) com V T = k BT = T V, (14) q tomando um valor típico de 25 mv para T=300 K. 9 Limites Vejamos agora os limites desta expressão: V V T mas positivo. Neste caso V I 0 (1 V ) V 1 = I 0 V T V T = V R (15) se denirmos R = V T /I 0. Esta expressão mostra que nesta zona o díodo se comporta linearmente, tal como uma resistência 12

13 V V T. Neste caso o factor 1 é desprezável face à exponencial. Portanto V I 0 e V/V T. (16) Trata-se de um comportamento exponencial. A corrente aumenta exponencialmente com a tensão aplicada. V negativo, V < 0, mas em módulo muito maior que V T, V V T. Neste caso a exponencial é praticamente nula e I = I 0. (17) A corrente é negativa (n p) e constante. Trata-se das correntes de geração, que passam pelo barreira de potencial com o empurrão dado por E z d. Como vimos, esta corrente não depende de V A resitência dinâmica do díodo é determinado por Valores típicos de R d são da ordem de alguns ohms. Um modelo real do díodo é portanto o da gura 15 R d = dv di = 1 di/dv. (18) Figura 15: Modelo do díodo A fonte de tensão quer dizer que para conduzir o díodo deve estar polarizado com uma dada tensão (0.7 V é um valor típico para os díodos de Si). Quando se analiza um circuito deve ter-se esta tensão de funcionamento em conta. 13