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1 1 - Departamento de Matemática Aplicada (GMA) MATEMÁTICA BÁSICA Notas de aula - versão Marlene Dieguez Fernandez Observações gerais A disciplina Matemática Básica é oferecida no mesmo período da disciplina Pré-Cálculo. Os conteúdos dessas duas disciplinas são complementares e os tópicos de Pré-Cálculo serão bastante usados em Matemática Básica. As listas de exercícios para os alunos praticarem o conteúdo de cada tópico serão distribuídas separadamente.

2 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Sumário I Noções de lógica e conjuntos 2 1 Conjuntos Conceito primitivo Formas de descrever conjuntos Atribuição de letra ou de nome a conjunto A relação entre elemento e conjunto: o símbolo Conjuntos especiais Conjuntos numéricos Conjunto vazio Conjunto unitário Conjunto finito e conjunto infinito Conjunto universo Visualização: Diagrama de Venn Primeiras noções de lógica Afirmação ou sentença lógica O operador lógico não e os conectivos lógicos e ou O operador não O conectivo e O conectivo ou Negações de e e de ou : Leis de De Morgan Quantificadores O quantificador universal: O quantificador existencial: As negações de e de Os conectivos lógicos = e O conectivo = (implicação) Quando p = q é falso? ou seja, quando p q é verdadeiro? O conectivo = (a recíproca de = ) O conectivo (equivalência) Definição: o que é? Exemplos e contra-exemplos: quando usar? Outros conceitos da linguagem dos conjuntos Igualdade, inclusão e subconjuntos Igualdade de conjuntos Inclusão e subconjunto A negação de Propriedades da inclusão Operações com conjuntos União e interseção Conjuntos disjuntos Diferença e complementar Propriedades das operações e do complementar Noções da estrutura de teorias matemáticas: axioma, postulado, hipótese, tese, definição, propriedade, Teorema, Técnicas de Demonstração Teste de todos casos admissíveis Método dedutivo Redução ao absurdo e contradição Método indutivo

3 3 Parte I Noções de lógica e conjuntos Introdução Porque estudar noções de lógica? Se um problema foi resolvido, é claro que a lógica foi usada para resolvê-lo, mas sem o conhecimento de várias informações sobre o problema, de nada adiantaria simplesmente usar a lógica, não poderíamos ter encontrado a solução. Na verdade, a lógica funciona fazendo a ligação ou conexão entre várias informações para poder concluir novas informações. O que pretendemos nesse início de curso é formalizar alguns procedimentos lógicos ou itens da lógica, de forma que se criarmos o hábito de aplicar esses procedimentos lógicos, com certeza não chegaremos a conclusões erradas, tão comuns. Além disso, tendo o claro conhecimento de quais são esses procedimentos lógicos, sempre poderemos recorrer a eles para encontrar a solução ou as possíveis soluções ou concluir que um problema não tem solução, bem como compreender ou demonstrar teoremas. A lógica e os conjuntos. O uso dos procedimentos lógicos podem ser exemplificados em qualquer área de conhecimento humano, mas, por simplicidade e facilidade, a maioria dos nossos exemplos serão com conjuntos. Para isso, primeiramente vamos rever conceitos da linguagem dos conjuntos. A seguir veremos as primeiras noções de lógica. Aplicaremos essas noções de lógica a novos conceitos de conjuntos, voltaremos com mais noções de lógica que serão aplicados aos conjuntos. Isto é, formalizações conceituais de itens da lógica e de conjuntos serão vistos paralelamente. 1 Conjuntos 1.1 Conceito primitivo Um conjunto é uma coleção de objetos ou de elementos. Observe que não precisamos especificar a natureza desses elementos, juntando alguns elementos, com similaridade ou não entre eles, já conseguimos formar um conjunto. Exemplos 1. os três elementos carbono, hidrogêneo e oxigêneo formam um conjunto 2. gato, cachorro, cavalo e boi formam um conjunto 3. uva, maçã, gato e cachorro formam um conjunto 4. os animais mamíferos formam um conjunto 5. os números inteiros entre 4 e 400 formam um conjunto 6. os números inteiros entre 1 e 10 junto com as 10 primeiras letras do alfabeto formam um conjunto 7. os números inteiros maiores do que 4 formam um conjunto 1.2 Formas de descrever conjuntos Um conjunto pode ser descrito por: Listagem dos elementos entre chaves Exemplos 1. { uva, maçã, gato, cachorro } 2. { 4, 2, 0, 2, 4} 3. { 100, 98, 96, 94,, 94, 96, 98, 100}

4 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene {20, 40, 60, } Observação sobre o símbolo. Quando são muitos os elementos a serem listados, podemos usar o símbolo no lugar de toda a listagem, desde que fique claro quais são os elementos que foram substituídos por. Indicação da propriedade de seus elementos. É comum usar essa forma de descrição quando o conjunto tem muitos elementos. As propriedades podem estar ou não entre chaves, isto é, podemos descrever em palavras: conjunto dos elementos que possuem a propriedade P podemos descrever em símbolos: {x ; x possui a propriedade P } No segundo caso ; tem o significado de tal que. Também é comum usar significando tal que. Exemplos 1. Conjunto (ou espécie) de animais mamíferos. 2. {X tal que X é animal mamífero}. 3. {x; x é número inteiro par situado entre 100 e 100}. 4. {p p = 20n e n = 1, 2, 3, 4, } Atenção: em matemática ou em lógica temos que ser bem claros ou precisos, não pode haver dúvida sobre a propriedade que descreve um conjunto. Exemplo: conjunto de plantas bonitas não faz sentido, beleza não é propriedade porque é subjetiva. 1.3 Atribuição de letra ou de nome a conjunto Por simplicidade, quando dentro de uma ou mais frases, precisamos nos referir a um mesmo conjunto várias vezes, é aconselhável atribuirmos uma letra a esse conjunto, o usual é letra maiúscula. Neste caso dizemos que a letra é igual ao conjunto com significado de nome ou letra representar o conjunto. Obs. pode ser uma palavra ou uma única letra que representa o conjunto, o que acharmos conveniente. 1. A representa o conjunto dos ímpares entre -100 e 100 A = conjunto dos ímpares entre -100 e 100 A = { 99, 97, 95, 93,, 93, 95, 97, 99} 2. r é o conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano r = conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos fixos A e B, todos no mesmo plano Aqui preferi usar a letra minúscula r, em geometria essa é a notação usual para retas. Observe que o conjunto são os pontos de uma reta. 1.4 A relação entre elemento e conjunto: o símbolo O símbolo é usado para dizer que um elemento a pertence a um conjunto A, isto é, a A. O símbolo é usado para dizer que um elemento a não pertence a um conjunto A, isto é, a A. Exemplos 1. Seja P = conjunto dos números pares P e 1001 P. 2. Seja A = conjunto dos valores de x que são soluções da equação (x 2)(x + 10) = 0. Verifique que 2 A, 10 A, 0 A. 3. Seja B = conjunto dos valores de x que são soluções da equação (x 2)(x + 10) = 1. ( ) Verifique que 3 B, 9 B, 35 4 B.

5 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Conjuntos especiais Conjuntos numéricos Os seguintes conjuntos numéricos serão estudados com detalhes mais adiante. Conjunto dos números naturais, denotado por N = {1, 2, 3, } Provavelmente você está surpreso com o fato do número zero não fazer parte desse conjunto. Aqui cabe uma observação de carater geral: uma das mais importantes características da Matemática é ser uma linguagem universal, por isso, usamos tantos símbolos e conceitos. Se, na internet você usar um buscador para encontrar < números naturais > ficará surpreso com a quantidade de sites de discussão se o zero é ou não um número natural. Na verdade, estamos diante de um conceito matemático não universal, considerar ou não o zero um número natural tem consequências, precisamos fazer uma escolha ou convenção. É claro que o número 0 é importante, por isso está incluído nos inteiros. Quando 0 é convencionado natural, sempre que uma afirmação não for verdadeira para n = 0 será preciso dizer que n é natural, n > 0. Quando um texto (livro, notas de aula, artigo, etc) fizer referência aos números naturais, procure em algum lugar no texto qual a convenção usada para os naturais, em geral fica no início, como estamos fazendo aqui. Conjunto dos números inteiros, denotado por Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, }. Conjunto dos números racionais, denotado por Q Conjunto dos números reais, denotado por R Conjunto dos números complexos, denotado por C Por enquanto, vamos admitir que se apresentamos um número, sabemos dizer se esse número pertence ou não pertence a cada um desses conjuntos. Exemplos, N; 10 Z; 10 Q; 10 R; 10 C N; 10 Z; 10 Q; 10 R; 10 C N; 2 5 Z; 2 5 Q; 2 5 R; 2 5 C 4. 2 N; 2 Z; 2 Q; 2 R; 2 C 5. 2 N; 2 Z; 2 Q; 2 R; 2 C Conjunto vazio Se não há como listar elementos ou não há elemento que possui a propriedade do conjunto dizemos que esse é um conjunto vazio. Denotamos um conjunto vazio pelos símbolos { } ou. Exemplos 1. O conjunto dos animais imortais é um conjunto vazio. 2. O conjunto dos números reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero é vazio Conjunto unitário Um conjunto é dito um conjunto unitário quando possui um único elemento. Exemplos 1. A = conjunto dos países pentacampeões da Copa do Mundo até o ano de O Brasil é o único elemento desse conjunto A!!! 2. Conjunto dos números reais aproximados em duas casas decimais que resultam da extração da raiz quadrada do número 2. O único elemento desse conjunto é 1, Conjunto dos números reais que resultam da extração da raiz quadrada do número 9. O único elemento desse conjunto é 3.

6 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Conjunto finito e conjunto infinito Um conjunto A é dito finito quando é possível contar todos os seus elementos. O resultado dessa contagem é chamado de número de elementos do conjunto A ou cardinal de A, denotado por # A, com valor possível 0 ou número natural. Observações Elementos repetidos são contados uma única vez. Apesar de não ser possível contar os elementos do conjunto vazio, por convenção e coerência com o que será visto adiante sobre outros conceitos de conjuntos (união e interseção), diz-se que o conjunto vazio é finito e possui 0 elementos. Se um conjunto não é finito podemos dizer qualquer uma das duas afirmações: o conjunto é infinito ou possui uma infinidade de elementos. Denota-se por #A =. Exemplos 1. A = { 100, 98, 96, 94,, 94, 96, 98, 100} é finito. #A = 101. Verifique. 2. A = conjunto dos números reais simultaneamente maiores do que zero e menores do que zero é finito. #A = A = {0, 2, 4,, 94, 96, 98, 100,...} é infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A =. 4. A = conjunto dos números reais entre -100 e 100 é infinito ou possui uma infinidade de elementos. #A = Conjunto universo O conjunto Universo é o maior conjunto no contexto que estamos trabalhando (livro, capítulo de livro, tese, notas de aula, teoria, problema, etc). Em alguns casos há necessidade de citar qual o conjunto Universo está sendo considerado, pois dependendo do conjunto universo, chega-se a conclusões distintas. Por exemplo, A = { x; x é solução da equação 4x 2 = 25 }. Se o conjunto universo (isto é, o conjunto em que devemos encontrar os valores de x) são os racionais ou os reais, encontramos duas soluções, x = 5 2 e x = 5 2. Se o conjunto universo são os inteiros, não há solução. É usual explicitar o conjunto universo no início, se no exemplo anterior o conjunto universo são os racionais, deveríamos ter escrito: A = { x Q; x é solução da equação 4x 2 = 25 }. 1.6 Visualização: Diagrama de Venn Dado um conjunto, atribuimos uma letra a esse conjunto e envolvemos ou cercamos essa letra com uma curva fechada qualquer, como na figura ao lado. A curva e a letra formam o Diagrama de Venn, uma representação visual do conjunto. A figura ao lado é o diagrama de Venn de um conjunto A. A Quando estamos lidando com vários conjuntos e as relações existentes entre eles, a representação dos conjuntos em diagramas de Venn é particularmente útil. Veremos exemplos mais adiante. 2 Primeiras noções de lógica 2.1 Afirmação ou sentença lógica Uma afirmação pode ser considerada uma afirmação ou sentença lógica quando for possível atribuir um e só um dos dois valores a essa afirmação: verdadeiro ou falso. Observações Algumas afirmações não são consideradas afirmações lógicas. Por exemplo, maçã é uma fruta sem graça tem muita subjetividade, uns vão responder que é verdadeira, outros vão responder que é falsa por causa do sem graça. Logo essa não é uma afirmação lógica. Se a afirmação fosse apenas maçã é uma fruta, todos iriam responder que é verdadeira. Logo essa é uma afirmação lógica. Se a afirmação fosse maçã é um legume, todos iriam responder que é falso. Logo essa é uma afirmação lógica.

7 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Uma afirmação lógica pode ter um termo variável ou indeterminado, por exemplo x é um número real. Dependendo do valor que se atribua à letra x podemos responder se a sentença é verdadeira ou falsa. Neste caso, diz-se que é uma afirmação aberta ou sentença lógica aberta. Caso não exista termo variável ou indeterminado na afirmação, dizemos que é uma afirmação fechada ou sentença lógica fechada. Por exemplo, o número é uma potência de 10 é uma afirmação lógica fechada e é verdadeira. o número 300 é divisível por é uma afirmação lógica fechada e é falsa. É bastante comum usar a palavra proposição em vez de afirmação. Assim, podemos substituir a palavra afirmação pela palavra proposição em tudo que foi dito acima. Ora vamos usar uma, ora outra. Quando é pedido verificar que uma afirmação ou proposição é verdadeira, já está dito que é verdadeira, é só para provar que é verdadeira. Por exemplo, Verifique que 2437 é um número primo, já está dizendo que é verdadeiro que o número 2437 é primo, está sendo pedido para provar que é um número primo. Quando é pedido verificar se uma afirmação ou proposição é verdadeira, não está dito que é verdadeira, a resposta pode ser uma das duas, verdadeira ou falsa. Verifique se 4693 é um número primo, não está afirmando que é verdaderio, nem que é falso, é preciso descobrir, a resposta poderá ser verdadeira ou falsa. Muitas afirmações são da forma: suponha que x possui a propriedade P. Neste caso a única possibilidade é x possuir a propriedade P ser verdadeiro, isto é, no lugar de x, só podemos atribuir um valor que possui a propriedade P. Por simplicidade, podemos atribuir letras a uma afirmação, por exemplo p: suponha x um número inteiro maior que 10. Uma afirmação pode ser uma afirmação ou sentença simples, isto é, com uma única sentença, bem como pode ser uma afirmação ou sentença composta, isto é, formada por várias afirmações, todas ligadas entre si por termos com significado lógico bem definido, chamados conectivos lógicos. Veremos alguns desses conectivos com detalhes nas próximas seções. 2.2 O operador lógico não e os conectivos lógicos e ou O operador não A toda afirmação p corresponde uma afirmação não p e denotamos p. Observação: - Quando p é verdadeira, p é falsa. - Quando p é falsa, p é verdadeira. Exemplos 1. p : 2 é um número inteiro (p é verdadeira) não p : 2 não é um número inteiro (não p é falsa) 2. q : 10 é múltiplo de 3 (q é falsa) não q : 10 não é múltiplo de 3 (não q é verdadeira) 3. r : está entre 4 e 3 (r é verdadeira) r : não está entre 4 e 3 ( r é falsa) 4. p : x é um número maior do que zero p : x não é um número maior do que zero 5. p : x é solução da equação 2x 1 = 4 não p : x não é solução da equação 2x 1 = 4 6. p : {x R; 2x 1 = 4} = { } 5 2 não p : {x R; 2x 1 = 4} = { } O conectivo e Dadas duas afirmações p e q, podemos formar uma afirmação composta p e q tal que p e q tem como única possibilidade de ser verdadeira quando p é verdadeira e q é verdadeira. Uma outra notação usual é p q. Usaremos indistintamente uma das duas: p e q ou p q. Exemplos

8 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene p : 20 é par (V) q : 20 é maior do que 10 (V) p e q: 20 é par e maior do que 10 (V) 2. p : 20 é par (V) q : 20 é menor do que 10 (F) p e q: 20 é par e menor do que 10 (F) 3. p : 20 é ímpar (F) q : 20 é maior do que 10 (V) p e q: 20 é ímpar e maior do que 10 (F) 4. p : 20 é ímpar (F) q : 20 é menor do que 10 (F) p q: 20 é par e menor do que 10 (F) 5. p : se x é par é V q : se x é maior do que 10 é V p e q: x é par e maior do que 10 é V 6. p : x A (V) q : x B (V) p q : x A e x B (V) 7. p : x A (V) q : x B (V) q : x B (F) p q : x A e x B (F) 8. p : x A (V) p : x A (F) q : x B (V) p q : x A e x B (F) 9. p : x A (V) p : x A (F) q : x B (V) q : x B (F) p q : x A e x B (F) O conectivo ou Dadas duas afirmações p e q, podemos formar uma afirmação composta p ou q tal que p ou q é verdadeira quando pelo menos uma das afirmações p ou q é verdadeira. Uma outra notação usual é p q. Usaremos indistintamente uma das duas: p ou q ou p q. Observação: O ou lógico tem o mesmo significado do e/ou da nossa linguagem corrente. Na linguagem corrente, apenas ou muitas vezes significa um ou outro, não os dois simultâneamente. Por exemplo, o documento deverá ser assinado pelo diretor ou pelo sub-diretor. Em lógica, este ou é dito ou exclusivo. Exemplos 1. p : 20 é par (V) q : 20 é negativo (F) p q : 20 é par ou negativo (V) 2. p : 20 é ímpar (F) q : 20 é positivo (V) p q : 20 é ímpar ou positivo (V) 3. p : 20 é par (V) q : 20 é positivo (V) p q : 20 é par ou positivo (V) 4. p : 20 é ímpar (F) q : 20 é negativo (F) p q : 20 é ímpar ou negativo (F) 5. p : o carro avançou sinal (V) q : o carro derrapou (V) p q : o carro avançou sinal ou derrapou (V) 6. p : o carro avançou sinal (V) q : o carro derrapou (F) p q : o carro avançou sinal ou derrapou (V) 7. p : o carro avançou sinal (F) q : o carro derrapou (V) p q : o carro avançou sinal ou derrapou (V) 8. p : o carro avançou sinal (F) q : o carro derrapou (F) p q : o carro avançou sinal ou derrapou (F) Negações de e e de ou : Leis de De Morgan Dadas as afirmações p e q, são válidas as seguintes leis: (I) (p e q) tem o mesmo significado de p ou q (II) (p ou q) tem o mesmo significado de p e q Para verificar (I), basta construir as quatro possiblidades para p e q e verificar que em qualquer dos casos os resultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo são iguais. p q p q (p e q) (p e q) ( p ou q) V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V

9 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Para verificar (II), basta construir as quatro possiblidades para p e q e verificar que em qualquer dos casos os resultados que aparecem na 6a. e 7a. coluna abaixo são iguais. p q p q (p ou q) (p ou q) ( p e q) V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V Exemplos 1. (p e q) : x é par e positivo (p e q) : x não é par ou x não é positivo 2. (p ou q) : n é múltiplo de 2 ou de 5 (p ou q) : n não é múltiplo de 2 e não é múltiplo de 5 3. (p e q) : 36 é múltiplo de 3 e de 2 (V) (p e q) : 36 não é múltiplo de 3 ou não é múltiplo de 2 (F) 4. (p e q) : 32 é múltiplo de 2 e de 5 (F) (p e q) : 32 não é múltiplo de 2 ou não é múltiplo de 5 (V) 5. (p e q) : 3 A e 4 A (p e q) : 3 A ou 4 A 6. (p ou q) : 8 B ou 10 B (p ou q) : 8 B e 10 B 2.3 Quantificadores O quantificador universal: Quando queremos nos referir a todos os elementos de um conjunto A, dizemos: para todo x A, usamos o símbolo x A. Outras formas de escrever, com mesmo significado: para qualquer x A, para qualquer que seja x A. Exemplos 1. x 0 x; x R e x 0 2. Considere A = conjunto dos múltiplos de 10. Podemos verificar que: x A, x é par O quantificador existencial: Quando queremos nos referir a alguns dos elementos de um conjunto A, dizemos: para algum x A, usamos o símbolo x A. Exemplos 1. x R tal que x > 3. Neste caso existe uma infinidade de valores de x R, mas não são todos. 2. x Q tal que 5x = 1. Neste caso existe apenas um valor de x Q, x = x 2 = 9 para algum x R, ou, escrevendo de outra forma, x R; x 2 = 9. Neste caso existem dois valores de x R, são: x = + 9 = +3 ou x = 9 = Dada uma constante a R; a 0, podemos afirmar que x R; x 2 = a. No caso a = 0 existe um valor de x R que é x = 0 No caso a > 0, existem dois valores de x R, são: x = + a ou x = a. Observação: a seguir temos várias formas alternativas de escrever afirmações, todas com mesmo significado. A propriedade P é válida para algum x A. A propriedade P é válida para pelo menos um x A. Para algum x A, x possui a propriedade P.

10 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Para pelo menos um x A, x possui a propriedade P. Existe x A tal que x possui a propriedade P ( tal que pode ser substituído por ; ). Existe pelo menos um x A; x possui a propriedade P. Existe algum x A; x possui a propriedade P. x A; x possui a propriedade P As negações de e de A negação de p : x; x possui a propriedade P é p : x; x não possui a propriedade P A negação de p : x A; x possui a propriedade P é p : x A; x não possui a propriedade P Mas a negação de p também pode ser: p : x A; x possui a propriedade P Exemplos 1. p : x 1 x R (F) p : x R; x < 1 (V) 2. p : a constante real, x 2 = a 2 admite solução real (V) p : a constante real: x 2 = a 2 não admite solução real (F) 3. p : Existe algum planeta que possui seres vivos (V). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos. p : Todos os planetas não possuem seres vivos (F). Justificativa: o planeta Terra possui seres vivos. 4. p : Existe algum planeta que não possui seres vivos (pode ser V ou pode ser F). Por enquanto, não há justificativa para verdadeira nem para falsa. p : Todos os planetas possuem seres vivos (pode ser F ou pode ser V, respectivamente) 2.4 Os conectivos lógicos = e O conectivo = (implicação) Dadas duas afirmações (ou proposições) p e q temos que a afirmação (ou proposição) p = q é verdadeira quando sempre que p é uma afirmação verdadeira então q também é uma afirmação verdadeira Em outras palavras, estamos supondo que são dadas duas afirmações, p e q e supomos também que p é verdadeira. Neste caso, quando p é verdadeira, o que acontece com q? é verdadeira ou falsa? Se de alguma forma conseguirmos concluir que q só pode ser verdadeira, dizemos que p = q. Observações Esse de alguma forma conseguimos concluir que é verdadeira, podemos citar que alguém já conseguiu provar a conclusão ou que a conclusão foi provada em algum lugar ou temos que provar a conclusão. Existem vários métodos de prova, mais adiante veremos alguns. Há várias formas alternativas de escrever a afirmação ou proposição p = q, todas com mesmo significado, algumas estão listadas a seguir. Sugestão: leia antes o exemplo 1. Se p é uma afirmação verdadeira então q é uma afirmação verdadeira. Se p então q. p implica em q (daí vem a palavra implicação) p implica q p verdadeira é uma condição suficiente para q verdadeira. p é condição suficiente para q. Se p é verdadeira, garante-se que q é verdadeira.

11 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Se q é verdadeira então p é verdadeira. Essa precisamos verificar que de fato tem o mesmo significado. Vejamos, primeiro estamos admitindo que q é verdadeira, isto é q é falsa. Mas p só tem uma das duas possibilidades, verdadeira ou falsa. Se p for verdadeira, como admitimos que p = q, temos que q é verdadeira. Como assim? q não pode ser verdadeira e falsa, logo p não pode ser verdadeira, p só pode ser falsa, isto é, p é verdadeira, como queríamos verificar. Se q é falsa então p é falsa. (idem anterior) Se q é verdadeira = p é verdadeira. Se q é falsa = p é falsa. q ser verdadeira é uma condição necessária para p ser verdadeira. A condição q precisa ser verdadeira, porque se q fosse falsa, então p seria falsa também, como vimos em parágrafo anterior. q é uma condição necessária para p. Uma condição necessária para p ser verdadeira é q ser verdadeira. Uma condição necessária para p é q. O conectivo lógico = é transitivo, ou seja, se p = q e q = r então p = r. Ver exemplo 2. ATENÇÃO. Em nenhum lugar admitimos como primeira condição p é falsa, simplesmente porque a afirmação p = q só garante o que acontece quando p é verdadeira, é omissa quando p é falsa. Isso significa que quando p é falsa e só sabemos que p = q, nada podemos concluir sobre q, isto é, tanto q pode ser verdadeira quanto q pode ser falsa. Ver exemplo 3. Exemplos 1. A = conjunto das infrações de trânsito num país ideal. B = conjunto das penalidades de trânsito num país ideal. Obs. país ideal é aquele onde de fato a lei é aplicada. Uma das infrações é invadir sinal que significa desobedecer sinal vermelho. Uma das penalidades é ser multado. Uma das leis é: invadir sinal será penalizado com multa e perderá sete pontos na carteira de habilitação. Dessa lei, podemos concluir que p: invadir sinal (V) = q: recebe multa (V) Podemos escrever também em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado. invadir sinal = receber multa Se p: invadir sinal (V) então q: recebe multa (V). Se invadir sinal então recebe multa. p: invadir sinal (V) implica em q: receber multa (V) invadir sinal implica receber multa p: invadir sinal (V) é uma condição suficiente para q: receber multa (V). invadir sinal é condição suficiente para receber multa. Se q : não recebe multa (V) então p : não invadiu sinal (V). Vejamos, primeiro estamos admitindo q : não receber multa (V). Para p resta uma das duas possibilidades, p : invadiu sinal (V) ou p : não invadiu sinal (V). Vamos escolher a primeira, p : invadiu sinal (V). Neste caso, p: invadiu sinal (V) = q: recebe multa (V). Como assim? q : não recebe multa (V) e q : recebe multa (V) não podem ser verdadeiras simultaneamente. Logo só resta a outra possibilidade, p : não invadiu sinal (V). Se não recebe multa então não invadiu sinal. Uma condição necessária para p: ter invadido sinal é q: ter recebido multa (V) q: receber multa (V) é uma condição necessária para p: ter invadido sinal (V). receber multa é uma condição necessária para ter invadido sinal.

12 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene p : x é múltiplo de 10 = q : x é par. Podemos afirmar que a implicação é verdadeira. Acreditamos que você saiba porquê. Se não sabe, aqui está uma prova. x é múltiplo 10 = x é múltiplo de 2 e de 5 = x é múltiplo de 2 = x é par. Podemos escrever também em uma das formas listadas a seguir, com mesmo significado. Se x é múltiplo 10 então x é par. x ser múltiplo de 10 é condição suficiente para x ser par. x não é par = x não é múltiplo de 10. x ser número par é condição necessária para x ser múltiplo de No exemplo 2 anterior, se x for igual a 25, a afirmação p é falsa e a afirmação q é falsa. se x for igual a 22, a afirmação p é falsa e a afirmação q é verdadeira. Este exemplo serve para evidenciar que não estamos afirmando nada quando p é falsa, isto é, a afirmação p = q só garante que q será verdadeira sempre que p for verdadeira, não garante nada sobre q quando p for falsa Quando p = q é falso? ou seja, quando p q é verdadeiro? No caso p verdadeira e q falsa. Exemplos: 1. 3 é primo = 7 é divisor de 37 é FALSA. Justificativa: 3 é primo é VERDADEIRA e 7 é divisor de 37 é FALSA. 2. Quando as afirmações p e q são sentenças abertas, a implicação será falsa se apresentarmos um caso ou exemplo em que p seja verdadeira e q seja falsa. a R; a < 1 = a 2 < 1 é FALSA, isto é, a R; a < 1 a 2 < 1. Justificativa: a = 2 < 1 é VERDADEIRA e a 2 = ( 2) 2 = 4 < 1 é FALSA O conectivo = (a recíproca de = ) Dadas duas afirmações (ou proposições) p e q temos que a afirmação (ou proposição) p = q é verdadeira quando q = p é verdadeira. Em outras palavras, estamos supondo que são dadas duas afirmações, p e q e supomos também que q é verdadeira. Neste caso, quando q é verdadeira, o que acontece com p? é verdadeira ou falsa? Se de alguma forma conseguirmos concluir que p só pode ser verdadeira, dizemos que p = q. Observações Há várias formas alternativas de escrever a afirmação ou proposição p = q, todas com mesmo significado, algumas estão listadas a seguir. Para a maioria basta fazer uma troca de ordem de p e q na observação análoga de p = q. Se q é uma afirmação verdadeira então p é uma afirmação verdadeira. Se q então p. p é implicado por q (daí vem a palavra recíproca) q implica em p q implica p q verdadeira é uma condição suficiente para p verdadeira. q é condição suficiente para p. Se q é verdadeira, garante-se que p é verdadeira. Se p é verdadeira então q é verdadeira.

13 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Se p : é falsa então q é falsa. p ser verdadeira é uma condição necessária para q ser verdadeira. A condição p precisa ser verdadeira, porque se p fosse falsa, então q seria falsa também, como vimos em parágrafo anterior. p é uma condição necessária para q. Uma condição necessária para q ser verdadeira é p ser verdadeira. Uma condição necessária para q é p. ATENÇÃO. Em nenhum lugar admitimos como primeira condição q é falsa, simplesmente porque a afirmação p = q só garante o que acontece quando q é verdadeira, é omissa quando q é falsa. Isso significa que quando q é falsa e só sabemos que p = q, nada podemos concluir sobre p, isto é, tanto p pode ser verdadeira quanto p pode ser falsa. Exemplo x R; x 2 < 4 = x R; 0 x < 2. Queremos provar que a proposição é verdadeira. Vamos usar aqui uma propriedade de ordem dos números reais que será vista com detalhes mais adiante. Considere a, b, c, constantes reais. Vale a seguinte propriedade : a < b e c > 0 = ac < bc. Em palavras, a desigualdade não se altera quando multiplica-se os dois lados por um número positivo. Admitimos x R; 0 x < 2 (isto é, supomos verdadeira a afirmação). 0 x < 2 = x < 2 e (x = 0 ou x > 0). Caso x = 0 temos que x 2 = 0 < 4 é verdadeiro. Caso x > 0 e x < 2, podemos multiplicar os dois lados por x, obtendo: x x < 2 x. Mas x > 0 e x < 2, podemos multiplicar os dois lados por 2, obtendo 2 x < 2 2 = 4. Logo x 2 = x x < 2 x e 2 x < 2 2 = 4 = x 2 < 4. cqd A última implicação é justificada por uma das propriedades de ordem dos números reais (as propriedades serão estudadas mais adiante), descrita a seguir. Propriedade transitiva de ordem dos reais : Sejam a, b, c reais. a < b e b < c = a < c. Apenas por curiosidade, observamos que a recíproca de x R; x 2 < 4 = x R; 0 x < 2. não é verdadeira, isto é, x R; x 2 < 4 = x R; 0 x < 2 é FALSA. Justificativa: Para x = 1 : x 2 = 1 < 4 é VERDADEIRA. Para x = 1 : 0 < x = 1 < 2 é FALSA. Logo a recíproca é FALSA O conectivo (equivalência) Dadas duas afirmações (ou proposições) p e q temos que a afirmação (ou proposição) p q é verdadeira quando p = q e p = q são verdadeiras, isto é, quando a implicação e a sua recíproca são verdadeiras. Há várias formas alternativas de escrever a afirmação ou proposição p q, todas com mesmo significado, algumas estão listadas a seguir. p é uma afirmação verdadeira se e somente se q é uma afirmação verdadeira. p se e só se q. p é equivalente a q (daí vem a palavra equivalência) p equivale a q p verdadeira é uma condição necessária e suficiente para q verdadeira.

14 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene q verdadeira é uma condição necessária e suficiente para p verdadeira. p é condição necessária e suficiente para q. q é condição necessária e suficiente para p. p é verdadeira se e somente se q é verdadeira. p : é falsa se e somente q é falsa. p é verdadeira q é verdadeira. p : é falsa q é falsa. Exemplos: 1. x R e x 2 = x x = 0 ou x = 1. Primeiro vamos provar que a implicação é verdadeira, isto é, provar (= ): Novamente vamos usar propriedades dos reais que serão vistas com detalhes mais adiante. x 2 = x = x 2 + ( x) = x + ( x) = 0 = x(x 1) = 0 = x = 0 ou x 1 = 0 = x = 0 ou x = 1. Em cada implicação foi usada uma ou mais propriedades dos reais, admitindo-se todas as variáveis ou constantes números reais. Por exemplo, na primeira foi usada: a = b = a + c = b + c tomando a = x 2, b = x, c = x. Na mesma implicação, foi usada a propriedade de elemento simétrico x + ( x) = 0. Fica com exercício a citação das propriedades usadas nas demais implicações. cqd. Agora vamos provar que a recíproca da implicação é verdadeira, isto é, provar ( =): Novamente temos que usar propriedades dos reais. x = 0 e 0 R = x 2 = 0 2 = 0 e x R = x 2 = x = 0 e 0 = x R. x = 1 e 1 R = x 2 = 1 2 = 1 e x R = x 2 = x = 1 e 1 = x R. 2. Suponha x R. É verdade que x 2 > 4 x < 2 ou x > 2? A resposta é sim, porque? Para responder vamos usar algumas propriedades de ordem dos reais que serão vistas com detalhes mais adiante. x 2 > 4 x 2 4 > 0 cqd. (usamos a propriedade: para a, b, c reais é verdade que a < b a + c < b + c). Podemos aplicar a propriedade de produtos notáveis x 2 4 = (x 2)(x + 2). Logo x 2 > 4 (x 2)(x + 2) > 0. Agora vamos usar outra propriedade: para a, b reais é verdade que: ab > 0 (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), em palavras, o produto de dois números reais é positivo se e só se os dois são positivos ou os dois são negativos. Logo x 2 > 0 e x + 2 > 0 x > 2 e x > 2 x > 2 (x 2)(x + 2) > 0 ou ou ou cqd x 2 < 0 e x + 2 < 0 x < 2 e x < 2 x < Definição: o que é? Quando estamos falando ou escrevendo alguma palavra ou conceito e sabemos que possivelmente quem está nos ouvindo ou lendo não sabe o significado claro e preciso dessa palavra ou conceito, é preciso definir o que essa palavra ou conceito representa, caso contrário, ninguém vai saber do que estamos falando ou escrevendo. Algumas formas usuais de definir palavras ou conceitos estão listadas a seguir. Definição 1 - Um XX é aquilo que possui as propriedades P 1, P 2, e P 3. Definição 2 - Um ZZ é chamado de Y Y Y Y quando ZZ satisfaz uma das condições: C 1 ou C 2. Definição 3 - Um ZZ é chamado de Y Y Y Y se ZZ satisfaz uma das condições C 1 ou C 2. A real observação que queremos fazer é:

15 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene por trás de qualquer definição (isto é, implicitamente) sempre existe uma equivalência, mesmo que a definição não esteja escrita na forma de equivalência. As definições 1, 2 e 3 anteriores devem ser entendidas como: Definição 1 - É um XX XX possui as propriedades P 1, P 2, e P 3. Definição 2 - Um ZZ é chamado de Y Y Y Y ZZ satisfaz uma das condições: C 1 ou C 2. Definição 3 - Um ZZ é chamado de Y Y Y Y ZZ satisfaz uma das condições C 1 ou C 2. Exemplos 1. Definição (número par) Um número inteiro n é um número par se k Z; n = 2k. Apesar de não estar escrito se e só se, isto significa: Um número inteiro n é um número par k Z; n = 2k. 2. Definição (número ímpar) Um número inteiro n é um número ímpar se k Z; n = 2k + 1. Isto significa: Um número inteiro n é um número ímpar k Z; n = 2k Exemplos e contra-exemplos: quando usar? Já vimos que quando queremos verificar que uma afirmação é verdadeira é preciso provar que é verdadeira. Agora, queremos saber: exemplos provam que uma afirmação é verdadeira? A resposta é: depende!!! se for possível testar que a afirmação é verdadeira em todos os exemplos admissíveis para essa afirmação então teremos provado que é verdadeira em qualquer caso. se testarmos se a afirmação é verdadeira apenas em alguns dos exemplos, mas não em todos os exemplos admissíveis para essa afirmação, não estamos provando que a afirmação é verdadeira porque ela poderia ser falsa nos casos que não foram testados. Agora, queremos saber: exemplos provam que uma afirmação é falsa? A resposta é: sim!!! se testarmos a afirmação em um único exemplo, e a resposta for falsa, então podemos afirmar imediatamente que a afirmação é falsa porque para ser verdadeira teria que ser verdadeira em todos os exemplos admissíveis. Um exemplo em que a afirmação é falsa é chamado de contra-exemplo. Exemplos e contra-exemplos: 1. Todo múltiplo de 10 é par. (outra forma dessa afirmação: m é múltiplo de 10 = m é par) A afirmação é verdadeira para x = 10, x = 20, x = 30. Não provei. É impossível esgotar todos os exemplos. Então temos que provar, sem ser através de exemplos. Já provamos essa afirmação no exemplo 2 da seção Agora vamos ver outra prova, diferente daquela. Para provar, primeiro, vamos lembrar a definição de múltiplo: Definição (múltiplo) Um número inteiro m é múltiplo de um número inteiro n quando existe um inteiro q tal que m = qn. Agora, vamos supor que m é um múltiplo de 10. Pela definição de múltiplo, q Z; m = q 10. Mas, sabemos que 10 = 2 5 e também podemos aplicar as propriedades comutativa e associativa dos números inteiros, q Z; m = q 2 5 = 2 (q 5). Como o produto de dois inteiros é um inteiro (propriedade de fechamento dos inteiros), temos que q 5 = k, onde k é inteiro. Logo, k Z; m = 2k = m é par (aqui usamos a definição de par) cqd

16 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene x R; (x 2 1)(x 2 + x) = 0 = x = 1 ou x = 0. Queremos provar que a afirmação é verdadeira. Neste caso, resolvendo a equação, é possível encontrar todos os exemplos admissíveis de x R; (x 2 1)(x 2 + x) = 0. Vejamos, (x 2 1)(x 2 + x) = 0 x 2 1 = 0 ou x 2 + x = 0 (x 1)(x + 1) = 0 ou x(x + 1) = 0. x 1 = 0 ou x + 1 = 0 ou x = 0 ou x + 1 = 0 x = 1 ou x = 1 ou x = 0 (uma das possibilidades pôde ser eliminada porque estava repetida) Vamos testar em todos exemplos admissíveis. Para testar, vamos ter que usar módulo ou valor absoluto de um número real, colocamos aqui a definição de módulo, em Pré-Cálculo as propriedades do módulo serão estudadas com detalhes. Definição (módulo ou valor absoluto) O módulo ou valor absoluto de um número real x é denotado por x e definido por x = para x = 1, x = 1 = 1 = x = 1 = x = 1 ou x = 0 (afirmação verdadeira) { x se x 0 x se x < 0 ou para x = 1, x = 1 = ( 1) = 1 = x = 1 = x = 1 ou x = 0 (afirmação verdadeira) ou para x = 0, x = 0 = 0 = x = 0 = x = 1 ou x = 0 (afirmação verdadeira) Conclusão: a afirmação é verdadeira para todos os exemplos admissíveis, logo a afirmação é verdadeira. 3. x R, x2 = x Testando a afirmação em alguns exempos admissíveis, x = 1, temos que x 2 = 1 2 = 1 = 1 = x (afirmação verdadeira) x = 2, temos que x 2 = 2 2 = 4 = 2 = x (afirmação verdadeira) x = 3, temos que x 2 = ( 3 ) 2 = 3 = x (afirmação verdadeira) A afirmação é verdadeira nesses exemplos, mas esses não são todos os exemplos admissíveis. Queremos provar que essa afirmação é falsa. Contra-exemplo: x = 1, temos que x 2 = ( 1) 2 = 1 = 1. Como 1 1, fica claro que x2 x quando x = 1 ou, de outra forma, a afirmação x 2 = x, quando x = 1, é falsa. Ou seja, a afirmação x R, x2 = x é falsa. Dizemos que x = 1 é um contra-exemplo para a afirmação x R, x2 = x. 3 Outros conceitos da linguagem dos conjuntos 3.1 Igualdade, inclusão e subconjuntos Igualdade de conjuntos Definição (Igualdade de conjuntos) Dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. 1. A = { x R; x é solução da equação (x 2) ( x ) = 0 } B = { x R; x é solução da equação ( x 2 4x + 4 ) ( x ) = 0 }. Resolvendo as equações, verifica-se que A = {2} e B = {2}. Logo A = B. (a resolução das equações fica como exercício) 2. A = {x Z; x 1} B = N A = B = {1, 2, 3, }.

17 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Inclusão e subconjunto Definição (subconjunto). Sejam A e B conjuntos. A é um subconjunto de B quando todo elemento de A também é elemento de B. Quando A é subconjunto de B, dizemos que A está contido em B e denotamos por A B. Também dizemos que B contém A e denotamos por B A. Observe que implicitamente entendemos que A é um subconjunto de B se e só todo elemento de A também é elemento de B. Em símbolos, Dados A e B conjuntos, A B se e só se: x A = x B. Isto significa: se admitimos A B podemos afirmar que x A = x B. se conseguimos provar que x A = x B podemos afirmar que A B. Exemplo Considere A = {n Z; n é múltiplo de 10} e B = {n Z; n é múltiplo de 2}. Vamos verificar que A B é verdadeiro. É suficiente provar que n A = n B. Provamos isto a seguir. n A = q Z; n = 10q = 2 5 q = 2k, onde k = 5q e k Z = k Z; n = 2k = n B A negação de Sabemos que p : A B significa p : x A = x B. Logo p : A B significa p : x; x A e x B Propriedades da inclusão Para quaisquer conjuntos A, B, C, valem as propriedades: P1 A A (justificativa: x A = x A) P2 A = B A B e B A Justificativa: (= ) Precisamos provar A = B = (i) A B e (ii) B A. (i) x A e A = B = x B = A B e (ii) x B e B = A = x A = B A ( =) Precisamos provar p : A B e B A = q : A = B. Já vimos que (p = q) tem o mesmo significado de ( q = p). Neste caso é mais fácil provar ( q = p), é o que faremos a seguir. x; x A e x B A B q : A B = ou = ou x; x A e x B B A Por outro lado, p : (A B e B A) e p : (A B ou B A). Logo, comparando com o resultado anterior, provamos ( q = p). P3 A B e B C = A C (propriedade transitiva) Podemos visualizar com o diagrama de Venn, como na figura abaixo. A seguir, apresentamos uma prova. B A C B C B A Considere x A. Como A B, podemos afirmar x B. Como B C, podemos afirmar x C.

18 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Exemplos: 1. A = conjunto dos múltiplos de 6 B = conjunto dos múltiplos de 2 e de 3. Queremos verificar que A = B. Primeiro provaremos que A B e depois que B A, assim, pela propriedade P2, concluiremos que A = B. Provando A B: n A = q Z; n = 6q = 2 3 q = 2(3q) = 3(2q). = ( k 1 = 3q Z; n = 2k 1 ) e ( k 2 = 2q Z; n = 3k 2 ) = n é múltiplo de 2 e n é múltiplo de 3 = n B = A B. Provando B A: n B = n é múltiplo de 2 e n é múltiplo de 3 = ( q 1 Z; n = 2q 1 ) e ( q 2 Z; n = 3q 2 ) = ( q 1 Z; 3n = 3 2q 1 ) e ( q 2 Z; 2n = 2 3q 2 ). Observe que 3n 2n = n = 6q 1 6q 2 = 6(q 1 q 2 ) = 6k, isto é, k = q 1 q 2 Z; n = 6k = n A = B A. 2. A = {x R; x 4} e B = {x R; x 2}. Queremos responder as seguintes perguntas: A B? B A? A = B? Vamos começar pela primeira, A B? Se pretendemos provar que A B é verdadeiro, então precisaremos provar que x A = x B é verdadeiro. Se pretendemos provar que A B, isto é, provar que A B é falso, basta apresentar um contra-exemplo para a implicação: x A = x B, isto é, apresentar um exemplo de x em que x A e x B. Vamos começar testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se for falso, significa que encontramos um contra-exemplo. Testando, x = 5 > 4 e x = 5 > 2, logo x A e x B, nada se pode afirmar sobre A B. x = 3 > 4 e x = 3 > 2, logo x A e x B, nada se pode afirmar sobre A B. x = 0 > 4 e x = 0 < 2, logo 0 A e 0 B, isto é, este é um contra-exemplo que mostra que A B é falso, ou seja, mostra que A B. Como A B, já podemos responder a terceira pergunta: A B. Só falta responder: B A? Vamos começar testando em alguns exemplos, se o resultado for verdadeiro, nada poderemos afirmar, se for falso, significa que encontramos um contra-exemplo. x = 5 > 2 e x = 5 > 4, logo x B e x A, nada se pode afirmar sobre B A. x = 3 > 2 e x = 3 > 4, logo x B e x A, nada se pode afirmar sobre B A. x = 0 < 2, 0 B. Atenção: este não é um exemplo admissível para teste pois é preciso que x B para então verificar se x A. Se continuarmos testando em mais alguns números x tal que x > 2, isto é, x B verificaremos que para este x, x A. Como é impossível testar em todos os valores, começamos a desconfiar que de fato é verdadeiro para todo x B. Para provar precisamos encontrar um argumento que pode ser aplicado em todo x B. Este argumento será uma das propriedades de ordem dos números reais que serão vistas com detalhes mais adiante, descrita a seguir. Propriedade transitiva da ordem dos reais : Sejam a, b, c reais. a < b e b < c = a < c. Assim, considere x B, isto é, x > 2. Sabemos que 2 > 4, aplicando a propriedade transitiva da ordem, concluímos que x > 4, isto é, x A. Acabamos de verificar que x B = x A, isto é, B A. 3.2 Operações com conjuntos União e interseção Definição (União) Sejam A e B conjuntos. A operação união de A e B, denotada por A B, é definida por: A B = {x; x A ou x B}

19 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Observação: lembrando o significado do ou lógico, podemos dizer que, x A B ocorre uma das situações descritas a seguir: (i) x A e x B (ii) x A e x B (iii) x A e x B Definição (Interseção) Sejam A e B conjuntos. A operação interseção de A e B, denotada por A B, é definida por: A B = {x; x A e x B} Exemplos 1. A = conjunto dos números pares B= conjunto dos múltiplos de 3 É fácil verificar que: 10 A = 10 A B 10 B = 10 A B 10 A e 10 B = 10 A B e 10 A B 33 A e 33 B = 33 A B e 33 A B 36 A e 36 B = 36 A B e 36 A B 49 A e 49 B = 49 A B e 49 A B 2. Dados os conjuntos A e B é fácil verificar as seguintes afirmações: (i) x A = x A B, isto é, A A B (de fato, x A = x A ou x B = x A B ). (ii) x B = x A B, isto é, B A B (de fato, x B = x A ou x B = x A B ). (iii) x A B = x A, isto é, A B A (de fato, x A B = x A e x B = x A ). (iv) x A B = x B, isto é, A B B (de fato, x A B = x A e x B = x B ). 3. Dados A e B, vamos provar as seguintes equivalências: B A=B A B = B A B A B = A. A Ver diagramas de Venn ao lado, com duas situações admissíveis para A B. A B e A B A B e A = B Vamos começar por A B A B = B. (= ) Estamos supondo: A B. Queremos provar: A B = B. (i) x A B = x A ou x B = x A B ou x B (pois supomos no início que A B) = x B = A B B. (ii) Vimos no exemplo anterior: B A B. Logo, por (i) e (ii) concluímos A B = B. ( =) Estamos supondo: A B = B. Queremos provar: A B. x A = x A ou x B = x A B = x A B = B = x B = A B. Agora vamos provar A B A B = A. (= ) Estamos supondo: A B. Queremos provar: A B = A. (i) Vimos no exemplo anterior: A B A. (ii) x A = x A e x A B (pois supomos no início que A B) = x A e x B = x A B = A A B. Logo, por (i) e (ii) concluímos A B = A. ( =) Estamos supondo: A B = A. Queremos provar: A B. x A = x A = A B = x A e x B = x B = A B.

20 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Conjuntos disjuntos Definição (conjuntos disjuntos) Diz-se que dois conjuntos A e B são disjuntos quando A B =. Isto é o mesmo que dizer que A e B não têm elementos em comum. Exemplo: Os conjuntos A = {x R; x 2} e B = {x R; x 2} são disjuntos Diferença e complementar Definição (Diferença) Sejam A e B conjuntos. A operação diferença entre A e B ou A menos B, denotada por A B, é definida por: A B = {x; x A e x B} Outra notação usual para a diferença é A\B. A seguir estão representados os diagramas de Venn de A B em três casos distintos. A A - B A A - B A A - B B B B B B B Caso 1: A B e B A Caso 2: A B = B B A Caso 3: A B = (A e B disjuntos) Definição (Complementar de B em A) Sejam A e B conjuntos tais que B A. Neste caso diz-se que A B é o complementar de B em A e denota-se por A B. Veja o diagrama de Venn no caso 2 acima Definição (Complementar) Seja B conjunto tal que B U, onde U é o conjunto Universo. Neste caso diz-se simplesmente que U B é o complementar de B e denota-se por B ou B c Propriedades das operações e do complementar Sejam A, B e C conjuntos. A seguir listamos algumas propriedades das operações união, interseção, diferença e complementar. 1. Idempotência: A A = A e A A = A 2. Comutativa: A B = B A e A B = B A 3. Associativa: (A B) C = A (B C) = A B C e (A B) C = A (B C) = A B C 4. Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C) 5. Quando A e B finitos, #(A B) = #(A) + #(B) #(A B) 6. (A B) (B A) = (A B) (A B) 7. Sendo U o conjunto universo, U c = e c = U 8. Sendo U o conjunto universo, A A c = U e A A c = 9. (A B) c = A c B c e (A B) c = A c B c 10. (A c ) c = A Observação: um excelente exercício é desenhar diagramas de Venn e depois provar cada propriedade.

21 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte I - Lógica e conjuntos Notas de aula - Marlene Noções da estrutura de teorias matemáticas: axioma, postulado, hipótese, tese, definição, propriedade, Teorema,... Todas as teorias matemáticas, das mais simples às mais elaboradas, têm muita coisa em comum em sua estrutura. O objetivo desse assunto estar sendo abordado aqui é unicamente informar quais são as principais características comuns a todas as teorias, não será estudada a teoria da teoria. Então vamos listar algumas dessas características. Costumo dizer aos meus alunos, que podemos fazer uma comparação com jogos. O que é um jogo? É um conjunto de regras. Antes de começar a jogar todos os jogadores devem ter o conhecimento dessas regras. Algumas dessas regras são básicas, para dar partida no jogo. Outras são consequências das regras básicas. Na prática, o jogador começa a aplicar essas regras e vai aprimorando as jogadas, vai criando estratégias para atingir o objetivo do jogo. Voltando a teoria matemática, em geral, o objetivo de uma teoria é criar conhecimento para ser aplicado nas diversas áreas do conhecimento humano. Essa aplicação tanto pode ser prática quanto teórica, isto é, muitas teorias são criadas para o desenvolvimento de outras teorias. Na disciplina História da Matemática vocês vão ter oportunidade de conhecer vários exemplos onde o desenvolvimento de teorias matemáticas está intrinsicamante ligado às aplicações. Para dar partida ao jogo é preciso estabelecer as regras básicas do jogo, em matemática essas regras básicas são chamadas de axiomas ou postulados. Axiomas ou postulados não se demonstram, aceitamos como afirmações verdadeiras. Os termos que aparecem nos axiomas ou postulados são chamados de termos primitivos, não são definidos. Exemplos de axiomas ou postulados da Geometria (Euclidana) Dois pontos determinam uma reta Três pontos determinam um plano Os termos ponto, reta e plano da Geometria são termos primitivos. Exemplos de axiomas ou postulados na linguagem dos conjuntos. Um conjunto é uma coleção de objetos ou elementos O símbolo é usado para dizer que um elemento a pertence a um conjunto A, isto é, a A. Os termos conjunto, elemento e pertence e o símbolo são primitivos. Depois de estabelecidos os axiomas, postulados, termos e símbolos primitivos, a partir deles surgem novas regras, que recebem vários nomes específicos, alguns deles são: hipótese, tese, definição, propriedade, Teorema, afirmação, proposição, lema, corolário. Já vimos os significados dos conectivos de duas afirmações = e e suas várias formas de escrever. Também já vimos que qualquer definição deve ser entendida como uma equivalência, isto é, como se e somente se, isto é, como. Propriedades, Teoremas, afirmações, proposições, lemas, corolários são afirmações compostas de várias afirmações e sempre podem ser escritas em uma das formas: implicação, isto é, se então, isto é, =. equivalência, isto é, se e somente se, isto é, como. Hipótese é o que supomos verdadeiro, é a afirmação que fica do lado esquerdo da implicação direta (= ), ou do lado direito da implicação recíproca ( =). Tese é o que queremos provar ou demonstrar através de argumentações a partir da hipótese, é a afirmação que fica do lado direito da implicação direta (= ), ou do lado esquerdo da implicação recíproca ( =). Observações