Universidade Federal de Viçosa Departamento de Informática. Prof. Mauro Nacif Rocha Prof. Luiz Aurélio Raggi Prof. Heleno do Nascimento Santos

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Informática Prof. Mauro Nacif Rocha Prof. Luiz Aurélio Raggi Prof. Heleno do Nascimento Santos INF-8 Pesquisa Operacional I Conteúdo: Programação Linear Programação em Redes Fevereiro de

2 ASPECTOS GERAIS DA PESQUISA OPERACIONAL... EXEMPLOS DE ALGUNS PROBLEMAS COMUNS DA P.O... PARTE I PROGRAMAÇÃO LINEAR... 8 EXEMPLOS DE MODELOS PARA ALGUNS PROBLEMAS CLÁSSICOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR... PROBLEMAS PARA MODELAGEM... 7 SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA... 9 CASOS ENCONTRADOS NA RESOLUÇÃO GRÁFICA... O MÉTODO SIMPLEX... 7 MODELO MATEMÁTICO E FORMA PADRÃO DE UM PPL... 7 DEFINIÇÕES BÁSICAS... TEOREMAS FUNDAMENTAIS... O ALGORITMO SIMPLEX... 7 ALGORITMO SIMPLEX MÉTODO DAS DUAS FASES... 7 ELEMENTOS DE PÓS-OTIMIZAÇÃO... MUDANÇA NO VETOR C... MUDANÇA NO VETOR B... 6 DUALIDADE... 7 PARTE II PROGRAMAÇÃO EM REDES... 6 INTRODUÇÃO... 6 INTRODUÇÃO À TEORIA DE GRAFOS... 6 UMA BREVE HISTÓRIA DA TEORIA DOS GRAFOS... 6 CONCEITOS BÁSICOS DA TEORIA DE GRAFOS FLUXOS EM REDE... 7 FORMULAÇÃO GERAL (CLÁSSICA) PARA PROBLEMAS DE FLUXOS EM REDE... 7 O PROBLEMA DE FLUXO DE CUSTO MÍNIMO (PFCM) O PROBLEMA DE TRANSPORTE (PT) O PROBLEMA DE DESIGNAÇÃO (PD)... 9 O PROBLEMA DO CAMINHO MAIS CURTO (PCMC)... O PROBLEMA DE FLUXO MÁXIMO (PFM)... O PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MÍNIMA (AGM)... O PROBLEMA DE STEINER EM GRAFOS NÃO DIRECIONADOS... REDES PERT / CPM... 7 REDES PERT... 7 REDES PERT/CPM... BIBLIOGRAFIA... ii

3 Aspectos Gerais da Pesquisa Operacional. Introdução e Histórico Durante a II Guerra Mundial, líderes militares da Inglaterra e dos Estados Unidos requisitaram um grupo de cientistas de diversas áreas de conhecimento para analisarem alguns problemas militares. Entre esses problemas citam-se: desenvolvimento, operação e localização de radares, gerenciamento e controle de navios de apoio, planejamento de ataques aéreos, lançamento de bombas contra submarinos, defesa das comunidades européias contra ataques aéreos inimigos, abastecimento de tropas com munições e alimentos, operações de mineração, etc. A aplicação de métodos matemáticos e científicos para ajudar as operações militares foi chamada Operational Research ou Operations Research. 79 (Quesney), 87 (Walras) 87 (Jordan), 896 (Minkowsky), 9 (Farkas) 9 (Markov) Modelos dinãmicos. 9* (periódicos de negócios e engenharia industrial) Modelos primitivos de programação matemática. Bases matemáticas para os modelos lineares. Sugestões inovadoras para controle econômico de estoques. 9 (Erlang) Estudos pioneiros dos fenômenos das filas de espera. 97 (Von Neumann), 99 (Kantorovich) 98 (RAF viabilidade dos sistemas de radar) 9 (tomada da França pelos alemães) Modelos econômicos mais sofisticados. Operational Research RESEARCH into (military) OPERATIONS Maior conquista da OR na II Guerra. 97 (Dantzig) Primeira formulação abstrata de um problema de programação linear. a partir de 97 Aplicações na engenharia, economia, controle de estoque, análise de tráfego aéreo, agricultura, comunicação, planejamento rural e urbano, distribuição de energia e outros Obs.: U.K. / Europa: E.U.A.: Operational Research Operations Research

4 . Definição Pesquisa Operacional é o uso do método científico com o objetivo de prover departamentos executivos de elementos quantitativos para a tomada de decisões, com relação a operações sob seu controle (Kittel, 97). A Pesquisa Operacional é a aplicação do método científico, por equipes multidisciplinares, a problemas envolvendo o controle de sistemas organizados de forma a fornecer soluções que melhor interessam a determinada organização (Ackoff,968). Pesquisa Operacional é uma metodologia de estruturar processos aparentemente não estruturados por meio da construção de modelos. Utiliza um conjunto de técnicas quantitativas com o intuito de resolver os aspectos matemáticos dos modelos (Ehrlich, 99). Hoje, o termo operations research, ou pesquisa operacional, significa um método científico para tomada de decisão, que busca determinar como melhor planejar e operar um sistema, usualmente sob condições que requerem alocação de recursos escassos.. A Metodologia da Pesquisa Operacional Geralmente a atividade de uma equipe de P.O. envolve as seguintes fases: identificação do problema; construção de um modelo; obtenção da solução; teste do modelo e avaliação da solução; implantação e acompanhamento da solução. Deve-se salientar que tais fases não são distintas, superpondo-se e interagindo entre si, na tentativa de se obter uma melhor identificação entre o modelo e o real. Quando a pesquisa operacional é usada para resolver um problema de uma organização, o seguinte procedimento, poderá ser seguido: Passo - Identificação e formulação do problema Em primeiro lugar deve ser definido claramente o problema da organização, incluindo a especificação dos objetivos e as partes da organização que devem ser estudadas antes que o problema possa ser resolvido. Passo - Observação do sistema Dados devem ser coletados para estimar valores de parãmetros que afetam o problema da organização. Estes valores são usados para desenvolver e avaliar o modelo matemático para o problema. Passo - Formulação do modelo matemático para o problema Consiste no desenvolvimento do modelo matemático para o problema. Geralmente, existem várias técnicas que podem ser aplicadas na solução dos modelos matemáticos. A técnica adequada é selecionada em função das características do modelo representativo do problema. Algumas situações, no entanto, são tão complexas que não existem modelos analíticos tratáveis que possam repre-

5 sentá-las. Quando isso acontece é possível desenvolver modelos de simulação e usar a capacidade dos computadores para aproximar o comportamento desses sistemas. Passo - Verificação do modelo e uso do modelo para predição Verifica-se se o modelo matemático proposto para o problema é uma representação fidedigna da realidade. Os dados coletados durante a observação do problema podem ser usados para a validação do modelo na situação corrente. Passo - Selecionar uma alternativa aceitável Dado o modelo do problema e um conjunto de alternativas (soluções viáveis) deve-se escolher aquela (se existir) que melhor atende aos objetivos da organização. Em alguns casos, a seleção da melhor alternativa possível é um problema de difícil solução e, nesses casos, aceita-se uma boa alternativa. Passo 6 - Apresentação dos resultados e conclusões A partir da definição do modelo e das alternativas determinadas para o problema são feitas as recomendações para os gerentes das organizações para que eles possam tomar as decisões que melhor atendem os objetivos buscados. Passo 7 - Implementação e avaliação das recomendações Se a organização aceita o estudo realizado e as recomendações feitas, parte-se para a fase de implementação da solução, a qual deve ser constantemente monitorada, e atualizada dinamicamente, fazendo-se mudanças quando necessárias.. Áreas de aplicação Segundo trabalhos apresentados em reuniões da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO), citam-se abaixo algumas áreas onde a P.O. foi aplicada com algum sucesso e onde se observa a grande variedade dessas aplicações: administração agropecuária economia e planejamento econômico educação e saúde energia engenharia forças armadas investimentos e finanças localização-armazenamento-distribuição planejamento e controle da produção planejamento urbano e regional recursos hídricos siderurgia telecomunicações transporte

6 . Técnicas aplicadas Os trabalhos de PO desenvolvidos e submetidos para apresentação em congressos e para publicação revistas científicas envolvem a utilização das seguintes técnicas: Análise e previsão de séries temporais Controle e qualidade Estatística Teoria dos grafos Otimização Programação matemática Processos estocásticos e teorias das filas Simulação Teoria da decisão e teoria dos jogos Estas técnicas permitem que se resolva uma variedade enorme de problemas, dentre os quais são típicos: Alocação de recursos Localização e distribuição da produção Estoque Substituição e reposição de equipamentos Seqüenciamento e coordenação de tarefas Determinação de caminhos em rede Situações de competição (teoria dos jogos) Busca de informação Roteamento de veículos Fluxos em rede Problemas de características híbridas 6. Surgimento e desenvolvimento da PO no Brasil O início da P.O. no Brasil se deu aproximadamente uma década após sua implantação na Grã-Bretanha e nos Estados Unidos. Assim, já nos meados da década de, professores com formação em Engenharia, Matemática e/ou Estatística, entusiasmados com as novas técnicas relacionadas a P.O. que aqui chegavam pela difusão natural do conhecimento humano, começaram a formar equipes de P.O. nas universidades e instituições de ensino (ITA, PUC, COPPE-UFRJ, UFPB, UNICAMP, UFSC, UFMG, UFV, etc.), reproduzindo-se e induzindo a formação de equipes em conjunto com as empresas (PETROBRÁS, ELETROBRÁS, USIMINAS, CSN, EMBRAPA, SOUZA CRUZ, TELEBRÁS, etc.), bem como a formação de consultorias nas grandes cidades. Atualmente, vê-se com certo otimismo as perspectivas da P.O. no Brasil e, em particular, na Agricultura, Sistemas de Produção e Engenharia de Alimentos, baseando-se nos seguintes fatores: A crise como elemento propulsor (escassez de recursos); A explosão da informática; Massa crítica existente de analistas de P.O.; Integração universidade empresa; Seminários de P.O. aplicada à agropecuária; Existência de cursos de P.O. nas universidades brasileiras; Cursos e pesquisas em andamento na COPPE, UNICAMP, UFPb, UFSc, EMBRAPA, etc.

7 Exemplos de Alguns Problemas Comuns da P.O. Problema do Caminho Mínimo (PCM) Objetivos: determinar a rota de menor caminho (distância, tempo ou custo) existente entre um ponto de origem (cidade, endereço, computador, objeto etc.) e um ponto de destino. Problemas de Localização de Facilidades Objetivos: determinar a localização e capacidade das facilidades (restaurantes, depósitos, antenas de rádio etc.) de forma a suprir a demanda da região toda com um custo mínimo e/ou lucro máximo (considerando um determinado período). Cada facilidade possui normalmente um custo fixo de instalação e custos variáveis de operação. Problema da Mochila Rolando Caio da Rocha, um exuberante alpinista, está se preparando para uma longa escalada nos Alpes. Ele consegue levar até W quilos em sua mochila. Ele tem N diferentes tipos de itens que pode incluir em seu fardo, e cada unidade de item j pesa w j quilos. Para cada item j, ele calculou um valor numérico R j representando o valor de sobrevivência de cada unidade do item. Como exemplo, se ele levar cinco unidades do item e sete unidades do item 9, o valor para ele desta seleção na mochila é R + 7R 9. O problema do Rolando é escolher o número de cada tipo para incluir em sua mochila.

8 Escolha da Mistura para Rações Grão Grão Grão Necessidades mínimas Nutriente A 7 Nutriente B Nutriente C 9 Nutriente D,6,, $/peso 96 Objetivos: formular uma ração formada a partir da mistura dos grãos que atenda às necessidades mínimas e máximas de nutrientes e tenha um custo mínimo. Bin-packing / Cutting Stock Barra (bin) = mm Demanda (mm) Objetivos: determinar a quantidade mínima possível de barras para que sejam cortados todos os pedaços necessários para suprir a demanda. Fornecimento de Produtos através de uma Rede de Transportes Usinas Depósitos Fornecimentos disponíveis S S S D D D Necessidades de demanda S m D n Objetivos: determinar a quantidade do produto que cada fornecedor deve enviar para cada depósito, de forma que o custo total do transporte seja mínimo, que cada depósito tenha sua demanda atendida, e que nenhum depósito estoure sua capacidade de fornecimento. 6

9 Problemas de Produção Recursos Especificações Atividades INSUMOS PRODUTOS Máquinas Ferramentas Produto Produto Capital Decisões. Matéria prima. Mão-de-obra Produto n CUSTOS RECEITA Objetivos: determinar as atividades que devem ser realizadas ou produzidas de forma a maximizar o lucro ou minimizar o custo de produção, levando-se em conta a quantidade máxima disponível para cada insumo. O Problema de Designação (caso particular do problema de transporte) Indivíduos ou máquinas (n) Custos c ij Tarefas a serem executadas (n) Objetivos: minimizar o custo total para executar um conjunto de tarefas, onde cada tarefa deve ser executada por uma única máquina, e cada máquina executa uma única tarefa. 7

10 Parte I Programação Linear. O significado da expressão PROGRAMAÇÃO alocação de itens ou entidades LINEAR relativo a funções, equações ou inequações lineares. O problema geral Recursos escassos devem ser repartidos entre demandas competitivas Decisões são interligadas na tomada de decisão Demandas competem entre si na procura dos recursos escassos Objetivos: Otimizar a distribuição dos recursos limitados no atendimento às demandas competitivas; Maximizar lucros ou o uso dos recursos; Minimizar custos, sobras, tempos ou distâncias. 8

11 . Fases na solução de um problema de pesquisa operacional FLUXOGRAMA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA OBTENÇÃO DO MODELO DEFINIÇÃO DO MÉTODO DE SOLUÇÃO OBTENÇÃO E PREPARO DOS DADOS EXPERIÊNCIA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS COMPARAÇÃO COM A REALIDADE IMPLEMENTAÇÃO DA SOLUÇÃO 9

12 . Modelagem de problemas MODELOS SÃO REPRESENTAÇÕES DA REALIDADE GRANDE NÚME- RO DE VARIÁ- VEIS SISTEMA SELEÇÃO DAS VA- RIÁVEIS PRINCIPAIS INTER- RELACIONAMENTO SIMPLIFICAÇÃO DA REALIDADE MODELO. Modelos matemáticos Os modelos matemáticos são modelos simbólicos - o sistema real é representado por EQUAÇÕES E EXPRESSÕES MATEMÁTICAS que descrevem suas propriedades relevantes. n DECISÕES QUE SÃO QUANTIFICÁVEIS E INTERRELACIONADAS REPRESENTA A MEDIDA DE EFICIÊNCIA DO SISTEMA SÃO RESTRIÇÕES AOS VALORES DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO É A REALIDADE n VARIÁVEIS DE DECISÃO (x, x,, x n ) FUNÇÃO OBJETIVO Z = f(x, x,, x n ) REPRESENTADAS POR EQUA- ÇÕES OU INEQUAÇÕES MA- TEMÁTICAS É UMA APROXIMAÇÃO VALIDADE ASSOCIADA AO GRAU DE COR- RELAÇÃO

13 6. Expressão matemática de um modelo de programação linear OBJETIVO Determinar os valores das variáveis x, x,, x n que otimizam (maximizam ou minimizam) a função linear Z = c x + c x + + c n x n, obedecendo às seguintes RESTRIÇÕES: a x + a x + + a n x n, =, b a x + a x + + a n x n, =, b a m x + a m x + + a mn x n, =, b m e de forma que as variáveis sejam NÃO NEGATIVAS, ou seja: x n, x n, x n. Temos que c j, a ij e b i são constantes conhecidas, para todo i e todo j. Os parãmetros e variáveis do modelo são: Z - Medida de eficiência do sistema (chamada de Função Objetivo ou F.O.); x j - Nível da atividade j (variável de decisão); c j - Taxa de contribuição unitária da atividade j; b i - Disponibilidade do recurso i; a ij - Coeficiente tecnológico (quantidade i / consumido por j) n - Número de atividades no modelo; m - Número de restrições no modelo. 7. Construção de um modelo de programação linear ETAPAS A SEGUIR PARA CONSTRUIR UM MODELO DE PL. Definição das atividades Definir as atividades (x j ) e escolher uma unidade de medida para o seu nível.. Definição dos recursos Determinar os recursos consumidos e escolher a unidade de medida conveniente.. Determinação das condições externas Determinar a quantidade de recurso disponível (b i ).. Cálculo dos coeficientes insumo/produção Determinar a relação entre atividades e recursos (a ij ).

14 . Construção do modelo Associar x, x,, x n às n atividades; Escrever as equações de balanceamento por recurso; Indicar o uso dos recursos; Estabelecer a função objetivo como medida de eficiência.

15 Exemplos de Modelos para Alguns Problemas Clássicos de Programação Linear Escolha da Mistura para Rações Grão Grão Grão Necessidades mínimas Nutriente A 7 Nutriente B Nutriente C 9 Nutriente D,6,, $/kg 96 Seja: x = qtde. (kg) do Grão usada na ração x = qtde. (kg) do Grão usada na ração x = qtde. (kg) do Grão usada na ração Custo total da ração: x + x + 96x Para atender às necessidades mínimas para cada nutriente, devemos ter: x + x + 7x, (Nutriente A) x + x, (Nutriente B) x + x 9, (Nutriente C),6x +,x + x, (Nutriente D) Queremos obter uma ração que tenha um custo mínimo. Portanto, o modelo completo fica assim: Minimizar x + x + 96x (Função Objetivo ou F.O.) Sujeito a: (Restrições) x + x + 7x, (Nutriente A) x + x, (Nutriente B) x + x 9, (Nutriente C),6x +,x + x, (Nutriente D) e: x, x, x

16 Problema de Produção A empresa Nova Linha produz artigos de vidro de alta qualidade: janelas e portas, em três seções de produção: Seção de Serralharia: para produzir as estruturas de alumínio Seção de Carpintaria: para produzir as estruturas de madeira Seção de Vidro e Montagem: para produzir vidro e montar as portas e janelas Devido à diminuição dos lucros, o gerente geral decidiu reorganizar a produção, e propõe produzir só produtos que têm uma melhor aceitação entre os clientes. Estes produtos são: Produto : uma porta de vidro com estrutura de alumínio Produto : uma janela grande com estrutura de madeira O Departamento de Marketing concluiu que a empresa pode vender tanto de qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produção disponível. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produção da seção, o dono solicitou ao gerente de produção da empresa a resolução deste problema. O gerente então levantou os seguintes dados: a capacidade de produção por minuto de cada seção, a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto os lucros unitários para cada produto Seção Nº Lucro unitário (em R$) Capacidade por unidade de produção Produto Produto Capacidade disponível 8 Modelo completo: Maximizar Z = x + x, sujeito a x x x + x 8 x, x

17 Problema da Mochila Rolando Caio da Rocha, um exuberante alpinista, está se preparando para uma longa escalada nos Alpes. Ele consegue levar até W quilos em sua mochila. Ele tem N diferentes tipos de itens que pode incluir em seu fardo, e cada unidade de item j pesa w j quilos. Para cada item j, ele calculou um valor numérico R j representando o valor de sobrevivência de cada unidade do item. O problema do Rolando é escolher o número de cada tipo para incluir em sua mochila. Modelo: F.O.: Max. R x + R x R j x j R N x N s.a.: w x + w x w j x j w N x N W x j ou: N Max. R x j j j= s.a.: j = x N j w x j j W

18 Cutting Stock Tamanho (mm) Quantidade Tamanho da Barra: 6 mm Temos então as seguintes possibilidades de corte: x x x x x x 6 Demanda Sobra: 6 9 Sendo NB = N o total de barras de 6 mm que serão cortadas, x j = N o de barras de 6 mm que serão cortadas segundo o padrão de corte j, F.O.: Min. NB = x + x + x + x + x + x 6 s.a.: x + x 6 x + x + x + x 7 x + x + x + x + x + 7x 6 7 x, x, x, x, x, x 6 Se: a ij = N o de pedaços de tamanho i que serão cortados no padrão j, b i = demanda de pedaços i, m = N o de tamanhos diferentes (linhas), n = N o de padrões de corte diferentes (colunas). Min. NB = s.a. n x j j = n aij x j j = b, i =,,..., m i x j e inteiro, j =,,..., n 6

19 Problemas para Modelagem Problema de Produção e Alocação de Recursos Um fazendeiro deseja determinar que área de sua propriedade deve plantar milho e feijão para maximizar o seu lucro, e informa o seguinte: a) o fazendeiro dispõe de uma área máxima de 8 alqueires para o plantio das culturas, m de água para irrigação por semana, e a semente de feijão lhe permite um plantio de alqueires no máximo; b) o lucro por alqueire plantado com milho é de R$, e plantado com feijão é de R$,; c) cada alqueire plantado com milho requer m de água por semana, e com feijão m ; d) por questões pessoais, ele deseja plantar no máximo / da área total com milho. Formule o problema como um PPL. Problema de Alocação de Recursos Em uma determinada repartição, existem m máquinas disponíveis para realizar determinadas tarefas ou fabricar determinados produtos. Cada máquina, devido à idade e ao fabricante, pode ser mais ou menos adequada que as outras para fabricar um determinado produto, bem como ter um custo de operação próprio (consumo de energia, manutenção etc.). Seja: n o número de produtos que precisam ser fabricados nessas máquinas, d ij o tempo necessário para fabricar o produto j na máquina i, x ij o número de unidades de j produzido na máquina i, a i o tempo disponível para a máquina i, b j o número de unidades de j que precisam ser produzidos, e c ij o custo para fabricar uma unidade do produto j na máquina i. Modele este PPL de forma a obter uma produção de custo mínimo. Problema de Alocação de Transportes O expedidor de vôos, Eli Cóptero, da companhia Frete Aéreo Cauda Alta Ltda., que opera de um terminal central, tem 8 aviões do Tipo, aviões do Tipo e aviões do Tipo disponíveis para os vôos de hoje. A capacidade de cada avião é de t, 7t e t, respectivamente. O Sr. Cóptero deve expedir aviões para as cidades A, B e C. A quantidade mínima de cada produto que deve ser enviada para cada cidade é de t, 8t e t, respectivamente. Cada avião pode voar somente uma vez por dia. O custo de enviar um avião do terminal a cada cidade é dado pelo seguinte quadro: Tipo Tipo Tipo Cidade A, Cidade B 8,8 Cidade C 6, Denote por x ij o número de aviões do tipo i enviado para a Cidade j (x A, x B, x C, x A etc.). Formule um modelo de PL para esse problema. 7

20 Problema de Planejamento de Tarefas Uma determinada região está sendo ameaçada pela ruptura de uma barragem e deve ser evacuada em, no máximo, horas. São no total 8. homens, 7.9 mulheres e.8 crianças a transportar. Cada pessoa poderá levar até quilos de bagagem pessoal, Toda a região foi isolada e só circulam veículos autorizados para que se evitem acidentes e engarrafamentos. Para efetuar a evacuação estão disponíveis os seguintes meios: Quantidade de Unidades Disponíveis Capacidade de Transporte Capacidade para bagagem Custo por Viagem Tempo de Viagem Veículo de 6 ton. do Exército Veículo de ¼ ton. do Exército Helicóptero Ônibus Microônibus Veículo de Passeio 6 pessoas pessoas pessoas pessoas pessoas pessoas ton. kg kg ton. kg kg u.m. u.m. 7 u.m. u.m. u.m. u.m. h min. min. min. min. min. Para minimizar o pânico, as crianças deverão viajar acompanhadas por suas mães. Existem famílias com filhos, com filhos, com, com e com. Os carros de passeio só poderão fazer uma viagem de evacuação, ficando, por segurança, retidos fora da área de perigo. Formular o programa de evacuação que minimize os custos finais da operação. 8

21 Solução de um Problema de Programação Linear Interpretação Geométrica Representação no espaço de soluções duas dimensões (variáveis). Exemplo () maximizar x + x sujeito a: () x + x () x + x () x e x Solução Ótima: ponto b, onde x = /7, x = 8/7 e x + x = /7 9

22 Exemplo Por determinação médica, um jovem precisa fazer algum tipo de atividade física em uma academia. Por questões pessoais, ele escolheu fazer natação e/ou pólo aquático. Ele sabe que: Uma hora de aula de natação custa R$8,; Uma hora de aula de pólo custa R$,; Seu orçamento lhe permite dispor de reais mensais para as atividades de academia; Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de gastar mensalmente, no máximo, 8 horas e. calorias de sua energia para essas atividades; Cada hora de aula de pólo consome. calorias, e de natação consome.6 calorias; Ele não tem preferência por nenhuma dessas duas atividades. Como ele deve planejar as suas atividades físicas para obter o número máximo de horas-aula, considerando o limite dos recursos que tem? Modele o problema como um problema de programação linear (PPL). x Horas-aula de natação; x Horas-aula de pólo aquático s.a.: máx. x + x () x + x 8 () 8x + x () 6x + x () () () () ()

23 Exemplo Um fazendeiro deseja determinar que área de sua propriedade deve plantar milho e feijão para maximizar o seu lucro, e informa o seguinte: a) o fazendeiro dispõe de uma área máxima de 8 alqueires para o plantio das culturas, m de água para irrigação por semana, e a semente de feijão lhe permite um plantio de alqueires no máximo; b) o lucro por alqueire plantado com milho é de R$, e plantado com feijão é de R$,; c) cada alqueire plantado com milho requer m de água por semana, e com feijão m ; d) por questões pessoais, ele deseja plantar no máximo / da área total com milho. x Qtde. de alqueires plantados com milho x Qtde. de alqueires plantados com feijão máx. x + x s.a.: x + x = 8 () x () x 6/ () x + x ()

24 Exemplo Suponha que, por motivos justificáveis, uma certa dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado e uma salada de composição bem conhecida. Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitamina A e cálcio e controlados por suas quantidades mínimas (em miligramas). A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa. Nutriente Leite (copo) Salada (g) Requisito Nutricional Mínimo Vit. A mg mg mg Cálcio mg mg 7 mg Custo/unid. R$, R$, sendo x = qtd. de leite (em copos) x = qtd. de salada (em porções de g) min x +,x s.a. x + x x + x 7

25 Casos Encontrados na Resolução Gráfica Continuaremos usando aqui modelos de duas variáveis, mantendo um espaço bidimensional (plano), facilitando assim a visualização, para ilustrar todas as situações possíveis de ocorrer para um modelo de PL qualquer.. Uma única solução ótima. Exemplo : s.a.: máx. x + x 8x + x () 6x + x () x F.O. () () x

26 Exemplo : min x +,x s.a. x + x () x + x 7 () () (). Infinitas soluções ótimas. s.a.: máx. 6x + x 8x + x () 6x + x () x () () x

27 . Solução ótima ilimitada. Exemplo : max x +,x s.a. x + x () x + x 7 () () () Exemplo : x max x x s.a. x x () x () () () x

28 Exemplo : x min x x s.a. x x () x + x () () () x Neste caso, embora existam soluções ótimas finitas (qualquer ponto sobre a reta, incluindo e à direita do ponto de intercessão dessa reta com a reta ), limitando o valor ótimo da F.O., o conjunto desses pontos não é limitado ou fechado.. Problema inviável (nenhuma solução existente). x min Z = f(x, x ) (uma função-objetivo qualquer) s.a. x + x () x + x () () () x Veja que, neste caso, não existe nenhum ponto (x, x ) no plano euclidiano que satisfaça simultaneamente as expressões () e (). 6

29 O Método Simplex O método Simplex, desenvolvido por DANTZIG em 96, procura, a partir de uma determinada partição da matriz A, resolver o sistema de equações Ax = b. Veremos a seguir como podemos preparar um modelo de PL qualquer para que seja resolvido pelo Simplex, quais os fundamentos teóricos do algoritmo, e como ele podemos usá-lo para resolver os modelos estudados. Modelo matemático e forma padrão de um PPL Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar Z = c x + c x + + c n x n Sujeito a: a x + a x + + a n x n, =, b a x + a x + + a n x n, =, b a m x + a m x + + a mn x n, =, b m x n, x n, x n A forma apresentada acima é a expandida. Outras formas de representar um problema de programação linear são as mostradas a seguir: a) Forma de Somatório: Maximizar Z = Sujeito a: n j= n j= c j x j a ij x j, =, b i, i =,, m; x j, j =,, n. b) Forma Matricial Maximizar Z = cx Sujeito a: Ax, =, b x onde A é uma matriz retangular de dimensões m n; c é um vetor n, b é um vetor m e x é um vetor n. O uso de uma ou outra forma depende da conveniência da aplicação. As formas matricial e somatório são mais usadas para provas e demonstrações diversas. A forma expandida é necessária quando se torna necessário explicitar os coeficientes a ij, b i e c j. 7

30 Forma Padrão de um Modelo de PL Antes de estabelecermos um algoritmo único para resolver os modelos matemáticos apresentados anteriormente, é necessário padronizar o formato desses modelos. Usaremos o formato padrão de maximização, que é adotado pela maioria dos livros de P.L.: Um modelo de PL na forma padrão é constituído apenas por equações lineares, e suas variáveis e termos independentes (b i ) devem ser não negativas, como o modelo abaixo: Maximizar Z = Sujeito a: n j= n j= c j x j a ij x j = b i, i =,, m; x j, j =,, n; b i, i =,, m. É importante salientar que em um problema de programação linear qualquer podem aparecer varáveis que devem ser deixadas livres em sua formulação, ou seja, variáveis irrestritas em sinal. Além disso, outras varáveis podem representar grandezas que na prática não podem ser positivas. Para que um problema com variáveis dos tipos mencionados acima seja colocado na forma padrão tornam-se necessários alguns recursos matemáticos, os quais serão discutidos a seguir. Recursos para se obter a forma padrão de um modelo de PL ) Função Objetivo Os problemas de programação linear consistem em maximizar ou minimizar uma função objetivo. Um problema de minimizar pode ser transformado em maximizar fazendo-se: [ c j x j ] = Máximo Mínimo c j x j = Máximo ( c j ) x j Então, se o problema é minimizar e deseja-se trabalhar como maximizar, multiplica-se os coeficientes da função objetivo por (-), resolve-se o problema de maximizar e toma-se o negativo do valor encontrado. Esse valor é o mínimo do problema original. ) Variáveis de Folga Considere a inequação linear do tipo " ": n akj x j j= b k Utiliza-se uma variável x k, chamada variável de folga, em que x k = b k j a kj x j, de forma que n j= a x + x = b kj j k k Para cada restrição do tipo " " deve-se utilizar uma variável de folga diferente que representa a folga do recurso disponível que não foi utilizado. 8

31 ) Variáveis de Excesso Considere a inequação linear do tipo " ": n asj x j j= b s Utiliza-se uma variável x s, chamada variável de excesso, em que x s = j a sj x j, b s, de forma que n j= a x x = b sj j s s Para cada restrição do tipo " " deve-se utilizar uma variável de excesso diferente que representa o excesso do recurso utilizado. ) Variáveis livres ou irrestritas em sinal Quando uma variável representa uma grandeza que pode assumir na prática valores positivos, nulos ou negativos, ou seja, a variável deve ser irrestrita em sinal, então na forma padrão essa variável é substituída pela diferença de duas outras não negativas, e, posteriormente, quando o problema for resolvido, seu valor real é resgatado. Assim, se x l é irrestrita em sinal, faz-se: x l = x l ' - x l '', onde x l ' e x l ''. Resolve-se o problema com x l ' e x l '', e após a solução obtém-se x l. ) Variáveis com valores não positivos Quando uma variável x q representa uma grandeza que não deve assumir valores positivos no problema original, então, para construir a forma padrão do modelo de PL, substitui-se essa variável, fazendo-se x q = - x q ', onde x q '. Resolve-se o PPL com x q ' e, posteriormente, recupera-se x q. 6) Termos independentes com valores negativos Se algum b i tiver sinal negativo, basta multiplicar a linha toda por : x x x + x Exemplo: min. x +,x s.a. x + x x + x 7 Forma padrão: max. x,x s.a. x + x x = x + x x = 7 9

32 Definições básicas Considere o problema de programação linear na forma matricial e padrão: Maximizar Z = cx () Sujeito a: Ax = b () x () Define-se como solução de um PPL, um vetor x que satisfaz as restrições (); solução viável de um PPL é um vetor x que satisfaz as restrições () e (); e região viável ou conjunto de soluções viáveis de um PPL é o conjunto de vetores x que satisfazem () e (). Considere o sistema Ax = b no problema acima e suponha que posto [A b] = posto [A] = m, o que significa que o sistema Ax = b é compatível, ou seja, tem solução. Uma permutação das colunas de A pode ser feita de forma a obter A = [B,N], onde B é uma matriz quadrada de dimensões m m, e N é de dimensões m (n-m). Se o posto (B) = m, então B é uma matriz inversível, e uma solução do sistema pode ser dado por: x B = B b x N = O vetor x = (x B x N ) é chamado uma solução básica do sistema de equações Ax = b. Se x, então x é chamado uma solução básica viável do sistema. A matriz B é chamada matriz básica, ou simplesmente base do sistema e a matriz N é chamada matriz não básica. No vetor x = (x B x N ), as componentes de x B são chamadas variáveis básicas e as componentes de x N são chamadas variáveis não básicas. Se todas as componentes de x B forem maiores que zero, então x é chamado solução básica viável não degenerada, e se pelo menos uma de suas componentes for nula, então x é chamado solução básica degenerada. Exemplo para ilustrar as definições básicas Seja o problema de programação linear com duas variáveis e duas restrições: Maximizar z = x + x () sujeito a: x + x 6 () x () x j A representação gráfica é a seguinte:

33 Obtendo-se a forma padrão do PPL pela introdução das variáveis de folga x e x nas restrições () e (), respectivamente, tem-se o seguinte sistema de equações lineares: x + x + x = 6 x + x = x j A matriz de coeficientes tecnológicos A e os vetores colunas correspondentes são os seguintes: [ ] a a a a A = = Para se obter uma matriz básica B ( ) a partir da matriz A, deve-se selecionar vetores, a i e a j, linearmente independentes. Para uma matriz A (m n), o número máximo possível de matrizes quadradas de dimensões m m é dado por: )!!(! m n m n No caso, n = e m =, assim esse número máximo é 6. No entanto, como os vetores a e a são i- guais, ou seja, não são linearmente independentes, o número de matrizes básicas fica reduzido a. A seguir são mostradas todas as matrizes básicas obtidas a partir do sistema dado, com as respectivas soluções básicas x B e as não básicas x N. ) [ ] = = = = = = = = 6 x x x b B x x x a a B N B

34 ) [ ] = = = = = = = = 6 6 x x x b B x x x a a B N B ) [ ] = = = = = = = = 6 x x x b B x x x a a B N B ) [ ] = = = = = = = = 6 6 x x x b B x x x a a B N B ) [ ] = = = = = = = = 6 6 x x x b B x x x a a B N B Das soluções básica obtidas, apenas a solução número não é viável, visto que o componente x é negativo. Então são soluções básicas viáveis para o PPL, a saber: = x, = 6 x, = x, = 6 x Estes pontos pertencem a R. Uma projeção em R, ou seja, no plano gerado por x e x, tem como resultante os seguintes pontos:

35 6 x =, x =, x =, x = Estes pontos são identificados na solução gráfica do problema, mostrando que eles correspondem aos pontos extremos do polígono de restrições (figura seguinte). x x x x Solução básica degenerada Uma solução básica viável é dita degenerada se existir uma ou mais variáveis básicas nulas. A existência de uma solução degenerada afeta o comportamento do algoritmo Simplex, e daí a importância sobre desse tipo de solução. Um exemplo mostrando a ocorrência de uma solução degenerada é dado a seguir. Seja o seguinte conjunto de restrições de um PPL com duas variáveis e três restrições (assumiremos sempre todos os x j, a menos que se diga o contrário): x + x 6 x x + x 9 Sua representação gráfica é a seguinte:

36 Usando variáveis de folga o sistema é transformado em igualdades, na forma: x + x + x = 6 x + x = x + x + x = 9 A matriz de coeficientes do sistema expandido é: [ ] = = a a a a A Considere a matriz básica formada pelas três primeiras colunas de A, ou seja, B = [a a a ]. A solução correspondente é dada por: Variáveis básicas: = = = = = b B x x x x B Variáveis não básicas: = = x x x N Tendo em vista que a variável básica x =, então a solução é degenerada. Veremos as implicações disso mais tarde.

37 Teoremas fundamentais Considere o problema de programação linear na forma padrão: Maximizar Z = cx Sujeito a: Ax = b x Relembraremos agora algumas definições básicas, ilustrando-as de forma um pouco diferente: Definição : Uma base de uma matriz A (m n) é uma matriz quadrada de m vetores coluna linearmente independentes em m. As variáveis associadas a essas colunas são chamadas variáveis básicas. Ax = b x = (x B, x R ), onde: x B representa o vetor das variáveis básicas de m componentes, e x R representa o vetor das restantes n m variáveis não básicas. x: x B B R A: m m n m O sistema pode então ser reescrito assim: Bx B + Rx R = b Como podemos solucionar o conjunto de equações somente em função das variáveis básicas, temos: x R = e Bx B = b Definição : Seja B uma base associada a uma matriz A. O vetor composto de é chamado de solução básica. x B = B b e x R = Definição : Uma solução básica sem componentes negativas é denominada solução básica viável. Definição : O conjunto C = {x Ax = b, x } denomina-se conjunto de soluções viáveis.

38 Teorema O conjunto C das soluções viáveis de um modelo de programação linear é um conjunto convexo. Demonstração: x = α x + ( α ) x C { x, x} C α Ax = A[ α x + ( α) x ] = α Ax + ( α) Ax = αb + ( α) b = b Teorema Toda solução básica viável do sistema Ax = b é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, ou seja, um ponto extremo do conjunto C Teorema Todo ponto extremo x de um conjunto de soluções viáveis de um sistema Ax = b é uma solução básica viável. Corolário : O conjunto de pontos extremos de um conjunto de soluções viáveis é finito e limitado em C. m n Corolário : Se existe uma solução viável, então existe uma solução básica viável. Teorema. Se o PPL tem solução ótima (máximo ou mínimo de Z) finita, então pelo menos uma solução ó- tima ocorre em um ponto extremo (vértice) do conjunto C;. Se a solução ótima ocorre simultaneamente em mais de um ponto extremo, então qualquer combinação convexa desses pontos extremos também é solução ótima. 6

39 O Algoritmo Simplex O algoritmo Simplex é um procedimento computacional desenvolvido para resolver problemas de programação linear. Podemos dividi-lo em duas fases distintas: Fase - consiste em determinar uma solução básica viável do PPL ou, então, mostrar que tal solução não existe. Neste último caso, não havendo solução básica viável, não existe solução para o problema, ou seja, o conjunto de restrições é inconsistente. Quando uma solução básica viável puder ser identificada facilmente, a Fase não precisa ser usada; Fase - consiste em determinar a solução ótima para o PPL ou, então, mostrar que a solução é ilimitada, ou seja, que o valor de Z pode crescer ou decrescer infinitamente. A Fase inicia a partir de uma solução básica viável do PPL, que pode ser obtida usando-se a Fase. Ilustração Caso típico de problema em que é necessário o uso da Fase : Maximizar x + x sujeito a: - x + x 9 x - x x + x x + x Solução gráfica Colocando o problema na forma padrão tem-se: Maximizar x + x sujeito a: - x + x + x = 9 x - x + x = x + x + x = x + x - x 6 = 7

40 Tomando-se x e x como variáveis não básicas, tem-se x = e x =. Os valores das variáveis básicas são obtidas de forma trivial, ou seja: x = 9, x =, x = e x 6 = -. A solução básica correspondente é x = (,, 9,,, -), que não é viável, pois existe uma componente negativa (x 6 = -). Neste caso, para se obter uma solução básica inicial é necessário usar a Fase do Simplex. Veremos como isso pode ser feito mais adiante. Caso de problema em que não é necessário usar a Fase : Maximizar x + x sujeito a: x x x + x 9 Solução gráfica Colocando o problema na forma padrão tem-se: Maximizar x + x sujeito a: x + x = x + x = x + x + x = 9 Tomando-se x e x como variáveis não básicas, tem-se x = e x =. Os valores das variáveis básicas são obtidas de forma trivial, ou seja: x =, x = e x = 9. A solução básica correspondente é x = (,,,, 9), que é viável, pois todas componentes são não negativas. Neste caso, para se obter uma solução básica inicial não é necessário usar a Fase do Simplex. 8

41 O Algoritmo Simplex Detalhamento Passo Passo Passo Determine uma solução básica viável (SBV) inicial. Se necessário usar a Fase ; Testar se a SBV corrente é ótima. Se sim, pare, o problema está resolvido; se não, vá ao passo seguinte; Fazer a mudança de base, ou seja: (i) Determinar a variável não básica que deve entrar na base a variável não básica a entrar na base deve ser aquela que mais aumenta o valor da função objetivo no momento corrente, ou seja, aquela que tem o maior coeficiente; (ii) Determinar a variável básica que deve sair da base a variável a sair da base deve ser aquela que primeiro assumirá valores negativos como conseqüência do aumento do valor da variável escolhida para entrar na base. O propósito é não permitir que alguma variável assuma valores negativos, tornando o problema inviável; (iii) Processar a mudança de base fazendo-se a operação de pivoteamento e retornar ao Passo. Podemos também descrever o algoritmo em forma de fluxograma, como mostra a figura seguinte: 9

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43 Exemplo Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de m de tábuas, 6m de pranchas e m de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria prima, conforme a tabela abaixo. A escrivaninha é vendida por R$, a mesa por R$8, o armário por R$ e a prateleira por R$. Modele e resolva o problema pelo simplex, de forma a maximizar a receita com a venda dos móveis. Quantidade de material em metros consumidos por unidade de produto Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Tábua Prancha 6 Painéis Valor de Revenda (R$) 8 Considerando as seguintes variáveis de decisão: x E = Nº de escrivaninhas a ser produzido; x M = Nº de mesas a ser produzido; x A = Nº de armários a ser produzido; x P = Nº de prateleiras a ser produzido. Podemos então escrever o modelo de PL: Disponibilidade do Recurso (m) Max. Z = x E + 8x M + x A + x P s.a. x E + x M + x A + x P x M + x A + x P 6 x E + x M + x A Passando para a forma padrão, temos: Max. Z = x E + 8x M + x A + x P s.a. x E + x M + x A + x P + x = x M + x A + x P + x = 6 x E + x M + x A + x = A nossa solução básica viável inicial pode ser obtida, neste caso, de forma trivial: x = ; x = 6; x = ; x E = x M = x A = x P =. Podemos agora montar o quadro simplex. Para isso, trataremos a equação da F.O. como se fosse apenas mais uma equação do nosso sistema linear: Z + x E + 8x M + x A + x P = x E + x M + x A + x P + x = x M + x A + x P + x = 6 x E + x M + x A + x =

44 Essa linha será destacada no quadro, e sua importância será vista no decorrer do algoritmo. Além disso, usaremos a ª coluna para fazer a numeração das linhas, somente para facilitar as explicações a seguir. A ª coluna serve para relacionarmos as variáveis básicas (V.B.): V.B. x E x M x A x P x x x b L Z 8 L x L x 6 L x Para entrar na base, devemos escolher a variável que possui o maior coeficiente na linha L. Esses coeficientes indicam a contribuição que cada variável dá à Função Objetivo. para cada unidade de aumento de seus respectivos valores. No quadro acima, vemos que cada unidade de aumento da variável x A resulta em um aumento de unidade no valor da F.O. Essa é a variável que mais contribui localmente para o processo de maximização da F.O., e é portanto a escolhida para entrar na base. Esse processo de escolha é representado no fluxograma da seguinte maneira: c j* = max(c j ) onde j* representa a coluna correspondente à variável que deve entrar na base. Para que a variável x A entre na base, é preciso que uma variável básica saia da base (por que?). Para determinar isso, é só fazer com que o valor de x A cresça o máximo possível. Podemos ver pelos valores do quadro acima que, se x A for maior que (ou x A > ), então teremos para a ultima restrição o seguinte: x A + x = x = x A e o valor de x seria negativo, o que seria inviável. Com isso, o maior valor que x A pode assumir sem violar nenhuma das restrições é x A =. Nesse caso, o valor de x seria igual a zero, e ele então sai da base. Todo esse processo de escolha é representado no fluxograma da seguinte maneira: Escolher i* min(b i / a ij* ), a ij* > onde i* representa a linha correspondente à variável que deve sair da base. O significado desse procedimento é bem simples: divida todos os b i pelos valores de a ij* que forem maiores que zero, e pegue o menor valor dessa divisão, que corresponderá à linha i*. No caso acima, teríamos: L : / = L : 6 / = 6 L : / = i* Agora podemos representar a mudança de base usando setas no quadro:

45 V.B. x E x M x A x P x x x b L Z 8 L x L x 6 L x O elemento destacado representa o nosso pivot. Observe que os vetores-coluna das variáveis básicas na matriz A formam uma matriz identidade, e seus coeficientes da linha L são nulos. Esse padrão será mantido durante todo o decorrer do algoritmo. Dessa forma, os valores das V.B. são obtidos diretamente na última coluna (b), e o valor de Z é obtido na posição b. O pivoteamento consiste então em transformar a coluna correspondente à variável que está entrando na base em um vetor canônico, substituindo o vetor canônico da variável que está saindo da base. Fazemos isso por meio das operações básicas de linha. Primeiro, fazemos L L : V.B. x E x M x A x P x x x b L Z 8 L x L x 6 L x A ¾ ½ ¼ Depois, fazemos: L - L + L L - L + L L - L + L e obtemos o segundo quadro simplex: V.B. x E x M x A x P x x x b L Z - -. L x ¼ ½ -¼ L x -¾ ½ -¼ 7 L x A ¾ ½ ¼ Temos agora a solução básica x = ; x = 7; x A = ; x E = x M = x = x P =. Passamos de um lucro igual a zero para um lucro de R$., correspondente à produção de armários. Observe que ainda existem variáveis que podem contribuir para o crescimento da F.O. Como existe um empate no maior valor, entre x M e x P, escolheremos x M para entrar na base. Nesse caso, haverá também um empate entre x e x A para sair da base. Escolheremos x A para sair da base (depois discutiremos as implicações desses empates).

46 Executamos então o º pivoteamento: L L ½ L - L + L L -½ L + L L -½ L + L e obtemos o terceiro quadro simplex: V.B. x E x M x A x P x x x b L Z L x M ½ 8 -½ L x - - L x A ½ - - ½ Temos agora a solução básica x M = ; x = ; x A = (VB); x E = x P = x = x = (VNB). O lucro agora aumentou para R$., correspondente à produção de mesas. Essa solução é ótima, já que não existe VNB que possa contribuir para o crescimento da F.O. Todas elas possuem coeficiente nulo ou negativo na linha da F.O. A solução ótima pode ser representada assim: x* = (; ; ; ; ; ; ) Z* =. A variável de folga x representa a folga do recurso Pranchas. A solução ótima para esse problema, consiste em fabricar somente mesas, tendo uma sobra de m de pranchas, e obtendo um lucro máximo de R$.,. Veja que, apesar da variável x A estar na base, seu valor é nulo, indicando que essa solução é degenerada. Degeneração (ou degenerescência) e Ciclagem Em casos esporádicos (alguns autores dizem que esses casos são raros ou muito difíceis de ocorrer na prática), o algoritmo simplex pode entrar em loop, ou em processo de ciclagem. Nesses casos, ocorrem mudanças de base, mas a cada pivoteamento, o algoritmo retorna ao mesmo ponto do espaço de soluções, representado por vetores diferentes, mas linearmente dependentes. Isso ocorre quando há empate nos critérios de entrada e de saída da base, normalmente devido a alguma VB possuir valor nulo. Para evitar o processo de ciclagem, normalmente recorre-se a uma das duas regras mais conhecidas: Regra Lexicográfica. Veja detalhes em (Bazaraa, 99). Regra de Bland Entre todas as candidatas a entrar na base, selecione a variável x k que possui o menor índice. Entre todas as candidatas a sair na base, selecione a variável x r que possui o menor índice.

47 Exemplo Uma sorveteria produz dois tipos de sorvete: no palito e no copinho. Na sorveteria, o único ponto crítico é a mão-de-obra disponível. O sorvete no copinho consome % a mais de mão-de-obra do que no palito. Sabe-se que se todo sorvete produzido fosse no palito a companhia poderia produzir toneladas por dia. No entanto, o mercado tem condições de absorver, diariamente, apenas toneladas de sorvete no palito e toneladas de sorvete no copinho.. Modele o problema de modo a maximizar a produção de sorvete. Considerando Xp igual à quantidade de sorvete em palito, e Xc igual à quantidade de sorvete em copinho produzido (em toneladas), temos: max. s.a. Xp + Xc Xp Xc Xp +,Xc. Resolva-o graficamente. Xc Solução ótima: (Xp=; Xc=66,67; Z=66,67) Xp Pela inclinação e sentido de crescimento da F.O. (linha pontilhada), vemos que a solução ó- tima é a interseção das retas Xp = e Xp +,Xc =. Isso nos dá as seguintes coordenadas: Xp* = ; Xc* = ( Xp) /, = /, = 66,67; Z* = 66,67.

48 . Resolva-o pelo método simplex. Marcando os pivôs em negrito, temos os seguintes quadros do simplex (alguns valores aparecem arredondados no quadro): ==================================================== Xp Xc X X X b Z X X X ==================================================== -Z Xp X X ==================================================== -Z Xp X Xc ==================================================== Solucao otima: Z * = x * = (; 66,67; ; 8.; ; ) Observe que a variável X representa a folga em termos de mercado para o sorvete em copinho (ou seja, é o tanto que estamos produzindo abaixo do valor máximo permitido).. Agora observe de novo a solução gráfica e observe o que acontece, graficamente, a cada iteração do Simplex. 6

49 Algoritmo Simplex Método das Duas Fases Primeiro Exemplo (extraído de Goldbarg&Luna,): Considere o seguinte modelo de P.L.: Minimizar Z = -x - x sujeito a: x x 6 x + x 8 x e x Passando para a forma padrão, temos: s.a.: Maximizar Z = x + x x + x = x + x = 6 x + x - x = 8 x, x, x, x, x x 6 A B C x Observe que, neste caso, não podemos considerar a solução inicial contendo somente as variáveis de folga, o que resultaria em uma solução inviável. Isso pode ser visto na representação gráfica do problema, mostrado acima. A solução trivial x = e x = não pertence ao espaço de soluções. Nessas situações, normalmente opta-se por usar um dos seguintes métodos para solucionar o modelo de P.L.: Método do grande M Método das duas fases Veremos aqui o método das duas fases (o outro será discutido em sala de aula). 7

50 Na FASE, utilizamos o simplex sobre o problema modificado, e tentamos encontrar uma solução básica viável inicial do problema original. Na FASE, de posse da base encontrada na a Fase, aplicamos o método simplex tradicional em busca da solução ótima do problema. FASE a. Introduzimos uma variável artificial x j para cada restrição do problema, ou somente para as restrições que tiverem variável de folga com coeficiente negativo.. Resolvemos o problema para a seguinte F.O. modificada: Min. q = x a j. Se q * =, então existe uma solução básica viável para o problema original. Neste caso, eliminamos as variáveis artificiais, substituímos a F.O. modificada pela original e prosseguimos com o simplex. Introduzindo uma variável artificial variáveis artificiais, temos: a x 6, e mudando a função objetivo de forma a conter somente as s.a.: Minimizar q = a x 6 x + x = x + x = 6 a x + x - x + x 6 = 8 x, x, x, x, x, a x 6 V.B. x x x x x q - x x 6 a x 6-8 Reduzindo a coluna 6 à forma canônica, temos: V.B. x x x x x q - 8 x x 6 a x 6-8 Iteração : V.B. x x x x x a x 6 q - 8 x x 6 a x 6-8 a x 6 a x 6 8