MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E CONTABILIDADE. 2 a EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA

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1 MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA E CONTABILIDADE 2 a EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA

2 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade Modelos de Funções do 2 o Grau Um Modelo de Função do 2 o Grau Algumas situa ções prá ti cas podem ser repre sen ta das pelas fun ções poli no - miais do segun do grau, cha ma das sim ples men te de funções do segun do grau. Uma des sas situa ções é a obten ção da fun ção recei ta quan do con si - de ra mos o preço e a quan ti da de comer cia li za da de um pro du to. Sabemos que a recei ta R é dada pela rela ção R = p x q em que p representa o preço uni tá rio e q a quan ti da de comer cia li za da do pro du to. Por exem plo, se o preço dos sapa tos de uma marca variar de acor do com a rela ção p = 2q + 200* pode mos esta be le cer a recei ta para a venda de sapa tos pela expres são R = ( 2q + 200)q R = 2q q. Para uma melhor visua li za ção dessa situa ção, vamos tra çar um grá fi co a par tir de uma tabe la com algu mas quan ti da des de sapa tos ven di dos e recei tas cor res pon den tes: Tabela 3.1 Receita para a venda de pares de sapa tos Quantidade (q) Receita (R) Graficamente, temos a curva conhe ci da como pará bo la: * Nesse exem plo, por ques tões didá ti cas, con si de ran do q = 100, temos p = 0; entre tan - to, na prá ti ca, não exis te quan ti da de comer cia li za da que torne o preço igual a zero. 46

3 Capítulo 3 Função do 2 o Grau Figura 3.1 Receita para a venda de pares de sapa tos. Nessa pará bo la, con vém obser var alguns aspec tos inte res san tes asso cia - dos à fun ção R = 2q q: a con ca vi da de está vol ta da para baixo, pois o coe fi cien te do termo 2q 2 é nega ti vo. o ponto em que a curva corta o eixo R é obti do fazen do q = 0: R = R = 0 os pon tos em que a curva corta o eixo q, ou raízes da fun ção, são obti - dos fazen do R = 0: R = 2q q = 0 q = 0 ou q = 100 o vértice V = (q v ; R v ) = (50; 5.000) da pará bo la em que q v = 50 é a média arit mé ti ca das raí zes e R v = é a recei ta cor res pon den te: q v = = 50 2 Substituindo na fun ção R, obte mos: R v = = Especificamente, para essa fun ção do 2 o grau, o vér ti ce é impor tan te, pois nos dá a quan ti da de q v = 50 que deve ser comer cia li za da para que a recei ta seja máxima, R v = Embora tenha mos obti do a coor de na da 47

4 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade q v pela média arit mé ti ca das raí zes da fun ção, encon tra re mos tal coor de na - da de modo dife ren te, pois nem sem pre as raí zes da fun ção são núme ros reais. Vale lem brar que a coor de na da q v deter mi na o eixo de sime tria da pará bo la. Quan ti da des supe rio res a q v = 50 pro por cio nam recei tas meno - res que R v = 5.000; isso é natu ral, pois a recei ta está ini cial men te asso cia - da à fun ção do preço, p = 2q + 200, que decres ce à medi da que a deman - da q aumen ta. Notamos, no exem plo ante rior, que o grá fi co foi tra ça do a par tir de uma tabe la que con ti nha os prin ci pais pon tos da pará bo la. Entretanto, nem sem pre mon ta mos a prio ri uma tabe la que con te nha tais pon tos. Por isso, sis te ma ti za mos a seguir alguns pas sos que per mi tem a deter mi na ção de tais pon tos e uma carac te ri za ção mais pre ci sa da pará bo la. Considerando ainda a recei ta R = 2q q na venda de q pares de sapa tos e supon do que o custo C na sua fabri ca ção seja dado por C = 40q então o lucro L na comer cia li za ção dos sapa tos será dado por L = R C L = 2q q (40q ) L = 2q q supon do que as quan ti da des pro du zi das e ven di das sejam as mes mas. Para a obten ção do grá fi co, nota mos que: a con ca vi da de está vol ta da para baixo, pois o coe fi cien te do termo 2q 2 é nega ti vo. o ponto em que a curva corta o eixo L é obti do fazen do q = 0: L = L = os pon tos em que a curva corta o eixo q são obti dos fazen do L = 0: L = 2q q = 0 q = 10 ou q = 70 o vér ti ce V = (q v ; L v ) da pará bo la em que e L v é o lucro cor res pon den te: q v = 160 = ( 2) 48

5 Capítulo 3 Função do 2 o Grau Substituindo na fun ção L, obte mos: L v = = Assim, o vér ti ce é dado pelo ponto V = (40; 1.800). Com tais pon tos, pode mos esbo çar o grá fi co do lucro: Figura 3.2 Lucro para a venda de pares de sapa tos. A par tir de tal grá fi co, obser va mos que o lucro é posi ti vo (L > 0) quan do se vendem entre 10 e 70 pares de sapa tos (L > 0, se 10 < q < 70); o lucro é nulo quan do se vendem 10 ou 70 pares de sapa tos (L = 0, se q = 10 ou q = 70); o lucro é nega ti vo quan do se vendem entre 0 e 10 pares de sapa tos ou quan ti da des supe rio res a 70 pares de sapa tos (L < 0, se 0 < q < 10 ou q > 70). A par tir do vér ti ce e do eixo de sime tria, nota mos que a quan ti da de de 40 pares de sapa tos pro por cio na lucro máxi mo de e que o lucro é cres cen te para quan ti da des infe rio res a 40 e decres - cen te para quan ti da des supe rio res a 40. No pró xi mo grá fi co, pode -se ana li sar a situa ção esbo çan do no mesmo sis - te ma de eixos os grá fi cos das fun ções recei ta R = 2q q e custo C = 40q Assim, obte mos dois pon tos de encon tro entre as cur vas do custo e recei ta (break-even point) que alge bri ca men te são obti dos fazen do R = C 2q q = 40q q q (40q ) = 0 2q q = 0 q = 10 ou q = 70 49

6 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade subs ti tuin do tais quan ti da des na expres são da recei ta ou custo ou seja, obte mos os pon tos em que o lucro é nulo. Notamos que as regiões em que o tra ça do da recei ta é supe rior ao do custo deter mi nam as quan ti da des em que o lucro é posi ti vo. De manei ra aná lo ga, regiões em que o tra ça do do custo é supe rior ao da recei ta deter - mi nam as quan ti da des em que o lucro é nega ti vo. Temos ainda o ponto de lucro máxi mo como aque le em que é máxi ma a dis tân cia ver ti cal entre os pon tos dos grá fi cos da recei ta e do custo, com recei ta supe rior ao custo. Figura 3.3 Receita, custo e lucro para a venda de pares de sapa tos. 50

7 Capítulo 3 Função do 2 o Grau Caracterização Geral Definição: uma fun ção do 2 o grau é dada por y = f(x) =ax 2 + bx + c com a 0. Para a obten ção do grá fi co, conhe ci do como parábola, pode mos obser - var os pas sos a seguir. o coe fi cien te a deter mi na se a concavidade é vol ta da para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0). o termo inde pen den te c dá o ponto em que a pará bo la corta o eixo y e pode ser obti do fazen do x = 0: y = f(0) = a b. 0 + c y = c se exis ti rem, os pon tos em que a pará bo la corta o eixo x são dados pelas raízes da fun ção y = f(x) = ax 2 + bx + c e podem ser obti dos fazen do y = 0: = = Para a reso lu ção dessa equa ção, uti li za mos a fór mu la de Báskara, em que e, em tal fór mu la, fazen do o dis cri mi nan te Δ = b 2 4ac, pode mos rees cre - vê-la como = O núme ro de raí zes, ou pon tos em que a pará bo la encon tra o eixo x, depen de do dis cri mi nan te; em resu mo: se Δ > 0, temos duas raí zes reais dis tin tas, e 51

8 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade (gra fi ca men te, dois pon tos em que a pará bo la corta o eixo x). se Δ = 0, temos as duas raí zes reais iguais, (gra fi ca men te, a pará bo la toca o eixo x em um único ponto). se Δ < 0, não exis tem raí zes reais (gra fi ca men te, a pará bo la não cruza o eixo x). o vér ti ce da pará bo la é dado pelo ponto V = (x v ; y v ) = ( b ; Δ ). 2a 4a Podemos resu mir tais pas sos com alguns pos sí veis grá fi cos, con si de ran do: 52

9 Capítulo 3 Função do 2 o Grau Exemplos de Funções do 2 o Grau Os pro ble mas a seguir exem pli fi cam algu mas con si de ra ções fei tas até aqui. Exemplo 1: Em uma certa plan ta ção, a pro du ção, P, de fei jão depen de da quan ti da de, q, de fer ti li zan te uti li za da, e tal depen dên cia pode ser expres sa por P = 3q q Considerando nessa lavou ra a pro du ção medi da em kg e a quan ti da de de fer ti li zan te em g/m 2, faça um esbo ço do grá fi co, comen te os sig ni fi ca dos dos prin ci pais pon tos, deter mi ne a quan ti da de de fer - ti li zan te para que a pro du ção seja máxi ma, bem como a pro du ção máxi ma. Solução: Os coe fi cien tes dos ter mos da fun ção são a = 3, b = 90 e c = 525. A con ca vi da de é vol ta da para baixo, pois a < 0. A pará bo la corta o eixo P em c = 525, pois, quan do q = 0, temos = = A pará bo la corta o eixo q quan do P = 0, o que leva a 3q q = 0 cujas raí zes, se exis ti rem, são obti das por Báskara: Δ = b 2 4ac Δ= ( 3). 525 Δ = Δ> 0 Duas raí zes reais e dis tin tas são dadas por ou seja, a pará bo la corta o eixo q nos pon tos q 1 = 5 e q 2 = 35. ) O vér ti ce da pará bo la é dado pelo ponto = = ) = = ) 53 )

10 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade Assim, pode mos esbo çar o grá fi co: Figura 3.4 Produção de fei jão. Para esse exem plo, a con ca vi da de vol ta da para baixo asso cia da a um eixo de sime tria em q v = 15 indi ca que a pro du ção é crescente para quan - ti da des de fer ti li zan te entre 0 e 15 g/m 2 e decrescente para quan ti da des supe rio res a 15 g/m 2. O ponto em que a curva corta o eixo P indi ca que, quan do não é uti li - za do fer ti li zan te (q = 0), a pro du ção é de P = 525 kg. Os pon tos em que a curva corta o eixo q indi cam quan ti da des que fazem a pro du ção se anu lar (P = 0), sendo que q 1 = 5 não apre sen ta sig - ni fi ca do prá ti co e q 2 = 35 g/m 2 repre sen ta uma quan ti da de tão gran de de fer ti li zan te a ponto de pre ju di car a plan ta, impe din do-a de pro du zir. Finalmente, o vér ti ce V = (15; 1.200) dá a quan ti da de q v = 15 g/m 2 que maxi mi za a pro du ção, e tal pro du ção máxi ma é P v = kg. Exemplo 2: Um ven de dor ano tou as ven das de um ele tro do més ti co nos 21 dias em que tra ba lhou na seção de uti li da des de uma loja de depar ta men - tos e notou que o núme ro de apa re lhos ven di dos, dado por N, em fun ção do núme ro de dias, dado por t, pode ser obti do por N = 0,25t 2 4t Diante dessa situa ção, esbo ce o grá fi co da fun ção salien tan do os prin ci pais pon tos e seus sig ni fi ca dos. (Considere t = 0 o 1 o dia; t = 1 o 2 o dia etc.) Solução: Os coe fi cien tes dos ter mos da fun ção são a = 0,25, b = 4 e c = 16. A con ca vi da de é vol ta da para cima, pois a > 0. 54

11 Capítulo 3 Função do 2 o Grau A pará bo la corta o eixo N em c = 16, pois, quan do t = 0, temos A pará bo la corta o eixo t quan do N = 0, o que leva a 0,25t 2 4t + 16 = 0 cujas raí zes, se exis ti rem, são obti das por Báskara: Δ = b 2 4ac Δ = ( 4) , Δ = 0 Duas raí zes reais e iguais, ambas repre sen ta das por ou seja, a pará bo la sim ples men te toca o eixo t no ponto t = 8. O vér ti ce da pará bo la é dado pelo ponto = = = = Convém ainda obter o núme ro de ele tro do més ti cos para o últi mo dia de aná li se do pro ble ma, ou seja, o 21 o dia, quan do deve mos fazer t = 20: N(20) = 0, N(20) = 36 Assim, pode mos esbo çar o grá fi co: Figura 3.5 Número de ele tro do més ti cos ven di dos. 55

12 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade Para esse exem plo, a con ca vi da de vol ta da para cima asso cia da a um eixo de sime tria em t v = 8 indi ca que o núme ro de apa re lhos ven di dos é decrescente do 1 o dia (t = 0) ao 9 o dia (t = 8), e crescente do 9 o dia (t = 8) ao 21 o dia (t = 20). O ponto em que a curva corta o eixo N indi ca que, no 1 o dia (t = 0), o núme ro de ele tro do més ti cos ven di dos foi N = 16. Os pon tos em que a curva corta o eixo t indi cam dias que fazem o núme ro de ele tro do més ti cos ven di dos se anu lar (N = 0). Então, no 9 o dia (t = 8), nenhum ele tro do més ti co foi ven di do. Finalmente, o vér ti ce V = (8; 0) dá o dia t v = 8, 9 o dia, que mini mi za o núme ro de ele tro do més ti cos ven di dos, e tal núme ro míni mo é N v = 0. Exemplo 3: Em um ano, o valor, v, de uma ação nego cia da na bolsa de valo res, no decor rer dos meses, indi ca dos por t, é dado pela expres são v = 2t 2 20t Sabendo que o valor da ação é dado em reais (R$), faça um esbo ço do grá fi co, comen te os sig ni fi ca dos dos prin ci pais pon tos e deter mi ne a varia ção per cen tual do valor da ação após um ano. (Considere t = 0 o momen to em que a ação come ça a ser nego cia da; t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 meses etc.) Solução: Os coe fi cien tes dos ter mos da fun ção são a = 2, b = 20 e c = 60. A con ca vi da de é vol ta da para cima, pois a > 0. A pará bo la corta o eixo v em c = 60, pois quan do t = 0, temos v(0) = v(0) = 60 A pará bo la corta o eixo t quan do v = 0, o que leva a 2t 2 20t + 60 = 0 cujas raí zes, se exis ti rem, são obti das por Báskara: Δ = b 2 4ac Δ= ( 20) Δ = 80 Δ < 0 Não exis tem raí zes reais, pois o dis cri mi nan te é nega ti vo, ou seja, a pará bo la não cruza o eixo t. O vér ti ce da pará bo la é dado pelo ponto = = = = 56

13 Capítulo 3 Função do 2 o Grau Convém ainda obter o valor da ação após um ano, ou seja, para o últi - mo mês de aná li se do pro ble ma quan do t = 12: v(12) = v(12) = 108 Assim, pode mos esbo çar o grá fi co: Figura 3.6 Valor de uma ação nego cia da na bolsa de valo res. Por ser a con ca vi da de vol ta da para cima, nesse exem plo, temos um eixo de sime tria em t v = 5, indi can do que o valor da ação é decrescente, do momen to em que a ação come ça a ser nego cia da (t = 0) ao final do 5 o mês (t = 5), e crescente, do final do 5 o mês (t = 5) ao final do 12 o mês (t = 12). O ponto em que a curva corta o eixo v indi ca que, no momen to em que a ação come ça a ser nego cia da (t = 0), o seu valor é v = 60. Nesse exem plo, não exis tem pon tos em que a curva corta o eixo t, ou seja, em nenhum momen to o valor da ação será nulo (v = 0). O vér ti ce V = (5; 10) dá o mês, t v = 5, que mini mi za o valor da ação, e tal valor míni mo é v v = 10. Finalmente, a varia ção per cen tual do valor da ação após um ano será dada por 57

14 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade ou seja, após um ano, houve um aumen to de 80% sobre o valor ini cial da ação. Exercícios 11. Para um certo pro du to comer cia li za do, a recei ta e o custo são dados, res pec ti va men te, por R = 2q q e C = 200q , cujos grá fi cos são Obtenha, então: a) Os inter va los de cres ci men to e decres ci men to da fun ção recei ta, a quan ti da de para que a recei ta seja máxi ma e a recei ta máxi ma cor - res pon den te. b) Os break-even points e seu sig ni fi ca do. c) As regiões em que o lucro é posi ti vo e em que o lucro é nega ti vo. Indique tais regiões gra fi ca men te. d) A fun ção lucro e seu grá fi co. e) A quan ti da de para que o lucro seja máxi mo e o lucro máxi mo cor - res pon den te. Indique no grá fi co da recei ta e custo tal quan ti da de e o sig ni fi ca do geo mé tri co do lucro máxi mo. 58

15 Capítulo 3 Função do 2 o Grau 12. O con su mo de ener gia elé tri ca para uma resi dên cia no decor rer dos meses é dado por E = t 2 8t + 210, onde o con su mo E é dado em kwh e ao tempo asso cia-se t = 0 a janei ro, t = 1 a feve rei ro, e assim suces - si va men te. a) Determine o(s) mês(es) em que o con su mo é de 195 kwh. b) Qual o con su mo men sal médio* para o pri mei ro ano? c) Com base nos dados obti dos no item ante rior, esbo ce o grá fi co de E. 13. O núme ro N, de apó li ces ven di das por um ven de dor de segu ros, pode ser obti do pela expres são N = t t + 32, onde t representa o mês da venda. a) Esboce o grá fi co dessa fun ção a par tir de uma tabe la com o núme - ro de apó li ces ven di das para os dez pri mei ros meses de ven das. b) De acor do com os dados obti dos ante rior men te, em que mês foi ven di do o máxi mo de apó li ces e qual o núme ro máxi mo ven di do? c) Qual a média de apó li ces ven di das por mês para os cinco pri mei ros meses? E para os dez pri mei ros meses? 14. Para cada item a seguir, esbo ce o grá fi co a par tir da con ca vi da de, dos pon tos em que a pará bo la cruza os eixos (se exis ti rem) e vér ti ce. a) y = x 2 4x 5 b) y = x 2 8x + 16 c) y = 3x 2 + 6x + 9 d) y = x 2 + 4x 6 e) y = 4x x + 16 f) y = 2x 2 4x O preço da gar ra fa de um vinho varia de acor do com a rela ção p = 2q + 400, onde q repre sen ta a quan ti da de de gar ra fas comer cia - li za das. Sabendo que a recei ta R é dada pela rela ção R = p x q: a) Obtenha a fun ção recei ta e esbo ce o grá fi co, indi can do os prin ci - pais pon tos e o eixo de sime tria. b) Qual a quan ti da de de gar ra fas a ser comer cia li za da para que a recei ta seja máxi ma? Qual a recei ta máxi ma? c) Para quais quan ti da des comer cia li za das a recei ta é cres cen te? E decres cen te? *Nos problemas em que for solicitada a determinação de médias, considere a média aritmética, salvo observações em contrário. 59

16 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade 16. Considerando as mes mas con di ções do pro ble ma ante rior e o custo para a pro du ção e comer cia li za ção das gar ra fas de vinho como C = 240q : a) Obtenha a fun ção lucro e esbo ce o grá fi co indi can do os prin ci pais pon tos. b) Qual a quan ti da de de gar ra fas a ser comer cia li za da para que o lucro seja máxi mo? Qual o lucro máxi mo? c) Para quais quan ti da des comer cia li za das o lucro é posi ti vo? E nega - ti vo? d) Esboce o grá fi co da fun ção custo sobre o grá fi co do item (a) do pro ble ma ante rior deter mi nan do e indi can do os break-even points. 17. O valor de uma ação nego cia da na bolsa de valo res no decor rer dos dias de pre gão é dado pela expres são v = 0,5t 2 8t Considere t = 0 o momen to ini cial de aná li se; t = 1 após 1 dia; t = 2 após 2 dias etc. a) Esboce o grá fi co indi can do os prin ci pais pon tos e o eixo de sime tria. b) Após quan to tempo o valor da ação é míni mo? Qual o valor míni mo? c) Para quais dias o valor da ação é decres cen te? E cres cen te? d) Determine a varia ção per cen tual do valor da ação após 20 dias de pre gão. 18. Uma pes soa inves tiu em papéis de duas empre sas no mer ca do de ações duran te 12 meses. O valor das ações da pri mei ra empre sa variou de acor do com a fun ção A = t + 10, e o valor para a segun da empre sa obe de ceu à fun ção B = t 2 4t Considere t = 0 o momen to da com pra das ações; t = 1 após 1 mês; t = 2 após 2 meses etc. a) Em que momen tos as ações têm o mesmo valor? Quais são esses valo res? b) Em um mesmo sis te ma de eixos, esbo ce os grá fi cos para o perío do de um ano. c) Comente a evo lu ção do valor de cada uma das ações. Qual foi a melhor apli ca ção após os três pri mei ros meses? E após um ano? 19. A pro du ção de um fun cio ná rio, quan do rela cio na da ao núme ro de horas tra ba lha das, leva à fun ção P = 2t t a) Esboce o grá fi co res sal tan do os prin ci pais pon tos. b) Em que momen to a pro du ção é máxi ma? Qual a pro du ção máxi ma? c) Em que momen to a pro du ção é igual à pro du ção ini cial? d) Em que momen to o fun cio ná rio não con se gue mais pro du zir? e) Quais os inter va los de cres ci men to e decres ci men to para pro du ção? 60

17 Capítulo 3 Função do 2 o Grau 10. O preço do trigo varia no decor rer dos meses de acor do com a fun ção p = 0,25t 2 2,5t + 60 para um perío do de um ano em que t = 0 repre - sen ta o momen to ini cial de aná li se, t = 1 após 1 mês, t = 2 após 2 meses etc. a) Esboce o grá fi co res sal tan do os prin ci pais pon tos. b) Em que momen to o preço é míni mo? Qual o preço míni mo? c) Qual a varia ção per cen tual entre o momen to ini cial e final do ter - cei ro mês? E a varia ção per cen tual entre os finais do ter cei ro e séti - mo mês? 11. Um comer cian te de rou pas com pra ter nos e cami se tas para reven da e tem um orça men to limi ta do para com pra. A quan ti da de de ter nos é repre sen ta da por x, a de cami se tas por y, e a equa ção que dá a res tri - ção orça men tá ria é 10x y = a) Expresse a quan ti da de de cami se tas em fun ção da quan ti da de de ter nos com pra dos. b) Esboce o grá fi co obti do no item ante rior res sal tan do os prin ci pais pon tos. c) Se forem com pra dos 8 ter nos, quan tas cami se tas é pos sí vel com prar? d) Se forem com pra das 19 cami se tas, quan tos ter nos é pos sí vel com prar? e) Se não forem com pra dos ter nos, qual a quan ti da de de cami se tas com - pra das? E se não forem com pra das cami se tas, qual a quan ti da de de ter nos com pra dos? Indique tais pon tos no grá fi co do item ante rior. f) Se forem com pra dos 7 ter nos e 40 cami se tas, tal com pra ultra pas sa - rá o orça men to? Represente tal pos si bi li da de no grá fi co do item (b). 12. Uma empre sa pro duz deter gen te e sabo ne te líqui do em uma de suas linhas de pro du ção, sendo que os recur sos são os mes mos para tal pro - du ção. As quan ti da des de deter gen te e sabo ne te líqui do pro du zi dos podem ser repre sen ta das, res pec ti va men te, por x e y. A inter de pen dên - cia des sas variá veis é dada por 5x 2 + 5y = 45, e o grá fi co de tal equa - ção é conhe ci do tam bém como curva de trans for ma ção de pro du to. a) Expresse a quan ti da de de sabo ne te líqui do como fun ção da quan ti - da de de deter gen te pro du zi do. b) Esboce a curva de trans for ma ção de pro du to. c) Explique o sig ni fi ca do dos pon tos em que a curva corta os eixos coor de na dos. d) Aproximadamente, quan to se deve pro du zir de deter gen te para que tal quan ti da de seja a meta de da de sabo ne te líqui do? Considere que as quan ti da des são dadas em milha res de litros. 61

18 Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade 13. O preço p de um pro du to depen de da quan ti da de q que os for ne ce do - res estão dis pos tos a ofe re cer e, para um certo pro du to, pela lei de ofer ta, tal depen dên cia é dada pela fun ção p = q q + 9. Para o mesmo pro du to, o preço tam bém depen de da quan ti da de q que os com pra do res estão dis pos tos a adqui rir e, pela lei de deman da, tal depen dên cia é dada por p = q (Para mais deta lhes sobre lei de ofer ta, lei de deman da e preço de equi lí brio, ver Exercícios 14, 15 e 16 do Capítulo 2.) a) Em um mesmo sis te ma de eixos, esbo ce os grá fi cos da ofer ta e deman da. b) Obtenha a quan ti da de e o preço de equi lí brio. Indique tam bém no grá fi co do item ante rior. 14. Para a comer cia li za ção de reló gios, um lojis ta observa que a recei ta é dada por R = 3q q e o custo é dado por C = 2q q a) Esboce os grá fi cos da recei ta e custo sobre o mesmo sis te ma de eixos, deter mi nan do e indi can do os break-even points. b) Indique no grá fi co do item ante rior as quan ti da des para as quais o lucro é posi ti vo. c) Obtenha a fun ção lucro e esbo ce o grá fi co, indi can do os prin ci pais pon tos. d) Qual a quan ti da de de reló gios a ser comer cia li za da para que o lucro seja máxi mo? Qual o lucro máxi mo? e) Para quais quan ti da des comer cia li za das o lucro é posi ti vo? Com - pare com os resul ta dos indi ca dos no item (b). TÓPICO ESPECIAL Regressão Quadrática A Regressão Quadrática Em pro ble mas de Matemática e Estatística Aplicada, é comum nos depa - rar mos com situa ções de pes qui sas em que os dia gra mas de dis per são mos - tram uma nuvem de pon tos que não se mani fes tam com uma apro xi ma ção linear con vin cen te. Nesses casos, dize mos que o sis te ma de dis per são tem um com por ta - men to não linear e, em mui tos casos, as dis per sões se apre sen tam com apro xi ma ções cur vi lí neas. Naturalmente, para apro xi ma ções cur vi lí neas, deve mos bus car mode los de regres são cujas fun ções que os repre sen tem 62