Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV. Derivativos

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1 Mesrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivaivos Pare 8: Derivaivos mais complexos: Tíulos com risco de crédio, Opções Americanas, sobre Índices, sobre Moedas, sobre Fuuros, com Duplo Indexador, Opções Exóicas Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. Relembrando... Equação diferencial de Black-Sholes-Meron para um derivaivo genérico cujo aivo objeo segue processo Browniano geomérico: Aivo: ds = µ S d+ σs dz ƒ ƒ ƒ EDP_ derivaivo: + rs + ½σ S = rƒ Fórmula de Black-Scholes da Call Européia (Plain Vanilla): c = S 0 N(d ) Ke Ke -rt N( N(d ) Fórmula de Black-Scholes da Pu Européia (Plain Vanilla): p = Ke -rt N(-d ) S 0 N(d ) Onde, d = ln(s 0 /K) + ( r + σ / ) e d = d - σ σ Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág.

2 Usando a fórmula f de Black-Scholes para apreçar ar ouros conraos: Tíulos T com risco de crédio e garania Suponha que eu seja um agene financeiro que queira oferecer um emprésimo com garania, como por exemplo uma hipoeca. Vou empresar o monane D e o aivo que o omador vai me deixar de colaeral em um valor (esocásico) de A T. Sendo o omador do emprésimo um agene racional, ele não irá repagar o emprésimo se o aivo que ele comprou valer menos do que a dívida. Payoff do agene financeiro: Min(A T,D) = - max ( -A T, -D) = - max ( -A T, -D) + D D = D - max(d-a T, 0) Logo, o valor presene desa hipoeca hoje é: VP = e -rt D Pu Isso gera um spread de risco que em que ser ajusado para dar cona do risco de defaul: VP = e -(r+spread)t D = e -rt D Pu Em função de que o spread varia??? Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 Opções Americanas () (Preço o da Opção Americana) (Preço o da Opção Européia) : Se o deenor da opção Americana quiser ele pode exercê-la só no fim da vida do conrao. Ou seja, ela pode ser igual a uma opção européia. Por essa razão a Opção Americana em que valer pelo menos ano quano a opção Europeia. Se não há dividendo, CALL Americana = CALL Européia : Nunca é óimo exercer uma Call americana anes do vencimeno quando não há pagameno de dividendo Nenhuma renda advinda da ação (dividendo) é sacrificada. Pagameno do srike é posergado e, com isso, é possível ganhar juros em cima dele. Há assimeria ene ganhos e perdas: se a ação se valorizar demais ano faz, mas se cair demais eu não exerço a opção e pago o preço de mercado. Se eu quero me desfazer da opção, é melhor vendê-la do que exercê-la. PUT Americana PUT Européia: Pus Americanas podem e devem ser exercídas mesmo quando não há pagameno de dividendo, desde que ela eseja suficienemene in-he-money. Preço é limiado inferiormene por zero! Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 4

3 Opções sobre ações que pagam dividendo: Vamos considerar primeiramene o caso em que o dividendo é discreo. Seja uma ação S que paga dividendo D (perfeiamene previso e considere D líquido de cusos de ransação e imposos) em uma daa específica ex-dividend dae. Se os mercados são eficienes, o valor da ação em que cair na ex-dividend dae num monane igual a D. Opções Européias: Análise o aivo subjacene como a soma de componenes: Componene sem risco D Componene arriscado. Na práica isso significa que a fórmula esá correa se vc subsiuir S = S VP(D) Exemplo: S=K=$40, σ = 30%, Rf = 9%, T=6 meses, D meses = $0,50 e D 5 meses = $0,50 VP(D) = 0,5 e -(/)0,09 + 0,5 e -(5/)0,09 = 0,974 Basa subsiuir S 0 =40 por S 0 =39,059 na fórmula (inclusive d e d ) Call = 3,67 Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 5 Opções Americanas (): aivos que pagam dividendo Uma exensão do argumeno de que nunca é óimo exercer a opção americana se não há dividendo é que só pode ser óimo exercê-la na daa imediaamene anes do pagameno do dividendo. Não exise fórmula fechada para opções americanas que pagam dividendo. A solução naural seria por árvore: parindo de rás para frene, em cada nódulo avalia se vale a pena ou não exercer a opção. Com isso o preço da opção em cada nódulo vai ser o máximo enre o valor de exercício e o preço da opção sem exercer. Em cima disso aplicamos a écnica de apreçameno neuro ao risco! Mas exise uma aproximação analíica razoavelmene simples: Aproximação de Black! Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 6 3

4 Opções Americanas (3): Aproximação de Black Assuma que exisam n daas ex-dividendo:,,..., n com D, D,..., D n. Comecemos com a possibilidade de exercer a opção jusamene anes do úlimo dividendo: Se exercer a opção, o invesidor recebe valor igual a: S( n ) K Se não exercer a opção, fica com c que é maior que: S( n ) D n Ke -r(t-n) Porano não será óimo exercer a opção se: S( n ) D n Ke -r(t-n) S( n ) K Ou seja, se, D n K [ e -r(t-n) ] Por ouro lado, será sempre óimo exercer a opção se D n > K [ e -r(t-n) ] Noe que isso implica que Quando esamos pero da daa de vencimeno da opção é mais fácil valer a pena exercer a opção: (T-n) ende a zero e porano basa o dividendo exisir. Poderíamos coninuar o raciocínio para rás. O que Black sugere é que se calcule o preço da opção Americana para corrigir para a possibilidade de exercício anecipado: Calcule o preço o da Call européia (com pagameno de dividendo D n ) que vence em T. Calculo o preço o da Call européia (sem o pagameno de D n ) que vence em n. O preço o da Call Americana será o maior deses dois valores. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 7 Opção que pagam dividendo conínuo e opções sobre moeda: Modelo de Garman-Kohlhagen (83) Seja um aivo S que pague dividendo conínuo (no caso de uma ação) ou uma axa de juros conínua (caso de moeda) igual a y. Obs.: Lembre que o preço de um fuuro era: F 0,T = S 0 e -(r-y)t O processo esocásico coninua sendo: ds = µs d + σs d Lembre que o drif pode ser genérico pois ele desaparecia na derivação da e.d.p. Vamos definir um derivaivo genérico que dependa de S : f =f(s ) Como anes vamos achar a EDP que define a função f usando o (i) Lema de Iô, (ii) escolhendo o porfolio adequado: - derivaivo +df/df aivos, (iii) impondo ausância de arbiragem forçando que o rendimeno do porfólio renda o mesmo que o aivo livre de risco... A única mudança será nese erceiro passo pois agora ao deer a moeda (ou ação que paga dividendo conínuo) eremos um rendimeno adicional no nosso porfólio que em que ser considerado. Isso faz a EDP mudar para: ƒ ƒ ƒ + ( r y) S + ½ σ S = rƒ S S Demonsração no quadro... Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 8 4

5 Opção que pagam dividendo conínuo e opções sobre moeda. Modelo de Garman-Kohlhagen (83) Para fazer o apreçameno neuro ao risco esa úlima equação implica que o processo que emos que supor que seja saisfeio pelo aivo subjacene é: ds = (r-y) S d + σ S dz Vamos lembrar os passos iniciais da derivação da fórmula de Black- Sholes: Processo na medida original (real): ds = µ S d + σs dz Q Processo na medida equiv (neuraaorisco): ds = ( r y) S d + σs dz Usando a condição de conorno: c(t) = max Sabemosque: c( ) = e subsiuindo, c( ) = e rt rt ( S K,0) E Q [ max( S K,0) ] ( r y σ / ) T+ σz ( T ) ( e K,0) E S T o T Podemos parar por aqui! Vimos que basa subsiuir S 0 na fórmula por S 0 e- yt. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 9 Opção que pagam dividendo conínuo e opções sobre moeda. Modelo de Garman-Kohlhagen (83) Equação diferencial : ƒ ƒ ƒ + ( r y) S + ½σ S = rƒ Fórmula de Call Européia sobre moedas ou com dividendo conínuo nuo: c = S 0 e -yt N(d ) Ke Ke -rt N( N(d ) Fórmula de Pu Européia sobre moedas ou com dividendo conínuo nuo : p = Ke -rt N(-d ) S 0 e -yt N(d ) Onde, d = ln(s 0 /K) + ( r - y σ / ) e d = d - σ σ Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 0 5

6 Modelo Binomial para Opções sobre Moeda S 0 u f=e -rt [pf u +(-p)f d ] S 0ƒ ƒ u S 0 d ƒ d No mundo risk-neural o aivo cresceria a r-y ao invés de r quando exise juros (ou dividendo conínuo) sobre o aivo igual a y A prob, p, de um movimeno up em que saisfazer, porano: ps 0 u+(-p)s 0 d=s 0 e (r-y)t al que ( r y) T e d p = u d p ( p ) Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. Opção sobre fuuros: Modelo de Black (76). Seja F o valor hoje de um conrao fuuro que vence em T. O processo esocásico é: df = µf d + σf dw Vamos definir um derivaivo genérico que dependa de F : f =f(f ) De novo... vamos achar a EDP que define a função f usando o (i) Lema de Iô, (ii) escolhendo o porfolio adequado: - derivaivo e +df/df fuuros, (iii) impondo ausência de arbiragem forçando que o rendimeno do porfólio renda o msmo que o aivo livre de risco... A diferença agora será no passo (ii): o cuso de comprar df/df é zero por se raar de um fuuro. Logo, = -f ƒ ƒ ƒ dπ = df df = µ F d + σf dz df F F F ƒ ƒ dπ = + ½ σ F d F reorno: dπ = rπ d = rf d ƒ ƒ + ½ σ F = rƒ Derivaivos F - Alexandre Lowenkron Pág. 6

7 Opção que pagam dividendo conínuo e opções sobre moeda: Modelo de Black (76) Equação diferencial : ƒ + ½ σ F Fórmula de Call Européia sobre Fuuros: ƒ = rƒ F c = e -yt [F 0 N(d ) K N(d )] Fórmula de Pu Européia sobre moedas ou com dividendo conínuo nuo : p = e -rt [K N(-d ) F 0 N(d )] Onde, d = ln(f 0 /K) + σ / e d = d - σ σ Observação imporane: É indiferene usar a fórmula de fuuro de dólar ou de opção sobre, desde que o vencimeno da opção seja igual a do fuuro, ou seja S T =F T. Imporane pois há diferenes axas e cupom sujo vs. Cupom limpo. O dela será diferene!!!! Imporane para dela hedge... Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 Árvore Binomial para Opções sobre Fuuros f=e -rt [pf u +(-p)f d ] F 0 u ƒ u F 0 d ƒ d Considere um porfolio comprado em fuuros e vendido em derivaivo F 0 u F 0 ƒ u F 0 d F 0 ƒ d F 0 ƒ Obs.: Lembre que marcado a mercado o valor do fuuro é F -F 0 no Vencimeno F T =S T. O porfolio será livre de risco quando: = ƒ u f d F u F d 0 0 Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 4 7

8 Árvore Binomial para Opções sobre Fuuros O valor do porfolio (sem risco) em T é F 0 u F 0 ƒ u O valor do porfolio hoje é ƒ Porano, ƒ = e -rt [F 0 u F 0 ƒ u ] Subsiuindo para obemos que: ƒ = [ p ƒ u + ( p )ƒ d Onde, d p= u d ]e rt Para a Lisa : Refaça odas essa conas: mosrando o que é o dela, subsiuindo o dela ec, e prove que a probabilidade neura ao risco é esa acima. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 5 Package Americana não-padrões Forward sar opions Opções Composas Chooser opions Opções binárias Opções Exóicas Tipos de Exoicas Opções de Trocar um aivo por ouro. Opções involvendo mais de aivo. Pah dependen: Opções com Barreira Opções Lookback Shou opions Opções Asiáicas Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 6 8

9 Packages Porfolios de opções plain vanilla padrões Vimos vários exemplos: bull spreads, bear spreads, sraddles, ec O preço será a soma dos preços das opções padrões. Opção Composa Opção de comprar ou vender uma opção: em geral o preço é muio baixo. Call on call Pu on call Call on pu Pu on pu Aivo objeo é a própria opção!! Podemos replicar o precedimeno viso aé aqui e chegarmos a uma fórmula analíica. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 7 Forward Sar Opions Opção com vencimeno em T mas que só começa a valer numa daa fuura, T Comum em plano de remuneração de execuivos. Geralmene são esruuradas para que o srike seja igual ao preço vigene em T. Nese caso, noemos que as fórmulas da Call e Pu a-he-money são lineares em S. Porano o preço da opção em T será igual a: (S /S 0 )c Usando a meodologia de avaliação neura ao risco, o preço da opção em T 0 será: e -rt E*(c(T ) S /S 0 ) Mas E*(S) = e (r-y)t S 0 e Como a call é européia, E*(c(T ) )= c(t 0 ) Porano, Forward Sar Opion = e -yt yt c Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 8 9

10 Chooser Opion ou As You Like I Opção começa a valer em T 0 e vence em T Em T (0 < T < T ) o comprador escolhe se a opção é uma pu ou uma call. Em T seu valor é o max( c, p) Da paridade pu - call p = c + e q( T T ) r( T T ) uma pu vencendo em T max(0, Ke q( T T ) Porano subsiuindo em T c + e K S e ( r q)( T T ) Isso é uma call vencendo em T S mais ) Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 9 Opção Binária Cash-or-nohing: paga Q se S T > K, caso conrário paga zero. Valor = e rt Q N(d ) Asse-or-nohing: paga S T se S T > K, caso conrário paga zero. Valor = S 0 N(d ) Decomposição de uma Call em uma C-o-N e A-o-N: Compre opção binária Asse-or-Nohing Venda opção binária Cash-or-Nohing com payoff = K Valor = S 0 N(d ) e rt KN(d ) = Call Plain Vanilla Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 0 0

11 Opção com mais de um indexador: Modelo de Margrabe (78) Sejam dois aivos S e S. Opção de rocar S por S, payoff: Max(S (T) S (T), 0) 0 Processos esocásicos de e : ds () = µ S ()d + σ () S ()dz () ds () = µ S ()d + σ () S ()dz () Onde, E(dZ () dz ()) = ρ d Vamos definir um derivaivo genérico: f() = f(s (), S () ) Como anes vamos achar a EDP que define a função f usando o (i) Lema de Iô, (ii) escolhendo o porfolio adequado: - derivaivo +df/df aivos, (iii) impondo ausância de arbiragem forçando que o rendimeno do porfólio renda o mesmo que o aivo livre de risco... A diferença é que agora o dela-hedge é feio com aivos. EDP: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ + rs( ) + rs ( ) + ½σ S ( ) + ½σ S( ) + ρσσ S ( ) S( ) = r ƒ Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. Opção com mais de um indexador: Modelo de Margrabe (78) Para fazer o apreçameno neuro ao risco, faremos uma mudança de variável dividindo e muliplicando o payoff por S (T): Max(S (T) S (T), 0) = = S (T) Max(S (T)/ S (T), 0) Defina Y() = f(s, S ) = S /S Sabemos que, C() = E *[S (T) max( Y(T)-, 0 ) ] Temos porano que econrar a equaçào de difusão de dy sob a prob neura ao risco: Lema de Iô. Com isso o preço da opção é: Onde, c = S (0) N(d ) S (0) N(d ) d = ln(s (0)/S (0)) + σ* / ) e d = d - σ* * σ* * σ* * = σ + σ - ρσ σ Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág.

12 Variações sobre opções de roca Min(S (T),S (T)) = S (T) - Max(S (T)-S (T), 0) Max(S (T),S (T)) = S (T) + Max(S (T)-S (T), 0) Poderíamos usar o procedimeno descrio para calcular o preco de uma opção sobre ou mais aivos que enham correlação. Esas são conhecidas como Rainbow Opions: Max( ½ S (T) + ½ S (T) K, 0) Ec.. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 3 Opções dependenes da rajeória ria (Pah dependens) É quando o payoff do derivaivo não é só dado por uma função sobre o valor final. Ex.: Lookback: depende do valor máximo ou do valor mínimo alcançado pelo aivo ao longo da vida úil da opção. Lookback call: max (S T -S min,0). É como comprar o aivo no seu mínimo e levar ao vencimeno. Lookback pu: max (S max -S T, 0). É como vender o aivo no seu máximo e levar ao vencimeno. Asiáica ica: depende da média do valor do aivo ao longo da vida da opção. Não em fórmual analíica fechada -> aproximação pode ser feia supondo que a média do preço do aivo segue disribuição lognormal. Barreira Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 4

13 Opções com Barreira Opções que passam a exisir se o aivo baer na barreira anes da opção vencer: IN Opções que deixam de exisir se o aivo baer na barreira anes da opção vencer: OUT Se o aivo baer na barreira por baixo: opção UP-and and-in e opção UP-and and-out Se o aivo baer na barreira por baixo: opção DOWN-and and-in e opção DOWN-and and-out Pode ser pu ou call: 8 combinações possíveis Relações de paridade: c = c ui + c uo c = c di + c do p = p ui + p uo p = p di + p do Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 5 Pricing de opções pah dependen Para algumas há fórmula analíica Ouras podem ser apreçadas por simulação de Mone-Carlo ou por Árvore binomial: Ex.: Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 6 3

14 Quão difícil é fazer dela hedge com as opções exóicas? Em alguns casos, é mais fácil do que as plain vanilla correspondenes, como por exemplo Opções Asiáicas ( a cada insane de empo o valor aual em uma conribuição menor para o payoff final do aivo. Em ouros casos, é bem mais difícil de hedgear como é o caso de opções com barreira. Derivaivos - Alexandre Lowenkron Pág. 7 4