Controlo do Volume Celular

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1 Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad d Coimbra Disciplina d Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm Controlo do Volum Clular Trabalho ralizado por: santos_armanda@hotmail.com Armanda Santos Inês Alixo Joana Góis Rosmyr Cordiro Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 1

2 - Índic - Introdução...3 Dsnvolvimnto Part I - Modlo simpls do controlo do volum clular Prssão osmótica trabalho da concntração Modlo simpls d controlo d volum clular Part II - Modlo d controlo do volum clular com Part léctrica.1 Movimnto d iõs através da mmbrana A intracção do fitos léctricos osmóticos As quaçõs d Hodkin-Huxly para o potncial...0 d acção do nrvo - Anális das quaçõs obtidas rsultados m Simulink Conclusõs AnxoI AnxoII AnxoIII Bibliografia...39 Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005

3 - Introdução - As células rprsntam a unidad strutural funcional d todos os srs vivos. Por outras palavras, cada célula possui uma organização molcular qu lh prmit dsmpnhar as funçõs qu dsmpnham a vida: crscr, rproduzir-s adaptar-s ao mio. As células vivas classificam-s m procarióticas ucarióticas. As células ucarióticas possum o núclo dlimitado por mmbrana (m grgo núclo é caryon) prsum-s qu xistam na Trra há crca d 1,5 biliõs d anos. As células anucladas dnominam-s por procarióticas são ssncialmnt rprsntadas plas bactérias, admit-s qu corrspondam aos dscndnts mais dirctos das primiras formas d vida prsnts na Trra dsd há mais d 3 biliõs d anos. Em trmos volutivos, um acontcimnto crucial para o aparcimnto da primira célula dvrá tr sido a formação d uma mmbrana capaz d isolar protínas ácidos nuclicos do mio xtrior. Esta ncssidad d contnção isolamnto é assgurada, m todas as células pla mmbrana clular. As mmbranas biológicas são constituídas por uma bicamada d fosfolípidos (fig.a). Os fosfolípidos são moléculas anfipáticas, isto é, possum simultanamnt cabças fosfatadas solúvis m água (hidrofílicas) caudas d ácidos gordos insolúvis m água (hidrofóbicas). Existm quatro tipos d fosfolípidos: fosfatidilcolina, sfingomilina, fosfatidilsrina fosfatidiltanolamina). Para além dos fosfolípidos, as mmbranas são também constituídas por protínas (ssncialmnt glicoprotínas também alguns canais bombas) outros tipos d lípidos (colstrol glicolípidos). As mmbranas são trmodinamicamnt stávis, cuja manutnção não rqur hidrólis d ATP. Figura A Bicamada fosfolipídica (mmbrana biológica) Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 3

4 As mmbranas para além d isolarm a célula do mio xtrior dlimitarm compartimntos intraclulars dsmpnham outras importants funçõs, como por xmplo, criam uma barrira imprmávl a iõs, as mmbranas prmitm stablcr gradints lctroquímicos no intrior da célula, assim, armaznar nrgia tal como uma batria. Existm três tipos d transports através da mmbrana: difusão facilitada, transport activo primário transport activo scundário. Nst trabalho apnas srá abordado o transport activo primário, qu é o transport activo mdiado por bombas. A maioria das bombas são complxos proticos, m gral com mais do qu uma subunidad, cujas caractrísticas corrspond às das protínas d tipo IV, usam como font primária dircta d nrgia a hidrólis d ATP, mas o mcanismo d ligação ntr a hidrólis-sínts d ATP transport iónico, não é o msmo para todas Os fluxos activos (contra gradint) d sódio potássio através da mmbrana clular têm duas caractrísticas importants, stão ligados ntr si stão ligados à sínts hidrólis d ATP. Quando os fluxos s procssam contra gradint há uma hidrólis d ATP intraclular havndo a translocação d três iõs sódio dois potássio por cada molécula d ATP hidrolisada. S s aumntar muito os gradints d concntração d + +, além disso s s aumntar a concntração intraclular d ADP fosfato s s diminuir a concntração intraclular d ATP, havrá uma invrsão dos fluxos d sódio potássio através do translocador, simultanamnt, uma sínts d ATP. Para além das bombas, xistm também os canais dpndnts d voltagm. Ests canais assumm particular importância na dspolarização d células nuronais, isto porqu, os canais d sódio dpndnts d voltagm são rsponsávis plas corrnts d mmbrana qu mdiam a fas ascndnt do potncial d acção na maioria das células xcitávis. O nurónio-padrão (fig. B) consist numa célula nuclada com um corpo da qual sam muitos prolongamntos. Ests prolongamntos podm incluir dndrits um axónio. Não são ambos ncssários; basta um dls. Ou sja: um nurónio pod tr um axónio nnhuma dndrit, dndrits nnhum axónio, ou dndrits um axónio (ou msmo axónios). As ddrits distingums morfologicamnt dos axónios plo contúdo d organlos pla diminuição contínua d diâmtro à mdida qu s afasta do corpo do axónio. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 4

5 Figura B Rprsntação squmática d um nurónio-padrão O axónio é uma fibra qu s projcta para fora do corpo clular d um nurónio transmit sinais grados por ss nurónio a outros. O axónio funciona, portanto como um cabo condutor qu transmit impulsos. A bas dos fnómnos lctroquímicos no nurónios ( m todas as outras células) é a gração d gradints iónicos através da acção combinada d mmbranas smi-prmávis bombas iónicas consumidoras d nrgia. O potncial d acção pod sr dscrito como um potncial d rpouso activado por um rápido aumnto, uma fas dscndnt qu s stnd abaixo do potncial d rpouso (hiprpolarização). o rgrsso ao su stado inicial (rpolarização), como s pod vrificar na figura (fig.c) abaixo. Figura C - Gráfico qu rprsnta o potncial d acção O modlo do movimnto iónico numa célula nrvosa durant o potncial d acção foi dsnvolvido, m 195, por Hodgkin Huxly com bas m xpriências m lulas gigants, pois possum axónios bastant grands fácis d s manipular. Numa primira fas, analisaram a função da mmbrana d um nurónio sujita a condiçõs fisiológicas normais; a sguir studaram os fitos d Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 5

6 altraçõs na concntração do sódio no potncial d acção, assim como a influência da corrnt d iónica no fluxo mmbranar d sódio potássio; numa trcira part, xaminaram o fito d mudanças súbitas no potncial d acção na condutância iónica; dpois analisaram d qu modo o procsso d inactivação rduzia a prmabilidad ao sódio; por último com toda sta informação criaram um modlo matmático qu dscrv st sistma biológico. D acordo com os studos dsts cintistas, stamos aptos a prcbr como s propara o potncial d acção ao longo do nurónio as rspctivas funçõs dos canais iónicos associados. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 6

7 - Dsnvolvimnto - -Part I- Modlo simpls do controlo do volum clular Prssão osmótica trabalho da concntração- Considra-s um rsrvatório d água, dividido por uma mmbrana porosa m dois compartimntos iguais (1 ). Fig Cada compartimnto tm um pistão (P 1 P ) qu é usado para criar difrnças d prssão, d modo a qu a água pass através dos poros. O fluxo através da mmbrana é dirctamnt proporcional à difrnça d prssão aplicada. P 1 -P =RQ (grafico) (1.1.1) Q rprsnta o fluxo R a rsistência ao caudal através da mmbrana. Supondo qu s adiciona açúcar ao compartimnto da squrda (1), (vr figura c ) qu as moléculas são dmasiado grands para atravssar a mmbrana porosa. Nst caso a quação antrior é dada por: P 1 -P -ktc=rq (1.1.) Com c a concntração do açúcar, k a constant d Boltzman T a tmpratura absoluta da água. O sinal ngativo stá rlacionado com o sntido d fluxo d água (quando o fluxo d água é d para 1 st é ngativo). A Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 7

8 difrnça d prssão dada por P 1 -P = ktc, assgura o movimnto d água do compartimnto para o compartimnto 1. Quando P 1 =P, -ktc=rq Q= - ktc/r; m qu a prssão Tc é chamada d Prssão osmótica. Considrando c= n/v 1, m qu n é o númro d moléculas d açúcar V1 é o nt volum do compartimnto 1, tm-s qu Posmótica Tc (1.1.3), qu é idêntica à li dos gass idais. Nos gass idais, as intraçõs intrmolculars são dsprzávis,, por isso, a nrgia intrna é apnas cinética. Do msmo modo, numa solução muito diluida, as moléculas d soluto movm-s indpndntmnt umas das outras. Assumm-s sts rsultados para dduzir: P 1 -P -ktc = RQ. 1.O trabalho ralizado plo pistão é dado por: W pistão P P ) Q ( 1 V 1 (1.1.4).O trabalho ncssário para conduzir a água através dos poros na mmbrana é dado por: W mmbrana RQ (1.1.5) 3.O trabalho ncssário para concntrar a solução d açúcar é: W concntração PV 1 TcV 1 (1.1.6) stando m consnso com a li dos gass. S o caudal através da mmbrana diminui, o volum d solução no compartimnto 1 à taxa W concntração TcQ V 1 Q, tm-s: (1.1.7) 4.Finalmnt, por consrvação d nrgia tm-s: Wpistão W mmbrana W concntração (1.1.8) Substituindo os trmos rspctivos dividindo-os por Q obtém-s a quação: ( P1 P ) RQ Tc (1.1.9) Equação sta qu é xactamnt igual à (1.1.). D notar qu a quação (1.1) surg da quação antrior quando c=0. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 8

9 O movimntro d água quando s tm açúcar dos dois lados da mmbrana, é dado por: ( P1 P ) T ( c1 c ) RQ, (1.1.10) com c 1 c as concntraçõs nos rspctivos compartimntos. Assim, a sua prssão osmótica rlativa é dtrminada pla difrnça d concntração ntr as duas soluçõs. Finalmnt, quando s stá prant uma mistura d solutos (o qu dtrmina a prssão osmótica é o númro d partículas indpndnts do soluto, por unidad d volum, considram-s as prssõs osmóticas parciais d cada um, do msmo modo qu s considram as prssõs parciais d cada gás no caso dos gass idais). Um xmplo disto msmo, é o caso d uma solução iónica (por xmplo, Cl dissolvido m água). Nst caso, os iõs + Cl- movm-s indpndntmnt a prssão osmótica dsta solução é dada por: kt kt Cl Em qu [ ] dnota a concntração individual dos rspctivos iõs. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 9

10 1. - Modlo simpls d controlo d volum clular: Nst modlo simpls, não srão considrado os fitos léctricos. Fig 1..1 Modlo simplificado para o controlo do volum clular, ignorando os fitos léctricos; dslocamnto d iõs água através da mmbrana clular No intrior da célula rprsntada na figura (1..1) xistm algumas moléculas qu não consgum atravssar a pard (mmbrana) clular. O númro dstas moléculas é dado por X, portanto, a sua concntração no intrior da célula é dada por X/V, sndo V o volum da célula m causa. Para além dstas moléculas a célula também possui iõs d + +. Ests iõs podm atravssar por difusão passiva a mmbrana da célula, mmbrana sta qu também é prmávl à passagm d água. Vrifica-s igualmnt a xistência na mmbrana, d uma bomba d sódio/potássio, rsponsávl não só plo procsso d difusão activa dos iõs d + +, como também é a rsponsávl por mantr o volum clular constant. Assumindo-s qu a prssão no intrior da célula é igual à prssão no xtrior, pois a mmbrana clular não rsist a grands difrnças d prssão. As quaçõs para o fluxo d +, + água para o xtrior da célula, são: f ) p ( (1..1) i Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 10

11 f ) p ( (1..) i X ( ) R( H O) Q T i i (1..3) V Com f f o fluxo dos iõs rspctivos por unidad d tmpo, [ + ] i a concntração do ião dntro da célula [ + ] a concntração do ião no xtrior da célula p a taxa d movimnto d iõs da bomba (por unidad d tmpo). As quantidads são as prmabilidads (passivas) da célula rlativamnt ao + +, R ( H O) é a rsistência da mmbrana clular à passagm da água. A última quação, (1..3) rprsnta a li da prssão osmótica qu driva da scção antrior, mas nst caso, tm-s qu a prssão no intrior da célula é igual à prssão no xtrior. Supondo agora qu a célula stá num stado d quilíbrio, ou sja fluxo d iõs d água é nulo. Assim as quaçõs (1..1),(1..) (1..3) tomam a forma: i i p p X i i (1..4) (1..5) (1..6) V As duas primiras quaçõs rmtm para as difrnças d concntração induzidas pla bomba, nquanto qu a última rmt para o facto d a concntração d soluto dntro fora da célula sr igual; d outra forma a água iria circular através da mmbrana. Substituindo as quaçõs (1..4) (1..5) na (1..6) obtém-s: X V Ou sja, V 1 1 p ) X ( p (1..7) (1..8) p Ao analisar o rsultado conclui-s qu: Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 11

12 Quando tm-s um valor positivo finito para o volum clular, V. O qu significa qu a mmbrana trá d sr mais prmávl a + do qu ao +. Esta assimtria é ncssária pois a bomba puxa o + para fora + para dntro da célula. A difusão através da mmbrana afcta parcialmnt o trabalho da bomba. Assim quando a bomba actua d modo a rduzir as concntraçõs d iõs na célula, consguindo dpois atingir um quilíbrio osmótico. Outro ponto d intrss é a dpndência d V com p. A quação (1..8) mostra qu o volum V é invrsamnt proporcional à taxa p da bomba. Quando p0, V, ou sja, é ncssário qu a bomba mantnha o volum clular rduzido, caso contrário há turgscência da célula, o qu pod lvar postriormnt à lis clular. É também d notar qu o V é proporcional a X. Assim, o volum da célula modlo stá automaticamnt ajustado ao númro d protínas outras macromoléculas qu s ncontram no intrior da célula; dst modo com a produção d macromoléculas, a célula crsc o su volum aumnta proporcionalmnt. Nsta situação nunca ocorr lis clular. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 1

13 -Part II- Modlo d controlo do volum clular com Part léctrica.1 Movimnto d iõs através da mmbrana Fig.1.1 A batria ilustrada na figura (.1.1.a) mostra a condução d corrnt iónica através da mmbrana. A difrnça d voltagm através da mmbrana é conhcida por potncial d mmbrana. O potncial é trabalho por unidad d carga. A corrnt (carga por unidad d tmpo) na fig.1.1 é composta por spécis iónicas dsignadas por A Z+. Esta notação significa qu cada ião é carrgado por uma carga lmntar (positiva). Isto significa qu a carga é zq, com q a carga do protão. Nos nosso caso, para + + tmos z = +1 para Cl - tmos z= -1. A difrnça d potncial stablcida pla batria é: v v 1 v A corrnt originada plo ião A Z+ é dnotada como I A, a rlação ntr a difrnça d potncial ssa corrnt é dada plo gráfico (fig.1.1 b). Essa Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 13

14 rlação é fundamntada através d argumntos nrgéticos similars aos usados na scção 1.1 as suposiçõs são: 1) O trabalho da batria por unidad d tmpo é W I v v ) I v (.1.1) batria A ( 1 A O qu stá d acordo com as dfiniçõs d corrnt (carga por unidad d tmpo) potncial (ou voltagm) (trabalho por unidad d carga). ) O trabalho ncssário para a corrnt fluir através da mmbrana é W R I (.1.) mmbrana A A Esta suposição só é válida para situaçõs simpls, qu são obsrvadas nas mais importants mmbranas, como por xmplo, no nurónio d lula. 3) O trabalho rqurido para mudar a concntração para iõs d [A z+ ] 1 para [A z+ ] é idêntico ao trabalho fctuado plas moléculas d gás idal. O z [ A ] trabalho é kt log por ião transportado através da mmbrana. O z [ A ] 1 númro d iõs transportados através da mmbrana por unidad d tmpo é I A /zq, assim o trabalho da concntração é dado por: z T [ A ] W concntração I A log (.1..3) z zq [ A ] 1 Pla li da consrvação da nrgia, vm qu W batria W W (.1.4) mmbrana concntração Substituindo isto dividindo por I A, obtmos z T [ A ] v R AI A log (.1.5) z zq [ A ] 1 Dividindo por R A rarranjando os trmos tmos Ond z T [ A ] I A g A v log z (.1.6) zq [ A ] 1 g 1/ R é a condutância da mmbrana. Isto é a rlação corrnt - A A voltagm ilustrada na figura (.1.1.b). Quantativamnt Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 14

15 z T [ A ] E A log (.1.7) z zq [ A ] 1 é dnominado por potncial d quilíbrio do ião m qustão. Quando v E A, a corrnt é zro. É d notar qu sta xprssão para o quilíbrio potncial é muito mais gral do qu a rlação corrnt - voltagm analisada antriormnt. S o prssuposto m () s altrar, a rlação corrnt voltagm tornars-á não linar, mas continuando ainda com o msmo potncial d quilíbrio. Finalmnt, aplicarmos os rsultados dsta scção numa situação m qu vários iõs stão prsnts simultanamnt. Nst caso, assumimos qu difrnts iõs atravssam a mmbrana por difrnts canais. Cada ião tm o su próprio stado d quilíbrio potncial dtrminado pla razão ntr as concntraçõs no xtrior no intrior da célula, mas todos os iõs sntm o msmo potncial d mmbrana v. A corrnt total é simplsmnt a soma das corrnts iónicas individuais para cada ião cada corrnt iónica é dada pla xprssão smlhant à (.1.6). - A intracção dos fitos léctricos osmóticos Considrmos agora o modlo da figura 1.1.1, na qual incluímos o fito léctrico (figura..1). Fig..1 Tm d s considrar o fito dos iõs d cloro, msmo qu ls não sjam transportados activamnt através da mmbrana. Assumimos também qu Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 15

16 cada uma das moléculas x qu s ncontram dntro da célula tm carga ngativa z, rprsntando-s quimicamnt plo símbolo X z-. O fito léctrico dstas cargas produz um fito osmótico indircto, porqu são ncssárias cargas positivas para anular as cargas ngativas da molécula. Est fito é muito mais important do qu o fito osmótico dircto produzido por X z- quando z é grand. Comcmos por analisar as quaçõs dst modlo clular. Primiro, tmos as quaçõs para a corrnt iónica (sntido positivo para fora): I I I Cl g g / i )) pq / i )) pq Cl / Cl )) ( v ( kt / q)log( (..1) ( v ( kt / q)log( (..) g ( v ( kt / q)log( i (..3) Cl Estas quaçõs (..1,....3) são as rlaçõs corrnt-voltagm da scção antrior, com os trmos da corrnt produzidos pla bomba adicionados. S p for a taxa d movimnto d iõs pla bomba (por unidad d tmpo), ntão pq é a corrnt d + produzida pla bomba pq a corrnt corrspondnt a +, assumindo uma rlação d 1:1. ralidad, sta rlação é d 3:, sndo por isso 3pq para o + -pq para o +. O sinal ngativo do + é dvido à sua ntrada para a célula. Dvido à carga ngativa do Cl -, a corrnt I Cl tm sntido oposto do fluxo do Cl -. O fito qualitativo do potncial d mmbrana na corrnt iónica é igual para cargas positivas ngativas. Dpois, tmos a quação para o potncial d mmbrana v = v i v 0 m trmos d xcsso d carga na célula: V V Cl ) Cv q( V xz i i i (..4) ond C é capacidad da mmbrana da célula (q/v), ou sja a mmbrana actua como um condnsador, por isso é qu o potncial d mmbrana é proporcional ao xcsso d carga. É d notar qu o xcsso d carga é muito pquno comparado com o total d cargas positivas ou ngativas, aproximando-s por isso a 0, sndo sta a condição d lctronutralidad. Por último, tm-s a quação para o fluxo osmótico da água (sntido positivo para fora, d novo) Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 16

17 R x ( Cl Cl ) Q kt (..5) V H O i i i Foi suposto antriormnt qu a prssão intrna xtrna são iguais. Supos-s qu no stado d quilíbrio, I, I k, I Cl o fluxo d água Q são nulos. Adicionalmnt fz-s as sguints simplificaçõs: 1 C=0 (condição d nutralidad) xz = N, m qu N é o númro total d cargas ngativas no intrior da célula. S s considrar z x 0, com N fixo, xprssa-s o facto d a célula contr um númro rlativamnt pquno d grands moléculas com um grand númro d cargas ngativas por molécula. A partir dstas duas simplificaçõs obtém-s as sguints quaçõs: / i )) pq / i )) pq Cl / Cl )) 0 g ( v ( kt / q)log( (..6) 0 g ( v ( kt / q)log( (..7) 0 g ( v ( kt / q)log( i (..8) Cl i i Cl i N / V i i Cl i Cl 0 (..9) 0 (..10) Daqui obtêm-s 5 incógnitas: [ + ] i,[ + ] i,[cl - ] i, v V. As concntraçõs xtrnas são conhcidas, obdcm a sta quação: Cl (..11) uma vz qu a solução xtrna é lctricamnt nutra. Para rsolvr as quaçõs antriors, procd-s da manira sguint: i / xp( ( qv / kt) ( pq / g kt)) i / xp( ( qv / kt) ( pq / g kt)) Cl / Cl xp( qv / kt) i (..1) (..13) (..14) Para simplificar, xp( qv / kt) (..15) xp( pq / g kt) (..16) xp( pq / g T ) (..17) ficando assim, i i 1 (..18) 1 (..19) Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 17

18 Cl i Cl (..0) Estas xprssõs podm sr substituídas nas para obtr um par d quaçõs para V. Notar qu dtrmina v. Dpois d dividir stas quaçõs por [Cl - ] o usando..11. obtm-s 0 /( ) / b (..1) quação d lctronutralidad ond 0 /( ) / 1 (..) N b (..3) Cl V ) /( ) (..4) ( Usa-s..1, para xprssar m trmos d b. Isto significa qu stamos a ncontrar o potncial m trmos do volum clular. A quação..1 pod sr rscrita como: / b / 0 (..5) Dond a solução positiva é, b b (..6) Usa-s a solução positiva porqu xp( qv kt ) é positiva para todos os v. Notar qu: b b 1/ (..7) Finalmnt, podmos dtrminar b, dduzindo o V, substituindo na quação do balanço osmótico(..). O rsultado é b 1 (..8) b 1 (..9) N V (..30) Cl 1 assim, apnas têm volums finitos rais quando < 1; quando 1, o volum aumnta até ocorrr lis clular. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 18

19 Tm-s Agora invstigamos a dpndência d com a taxa da bomba p. xp( pq / g kt) xp( pq kt) ( p) (..31) Claramnt, ( 0) 1 ( p) quando p. Difrnciando sta xprssão, ncontra-s: ntão, / g / g d a( (..3) dp / g / g ) d ( 0) a( dp ond a é indpndnt d p. Agora impomos a condição, ntão / g / g / g (..33) (..34) d / dp < 0 p = 0. S..34 não for satisfita, é fácil d vr qu 1 para todos p > 0, não xist solução. Em..33 é intrssant notar qu tm um valor mínimo para o valor d p ncontrado ao fazr d / dp = 0. O rsultado é a quação d p optimo : p opt g / g ) ( kt / q )( g g / g g ))log( (..35) A partir da quação..30, pod-s infrir qu st valor d p é também o qu minimiza o volum da célula V. ralidad, pod-s spcular qu nas células rais, as bombas funcionam a um ritmo próximo d p opt. Para uma taxa fixa d bombamnto, pod-s vr a partir d , qu o volum da célula dpnd do númro d cargas ngativas no intrior dsta também das concntraçõs iónicas médias xtrnas. A dpndência do volum clular com a concntração dos iõs xtrnos pod sr dscrita do sguint modo: - pod sr rscrito m trmos da razão [ + ] /[ + ]. Quando sta razão é fixa, o volum clular é invrsamnt proporcional à concntração total d iõs xtriors à célula [Cl - ] = [Cl - ] + [ + ] + [ + ]. Assim, quanto mais diluído é o ambint xtra-clular, mais a célula aumnta o su volum. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 19

20 Quanto mais baixo for a razão [ + ] /[ + ], aumnta, originando aumnto do volum clular. S a razão tndr para 0, pod ocorrr lis clular. Por último, com o conhcimnto do volum clular, pod dtrminar-s o stado d quilíbrio ou d rpouso, o potncial d mmbrana v. Para isso, substituímos..9 m..6. O rsultado é 1 1 (..36) ntão, v ( kt / q)log ( kt / k)log(1 1 ) (..37) Como 1, v 0. É a partir do potncial ngativo da célula qu s procssam os mcanismos d controlo do volum clular..3 - As quaçõs d Hodkin-Huxly para o potncial d acção do nurónio As altraçõs nas condutâncias da mmbrana g k g lvam a discrpâncias no stado d quilíbrio clular, por isso I, I I Cl não são iguais a zro. Como a racção dos nurónios é rápida, da ordm dos milisgundos, a capacitância da mmbrana clular não pod sr nglignciada, do msmo modo qu ra quando considrávamos mudanças lntas na rgulação do volum clular. Nstas circunstâncias d mudança rápida d condutância, a quação fundamntal qu rg a difrnça d potncial v através da mmbrana clular pod sr dduzida do sguint modo: 1º Difrnciando a quação..4 m ordm ao tmpo, obtmos d d ) ( Vq ) ( V ( q) Cl ) d Cv ( Vq i i i (.3.1) dt dt dt D notar qu (Vq[ + ] i ) é a quantidad d carga dntro da célula contribuída plos iõs +. No ntanto a taxa d mudança dsta quantidad é - I. Em parallo, a taxa d mudança d (Vq[ + ] i ) é I k d (V(-q)[Cl - ] i ) é -I Cl Então, tndo m conta as quaçõs para I, I I Cl (..1,,3), tm-s, C v g ( v E ) g ( v E ) gcl ( v ECl ) 0 (.3.) ond, Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 0

21 kt E log q (.3.3) i kt E log q (.3.4) i kt Cl E Cl log q Cl (.3.5) i Uma vz qu s considrou a simplificação d 1: , as corrnts anulam-s. Com a proporção corrcta (3: ou :3 +-+) a bomba iria dar uma contribuição para a quação (.3.1). Considrando agora qu a célula é tão grand qu o fluxo d iõs é tão pquno qu a concntração intrna dos vários iõs muda lntamnt durant o potncial d acção. D facto, as mudanças na concntração são tão pqunas, qu msmo numa célula m qu o mcanismo d bomba d sódio-potássio sja altrado, pod grar milhõs d potnciais d ants d s vrificar uma variação rlativa nas concntraçõs. Matmaticamnt, xprssa-s isto tratando as quantidads E, E E Cl como sndo constants. Para já, a sua rlação é: E ECl 0 E (.3.6) A quação (.3.) pod-s scrvr da sguint forma: C v g( v E) 0 (.3.7) ond g g g g (.3.8) Cl é a condutância total da mmbrana, ond: E g E Cl Cl (.3.9) g g g E g g Cl E é uma média dos potnciais d quilíbrio E, E Ecl. Agora, vrifica-s qu as quaçõs (.3.7) (.3.) são quivalnts. D acordo com a quação (.3.7), o potncial d mmbrana, v, aproxima-s smpr do valor instantâno d E. Quando, v E v 0 Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 1

22 v E v 0 A célula ajusta-s a E, altrando simplsmnt as condutâncias da mmbrana. Em rpouso, v E aproximam-s d E Cl. No início dos potnciais d acção, os canais d sódio abrm dramaticamnt aumntando g. Isto torna E próximo d E. Mais tard, os canais d sódio fcham os canais d potássio abrm. Isto torna E próximo d E v (pot. d mmbrana) aproxima-s d E, assim, torna-s mais ngativo qu o rsto do potncial da célula. Finalmnt todas as condutâncias tomam os valors normais, E v voltam aos valors d rpouso, próximos d E cl. Hodgkin Huxly através d xpriências ralizadas no axónio gigant da lula dscobriram como s altram as condutâncias d + +. Esquma da mmbrana clular do modlo Hodgkin-Huxly. Ests cintistas implmntaram um circuito lctrónico, para forçar o potncial d mmbrana a sguir o sinal d ntrada introduzido plo cintista. Hodgkin Huxly usaram sinais m forma d dgraus d modo a qu, a voltagm sja constant. S v é constant, ntão C v 0. Assim, toda a corrnt grada por st circuito vai fluir plos canais da mmbrana. As propridads dos canais da mmbrana conduzm a uma dpndência na voltagm. Uma part important do trabalho d Hodgkin Huxly foi concluir qu a voltagm ra a variávl crta a manipular/controlar. Outro procdimnto xprimntal fito por sts cintistas foi colocar um fio d prata a todo o comprimnto do axónio, qu só é possívl por st sr gigant. Est fio, bom condutor d lctricidad dvido à sua composição d prata, tm o fito d liminar quaisqur difrnças d voltagm qu s possam dsnvolvr ntr algumas zonas do axónio. Matmaticamnt, fica Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005

23 assgurado qu o potncial d mmbrana v é apnas função do tmpo t, não só da posição ao longo do axónio. O ponto mais alto da toria introduzida por Hodgkin Huxly foi o facto d consguirm prvr o comportamnto do potncial d acção do nrvo num axónio sm spaços ond não há propagação; mais spcificamnt, ls consguiram prvr a vlocidad com qu o potncial d acção s propaga ao longo d um axónio dst tipo. Esta propagação ncssita da introdução da variávl spacial x; qu srá dsprzada. A vrsão d quaçõs d Hodgkin- Huxly qu a sguir s considram são um sistma d quaçõs difrnciais ordinárias, considrando o tmpo a única variávl indpndnt. Esta vrsão é adquada para o modlo d quas todos os fnómnos associados com potnciais d acção para o nurónio, xcpto para a propagação do potncial d acção como uma onda. sua invstigação, Hodgkin Huxly avançaram também para o studo da intrvnção farmacológica no sntido d dscobrirm o funcionamnto dos difrnts canais (sódio potássio), principalmnt para a obtnção das corrnts iónicas dos rspctivos canais. Estudando a variação dstas corrnts com o tmpo, m rsposta a ntradas m dgrau, ls obtivram o modlo matmático para cada corrnt. Esta toria rlativa aos canais mmbranars é consistnt com studos/mdidas fitas no axónio gigant da lula, a qual não dv sr considrada univrsal, uma vz qu xistm inúmros tipos d canais mmbranars difrnts m difrnts tipos d nurónios com algumas propridads distintas. A vrdadira dscobrta d Hodgkin Huxly foi consguir caractrizar o comportamnto dos canais d sódio ( + ) potássio ( + ) do axónio gigant da lula. Comçando plo studo citação dos postulados dos dois cintistas para o comportamnto do canal d potássio (caso mais simpls): 1. Cada canal d + possui quatro portas. Cada porta pod star abrta ou fchada. O canal d + (como um todo) stá abrto s só s todas as suas quatro portas stivrm abrtas.. Todas as quatro portas no intrior do rfrido canal são idênticas. (Como s assum qu xist apnas um tipo d canal d +, também todos os difrnts canais d + são idênticos ntr si). Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 3

24 3. As difrnts portas no intrior d um canal d + funcionam indpndntmnt umas das outras. (Do msmo modo, também as difrnts portas m difrnts canais d + funcionam indpndntmnt uns dos outros.) 4. A taxa (probabilidad por unidad d tmpo) d abrtura ncrramnto d uma porta d um canal d + é uma função spcificada da voltagm para a taxa d abrtura também uma função spcificada da voltagm para a taxa d ncrramnto. É d salintar qu o concito d abrto s rfr ao stado d condução d uma porta ou canal, isto é, sts stão abrtos quando prmitm a passagm d corrnt iónica. Passarmos, agora, à formulação matmática dos postulados antriors. Considr-s uma população (à partida grand) d canais d +, a população d portas qu xistm no intrior dsss canais, os quais dnominamos por portas d +. Sja n(t) a fracção d portas d + qu stão abrtas num dtrminado tmpo t (ou ntão, pod-s dizr qu n(t) é a probabilidad d qu uma porta + stja abrta no intrvalo d tmpo t). Portanto, a dinâmica d n(t) é dada por: dn dt ( v)(1 n) ( v n (.3.10) n n ) Aqui (v) é a taxa d abrtura para as portas d +, qu é dpndnt n da voltagm v; do msmo modo, (v) é a taxa d ncrramnto para as n msmas, sndo função também da voltagm v. É important rfrir qu (v) é uma função crscnt qu (v) é uma função dcrscnt, dond s pod n infrir qu, aumntando o potncial d mmbrana (no intrior da célula rlativamnt ao xtrior) s aumnta a tndência para a abrtura das portas d + diminui a tndência dstas d fcharm o qu, por consquência, aumnta a condutância d +. Como o potncial d rpouso é ngativo, um aumnto no potncial partindo do rpouso causa uma diminuição da magnitud do potncial a st aumnto chama-s dspolarização. Analisando a quação antrior, vê-s qu a constant d abrtura n (v) stá multiplicada plo trmo (1-n), pois sta é a fracção d portas d + n Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 4

25 fchadas. Por xmplo, s n=1 num instant particular, ntão todas as portas stão já abrtas, logo a taxa d abrtura nss instant é zro. Tomando o msmo raciocínio, constata-s qu a constant (v) stá multiplicada por n, pois as portas têm d star abrtas (daí o trmo n fracção d portas abrtas) para podrm fchar. Para a toria d Hodgkin-Huxly sobr os canais d potássio ficar complta, é ncssário spcificar a condutância d + m trmos da fracção n d portas abrtas. Como xistm quatro portas indpndnts m cada canal cada uma tm a probabilidad n d star abrta, ntão a probabilidad d qu todas as quatro portas stjam abrtas é igual a n 4. Assim, a rfrida condutância g k dv sr proporcional a n 4. Os rfridos cintistas usaram a notação g g k para xprimir a constant d proporcionalidad. Tm-s, portanto: g n 4 k k (.3.11) D notar qu quando n=1 (situação hipotética d qu todas as portas m todos os canais d + stjam abrtas), ntão n g k é a condutância d +. Outra important dscobrta fita por Hodgkin-Huxly foi a sua toria sobr os canais d +. O comportamnto dsts é qualitativamnt difrnt do obsrvado nos canais d +, no qu diz rspito ao sguint: quando é aplicada uma ntrada m dgrau nsts canais, a condutância d potássio aumnta até stabilizar num nívl lvado, nívl st qu s prolonga durant o tmpo m qu é mantida a lvada voltagm na ntrada. Em contrast, com o msmo tipo d ntrada, a condutância d + aumnta apnas durant um curto intrvalo logo a sguir dcai até um nívl mais baixo, msmo s a lvada voltagm for mantida. Est fnómno é conhcido por inactivação d +. Para o dscrvr, Hodgkin Huxly assumiram qu xistm dois tipos d portas dntro d cada canal d + qu ragm d manira difrnt ao aumnto do potncial d mmbrana: as rápidas portas-m, qu são facilmnt abrtas com st, as lntas portas-h, qu têm a rsposta oposta. Assim o aumnto na condutância d + acontc quando as portas-m stão abrtas as portas-h não stão ainda fchadas. A inactivação d + é uma consquência do vntual ncrramnto das portas-h. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 5

26 Concluindo o studo do comportamnto dos canais d sódio, a toria d Hodgkin Huxly para sts driva das sguints afirmaçõs: 1. Cada canal d + tm quatro portas. Cada porta pod star abrta ou fchada. O canal d + como um todo stá abrto s só s todas as suas quatro portas stivrm abrtas.. No ntanto, as quatro portas não são idênticas. Três dlas são d um tipo: portas-m, a outra é a chamada porta-h. Todas as portas-m são idênticas ntr si (qur stjam no msmo canal d + ou não), as portas-h são também idênticas ntr si; porém, as propridads d ambas as portas são difrnts. 3. As difrnts portas no intrior d um canal d + funcionam indpndntmnt umas das outras, qualqur qu sja o su tipo. (Também as difrnts portas m difrnts canais d + funcionam indpndntmnt umas das outras.) 4. A taxa (probabilidad por unidad d tmpo) d abrtura ou ncrramnto para uma porta d um canal é uma função da voltagm v para a abrtura da msma forma também o é para o ncrramnto. Estas taxas para as portas-m são qualitativamnt difrnts das taxas das portas-h: as primiras são stimuladas a abrir com o aumnto d voltagm, as portas-h fcham com st aumnto. Como foi fito no caso dos canais d potássio, podm sr transfridos os postulados da toria da matmática. Considrando uma grand quantidad d canais d sódio. Sja m(t) a fracção d abrtura das portas m m ordm ao tmpo sja h(t) a fracção d abrtura das portas h m ordm ao tmpo. m(t) h(t) satisfazm as quaçõs difrnciais do msmo modo qu a quação (.3.10): m m ( v)(1 m) m ( v) m h h ( v)(1 h) h ( v) h (.5.1) (.5.13) Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 6

27 Estas funçõs, m (v), m (v), h (v) h (v) as constants d abrtura d ncrramnto das portas m h, rspctivamnt. D notar qu m (v) h (v) são funçõs crscnts d v m (v) h (v) são funçõs dcrscnts d v. (vr anxo I ) Assim, um aumnto d voltagm é favorávl à abrtura dsfavorávl ao ncrramnto das portas m, mas tm fito contrário nas portas h. Outro ponto d intrss, é qu as difrnts portas tm uma rsposta difrnt à voltagm aplicada, sndo as portas m 10 vzs mais rápidas qu as portas h. As portas para os canais d potássio (portas n) são mais lntas qu as portas dos canais d sódio (portas h). Para compltar a toria dos canais d sódio, tm d sr spcificado qu a condutância d + (g ), como uma função d m h, qu são fracçõs d abrtura das portas m h rspctivamnt. Em cada canal d sódio xistm 3 portas m uma h; com probabilidad m d qu qualqur porta dst tipo stja abrta probabilidad h d qu sta porta stja abrta. E, como as portas abrm fcham indpndntmnt (acontcimntos indpndnts) a probabilidad d todas as portas starm abrtas (funcionando o canal como um todo) é d m 3 h. A condutância d + é proporcional à probabilidad d os quatro canais starm abrtos m simultano, é dada por: sndo g 3 g m h (.3.14) g a condutância hipotética d + quando todos os canais d sódio stão abrtos simultanamnt. Então as quaçõs d Hodgkin-Huxly para o potncial d acção para o nurónio no caso ond não há propagação, podm sr rsumidas: dv C g( v E) i0 ( t) (..16) dt ond i ( ) é a corrnt aplicada (por unidad d ára d mmbrana) m função 0 t do tmpo E é o potncial rvrso. Isto pod rprsntar corrnt dircta aplicada (léctrodo) ou corrnt sináptica qu flui naturalmnt nurónio a Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 7

28 nurónio, uma vz qu os canais stão abrtos para o nurotransmissor. Em cada caso, i ( ) rprsnta smpr uma função do tmpo. 0 t D lmbrar qu a condutância total da mmbrana (por unidad d ára) é dada por: qu g g g g (..17) E g E g L E g E L L (..18) g g g L é a média pondrada dos potnciais rvrsos, psadas plas condutâncias. Os potnciais rvrsos E E E L são constants. As condutâncias g g g L são dadas por: g g ond g, g 3 g m h (..19) g n 4 (..0) g L g L (..1) g L são constants. As variávis caractrísticas dos canais, m,h n obdcm às sguints quaçõs difrnciais: m ( v)(1 m) ( v m (..) m m ) h ( v)(1 h) ( v h (..3) h h ) n ( v)(1 m) ( v n (..4) n n ) Estas sis funçõs d variávl v qu aparcm como coficints nstas quaçõs rprsntam as constants d abrtura ou ncrramnto dos difrnts tipos d portas dscritas antriormnt. Estas constants foram mdidas por Hodgkin Huxly postriormnt insridas nas fórmulas antriors. Estas fórmulas são scritas num sistma spcífico d unidads, m qu o v é m milivolts (10-3 V) as constants o invrso d milisgundo (1/(10-3 sgundos). ( v 45) /10 m ( v) 1.0 (.3.5) 1 xp( ( v 45) /10) Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 8

29 ( v) 4.0 xp( ( v 70) /18) (.3.6) m ( v) 0.07 xp( ( v 70) / 0) (.3.7) h 1 h ( v) xp( ( v 40) /10) (.3.8) ( v 60) /10 n ( v) xp( ( v 60) /10) (.3.9) v 70 n ( v) 0.15xp (.3.30) 80 Diagrama qu rprsnta a complxidad da mmbrana clular, com as portas n, h m, os canais as corrnts. Finalmnt as constants qu aparcm nas quaçõs d Hodgkin-Huxly têm os sguints valors: microamprs milisgundos C 1.0 (.3.31) cntímtros microamprs / milivolt g 10 (.3.3) cntímtros microamprs / milivolt g 36 (.3.33) cntímtros E 45milivolts (.3.34) E 8milivolts (.3.35) Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 9

30 Diagrama d um circuito léctrico qu dscrv o fluxo d corrnt através da mmbrana do modlo d Hodgkin-Huxly. (vr anxos II III) Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 30

31 - Anális das quaçõs obtidas rsultados m Simulink - Partindo das sguints quaçõs (rsultants da toria d Hodkin-Huxly): m ( v)(1 m) ( v m (..) m m ) h ( v)(1 h) ( v h (..3) h h ) n ( v)(1 m) ( v n (..4) n n ) Ou scritas d outra forma tm-s: ( v) ( v) m ( v) m (..5) m m ( v) ( v) h ( v) m h (..6) h h ( v) ( v) n ( v) h n (..7) n n n Implmntando-as no Simulink obtém-s o diagrama d blocos: Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 31

32 Gráficos 1, 3 Os gráficos rfrm-s rspctivamnt ao fluxo iónico através das portas m, h n, sndo as duas primiras constituints dos canais d sódio a última constituint dos canais d potássio. Comparando os gráficos (gráf. 1, 3) tmos qu: - no gráfico 1, rfrnt às portas m (canais d sódio), vrifica-s qu com o aumnto da voltagm, tais portas abrm, facilitando o fluxo iónico através da mmbrana, atingindo um valor final 1 qu corrspond ao facto d todas as portas m starm abrtas; - no gráfico, rfrnt às portas h (canais d sódio), vrifica-s qu com o aumnto d voltagm, tais portas tndm a fchar, não havndo, consquntmnt, passagm d iõs; - no gráfico 3, rfrnt às portas n (canais d potássio), vrifica-s qu com o aumnto da voltagm, tais portas abrm, facilitando o fluxo iónico na mmbrana, atingindo um valor final d 1, qu corrspond ao facto d todas ssas portas starm abrtas; Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 3

33 Comparando o primiro o último gráfico, vrifica-s, tal como sria d sprar, uma maior rapidz das portas m m rlação às portas n, sndo por isso o fluxo iónico do primiro caso mais acntuado nos primiros instants qu no trciro caso, acabando dpois, como já foi rfrido antriormnt, tndr ambos para o msmo platau d 1. O transport activo d iõs para o intrior da célula cria um gradint osmótico qu faz com qu a água tnda a passar por osmos para o intrior da célula. Nst caso, a bomba sódio-potássio é um xclnt rgulador do volum clular, pois controla a concntração iónica total no intrior da célula, visto qu quando sam 3 iõs + ntram +, ou no caso invrso, quando ntram 3 iõs + sam +, não variando por isso significativamnt a concntração iónica total da célula, mantndo assim o su volum constant. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 33

34 - Conclusão - Durant o crscimnto clular, o volum aumnta proporcionalmnt com o númro d macromoléculas carrgadas ngativamnt produzidas pla célula. Porém as células têm nas suas mmbranas bombas sódio-potássio qu são rsponsávis não só plo procsso d difusão activa d iõs d + +, como também é rsponsávl por mantr o volum clular constant, como vrificaram Hodgkin Huxly na sua toria sobr a rgulação do volum clular. Modlos dos Procssos Fisiológicos no Homm 004/005 34