Ana Rita Martins. 1 o Semestre 2012/2013

Transcrição

1 Equações es Católica Lisbon 1 o Semestre 2012/2013

2 Matrizes: Motivação É comum o recurso a tabelas para organizar informação diversa. No entanto, estes objectos não são, em geral, manipuláveis". Equações es Para ultrapassar esta limitação"é usual recorrer às chamadas. As não só permitem uma simplificação no tratamento dos dados incluídos em tabelas, como as regras algébricas para a manipulação de são semelhantes às regras de manipulação de números reais.

3 Matrizes Equações es Definição Uma é uma entidade matemática representada por uma tabela rectangular de números. Mais precisamente, dados n, m N chama-se de tipo (ou dimensão) m n a uma tabela rectangular de nm números reais distribuídos por m-linhas e n-colunas preenchidas por números reais: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn (a ij R, para todo o i = 1,, m e j = 1,, n).

4 Exemplo Equações es Consideremos uma cadeia de lojas constituída por 3 lojas L 1, L 2, L 3, cada uma vendendo 10 produtos diferentes P 1,..., P 10, e denotemos por v ij o valor (em euros) das vendas do produto P i na loja L j num certo mês do ano. Então uma maneira simples e adequada de organizar esta informação será através da seguinte do tipo 10 3: v 11 v 12 v 13 v 21 v 22 v v 10 1 v 10 2 v 10 3 Desta forma, por exemplo, se v 92 = 575 significa que o valor das vendas do produto P 9 na Loja L 2 correspondeu a 575 euros no mês em questão.

5 Representação de Matrizes Equações es É usual recorrer a letras maiúsculas (A, B, C, X, Y, ) para representar. No caso de se pretender explicitar as entradas de uma A do tipo m n, é também usual representar A da forma: ou simplesmente, A = [a ij ] i=1,...,m,j=1,...,n, A = [a ij ], quando está definida à partida a dimensão da. Para evidenciar o tipo m n de uma A, é também costume escrever A m n.

6 Matrizes: Notação Equações es As m 1 chamam-se coluna a 11. a n1 As 1 n chamam-se linha [ a11...a 1n ] As n n chamam-se quadradas a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn As m n com m n chamam-se rectangulares.

7 Matrizes Quadradas Equações es Definição Dada uma quadrada A = [a ij ] do tipo n n* chama-se diagonal principal de A às entradas a 11, a 22,, a nn : e diz-se que: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn A é triangular superior se a ij = 0 para i > j. Por exemplo, para n = 3, são da forma: a 11 a 12 a 13 0 a 22 a a 33 *Também é costume dizer apenas que A é uma quadrada de ordem n.

8 Matrizes Quadradas Equações es Definição A é triangular inferior se a ij = 0 para i < j. Por exemplo, para n = 3, são da forma: : a a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 A é diagonal, se for simultaneamente trangular superior e inferior, isto é, se a ij = 0, para i j. Por exemplo, se n = 3, são da forma: a a a 33 Se, além disso, todos os elementos da diagonal forem iguais, então a também se diz uma escalar.

9 Matrizes: Notação Equações es Chamamos identidade de dimensão n, denotada por I n, à quadrada n n com diagonal principal constituída por 1 s e restantes entradas nulas. Por exemplo, I 2 = [ ] 1 0, I = Chamamos nula de dimensão m n, e representamos por 0 m n, a m n com entradas todas nulas. Por exemplo, [ ] =

10 Equações es Igualdade de Matrizes Dadas A = [a ij ] do tipo m n e B = [b kl ] do tipo m n, temos: A = B Por exemplo, dados x, y, z R temos: [ ] 1 2x = 3y+1 z m = m n = n a ij = b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n [ 3x 2 ] 2 5z 0 1 = 3x 2 2x = 2 3y+1 = 5z z = 0 x = 1 y = 1 3 z = 0, e acabámos de resolver uma equação matricial...

11 Exemplo de motivação para operações algébricas entre Equações es Voltemos ao exemplo da rede de lojas constituída por 3 lojas L 1, L 2, L 3, cada uma vendendo 10 produtos diferentes P 1,..., P 10, cujos valores das vendas em cada mês i é representado pela : v i 11 v i 12 v i 13 A i = v i 21 v i 22 v i v i 10 1 v i 10 2 v i 10 3 com i = 1,, 12.

12 Exemplo de motivação para a aritmética matricial Equações es Consideremos então os primeiros dois meses do ano, cujos resultados das vendas são representados respectivamente por v 1 11 v 1 12 v 1 13 v 2 v 1 21 v 1 22 v 1 11 v 2 12 v A 1 =... e A v 2 21 v 2 22 v =... v v v v v v Se pretendermos determinar, por exemplo, o valor total das vendas do produto P 1 na loja L 1 nos dois primeiros meses do ano basta somar v v 2 11 e podemos fazer o mesmo para cada loja e cada produto.

13 Exemplo de motivação para algebra matricial Equações es Desta forma, podemos considerar uma nova : v v2 11 v v2 12 v v2 13 v v2 21 v v2 22 v v v v v v v v que representa a soma da A 1 pela A 2 e se denota por A 1 + A 2.

14 Exemplo de motivação para algebra matricial Equações es Imaginemos agora que os valores de venda descritos pelas A i incluem IVA e que o IVA a considerar é 23% para todos os produtos. Para sabermos o total de IVA a pagar por cada venda no i-ésimo mês do ano, basta multiplicar cada entrada da A i por 0, 23. Obtemos assim uma nova que se representa por 0, 23A i e está definida por: 0, 23A i = 0, 23v i 11 0, 23v i 12 0, 23v i 13 0, 23v i 21 0, 23v i 22 0, 23v i , 23v i , 23v i , 23v i 10 3

15 Aritmética Matricial Equações es Soma Dadas duas A = [a ij ] e B = [b ij ] do mesmo tipo m n, define-se a soma de A e B como sendo a do tipo m n representada por A+B = [c ij ] e cuja entrada(i, j) é dada por Produto Escalar c ij = a ij + b ij. Sejam agora A = [a ij ] uma do tipo m n eαum número real. Define-se o produto escalar deαpor A como sendo a do tipo m n representada por αa = [c ij ] e cuja entrada (i, j) é dada por c ij = αa ij. No caso em que α = 1, representamos ( 1)A simplesmente por A, sendo esta última o elemento simétrico de A para a operação de soma de.

16 Aritmética Matricial Equações es Subtração Dadas duas A = [a ij ] e B = [b ij ] do mesmo tipo m n, define-se a subtração de A e B como sendo a A+( 1)B, isto é, a do tipo m n representada por A B = [c ij ] e cuja entrada(i, j) é dada por c ij = a ij b ij.

17 Aritmética Matricial Equações es Propriedades da soma de Comutatividade A+B = B+A Associatividade A+(B+C) = (A+B)+C Existência de elemento neutro A+0 m n = A Existência de simétrico A+( A) = 0 m n

18 Aritmética Matricial Equações es Propriedades do produto escalar Distributividade I α(b+c) = αb+αc Distributividade II (α+β)c = αc+βc Associatividade α(βc) = (αβ)c

19 Exemplo de motivação para o produto matricial Equações es Suponhamos que três empresas A, B e C partilham o mercado de um certo produto. Actualmente, a empresa A detém 20% do mercado, a B detém 60% e a C detém 20%. No decorrer do próximo ano, prevê-se que as seguintes alterações vão ocorrer: A vai manter 85% dos seus clientes, vai perder 5% para a empresa B e 10% para a empresa C; B vai manter 55% dos seus clientes, vai perder 10% para a empresa A e 35% para a empresa C; C vai manter 85% dos seus clientes, vai perder 10% para a empresa A e 5% para a empresa B; É fácil de concluir que, por exemplo, a percentagem de mercado que a empresa A irá deter no próximo ano é então obtida através do cálculo: portanto 25%! 0, 85 0, 2+0, 10 0, 6+0, 10 0, 2 = 0, 25,

20 Motivação para a operação de produto entre Equações es Podemos incluir a informação acima em duas 0, 85 0, 10 0, 10 T = 0, 05 0, 55 0, 05 e s = 0, 2 0, 6. 0, 10 0, 35 0, 85 0, 2 A T é chamada a de transição e s o valor de cota de mercado incial. A cota de mercado para a empresa A é então obtida por multiplicação"da primeira linha de T com a coluna da s. Podemos também repetir este cálculo para cada uma das linhas de T e o resultado será então uma coluna 0, 25 0, 35 0, 40 obtida pelo chamado produto da T pela s e denotado por Ts, que nos dá as cotas de mercado após um ano. Qual será a interpretação do produto T(Ts)?

21 Produto Matricial Equações es Sejam A uma m r e B uma r n (isto é, o número de colunas de A coincide com o número de linhas de B). Nestas condições, pode definir-se o produto de A = [a ik ] por B = [b kj ], dado por uma m n, denotada por AB = [c ij ], com entrada(i, j) definida por: c ij = [ ] a i1 a ir }{{} i-ésima linha de A b 1j. b rj }{{} j-ésima coluna de B = a i1 b 1j + a i2 b 2j +...+a ir b rj = = r a ik b kj. k=1

22 Exemplos Equações es Exemplos 1 2 ] 1a+2c 1b+2d 3 4 [ a b = 3a+4c 3b+4d c d 5 6 5a+6c 5b+6d [ ] = [ ] c13 c = c 23 c 24 [ ] c11 c = c 21 c

23 Produto Matricial Equações es Atenção: Dadas A, B, C pode acontecer que: o produto AB esteja bem definido mas o produto BA não o esteja; os produtos AB e BA estejam bem definidos mas tenham dimensões diferentes; os produtos AB e BA estejam bem definidos, tenham dimensões iguais, mas ainda assim se verifique AB BA; AB = 0 não implica necessariamente que alguma das A ou B seja nula; AB = AC e A 0 não implica necessariamente B = C. Definição Dadas A e B tais que ambos produtos AB e BA estejam bem definidos, dizem-se permutáveis se AB = BA.

24 Propriedades Equações es Apesar do produto de não ser, em geral, comutativo, partilha semelhanças com o produto dos números reais. Propriedades do Produto Matricial Dadas A, B, C,α R, m, n N, usando a mesma notação 0 para designar qualquer nula, e supondo que todas as operações estão bem definidas, pode mostrar-se a validade das seguintes propriedades: Associatividade A(BC) = (AB)C Existência de elemento neutro AI n = I n A = A Existência de elemento absorvente A0 = 0 e 0A = 0 Distributividade do produto em relação à soma (à esquerda) A(B+C) = AB+AC Distributividade do produto em relação à soma (à direita) (B+C)A = BA+CA Relação entre o produto de e o produto escalar α(bc) = (αb)c = B(αC)

25 Potênciação Equações es Dada uma A quadrada n n e p N 0, definem-se as potências de A recursivamente: { A 0 = I n A p = AA p 1, isto é, para p N, A p = AA A (produto de p-cópias de A). Propriedades das potências de uma A m A n = A m+n (A m ) n = A mn

26 Transposição Equações es Seja A = [a ij ] uma m n. A transposta de A é a n m, denotada por A T, que resulta da troca entre as linhas e as colunas de A, ou seja, a entrada(i, j) de A T é dada por [A T ] ij = a ji. Propriedades da transposta de uma (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (αa) T = αa T (AB) T = B T A T Definição Uma quadrada A diz-se: simétrica se A T = A; anti-simétrica se A T = A.

27 Traço Equações es Seja A uma n n. Chama-se traço de A = [a ij ] e denota-se por tr(a), a soma das entradas da diagonal principal de A, ou seja, tr(a) = n a ii = a 11 + a a nn. i=1 Propriedades do traço de uma tr(a+b) = tr(a)+tr(b); tr(αa) = αtr(a); tr(a T ) = tr(a); tr(ab) = tr(ba).

28 Invertibilidade Equações es No contexto dos números reais, é conhecido que todo o real não nulo admite inverso, isto é: a R\{0} a 1 a = 1 a a = 1, sendo 1 a, o inverso de a, também denotado por a 1. Definição Uma quadrada A de ordem n diz-se invertível se existir uma do mesmo tipo B tal que chamando-se a B uma inversa de A. AB = BA = I n,

29 Invertibilidade Equações es De facto, existindo inversa de uma, ela é única: { AB = BA = I n AB = B A = I n B = BI n = B(AB ) = (BA)B = I n B = B, pelo que se representa a inversa de uma A por A 1.

30 Invertibilidade Equações es A operação de uma é compatível com a aritmética matricial, no seguinte sentido: Propriedades da inversão matricial Sejam A e B duas invertíveis e consideremos p N e α R\{0}: a AB também é invertível e tem-se(ab) 1 = B 1 A 1 ; A 1 é invertível, com inversa dada por(a 1 ) 1 = A; A p é invertível e(a p ) 1 = (A 1 ) p ; αa é invertível e(αa) 1 = α 1 A 1 ; A T é invertível e(a T ) 1 = (A 1 ) T.

31 Potências de Expoente Inteiro Equações es Dada uma A quadrada n n invertível e p Z, define-se: Propriedades A p = (A 1 ) p. Dada uma invertível A e números inteiros p, q, valem as igualdades: A m A n = A m+n (A m ) n = A mn No entanto, não sendo o produto de comutativo, tem-se em geral que A p B p (AB) p

32 Equações es Equações es A maior parte dos modelos matemáticos usados por economistas envolvem sistemas de várias equações. No caso das equações serem lineares, o estudo de tais sistemas pertence ao domínio da Álgebra. Mesmo que as equações não sejam lineares, interessa analisar, por exemplo, como se comporta a solução dos sistemas em resposta a variações (lineares) nas variáveis exógenas ou parâmetros. Vamos, desta forma, aprender a representar os sistemas de equações lineares de forma simples e resolvê-los através de um algoritmo chamado o.

33 Equações es Equações es Qualquer recta no plano xy pode descrever-se algebricamente através de uma equação da forma a 1 x + a 2 y = b, onde a 1, a 2, b são números reais fixos e a 1, a 2 não são simultaneamente nulos. a_1 x a_2 y b x 5

34 Equações es Equações es As rectas são tipicamente usadas pelos economistas para descrever relações entre duas variáveis. Por exemplo, dada uma recta de equação y = mx+b: se m > 0 significa que as variáveis x e y estão em relação directa; se m < 0 significa que as variáveis x e y estão em relação inversa. y mx b m x 10 y mx b m x

35 Equações es Equações es Definição Mais geralmente, chama-se equação linear nas n variáveis x 1,..., x n a uma equação da forma a 1 x a n x n = b, (2.1) onde a 1,..., a n, b são números reais fixos e a 1,..., a n não são simultaneamente nulos. As variáveis x 1,..., x n também se designam por incógnitas. Uma solução particular de (2.1) é uma sequência de n números reais(s 1,..., s n ) tal que a 1 s a n s n = b. O conjunto de todas as soluções particulares diz-se o conjunto solução ou a solução geral de (2.1).

36 Equações es Equações es Definição Chama-se sistema de equações lineares (SEL) a um conjunto finito de equações lineares nas n variáveis x 1,..., x n. Qualquer SEL com m equações e n incógnitas (SEL m n) pode escrever-se na forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (2.2). a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m onde os a s e b s são números reais fixos e os a s não são simultaneamente nulos. Uma solução particular do SEL (2.2) é uma sequência de n números reais(s 1,..., s n ) que é solução particular de cada uma das m equações do SEL. O conjunto de todas as soluções particulares de (2.2) diz-se o conjunto solução ou a solução geral do SEL.

37 Equações es Equações es Notação Se b 1 = b 2 =... = b m = 0, o SEL diz-se homogéneo. O SEL diz-se possível se o conjunto solução for não vazio; caso contrário, dir-se-á impossível. No caso de um SEL possível, diz-se ainda que o SEL é: possível e determinado se o conjunto solução for constituído por um único elemento; possível e indeterminado se o conjunto solução tiver mais que um elemento*. *De facto, pode provar-se que o conjunto solução de um SEL possível e indeterminado admite sempre uma infinidade de elementos. Proposição Os SEL s homogéneos são sempre possíveis!

38 Significado geométrico do conjunto solução de um SEL: Exemplo Equações es O conjunto solução de um SEL do tipo { ax+by = c dx+ey = f corresponde aos pontos de interseção das rectas de equações dadas pelas equações do SEL. O SEL será possível e determinado sse as rectas se intersectarem num só ponto: O SEL será possível e indeterminado sse as rectas coincidirem: y y x x 5 10 o SEL será impossível sse as rectas não se intersectarem (isto é, são paralelas sem pontos comuns). y x 5

39 : Motivação Equações es O (MEG) é um algoritmo que simplifica a resolução de sistemas de equações lineares (SELs) e tem por base a utilização das chamadas operações elementares sobre as equações de um SEL. Operações Elementares (OE1) Multiplicação de uma equação do SEL por um número real não nulo; (OE2) Troca da ordem de duas equações do SEL; (OE3) Soma de uma equação do SEL com um múltiplo de outra equação do SEL. Repare-se que qualquer uma das operações elementares transforma um SEL num outro equivalente, isto é, com o mesmo conjunto solução.

40 Sistemas es na forma matricial Equações es Para implementar"o MEG com vista à resolução de um SEL, é conveniente começar por escrever o SEL na forma matricial. Cada SEL da forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m pode ser escrito matricialmente da seguinte maneira: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn }{{} dos coeficientes do SEL x 1 x 2. x n }{{} coluna das incógintas = b 1 b 2. b m }{{} coluna dos termos independentes (3.1)

41 Equações es Chama-se ampliada do SEL à : a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m (3.2)

42 Equações es As operações elementares podem ser aplicadas diretamente sobre as equações de um SEL, sobre as linhas da respectiva ampliada ou, mais geralmente, sobre as linhas de qualquer. Mais precisamente, dada uma A com linhas L i, i = 1,..., m, podemos considerar as seguintes operações elementares sobre A: Operações elementares sobre (OE1) Multiplicação da linha L i por um número realα 0 (indica-se escrevendoαl i ); (OE2) Troca da ordem da linha L i com a linha L j (indica-se escrevendo L i L j ); (OE3) Substituição de uma linha L i por L i +βl j, para qualquer β R (indica-se escrevendo L i +βl j ).

43 MEG Equações es Algoritmo MEG: Consiste em aplicar sucessivamente operações elementares à aumentada do SEL até obter uma em escada de linhas, i.e., uma que satisfaz as seguintes propriedades: todas as linhas nulas estão agrupadas na base da ; para quaisquer duas linhas consecutivas não nulas, a primeira entrada não nula da linha inferior está situada numa coluna mais à direita que a coluna correspondente à primeira entrada não nula da linha superior. A este processo de transformar uma dada numa em escada de linhas também se chama o processo de condensação da.

44 Matrizes em escada de linhas Equações es Exemplos de em escada de linhas I n ( n N), , , , Exemplos de que não estão em escada de linhas , 0 1 0, 0 0 1,

45 MEG- Algoritmo: Equações es (1) Escrever a aumentada do SEL; (2) Localizar a coluna mais à esquerda que não tenha todas as entradas nulas; (3) Se necessário, trocar linhas de forma a que a entrada da primeira linha correspondente à coluna mencionada na alínea anterior seja diferente de zero. (4) Somar múltiplos apropriados da primeira linha às restantes linhas de forma a que todas as entradas debaixo da entrada não nula se anulem. (5) Fixar a primeira linha e repetir o procedimento para a sub que resta. (6) O MEG termina quando obtivermos uma em escada de linhas. A em escada de linhas obtida pelo MEG corresponde a um SEL equivalente ao inicial e permite calcular de modo simples a solução pretendida.

46 Exemplo Equações es Vamos aplicar o MEG ao seguinte SEL: x + 2y + 3z = 1 x + z = 1 3x + 2y + z = 0 L 2 L 1 L 3 3L O SEL inicial é, portanto, equivalente ao SEL: x + 2y + 3z = 1 x = 1 4 2y 2z = 0 y = 3 4 4z = 3 z = 3 4 L 3 2L 2

47 Equações es Para optimizar o processo de determinação da solução geral do SEL é conveniente introduzir os conceitos seguintes: Definição Chama-se pivot ao primeiro elemento não nulo de cada linha de uma em escada de linhas. As variáveis livres são as incógnitas que correspondem às colunas da em escada de linhas obtida após aplicação do MEG que não contenham os pivots, chamando-se as restantes variáveis de variáveis não livres. O número de variáveis livres de um SEL também se costuma designar o número de graus de liberdade do SEL.

48 Discussão de SEL s na forma matricial: caso n = m Equações es Neste caso, a dos coeficientes é quadrada, isto é, existem tantas equações quanto incógnitas e, após a condensação da ampliada do SEL, um dos casos pode acontecer: SEL possível e determinado; SEL possível e indeterminado; SEL impossível. 1) Existem tantos pivots quanto o número de incógnitas SEL possível e determinado x x x x 0 x x x 0 0 x x

49 Discussão de SEL s na forma matricial: caso n = m Equações es 2) Pelo menos uma das linhas da ampliada é nula e todas as linhas não nulas (da ampliada) correspondem a linhas não nulas da dos coeficientes. Pelo menos uma das equações é universal(0 = 0) SEL possível e indeterminado, com tantos graus de liberdade quantas as linhas nulas x x x x 0 x x x

50 Discussão de SEL s na forma matricial: caso n = m Equações es 3) existe pelo menos uma linha cujo pivot se encontra na coluna dos termos independentes pelo menos uma das equações é impossível(0 = 1) SEL impossível x x x x 0 x x x x

51 Discussão de SEL s na forma matricial: caso n > m Equações es Neste caso, sendo o n o de incógnitas superior ao de equações existirá, pelo menos, uma variável livre. Desta forma, o SEL nunca poderá ser possível e determinado, ocorrendo um dos seguintes casos: Existe, pelo menos, uma linha nula na dos coeficientes do SEL à qual corresponde uma linha não nula na ampliada do sistema, isto é, o SEL é impossível x x x x x 0 x x x x x Caso contrário, o SEL será possível e indeterminado, x x x x x x x x x x 0 x x x x ou 0 x x x x 0 0 x x x

52 Discussão de SEL s na forma matricial: caso n < m Equações es Neste caso, existem mais equações que incógnitas e, após condensação, a nova dos coeficientes terá todas as linhas nulas abaixo da m-ésima linha. Dois casos podem então acontecer: Existe, pelo menos, uma linha nula da nova dos coeficientes (abaixo da m-ésima) à qual corresponde uma linha não nula na nova ampliada do sistema SEL impossível x x x x 0 x x x 0 0 x x x

53 Discussão de SEL s na forma matricial: caso n < m Equações es Todas as linhas da nova ampliada que estão abaixo da m-ésima linha são nulas o SEL é equivalente a um SEL com n linhas e n incógnitas x x x x 0 x x x 0 0 x x x x x x 0 x x x 0 0 x x

54 -Jordan (MEGJ) Equações es O algoritmo de tem por base uma extensão do MEG denominado: -Jordan (MEGJ) que consiste na aplicação sucessiva de operações elementares a uma de forma a transformá-la numa em escada de linhas reduzida, i.e., numa em escada de linhas que satisfaz as seguintes propriedades adicionais: Todos os pivots são iguais a 1; Todas as colunas com pivots têm as restantes entradas nulas. Exemplos de em escada de linha reduzidas I n ( n N), ,

55 Inversão de Equações es A inversa de uma A de ordem n é, por definição, a única B = [b ij ] de ordem n, tal que AB = I e BA = I. Por definição de produto matricial, significa, em particular, que o produto de A pela j-ésima coluna de B será igual à j-ésima coluna de I n : b 1j 0.. A b jj = 1, j = 1,, n. b nj. 0 Desta forma, determinar B corresponde a resolver n SEL s, todos com a mesma dos coeficientes A, o que pode ser feito da seguinte maneira:

56 Algortimo de Equações es Seja A uma n n. (1) Considere a [A I n ] (2) Aplique o MEGJ até transformar a [A I n ] numa da forma[i n B] Então ter-se-á B = A 1. Se não for possível obter-se uma da forma[i n B], então A não será invertível.

57 Aplicação: SEL com dos coeficientes quadrada Equações es Proposição Um SEL com o mesmo número de equações e incógnitas será possível e determinado se, e somente se, a dos coeficientes for invertível. Mais precisamente, dado um SEL escrito matricialmente na forma AX = B, onde A é uma quadrada n n e B uma coluna n 1, o SEL será possível e determinado se, e somente se, a A for invertível e, nesse caso a solução é dada por X = A 1 B. Desta forma, interessa muitas vezes determinar a invertibilidade ou não de uma, sem ter de calcular a sua inversa.

58 Determinantes Equações es Para responder ao problema de invertibilidade, temos então o chamado determinante de uma quadrada A que é um escalar associado à, denotado por det A, ou por A, e que satisfaz a seguinte propriedade: A é invertível det A 0. Existem várias maneiras de definir o conceito de determinante de uma n n. A definição que vamos dar segue o chamado Teorema de Laplace e permite definir o determinante de forma recursiva, ou seja, definimos o determinante de uma n n a partir de determinantes de sub(n 1) (n 1) da inicial.

59 Equações es Para n = 1, isto é, para com uma única entrada a 11, o determinante é a própria entrada a 11 : a 11 = a 11. [ a11 a Para n = 2, isto é, para da forma A = 12 a 21 a 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12. ], tem-se

60 Equações es Para definir o determinante de de ordem superior necessitamos de introduzir a seguinte notação: Definição Seja A uma n n, onde n 2. Chama-se cofactor da entrada (i, j) ao número real C ij = ( 1) i+j det(a ij ), onde A ij é a (n 1) (n 1) que se obtém da A removendo a linha i e a coluna j. Chama-se dos cofactores de A, e denota-se por Cof(A) à n n cuja entrada(i, j) é dada pelo cofactor da entrada(i, j). Chama-se ainda adjunta de A e denota-se por adj(a), a transposta de Cof(A): adj(a) = Cof(A) T.

61 Exemplo Equações es Seja Então, por exemplo: A 12 = A 23 = A = = = [ ] [ ]

62 Equações es Fórmula de Laplace Seja A = [a ij ] uma n n, onde n 2. Definimos o determinante de A através da seguinte fórmula: det(a) = n a jk C jk = a j1 C j1 +a j2 C j a jn C jn, j = 1,..., n, (4.1) k=1 onde C jk denota o cofactor da entrada(j, k). A equação (4.1) chama-se fórmula de Laplace com expansão na linha j, j = 1,..., n. Também se pode considerar a fórmula correspondente a expansões em colunas.

63 Exemplo Equações es = ( 1) ( 1) ( 1) = = ( 1) ( 1) ( 1) = = ( 1) ( 1) ( 1) = 0

64 Matrizes 3 3: Regra de Sarrus Equações es No caso especial das 3 3, podemos usar a seguinte mnemónica"para calcular o determinante: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = (a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 +a 11 a 23 a 32 +a 12 a 21 a 33 )

65 Equações es Propriedades dos determinantes Seja A uma n n e seja B a n n que se obtém a partir de A por aplicação de uma operação elementar e. Então: (a) se e = αl i, temos que det(b) = α det(a); (b) se e = L i L j, temos que det(b) = det(a); (c) se e = L i +αl j, temos que det(a) = det(b). Propriedades dos determinantes 1 det(a) = det(a T ); 2 det(a 1 ) = (det(a)) 1 = 1 det(a) ; 3 det(ab) = det(a) det(b); 4 det(αa) = α n det(a).

66 Atenção! Equações es O determinante não comuta"com a operação de adição, isto é, em geral: det(a+b) det(a)+det(b). Com efeito, tomando, por exemplo, A = I 2 e B = A temos: det(a+b) = det(a A) = det(0 2 2 ) = 0 2 = det(a)+det(b).

67 Equações es Proposição Seja A uma quadrada admitindo alguma linha ou coluna constituída por zeros, então det(a) = 0. Proposição O determinante de qualquer triangular é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal: a 11 a a 1n a a a 2n a 21 a = a. 11 a 22 a nn = a nn a n1 a n2... a nn

68 Equações es Proposição Seja A uma quadrada invertível então A 1 = 1 det(a) adj(a).

69 Equações es Regra de Cramer Seja AX = B um SEL n n tal que det(a) 0. Então o SEL tem solução única dada por: det(a 1 ) X = 1 det(a 2 ) det(a)., det(a n ) onde A j é a que se obtém substituindo a coluna j da A pelas entradas da coluna B.

70 Espaços lineares Equações es Vimos anteriormente que é possível definir no conjunto das do tipo m n duas operações algébricas: a soma e o produto por um escalar, operações estas que verificam as seguintes propriedades: (a) A+B = B+A; (b) (A+B)+C = A+(B+C); (c) A+0 m n = A; (d) A+( A) = 0 m n ; (e) α(a+b) = αa+αb; (f) (α+β)a = αa+βa; (g) α(βa) = (αβ)a; (h) 1A = A onde A, B, C denotam m n eα,β R.

71 Espaços lineares Equações es Propriedades análogas são verificadas no espaço dos números reais R ou até em qualquer espaço da forma R n, quando consideramos a soma e produtos usuais (basta substituir as A, B, C por elementos dos conjuntos descritos, respectivamente). De facto, estas propriedades não são intrínsecas aos conjuntos mencionados, mas conferem uma estrutura que destaca as propriedades das operações definidas e não os objectos em si.

72 Espaços lineares Equações es Surge assim a seguinte definição: Definição Chama-se espaço linear ou vectorial a um conjunto V onde estão definidas duas operações algébricas: 1 + : V V V;(u, v) u+v (soma) 2 : R V V;(α, u) αu (produto escalar) satisfazendo os seguintes axiomas: a) (Comutatividade da soma) u, v V : u+v = v+u; b) (Associatividade da soma) u, v, w V : (u+v)+w = u+(v+w); c) (Existência de zero) w V(w := 0 V ) : u V, 0 V + u = u; d) (Existência de simétricos) u V, w V(w := v) : u+( u) = 0 V ;

73 Espaços lineares Equações es e) (Distributividade I) α u, v V,α(u+v) = αu+αv; f) (Distributividade II) α,β R u V,(α+β)u = αu+βu; g) (Associatividade do produto escalar) α,β R, u Vα(βu) = (αβ)u; h) (Existência de identidade) u V, 1u = u. Os elementos de V são designados por vectores. Teorema Sejam V um espaço linear, u, v, w V eα R. Então: 1 0u = 0; 2 α0 = 0; 3 ( 1)u = u; 4 αu = 0 (α = 0 u = 0); 5 w+u = w+v u = v.

74 Equações es Neste curso vamos sempre considerar espaços lineares de forma V = R m, para algum m N. É usual identificar os vectores v R m com as colunas m 1,[v], cujas entradas são as entradas correspondentes do vector v. Exemplos 1 v = (1, 2, 3) [v] = v = (1, 1, 3, 0) [v] = 1 3 0

75 Produto Interno Equações es É conhecida a noção de produto interno euclideano entre dois vectores u e v der m, definido por: u v = (u 1,, u n ) (v 1,, v n ) = u 1 v 1 + u n v n. De facto, o produto interno entre dois vectores permite-nos determinar a ortogonalidade entre vectores. Mais precisamente, dois vectores u e v de R m dizem-se ortogonais ou perpendiculares se u v = 0. Vale a seguinte relação entre produto interno e a álgebra matricial: u v coincide com a única entrada da [u] T [v] = [ u 1 u n ] v 1.. v n = [u 1 v 1 + +u n v n ] = [u v]

76 Combinação linear Equações es Definição Seja S = {v 1,, v n } um conjunto finito de vectores der m. Dizemos que v R m é combinação linear dos vectores de S se existirem n escalaresλ 1,,λ n R tais que: v = λ 1 v 1 + λ n v n, designado-se os escalaresλ 1,,λ n os coeficientes da combinação linear.

77 Combinação linear Seja A a cujas colunas são precisamente os vectores[v 1 ],,[v n ]. Note-se que a condição Equações es v = λ 1 v 1 + +λ n v n corresponde a afirmar que(λ 1,,λ n ) é uma solução particular do SEL A x 1. x n = [v]! Desta forma, um vector v será combinação linear de {v 1,, v n }, se o SEL A x 1.. x n = [v] for possível e, nesse caso, a qualquer solução particular (λ 1,,λ n ) do SEL correspondem coeficientesλ 1,,λ n da combinação linear.

78 Dependência e Independência linear Equações es Definição Seja S = {v 1,, v n } um conjunto finito de vectores der m. Dizemos que os vectores de S são linearmente independentes se para quaisquer escalaresλ 1,,λ n R: λ 1 v 1 + λ n v n = 0 λ 1 = = λ n = 0, isto é, a única combinação linear nula dos vectores de S é a combinação com coeficientes todos nulos. Caso contrário, isto é, se existirem escalares não todos nulos λ 1,,λ n R tais que λ 1 v 1 + λ n v n = 0, dizemos que os vectores de S são linearmente dependentes.

79 Equações es Seja A a cujas colunas são precisamente os vectores[v 1 ],,[v n ]. Note-se que a condição λ 1 v 1 + +λ n v n = 0 λ 1 = = λ n = 0, corresponde a afirmar que o SEL homogéneo λ 1 0 A = é possível e determinado!.. λ n. 0 Em particular, no caso em que m = n, a A será quadrada e, portanto, {v 1,, v n } será linearmente independente se, e somente, se det A 0.

80 Equações es Proposição Seja S = {v 1,, v n } um conjunto de vectores der m (n 2). Os vectores de S serão linearmente dependentes se e só se pelo menos um deles for combinação linear dos restantes. Corolário Seja S = {v 1,, v n } um conjunto de vectores der m. Se alguma das condições se verificar: i = 1,, n : v i = 0; i, j = 1,, n, i j : v i = v j ; então os vectores de S serão linearmente dependentes. Proposição Qualquer subconjunto não vazio (e de elementos distintos) de um conjunto de vectores linearmente independente continua a ser linearmente independente.

81 Equações es Teorema Seja S = {v 1,, v n } um conjunto de vectores der m. Os vectores do conjunto S serão linearmente independentes se e só se qualquer combinação linear dos vectores de S admitir coeficientes univocamente determinados, isto é: λ 1,α 1,,λ n,α n, λ 1 v 1 + λ n v n = β 1 v 1 + β n v n λ i = α i, i = 1,, n.

82 Equações es Proposição Seja S = {v 1,, v n } um conjunto de vectores der m. Os vectores de S serão linearmente independentes se, e somente se, para quaisquer i j e α,β R\{0}, o conjunto de vectores for linearmente independente. {v 1,, v i 1,αv i +βv j, v i+1,, v n }

83 Conjunto de geradores Equações es Definição Seja S um conjunto de vectores der m. Dizemos que S é um conjunto de geradores der m e escrevemosr m = S se qualquer vector der m se puder escrever como combinação linear dos vectores do conjunto S. No caso de S ser um conjunto finito S = {v 1,, v n }, podemos escrever simplesmenter m = v 1,, v n.

84 Base e dimensão Equações es Definição Diz-se que um subconjunto{v 1,, v n } de vectores der m é uma base der m se: {v 1,, v n } é um conjunto de vectores linearmente independente; R m = v 1,, v n. Cada espaço linear pode admitir infinitas bases distintas, mas prova-se que todas elas têm que admitir exactamente o mesmo número de vectores e chama-se dimensão do espaço linear ao número de vectores de qualquer base.

85 Bases der m Equações es O espaço linearr m tem dimensão m e admite como base o conjunto {e 1,, e m }, onde e i é o vector de R m com todas as entradas nulas, excepto a da posição i que é dada por 1, para cada i = 1,, m. Dado um subconjunto S = {v 1,..., v m } de m-vectores der m, S será um base de R m se e só se S for um conjunto de vectores linearmente independentes, isto é, se cada vector se escrever de maneira única como combinação linear de elementos de S. Desta forma, dado um subconjunto S = {v 1,..., v n } de n-vectores de R m, denotando por A a cujas colunas são dadas pelos vectores [v 1 ],,[v n ], três situações podem ocorrer: se n < m, S não poderá ser base der m ; se n = m, S será base de R m sse for um conjunto linearmente independente, isto é, se a A for invertível; se n > m, S não será uma base, mas poderá conter uma base.

86 Equações es Para averiguar se, no último caso apresentado, S contém, de facto, uma base de R m, condensamos a transposta A T da A pelo MEG, obtendo uma certa R. A R terá a seguinte propriedade: todos os vectores linha não nulos de R, bem como os vectores linhas correspondentes da A T, formam um conjunto linearmente independente. Desta forma, se R admitir n linhas não nulas, então as n linhas correspondentes de A T serão uma base der m.

87 Equações es Exemplo MEG R = {(1, 2, 3),(1, 0, 1),(2, 1, 2)} e{(1, 2, 3),(0, 2, 2),(0, 0, 2)} são ambas bases der 3

88 Equações es Vamos agora estudar o seguinte problema: Dada uma quadrada A de ordem n e um vector v R n, podemos fazer o produto Av. O resultado é uma coluna cujas entradas formam um vector w R n. Podemos então dizer que o vector v é transformado no vector w pela ação da A e tem sentido colocar a seguinte questão: será que a direção de v é mantida por ação da A? A resposta afirmativa corresponde precisamente a afirmar que w é um múltiplo escalar de v: λ R : Av = λv.

89 Valores e vectores quadrada Equações es Pretendemos, assim, analisar o problema de dada uma A determinar as direções"der n que são mantidas após a ação de A. Definição Seja A uma quadrada n n. Um vector não nulo x R n diz-se um vector próprio de A se existirλ R tal que Ax = λx (6.1) Nesse caso dizemos queλéum valor próprio de A associado ao vector próprio x e x diz-se um vector próprio de A associado ao valor próprio λ. Questão Poderá um mesmo vector próprio estar associado a dois valores próprios distintos de uma?

90 Como encontrar todos os valores próprios de A? Equações es Se reescrevermos a equação (6.1) temos que Ax = λx Ax = λi n x (A λi n )x = 0 (6.2) Concluímos assim que para λ ser um valor próprio de A, a equação (6.2) tem de ter soluções não triviais, ou seja, a A λi n tem de ser não invertível, i.e. det(a λi n ) = 0 (6.3) A equação (6.3) chama-se equação característica de A. Os escalares λ que satisfazem a equação característica de A são os valores próprios de A. Note-se que p(λ) = det(a λi n ) é um polinómio de grau n na variável λ denominado o polinómio característico de A.

91 Equações es Exemplo A equação característica da A = é dada por: 4 λ λ λ = (4 λ) 1 λ λ λ 2 0 = = (1 λ)(λ 2 5λ+6 = 0) = (1 λ)(λ 2)(λ 3) = 0.

92 Equações es Definição Sejamλ 1,,λ r os valores próprios da A. Chama-se multiplicidade algébrica deλ i, e denotamos por m a (λ i ), i = 1,, r, ao número de vezes que o factor(λ λ i ) aparece na factorização do polinómio característico p(λ) = det(a λi).

93 Propriedades Equações es Lema Os valores triangular são as entradas da diagonal principal. Teorema Sejamλ 1,,λ n os valores próprios da A, contando com as multiplicidades. O traço da A é sempre dado pela soma dos seus valores próprios: tr(a) = λ λ n. O determinante da A é dado pelo produto dos seus valores próprios: A = λ 1... λ n. Em particular, A será invertível se, e somente se, não admitir valores próprios nulos.

94 Equações es Exercício Sendo x um vector próprio da A associado ao valor próprio λ, mostre que: x continua a ser vector próprio da A p, qualquer que seja o inteiro p Z e determine o valor próprio associado; dados a i R e p N 0, x continua a ser valor próprio da a p A p + a p 1 A p 1...+a 1 A+a 0 I e determine o valor próprio associado.

95 Equações es Teorema de Cayley-Hamilton Toda a quadrada A (de ordem n) satisfaz a sua equação característica, isto é, se o polinómio característico de A for dado por então p(λ) = a n λ n + +a 1 λ+a 0 a n A n + +a 1 A+a 0 I n = 0.

96 Como encontrar os vectores próprios de A associados a um determinado valor próprioλ? Equações es Por definição sabemos que x 0 será um vector próprio de A associado ao valor próprio λ sse for solução do SEL homogéneo (A λi)x = 0. Chama-se espaço próprio de A associado ao valor próprio λ ao conjunto de todos os vectores próprios associados aλ: E(λ) = {x R n : (A λi)x = 0}.

97 Equações es Conclusão Para determinar os valores próprios e vectores A seguimos o seguinte procedimento: 1 Resolver a equação característica det(a λi) = 0; 2 As soluçõesλ 1,,λ r (r n) são os valores próprios de A; 3 Para cada i = 1,, r, determinar o espaço próprio associado ao valor próprioλ i.

98 Exemplo Equações es A = Polinómio característico de A: (1 λ)( λ 3 2λ 2 +λ+2) = 0 Valores próprios de A: 2, 1 e 1 Vectores próprios de A: 2z E(1) = {(x, y, z, w) R 4 : x = 2z, y = 3z} = { 3z z : z, w R} = w 2 0 = {z w 0 0 : z, w R} 0 1 {(2, 3, 1, 0),(0, 0, 0, 1)} é um conjunto linearmente independente de E(1)

99 Exemplo Equações es E( 1) = {(x, y, z, w) R 4 : x = 2z, y = z, w = 0} = 2z 2 = { z z : z R} = {z 1 1 : z R} 0 0 {( 2, 1, 1, 0)} é um conjunto linearmente independente de E( 1) E( 2) = {(x, y, z, w) R 4 : x = z, y = w = 0} = z 1 { 0 z : z R} = {z 0 1 : z R} 0 0 {( 1, 0, 1, 0)} é um conjunto linearmente independente de E( 2)

100 Exemplos Equações es Ilustração Matriz Equação Característica Valores Próprios 2 ( 2 = 0 2 k + k 2 = ( k) 2 = 0 k 1 )( k 2 ) = 0 1,2 =1 1,2 =k 1 = k 1, 2 = k 2 Multiplicidades algébricas e geométricas n 1 = 2, m 1 = 1 n 1 = 2, m 1 = 2 n 1 a= m 1 = 1, n 2 = m 2 = 1 Vectores próprios (1,0) (1,0) e (0,1) (1,0) e (0,1)

101 Diagonalização de : motivação Equações es Admitamos que três empresas A 1, A 2 e A 3 partilham o mercado de um certo produto e denotemos por s j o vector coluna 3 1 cuja linha i representa a cota de mercado da empresa A i num certo ano j. Seja T a de transição, isto é, a quadrada de ordem 3 que multiplicada por s j nos dá as cotas de mercado no ano j+1, isto é: É fácil de ver então que Ts j = s j+1. s j = T j s 0, pelo que se torna útil simplificar o cálculo da T j, j N. Se a T for diagonal, o cálculo de qualquer potência de T torna-se muito simples: T j = t t t 33 j = t j t j t j 33

102 Diagonalização de Equações es Vemos assim com este exemplo que interessa considerar diagonais, mas não sendo obviamente todas as diagonais, interessa tentar diagonalizá-las". Definição Um A diz-se diagonalizável se existir uma invertível S, chamada diagonalizante, tal que o produto S 1 AS é uma diagonal. Note-se que, para diagonalizáveis, tem-se: A = SS 1 ASS 1 A j = S(S 1 AS) j S 1, j N

103 Diagonalização de Equações es O problema de diagonalização de está intimamente relacionado com o estudo dos valores e vectores próprios de. Com efeito, temos o seguinte resultado: Teorema Dada uma quadrada A de ordem n, temos: A é diagonalizável A tem n vectores próprios linearmente independentes Existe uma base emr n formada por vectores próprios de A

104 Diagonalização de Equações es Teorema Sejamλ 1,,λ r os valores A e consideremos um subconjunto linearmente independente B i do espaço próprio E(λ i ) associado ao valor próprioλ i. Então B 1 B r constitui ainda um conjunto linearmente independente der n. Corolário Qualquer de ordem n que admita n valores próprios distintos é diagonalizável.

105 Diagonalização de Equações es Corolário Sejamλ 1,,λ r os valores A diagonalizável e consideremos uma base B der n constituída por vectores próprios. Então, a quadrada S de ordem n cujas colunas são os vectores da base B constitui uma diagonalizante de A. Mais precisamente, S 1 AS é a diagonal com diagonal constituída pelos valores próprios de A distribuídos na ordem correspondente à ordem dos vectores (próprios) da base B.

106 Equações es Exemplo Consideremos a A = equação característica de A: (1 λ)(6 5λ+λ 2 ) = 0 valores próprios: 1, 2 e 3; espaços próprios: E(1) = {k(0, 1, 0) : k R} E(2) = {k( 1, 2, 2) : k R} E(3) = {k( 1, 1, 1) : k R}

107 Equações es algumas diagonalizantes e diagonais associadas: S 1 := S 1 1 AS 1 = S 2 := S 1 2 AS 2 = S 3 := S 1 3 AS 3 =