congruência Objetivos Introduzir o conceito de triângulo. Classificar os triângulos segundo lados e ângulos.

Transcrição

1 MÓULO 1 - UL 3 ula 3 Triângulos: classificação e congruência Objetivos Introduzir o conceito de triângulo. lassificar os triângulos segundo lados e ângulos. iscutir o significado de congruência de triângulos. presentar alguns casos de congruência de triângulos. Introdução Os triângulos, assim como as retas, os ângulos, os segmentos etc. são objetos ideais, nascidos da observação de objetos materiais com forma triangular (como um guardanapo de papel dobrado, a vista de lado de um calendário de mesa, etc.). Identifique alguns triângulos na figura 31. ig. 31: Objetos com forma triangular. efinição 8 (Triângulo) Um triângulo é a união de três segmentos de reta, e, em que, e são três pontos que não pertencem a uma mesma reta, ou seja, que não são colineares. 31 RJ

2 Os pontos, e, referidos na definição anterior, são chamados vértices do triângulo, enquanto os segmentos, e são ditos lados do triângulo, e os ângulos Â, ˆ e Ĉ (ou Â, ˆ e Ĉ) são os ângulos internos do triângulo. Veja figura 32. ig. 32: Triângulo. O interior do triângulo é a interseção dos interiores dos ângulos internos do triângulo. Veja a figura 33. ig. 33: Interior do triângulo. lassificação dos triângulos xistem triângulos com diversos formatos. Podemos classificá-los de acordo com o tamanho de seus lados e de seus ângulos. Quanto aos lados, podemos classificar os triângulos em equiláteros, isósceles e escalenos. Triângulo equilátero - Os três lados são congruentes. Triângulo isósceles - ois dos seus lados são congruentes. O terceiro lado é chamado base do triângulo. Triângulo escaleno - O triângulo não tem nenhum par de lados congruentes. RJ 32

3 MÓULO 1 - UL 3 (a) (b) (c) ig. 34: a) Triângulo equilátero. b) Triângulo isósceles. c) Triângulo escaleno. Podemos, também, classificar os triângulos quanto aos ângulos. Triângulo retângulo - É aquele que possui um ângulo reto. Triângulo obtusângulo - É aquele que possui um ângulo obtuso. Triângulo acutângulo - agudos. É aquele em que os três ângulos são (a) (b) (c) ig. 35: Triângulos segundo seus ângulos. a) acutângulo. b) obtusângulo. c) retângulo. tividade 1: Responda falso ou verdadeiro às afirmações abaixo e procure apresentar uma justificativa através de um desenho. Use compasso e transferidor se desejar. a) É possível desenhar um triângulo acutângulo escaleno. b) Não existe um triângulo obtusângulo isósceles. Procure verificar quais as combinações possíveis de acordo com seus desenhos. c) Todo triângulo possui um ângulo agudo. 33 RJ

4 ongruência de triângulos No início da aula 2, vimos o que significa dizer intuitivamente que duas figuras planas são congruentes. Mas, aquela forma de apresentar o conceito de congruência não nos oferece ferramentas para avançarmos no nosso estudo de Geometria. definição a seguir torna bastante preciso o significado da congruência no caso de triângulos. efinição 9 (Triângulos congruentes) ois triângulos, e, são congruentes se houver uma correspondência entre seus vértices, de modo que os lados correspondentes e os ângulos correspondentes sejam congruentes. Mais precisamente, os triângulos e são congruentes segundo a correspondência, e se as seis seguintes condições são satisfeitas:,,, ˆ Ê, Ĉ ˆ, e  ˆ. ig. 36:. Observe na figura 36 que os ângulos congruentes estão marcados com o mesmo número de linhas indicativas. Utilizaremos essa marcação sempre que formos representar ângulos congruentes. congruência de triângulos significa que eles têm o mesmo tamanho e forma ou, como dissemos na aula 2, que é possível sobrepor um ao outro com exatidão. Usaremos a notação para indicar que os triângulos e são congruentes e que a correspondência é dada na ordem em que as letras estão escritas ( corresponde a, a e a ). Na verdade, não é preciso verificar as seis congruências dadas na definição para garantir que dois triângulos são congruentes. xistem condições mínimas que, se verificadas, garantem essa congruência. ssas condições são chamadas casos de congruência de triângulos. RJ 34

5 MÓULO 1 - UL 3 Inicialmente, apresentaremos como axioma o caso de congruência ladoângulo-lado, ou simplesmente caso L..L.: aso L..L. Se dois triângulos e são tais que, ˆ Ê e, então. O que esse axioma diz é que, se dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles (que se diz incluso aos dois lados) estão fixados, só é possível completar esse triângulo de uma única maneira (e isso você pode constatar com exemplos). Ou seja, todos os triângulos que têm os mesmos dois lados e ângulo incluso são congruentes. tenção: segundo esse critério, não é preciso verificar seis congruências, mas apenas três, desde que estejam nessa ordem: lado, ângulo, lado. Por exemplo, pelo caso L..L., os triângulos da figura 37 são congruentes ( ). ssa congruência garante que temos também, Â ˆ e Ĉ ˆ. ig. 37: aso L..L. uturamente veremos outros casos de congruência. nquanto isso, você pode ir pensando em quais devem ser esses casos. Por exemplo, será que.l.. (dois ângulos e o lado incluso congruentes) ou... (três ângulos congruentes) são casos de congruência de triângulos? Ou pensando noutra direção, será que existem triângulos nessas condições que não sejam congruentes? omo conseqüência do caso de congruência L..L. faremos agora a primeira prova (ou demonstração) deste curso. proposição a seguir diz que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Para fazer a prova de forma mais clara, vamos usar o desenho de um triângulo para obter indícios do caminho a seguir. No entanto, todas as nossas afirmações e conclusões devem valer para qualquer outro triângulo isósceles que você considere. 35 RJ

6 Prova (ou demonstração) Uma proposição em Matemática é uma verdade universal. Quando dizemos, por exemplo, que para qualquer triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes, chegamos a essa conclusão usando apenas o nosso raciocínio e as verdades universais já conhecidas (que podem ser axiomas ou outras proposições já demonstradas). esse tipo de argumentação chamamos prova ou demonstração. Não poderíamos ter chegado à mesma conclusão que chegamos realizando medições em triângulos isósceles, simplesmente porque existem infinitos deles, e não poderíamos medir todos eles. omo terminar uma prova Podemos terminar uma prova (ou demonstração) com Q..., que significa Quod rat emonstrandum (em latim) ou com.q.., que significa omo Queríamos emonstrar (em português). Proposição 1 Se é um triângulo isósceles de base, então ˆ Ĉ. Prova: Nossa estratégia para provar esse fato é considerar um triângulo isósceles e, usando o caso L..L., tentar mostrar que ele é congruente a (lembrando que a ordem em que escrevemos os pontos no nome do triângulo é muito importante para o conceito de congruência). Uma vez que isso fique provado, como conseqüência concluímos que os ângulos ˆ e Ĉ são congruentes. Vamos provar então que. ig. 38: o fato que é isósceles com base, os lados e são congruentes. Ora, o lado do primeiro triângulo é correspondente ao lado do segundo triângulo. o mesmo modo, o lado do primeiro triângulo é correspondente ao lado do segundo. O ângulo incluso a esses lados é o mesmo nos dois triângulos. ntão, pelo caso L..L., os triângulos e são congruentes. Portanto, os ângulos ˆ e Ĉ são congruentes. Q... Você pode estar se perguntando se não é óbvio que o triângulo é congruente a si mesmo. É verdade, de fato todo triângulo é congruente a si mesmo, mas o que acabamos de mostrar é que um triângulo isósceles é congruente a si mesmo de duas maneiras diferentes. Se você recortar dois triângulos isósceles iguais num papel, será possível sobrepor tanto o primeiro ao segundo, como também o verso do primeiro ao segundo. Note que isso não acontece com um triângulo que não seja isósceles. Veja figura 39. RJ 36 ig. 39: ongruência de triângulo isósceles.

7 MÓULO 1 - UL 3 tividade 2: Recorte em papel cartolina 4 triângulos, sendo 2 deles isósceles e iguais e 2 deles escalenos e iguais. Pinte as faces de cada um dos triângulos com as cores verde e amarela, respectivamente. Observe que o par de triângulos isósceles pode se sobrepor perfeitamente tanto pela justa posição de faces de mesma cor como de cores diferentes. Observe o que acontece com o par de triângulos escalenos! Qual é a explicação? O próximo caso de congruência de triângulos é o caso ângulo-ladoângulo (.L..): aso.l.. Se um triângulo possui dois ângulos e o lado incluso congruentes a dois ângulos e ao lado incluso de outro triângulo, então, obrigatoriamente, esses triângulos são congruentes. veracidade desse caso de congruência pode ser demonstrada usando o caso L..L.. Prova: onsidere dois triângulos e tais que ˆ Ê, e Ĉ ˆ. Queremos provar que. Nossa estratégia será provar que (uma vez provado isso, seguirá que o triângulo tem dois lados e o ângulo incluso a esses lados, congruentes a dois lados e ao ângulo incluso de. o caso L..L. obteremos que ). Para isso, suponha que e não sejam congruentes. ntão um dos segmentos é menor que o outro. Suponha que o menor deles seja. ssim, existe um ponto G entre e tal que G (veja a figura 40). Você sabia que... figura do cientista profissional surgiu na Grécia. lguns dos nomes mais representativos dessa classe, durante a civilização grega, viveram em lexandria, onde Ptolomeu fez erigir um grande centro de pesquisas denominado Museo. li, a tradição grega em iência e Literatura foi preservada e desenvolvida. ntre os primeiros pesquisadores associados com o Museo de lexandria está uclides, um dos matemáticos mais influentes de todos os tempos. G ig. 40: e G satisfazem L..L. 37 RJ

8 hipótese é o conjunto das proposições que se admitem verificadas, e a tese é o que se pretende concluir como conseqüência da hipótese. O conjunto de raciocínios feitos para concluir a tese constitui a demonstração do teorema. omparando os triângulos e G, tem-se G (por construção do ponto G), ˆ GÊ (por hipótese) e (por hipótese). om essas observações constatamos que os triângulos e G têm dois lados e o ângulo incluso congruentes, sendo, de acordo com o caso L..L., triângulos congruentes. aí concluímos que Ĉ G ˆ (aqui damos os nomes completos dos ângulos, para evitar confusão). omo, por hipótese, Ĉ ˆ, conclui-se que o ângulo G ˆ é congruente a ˆ, o que é um absurdo. Logo, devemos ter (para que não seja possível fazer a construção acima). omparamos agora os triângulos e temos que (como acabamos de mostrar), ˆ Ê (por hipótese) e (por hipótese). partir do caso L..L., podemos concluir que. Q... demonstração da proposição anterior foi feita usando um argumento de contradição: em linhas gerais, o que fizemos foi supor que a proposição era falsa, e com isso chegamos a uma conclusão absurda (ou contraditória). om isso, concluímos que a proposição tem mesmo que ser verdadeira. próxima proposição é o caso de congruência lado-lado-lado (L.L.L.). aso L.L.L. Se os três lados de um triângulo são congruentes aos três lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes (ou seja, terão também ângulos congruentes). O caso L.L.L. pode ser demonstrado usando os dois casos anteriores. Prova:(do caso L.L.L.) onsidere dois triângulos e tais que, e. Queremos provar que  ˆ, ˆ Ê e Ĉ ˆ. Nossa estratégia para essa prova é mostrar que um dos ângulos de é congruente ao ângulo correspondente de. omo os lados correspondentes são congruentes, estaremos então no caso L..L., e fica provada a congruência dos triângulos. RJ 38

9 MÓULO 1 - UL 3 ig. 41: Proposição : caso L.L.L.. Vamos supor que nenhum par de ângulos correspondentes é congruente (ou seja,  não é congruente a ˆ, ˆ não é congruente a Ê e Ĉ não é congruente a ˆ ). Note que, nesse caso, um dos triângulos tem dois ângulos menores que os ângulos correspondentes do outro (por quê?). Vamos supor então que  < ˆ e Ĉ < ˆ. H I G ig. 42: G. Tome pontos I e H tais que I ˆ  e H ˆ Ĉ e seja G o ponto de encontro entre os segmentos I e H (veja figura 42). e acordo com o caso.l.., os triângulos e G são congruentes. G ig. 43: Observações da proposição. Pelo que conhecemos sobre os triângulos, e usando a congruência G que acabamos de construir, podemos escrever que m(g) = m() = m() e m(g ) = m() = m( ). ntão no triângulo vale m(g) + m(g ) = m() + m( ). Será que é possível uma igualdade como acima ser válida em algum triângulo, para algum ponto G no interior do triângulo? 39 RJ

10 Intuitivamente creio que você concorda que a igualdade é absurda! você está certo. la não pode acontecer. m qualquer situação sempre o lado esquerdo é inferior. ste resultado pedimos que você aceite como verdadeiro. le será provado no exercício 5 da ula 4. omo a igualdade não pode acontecer então nosso ponto de partida para conseguir esta igualdade era falso. Ou seja, pelo menos um par de ângulos correspondentes é congruente. omo observamos no início desta demonstração, isso basta para termos. Q... O caso de congruência L.L.L. explica por que os triângulos são tão utilizados em diversas aplicações: os triângulos são figuras rígidas. Vamos explicar este conceito de rigidez com exemplos. Se você juntar quatro varetas, unindo cada duas com um alfinete ou parafuso atravessado, de forma a obter um quadrilátero, você vai notar que é possível modificar a forma do quadrilátero de diversas maneiras (veja a figura 44). ig. 44: forma do quadrilátero pode ser modificada, mas a do triângulo não. ssa deformação não é possível quando se trata de triângulos, justamente porque não existem duas formas diferentes possíveis para triângulos com lados de mesma medida. Você já deve ter notado que algumas estantes de livros têm no fundo uma ou duas barras atravessadas na diagonal. ssa é uma aplicação desse princípio: as barras são colocadas para evitar que a estante fique balançando, ou seja, mude de formato. barra diagonal também é usada em porteiras. figura 45 a seguir ilustra essas situações. RJ 40 ig. 45: plicações do caso L.L.L.

11 MÓULO 1 - UL 3 Outros casos de congruência de triângulos É possível provar com os instrumentos que dispomos até agora, dois novos casos de congruência de triângulos. stes casos estão descritos abaixo. No entanto, preferimos deixar a prova do primeiro destes casos para ser apresentado no final da ula 5 e o segundo após o estudo de semelhanças, no momento em que estudarmos triângulos retângulos. aso de congruência L.. Se dois triângulos e são tais que, ˆ Ê e  ˆ, então. O caso de congruência L... assegura que se dois triângulos e são tais que, ˆ Ê e  ˆ, como indicado na figura 46, então. Ou seja, que também temos, e Ĉ ˆ. ig. 46: aso L... aso de congruência de triângulos retângulos Se um triângulo retângulo tem a hipotenusa e um cateto congruentes à hipotenusa e a um cateto de outro triângulo retângulo, então os triângulos são congruentes. ste caso de congruência assegura que se e são triângulos retângulos de hipotenusas e, respectivamente, tais que e (veja figura 47), então os dois triângulos são congruentes. ig. 47: 41 RJ

12 Resumo Nesta aula você aprendeu... O que significa a congruência entre triângulos. Que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Os casos de congruência L..L.,.L.. e L.L.L. xercícios 1. onsidere a figura o 4 60 o 4 ig. 48: xercício 1. a) Pode-se dizer que? b) Pode-se dizer que? c) etermine o valor de m( ). 2. onsidere os triângulos e na figura 49. etermine m() e m( ). nfatizamos que as indicações da figura 49 significam que  ˆ, e Ĉ Ê). 6 5 ig. 49: xercício 2. RJ 42

13 MÓULO 1 - UL 3 3. Na figura 50, os ângulos  e ˆ são retos. omo determinar o ponto em que Ê Ê? ig. 50: xercício Na figura 51, é isósceles de base e. Mostre que   e que os ângulos ˆ e ˆ são retos. ig. 51: xercício Na figura 52, é isósceles de base e que e que ˆ e ˆ são retos.  Â. Mostre ig. 52: xercício Na figura 53, e ˆ é reto. ig. 53: xercício 6. Prove que é isósceles de base. 43 RJ

14 7. Na figura 54, Â Â e ˆ é reto. ig. 54: xercício 7. Prove que é isósceles de base. 8. Na figura 55, de base. Â Â e. Prove que é isósceles Giovanni Saccheri Itália. Giovanni Saccheri entrou para a Ordem dos Jesuítas em inco anos depois ele estudou ilosofia e Teologia em um colégio jesuíta. oi nesse período que começou a se dedicar à Matemática. Saccheri fez importantes trabalhos em Geometria não-euclideana e em Lógica Matemática. onsulte: st-nd.ac.uk/~history/ Mathematicians/Saccheri. html ig. 55: xercício Na figura 56,, ˆ e Ĉ são ângulos retos e M e N são os pontos médios de e, respectivamente. M N ig. 56: xercício 9. Prove que os ângulos ˆMN e ˆNM são retos. sse retângulo é conhecido como retângulo de Saccheri. RJ 44

15 Ângulos externos de um triângulo MÓULO 1 - UL 4 ula 4 Ângulos externos de um triângulo Objetivos Introduzir o teorema do ângulo externo. presentar algumas conseqüências do teorema do ângulo externo. Introdução omeçaremos esta aula definindo o que chamamos ponto médio de um segmento. efinição 10 (Ponto médio) Ponto médio de um segmento é um ponto que divide o segmento em duas partes congruentes. Nesse caso, a medida de cada parte é metade da medida total do segmento dividido. proposição a seguir é bastante natural e admitiremos como verdadeira nesta aula. onvido você no entanto a, assim que tiver uma folguinha, consultar e aprender sua demonstração que está no pêndice. Proposição 2 Todo segmento possui um único ponto médio (Veja a figura 57). M ig. 57: Ponto médio do segmento. ssim como o ponto médio de um segmento o divide em duas partes iguais, dado um ângulo  qualquer, pode-se também provar que existe uma semi-reta que divide  em duas partes iguais. Tal semi-reta recebe o nome de bissetriz do ângulo Â. 45 RJ

16 Ângulos externos de um triângulo Proposição 3 Todo ângulo possui uma única bissetriz. Prova: Seja o ângulo  como mostrado na figura 58. ssinale pontos e sobre lados distintos do ângulo, de modo que. m seguida, trace o segmento. Seja o ponto médio de e trace (veja figura 58). ig. 58: issetriz de ângulo. omo o segmento é comum aos triângulos e, segue por L.L.L. que. onseqüentemente,  Â, ou seja, a semi-reta divide o ângulo  em dois ângulos congruentes. stá provada a existência da bissetriz. É evidente que a semi-reta é a única que tem a propriedade de dividir o ângulo em dois ângulos de mesma medida. Tente considerar uma outra possibilidade de bissetriz, e encontre que os ângulos obtidos não tem a mesma medida. proposição 3. essa forma, provamos a Ângulos externos de um triângulo efiniremos, a seguir, um conceito muito importante associado aos triângulos. efinição 11 hamamos de ângulo externo de um triângulo um ângulo formado por um lado de e pelo prolongamento de outro lado. RJ 46

17 Ângulos externos de um triângulo MÓULO 1 - UL 4 Note que cada triângulo possui seis ângulos externos, como você pode observar na figura 59. São eles: Â, Â, ˆ, G ˆ, ĈH e ĈI. Marque esses ângulos na figura. Observe que ˆG não é um ângulo externo. Identifique outros ângulos na figura que não são ângulos externos do triângulo. G H I Lembre-se de que... izemos que dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90 o. izemos que são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180 o. ig. 59: Ângulos externos de. Os ângulos  e  são congruentes, pois ambos são suplementares adjacentes ao mesmo ângulo interno Â. ssim também ˆ G ˆ e ĈH ĈI. Nota: Ângulos como  e Â, da figura 59, são ditos opostos pelo vértice. Um ângulo é dito oposto a outro ângulo pelo vértice se as semi-retas que o formam são opostas às semi-retas que formam o outro ângulo. Ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes. Mas, voltemos aos ângulos externos. ada ângulo externo possui dois ângulos internos que não lhe são adjacentes. Por exemplo,  e Ĉ são ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo ˆ (e também a G ˆ). O próximo resultado que veremos é conhecido como teorema do ângulo externo. Teorema do Ângulo xterno Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo interno que não lhe seja adjacente. prendendo um pouco mais... Teorema é uma proposição que se deduz de axiomas e de proposições já conhecidas. O cojunto de raciocínios feitos para concluir o que o teorema diz constitui a demonstração do teorema. onsulte: /matematica/arq13-2.htm Prova: Sejam um triângulo e um ponto tal que esteja entre e. Provaremos que o ângulo externo Ĉ é maior que cada um dos ângulos internos  e ˆ. Para isso, tome M, o ponto médio de, e trace M. Identifique o ponto da semi-reta M tal que 2M. Ligue a, como na figura RJ

18 Ângulos externos de um triângulo M ig. 60: Teorema do ângulo externo. Os triângulos M e M são congruentes por L..L. (observe que os ângulos opostos pelo vértice, ˆM e ˆM são congruentes). omo conseqüência,  ĈM. omo Ĉ é maior que ĈM, segue que Ĉ é maior que Â. azendo uma construção como essa, usando o ponto médio de ao invés do ponto médio de, podemos também concluir que Ĉ é maior que ˆ. Q... onseqüências do teorema do ângulo externo ado um triângulo, dizemos que o ângulo  é oposto ao lado (ou que  opõe-se ao lado ). nalogamente dizemos que ˆ é oposto a e Ĉ é oposto a. Se você desenhar um triângulo em que o lado é maior que o lado, você poderá verificar, com a ajuda de um transferidor, que ˆ > Ĉ, ou seja, que o ângulo oposto a é maior que o ângulo oposto a. O resultado a seguir diz que isso sempre ocorre. Proposição 4 ados dois lados de um triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Reciprocamente, dados dois ângulos de um triângulo, ao maior ângulo opõese o maior lado. Prova: Seja um triângulo tal que >, como na figura 61. O nosso objetivo é provar que Ĉ > ˆ. Para isso, marque um ponto em tal que. Pelo fato de ser um triângulo isósceles com base, temos ˆ Ĉ. Mas ˆ é um ângulo externo do triângulo não adjacente a ˆ, e o Teorema do ângulo externo afirma que ˆ > ˆ. Logo, podemos concluir que Ĉ > Ĉ ˆ > ˆ. Provamos, então que > implica que Ĉ > ˆ, que é a primeira parte da proposição. RJ 48

19 Ângulos externos de um triângulo MÓULO 1 - UL 4 ig. 61: Maior ângulo oposto ao maior lado. Vamos provar a segunda parte. Isto é, Ĉ > ˆ implica que >. Portanto, suponha que seja um triângulo em que Ĉ > ˆ. partir do que foi dito antes, se tivéssemos >, concluiríamos que ˆ > Ĉ, o que não acontece. Se tivéssemos, seria isósceles com base, e teríamos ˆ Ĉ, o que também não acontece. <. Q... omo não é maior nem congruente a, concluímos que om o intuito de simplificar a notação, usaremos daqui em diante  para indicar tanto um ângulo quanto sua medida. ssim, para indicar que a medida de  é 30o, escreveremos simplesmente  = 30o. Proposição 5 (esigualdade triangular) m qualquer triângulo, a medida de cada lado é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Prova: onsidere um triângulo. Na semi-reta marque um ponto tal que esteja entre e, e seja congruente a, como na figura 62. O triângulo assim formado é isósceles de base, e portanto temos ˆ Ĉ. ig. 62: Prova da proposição RJ

20 Ângulos externos de um triângulo omo conseqüência, no triângulo o ângulo Ĉ é maior que o ângulo ˆ, e, portanto, opõe-se a um lado maior. aí <. Por construção, temos m() = m() + m() = m() + m(). ssim, concluímos que m() < m() + m(). ssa mesma construção pode ser feita com base em qualquer lado. Q... Resumo Nesta aula você aprendeu... Que todo segmento possui um único ponto médio. Que todo ângulo possui uma única bissetriz. Que um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo interno a ele não adjacente. Que, num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa. Que cada lado de um triângulo é menor que a soma dos outros dois lados. xercícios 1. É possível construir um triângulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 8cm? m caso afirmativo, diga como construí-los. 2. É possível construir um triângulo cujas medidas sejam 3cm, 4cm e 6cm? m caso afirmativo, diga como construí-los. Perímetro de um triângulo O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. alaremos sobre perímetros de outras figuras na aula O semiperímetro de um triângulo é a metade da soma das medidas de seus lados. Por exemplo, se os lados de um triângulo medem 4cm, 6cm e 8cm, então o semiperímetro desse triângulo vale 9cm. Prove que a medida de qualquer lado de um triângulo é menor que o semiperímetro. RJ 50

21 Ângulos externos de um triângulo MÓULO 1 - UL 4 4. Seja um triângulo qualquer e seja um ponto do segmento. Prove que m() < m() ou m() < m(). 5. Na figura 63, P é um ponto interno qualquer do triângulo. Prove que m(p ) + m(p ) < m() + m(). P ig. 63: xercício Na figura 64, m() < m() e é bissetriz de m() < m(). Â. Prove que ig. 64: xercício Pode-se concluir que os triângulos e da figura 65 são congruentes? Justifique sua resposta. ig. 65: xercício RJ

22 Ângulos externos de um triângulo 8. Observe a figura 66. ig. 66: xercício 8. etermine: a) Os ângulos menores do que o ângulo ˆ b) Os ângulos maiores do que o ângulo ˆ c) Os ângulos menores do que o ângulo ˆ Você deve ser capaz de justificar suas respostas sem usar a figura. RJ 52

23 Ângulos externos de um triângulo MÓULO 1 - UL 4 pêndice: Para saber mais... Neste apêndice apresentamos uma prova da seguinte proposição: Proposição 6 Todo segmento possui um único ponto médio. Prova: onsidere um segmento de reta. e acordo com os axiomas de medida de segmentos vistos na aula 2, existe um número real positivo que representa a medida de. hamemos esse número de c. inda de acordo com aqueles axiomas, existe um segmento de reta, que chamaremos, cuja medida é exatamente c/2. Transportando para a semi-reta, obtemos um ponto M entre e tal que M tem medida c/2 (veja a figura 65). aí, M também tem medida c/2, ou seja, M M, e M é ponto médio do segmento. M ig. 67: Ponto médio do segmento. Tomando um outro ponto N pertencente ao segmento, temos que N está entre e M ou entre M e. m ambos os casos a medida de N é diferente da medida de N; isto é, N não é um ponto médio de. Provamos então que o segmento possui um único ponto médio. Q RJ