Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Elementos de Lógica Matemática Prof a Yane Lísley

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1 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Elementos de Lógica Matemática Prof a Yane Lísley 1 a Lista de Exercícios 1. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) O número 17 é primo. (b) Fortaleza é a capital do Maranhão. (c) TIRADENTES morreu afogado. (d) (3 + 5) 2 = (e) O valor archimediano de π é 22 7 (f) 1 < 7 (g) 0, é uma dízima periódica simples. (h) As diagonais de um paralelogramo são iguais. (i) Todo polígono regular convexo é inscritível. (j) O hexaedro regular tem 8 arestas. (k) A expressão n 2 n + 41 (n N) só produz números primos. (l) Todo número divisível por 5 termina por 5. (m) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. (n) sen 2 30 o + sen 2 60 o = 2. (o) (2n 1) = n 2. (p) As raízes da equação x 3 1 = 0 são todas reais. (q) O número 125 é cubo perfeito. (r) 0, 4 e -4 são raízes da equação x 3 16x = 0. (s) O cubo é um poliedro regular. (t) sen ( π 2 + x) = sen ( π 2 x). (u) tg π 4 < tg π Sejam as proposições p :Jorge é rico e q :Carlos é feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) q p b) p q c) q p d) p q e) p f) p q p 3. Sejam as proposições p :Claudio fala inglês e q :Claudio fala alemão. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) p q b) p q c) p q d) p q e) p f) ( p q)

2 4. Sejam as proposições p :Marcos é alto e q :Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: (a) Marcos é alto e elegante. (b) Marcos é alto, mas não é elegante. (c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante. (d) Marcos não é nem alto e nem elegante. (e) Marcos é alto ou é baixo e elegante. (f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. 5. Traduzir para linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0 (b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0) (c) x 0 ou (x = 0 e y < 0) (d) (x = y e z = t) ou (x < y e z = 0) (e) Se x > 0 então y = 2 (f) Se x + y = 2 então z > 0 (g) Se x = 1 ou z = 2 então y > 1 (h) Se z > 5 então x 1 e x 2 (i) Se x y então x + z > 5 e y + z < 5 (j) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1 (k) Se x < 2 então x = 1 ou x = o (l) y = 4 e se x < y então x < 5 6. Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) = 7 e = 10 (b) = 9 e = 12 (c) sen π = 0 e cos π = 0 (d) 1 > = 4 (e) 0 > 1 3 é irracional (f) 2 < 1 5 é racional (g) 1 2 = 1 π é racional (h) Roma é a capital da França ou tg 45 o = 1 (i) FLEMING descobriu a penicilina ou sen 30 o = 1 5 (j) 5 < 0 ou Londres é a capital da Itália (k) 2 > 5 ou Recife é a capital do Ceará (l) 3 > 1 sen 90 o tg 45 o (m) Se = 6 então = 9 (n) Se 3 > 1 então 1 < 2 (o) Se 1 = 0 então sen 30 o = 1 2 2

3 (p) 3 > = 2 (q) π > 4 3 > 5 (r) = 7 se e somente se 5 3 = 125 (s) tg π = 1 se e somente se sen π = 0 (t) 1 > 2 π 2 < 20 (u) = 5 2 π é racional (v) 1 = 1 2 = 2 (w) (2 3 8 ou ) (x) Brasilia é a capital do Brasil, e 2 0 ou 3 0 = 1 (y) 3 4 = 81 (2 + 1 = = 0) (z) (3 2 = 9 3 = = 0) 7. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: a) (p q) b) (p q) c) p q p q d) p (q P ) e) (p q) p q f) q q p g) (p q) q p h) (p q) p q 8. Determinar P (V F V ) em cada um dos seguintes casos: (a) P (p, q, r) = p r q (b) P (p, q, r) = p (q r) (c) P (p, q, r) = (p q) (p r) (d) P (p, q, r) = (p (q r)) ( p r q) 9. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: (p ( q p)) ((p q) q p) 10. Sejam as proposições p : tg (π x) = ctg x e q : π < 2. Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ( p q) (p q) c) (p q) q b) (p q) p q d) (p ( p q)) ( p q) 11. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: 3

4 a) p q r b) r s q c) q p s d) p (r s) e) (q s) r f) r p q g) (q r) (p s) h) (r s) (p q) i) (p q) r j) ((r p) (s q)) 12. Sabendo que V (p) = V (r) = V e V (q) = V (s) = F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) p q r s b) (p q) (s r) c) ( p q) (s r) d) (p q) s (p s) e) q r) s (p s) f) p q (p r) s g) (p q) (r s) p s h) ( p s) ( s r) 13. Sabendo que as proposições x = 0 e x = y são verdadeiras e que as proposições y = z e y = t são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) x = 0 x = y y z (b) x 0 y = t y = z (c) x y y z y = t (d) x 0 x y y z 14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) p q r, sabendo que V (p) = V (r) = V (b) p q p r, sabendo que V (p) = V (r) = V (c) (p q) ( p r), sabendo que V (q) = F e V (r) = V 15. Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas: a) (p p) (p p) b) (p p p) p c) (p q) p q d) p (q p) e) (p q) q p f) (p q) p q g) p p (p q) h) (p p) (q q) i) (p p) (q q) j) p (p q) p k) (p q) (p q) l) (p q) p q 16. Mostrar que as seguintes proposições são contingentes: a) p q p q b) (q p) (p q) c) (p (p q)) q d) p (p q q) 4

5 17. Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas, ou contingentes: a) p ( p q b) p q (p q) c) p q (p q) d) p q (p q r) 18. Mostrar que a proposição p implica a proposição q (p q) em cada um do seguintes casos: (a) p : π > 3; q : tg 45 o = 1 (b) p : sen 30 o = 1; q : 2 > 3 (c) p : ABCD é um losango; q : ABCD é um paralelogramo (d) p : O polígono ABCDE... é regular; q : O polígono ABCDE... é inscritível (e) p : tg π 6 = 3 ; q : sen π 6 = cos π Mostrar que p não implica p q e que p q não implica p. 20. Mostrar (x 0 x = y) x y x = Mostrar que as proposições p e q são equivalentes (p q) em cada um dos seguintes casos: (a) p : = 4; q : (1 + 3) 2 = 16 (b) p : 2 0 = 1; q : π < 4 (c) p : x é par; q : x + 1 é ímpar(x Z (d) p : a b; q : b a (e) p : a b; q : b a (f) p : O triângulo ABC é retângulo em A; q : a 2 = b 2 + c 2 (g) p : x {a}; q : x = a 22. Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências: (a) p (p q) p (b) p (p q) p (c) (p q) (p r) p q r (d) (p q) (p r) p q r 23. Demonstrar por tabelas-verdade que os três conectivos, e exprimem-se em função do conectivo de SCHEFFER do seguinte modo: (a) p p p (b) p q (p p) (q q) (c) p q (p q) (p q) 24. Demonstrar por tabelas-verdade que os três conectivos, e exprimem-se em função do conectivo de SCHEFFER do seguinte modo: (a) p p p (b) p q (p p) (q q) (c) p q (p q) (p q) 5

6 25. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determinar o valor lógico(v ou F) das seguintes proposições: (a) ( q) (q r) (b) ((p q) (q r)) (r p) (c) ( p q) ((q r) p) (d) ((p p) q) (q r) 6