Lineabilidade em conjuntos de funções reais que atingem o máximo em um único ponto

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1 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Lineabilidade em conjuntos de funções reais que atingem o máximo em um único ponto por Tony Kleverson Nogueira 2014 João Pessoa - PB

2 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Lineabilidade em conjuntos de funções reais que atingem o máximo em um único ponto por Tony Kleverson Nogueira sob a orientação de Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Março/2014 João Pessoa - PB

3 N778l Nogueira, Tony Kleverson. Lineabilidade em conjuntos de funções reais que atingem o máximo em um único ponto / Tony Kleverson Nogueira.- João Pessoa, f. Orientador: Daniel Marinho Pellegrino Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN 1. Matemática. 2. Lineabilidade. 3. Funções reais contínuas - conjuntos. 4. Teorema de Borsuk-Ulan. UFPB/BC CDU: 51(043)

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5 Agradecimentos Agradeço inicialmente a Jeová Deus pelas bençãos que colocou em minha vida, pela força para suportar as dificuldades, pelos amigos que conquistei e agora por esse título de mestre. Agradeço a minha mãe, Cleonice Nogueira, razão do meu esforço, pelo apoio incondicional, pelas orações e palavras de incentivo que me deixaram tranquilo diante das adversidades. Agradeço também à toda minha família. Agradeço a minha namorada Mariana Maia, por ter sido: meu apoio, minha motivação, meu juízo e falta dele, meu espelho, minha flor. Poderia dizer que foi a melhor coisa que a matemática me deu, mas não, foi a melhor que já me aconteceu. Agradeço aos meus professores, especialmente ao meu orientador Daniel Pellegrino, pela excelente orientação, disposto a ajudar sempre que precisei. Agradeço aos meus professores da graduação, em especial a Flávio Falcão pelo incentivo em cursar o mestrado. Agradeço aos meus amigos, Mônica, Wanderley, Ginaldo, Eudes, Luan, Gérsica, Wanderson, Myllena, Renato, Lili, Luis Alba, José Carlos, Gustavo, Esteban, Kely, Tuanny, Eniese, Marcius, Rayssa, Ricardo Pinheiro, Ricardo Burity, Geilson, Ronaldo, Nacib, Igor, Everton, Moisés, Hudson, Lucas, Carlos, João Bento, Diego, Sr Mariano, Luan, Wasteny e todos aqueles que convivi nesse período, por terem tornado tudo mais fácil. São mais valiosos do que qualquer título que eu conquistei ou venha a conquistar. Agradeço ao Edno pelas caronas. Agradeço a Capes pelo apoio financeiro.

6 À Cleonice e Mariana

7 Resumo Neste trabalho estudamos o conceito de lineabilidade e suas recentes aplicações a alguns conjuntos de funções reais contínuas. Esses conjuntos são formados por funções que atingem o máximo absoluto em um único ponto de seu domínio. No primeiro capítulo consideramos a reta e seus intervalos fechados e semifechados como domínios para essas funções. No segundo capítulo estudamos resultados sobre domínios mais gerais que os do capítulo anterior. No terceiro capítulo apresentamos a teoria de grau de aplicações contínuas de S n em S n como ferramenta para demonstrarmos o Teorema de Borsuk-Ulam. Este resultado é usado de modo crucial no Capítulo 2. Palavras - chave: Lineabilidade, funções que atingem o máximo em um único ponto, Teorema de Borsuk-Ulam.

8 Abstract In this paper we study the concept of lineability and its recent applications to some sets of continuous real functions. These sets are formed by functions that achieve the absolute maximum in a single point of its domain. In the first chapter we consider the real line and its closed and semi-closed domais as intervals for these functions. In the second chapter we study more general results than those in the previous chapters. In the third chapter we present the theory of degree of continuous applications of S n in S n as a tool to demonstrate the Borsuk-Ulam theorem. This result is used a crucial tool in Chapter 2. Keywords: Lineability, functions that reach their maximum at a single point, Theorem of Borsuk-Ulam.

9 Sumário Notações 9 Introdução 11 1 Lineabilidade em conjuntos de funções reais com domínios reais Lineabilidade A lineabilidade de Ĉ[0, 2π) e Ĉ(R) A não-lineabilidade de Ĉ[0, 1] A lineabilidade de Ĉ0(R) Lineabilidade em conjuntos de funções reais definidas em espaços topológicos Generalizando a 2-lineabilidade de Ĉ[0, 2π) Generalizando a 2-lineabilidade de Ĉ(R) Generalizando a não-lineabilidade de Ĉ[0, 1] O Teorema de Borsuk-Ulam Homotopia Simplexo Geométrico O grau de uma aplicação contínua f : S 1 S O grau de uma aplicação contínua f : S n S n T -aproximação linear

10 3.6 Teorema antipodal de Borsuk Referências Bibliográficas 64

11 Notações Seja X um espaço topológico. Seja F(X; R) o conjunto das funções definidas de X em R. Para f, g F(K; R), estabelecemos as seguintes notações: C(X) := {f F(X; R) : f é contínua} Ĉ(X) := {f C(X) : f atinge o máximo em um único ponto t X} M(f) := sup f(t) t X m(f) := inf t X f(t) M f := {t X : f(t) = M(f)} m f := {t X : f(t) = m(f)} f := M( f ) = sup f(t) = f t X span{f, g} := Subconjunto de F(X; R) gerado por f e g com coeficientes em R #X := Cardinalidade de X (x 1,..., x n ) 2 := ( R + := {t R : t 0} x 2 i ) 1 2 (Norma Euclidiana) R + := {t R : t > 0} B n := {x R n : x 2 1} B(a, r) := {x R n : x a 2 < r} B(a, r) := {x R n : x a 2 r}

12 diam(a) := sup x y x,y A 10

13 Introdução Nos últimos anos, temos visto um crescente interesse na busca de estruturas algébricas dentro de determinados subconjuntos de espaços vetoriais. Uma boa forma de investigar quão interessante é um subconjunto é encontrar subespaços vetoriais n-dimensionais ou de dimensão infinita dentro de tais subconjuntos. Ao estudo de conjuntos com essa propriedade dá-se o nome de lineabilidade. Um conjunto M em um espaço topológico X é dito n-lineável (respectivamente, lineável) em X se M {0} contém um subespaço Y de X tal que dim Y = n (respectivamente, dim Y = ). O termo lineabilidade começou a ser usado recentemente, aparecendo pela primeira vez no artigo On lineability of sets of continuous functions de Gurariy e Quarta [4], uma das referências principais desse trabalho. Dentro do espaço das funções contínuas da reta na reta, olhemos para aquelas que atingem um máximo em um único ponto. Será que este subconjunto contém alguma estrutura linear? E se pudéssemos provar que esse conjunto unido com a função nula contém um subespaço 2-dimensional? Este é apenas um dos problemas abordados neste trabalho. Nosso objetivo é o estudo da lineabilidade de conjuntos de funções reais contínuas que atingem o máximo absoluto em um único ponto de seu domínio. Tais domínios são a reta, intervalos da reta e certos espaços topológicos munidos de algumas propriedades. Em 2004, Gurariy e Quarta, no artigo supracitado, provaram que o conjunto das funções contínuas de R em R que atingem o máximo em um único ponto, o qual denotaremos por Ĉ(R), é 2-lineável dentro do espaço C(R). Provaram ainda que se restringirmos nosso domínio a intervalos semifechados, o conjunto Ĉ([a, b)) será também 2-lineável, ao

14 12 passo que o conjunto Ĉ([a, b]) não é. Estes resultados serão estudados no nosso primeiro capítulo. Ainda no Capítulo 1, veremos que o subconjunto Ĉ0(R) Ĉ(R) das funções que tendem para zero no infinito é 2-lineável, não podendo ser n-lineável para n 3. Em 2013, Botelho, Cariello, Fávaro, Pellegrino e Seoane-Sepúlveda em seu artigo On very non-linear subsets of continuous functions [2] generalizaram os resultados de Gurariy e Quarta citados inicialmente, considerando funções definidas em domínios bem mais gerais que a reta ou intervalos dela. Nesses novos conjuntos foi investigada a existência de subespaços n-dimensionais em vez de 2-dimensionais. Esses resultados generalizados serão estudados no segundo capítulo desse trabalho que, além disso, trará um exemplo de lineabilidade de conjunto em espaço de dimensão infinita. Para os resultados apresentados no Capítulo 2, Botelho et al abordaram a natureza topológica do problema, em vez do uso das técnicas analíticas, que foram empregadas por Gurariy e Quarta para obtenção dos seus resultados. Seguindo por este caminho, faremos uso de um importante teorema de topologia, o Teorema de Borsuk-Ulam, ao qual dedicaremos o terceiro e último capítulo deste trabalho, que terá por objetivo demonstrar esse teorema, esboçando a teoria necessária para isso, tendo por referência o livro de J. Dugundji ([3]).

15 Capítulo 1 Lineabilidade em conjuntos de funções reais com domínios reais Este capítulo introduz a teoria de lineabilidade trazendo suas definições e terminologias. Aqui veremos essa teoria aplicada a alguns conjuntos de funções reais. Esses conjuntos são compostos por funções com uma característica em comum, atingem o máximo absoluto apenas uma única vez em seu domínio. Os domínios em questão são a reta e intervalos dela. 1.1 Lineabilidade Esta seção é dedicada a teoria de lineabilidade. A seguir, apresentamos as definições que usaremos em todo o trabalho. Definição 1.1. Um conjunto M em um espaço vetorial topológico X é dito: (1) n-lineável em X, se M {0} contém um subespaço vetorial Y, tal que dim Y = n. (2) lineável em X, se M {0} contém um subespaço vetorial W, tal que dim W =. Definição 1.2. Sejam X um espaço vetorial topológico e M X um conjunto. O número λ(m) = max{dim Y : Y M {0} é subespaço de X} é chamado de a lineabilidade de M. 13

16 14 Observação 1.1. É válido ressaltar que λ(m) pode não existir. Por exemplo, se P é o espaço vetorial dos polinômios de grau n N, considere os inteiros positivos j 1 k 1 < j 2 k 2 < k m < j m+1 tais que k m j m = m e o subconjunto de P M = { km } a i x i : a i R. m i=j m Note que λ(m) n, para todo n N, mas λ(m) dim(n) pois os subespaços { km } a i x i : a i R, i=j m m N, são dois a dois disjuntos e finitamente gerados. Assim, M é n-lineável para todo n N, mas não é lineável, ou seja, λ(m) não é atingido. Definição 1.3. O conjunto M X é dito ser totalmente não-lineável, ou simplesmente, não-lineável, se λ(m) A lineabilidade de Ĉ[0, 2π) e Ĉ(R) Aqui, Ĉ[0, 2π) representa o conjunto das funções contínuas, f : [0, 2π) R, que atingem o máximo em um único ponto de seu domínio. O próximo teorema demonstrará a 2-lineabilidade desse conjunto. Como o leitor verá, essa demonstração tem um aspecto construtivo, pois esboçaremos a base do subespaço 2-dimensional. Teorema 1.1. Ĉ[0, 2π) é 2-lineável. Demonstração: Vamos considerar as funções trigonométricas sen x e cos x definidas no intervalo semiaberto [0, 2π). Note que ambas atingem o valor máximo em um único ponto de [0, 2π) e são linearmente independentes. Mostraremos que qualquer combinação não trivial, também, atinge o máximo em um único ponto. Sejam α, β R e α cos x + βsenx uma combinação linear não trivial. Sabemos que para qualquer ponto (α, β) R 2, existe θ [0, 2π), tal que (α, β) = ( α 2 + β 2 cos θ, α 2 + β 2 senθ).

17 15 Assim, α cos x + βsenx = α 2 + β 2 cos θ cos x + α 2 + β 2 senθsenx = α 2 + β 2 (cos θ cos x + senθsenx) = α 2 + β 2 cos(θ x) = α 2 + β 2 cos(x θ). Uma vez que a função cosseno admite um único ponto de máximo em [ θ, 2π θ), segue que α cos x + βsenx, para quaisquer α, β R, admite um único ponto de máximo em [0, 2π). Portanto, tomamos span{senx, cos x}\{0} Ĉ[0, 2π) e concluímos a demonstração. A partir do teorema acima temos a 2-lineabilidade de Ĉ[a, b) para quaisquer que sejam a, b R, basta compor cada função f Ĉ[0, 2π) com a função g : [a, b) [0, 2π), g(x) = 2π(x a). b a O próximo teorema nos dará a 2-lineabilidade de Ĉ(R), conjunto das funções contínuas, f : R R, que atingem o máximo apenas uma vez. Aqui, também exibiremos a base do subespaço 2-dimensional. Teorema 1.2. Ĉ(R) é 2-lineável. Demonstração: Considere as funções x(t), y(t) definidas por x(t) := µ(t) cos(4arctg t ) e y(t) := µ(t)sen(4arctg t ), onde µ é uma função contínua definida em R dada por e t, se t 0, µ(t) = 1, se t 0. Note que x(t) e y(t) são linearmente independentes. De fato, considere ( π 2, π 2 ) o intervalo de definição da função tg x. Sejam α, β R e h(t) := αx(t) + βy(t) uma combinação linear não trivial de x(t) e y(t), para todo t R. Note que se h = 0 então αµ(t) cos(4arctg t ) + βµ(t)sen(4arctg t ) = 0

18 16 ou ainda µ(t)(α cos(4arctg t ) + βsen(4arctg t )) = 0. Como µ(t) 0 para todo t R, segue que α cos(4arctg t ) + βsen(4arctg t ) = 0. Mostremos que α = β = 0. Se t = 0, então 0 = α cos(4arctg 0) + βsen(4arctg 0) = α cos 0 + βsen0 = α = α. Se t = 3, então 0 = βsen(4arctg 3) = βsen 4π 3. Como sen( 4π ) 0 segue que β = 0. Desse modo, x(t) e y(t) são linearmente independentes. Como cos(4arctg t ) 1, sen(4arctg t ) 1 e µ(t) 0, para todo t R, 3 segue que x(t) µ(t) e y(t) µ(t). Sendo µ(t) 1, para todo t R, as funções x(t) e y(t) são limitadas superiormente por 1. Mostremos que x(t) e y(t) atingem o valor 1 apenas em um único ponto. Para t = 0, x(0) = 1 cos(4arctg 0) = cos 0 = 1. Assim, vemos que t = 0 é ponto de máximo. Para t 0, 4arctg t (0, 2π), logo cos(4arctg t ) < 1. Como µ(t) 1 segue que x(t) < 1, para todo t 0. Daí, vemos que x(t) Ĉ(R). Quanto a y(t), tome t = tg π e note que 8 ( y tg π ) = 1 sen(4arctg (tg π 8 8 )) = 1 sen π 2 = 1. Logo, t = tg π é ponto de máximo. Para t < 0, sen(4arctg t ) 1 e µ(t) < 1. Logo, 8 y(t) < 1. Para t 0, temos µ(t) = 1 e 4arctg t [0, 2π). Como senx = 1 em [0, 2π)

19 17 apenas quando x = π 2, segue que y(t) = sen(4arctg t) = 1 somente quando 4arctg t = π 2. Portanto, pela bijetividade da função arctg t, segue que t = tg π é o único ponto de 8 máximo de y(t). Agora mostremos que qualquer combinação linear não trivial de x(t) e y(t) possui um único ponto de máximo. Sejam α, β R e αx(t) + βy(t) uma combinação linear não trivial. Já sabemos que para qualquer par (α, β) R 2, existe θ [0, 2π) tal que (α, β) = ( α 2 + β 2 cos θ, α 2 + β 2 senθ). Assim, αx(t) + βy(t) = α 2 + β 2 cos θ x(t) + α 2 + β 2 senθ y(t) = α 2 + β 2 cos θ µ(t) cos(4arctg t ) + α 2 + β 2 senθ µ(t)sen(4arctg t ) = α 2 + β 2 µ(t) (cos θ cos(4arctg t ) + senθ sen(4arctg t )) = α 2 + β 2 µ(t) cos(θ 4arctg t ) = α 2 + β 2 µ(t) cos(4arctg t θ). Note que para t 0, µ(t) = 1 e 4arctg t [0, 2π). Uma vez que a função cos x admite um único ponto de máximo em [ θ, 2π θ), segue que αx(t) + βy(t) = α 2 + β 2 cos(4arctg t θ) atinge um único ponto de máximo quando t 0. Para t < 0, µ(t) = e t < 1, então αx(t) + βy(t) = µ(t) (α cos(4arctg t ) + βsen(4arctg t )) < α cos(4arctg t ) + βsen(4arctg t ) = αx( t) + βy( t), ou seja, o máximo não é atingido. Portanto, qualquer combinação não trivial αx(t)+βy(t) pertence a Ĉ(R). Isso prova que span{x(t), y(t)} \ {0} Ĉ(R) e com isso concluímos a demonstração. 1.3 A não-lineabilidade de Ĉ[0, 1] Nesta seção, estudaremos a lineabilidade de Ĉ[0, 1], conjunto das funções contínuas, f : [0, 1] R, que atingem o valor máximo em um único ponto de [0, 1]. Neste estudo,

20 18 usaremos fortemente as noções de ignorabilidade e de ponto de barreira introduzidos por Gurariy e Quarta, em [4]. Antes de apresentar tais conceitos, fixamos as seguintes notações: dado X um espaço topológico qualquer e f C(X), denotamos M(f) := sup f(t); t X m(f) := inf t X f(t); M f := {t X : f(t) = M(f)} ; m f := {t X : f(t) = m(f)}. Ao longo deste trabalho consideraremos para cada f C(X) a norma f := sup f(t), t X caso necessário definiremos a norma utilizada. Note que de acordo com as notações fixadas acima, f = M( f ). Definição 1.4. Sejam f 1,..., f n C[0, 1]. Um ponto t [0, 1] é dito ignorável para f 1,..., f n se, para quaisquer α 1,..., α n R +, t M n α if i. Definição 1.5. Para f 1,..., f n C[0, 1], um ponto t [0, 1] é dito de barreira entre t 1 e t 2 em [0, 1], se t (t 1, t 2 ) e t é ignorável para f 1,..., f n. Definição 1.6. Um par de funções {f, g} em C[0, 1] é dito canônico, se existem t f M f, t g M g e t (t f, t g ) ou t (t g, t f ) tais que m f = { t} ou m g = { t}. Lema 1.1. Nas condições da definição anterior, t (t f, t g ) é ponto de barreira para as funções f e g. Demonstração: Suponhamos que m f = { t}. Então, f( t) < f(t) para todo t [0, 1]\{ t}, em particular, f( t) < f(t g ). Como t g M g, segue que g(t g ) = M(g) = sup g(t). t [0,1] Daí, g( t) g(t g ).

21 19 Assim, αf( t) + βg( t) < αf(t g ) + αg(t g ). Logo, para todo α, β R +, t / M αf+βg. Se m g = { t} o resultado é análogo. Um par canônico de funções não pode ser base de um subespaço vetorial 2-dimensional V tal que V \ {0} Ĉ[0, 1]. Para provar isso utilizaremos o próximo lema. φ x. De agora em diante, para uma aplicação φ : [0, 1] C[0, 1] denotaremos φ(x) por Lema 1.2. Se φ é uma aplicação contínua de [0, 1] em C[0, 1] tal que, para todo x [0, 1], M φx é unitário e igual a {t x }, então a função µ : [0, 1] [0, 1] x µ(x) = t x é contínua. Demonstração: Suponhamos que existe (x n ) n=1 [0, 1] tal que x n x 0, mas µ(x n ) = t xn t x0 = µ(x 0 ). Como [0, 1] é compacto, existe uma subsequência de (t xn ) n=1 convergindo para um ponto t [0, 1] que, por economia de notação, denotaremos pela própria sequência. Note que φ xn (t xn ) φ x0 ( t) = φ xn (t xn ) φ x0 (t xn ) + φ x0 (t xn ) φ x0 ( t) φ xn (t xn ) φ x0 (t xn ) + φ x0 (t xn ) φ x0 ( t) sup φ xn (y) φ x0 (y) + φ x0 (t xn ) φ x0 ( t) y [0,1] = φ xn φ x0 + φ x0 (t xn ) φ x0 ( t) 0. Logo, φ xn (t xn ) φ x0 ( t) quando x n x 0, pois φ e φ x0 são contínuas. Também pela continuidade de φ, quando x n x 0, temos φ xn (t xn ) = M(φ xn ) M(φ x0 ) = φ x0 (t x0 ). Pela unicidade do limite segue que φ x0 ( t) = φ x0 (t x0 ) = M(φ x0 ),

22 20 e como M(φ x0 ) = {t x0 }, temos t = t x0. Portanto, µ é contínua. Proposição 1.1. Para qualquer par canônico de funções {f, g} C[0, 1], existem dois reais positivos α e β tais que a função αf + βg tem pelo menos dois pontos de máximo. Demonstração: Suponhamos que existe um par canônico de funções {f, g} tal que para todo (α, β) R 2 + \ {(0, 0)}, M αf+βg é unitário. Consideremos as seguintes aplicações φ : [0, 1] C[0, 1] x φ x = (1 x)f + xg e µ : [0, 1] [0, 1] x µ(x) = t x onde {t x } = M φx. Pelo lema anterior µ é contínua, logo assume todos os valores entre µ(0) = t 0 e µ(1) = t 1 onde t 0 = M f e t 1 = M g. Mas isso contraria o Lema 1.1, que afirma existir um ponto de barreira entre t 0 e t 1, isto é, um ponto t (t 0, t 1 ) tal que t / M αf+βg para todo (α, β) R 2 + \ {(0, 0)}. Agora, estamos prontos para analisar a lineabilidade de Ĉ[0, 1]. Teorema 1.3. λ(ĉ[0, 1]) = 1. Demonstração: Mostraremos que para qualquer par de funções linearmente independentes {f, g} C[0, 1], existe (α, β) R 2 \ {(0, 0)} tal que a função αf + βg admite pelo menos dois pontos de máximo. Suponhamos o contrário, que existem f, g C[0, 1] tais que para todo par (α, β) R 2 \ {(0, 0)}, M αf+βg é unitário. Como [0, 1] é compacto e a função αf + βg é contínua, M αf+βg e m αf+βg sempre existem, e mais, são unitários: M αf+βg é unitário por hipótese e m αf+βg é unitário por ser igual a M (αf+βg), que é unitário por hipótese. Definamos ɛ(f, g) := M f M g m f m g. É fácil ver que #ɛ(f, g) 4, pois #M i = #m j = 1, para {i, j} = {f, g}. Consideremos dois casos:

23 21 (1) Se #ɛ(f, g) 3, então pelo menos um dos quatro pares de funções {f, g}, {f, g}, { f, g} ou { f, g} é canônico. Para ver isso, basta supor que algum desses pares não é canônico, pela definição de par canônico de funções e usando o fato de M f = m f, M g = m g, M f = m f e M g = m g, segue que algum dos pares restantes será canônico. Assim, se por exemplo, {f, g} é canônico, pela Proposição 1.1 existem α, β R + tais que M α f+β g têm pelo menos dois pontos e isso contradiz o que supusemos inicialmente. (2) Se #ɛ(f, g) = 2, temos dois casos: M f = m g e m f = M g ou M f = M g e m f = m g. Note que não podemos ter M f = m f, pois se assim fosse f não pertenceria a Ĉ[0, 1]. Se M f = m g e m f = M g, considerando as mesmas funções φ e µ usadas na demonstração da Proposição 1.1, encontramos α (0, 1) tal que M (1 α)f+αg é diferente de M f e m f = M g. Logo, #ɛ(f, (1 α)f + αg) 3 e pelo caso (1), temos uma contradição. Para o caso M f = M g e m f = m g, em vez de M g e m g, trabalhamos com m g e M g. Como M f = m g e m f = M g, adaptando as funções φ e µ para f e g, encontramos β (0, 1) tal que M (1 β)f+β( g) é diferente de M f e m f = M g, assim, #ɛ(f, (1 β)f + β( g)) 3 e novamente pelo caso (1) temos uma contradição. Portanto, só nos resta #ɛ(f, g) = 1. Daí, M f = m f = m g = M g, logo, f e g são constantes, consequentemente linearmente dependentes, o que é uma contradição. Também como na seção anterior, segue do teorema acima a não-lineabilidade de Ĉ[a, b], para quaisquer a, b R, pois cada função f Ĉ[a, b] nada mais é do que a x a composição de uma função g Ĉ[0, 1] com a função h : [a, b] [0, 1], h(x) = b a. 1.4 A lineabilidade de Ĉ0(R) Definição 1.7. Denotamos por C 0 (R) o conjunto das funções contínuas f : R R tais que lim f(x) = 0. x Definimos por Ĉ0(R) o subconjunto de C 0 (R) das funções que atingem o máximo em um único ponto. Nesta seção, mostraremos que existe um subespaço vetorial 2-dimensional, F C 0 (R), tal que F \ {0} Ĉ0(R). Mostraremos, também, que se n > 2, é impossível construir um subespaço n-dimensional com tal propriedade. Iniciemos com algumas definições.

24 22 Definição 1.8. Sejam P e Q dois subespaços fechados de um espaço de Banach (X, X ). A inclinação de P em Q é definida por onde d(x, Q) := inf{ x q X : q Q}. ( P, Q) := inf{d(x, Q) : x P, x X = 1}, Observação 1.2. Obviamente, se P = span{x} e Q = span{y} onde x e y são linearmente independentes em X, então ( P, Q) e ( Q, P ) são estritamente positivos. Além disso, se ( P, Q) = δ > 0 e z = αx + βy com x P, y Q e x X = y X = 1 então α z X. δ De fato, se α = 0 é trivial, então suponhamos α 0, sendo assim temos z X = αx + βy X = α α α x + β α y ( X = α α y) β X α x α { } α α inf α x ȳ : ȳ Q ( ) X α = α d α x, Q logo, α inf {d( x, Q) : x P e x X = 1} = α ( P, Q) = α δ, α z X. δ Note que nessas mesmas condições, se ( Q, P ) = δ > 0, então β z X δ. Definição 1.9. Seja K um conjunto. Uma função f : K R é dita alternada se existem t 1, t 2 K tais que f(t 1 ) < 0 e f(t 2 ) > 0. Um conjunto de funções é dito alternado, se cada função não nula é alternada. Proposição 1.2. Não existe subespaço vetorial 2-dimensional alternado, A C 0 (R), tal que A \ {0} Ĉ0(R). Demonstração: Suponhamos que existem funções f, g C 0 (R), linearmente independentes, tais que span{f, g} \ {0} Ĉ0(R) é alternado. Sem perda de generalidade,

25 23 suponhamos f = g = 1. Consideremos o conjunto Z := {z = αf + βg : z = 1}. Assim, tomando P = span{f} [ e Q = span{g}, pela Observação 1.2, existe δ > 0 tal que se z Z então α, β 1 δ, 1 ]. De fato, como ( δ P, Q) = δ 1 > 0 e ( Q, P ) = δ 2 > 0 segue que α z [ δ 1 α, β 1 δ, 1 ]. δ e β z δ 2. Tomemos δ = min{δ 1, δ 2 }, como z = 1, segue que Definamos para cada z = αf + βg Z, m αβ := inf{(αf + βg)(t) : t R} e M αβ := sup{(αf + βg)(t) : t R}, que existem pois z = αf + βg C 0 (R). Afirmamos que sup{m αβ : z = αf + βg Z} < 0. Com efeito, se não fosse existiriam sequências (α n ) n=1, (β n ) n=1 para qualquer ε > 0, existe n 0 1, tal que [ 1 δ, 1 ], de modo que δ ε < m αnβ n 0, (1.1) sempre que n n [ 0. Note que m αnβn 0 pois αf + βg é alternada, logo, assume valores negativos. Sendo 1 δ, 1 ] [ compacto, existem (α nj ) δ j=1, (β nj ) j=1 e α, β 1 δ, 1 ] tais que δ α nj α e β nj β. Desse modo, m αnj β nj m α β, logo, de (1.1) temos m α β = 0. Como m α β = inf{( αf + βg)(t) : t R}, segue que z = αf + βg é não-negativa, isso contraria o fato de z ser alternada. De forma análoga concluímos que inf{m αβ : αf +βg Z} > 0. Agora, seja N > 0 tal que, para todo z Z, m(z) < N < 0 < N < M(z). Tal N existe devido as desigualdades [ que acabamos de ver. Como f, g C 0 (R) e para z = αf+βg Z temos α, β 1 δ, 1 ], existe T > 0, suficientemente grande, tal que se t > T δ e z Z C 0 (R), então z(t) [ N, N]. Daí, vemos que para cada t R tal que t > T,

26 24 z(t) M(z), e portanto, t é ignorável para z Z. Então, restringimos nosso domínio a [ T, T ] e temos Ĉ0[ T, T ] = {f : [ T, T ] R : f = h [ T,T ] com h Ĉ0(R)} contido em Ĉ[ T, T ]. Assim, o subespaço 2-dimensional span{f [ T,T ], g [ T,T ] } está contido em Ĉ[ T, T ] {0}, o que contradiz o Teorema 1.3 onde diz que λ(ĉ[ T, T ]) = 1. O lema a seguir, nos ajudará a provar a próxima proposição. Lema 1.3. Seja K um conjunto. Seja V um espaço vetorial, n-dimensional (n 2), formado por funções f : K R. Existem n pontos t 1,..., t n em K tais que, para toda matriz (y ij ) R n n, existem n funções f 1,..., f n em V, tais que para todos i, j {1,..., n}, f i (t j ) = y ij. Demonstração: Claramente, se dim V = n então K contém pelo menos n pontos. Inicialmente, provaremos por indução que se {X 1,..., X n } é uma base de V, então existem n pontos t 1,..., t n K tais que os n vetores (X 1 (t j )) n j=1,..., (X n (t j )) n j=1 são linearmente independentes em R n. Para n = 2. Suponhamos por contradição, que para cada t 1, t 2 K os vetores (X 1 (t 1 ), X 1 (t 2 )) e (X 2 (t 1 ), X 2 (t 2 )) são linearmente dependentes em R 2. Então, podemos supor que existem t 0 K e α R tais que X 2 (t 0 ) = αx 1 (t 0 ) 0, (1.2) pois do contrário nada teríamos que provar. Sabemos que dois vetores v 1, v 2 são linearmente dependentes se, e somente se, existe λ R tal que v 1 = λv 2, dessa forma, para todo t K existe β t R tal que (β t X 1 (t 0 ), β t X 1 (t)) = (X 2 (t 0 ), X 2 (t)). Dada a igualdade das duas primeiras coordenadas, segue de (1.2) que para cada t K, β t = α e então X 2 (t) = αx 1 (t) para todo t K, que contradiz o fato de {X 1, X 2 } ser uma base de V. Por hipótese de indução, consideremos a afirmação válida para n = k 2 e provemos que também vale para n = k + 1. Novamente, por contradição, suponhamos que para todos t 1,..., t k+1 K, os vetores (X 1 (t j )) k+1 j=1,..., (X k+1(t j )) k+1 j=1 são linearmente dependentes. Por hipótese de

27 25 indução, a afirmação é válida para n = k, então existem t 1,..., t n K tais que span{(x 1 (t j )) k j=1,..., (X k (t j )) k j=1} = R k. Então, existe uma única sequência (α j ) k j=1 R k tal que ( k α i X i (t j ) ) k j=1 = (X k+1 (t j )) k j=1. De fato, como o posto da matriz (X i (t j )) k i,j=1 é igual a k, pois suas linhas (X 1 (t j )) k j=1,..., (X k (t j )) k j=1 são linearmente independentes, segue que (α i ) k é a única solução do sistema β 1 X 1 (t 1 ) + + β k X k (t 1 ) = X k+1 (t 1 ) β 1 X 1 (t k ) + + β k X k (t k ) = X k+1 (t k ). Note que para todos t 1,..., t k, t K os k + 1 vetores ((X 1 (t j )) k j=1, X 1 (t)),..., ((X k+1 (t j )) k j=1, X k+1 (t)) são linearmente dependentes. Então, para todo t K existem γ 1t,..., γ kt R tais que ( k ) k k γ it X i (t j ), γ it X i (t) = ((X k+1 (t j )) k j=1, X k+1 (t)). j=1 A igualdade das primeiras k coordenadas implica que γ it = α i, i = 1,..., k, e então, para todo t K, k X k+1 (t) = α i X i (t), o que contradiz o fato de {X 1,..., X k, X k+1 } ser uma base de V. Logo, a afirmação é válida para n = k + 1, e assim, concluímos a indução. Agora, suponhamos que dim V = n e seja {X 1,..., X n } uma base de V. Pelo que acabamos de provar, existem n pontos t 1,..., t n K tais que os vetores (X 1 (t j )) n j=1,..., (X n (t j )) n j=1 são linearmente independentes. Consideremos a matriz (y ij ) R n n. Então, para todo i {1,..., n}, existem α i1,..., α in R tais que α il (X l (t j )) n j=1 = (y ij ) n j=1. l=1

28 26 Portanto, as funções Y 1,..., Y n V definidas por Y i = α il X l, são tais que Y i (t j ) = y ij. l=1 Observação 1.3. Note que, dada uma matriz (y ij ) R m n, m n, pelo lema anterior existem n pontos t 1,..., t n em K e m funções f 1,..., f m em V, tais que para todos i {1,..., m} e j {1,..., n}, f i (t j ) = y ij. Basta olharmos (y ij ) R m n como submatriz de (x ij ) R n n. Proposição 1.3. Seja K um conjunto. Todo espaço vetorial de funções f : K R, n-dimensional, n > 2, contém um subespaço alternado, (n 1)-dimensional. Demonstração: Seja V um espaço vetorial, n-dimensional, n > 2, formado por funções definidas de K em R. Considere o subespaço (n 1)-dimensional {(x 1,..., x n ) R n : x 1 + x x n = 0}. Note que, de certa forma, é um subespaço alternado, pois os seus vetores não nulos têm coordenadas positivas e negativas. Seja {(y 1j ) n j=1,..., (y (n 1)j ) n j=1} uma base desse subespaço de R n. Pelo Lema 1.3 e Observação 1.3, existem n pontos t 1,..., t n K e n 1 funções Y 1,..., Y n 1 V tais que Y i (t j ) = y ij. Note que Y 1,..., Y n 1 são linearmente independentes, pois se α 1 Y 1 (t) + + α n 1 Y n 1 (t) = 0 para todo t K, tomamos t = t 1,..., t n, e do sistema α 1 y α n 1 y (n 1)1 = 0 α 1 y α n 1 y (n 1)2 = α 1 y 1n + + α n 1 y (n 1)n = 0 segue que α 1 = = α n 1 = 0, pois (y 1j ) n j=1,..., (y (n 1)j ) n j=1 são linearmente independentes. Assim, F = span{y i } n 1 é um subespaço alternado (n 1)-dimensional de V. seção. Agora, já temos as ferramentas necessárias para provar o resultado principal desta

29 27 Teorema 1.4. λ(ĉ0(r)) = 2. Demonstração: Primeiro, note que span{senx, 1 cos x} \ {0} Ĉ[0, 2π). De fato, é fácil ver que senx e 1 cos x atingem o seu máximo em um único ponto de [0, 2π), senx em x = π 2, e 1 cos x em x = π. Agora, sejam (α, β) R2 e αsenx + β(1 cos x) uma combinação não trivial. Usando o mesmo argumento da demonstração do Teorema 1.1, vemos que αsenx + β(1 cos x) atinge o máximo em um único ponto de [0, 2π). Além disso, senx e 1 cos x são linearmente independentes. Agora, considere as funções p : R R, p(t) = µ(t)sen(4arctg t ) e q : R R, q(t) = µ(t)(1 cos(4arctg t )) onde Considere o subespaço e t, se t 0, µ(t) = 1, se t 0. F = span{p, q}. Afirmamos que F é 2-dimensional e F \ {0} Ĉ0(R). De fato, se α, β R e α(µ(t)sen(4arctg t )) + βµ(t)(1 cos(4arctg t )) = 0 para todo t R, sendo as funções senx e 1 cos x linearmente independentes, segue que α = β = 0, isto é, p e q são linearmente independentes. Note que para quaisquer α, β R lim αp(t) + βq(t) = lim αsen(4arctg t ) + β(1 cos(4arctg t )) t + t + = αsen(4 lim arctg t ) + β(1 cos(4 lim arctg t )) t + t + = αsen(4 π π ) + β(1 cos(4 2 2 )) = αsen2π + β(1 cos 2π) = 0

30 28 e lim αp(t) + βq(t) = lim t t et (αsen(4arctg t ) + β(1 cos(4arctg t )) = 0. Então, αp + βq C 0 (R). Finalmente, se αp + βq é uma combinação não trivial, sabendo que span{senx, 1 cos x} Ĉ[0, 2π) e usando argumentos semelhantes aos da prova do Teorema 1.2 temos αp + βq Ĉ0(R). Para finalizar, provaremos que Ĉ0(R) não é n-lineável para n > 2. absurdo, que exista um subespaço W, 3-dimensional, tal que Suponha por W \ {0} Ĉ0(R). (1.3) Da Proposição 1.3, W possui um subespaço alternado W 0 de dimensão 2. De (1.3) segue que W 0 \ {0} Ĉ0(R), que é um absurdo devido a Proposição 1.2. Se em vez de C 0 (R), olharmos para o espaço das sequências convergentes, o resultado não é o mesmo, o conjunto ĉ 0, das sequências que convergem para zero e atingem o máximo em um único ponto, é não-lineável. Mostraremos este fato na próxima proposição. Proposição 1.4. λ(ĉ 0 ) = 1. Demonstração: Suponhamos por contradição que existem dois elementos x = (x n ) n=1 e y = (y n ) n=1 de c 0, linearmente independentes, tais que para todo (α, β) R 2 \ {(0, 0)}, a combinação αx+βy admite um e apenas um valor de máximo. Sem perda de generalidade, podemos supor que max i N x i = x i0 = 1, y i0 = 0 e que existe j 0 i 0 tal que y j0 > 0. Seja λ j0 R + tal que x j0 + λ j0 y j0 = 1. Tal λ j0 pois x j0 < 1 e y i0 > 0. Considere ε R tal que 0 < ε < λ j0. Como as sequências x e y convergem para 0, existe N > j 0, tal que para todo i N, existe max{ x i, y i } < ε.

31 29 Consideremos {y ik } m k=1 {y i } N 1 tais que para todo k {1,..., m}, y ik > 0 e sejam {λ k } m k=1 R + tais que x ik + λ k y ik = 1. Assim, pois λ 0 := min{λ k } m k=1 > 0, λ k = 1 x i k y ik > 0 para todo k {1,..., m}. Definamos a sequência z := x + λ 0 y. Note que z é tal que max i N z i = max i N {x i + λ 0 y i } = 1. De fato, para todo i N sabemos que max{ x i, y i } < ε < λ j0. Suponha sem perda de generalidade que max{ x i, y i } = y i. Assim, y i < 1 > y i + λ j0 y i x i + λ j0 y i x i + λ 0 y i x i + λ 0 y i x i + λ 0 y i λ j0. Daí, Logo, para todo i N, z < 1. Para i {1,..., N 1} se i {i 1,..., i n }, onde i k é tal que x ik + λ k y ik = 1, segue que x ik + λ 0 y ik 1 pois, como vimos λ 0 = min{λ k } m k=1. Nos demais casos temos necessariamente y i 0, como x i 1 para todo i, segue que 1 x i > x i + λ 0 y i = z i. Agora, note que z i0 = x i0 = 1

32 30 e, para todo k {1,..., m} tal que λ k = λ 0 também temos z ik = 1. Então, vemos que z tem pelo menos dois pontos de máximo, o que uma contradição. A próxima proposição nos permitirá falar sobre a lineabilidade de ĉ 0, o conjunto das sequências que convergem para zero e em norma atingem o máximo em um único ponto. Proposição 1.5. Seja L c 0 um subespaço tal que dim L = n N \ {0}. Então existe x L tal que x = 1 e #{i N : x i = 1} n. Demonstração: Seja {x (1),..., x (n) } uma base de L. Usemos indução sobre a dimensão n de L. O caso n = 1 é trivial. Para o caso n = 2 suponhamos, por contradição, que para cada (α, β) R 2 \ {(0, 0)}, αx (1) + βx (2) atinge o valor máximo de sua norma em um único ponto. Sem perda de generalidade, podemos supor que x (1) = x (1) i 0 = 1, x (2) i 0 = 0 e que existe j 0 i 0 tal que x (2) j 0 0. Defina λ j0, número real positivo, tal que x (1) j 0 + λ j0 x (2) j 0 = sgnx (2) j 0 e considere ε R tal que 0 < ε < λ j0. Como as sequências x (1) e x (2) convergem para zero, existe N > j 0 de modo que para todo i N max{ x (1) i, x (2) i } < ε. Para i {1,..., N 1} tal que x (2) i 0, definamos λ i R + de modo que x (1) i + λ i x (2) i = sgnx (2) i. Consideremos Λ 0 = min{λ i } > 0 e a sequência w (0) = x (1) + Λ 0 x (2). É fácil ver que w (0) = 1, basta proceder de modo análogo ao feito na prova da Proposição 1.4. Note que w (0) i 0 = x (1) i 0 = 1 e para todo i {1,..., N 1} tal que λ i = Λ 0 temos w (0) i = sgnx (2) i, donde vemos que w (0) i = 1. Então, w (0) atinge o seu máximo em norma pelo menos em dois pontos distintos, que é um contradição. No caso n = 3 suponha, por contradição, que a proposição é falsa no caso n = 3. Assim, para o w (0) definido na etapa anterior, existe somente um i 1 N tal que λ i1 = Λ 0, pois caso contrário, dada a existência de λ i1 = λ i2 = Λ 0, teríamos w (0) alcançando o máximo em três pontos, logo, bastaríamos fazer w (0) = x (1) + Λ 0 x (2) + 0 x (3)

33 31 e não teríamos nada a provar. Sem perda de generalidade podemos supor que x (3) i 0 = x (3) i 1 = 0 e que existe j 1 / {i 0, i 1 } tal que x (3) j 1 0. Definamos λ j1, o real positivo, tal que w (0) j 1 + λ j1 x (3) j 1 = sgnx (3) j 1 e considere ε R tal que 0 < ε < λ j1. Como as sequências w (0) e x (3) convergem para 0, existe N > j 1 tal que para todo i N temos Para i {1,..., N 1} tal que x (3) i max{ w (0) i, x (3) i } < ε. 0, definamos λ i R + tal que w (0) i + λ i x (3) i = sgnx (3) i. Consideremos Λ 1 = min{λ i } > 0 e a nova sequência w (1) = w (0) + Λ 1 x (3). Como era de se esperar w (1) = 1, w (1) i 0 = w (0) i 0 = 1, w (1) i 1 = w (0) i 1 = sgnx (2) i 1 e para todo i {1,..., N 1} tal que λ i = Λ 1, temos w (1) i = sgnx (3) i, daí, vemos que em pelo menos três pontos distintos, w (1) = 1, o que uma contradição. Usando a mesma ideia para os casos n 4, temos o resultado. A lineabilidade de ĉ 0 é consequência direta da proposição que acabamos de ver. Corolário 1.1. λ( ĉ 0 ) = 1. Demonstração: Suponha λ( ĉ 0 ) = 2. Pela Proposição 1.5 temos uma contradição.

34 Capítulo 2 Lineabilidade em conjuntos de funções reais definidas em espaços topológicos No capítulo anterior estudamos a lineabilidade dos conjuntos das funções reais contínuas que atingem o máximo em um único ponto de seu domínio. Esses domínios se restringiam a reta e intervalos dela. Estudamos os seguintes resultados: (A) (B) (C) Ĉ[0, 2π) é 2-lineável; Ĉ(R) é 2-lineável; Ĉ[0, 1] não é lineável. Este capítulo tem por objetivo estudar tais resultados tomando domínios mais gerais. Veremos que os resultados de (A), (B) e (C) são casos particulares dos que vem a seguir. 2.1 Generalizando a 2-lineabilidade de Ĉ[0, 2π) Aqui, o intervalo [0, 2π) dará lugar a D, espaço topológico que tem uma bijeção contínua com a esfera n 1-dimensional de R n. Mostraremos no próximo teorema que para todo espaço D com essa característica temos a n-lineabilidade de Ĉ(D). Nesta seção, assim como em todo este capítulo, 2 representará a norma euclidiana. 32

35 33 Teorema 2.1. Sejam n 2 um inteiro positivo e D um espaço topológico tal que exista uma bijeção contínua de D para S n 1. Então Ĉ(D) é n-lineável. Demonstração: Seja π i : S n 1 R a projeção sobre a i-ésima coordenada, i = 1,..., n, e seja G : D S n 1 uma bijeção contínua. Mostremos inicialmente que as funções π i, i = 1,..., n, são linearmente independentes. De fato, considere uma combinação linear qualquer a i π i. Se esta combinação linear é não trivial, isto é, a i 0 para algum i, segue que Logo, tomamos e então a 2 i 0. z = (a 1,..., a n ) ( n a2 i ) 1 2 a i π i (z) = n a2 i S n 1 ( n a2 i ) 1 2 Agora, mostremos que cada combinação linear não trivial das funções π i, i = 1,..., n, possui apenas um único ponto de máximo. Considere a i π i, com a i 0 para algum i = 1,..., n, e y S n 1, assim, a i π i (y) = a, y, onde a = (a 1,..., a n ). Considere a função f : R n R y a, y. 0. Afirmamos que f S n 1 atinge seu máximo em z S n 1 se, e somente se z = (a 1,..., a n ) ( n a2 i ). 1 2 Inicialmente, note que f(s n 1 ) atinge um valor máximo, pois é imagem de um compacto por uma função contínua. Olhemos para S n 1 como imagem inversa do valor regular Seja f : U R uma função diferenciável no aberto U R n. O número real c é um valor regular de f quando existem pontos críticos de f no nível c, ou seja, se f(x) = c então grad f(x) 0.

36 34 pela função ϕ : R n R x x 2 2. Assim, pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (ver [6], pag. 331) p S n 1 é ponto crítico de f S n 1 se, e somente se, existe µ R tal que gradf(p) = µ gradϕ(p). Como gradf = a e gradϕ = 2x, fazendo λ = 2µ, segue que Como x 2 2 = 1, temos daí a = λx. a 2 2 = λx 2 2 = λ 2 x 2 2 = λ 2, λ = ± a 2. Desse modo, os pontos críticos de f S n 1 são x = ± a. Facilmente, podemos ver que a 2 z = a é ponto de máximo de f S n 1. a 2 Agora, considere as composições π i G : D R para i = 1,..., n. É fácil ver que o conjunto {π i G : i = 1,..., n} é linearmente independente. Seja h = b i (π i G) combinação linear não trivial das funções π i G. Como b i π i atinge o seu máximo em um único ponto x 0 S n 1 e G é uma bijeção, segue que h atinge o seu máximo em um único ponto, G 1 (x 0 ). Portanto, o subespaço span{π i G}, i = 1,..., n, nos dá a n-lineabilidade de Ĉ(D). Corolário 2.1. Ĉ[0, 2π) é 2-lineável. Demonstração: Basta mostrarmos que existe uma bijeção contínua de [0, 2π) para S 1, a esfera unitária de R 2. Com efeito, considere a aplicação f : [0, 2π) S 1 θ (cos θ, senθ)

37 35 que é claramente contínua e bijetiva. 2.2 Generalizando a 2-lineabilidade de Ĉ(R) Nessa seção, a reta dará lugar aos espaços vetoriais D com algumas propriedades que especificaremos no próximo teorema. Novamente, usaremos a esfera unitária como parâmetro para determinar a n-lineabilidade de Ĉ(D). Teorema 2.2. Sejam n 2 um inteiro positivo e D um espaço topológico contendo um fechado Y tal que exista uma bijeção contínua F : Y S n 1 e uma extensão contínua de F, G : D R n, tal que G(x) 2 < 1 para todo x Y. Então Ĉ(D) é n-lineável. Demonstração: O símbolo π i representa a projeção sobre a i-ésima coordenada de R n. Note que S n 1 G(D), pois S n 1 = F (Y ) = G(Y ) G(D). Além disso, G(D) {x R n : x 2 1}. Vejamos que qualquer combinação não trivial f := b i π i : G(D) R atinge o máximo em um único ponto x 0 G(D) e que esse ponto pertence a S n 1. Restringindo b i π i a S n 1 G(D), o mesmo argumento usado na prova do teorema anterior garante que existe um único x 0 S n 1 tal que f S n 1 atinja o máximo, ou seja, b i π i (x) b i π i (x 0 ), (2.1) para todo x S n 1. Como para qualquer x S n 1, x S n 1, temos e daí De (2.1) e (2.2) obtemos b i π i ( x) b i π i (x) b i π i (x) b i π i (x 0 ), b i π i (x 0 ). (2.2) b i π i (x 0 ) (2.3)

38 36 para todo x S n 1. Agora só precisamos provar que se y G(D) \ S n 1, então b i π i (y) < b i π i (x 0 ). O caso y = 0 é trivial, e portanto consideremos y 0. Como y 2 < 1, usando (2.3), temos b i π i (y) b i π i (y) ( ) y = y 2 b i π i y 2 ( ) y < b i π i y 2 b i π i (x 0 ). Até aqui provamos que qualquer combinação não trivial f = b i π i : G(D) R atinge seu máximo em um único ponto x 0 G(D) e que este ponto pertence a S n 1. Agora, afirmamos que qualquer combinação linear não trivial h := b i (π i G) : D R atinge o seu máximo apenas no ponto F 1 (x 0 ) D. De fato, observe que h atinge o máximo num ponto z D se, e somente se, f atinge o máximo em G(z). Então, o único ponto de máximo de h é F 1 (x 0 ). Como S n 1 G(D) e as funções π i, i = 1,..., n, são linearmente independentes em S n 1, segue que π i G, i = 1,..., n, são linearmente independentes em D. Portanto, o subespaço vetorial dado por span{π i G,..., π n G} completa a prova. Corolário 2.2. O conjunto Ĉ(R) é 2-lineável em C(R). Demonstração: Para a, b R 2, denotamos por a, b o segmento de reta aberto em R 2 de a até b. Tome o fechado Y = [0, + ) R, uma bijeção contínua de [0, + ) em S 1, por exemplo, F : [0, + ) S 1 t F (t) = cos 2π 1 ( t + 1 ), 2π sen 2π 1 ( t + 1 ) 2π

39 37 e um homeomorfismo g : (, 0) F (0), (0, 0) R 2 tal que Defina a seguinte extensão contínua de F : lim g(x) = F (0). x 0 G : R R 2 F (x) se x 0, x G(x) = g(x) se x < 0. Note que G(x) 2 < 1 para todo x Y. De fato, se x Y então x (, 0), logo, G(x) = g(x) F (0), (0, 0) R 2. Como F (0) = (1, 0), temos G(x) 2 < 1. Portanto, pelo teorema anterior lineável. Ĉ(R) é Generalizando a não-lineabilidade de Ĉ[0, 1] O compacto da reta, [0, 1], dará lugar a compactos K de R m. O resultado principal desta seção tem por objetivo generalizar o resultado correspondente de Gurariy e Quarta e mostrar que o conjunto Ĉ(K) não é (m + 1)-lineável. Antes de provar o teorema principal desta seção, provaremos alguns lemas técnicos. Lema 2.1. Sejam n N e D um espaço métrico tal que exista um espaço vetorial V de funções contínuas de D em R satisfazendo (1) dim(v ) = n, n N. (2) Cada 0 f V possui um único ponto de máximo. Seja D D o conjunto dos pontos de máximo das funções que pertencem a V. Então o espaço vetorial V := {f D : f V } também satisfaz (1) e (2).

40 38 Demonstração: Inicialmente mostremos que os elementos de V satisfazem (2). De fato, observe que cada função não nula f D V possui um único ponto de máximo, pois f V possui um único ponto de máximo. Agora, provemos que dim(v ) = n. Seja {f 1,..., f n } uma base de V. Se a 1,..., a n R são tais que a i f i D = 0, então Suponha que a i f i D = 0. g := e portanto a i f i 0, g 0. Como os pontos de máximo de g e g pertencem a D, as imagens desses pontos de máximo são 0, pois g D = g D = 0. Assim, g D = 0, logo podemos concluir que g = 0. Como o conjunto {f 1,..., f n } é linearmente independente, temos a 1 = = a n = 0 e, portanto, {f 1 D,..., f n D } também é linearmente independente. Para completar a prova, considere a desigualdade dim(v ) dim(v ), que é obviamente verificada quando olhamos para a função que é claramente sobrejetiva. ϕ : V V f f D, Lema 2.2. Mantendo a terminologia e a notação do Lema 2.1 e de sua demonstração, considere a função contínua Seja X := F (D ). Então F : D R n y (f 1 (y),..., f n (y)). (1) Para cada v S n 1, a função g v : X R x x, v possui um único ponto de máximo.

41 39 (2) Para cada x X existe v S n 1 tal que x é o único ponto de máximo da função g v. (3) Se munirmos D com a métrica induzida pela métrica de D e X com a métrica euclidiana do R n, então F D : D X é uma bijeção contínua. Demonstração: (1) Dado v = (a 1,..., a n ) S n 1, considere a função g v F : D R. Para cada y D, g v F (y) = F (y), v = a i f i D (y). Logo, g v F V. Do Lema 2.1, g v F : D R possui um único ponto de máximo, d D. Portanto, F (y), v F (d), v, para todo y D, onde a igualdade é verificada apenas quando y = d. Então x, v F (d), v para todo x X. Assim, F (d) X é um ponto de máximo de g v. Mostremos que este ponto é o único de máximo. Suponha que g v tenha outro ponto de máximo, x X. Neste caso, x = F (d ) para algum d d e a função g v F : D R possui dois pontos de máximo, o que contraria o fato de g v F possuir apenas um. (2) Para cada x X existe d D tal que x = F (d). Mas d é o ponto de máximo de alguma função não-nula h := a i f i D : D R. Sem perda de generalidade, podemos supor que (a 1,..., a n ) 2 = 1.

42 40 De fato, se d é ponto de máximo de h, onde (a 1,..., a n ) não é necessariamente unitário, h então d também é ponto de máximo da função. (a 1,..., a n ) 2 Tomando v := (a 1,..., a n ) S n 1, temos a i f i D (y) = F (y), v F (d), v = x, v para todo y D. Então, z, v x, v para todo z X. Do item (1) segue que x é o único ponto de máximo de g v. (3) Como cada função coordenada f i D é contínua e X = F (D ), só precisamos provar que F D é injetora. Suponha por absurdo que não é. Assim, se d 1 d 2 D são tais que F (d 1) = F (d 2) então g v F (d 1) = v, F (d 1) = v, F (d 2) = g v F (d 2) para todo v R n. Portanto, nem d 1 e nem d 2 podem ser pontos de máximo de g v F : D R V, para qualquer v, pois se fossem deveríamos ter d 1 = d 2. Mas isso contraria o fato de D ser o conjunto dos pontos de máximo das funções que pertencem a V. Definição 2.1. Seja n 2 e seja X um subconjunto do R n com #X > 1 satisfazendo as seguintes condições: (1) Para cada v S n 1, a função g v : X R x g v (x) = x, v possui um único ponto de máximo, denotado por x v. (2) Para cada x X existe v x S n 1 tal que x é o único ponto de máximo da função g vx. Defina a função f : S n 1 X v f(v) = x v, onde x v é descrito em (1). De (2) segue que f é sobrejetiva.

43 41 Lema 2.3. Sejam X e a função f os mesmos da definição anterior. Seja K X um subconjunto compacto do R n. Então f 1 (K) S n 1 é um subconjunto compacto de R n. Demonstração: Como f 1 (K) S n 1 R n, basta mostrarmos que f 1 (K) é fechado. Seja (v n ) n=1 uma sequência em f 1 (K). Como f 1 (K) S n 1 e S n 1 é compacto, existe uma subsequência convergente v nj v S n 1. Para cada j, seja x j = f(v nj ) K. Como K é compacto, existe uma subsequência (x jk ) k=1 tal que x j k x K. Agora, como x jk é o único ponto de máximo da função g vnjk em X, temos f(v), v njk x jk, v njk. Fazendo k, obtemos f(v), v x, v. Mas f(v) = x v é o único ponto de máximo de g v, então f(v) = x e v f 1 (K). Assim, f 1 (K) S n 1 é fechado e, portanto, compacto. Lema 2.4. A função f da Definição 2.1 é contínua se, e somente se, X é compacto. Demonstração: Lembre que em X e S n 1 estamos considerando a métrica euclidiana do R n. Suponha que f : S n 1 X é contínua. Como f é sobrejetiva e S n 1 é compacto, segue que X = f(s n 1 ) é compacto. Para a recíproca, suponha que X é compacto. Seja B um subconjunto fechado de X. Como X é um espaço métrico compacto, segue que B também é compacto em R n. Do Lema 2.3 sabemos que f 1 (B) é um subconjunto compacto de S n 1, em particular fechado. Portanto, f é contínua. Teorema 2.3. Sejam n 2 e m 1 inteiros positivos. Então m < n se, e somente se, para todo conjunto compacto K R m, Ĉ(K) não é n-lineável. Demonstração: Suponha por absurdo que m < n e que existam um compacto K R m e um conjunto V Ĉ(K), de modo que V {0} é um subespaço vetorial n-dimensional de C(K), ou seja, Ĉ(K) é n-lineável. Aqui, o compacto K desempenhará o papel do espaço métrico D dos lemas anteriores. Seja {f 1,..., f n } uma base de V {0} e defina F : D R n y F (y) = (f 1 (y),..., f n (y))

44 42 como no Lema 2.2. Também, como antes, seja D D o conjunto dos pontos de máximo das funções pertencentes a V e seja X := F (D ). Como n 2, segue que dim(v {0}) 2, logo, V contém funções não constantes. Sendo g V uma função não constante, é evidente que g e g possuem diferentes pontos de máximo, logo, D não é unitário. Pelo Lema 2.2 item (3), a restrição F D : D X é bijetiva, assim X também não é unitário. Definição 2.1. Considere a função Desse modo, X satisfaz as condições da f : S n 1 X da Definição 2.1. Vamos provar que D é fechado em D e, consequentemente, compacto em R m. Seja (d k ) k=1 uma sequência em D convergindo para d. Pela compacidade de D segue que d D. Da Definição 2.1, para cada k, F (d k ) = f(v k ) para algum v k S n 1, e isso significa que F (d k ) é o único ponto de máximo em X da função g vk : X R x g vk (x) = x, v k. Da compacidade de S n 1, (v k ) k=1 possui uma subsequência convergente v kj v S n 1. Note que F (d kj ), v kj F (y), v kj para todo y D. Como os pontos y D são pontos de máximo das funções g v F : D R, a desigualdade F (d kj ), v kj F (z), v kj vale para cada z D. Usando a continuidade de F : D R n temos F (d), v = lim j F (d kj ), v kj lim j F (z), v kj = F (z), v,

45 43 para todo z D. Assim, d é ponto de máximo da função g v F : D R, portanto, d D e assim D é fechado em D. Pelo Lema 2.2 item (3), sabemos que a função F : D X é uma bijeção contínua entre o compacto D e X, que é Hausdorff, logo F é um homeomorfismo 2. Como D é compacto, segue que X = F (D ) é compacto e, pelo Lema 2.4, a função f : S n 1 X é contínua. Considerando R m convenientemente contido em R n 1, visto que m < n, a função F 1 f : S n 1 D R m R n 1, é contínua. Pelo Teorema de Borsuk-Ulam, existe um par de antípodas v, v S n 1 tal que F 1 f(v) = F 1 f( v). Da injetividade de F 1 temos f(v) = f( v) =: x. Como f : S n 1 X é definida por f(v) = x v, onde x v é o único ponto de máximo de g v : X R, g v (x) = x, v, segue que g v : X R e g v : X R têm x como ponto de máximo. Por outro lado, g v = g v pois g v (z) = z, v = z, v = g v (z) para todo z X. Logo, g v e g v atingem o máximo no mesmo ponto, e portanto g v é constante, o que é uma contradição, pois X tem mais de um ponto e g v atinge o máximo apenas uma única vez em X. A recíproca obtemos por contradição. Suponha que m n e tome o compacto K = S n 1 R n R m. Escolhendo, por exemplo, a bijeção Id : K = S n 1 S n 1 segue, pelo Teorema 2.1, que Ĉ(K) é n-lineável. Corolário 2.3. O conjunto Ĉ[a, b] não é 2-lineável. No exemplo que segue, veremos que num espaço de dimensão infinita pode existir um compacto K, de modo que Ĉ(K) é lineável. 2 Estamos usando o seguinte resultado de topologia: Toda aplicação f : K Y, contínua e bijetiva, de um espaço compacto K sobre um espaço de Hausdorff Y é um homeomorfismo.