CAPÍTULO MECÂNICA DO CONTATO 2.1 A TEORIA LINEAR ELÁSTICA DE HERTZ

Transcrição

1 CAPÍTULO MECÂNICA DO CONTATO. A TEORIA LINEAR ELÁSTICA DE HERTZ Segundo Johnson (987), primeir bordgem do estudo de contto entre corpos elásticos homogêneos foi feit por Heinrich Hertz, os 4 nos, em 88, n Universidde de Berlim, no clássico rtigo On the contct of elstic solids. A questão surgiu qundo deformção elástic ds lentes, objeto de seus estudos, cusvm influêncis nos pdrões ds frnjs de interferênci devido às forçs de contto n fixção dels. O conhecimento de Hertz sobre Teori do Potencil Eletrostático serviu pr que se demonstrsse, por nlogi, que um distribuição semielipsoidl de pressões de contto produzirim deslocmentos elásticos em mbos os corpos, comptíveis com propost de um áre de contto elíptic, pr o cso mis gerl de contto entre os corpos. A teori de Hertz está restrit superfícies sem trito e sólidos perfeitmente elásticos. O progresso n mecânic do contto, posteriormente Hertz, se deu no sentido de se remover tis restrições. Aind de cordo com teori hertzin, pode-se confinr tenção àquel prte de cd corpo muito próxim do contto, já que, li, s tensões são muito miores que s que ocorrem em qulquer outr prte. Além disso, s dimensões

2 6 Mecânic do contto entre corpos revestidos d região do contto são, gerlmente, muito pequens se comprds o tmnho dos corpos. O mesmo não se pode dizer de corpos que se conformm entre si, um vez que áre d superfície de contto ds superfícies conformds não é desprezível se comprd às demis dimensões dos corpos em questão. A trnsferênci de esforços mecânicos entre dois corpos ocorre por meio do contto entre superfícies. No cso em que pelo menos um desss superfícies é curv, os esforços resultntes n região de contto são conhecidos como tensões de contto. Pr prevenir possibilidde de flh d superfície, nesses csos, é necessário clculr e compreender os estdos de tensão que resultm do crregmento de um corpo sobre o outro. Neste trblho, o foco se restringirá os spectos d mecânic do contto entre superfícies em não conformção, isto é, problems de contto não conforme. O digrm d Figur. represent geometri do contto no problem ser estuddo qui. Hertz, entretnto, não vnçou té este cso do plno revestido. Figur. Região de contto entre cilindro () e semiplno infinito (3) com revestimento (), com distribuição de pressão semielipsoidl (segundo Hertz). Pr configurção do estdo de tensão, selecionou-se origem de um sistem de coordends no centro d áre de contto, com o eixo x perpendiculr o plno formdo pelo eixo do cilindro e linh de contto inicil, o eixo y no plno d forç de contto e o eixo z prlelo o eixo do cilindro, conforme Figur.. As simplificções proposts por Hertz pr o seu modelo form s seguintes: s superfícies são contínus e em não conformção; s deformções n região de contto são muito pequens;

3 Mecânic do contto 7 cd sólido pode ser considerdo como um semiespço elástico, onde semilrgur de contto é muito menor que o rio de curvtur de cd corpo, bem como de mbs s dimensões lteris e de profundidde dos corpos em contto; usênci de trito entre s superfícies. Se s superfícies em contto são, por exemplo, dus esfers, áre de contto obtid é circulr de rio. A pressão em cd esfer tem um distribuição semielíptic e pressão máxim, P 0, ocorre no centro d áre de contto. No entnto, qundo s superfícies em contto são cilíndrics de eixos prlelos, áre de contto é um retângulo estreito, de lrgur,, onde: onde: Fd * τ = (.) LE* ν ν (.) E = + * E E d = d + * d (.3) sendo que: L é o comprimento d áre de contto, F é forç plicd, v e v é o coeficiente de Poisson, d*, d e d são os diâmetros ds respectivs superfícies cilíndrics, qundo mbs são considerds flexíveis. R é o rio do indentdor cilíndrico. A pressão, nesse cso, tem um distribuição elíptic segundo lrgur e pressão máxim (P 0 ) é dd por: P 0 = F πbl (.4) As tensões principis obtids pel integrção o longo do eixo y são s seguintes, segundo Johnson (987): p0 05. σx = {( + y )( + y ) y} p0 σy = + y 05. ( ) (.5) σ = ν( σ + σ z x y )

4 8 Mecânic do contto entre corpos revestidos sendo que em y = - (0.78 ) ocorre p { y y ( y ) } τ = + (.6) ( ) = P (.7) τ mx 0 As equções (.) e (.3) podem ser plicds um cilindro e um superfície pln, fzendo-se d = pr o plno. Vle ressltr que s equções (.5), (.6) e (.7) independem do coeficiente de Poisson pr estdo plno de deformção (EPD), exceto σ z. Estndo determindos P 0 e o semicontto,, s tensões em qulquer ponto do eixo y de plicção d crg podem ser clculds, segundo s equções nteriores, que estão plotds no gráfico d Figur., segundo Johnson (987): Figur. () (b) Contto entre dois cilindros. () Cálculo ds tensões o longo do eixo de plicção d crg norml, segundo Johnson (987), (b) Contorno d primeir tensão cislhnte principl t. O referencil (z/) dotdo pel referênci nterior equivle (-y/) no sistem de coordends qui dotdo.. CARREGAMENTO NORMAL E TANGENCIAL Em um discussão preliminr, é importnte que se fçm distinguir dois conceitos importntes pr este problem:

5 Mecânic do contto 9 movimento desliznte: consiste de um velocidde periféric reltiv entre s superfícies nos seus pontos de contto; movimento com rolmento: envolve um velocidde ngulr reltiv entre dois corpos com respeito os eixos prlelos o plno tngente esss superfícies. Um forç norml P pressionndo dois corpos entre si dá origem um áre de contto que, n usênci de forçs de fricção, teri s dimensões dds pel teori de Hertz. Entretnto, té mesmo um tendênci o deslizmento introduz um forç tngencil Q, que tu em cd um ds superfícies em contto, em um sentido que se opõe o seu movimento. O cso ser investigdo é quele em que os corpos estão sujeitos um forç tngencil que tende levá-los o deslizmento. Pr esse fim, recorre-se à premiss básic de Hertz que diz que dois corpos podem ser considerdos como um semiespço elástico ns proximiddes do contto. A componente u y, devido Q (ver Figur.3), é proporcionl à constnte elástic ν. Tendo esforços tngenciis, que gem n interfce ds superfícies G em contto de mbos os corpos, e mgnitudes iguis, em sentidos opostos, então, segundo Johnson (987), tem-se que: G G q x y q xy u x y (, ) = (, ) z (, ) u z ( x, y ) = (.8) ν ν N nálise do problem de contto envolvendo esforços tngenciis, pressão norml e tensão tngencil serão ssumids como independentes um d outr, sendo possível, ssim, superposição dos resultdos pr encontrr o cmpo de tensões resultntes. Um pressão norml p(x) e um tensão tngencil q(x) estão distribuíds rbitrrimente no intervlo ( b < x < ), em um semiespço elástico, conforme mostr Figur.3. Desejm-se encontrr s componentes de tensões devids p(x) e q(x) em um ponto A qulquer do plno e o deslocmento de um ponto C qulquer n superfície do contto. As trções que tum no ponto B d superfície, distnte s de O, em um elemento de áre de lrgur ds, podem ser considerds como forçs concentrds de mgnitude p.ds, tundo perpendiculrmente à superfície, e q.ds, tngencilmente à superfície.

6 30 Mecânic do contto entre corpos revestidos Figur.3 Tensões devids às distribuições tngencil e norml, conforme Johnson (987), cujo referencil dotdo em y equivle y neste trblho. D integrção desss forçs em todo o intervlo ( b<x<), resultm s componentes de tensão em A, devids à distribuição complet de p(x) e q(x), segundo Johnson (987): σ x z p s x s ds qs x s ds = π b { x s + z } 3 ()( ) ()( ) π b ( ) {( x s) + z } σ z 3 z p() sds { } z q()( s x sds ) π b ( x s) z π b {( x s) + z } = + (.9) τ xz z p()( s x sds ) z = π b ( x s) + z π { } b q() s ( x s) {( x s) + z } Nos csos em que s constntes elástics dos dois corpos em contto forem iguis, distribuição ds trções tngenciis de um semiespço elástico, em estdo plno de deformção (EPD), pr o cso sem deslizmento, é dd por: qx ( )= Q (.0) π( x )

7 Mecânic do contto 3 Pr problems com constntes elástics diferentes, pode-se lnçr mão do estudo d influênci de um diferenç ns constntes elástics feito por Bufler (959), em que s tensões superficiis n áre de contto são dds por: onde: * µ E qx ( ) = R( + βµ ) β = + x x γ ( x ) (.) { ( ν ) } {( ν ) } / G / {( ν) / G}+ {( ν) / G} (.) A semilrgur de contto é dd por: e γ βµ / π. (.3) 4PR =. (.4) 4 γ * E Se b = 0, s constntes dos dois corpos são iguis e g desprece. Nesse cso, áre de contto pss ser dd pel teori Hertzin..3 TENDÊNCIA AO DESLIZAMENTO ENTRE CORPOS ELÁSTICOS Se forç tngencil não for suficiente pr extrpolr o vlor limite d forç de trito e se não houver deslizmento reltivo entre os corpos em contto, então o problem que surge devido à combinção ds forçs norml e tngencil se enqudr no cso em estudo. A forç norml P origin um áre de contto e um distribuição de pressão que, como já dito, são ssumids como sendo independentes d forç tngencil Q. Portnto, é dd pel teori de Hertz. O efeito d forç Q é o de cusr um deformção por cislhmento nos corpos em contto. Se não houver deslizmento entre os corpos em contto como um todo, deve hver um ponto n interfce onde s superfícies se deformm sem que hj movimento reltivo, o que não quer dizer que não hj deslizmento em qulquer lugr dentro d áre de contto. N verdde, pode-se demonstrr que, pr Q < mp, ocorre um pequeno movimento reltivo, isto é, um microdeslizmento n interfce do contto e esss

8 3 Mecânic do contto entre corpos revestidos regiões são denominds slip. A outr prte, no restnte d interfce de contto, deform sem movimento reltivo e, ns regiões em que ocorre ess desão, s superfícies são dits stick. Dentro d região de desão, resultnte tngencil não pode exceder seu vlor limite. Assumindo-se que o coeficiente de trito µ é constnte, tem-se seguinte relção, pel Lei de Amonton: qxy (, ) µ. p( xy, ) (.5) N região de deslizmento, qxy (, ) =µ. p( xy, ), onde q deve-se opor o sentido do deslizmento. Como não se conhecem, princípio, s dimensões ds regiões de derênci e de deslizmento, dificulddes pr solução deste problem podem surgir. A lterntiv, então, é d tenttiv e erro. Nesss circunstâncis, o primeiro psso é ssumir que não há deslizmento em nenhum prte d áre de contto, pr que se encontre o vlor limite d forç tngencil. A região onde ocorrerá o deslizmento será quel em que forç tngencil exceder esse vlor limite previmente determindo..4 DESLIZAMENTO PARCIAL ENTRE CORPOS ELÁSTICOS CILÍNDRICOS O método de solução deste problem foi presentdo primeiro por Cttneo (938) e tmbém por Mindlin (949). Se forç tngencil ument té o vlor limite de m.p, então os corpos estão ponto de deslizrem e tensão tngencil é dd por: x (q x) = µp0 (.6), onde p 0 = P/π. E, lém disso, é definid um distribuição dicionl de trção dd por: c q x p x " ( )= µ 0 c, (.7) que tu n região c x c (c < ), conforme Figur.4 (JOHNSON, 987).

9 Mecânic do contto 33 Figur.4 Contto entre um cilindro e um plno sujeitos crregmentos norml e tngencil. A trção resultnte ness região é dd por: q(x)=(q x)+ q " ( x), (.8) nesse cso, em qulquer ponto, menor que µp. Assim, condição pr que região centrl sej um região de desão está stisfeit. Ns rests de contto, já que deve ser em um região de deslizmento. q(x)= µp(x), (.9) O tmnho d região de desão é determindo pel mgnitude d forç tngencil, Q q xdx q xdx q xdx P c c = ( ) = + = P ( ) " ( ) µ µ (.0) c c Q == µ P (.) O comportmento físico, prtir d expressão (.0), torn-se clro. Mntendo-se P constnte e umentndo-se Q desde zero, microdeslizmentos inicim- -se imeditmente, do contorno ds áres de contto pr o centro, segundo expressão (.). Qundo Q se proxim de µp, c se proxim de zero e região

10 34 Mecânic do contto entre corpos revestidos de desão se reduz um linh em x = 0. Qulquer créscimo Q que exced µp fz com que o contto deslize..5 SOLUÇÃO ANALÍTICO-NUMÉRICA DO PROBLEMA DE CONTATO ENTRE UM CILINDRO E UM PLANO REVESTIDO A solução nlítico-numéric pr o problem em estudo, conforme Figur., foi obtid por Oliveir e Bower (996). Ness solução, com o objetivo de fcilitr nálise, lgums hipóteses simplificdors são dotds n construção do modelo proposto. Um dels é de ssumir que distribuição de pressão, p(x), não é fetd pelos esforços tngenciis que tum entre o cilindro e o plno semi-infinito, composto por revestimento e substrto. O primeiro psso no sentido de se resolver o problem de contto, então, é clculr os deslocmentos e o cmpo de tensões no semiespço revestido, devido às trções norml e tngencil, respectivmente, p(x) e q(x), tundo n su superfície. Esse problem específico foi resolvido por Gupt (973). Os deslocmentos e o cmpo de tensões devem stisfzer às seguintes condições de contorno, em y=0 e pr < x < : u y (x) = - x / R, σ y (x) < 0, σ xy (x) = µ σ y (x), (.) e pr > x > : u y (x) < - x / R σ xy (x) = σ y (x) = 0 (.3), onde é profundidde de penetrção do indentdor no semiplno infinito. Os resultdos, então, pr s condições de contorno cim são expressos em termos de um função de tensão de Airy, qul deve stisfzer à equção bi- -hrmônic (.4): 4 ψ = 0 (.4) Disso resultm s seguintes equções, em notção indicil:

11 Mecânic do contto 35 σ = ψ,, σ = ψ,, σ = ψ,, (.5) O fto de tnto os deslocmentos (u x, u y ) qunto s trções deverem ser contínuos n interfce do revestimento com o substrto, em y = h, conduz um sistem de seis equções, em termos d trnsformd de Fourier d distribuição de trção n superfície de contto. Um vez resolvid trnsformd de Fourier, o cmpo de tensões é obtido ds equções (.) e (.3). Vários cálculos numéricos rigorosos feitos por Gupt e Wlowit (97); King e O Sullivn (987); Leroy e Villechise (990) mostrm que, n prátic, distribuição de pressão p(x) fic muito próxim à distribuição de pressão propost por Hertz, isto é: x p(x) P0 (.6) O principl efeito d combinção ds proprieddes elástics do revestimento com o substrto é lterr lrgur de contto,, e máxim pressão de contto, P 0. Portnto, pr se resolver o problem de contto, é suficiente que se determinem e P 0, de tl form que stisfçm s condições de contorno tão proximmente qunto possível d relidde. Em gerl, esses resultdos devem ser obtidos medinte os ddos disponíveis, que, vi de regr, são o rio do indentdor, R, crg por unidde de comprimento plicd o indentdor, P, e s proprieddes do revestimento e do substrto. Os erros obtidos nos cálculos pr todos os csos estuddos por método nlítico form inferiores 0,7%, processdos em FORTRAN 6.0, cujo código foi gentilmente cedido pelos utores pr ser utilizdo como um dos procedimentos de vlidção do modelo deste trblho, que se utiliz do Método dos Elementos Finitos (MEF).

12