1. Introdução à Bioestatística (Duração: 3 aulas)

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1 Guia de Estudo BIOESTATÍSTICA Aulas teóricas / Teórico-Práticas Primeiro Bloco 1. Introdução à Bioestatística (Duração: 3 aulas) Para que serve a estatística? Estatística na Biologia. O método científico e a estatística. Definição de estatística e Bioestatística. Definição de população, amostra, elemento, variável, observação, conjunto de dados. Tipos de dados biológicos. Escalas de medida. Exactidão, precisão e algarismos significativos. Estatística descritiva e Estatística inferencial. Propriedades numéricas dos dados: Tendência central, variabilidade, forma. Descrição numérica e gráfica de dados. Conceitos gerais em Bioestatística Nos últimos anos, tem havido um grande incremento na utilização da estatística em quase todos os campos da biologia. Podemos mesmo afirmar que quem não gosta de estatística deveria ter nascido há mais de cem anos atrás. De facto, o que podemos aprender com a estatística revolucionou muitos campos da Biologia. A Bioestatística não é mais do que a estatística aplicada à Biologia. Quando utilizada de forma adequada, a estatística permite-nos verificar hipóteses ou descrever os nossas observações de modo mais diversos. Verificar hipóteses em estatística pressupõe a aplicação correcta do método científico. Genericamente, o método científico pode ser caracterizado pelos seguintes passos: a. Formulação de uma hipótese; b. Verificação experimental ou observacional; c. Realização de uma experiência ou observação; d. Avaliação das previsões ou hipóteses; e. Reformulação ou refinamento das hipóteses, recomeçando o processo, caso a hipótese inicial se revele incorrecta. Analogamente, a aplicação do método científico à estatística pode ser caracterizada pelos seguintes passos: a. Formulação de uma hipótese nula e de uma hipótese alternativa; b. Apresentação das previsões resultantes das hipóteses nula e alternativa; c. Planeamento experimental ou observacional e realização experimental; d. Realização da experiência ou observação; e. Análise dos dados experimentais ou observacionais e interpretação; f. Interpretação da experiência ou observação; g. Avaliação das previsões das hipóteses nula e alternativa; h. Aceitação ou rejeição da hipótese nula; i. Eventual reformulação ou refinamento das hipóteses e recomeço. A natureza dos dados (observações que realizamos) é essencial quando queremos decidir qual o procedimento estatístico adequado à análise dos dados. Assim, os dados podem ser de dois tipos: a) Dados com incrementos desiguais: - Escala nominal - classificação de características ou medidas (e.g. cor dos

2 olhos de Drosophila, tipo de doença, presença ou ausência de uma característica); - Escala ordinal - os valores podem ser ordenados por ordem crescente ou decrescente (e.g. notas de relatórios (A, B+, C,...). b) Dados com incrementos iguais: - Escala intervalada - não tem um ponto zero absoluto (e.g. temperatura.) - Escala fraccionária - tem um verdadeiro ponto zero (e.g. altura, batimentos cardíacos, crescimento de uma planta, velocidade) Este valores podem distribuir-se, segundo uma verdadeira escala contínua de dados, com um conjunto infinito de pontos entre dois valores (e.g. 1; 1,1; 1,1125), ou podem ser contagens com igual número de incrementos entre dois números - escala descontínua ou merística (e.g. ovos colocados por um pássaro ou peixe, folhas de uma árvore, crescimento do cancro do cólon; não é possível considerar 1,5 ovos). Apesar de serem descontínuos, os dados intervalados ou fraccionários podem também ser descontínuos. Solicitaram-se aos estudantes exemplos representativos e fundamentados dos diversos tipos de escalas. Diversos conceitos essenciais em estatística têm um significado diferente do habitual: Populações - Conjunto de indivíduos em estudo, e.g. toda a população humana, conjunto de indivíduos de uma espécie. Se fosse possível estudar a população na sua totalidade, o estudo e aplicação da estatística seriam desnecessários. Amostra de uma população - subconjunto representativo da população no qual se fazem observações de determinadas características. A utilização da estatística é necessária se pretendermos inferir acerca de algum aspecto da população. Em geral, as amostras terão um tamanho entre 10 e 1000 indivíduos. Amostragem aleatória - a probabilidade de um indivíduo ser seleccionado e estudado é igual para todos. Os indivíduos são seleccionados aleatoriamente, na população. Importância da amostragem aleatória - todos os testes estatísticos exigem uma selecção aleatória dos indivíduos, para que outros factores não estudados sejam, em média, idênticos entre diferentes grupos. Por exemplo, pretendemos estudar o ritmo cardíaco de dois grupos de indivíduos, em que um grupo se exercita num tapete rolante e outro numa bicicleta fixa. Devemos recolher uma amostra aleatória para cada um dos grupos, de tal modo que todos os outros factores, que possam afectar o ritmo cardíaco, sejam, em média, idênticos para os dois grupos. Contudo, se não realizarmos uma amostragem aleatória, é possível que um dos grupos contenha indivíduos com um ritmo cardíaco mais elevado, pelo simples facto de terem mais massa corporal. Uma amostragem não aleatória deste tipo introduziria variabilidade nos resultados, o que poderia falsear a sua interpretação. Variáveis - dados recolhidos em indivíduos. Por exemplo, altura de plantas, peso corporal, sobrevivência ao cancro, biomassa algal. Parâmetros - propriedades das populações. Por exemplo, peso médio de plantas, variância do peso corporal. Exactidão - aproximação de um valor medido, ao valor real (depende da

3 calibração do aparelho de medida) Precisão - aproximação entre observações repetidas de um mesmo valor (depende do investigador). É possível ser preciso sem ser exacto; contudo, privilegiar-se deve privilegiar-se a exactidão. Utilizou-se o exemplo do tiro ao alvo para demonstração dos conceitos de exactidão e precisão. Algarismos significativos - O valor de uma determinada observação deve ser representado, indicando-se o grau de exactidão utilizado. Notese que os computadores tendem a fornecer um número de algarismos significativos superior ao necessário. Geralmente, devem apresentar-se os resultados de uma análise, com mais um algarismo significativo do que foi medido. Relativamente ao conceito de algarismos significativos, solicitou-se aos estudantes que interpretassem o significado de diversos valores numéricos no contexto, em que são referidos. Qualquer conjunto de dados pode ser caracterizado por pela sua tendência central, variabilidade e forma da distribuição dos dados. Tendência central dos dados na população Diversas medidas de tendência central podem ser utilizadas para caracterizar os dados: Média - é habitualmente o valor mais utilizado, por ser um parâmetro determinado directamente a partir dos dados (medida paramétrica utilizada como referência por todos os métodos de estatística paramétrica). Mediana - indica-nos qual o valor que se localiza na posição intermédia de uma sequência ordenada de valores (medida não paramétrica muito utilizada em métodos estatísticos não paramétricos). Quando a distribuição dos dados é simétrica ou se encontra normalmente distribuída, então a média é igual à mediana, pelo que a mediana só é importante se a distribuição não se encontrar normalmente distribuída. Moda - Valor(es) que ocorre(m) com mais frequência (distribuições bimodais apresentam uma moda maior e uma menor) Medidas de dispersão e de variabilidade Vimos a importância de parâmetros estatísticos úteis para descrever a tendência central dos dados (média, moda, mediana). Estes valores são apenas estimativas da verdadeira média, moda, ou mediana da população calculadas a partir de uma amostra de dados. Além das medidas de tendência central dos dados, discutida anteriormente, um outro conceito importante em estatística, uma vez que constitui a base de toda a estatística paramétrica, é a medida da variabilidade dos dados. Estes processos são abordados no Cap. 4 de Zar (1999), sendo conceitos essenciais ao longo desta disciplina. As medidas de variabilidade mais comuns são: intervalo, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação. Intervalo - permite-nos calcular a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados. Esta medida fornece uma descrição útil da

4 variabilidade dos dados, mas pode ser enganadora se existirem um ou mais pontos estranhos (i.e. um valor que se revele excepcionalmente grande ou pequeno) Variância é a média dos desvios quadrados da média. É calculado por (1) subtracção, a cada observação, do valor da média e sua elevação ao quadrado; (2) somatório dos desvios, relativamente à média, ao quadrado (soma de quadrados), e sua divisão pelo tamanho da amostra menos um (n-1). Este parâmetro será sempre positivo pois a soma de quadrados é sempre positiva. Este parâmetro estatístico é muito útil e será utilizado como base de cálculo para muitos testes estatísticos. Uma excepção à fórmula de cálculo é a variância da população (i.e. a verdadeira variância da população se tivéssemos amostrado cada indivíduo da população). Neste caso, a soma de quadrados seria dividida por n e não por n-1. uma vez que quase nunca dispomos de informação sobre toda a população, não voltaremos a utilizar esta equação. Além disso, a diferença entre estas duas fórmulas não é significativa quando as amostras são grandes e os valores de n e n-1 se tornam semelhantes. Desvio-padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e permitenos expressar a variabilidade dos nossos dados na unidade de medida original. Coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa. Este parâmetro é útil para comparação de distribuições com diferentes tipos de dados. Muitas vezes, o desvio-padrão de uma distribuição estará correlacionado com a média dos dados: O desvio-padrão da altura de elefantes será maior, numa escala de centímetros, do que o desvio-padrão da altura de ratos. Contudo, a variabilidade relativamente à média poderá ser semelhante para ambos. O coeficiente de variação pode indicar que a variabilidade relativa dos dois grupos de organismos é a mesma. O desvio-padrão também será influenciado pela escala de medida. Se, para o mesmo conjunto de observações, determinarmos o desvio-padrão, em mm ou em metros, verificaremos que ele é diferente. Contudo, o coeficiente de variação será o mesmo! Ao dividirmos o desvio-padrão pela média, removemos o efeito da escala de medida do cálculo da variabilidade e geralmente removemos também a relação entre o desvio-padrão e a média. O CV é útil quando comparamos a variabilidade de dados de distribuições com médias diferentes; porém, uma desvantagem do CV é que é útil apenas para escalas que têm um verdadeiro zero. Demonstrou-se por que motivo o somatório dos desvios absolutos de cada valor relativamente à média, não é uma boa medida de variabilidade dos dados, apresentandose o somatório dos quadrados dos desvios (vulgo soma de quadrados) como um passo intermédio no cálculo de medidas alternativas de variabilidade (variância e desvio-padrão). Apresentação de dados sob a forma gráfica A compilação de dados conduz, muitas vezes, a volumes de informação bastante significativos, que seriam por isso difíceis de interpretar e apresentar. A condensação

5 dos dados em tabelas ou figuras é uma geralmente um modo eficiente e esclarecedor. A apresentação gráfica dos dados é, em geral, efectuada através de histogramas ou gráficos de barras, consoante os dados sejam contínuos ou descontínuos, respectivamente. Apresentaram-se e discutiram-se exemplos ilustrativos de maneiras correctas e incorrectas de apresentar os dados. 2. Distribuições discretas de probabilidades (Duração: 2 aulas) Cálculo do valor esperado e variância de variáveis discretas ao acaso. Descrição das distribuições de probabilidades uniformes, binomiais e de Poisson. Cálculo das probabilidades binomial e de Poisson de variáveis discretas ao acaso. Aproximação à distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Falamos de distribuição discreta de probabilidades sempre que uma determinada variável X pode apresentar um conjunto discreto de valores possíveis em que, no seu conjunto, o somatório das probabilidades individuais é igual à unidade. Neste caso, a variável X tem a designação de variável discreta aleatória. As variáveis discretas aleatórias consistem geralmente num número finito de valores inteiros obtidos por contagem (a distribuição de Poisson é uma excepção, uma vez que se estende de zero a infinito). À semelhança do que referimos anteriormente, todas as distribuições podem ser caracterizadas pelo seu valor esperado (i.e. média) e desvio-padrão. Relembraram-se os conceitos de média e desvio-padrão indicando de que modo se podem calcular este valores, uma vez que, a cada valor da nossa variável aleatória, corresponde um valor de probabilidade. A distribuição uniforme é uma distribuição em que num determinado intervalo, relativo aos valores possíveis, cada um dos valores tem igual probabilidade de ocorrência. Numa distribuição binomial, a variável aleatória representa o número de sucessos obtidos num conjunto de n tentativas idênticas, em que podem existir apenas dois resultados possíveis (sucesso e insucesso). Por exemplo, no caso de um teste de toxicidade, podemos considerar que a morte de um indivíduo representa um sucesso, enquanto que a sua sobrevivência representa um insucesso. A função matemática, que descreve a distribuição binomial, pode ser facilmente individualizada em três componentes: cálculo das combinações dos sucessos para um determinado número de tentativas, probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos e probabilidade de insucesso elevada ao número de insucessos. Deram-se exemplos de testes representativos de distribuições binomiais, solicitando-se aos estudantes que fornecessem exemplos que eles próprios considerassem ilustrativos. Na distribuição de Poisson, os valores da variável aleatória representam sempre o número de ocorrências num determinado intervalo. O princípio subjacente a estas distribuições é que existe sempre um intervalo no qual poderemos registar apenas uma ocorrência de um determinado evento. A distribuição de Poisson apresenta a particularidade de a sua média e desvio-padrão serem iguais. Assim, enquanto a descrição da distribuição binomial envolve dois parâmetros, probabilidade de sucesso e número de tentativasm, na distribuição de

6 Poisson necessitamos apenas de saber a média da distribuição. O cálculo das probabilidades associadas à variável aleatória das distribuições binomial e de Poisson pode ser efectuado por qualquer dos métodos atrás referidos. Contudo, a utilização da fórmula correspondente a cada uma das distribuições é o método mais rápido e fiável. Para um número elevado de repetições o cálculo das probabilidades associadas à distribuição binomial pode ser vantajosamente efectuado, com um grau de aproximação razoável, através da fórmula da distribuição de Poisson, desde que se verifiquem alguns pressupostos. Apresentaram-se exemplos numéricos para o cálculo dos valores esperados e desvios padrão de cada uma distribuições, assim como dos cálculos associados às probabilidades individuais para diversos valores das variáveis aleatórias. 3. Distribuições contínuas de probabilidades (Duração: 1 aulas) A distribuição normal. Importância da distribuição normal. Características da distribuição normal. Distribuição normal padrão. Aproximação ao cálculo de probabilidades de distribuições discretas através da distribuição normal. Os mesmos conceitos e princípios aplicados às distribuições discretas podem também ser facilmente aplicados, com ligeiras adaptações, às distribuições contínuas de probabilidades. Distribuições contínuas de probabilidades são as distribuições onde cada variável aleatória pode assumir qualquer valor, de entre um conjunto contínuo de valores. Neste caso, não podemos falar da probabilidade associada a um determinado valor de X, mas da probabilidade associada a um intervalo de valores, ou seja, a probabilidade passa a ser expressa em função de uma função de densidade. Um dos exemplos mais importantes de uma distribuição contínua de probabilidades é a distribuição normal, curva normal ou distribuição de Gauss. Uma distribuição normal é caracterizada por dois parâmetros: média e desvio-padrão. Naturalmente, existe uma infinidade de distribuições normais possíveis. Uma das distribuições normais possíveis é definida por uma média de zero e um desvio-padrão de um e tem a designação de distribuição normal padrão. A transformação que nos permite converter a distribuição normal, na distribuição normal padrão, é designada pela letra z e tem a designação de desvio normal padrão. Forneceram-se diversos exemplos de distribuições normais transformadas na distribuição normal padrão e para as quais se determinam valores de probabilidades para diversos tipos de intervalos. Solicitou-se também a participação dos estudantes para a determinação dos valores de probabilidades a partir de tabelas de áreas da distribuição normal padrão. As virtudes da distribuição normal padrão não se limitam ao cálculo de probabilidades associadas a distribuições normais, mas permitem que, em determinadas condições, se calculem valores aproximados de probabilidade de distribuições binomiais ou de distribuições de Poisson. Um valor aproximado de probabilidade, para um valor de uma distribuição binomial, pode ser calculado sempre que o valor de N (número de tentativas) for elevado e a probabilidade de sucesso e de insucesso não estejam muito próximas de zero, de tal modo que o seu produto por N seja igual ou superior a 5. No caso da distribuição de Poisson, exige-se que a média, e consequentemente o desvio-padrão, seja maior ou igual a 5.

7 A aplicação do cálculo aproximado de valores de distribuições binomiais e de Poisson foi devidamente documentada com exemplos apropriados. 4. Amostragem e distribuições de amostragem (Duração: 1 aulas) Descrição das propriedades de estimativas. Explicar a distribuição de amostragem. Descrição da relação entre distribuições e distribuição de amostragem. Teorema dos limites centrais. Resolução de problemas de probabilidades envolvendo distribuições de amostragem. A teoria de amostragem estuda as relações existentes entre uma população e amostras retiradas dessa mesma população. Estas relações são de facto preciosas, uma vez que nos permitem fazer estimativas de quantidades desconhecidas na população, tais como a média e a variância da população, geralmente designados por parâmetros da população ou abreviadamente por parâmetros, a partir do conhecimento dos valores que lhe são equivalentes, ou seja, a média e a variância da amostra. A teoria de amostragem é também útil para determinarmos se as diferenças observadas entre amostras se devem ao acaso ou se são efectivamente significativas. Estas questões levantam-se quando, por exemplo, pretendemos ensaiar a utilização de um medicamento no tratamento de uma doença ou quando pretendemos comparar indivíduos provenientes de áreas geográficas distintas. A resposta a esta questões é dada através de testes de significância e hipóteses. O estudo das inferências acerca da população, através da utilização de amostras retiradas da população, juntamente com indicações dessas inferências, obtidas por aplicação da teoria das probabilidades, é designado por inferência estatística. Para que a as conclusões resultantes da aplicação da teoria da amostragem e as inferências estatísticas sejam válidas, é necessário que as amostras sejam escolhidas de modo a serem representativas da população. A selecção dos métodos de amostragem e a resolução dos problemas associados à amostragem designa-se por projecto experimental. Um dos métodos para obtenção de uma amostra representativa da população é através de um processo de amostragem aleatória, de tal modo que cada membro da população tenha efectivamente igual probabilidade de ser incluído na amostra. Referiram-se e ilustraram-se diversos métodos para selecção aleatória de indivíduos da população, com vista à realização de uma amostragem aleatória.. Consideremos todas as amostras de tamanho N que podemos retirar de uma população. Se, para cada amostra, determinarmos um parâmetro estatístico (e.g. média da amostra), que variará entre as diferentes amostras, e fizermos a distribuição desses valores, obtemos uma distribuição do parâmetro que calculámos, à qual chamamos distribuição de amostragem. No caso do parâmetro utilizado ter sido a média da amostra, obtemos uma distribuição de amostragem de médias, ou seja, a distribuição de amostragem da média. Teríamos uma situação idêntica se, por exemplo, o parâmetro calculado tivesse sido o desvio-padrão, a variância ou a mediana. Para valores elevados de N (N 30), a distribuição de amostragem da média é aproximadamente uma distribuição normal com média µ e desvio-padrão σ x x, independentemente da distribuição de valores na população. Isto é verdade desde que a média e a variância da população sejam finitas e o tamanho da população seja, pelo

8 menos, duas vezes superior ao tamanho da amostra. Este resultado é um caso especial da teoria dos limites centrais, que mostra que o grau de exactidão da estimativa aumenta com o aumento de N. No caso da distribuição de valores na população ser um distribuição normal, este princípio continua a ser válido mesmo que o valor de N seja menor que 30. Apresentaram-se diversos exemplos da aplicação do teorema dos limites centrais quando consideramos diversas tipos de distribuições na população e amostras com diversos tamanhos. A distribuição de amostragem da média tem a particularidade de apresentar uma média igual à média da população e um desvio-padrão igual ao desvio-padrão da população a dividir pela raiz quadrada de N. A aplicação da transformação normal padrão às distribuições de amostragem permite-nos calcular a probabilidade associada a qualquer intervalo da distribuição. 5. Introdução à estatística inferencial (Duração: 3 aulas) Distinção dos tipos de hipóteses. Descrição do processo de teste de hipóteses. Explicação dos erros associados ao teste de hipóteses. Problemas com testes de hipóteses. Uma média de população ( σ x conhecido). Teste Z de uma e duas caudas. Explicação da potência de um teste. É prática comum tomarmos decisões acerca da população, com base em informação obtida para amostras recolhidas na população, as quais designamos por decisões estatísticas. Para tomarmos tais decisões, é necessário fazer determinadas suposições acerca da população em causa. Tais suposições, que podem ou não ser verdadeiras, são denominadas hipóteses estatísticas. Ao efectuarmos um teste estatístico, há sempre duas hipóteses envolvidas: a hipótese nula e a hipótese alternativa. A hipótese nula é formulada para testar igualdades, enquanto a hipótese alternativa é a negação lógica da hipótese nula, pelo que é expressa sempre por sinais de desigualdade. Se admitirmos que uma determinada hipótese é verdadeira, mas os resultados observados numa amostra aleatória diferirem acentuadamente dos resultados esperados pela hipótese nula (i.e. esperados apenas no acaso, com base na teoria da amostragem), então podemos dizer que as diferenças observadas são estatisticamente significativas, pelo que devemos rejeitar a hipótese nula (ou pelo menos não a aceitar com bases nas evidências observadas). Os processos que nos permitem determinar quando as amostras observadas diferem significativamente dos resultados esperados, ou seja, que nos permitem aceitar ou rejeitar hipóteses, são denominados testes de significância. A aceitação ou rejeição de hipóteses não está isenta de erro. Se rejeitarmos uma hipótese nula quando a deveríamos ter aceitado (hipótese nula verdadeira), estamos a cometer um erro de tipo I. Se, por outro lado, aceitarmos uma hipótese nula quando ela deveria ter sido rejeitada (hipótese alternativa verdadeira), dizemos que cometemos um erro de tipo II. Porém, em qualquer dos casos, cometemos um erro de julgamento. Para podermos tomar boas decisões, no teste de hipóteses, estas devem ser elaboradas com cuidado. Contudo, não é um processo simples, uma vez que um decréscimo num tipo de erro é, geralmente, acompanhado por um aumento do outro tipo de erro. De facto, um tipo de erro deve ser mais grave do que o outro e, como tal, devemos estabelecer um compromisso em que minimizamos o erro mais grave. A eventual minimização de ambos os tipos de erro só poderá ocorrer através de um aumento do tamanho da

9 amostra. Ao testarmos uma dada hipótese, o valor máximo de probabilidade que estamos dispostos a assumir para um erro de tipo I é denominada por nível de significância do teste. Esta probabilidade é frequentemente designada por α e é, geralmente, especificada antes do teste, para que os resultados obtidos não interfiram na nossa escolha. Em estudos de Biologia, é comum considerar-se que um valor de α=0,05 é suficiente, ainda que outros valores possam ser utilizados. Na prática, um valor de α de 0,05 equivale a dizer que 5 vezes em 100 podemos estar a rejeitar uma hipótese nula que deveríamos aceitar, ou seja, temos 95% de confiança relativamente a uma decisão correcta. A probabilidade de cometermos um erro de tipo II é geralmente representada por β. O seu valor depende de diversos factores, tais como, o valor real do parâmetro que estamos a testar, o valor de α ou o tamanho da amostra. Os tipos de erros foram explicados do ponto de vista estatístico, tendo em conta diversos cenários, estabelecendo-se a analogia com os resultados possíveis de um julgamento quando se considera um cenário em que a pessoa é culpado e outro em que a pessoa é inocente. O teste Z permite-nos testar a significância de diversas hipóteses relativas à média. Este teste resulta da aplicação directa do conceito de transformação normal padrão a distribuições de amostragem da média. Podemos testar a hipótese de a média ser igual a um determinado valor em que rejeitamos a hipótese sempre que o valor obtido para a média se situe na área de probabilidade de 2,5%, acima ou abaixo do valor previsto. Neste caso, dizemos que estamos na presença de um teste de duas caudas (não direccional), em que o valor de α é repartido pela cauda superior e pela cauda inferior. Podemos, ainda, testar a hipótese de o valor da média ser maior ou igual ou menor ou igual a um determinado valor previsto. Nestes casos, estamos a trabalhar com um teste de uma cauda (direccional), em que rejeitamos a hipótese nula se o valor obtido para a média se situa na área de probabilidade de 5% referente à cauda inferior e superior, respectivamente. Apresentaram-se exemplos de diversos testes direccionais e não direccionais, ao mesmo tempo que recorremos à tabela de áreas da distribuição normal para identificação dos valores críticos associados a cada teste. Já discutimos o facto de o erro de tipo I poder ser limitado pela escolha de um nível de significância adequado. Porém, no que respeita ao erro de tipo II este só pode ser evitado se nunca rejeitarmos a hipótese nula, o que na maioria dos casos não pode ser evitado. Assim, a melhor maneira de perceber este tipo de erro é através de curvas características que nos traduzem a alteração do valor do erro, com o grau de proximidade entre o valor real do parâmetro na população e o valor obtido para a amostra. A probabilidade associada ao poder discriminatório de um teste (aceitação da hipótese alternativa verdadeira) é definida como a potência de um teste. Ilustrou-se graficamente a variação da potência de um teste, em função do grau de afastamento entre o valor real do parâmetro na população e a nossa estimativa para esse mesmo parâmetro.

10 Bibliografia recomendada Para apoio a esta disciplina, propõe-se a utilização de obras de elevada qualidade e clareza na apresentação dos temas. Além disso, os autores destas obras apresentam uma formação de base na área da Biologia e das Ciências da Vida, pelo que os exemplos utilizados se adequam a estudantes de Biologia. a) Zar, J. (1999). Biostatistical Analysis, 4th Edition, Prentice Hall Press, Upper Saddle River, NJ. Esta obra fornece uma abordagem detalhada dos métodos de análise estatística utilizados pelos investigadores, para recolherem, resumirem, analisarem e tirarem conclusões acerca de dados biológicos. Esta obra é um instrumento central nesta disciplina e que simultaneamente funcionará, certamente, como obra de referência numa futura carreira científica. Pela vasta colecção de técnicas de análise de dados adequadas à biologia, esta obra é um importante livro introdutório de base, para o qual não se requere um conhecimento prévio de estatística. Além disso, é também uma referência para os conceitos e métodos de análise estatística de uso profissional nas diversas áreas da Biologia. Cada capítulo inclui exemplos ilustrativos (baseados em dados biológicos) dos diferentes métodos de análise, assim como problemas resolvidos, para além de diversas tabelas estatísticas apresentadas em anexo. b) Dytham, C. (1999). Choosing and Using Statistics: A Biologist's Guide. Blackwell Scientific Press, UK Um manual para todo o biólogo que pretender processar dados, usando um programa de computador para análise estatística, seleccionar os métodos apropriados e extrair a informação relevante dos relatórios, frequentemente confusos, que são produzidos por esses mesmos programas. O autor destaca a importância do projecto experimental, da obtenção dos dados, e da interpretação dos resultados, colocando mais ênfase na utilização de alguns programas de estatística mais comuns (SPSS, MINITAB, e Microsoft Excel) do que no modo como os cálculos são efectuados. c) Afifi, A.A., M. Lee, G. Cobb (1998). An Electronic Companion to Biostatistics. Cogito Learning Media, Inc., New York. Esta obra, constituída por um CD e por um livro, revela-se como o complemento ideal para qualquer livro de estatística ao permitir a demonstração, revisão e avaliação interactiva de conceitos-chave estatísticos.

11 Por isso, permite ao professor demonstrar, de modo claro e acessível, os mais diversos conceitos e métodos associados à aplicação da estatística. O estudante encontrará no CD um utilitário precioso para revisão e autoavaliação de conhecimentos. Páginas da internet recomendadas Para além da bibliografia clássica anteriormente referenciada, serão recomendados aos estudantes diversos endereços da Internet, apresentados sucintamente nesta secção, que pelo seu conteúdo poderão complementar eficazmente a formação dos estudantes.

12 a) Juha Puranen é professor de Estatística, no Departamento de Psicologia da Universidade de Helsinquia, Finlândia. No decurso da sua actividade docente constatou o enorme potencial da Internet como veículo de informação para fins pedagógicos. De facto, a Internet permite um contacto mais fácil entre docentes, a permuta de informações e técnicas pedagógicas, permitindo simultaneamente a utilização de novas formas de apresentar e visualizar fenómenos estatísticos. Ao constatar as dificuldades associadas à selecção dessa informação disponibilizada via Internet, decidiu organizar e catalogar, à semelhança de muitos outros, a informação existente. Este processo de catalogação deu origem a esta página, onde como se constata, que a informação está organizada em grandes grupos que dão acesso a um conjunto de páginas relacionadas pelo conteúdo. Esta página é um auxiliar precioso, quer para o professor quer para o estudante, no acesso ao vasto universo de informação disponível via Internet.

13 b) Donald K. Price do Laboratório de Investigação Genética da Universidade do Hawaii é professor de Bioestatística e autor da página acima referenciada. Neste endereço, é possível encontrar material de estudo, sob a forma de sumários desenvolvidos, abrangendo a maior parte dos tópicos propostos para a disciplina. O autor indica, ainda, como bibliografia, parte das obras aconselhadas para esta disciplina. A clareza da apresentação dos assuntos torna estas páginas uns excelentes pontos de integração para um estudo mais aprofundado das matérias indicadas.

14 c) Esta página contém um artigo resumindo os temas discutidos no Third International Applied Statistics in Industry Conference, em Dallas, EUA, de 5-7 de Junho de Diversos assuntos são abordados de modo crítico, pretendendo-se desmistificar a ideia, erroneamente enraizada, de que com a estatística é possível provar tudo. De facto, esta ideia perversa resultante do uso incorrecto da estatística. Este trabalho deverá ser lido e discutido, em conjunto com os estudantes, numa fase final da disciplina, dado o seu papel integrador e a diversidade e relevância dos assuntos abordados, como por exemplo: clareza na apresentação gráfica dos dados; amostragem representativa da população; compreensão e validação dos pressupostos dos testes utilizados na análise dos dados; utilização racional da notação numérica, para não confundir precisão com exactidão; reforço da replicação, quando se efectuarem grande número de comparações múltiplas; fixação dos objectivos da análise, evitando a sedução da utilização de asteriscos nas tabelas; dar mais importância à grandeza dos valores dos testes do que aos valores de p.

15 d) Glossário básico de parâmetros e termos estatísticos, em que as definições são acompanhadas por figuras ilustrativas. Não é exigido qualquer conhecimento prévio de estatística para a consulta do glossário, pois os conceitos podem ser consultados de acordo com uma sequência lógica, integradora de conhecimentos, ou por ordem alfabética, para utilizadores familiarizados com a aplicação de métodos estatísticos. O glossário foi desenvolvido como complemento à aplicação multimédia sobre estatística, intitulada Statistics explained, do Dr. Howard S. Hoffman.

16 e) Glossário de nível básico/intermédio de conceitos estatísticos, muito bem elaborado, que pretende esclarecer o utilizador sobre o significado de alguns conceitos e expressões correntes em estatística. Nos conceitos associados ao teste de hipóteses, além de apresentar informação detalhada sobre os pressupostos dos testes, refere também quais as abordagens a utilizar para testar e validar a utilização de um determinado teste. No caso de violação dos pressupostos da aplicação do teste, indicam-se, por vezes, métodos alternativos de análise. Este glossário destina-se, sobretudo, a utilizadores com conhecimentos básicos de estatística.

17 f) Glossário avançado de métodos e conceitos estatísticos desenvolvido pela StatSoft (responsáveis pela pelo desenvolvimento da aplicação STATISTICA). Este glossário inclui informação detalhada sobre uma grande diversidade de métodos, dos mais simples aos mais elaborados. O glossário apresenta informação detalhada sobre os pressupostos, métodos numéricos utilizados (incluindo as fórmulas de cálculo sempre que tal se justifique) e abordagens alternativas para a análise dos dados. Pressupõe que o utilizador possua uma sólida cultura estatística, dada a complexidade com que, por vezes, os assuntos são abordados. Apesar de ser uma referência a reter, deve ser utilizada principalmente em situações em que se pretende um maior aprofundamento dos métodos estatísticos utilizados na análise dos dados.

18 g) WebStat 2.0 é uma aplicação estatística escrita em Java e acessível gratuitamente via Internet, cujos destinatários finais são essencialmente estudantes e professores de disciplinas de estatística. O facto de ser gratuito e incluir diversos métodos de apresentação e análise de dados, faz com que seja um instrumento essencial do ponto de vista pedagógico, para ilustrar a aplicação dos métodos estatísticos. Além disso, pelo facto de poder ser acedido de qualquer lugar que disponha de acesso à Internet, permite que os estudantes possam complementar a sua formação em horário extracurricular. As potencialidades gráficas da aplicação permitem efectuar, por exemplo, gráficos de barras, histogramas e diversos tipos de diagramas de dispersão, para além de muitos outros tipos de gráficos. Numericamente, podemos calcular diversos parâmetros de estatística descritiva, teste z, teste t, proporções, tabelas de contingência, regressão linear simples e múltipla, ANOVA unifactorial, inferências sobre variância. A versatilidade da aplicação traduz-se na sua facilidade de utilização, com possibilidade de, em qualquer momento, obter informação detalhada sobre cada um métodos estatísticos, e na possibilidade de gravar e imprimir os resultados.

19 h) Statlets 1.0 é uma aplicação desenvolvida inteiramente em Java, da autoria de NWP Associates, Inc., que foi aperfeiçoada e disponibilizada, na sua versão 2.0 ( pela Statistical Graphics Corporation. Estas aplicações, tal como a anterior, são grátis e podem ser utilizadas, com enormes vantagens, para fins pedagógicos nas aulas teóricopráticas. Statlets é constituído por applets representativas de um conjunto de técnicas e métodos estatísticos mais vasto que o anterior. Esta aplicação disponibiliza ajuda detalhada online relativamente à aplicação de cada um dos métodos estatísticos passíveis selecção.

20 i) Este é um excelente exemplo de como a Internet pode ser um instrumento versátil e pedagógico. O professor Richard Lowry disponibilizou duas páginas pedagogicamente complementares, para o ensino da estatística. A primeira página (acima à esquerda) apresenta-nos uma versão em hipertexto de um manual de estatística bastante completo e interactivo. A segunda (abaixo à direita) demonstra-nos numericamente os princípios estatísticos enunciados na primeira e permite-nos mesmo fazer a análise de dados em tempo real. A sua actualização constante, assim como o cuidado e a minúcia envolvidos na apresentação das páginas, faz delas elementos de estudo motivadores e acessíveis a qualquer estudante.

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22 ANEXO: FICHAS DE TRABALHO PARA AS AULAS TEÓRICO-PRÁTICAS

23 Ficha 1. Conceitos de Bioestatística e estatística descritiva A. Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. 1. A velocidade de um animal em Km/h é um dado ordinal. 2. O número da camisola de um jogador de futebol é um dado nominal. 3. Os números das salas num edifício são dados intervalados. 4. O resultado final de um torneio (posição) é um dado ordinal. 5. Os dados nominais e os dados ordinais devem ser numéricos. 6. Os dados intervalados e fraccionários devem ser numéricos. 7. População é o conjunto de todos os indivíduos com interesse num estudo particular. 8. A amostra deve ser maior do que a população. 9. Os métodos de sumariação de dados constituem a estatística descritiva. 10. A utilização de probabilidades permite fazer afirmações acerca da precisão da estatística inferencial. B. Indique qual das medidas envolve dados nominais. 1. A matrícula de um automóvel. 2. A velocidade de uma gazela. 3. A média de licenciatura. 4. A cor de uma planta. C. Indique qual das medidas envolve dados ordinais. 1. O resultado de um jogo de futebol. 2. A altura de um mastro de bandeira. 3. O peso de um peixe. 4. O número de artículos da antena de um insecto. D. Quando recolhemos um subconjunto de todos os elementos com interesse. estamos na presença de: 1. População. 2. Amostra. 3. Inferência estatística. 4. Descrição estatística E. A estatística descritiva está relacionada com: 1. Tirar conclusões de uma população com base numa amostra. 2. Resumir e apresentar dados. 3. Inferências estatísticas. F. As inferências estatísticas estão relacionadas com: 1. Tirar conclusões acerca da população com base na informação da amostra. 2. Resumir e apresentar dados. G. A tabela abaixo apresenta o tamanho de recém-nascidos de aves, em via de extinção, criados em dois habitats diferentes, e medidas com uma aproximação de 0,1 cm. Os valores da 1.ª coluna são de aves criadas num habitat sem perturbações de florestas nativas, enquanto que os valores da 2.ª coluna se referem a aves criadas num ambiente perturbado por actividades diversas e em que foram introduzidas novas plantas e animais. 23

24 Guia de Estudo - Epidemiologia e Bioestatística Primeiro Bloco Habitat de alta qualidade Habitat de baixa qualidade 51,2 27,3 51,6 25,9 48,9 39,2 50,4 47,1 51,1 16,4 52,8 51,5 48,9 43,6 48,5 52,7 47,8 41,2 47,9 43,7 1. A que se refere o valor de 0,1 cm mencionado anteriormente? 2. Calcule manualmente a média, mediana, variância e desvio-padrão de ambas as colunas apresentando os cálculos. 3. Introduza os seus dados no programa STATLETS. 4. Calcule a média, mediana, variância e desvio-padrão utilizando a opção Summarize>Statistics. 5. Compare os valores obtidos. 6. Produza um histograma para as duas colunas manualmente. 7. Crie o mesmo Histograma utilizando a opção Plot>Barcharts and Piecharts. 8. Escreva um parágrafo acerca dos resultados obtidos e dos métodos utilizados. 24

25 Guia de Estudo - Epidemiologia e Bioestatística Primeiro Bloco Ficha 2. Distribuições discretas de probabilidades A. O acesso dos estudantes a uma instituição é determinado por três entrevistas. Os resultados de cada entrevista podem ser: aceite ou recusado. 1. Quais os resultados experimentais possíveis? 2. Defina uma variável que represente o número de aceitações. Esta variável é discreta ou contínua? 3. Qual o valor da variável para cada um dos resultados possíveis? B. Considere um teste binomial, em que p = 0,4 e f(x 0 )=P(X=x 0 ). 1. Represente a árvore correspondente a duas repetições do teste. 2. Calcule a probabilidade de um sucesso f(1). 3. Calcule f(0). 4. Calcule f(2). 5. Calcule a probabilidade de, pelo menos, um sucesso. 6. Calcule o valor esperado, a variância e o desvio-padrão. C. Considere um teste binomial em que n = 4 e p = 0,15 e f(x 0 )=P(X=x 0 ). Calcule a probabilidade de: 1. Não ter sucesso. 2. Um sucesso. 3. Dois ou mais sucessos. D. Considere a distribuição de Poisson com µ=3 em que f(x 0 )=P(X=x 0 ). 1. Escreva a distribuição de Poisson correspondente 2. Calcule f(2). 3. Calcule f(1). 4. Calcule P(x>=2). E. Uma empresa recebe 48 chamadas telefónicas por hora. 1. Calcule a probabilidade de receber 3 chamadas em 5 minutos. 2. Calcule a probabilidade de receber 10 chamadas em 15 minutos. 3. Suponha que não há chamadas à espera. Se a telefonista demorar 5 minutos a terminar a chamada que tem em linha diga quantas chamadas estarão à espera nessa altura? Qual a probabilidade de não estar nenhuma chamada à espera? 4. Se a telefonista não tiver nenhuma chamada em linha, qual é a probabilidade de ela parar 3 minutos sem ser interrompida? 25

26 Guia de Estudo - Epidemiologia e Bioestatística Primeiro Bloco Ficha 3. Teorema dos limites centrais e Intervalos de confiança Utilize o programa BIOMLAB e WEBSTAT para responder às seguintes questões: A. Módulo Central Limit Theorem do BIOMLAB 1. Efectue amostragens com m=100 e n=2 de uma distribuição lognormal com µ =0 e s 2 =1. Verifique o alongamento da distribuição (g1 deve ser positivo, i.e. distribuição desfasada para a direita, e em geral estatisticamente diferente de zero). Retire amostras com n=30 observações e repare na redução do alongamento do histograma, e no facto de que g1 é geralmente menor (e a maior parte das vezes não é estatisticamente diferente de zero). Repita o processo com n=100 e anote a redução de grandeza de g1 (que geralmente não será significativa). Discuta os resultados obtidos. 2. Efectue amostragens com m=100 e n=1, 10, 100, 1000 de distribuições normais, uniformes e lognormais. Registe, para cada amostragem, os valores de g1 e de g2 assim como a forma geral dos histogramas. Compare e discuta os resultados obtidos. 3. Efectue amostragens com m=30 e n=5, 10, 20, 40 e 100 de uma distribuição normal para cada amostragem (µ=0 e s 2 =1). Para cada amostragem, registe a variância das médias. Realize um gráfico destas variâncias em função de m. Repita o processo anterior para amostras de distribuições uniformes. Explique os seus resultados. B. Módulo Confidence Limits do BIOMLAB 1. Calcule m=500 intervalos de confiança para a média, baseado em n=5 observações e anote os resultados obtidos. Repita o exercício com n=50 e compare os resultados. Indique o que encontra de diferente nos resultados das duas experiências e o que permaneceu constante (com um desvio minimamente aceitável). 2. Comente a seguinte afirmação: O intervalo de confiança de 1,23 a 4,56, para a variável X, tem 95% de probabilidade de ser correcto. 3. Calcule 100 limites de confiança com e sem utilização da variância da amostra. Repita esta experiência diversas vezes. Em que é que os resultados diferem? Discute as vantagens e desvantagens de utilização da variância da amostra relativamente à verdadeira variância da população. 26

27 Guia de Estudo - Epidemiologia e Bioestatística Primeiro Bloco Ficha 4. Distribuições contínuas de probabilidades (Distribuição normal e distribuições de amostragem) A. Sabendo que z é a variável normal padrão, calcule as probabilidade de z para: 1. P(-1,98 <= z <= 0,49). 2. P(0,52 <= z <=1,22). 3. P(-1,75 <= z <= -1,04). B. Sabendo que z é a variável normal padrão calcule os valores de z quando: 1. A área à esquerda de z é 0, A área entre 0 e z é de 0, A área à direita de z é 0, A área à esquerda de z é 0, A área à direita de z é 0,6915. C. Uma amostra de tamanho n=36 foi retirada de uma população com média de 100 e desvio-padrão de 12. Calcule a probabilidade de uma amostra ter uma média superior a 105. D. Uma amostra ao acaso de 50 elementos apresenta uma média de 32 e um desvio-padrão de Calcule o intervalo a 90%. 2. Calcule o intervalo a 95%. 3. Calcule o intervalo a 99%. E. Os seguintes dados constituem uma amostra de oito valores retirados de uma população 10, 8, 12, 15, 13, 11, 6, 5. Calcule: 1. A estimativa da média da população. 2. A estimativa do desvio-padrão da população. 3. O intervalo a 95% da população. F. Retirou-se uma amostra de 50 indivíduos de uma população cujo comprimento médio se presume ser de 15 cm. O comprimento médio observado na amostra é 14,2 cm com um desvio-padrão de 5. Pretende-se testar se a média da amostra difere da média da população 1. Utilizando um α de 0,05, qual é a regra de rejeição? 2. Calcule o valor para o teste estatístico z. 3. Qual o valor de p? 4. Qual a conclusão do teste? 27