EQUILÍBRIO DE NASH: CONTRIBUIÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO MATEMÁTICO
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- Mafalda de Vieira Estrela
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1 EQUILÍBRIO DE NASH: CONTRIBUIÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO MATEMÁTICO GT 06 - Formação de professores de matemática: práticas, saberes e desenvolvimento profissional Elisangela Fouchy Schons, UNIFRA, lisa.schons@gmail.com Roseliane Forgiarini Guedes, UNIFRA, anefguedes@hotmail.com Rosi Brandão Costa, UNIFRA, rosim@cpovo.net Vanilde Bisognin,UNIFRA, vanilde@unifra.br Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar os resultados de uma pesquisa que foi desenvolvida com acadêmicos do Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática com a finalidade de investigar a utilização do Equilíbrio de Nash para o desenvolvimento do pensamento matemático. De acordo com uma abordagem metodológica qualitativa, os instrumentos utilizados para obtenção dos dados foram as observações do trabalho em sala de aula e as produções dos alunos acerca das atividades propostas. Da análise dos dados coletados pode-se concluir que a utilização da estratégia contribuiu para o desenvolvimento do pensamento matemático e que pode ser utilizado como uma metodologia de trabalho em sala de aula em todos os níveis de ensino. Palavras-chave: Equilíbrio de Nash; Jogos; Pensamento matemático. Introdução Os jogos sempre fizeram parte da vida do ser humano, pois são estimulantes, desenvolvem habilidades cognitivas, motoras, verbais, cooperativas, de estratégia, despertando muito interesse por quem os pratica. Este tipo de atividade desenvolve múltiplas inteligências, conforme estudos de Antunes (2006) que dedicou uma coleção de obras de sua autoria sobre esse assunto, em particular a lógico-matemática. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998) alguns caminhos devem ser seguidos para o desenvolvimento do pensamento matemático em sala de aula. Entre estas estratégias destaca-se as atividades com jogos. Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a
2 criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas (BRASIL, 1998, p. 46). Por meio dos jogos, os alunos conseguem trabalhar de forma natural, sem medo de errar ou perder, uma vez que suas técnicas inerentes ao seu desenvolvimento poderão ser aplicadas sem a intervenção do professor para indicar se os caminhos estão certos ou errados. Assim, é possível errar sem medo, pois é apenas uma brincadeira. Este tipo de atividade serve para fortalecer e estimular a participação dos alunos e permite que o professor proporcione o desenvolvimento de habilidades desses que, muitas vezes, não é possível no trabalho tradicional da sala de aula. De acordo com Almeida (1990), desde a Antiga Grécia com Platão, passando por Montaigne, Comênio, Rousseau, Pestalozzi, Froebel, Dewey, Montessori, Piaget, Wallon consideram as atividades lúdicas nas escolas uma etapa importante para o desenvolvimento intelectual, da cooperação, da auto-expressão, da curiosidade, da formação do caráter e da personalidade. Para Paulo Freire: Há uma pluralidade nas relações do homem com o mundo, na medida em que responde à ampla variedade dos seus desafios. Em que não se esgota num tipo padronizado de resposta (FREIRE, 1991, p ). Isso nos leva a refletir sobre a necessidade de se proporcionar recursos didáticos que valorizem a produção individual e/ou coletiva do saber dos alunos dentro da sala de aula, além do compartilhamento dos conhecimentos prévios que cada um traz consigo e que possa haver uma troca de saberes por meio dessas relações, o que é possível por meio da ludicidade. Com o jogo, os alunos precisam interagir uns com os outros, opinar, expor suas ideias, trabalhar de forma cooperada, respeitar regras, criar planos de ação, respeitar resultados, contestar respostas. Além disso, os alunos adquirem uma atitude ativa perante as atividades lúdicas, pois na maioria das vezes, estes são meros espectadores das ações escolares. Por volta de 1950, John Nash desenvolveu uma proposta diferente para os jogos, chamada de Equilíbrio de Nash, e como o próprio nome sugere, há um equilíbrio nas
3 jogadas dos adversários, ou seja, nenhum dos adversários poderá melhorar sua estratégia de jogo após saber a estratégia do outro jogador. Este trabalho tem como objetivo analisar a contribuição da estratégia do Equilibrio de Nash para o desenvolvimento do pensamento matemático. Procedimentos metodológicos Esta pesquisa classifica-se como qualitativa, quanto a forma de abordar o problema, onde as investigadoras interagiram com os agentes pesquisados e analisaram o pensamento matemático dos alunos que fizeram parte da pesquisa. A experiência foi desenvolvida com alunos do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática, na disciplina de Fundamentos de Álgebra, da UNIFRA, localizada na cidade de Santa Maria, no Rio Grande do Sul, durante o 2 o semestre de A estratégia utilizada na sala de aula foi a aplicação dos jogos seguindo as ideias de Nash. A coleta de dados foi obtida a partir das observações realizadas. Desenvolvimento do trabalho Para a realização da pesquisa a turma, composta de 9 alunos, foi dividida em três grupos de três alunos. Inicialmente foi apresentado ao grande grupo os problemas para resolução seguido de comentários sobre o trabalho do matemático John Nash e sua teoria. A teoria de Nash tem muitas aplicações em problemas nas ciências sociais e, segundo o autor, contribuem para o desenvolvimento do pensamento matemático e que podem ser usados na sala de aula em todos os níveis de ensino. Um exemplo bem conhecido de tais problemas é o dilema dos prisioneiros, no qual os jogadores têm duas estratégias cada um: JOGO 1 1 : 1 Tradução feita pelas pesquisadoras do artigo El rincón de los problemas:juegos, estrategias e intuición,da revista Unión, n o 23, set. 2010, p
4 Dois suspeitos foram presos e acusados de um crime. Não há evidências suficientes para condená-los, assim a decisão de condená-los a certo tempo na prisão ou libertá-los, será tomada com base no que declaram os suspeitos. Os suspeitos são bloqueados, sem chance para se comunicar um com o outro e são informados que são susceptíveis a confessar ou não confessar. Se nenhum confessar, ambos serão condenados por um delito menor e condenados a um ano de prisão, se ambos confessarem, serão condenado a seis anos de prisão cada um, pelo crime cometido, e se um confessa e o outro não, o que confessa, será dada a liberdade e o que não confessar será condenado a nove anos de prisão. Se os dois suspeitos tomarem sua decisão racionalmente, qual das opções eles escolheriam? Confessar ou não confessar? Inicialmente a tendência dos alunos foi apontar a solução em que um dos prisioneiros tivesse vantagem. Nesta linha de pensamento foi excluído a ideia de que ambos poderiam ganhar. Prevaleceu a opinião de que em se tratando de um jogo sempre deve haver um ganhador. Após discussões e questionamentos entre o grupo de alunos e as pesquisadoras, estabeleceu-se as seguintes possíveis soluções, indicando-se por números negativos os anos de prisão e por zero a liberdade. Assim, o quadro abaixo apresenta as possibilidades de ganhar a liberdade ou perdê-la. Não confessar Confessar Não confessar (-1, -1) (-9, 0) Confessar (0, -9) (-6, -6) Depois de analisadas, a visualização das possibilidades e apresentada a teoria de Nash, denominada Equilibrio de Nash, os alunos concluíram que embora para ambos prisioneiros seja melhor optar por não confessar, a racionalidade os leva a confessar, visto que desta forma o ganho de cada um por não confessar é sempre menor do que se confessar (-1 é menor do que 0 e -9 é inferior a -6). Essa forma de raciocínio na linguagem da teoria dos jogos é expressa por "a estratégia de não confessar é estritamente dominada pela estratégia de confessar. "
5 Após a realização desse jogo e o conhecimento da teoria de Nash foi apresentado aos alunos um outro problema para que eles colocassem em prática o que foi discutido. JOGO 2 2 : JOGADOR 1: Possui 3 fichas para jogar: branca, preta, marrom JOGADOR 2: Possui 3 fichas para jogar: vermelha, amarela, verde Cada jogador colocará em uma caixa uma das fichas que possui, de uma só vez e com a combinação de fichas que obtiver, somará pontos. O quadro abaixo representa as possibilidades de jogo: Vermelha(J2) Amarela(J2) Verde(J2) Branca(J1) (1,9) (3,4) (3,8) Preta(J1) (2,4) (0,4) (4,6) Marrom(J1) (3,5) (2,6) (3,4) 1) Se o jogador 1 colocar sua ficha branca, ganhará 1, 3 ou 3 unidades monetárias se o jogador 2 colocar sua ficha vermelha, amarela ou verde respectivamente. Em cada um desses casos, ganha o jogador 2 e será 9, 4 ou 8 unidades monetárias respectivamente. 2) Se o jogador 1, coloca sua ficha preta, ganhará 2, 0 ou 4 unidades monetárias se o jogador 2 colocar sua ficha vermelha, amarela ou verde respectivamente. Em cada um desses casos, ganha o jogador 2, que será de 4, 4 ou 6 unidades monetárias respectivamente. 3) Se o jogador 1 coloca sua ficha marrom, ganhará 3, 2 ou 3 unidades monetárias, sendo que o jogador 2 ganhará 5, 6 ou 4 unidades monetárias respectivamente. 4) Os jogadores conhecem as regras mas ninguém sabe o que o outro jogará. 2 Tradução feita pelas pesquisadoras do artigo El rincón de los problemas:juegos, estrategias e intuición,da revista Unión, n o 23, set. 2010, p
6 A solução desse jogo tornou-se mais difícil, pois não existem estratégias estritamente dominadas para nenhum dos jogadores. Foi observado pelos alunos que em todas as combinações a vitória seria do jogador 2, mas que era necessário que se chegasse a uma solução que fosse interessante aos dois jogadores, ou seja, uma solução racional, e para ajudar a chegar a essa solução foi construído pelo grupo um quadro com as possíveis possibilidades: J2 VERMELHA AMARELA VERDE J1 MARROM BRANCA PRETA J1 BRANCA PRETA MARROM J2 VERMELHA VERDE AMARELA A partir desse quadro e do uso da teoria de Nash o grupo percebeu que a melhor opção de jogada era preta para o J1 e verde para o J2, pois verde-preta está na 1ª lista e preta-verde na 2ª lista e dessa forma a melhor solução era preta-verde. Segundo Jurado (2010): A dificuldade em explicar como chegam a essa solução é a ausência de formalização ou algoritmos, que se qualificam como tal solução. Pôde-se, a partir desse jogo, colocar aos participantes da pesquisa, que esta ausência de formalização é uma parte fundamental na aprendizagem da teoria dos jogos, pois faz com que os alunos busquem uma maneira mais cuidadosa de raciocínio porque não é necessário que se conheça definições formais, nem técnicas que, quando são dadas desde o início faz com que se chegue a uma aprendizagem puramente dedutiva e às vezes uma aplicação mecânica destas técnicas. Conclusão O Equilíbrio de Nash é pouco conhecido e, dessa forma, não é utilizado como estratégia nas atividades escolares que envolvem os jogos. Geralmente, por intuição ou por
7 indução, buscamos um vencedor, fazendo com que o pensamento matemático não seja desenvolvido. Os resultados da pesquisa demonstraram que todos os participantes levaram em consideração, no primeiro momento, apenas o melhor resultado para um dos jogadores, excluindo-se a possibilidade de equilíbrio nos resultados dos jogos. Para todos, o fundamental era ver qual jogador seria o vencedor. A estratégia aplicada no Equilíbrio de Nash não era conhecida pelos alunos e, portanto, todos tiveram dificuldade de entendê-la no início. Mas tão logo foi explicado a técnica, os acadêmicos conseguiram encontrar as respostas para os jogos e acharam bastante útil o uso desta para o desenvolvimento do pensamento matemático e que pode ser usada em qualquer nível de ensino para trabalhar o raciocínio dos alunos. Referências ALMEIDA, Paulo Nunes. Educação Lúdica: técnicas e jogos pedagógicos. São Paulo: Ed. Loyola, 1990 ANTUNES, Celso. Inteligências múltiplas e seus jogos: inteligência lógico-matemática. Petrópolis. RJ: Vozes, BRASIL. Ministério de Educação e do Desporto. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: SEF, D AMBRÓSIO, U. In.: BORBA, M. e ARAÚJO, J.L. (orgs) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, p.11-23, 2004 FREIRE, Paulo. Educação com prática da liberdade. Rio de Janeiro: Paz e Terra, REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA. UNIÓN. Peru: Pontificia Universidad Católica del Perú. Set.2010.
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