Bernardo Kulnig Pagnoncelli 1 e Humberto José Bortolossi 2

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1 Uma Introdução à Otimização sob Incerteza Bernardo Kulnig Pagnoncelli 1 e Humberto José Bortolossi 2 1 Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 2 Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense III Bienal da SBM Universidade Federal de Goiânia 6 a 11 de novembro de 2006

2 1 a aula

3 Sumário 1 Introdução 2 O problema do fazendeiro Introduzindo cenários EVPI e VSS 3 O problema do jornaleiro Enunciado e formulação Solução Exemplo Outras interpretações para o problema 4 Referências

4 Sumário 1 Introdução 2 O problema do fazendeiro Introduzindo cenários EVPI e VSS 3 O problema do jornaleiro Enunciado e formulação Solução Exemplo Outras interpretações para o problema 4 Referências

5 O que é otimização? Segundo J.L. Nazareth, Optimization is the art, science, and mathematics of finding the best member of a finite or infinite set of possible choices, based on some objective measure of the merit of each choice in the set. A área de otimização tem uma longa história de sucesso, tanto no plano teórico quanto nas aplicações.

6 O que é otimização? Segundo J.L. Nazareth, Optimization is the art, science, and mathematics of finding the best member of a finite or infinite set of possible choices, based on some objective measure of the merit of each choice in the set. A área de otimização tem uma longa história de sucesso, tanto no plano teórico quanto nas aplicações.

7 O que é otimização? Segundo J.L. Nazareth, Optimization is the art, science, and mathematics of finding the best member of a finite or infinite set of possible choices, based on some objective measure of the merit of each choice in the set. A área de otimização tem uma longa história de sucesso, tanto no plano teórico quanto nas aplicações.

8 Seleção de portfólio O modelo de Markowitz (1952): minimizar σp 2 = xt Vx sujeito a x t µ = R p, x T ½ = 1. As incertezas µ e V são definidas à priori, usando por exemplo séries históricas dos ativos. É possível incorporá-las ao modelo de alguma forma?

9 Seleção de portfólio O modelo de Markowitz (1952): minimizar σp 2 = xt Vx sujeito a x t µ = R p, x T ½ = 1. As incertezas µ e V são definidas à priori, usando por exemplo séries históricas dos ativos. É possível incorporá-las ao modelo de alguma forma?

10 Seleção de portfólio O modelo de Markowitz (1952): minimizar σp 2 = xt Vx sujeito a x t µ = R p, x T ½ = 1. As incertezas µ e V são definidas à priori, usando por exemplo séries históricas dos ativos. É possível incorporá-las ao modelo de alguma forma?

11 A resposta é dada por otimização estocástica. É uma área voltada para a modelagem e resolução de problemas que envolvem incertezas. Diferentemente de otimização determinística, as incertezas estão explicitamente descritas nos modelos através de variáveis aleatórias. Ao invés de definições formais, vamos começar com uma aplicação de otimização estocástica.

12 A resposta é dada por otimização estocástica. É uma área voltada para a modelagem e resolução de problemas que envolvem incertezas. Diferentemente de otimização determinística, as incertezas estão explicitamente descritas nos modelos através de variáveis aleatórias. Ao invés de definições formais, vamos começar com uma aplicação de otimização estocástica.

13 A resposta é dada por otimização estocástica. É uma área voltada para a modelagem e resolução de problemas que envolvem incertezas. Diferentemente de otimização determinística, as incertezas estão explicitamente descritas nos modelos através de variáveis aleatórias. Ao invés de definições formais, vamos começar com uma aplicação de otimização estocástica.

14 Sumário 1 Introdução 2 O problema do fazendeiro Introduzindo cenários EVPI e VSS 3 O problema do jornaleiro Enunciado e formulação Solução Exemplo Outras interpretações para o problema 4 Referências

15 O problema do fazendeiro João é um fazendeiro especializado em três culturas: trigo, milho e cana-de-açúcar. Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus 500 ha de terras. Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.

16 O problema do fazendeiro João é um fazendeiro especializado em três culturas: trigo, milho e cana-de-açúcar. Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus 500 ha de terras. Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.

17 O problema do fazendeiro João é um fazendeiro especializado em três culturas: trigo, milho e cana-de-açúcar. Ele precisa decidir durante o inverno o que plantar em seus 500 ha de terras. Cada um dos cultivos possui um custo associado, em R$/ha.

18 Duas divisões possíveis de terra milho cana-de-açúcar cana-de-açúcar trigo trigo milho

19 Restrições O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T de milho. João pode comprar milho e trigo no mercado local, a preços elevados. Seu excedente também pode vendido para atacadistas. A cana-de-açúcar pode ser vendida por 36 reais por tonelada (R$/T). O governo impõe uma cota em 6000 T. A partir desse valor a cana-de-açúcar é vendida por 10R$/T. Baseado em experiência pessoal, João sabe que os rendimentos médios de trigo, milho e cana-de-açúcar são 2.5, 3.0 e 20 T/ha respectivamente.

20 Restrições O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T de milho. João pode comprar milho e trigo no mercado local, a preços elevados. Seu excedente também pode vendido para atacadistas. A cana-de-açúcar pode ser vendida por 36 reais por tonelada (R$/T). O governo impõe uma cota em 6000 T. A partir desse valor a cana-de-açúcar é vendida por 10R$/T. Baseado em experiência pessoal, João sabe que os rendimentos médios de trigo, milho e cana-de-açúcar são 2.5, 3.0 e 20 T/ha respectivamente.

21 Restrições O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T de milho. João pode comprar milho e trigo no mercado local, a preços elevados. Seu excedente também pode vendido para atacadistas. A cana-de-açúcar pode ser vendida por 36 reais por tonelada (R$/T). O governo impõe uma cota em 6000 T. A partir desse valor a cana-de-açúcar é vendida por 10R$/T. Baseado em experiência pessoal, João sabe que os rendimentos médios de trigo, milho e cana-de-açúcar são 2.5, 3.0 e 20 T/ha respectivamente.

22 Restrições O gado precisa de pelo menos 240 T de trigo e 200 T de milho. João pode comprar milho e trigo no mercado local, a preços elevados. Seu excedente também pode vendido para atacadistas. A cana-de-açúcar pode ser vendida por 36 reais por tonelada (R$/T). O governo impõe uma cota em 6000 T. A partir desse valor a cana-de-açúcar é vendida por 10R$/T. Baseado em experiência pessoal, João sabe que os rendimentos médios de trigo, milho e cana-de-açúcar são 2.5, 3.0 e 20 T/ha respectivamente.

23 Dados para o problema do fazendeiro Trigo Milho Cana-de-açúcar Rendimento (T/ha) Custo de produção (R$/ha) Preço de venda (R$/T) ( 6000 T) 10(> 6000 T) Preço de compra (R$/T) Mínimo para o gado (T) Total de terra disponível: 500 ha

24 Enunciado O Problema do fazendeiro Encontrar uma divisão de terras que maximize o lucro do fazendeiro sujeito às restrições relativas ao gado, à cota governamental e à dimensão da propriedade.

25 Formulação determinística minimizar 150x x x y 1 170w y 2 150w 2 36w 3 10w 4 sujeito a x 1 + x 2 + x 3 500, 2.5x 1 + y 1 w 1 200, 3x 2 + y 2 w 2 240, w 3 + w 4 20x 3, w , x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,w 1,w 2,w 3,w 4 0.

26 Esse é um problema de otimização linear! Podemos escrevê-lo em AMPL, uma linguagem apropriada para otimização e fácil de aprender ( Existem resolvedores eficientes disponíveis gratuitamente ( A solução completa do problema foi obtida através do resolvedor CPLEX.

27 Esse é um problema de otimização linear! Podemos escrevê-lo em AMPL, uma linguagem apropriada para otimização e fácil de aprender ( Existem resolvedores eficientes disponíveis gratuitamente ( A solução completa do problema foi obtida através do resolvedor CPLEX.

28 Esse é um problema de otimização linear! Podemos escrevê-lo em AMPL, uma linguagem apropriada para otimização e fácil de aprender ( Existem resolvedores eficientes disponíveis gratuitamente ( A solução completa do problema foi obtida através do resolvedor CPLEX.

29 Solução do problema Trigo Milho Cana-de-açúcar Área (ha) Total produzido Total vendido Total comprado Lucro total: R$

30 Introduzindo cenários Pronto, o problema está resolvido! Mas... João não tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentos médios, afinal mudanças climáticas podem alterar bastante suas estimativas e, conseqüentemente, seus lucros.

31 Introduzindo cenários Pronto, o problema está resolvido! Mas... João não tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentos médios, afinal mudanças climáticas podem alterar bastante suas estimativas e, conseqüentemente, seus lucros.

32 Introduzindo cenários Pronto, o problema está resolvido! Mas... João não tem tanta certeza sobre os valores dos rendimentos médios, afinal mudanças climáticas podem alterar bastante suas estimativas e, conseqüentemente, seus lucros.

33 Solução ótima com rendimentos 20% acima da média. Suponha que num ano particularmente favorável, os rendimentos das culturas foram 20% acima da média. Qual é a solução do problema neste caso? Trigo Milho Cana-de-açúcar Área (ha) Total produzido Total vendido Total comprado Lucro total: R$

34 Solução ótima com rendimentos 20% acima da média. Suponha que num ano particularmente favorável, os rendimentos das culturas foram 20% acima da média. Qual é a solução do problema neste caso? Trigo Milho Cana-de-açúcar Área (ha) Total produzido Total vendido Total comprado Lucro total: R$

35 Solução ótima com rendimentos 20% acima da média. Em um ano particularmente desfavorável, os rendimentos das culturas foram 20% abaixo da média. Qual é a a solução do problema neste caso? Trigo Milho Cana-de-açúcar Área (ha) Total produzido Total vendido Total comprado Lucro total: R$59 950

36 Solução ótima com rendimentos 20% acima da média. Em um ano particularmente desfavorável, os rendimentos das culturas foram 20% abaixo da média. Qual é a a solução do problema neste caso? Trigo Milho Cana-de-açúcar Área (ha) Total produzido Total vendido Total comprado Lucro total: R$59 950

37 Sensibilidade da solução Mudanças de 20% nos rendimentos das culturas em relação ao rendimento médio fazem o seu lucro variar de R$59950 a R$ ! Pensando na cana-de-açúcar, João tem o seguinte dilema: se a área reservada para a cana-de-açúcar for muito grande e os rendimentos forem acima da média, então ele terá que vender parte da produção a um preço desfavorável. Por outro lado, se ele reservar uma área muito pequena e os rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a oportunidade de vender cana-de-açúcar a um preço favorável. Como encontrar uma solução que seja satisfatória para todos os cenários?

38 Sensibilidade da solução Mudanças de 20% nos rendimentos das culturas em relação ao rendimento médio fazem o seu lucro variar de R$59950 a R$ ! Pensando na cana-de-açúcar, João tem o seguinte dilema: se a área reservada para a cana-de-açúcar for muito grande e os rendimentos forem acima da média, então ele terá que vender parte da produção a um preço desfavorável. Por outro lado, se ele reservar uma área muito pequena e os rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a oportunidade de vender cana-de-açúcar a um preço favorável. Como encontrar uma solução que seja satisfatória para todos os cenários?

39 Sensibilidade da solução Mudanças de 20% nos rendimentos das culturas em relação ao rendimento médio fazem o seu lucro variar de R$59950 a R$ ! Pensando na cana-de-açúcar, João tem o seguinte dilema: se a área reservada para a cana-de-açúcar for muito grande e os rendimentos forem acima da média, então ele terá que vender parte da produção a um preço desfavorável. Por outro lado, se ele reservar uma área muito pequena e os rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a oportunidade de vender cana-de-açúcar a um preço favorável. Como encontrar uma solução que seja satisfatória para todos os cenários?

40 Sensibilidade da solução Mudanças de 20% nos rendimentos das culturas em relação ao rendimento médio fazem o seu lucro variar de R$59950 a R$ ! Pensando na cana-de-açúcar, João tem o seguinte dilema: se a área reservada para a cana-de-açúcar for muito grande e os rendimentos forem acima da média, então ele terá que vender parte da produção a um preço desfavorável. Por outro lado, se ele reservar uma área muito pequena e os rendimentos foram abaixo da média, então ele terá perdido a oportunidade de vender cana-de-açúcar a um preço favorável. Como encontrar uma solução que seja satisfatória para todos os cenários?

41 Forma extensa de um problema estocástico minimizar 150x x x (170w y w y w w 41 ) 1 3 (170w y w y w w 42 ) 1 3 (170w y w y w w 43 )

42 Restrições sujeito a x 1 + x 2 + x x 1 + y 11 w , 3.6x 2 + y 21 w , w 31 + w 41 24x 3, w , 2.5x 1 + y 12 w , 3x 2 + y 22 w , w 32 + w 42 20x 3, w , 2x 1 + y 13 w , 2.4x 2 + y 23 w , w 33 + w 43 16x 3, w x 1,x 2,x 3 0, y 11,y 21,y 12,y 22,y 13,y 23 0, w 11,w 21,w 31,w 41,w 12,w 22,w 32,w 42,w 13,w 23,w 33,w 43 0

43 As variáveis x i são ditas de primeiro estágio: seu valor deve ser determinado antes que se conheça a condição climática. As variáveis y is e w is são de segundo estágio: elas são escolhidas após a definição dos valores de x i e do conhecimento do clima. Elas corrigem possíveis déficits na alimentação do gado gerados pelas escolhas x i de primeiro estágio. O problema estocástico na forma extensa é linear e pode ser resolvido da mesma forma que fizemos para a formulação inicial.

44 As variáveis x i são ditas de primeiro estágio: seu valor deve ser determinado antes que se conheça a condição climática. As variáveis y is e w is são de segundo estágio: elas são escolhidas após a definição dos valores de x i e do conhecimento do clima. Elas corrigem possíveis déficits na alimentação do gado gerados pelas escolhas x i de primeiro estágio. O problema estocástico na forma extensa é linear e pode ser resolvido da mesma forma que fizemos para a formulação inicial.

45 As variáveis x i são ditas de primeiro estágio: seu valor deve ser determinado antes que se conheça a condição climática. As variáveis y is e w is são de segundo estágio: elas são escolhidas após a definição dos valores de x i e do conhecimento do clima. Elas corrigem possíveis déficits na alimentação do gado gerados pelas escolhas x i de primeiro estágio. O problema estocástico na forma extensa é linear e pode ser resolvido da mesma forma que fizemos para a formulação inicial.

46 Solução estocástica Trigo Milho Cana-de-açúcar 1 o estágio Área (ha) s = 1 Rendimento (T) (Acima) Venda (T) (preço favorável) Compra(T) s = 2 Rendimento (T) (Média) Venda (T) (preço favorável) Compra(T) s = 3 Rendimento (T) (Abaixo) Venda (T) (preço favorável) Compra(T) 48 Lucro total: R$

47 Análise da solução A solução ótima do problema estocástico não é igual a nenhuma das soluções encontradas anteriormente: (x 1,x 2,x 3 ) = (170,80,250). No caso em que os rendimentos são 20% abaixo da média, temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido a baixa produtividade. Queremos agora estudar a qualidade da solução estocástica, isto é, queremos mensurar o ganho em se considerar as variações climáticas bem como o quanto se deixa de ganhar por não se conhecer com exatidão o futuro.

48 Análise da solução A solução ótima do problema estocástico não é igual a nenhuma das soluções encontradas anteriormente: (x 1,x 2,x 3 ) = (170,80,250). No caso em que os rendimentos são 20% abaixo da média, temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido a baixa produtividade. Queremos agora estudar a qualidade da solução estocástica, isto é, queremos mensurar o ganho em se considerar as variações climáticas bem como o quanto se deixa de ganhar por não se conhecer com exatidão o futuro.

49 Análise da solução A solução ótima do problema estocástico não é igual a nenhuma das soluções encontradas anteriormente: (x 1,x 2,x 3 ) = (170,80,250). No caso em que os rendimentos são 20% abaixo da média, temos a necessidade de se comprar milho no mercado devido a baixa produtividade. Queremos agora estudar a qualidade da solução estocástica, isto é, queremos mensurar o ganho em se considerar as variações climáticas bem como o quanto se deixa de ganhar por não se conhecer com exatidão o futuro.

50 EVPI e VSS Valor esperado de informação perfeita (EVPI) O EVPI mede o quanto perdemos por não saber com exatidão o futuro. Para calculá-lo temos que fazer a média entre os rendimentos obtidos conhecendo-se cada um dos cenários climáticos e subtrair esse valor do ganho com a solução estocástica. Temos EVPI = RP WS = R$ R$ R$ = R$ 7016.

51 EVPI e VSS Valor esperado de informação perfeita (EVPI) O EVPI mede o quanto perdemos por não saber com exatidão o futuro. Para calculá-lo temos que fazer a média entre os rendimentos obtidos conhecendo-se cada um dos cenários climáticos e subtrair esse valor do ganho com a solução estocástica. Temos EVPI = RP WS = R$ R$ R$ = R$ 7016.

52 EVPI e VSS Valor esperado de informação perfeita (EVPI) O EVPI mede o quanto perdemos por não saber com exatidão o futuro. Para calculá-lo temos que fazer a média entre os rendimentos obtidos conhecendo-se cada um dos cenários climáticos e subtrair esse valor do ganho com a solução estocástica. Temos EVPI = RP WS = R$ R$ R$ = R$ 7016.

53 Valor da solução estocástica (VSS) O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocástico ao invés de assumir rendimentos médios. Para calculá-lo, pense que João é um fazendeiro teimoso: ele divide suas terras supondo que os rendimentos são os médios. Resolve-se o problema inicial para cada cenário, fixando (x 1,x 2,x 3 ) = (120,80,300). Dessa forma o VSS é dado por VSS = EEV RP R$ R$ R$ R$ = R$ 1150.

54 Valor da solução estocástica (VSS) O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocástico ao invés de assumir rendimentos médios. Para calculá-lo, pense que João é um fazendeiro teimoso: ele divide suas terras supondo que os rendimentos são os médios. Resolve-se o problema inicial para cada cenário, fixando (x 1,x 2,x 3 ) = (120,80,300). Dessa forma o VSS é dado por VSS = EEV RP R$ R$ R$ R$ = R$ 1150.

55 Valor da solução estocástica (VSS) O VSS mede o ganho em se considerar o modelo estocástico ao invés de assumir rendimentos médios. Para calculá-lo, pense que João é um fazendeiro teimoso: ele divide suas terras supondo que os rendimentos são os médios. Resolve-se o problema inicial para cada cenário, fixando (x 1,x 2,x 3 ) = (120,80,300). Dessa forma o VSS é dado por VSS = EEV RP R$ R$ R$ R$ = R$ 1150.

56 Sumário 1 Introdução 2 O problema do fazendeiro Introduzindo cenários EVPI e VSS 3 O problema do jornaleiro Enunciado e formulação Solução Exemplo Outras interpretações para o problema 4 Referências

57 Enunciado e formulação O problema do jornaleiro João tem um irmão na cidade chamado José, que é jornaleiro. Toda manhã ele vai ao editor do jornal e tem que decidir quantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia. Seu poder de compra é limitado, ou seja, ele pode comprar até uma quantidade fixa u. Além disso, os jornais não vendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preço menor do que o valor pago no início do dia.

58 Enunciado e formulação O problema do jornaleiro João tem um irmão na cidade chamado José, que é jornaleiro. Toda manhã ele vai ao editor do jornal e tem que decidir quantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia. Seu poder de compra é limitado, ou seja, ele pode comprar até uma quantidade fixa u. Além disso, os jornais não vendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preço menor do que o valor pago no início do dia.

59 Enunciado e formulação O problema do jornaleiro João tem um irmão na cidade chamado José, que é jornaleiro. Toda manhã ele vai ao editor do jornal e tem que decidir quantos jornais comprar sem saber a demanda daquele dia. Seu poder de compra é limitado, ou seja, ele pode comprar até uma quantidade fixa u. Além disso, os jornais não vendidos podem ser devolvidos ao editor, a um preço menor do que o valor pago no início do dia.

60 Formulação onde min {cx + Q(x)} 0 x u Q(x) = E ξ [Q(x,ξ)] e Q(x,ξ) = min qy(ξ) rw(ξ) sujeito a y(ξ) ξ, y(ξ) + w(ξ) x, y(ξ),w(ξ) 0.

61 Assim como no problema do fazendeiro, o problema do jornaleiro é estruturado em dois estágios: no primeiro estágio José decide quantos jornais vai comprar através da variável x. As variáveis de segundo estágio representam quanto ele conseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor (w(ξ)). José procura a quantidade ótima de jornais a comprar de forma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza de demanda.

62 Assim como no problema do fazendeiro, o problema do jornaleiro é estruturado em dois estágios: no primeiro estágio José decide quantos jornais vai comprar através da variável x. As variáveis de segundo estágio representam quanto ele conseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor (w(ξ)). José procura a quantidade ótima de jornais a comprar de forma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza de demanda.

63 Assim como no problema do fazendeiro, o problema do jornaleiro é estruturado em dois estágios: no primeiro estágio José decide quantos jornais vai comprar através da variável x. As variáveis de segundo estágio representam quanto ele conseguiu vender (y(ξ)) e quanto ele devolveu ao editor (w(ξ)). José procura a quantidade ótima de jornais a comprar de forma a maximizar seu lucro esperado sob incerteza de demanda.

64 Solução O primeiro passo para encontrar uma solução expĺıcita do problema do jornaleiro é resolver o problema de segundo estágio. A solução é imediata: y (ξ) = min{ξ,x} e w (ξ) = max{x ξ,0}. Com isso temos Q(x) = E ξ [ q min{ξ,x} r max{x ξ,0}].

65 Solução O primeiro passo para encontrar uma solução expĺıcita do problema do jornaleiro é resolver o problema de segundo estágio. A solução é imediata: y (ξ) = min{ξ,x} e w (ξ) = max{x ξ,0}. Com isso temos Q(x) = E ξ [ q min{ξ,x} r max{x ξ,0}].

66 Solução O primeiro passo para encontrar uma solução expĺıcita do problema do jornaleiro é resolver o problema de segundo estágio. A solução é imediata: y (ξ) = min{ξ,x} e w (ξ) = max{x ξ,0}. Com isso temos Q(x) = E ξ [ q min{ξ,x} r max{x ξ,0}].

67 Vamos aprender mais à frente que a função Q é convexa, contínua e, se ξ é v.a. contínua, derivável. Como estamos no intervalo [0,u], se cx + Q (0) > 0, então a derivada não troca de sinal no intervalo e solução ótima é x = 0. Se cx + Q (u) < 0, então a solução ótima é x = u. Vamos procurar por soluções de cx + Q (x) = 0.

68 Vamos aprender mais à frente que a função Q é convexa, contínua e, se ξ é v.a. contínua, derivável. Como estamos no intervalo [0,u], se cx + Q (0) > 0, então a derivada não troca de sinal no intervalo e solução ótima é x = 0. Se cx + Q (u) < 0, então a solução ótima é x = u. Vamos procurar por soluções de cx + Q (x) = 0.

69 Vamos aprender mais à frente que a função Q é convexa, contínua e, se ξ é v.a. contínua, derivável. Como estamos no intervalo [0,u], se cx + Q (0) > 0, então a derivada não troca de sinal no intervalo e solução ótima é x = 0. Se cx + Q (u) < 0, então a solução ótima é x = u. Vamos procurar por soluções de cx + Q (x) = 0.

70 Vamos aprender mais à frente que a função Q é convexa, contínua e, se ξ é v.a. contínua, derivável. Como estamos no intervalo [0,u], se cx + Q (0) > 0, então a derivada não troca de sinal no intervalo e solução ótima é x = 0. Se cx + Q (u) < 0, então a solução ótima é x = u. Vamos procurar por soluções de cx + Q (x) = 0.

71 A expressão para Q é Q(x) = x Rearrumando, temos Q(x) = (q r) ( qt r(x t))f (t)dt + x Usando integração por partes obtém-se Q(x) = qx + (q r) x qx f (t)dt. t f (t)dt rxf(x) qx(1 F(x)). x F(t)dt.

72 A expressão para Q é Q(x) = x Rearrumando, temos Q(x) = (q r) ( qt r(x t))f (t)dt + x Usando integração por partes obtém-se Q(x) = qx + (q r) x qx f (t)dt. t f (t)dt rxf(x) qx(1 F(x)). x F(t)dt.

73 A expressão para Q é Q(x) = x Rearrumando, temos Q(x) = (q r) ( qt r(x t))f (t)dt + x Usando integração por partes obtém-se Q(x) = qx + (q r) x qx f (t)dt. t f (t)dt rxf(x) qx(1 F(x)). x F(t)dt.

74 Derivando, chegamos a Q (x) = q + (q r)f(x). Finalmente, a solução do problema é x = 0, se q c q r < F(0), x = u, se ( ) q c q r > F(u), x = F 1 q c, caso contrário. q r Qualquer modelagem razoável da demanda ξ admite que ela só assume valores positivos, e portanto não temos x = 0.

75 Derivando, chegamos a Q (x) = q + (q r)f(x). Finalmente, a solução do problema é x = 0, se q c q r < F(0), x = u, se ( ) q c q r > F(u), x = F 1 q c, caso contrário. q r Qualquer modelagem razoável da demanda ξ admite que ela só assume valores positivos, e portanto não temos x = 0.

76 Derivando, chegamos a Q (x) = q + (q r)f(x). Finalmente, a solução do problema é x = 0, se q c q r < F(0), x = u, se ( ) q c q r > F(u), x = F 1 q c, caso contrário. q r Qualquer modelagem razoável da demanda ξ admite que ela só assume valores positivos, e portanto não temos x = 0.

77 Exemplo Um exemplo numérico Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10, que o preço de venda seja q = 25, que o preço de devolução seja r = 5 e que o poder de compra é u = 150. A demanda ξ é uma variável aleatória uniforme no intervalo [50,150]. A solução é x = F 1 (3/4) = 125.

78 Exemplo Um exemplo numérico Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10, que o preço de venda seja q = 25, que o preço de devolução seja r = 5 e que o poder de compra é u = 150. A demanda ξ é uma variável aleatória uniforme no intervalo [50,150]. A solução é x = F 1 (3/4) = 125.

79 Exemplo Um exemplo numérico Suponha que o custo do jornal para o jornaleiro seja c = 10, que o preço de venda seja q = 25, que o preço de devolução seja r = 5 e que o poder de compra é u = 150. A demanda ξ é uma variável aleatória uniforme no intervalo [50,150]. A solução é x = F 1 (3/4) = 125.

80 VSS Inicialmente precisamos calcular a solução ótima para ξ = 100. A solução é trivial: se a demanda é 100, então compre x = 100 jornais! Precisamos calcular o EEV, que é igual a 100 E ξ [ Q(100,ξ)] = ) = ( = 1250, ξ dξ Conclui-se que VSS = = 62.5.

81 VSS Inicialmente precisamos calcular a solução ótima para ξ = 100. A solução é trivial: se a demanda é 100, então compre x = 100 jornais! Precisamos calcular o EEV, que é igual a 100 E ξ [ Q(100,ξ)] = ) = ( = 1250, ξ dξ Conclui-se que VSS = = 62.5.

82 VSS Inicialmente precisamos calcular a solução ótima para ξ = 100. A solução é trivial: se a demanda é 100, então compre x = 100 jornais! Precisamos calcular o EEV, que é igual a 100 E ξ [ Q(100,ξ)] = ) = ( = 1250, ξ dξ Conclui-se que VSS = = 62.5.

83 EVPI Se conhecemos o valor da demanda ξ, então a solução é x = ξ. Assim, temos que WS = E ξ [cξ + qξ] = 15E ξ (ξ) = Logo, EVPI = =

84 EVPI Se conhecemos o valor da demanda ξ, então a solução é x = ξ. Assim, temos que WS = E ξ [cξ + qξ] = 15E ξ (ξ) = Logo, EVPI = =

85 EVPI Se conhecemos o valor da demanda ξ, então a solução é x = ξ. Assim, temos que WS = E ξ [cξ + qξ] = 15E ξ (ξ) = Logo, EVPI = =

86 Outras interpretações para o problema Custo marginal Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar a solução do problema por uma outra trilha. A expressão ganho marginal em economia se refere ao crescimento no lucro obtido quando se aumenta em uma unidade a quantidade vendida ou adquirida de um determinado bem. Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual é o lucro esperado na venda do k-ésimo jornal? A resposta é lucro esperado = P(ξ < k)(r c) + P(ξ k)(q c).

87 Outras interpretações para o problema Custo marginal Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar a solução do problema por uma outra trilha. A expressão ganho marginal em economia se refere ao crescimento no lucro obtido quando se aumenta em uma unidade a quantidade vendida ou adquirida de um determinado bem. Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual é o lucro esperado na venda do k-ésimo jornal? A resposta é lucro esperado = P(ξ < k)(r c) + P(ξ k)(q c).

88 Outras interpretações para o problema Custo marginal Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar a solução do problema por uma outra trilha. A expressão ganho marginal em economia se refere ao crescimento no lucro obtido quando se aumenta em uma unidade a quantidade vendida ou adquirida de um determinado bem. Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual é o lucro esperado na venda do k-ésimo jornal? A resposta é lucro esperado = P(ξ < k)(r c) + P(ξ k)(q c).

89 Outras interpretações para o problema Custo marginal Vamos usar o conceito de ganho marginal para derivar a solução do problema por uma outra trilha. A expressão ganho marginal em economia se refere ao crescimento no lucro obtido quando se aumenta em uma unidade a quantidade vendida ou adquirida de um determinado bem. Suponha que jornaleiro comprou k jornais. Qual é o lucro esperado na venda do k-ésimo jornal? A resposta é lucro esperado = P(ξ < k)(r c) + P(ξ k)(q c).

90 Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e se o lucro for positivo temos excesso de demanda. A situação ideal ocorre quando esse lucro é zero. Nesse caso temos lucro esperado = 0 = P(ξ < k)(r c) + P(ξ k)(q c) = F(k)(r c) + (1 F(k))(q c). Devemos então comprar k = F 1 ( q c q r ) jornais.

91 Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e se o lucro for positivo temos excesso de demanda. A situação ideal ocorre quando esse lucro é zero. Nesse caso temos lucro esperado = 0 = P(ξ < k)(r c) + P(ξ k)(q c) = F(k)(r c) + (1 F(k))(q c). Devemos então comprar k = F 1 ( q c q r ) jornais.

92 Se o lucro esperado for negativo temos jornais encalhados e se o lucro for positivo temos excesso de demanda. A situação ideal ocorre quando esse lucro é zero. Nesse caso temos lucro esperado = 0 = P(ξ < k)(r c) + P(ξ k)(q c) = F(k)(r c) + (1 F(k))(q c). Devemos então comprar k = F 1 ( q c q r ) jornais.

93 Estoque zerado A probabilidade de se vender todos os jornais é P({vender tudo}) = P(ξ x) = 1 F(x). Para a escolha x temos P({vender tudo}) = 1 F(x ) = 1 q c q r = c r q r. Conclui-se que se r = 0 então a quantidade de jornal a ser comprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidade de se vender todos os jornais seja igual a razão custo/preço unitário.

94 Estoque zerado A probabilidade de se vender todos os jornais é P({vender tudo}) = P(ξ x) = 1 F(x). Para a escolha x temos P({vender tudo}) = 1 F(x ) = 1 q c q r = c r q r. Conclui-se que se r = 0 então a quantidade de jornal a ser comprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidade de se vender todos os jornais seja igual a razão custo/preço unitário.

95 Estoque zerado A probabilidade de se vender todos os jornais é P({vender tudo}) = P(ξ x) = 1 F(x). Para a escolha x temos P({vender tudo}) = 1 F(x ) = 1 q c q r = c r q r. Conclui-se que se r = 0 então a quantidade de jornal a ser comprada deve ser escolhida de maneira que a probabilidade de se vender todos os jornais seja igual a razão custo/preço unitário.

96 Sumário 1 Introdução 2 O problema do fazendeiro Introduzindo cenários EVPI e VSS 3 O problema do jornaleiro Enunciado e formulação Solução Exemplo Outras interpretações para o problema 4 Referências

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