Metodologia de Anuidades Crescentes: nova proposta de análise de investimento e de fluxo de caixa

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1 RCT24.book Page 15 Thursday, January 12, :22 PM Metodologa de Anudades Crescentes: nova proposta de análse de nvestmento e de fluxo de caxa Growng Annutes Methodology: a new proposal of cash flow and nvestment analyss OLIVEIRA JORGE DE LIMA Unversdade Metodsta de Praccaba (Santa Bárbara d Oeste, Brasl) olverajlma@yahoo.com.br FELIPE ARAÚJO CALARGE Unversdade Metodsta de Praccaba (Santa Bárbara d Oeste, Brasl) fcalarge@unmep.br RESUMO O objetvo aqu é apresentar uma nova proposta de análse de nvestmento e de fluxo de caxa, utlzando a metodologa de Anudades Crescentes. Incalmente, esses concetos foram magnados apenas para a formação de fundos destnados à produção e ao fnancamento de undades resdencas, especalmente às pessoas de renda méda alta, de forma que pudessem suportar pagamentos peródcos crescentes. Avançando no estudo da análse econômca, é possível sugerr que as empresas adotem essa metodologa no processo de formação de fundos, a partr de seus lucros retdos anualmente, para substtução de equpamentos de produção, numa data futura, sem recorrer ao fnancamento bancáro. Nesse sentdo, este artgo expõe um novo processo de dedução da fórmula do Valor Presente de uma Anudade Crescente Ordnára, o que possblta smplfcar as fórmulas encontradas nessa pesqusa e, anda, deduzr duas outras para cálculo do número de períodos (n), bem como do Valor Futuro (VF), ressaltando, todava, que os autores de engenhara econômca, fnanças corporatvas e congêneres só têm abordado o cálculo do Valor Presente e do prmero pagamento ou recebmento. As Anudades Crescentes Antecpadas serão abordadas em outra oportundade, da mesma manera que as Postecpadas, como contnudade deste trabalho. Palavras-chave METODOLOGIA DE ANUIDADES CRESCENTES FLUXO DE CAIXA ANÁLISE DE INVESTIMENTO NÚMERO DE PERÍODOS. ABSTRACT The objectve of ths artcle s to present a new proposal of cash flow and nvestment analyss, by usng a growng annutes methodology. Intally, these concepts were thought only for consttutng funds, assgned to the resdental untes producton and fnancng by those persons earnng a hgh average ncome, so that they could hold ncreasng perodc deposts durng a certan tme. Advancng n the Economc Analyss study, t s possble to suggest the use of ths methodology by frms, for consttutng funds by usng ther retaned earnngs, for substtutng producton equpments, n a future date, wthout usng a bank fnancng. In ths sense, ths artcle presents a new formula to calculate the present value of a Growng Ordnary Annuty, showng how t s possble to smplfy that formula found n ths research, provdng two other dervatve formulas to calculate the number of perods, as well as the future value, besdes the present value and payments or recepts value calculatons, as t has been approached by the authors of Economc Engneerng and Corporate Fnance. The Growng Due Annutes wll be approached, n another opportunty, the same way as they were n ths artcle, as contnuty of ths work. Keywords GROWING ANNUITIES METHODOLOGY CASH FLOW INVESTMENT ANALYSIS NUMBER OF PERIODS. REVISTA DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA V. 12, Nº 24 pp

2 RCT24.book Page 16 Thursday, January 12, :22 PM 1. INTRODUÇÃO Opatrmôno das empresas compõe-se, de modo geral, de recursos humanos, materas, tecnológcos e fnanceros, sendo esses últmos gerados a partr da combnação efcente dos anterores, vsando à garanta de sobrevvênca dessas organzações. Em razão dsso, cada um desses componentes tem merecdo uma forma de gestão cada vez mas efcaz e ntegrada aos demas, combnando adequadamente o seu crescmento real, sem dexar que os efetos da nflação os dstorçam. O objetvo deste artgo é apresentar uma nova proposta de análse de nvestmento e de fluxo de caxa, na qual se utlza a metodologa das Anudades Crescentes. Incalmente, pretendeu-se empregar esses concetos apenas para a formação de fundos (fluxo de caxa), destnados ao fnancamento da produção de undades habtaconas, pelos adqurentes com renda méda alta que pudessem bancar os depóstos peródcos crescentes. Avançando-se no estudo dessa matéra, pode-se propor a adoção dessa metodologa pelas empresas, também, na formação de fundos, por um determnado prazo, para substtução de equpamentos do seu setor de produção numa data futura, valendo-se dos seus lucros retdos, em vez de contrar obrgação por fnancamento. Nesse sentdo, este artgo apresenta uma nova fórmula (3) para cálculo do Valor Presente de uma Anudade Crescente Postecpada, mostrando que é possível smplfcar as duas encontradas na pesqusa e oferecer duas outras, dervadas daquela deduzda (3), para cálculo do número de períodos (4) e do valor futuro (5), respectvamente. Isso, além de apenas calcular o Valor Presente e o Valor da Parcela Incal, demonstrados até então pelos autores de engenhara econômca e admnstração fnancera. Exemplos de aplcação dessas fórmulas, nos tens 3, 4, e 5 deste trabalho, procuram mostrar a sua prncpal contrbução, entre outras possíves. As Anudades Crescentes Antecpadas serão abordadas, numa outra oportundade, da mesma manera que o foram aqu, como contnuação deste trabalho. 2. CONCEITOS PRINCIPAIS Este artgo aborda somente as Anudades Crescentes Postecpadas. Como uma Anudade Crescente tendendo para o nfnto equvale a uma Perpetudade, alguns concetos, antes de apresentar a metodologa objeto deste trabalho, serão necessáros. 2.1 Fluxo de Caxa Um fluxo de caxa representa uma sére de pagamentos ou de recebmentos que se estma ocorrer em determnado ntervalo de tempo (Assaf Neto, 1998). 2.2 Perpetudade É uma sére unforme de fluxos de caxa de duração nfnta. O Valor Presente (VP) de uma Perpetudade é dado pela relação C/r (VP = C/r), onde C representa a parcela da sére unforme e r, a taxa de juros relatva ao período de tempo a que se refere à parcela (C) (Ross et al., 2002). 2.3 Perpetudade Crescente É uma sére em que os fluxos de caxa crescerão, ndefndamente, a partr da segunda parcela (C), a uma taxa constante (g). O Valor Presente (VP) de uma Perpetudade Crescente é dado pela relação C/(r-g) (Ross et al., 2002). 2.4 Anudade Uma anudade é uma sére de fluxos de caxa anuas guas. Esses fluxos de caxa podem ser entradas de retornos ganhos sobre nvestmentos ou saídas de fundos nvestdos para ganhar retornos futuros (Gtman, 1997). Para Ross et al. (2002), uma anudade é uma sére unforme de pagamentos regulares que dura um número determnado de períodos. As pensões que as pessoas recebem quando se aposentam assumem a 16 jul./dez. 2004

3 RCT24.book Page 17 Thursday, January 12, :22 PM forma de anudades. Os pagamentos de contratos de arrendamento, empréstmos mobláros e planos de aposentadora também são anudades. Aqu vale uma ressalva: os autores que abordam essa matéra tratam as séres unformes, de manera geral, como uma anudade, ndependentemente do período de tempo a que se refere a parcela ou o fluxo de caxa. 2.5 Anudade Crescente Os concetos abordados de modo bastante abrevado, nos subtens anterores, são consderados, neste artgo, de suma mportânca para o entendmento das Anudades Crescentes Postecpadas e objetvam, prmordalmente, stuar o letor no assunto aqu tratado. Uma Anudade Crescente Postecpada assemelha-se a uma Perpetudade Crescente, já defnda anterormente. Porém, ao contráro daquela, essa últma apresenta número fnto de fluxos de caxa crescentes, sto é, trata-se de uma sére fnta. Segundo Ross et al. (2002), os fluxos de caxa das empresas tendem a crescer com o tempo, em função de crescmento real ou da nflação. (...) Como as Perpetudades de qualquer espéce são raras, uma fórmula para o valor de uma Anudade Crescente Postecpada não pode dexar de ser muto útl. Vale ressaltar que, da bblografa prncpal pesqusada que embasou este trabalho Casarotto Flho & Kopttke (2000), que tratam nclusve de substtução de equpamentos ; Polo (2000); Vera Sobrnho (2000); Puccn (1999); Helfert (1997); Arshad & Karels (1997); Sanvcente (1997); Braga (1995); Bauer (1996); Francsco (1991) e Olvera (1982), entre outros, apenas duas abordam as Anudades Crescentes Postecpadas: Ross et al. (2002) e Hrschfeld (2000), o segundo deles empregando a denomnação Gradente Geométrco g, conforme segue. Fórmula do Valor Presente de uma Anudade Crescente Postecpada Segundo Ross et al. (2002) g VP = Cx r g r g r T ( 1), onde: { o número de períodos da Anudade. Os autores apresentam exemplos de aplcação dessa fórmula para o cálculo do Valor Presente (VP) e do prmero pagamento (C). Observação: essa fórmula está demonstrada no rodapé da págna 91 do lvro ctado, a partr da dferença entre duas Perpetudades, sendo o prmero pagamento da 2.ª Perpetudade feto na data T Segundo Hrschfeld (2000) C é o pagamento a ser feto no fnal do prmero período; r é a taxa de juros; g é a taxa de crescmento por período, em termos percentuas; T é n F g P é o valor presente; F é o prmero pagamento, no fnal do prmero período, é a taxa de juros, chamada também de Taxa Mínma de P = ( 2), onde: g { Atratvdade (TMA); g é a taxa de crescmento constante, por período; 1 n é o número de períodos. Esse autor apresenta apenas um exemplo de aplcação da fórmula para o cálculo do Valor Presente, P no caso. Uma observação mportante deve ser feta com relação ao momento dos pagamentos ou recebmentos de uma sére (fluxo de caxa): quando os pagamentos ou recebmentos são efetuados no fnal de cada período e a sére começa exatamente no fnal do prmero período, dz-se que a sére é Postecpada; quando os pagamentos ou recebmentos são efetuados no níco de cada período e a sére começa exatamente no níco do prmero período ( data zero ), afrma-se que a sére é Antecpada (Assaf Neto, 1998). REVISTA DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA V. 12, Nº 24 pp

4 RCT24.book Page 18 Thursday, January 12, :22 PM Essas séres podem ser chamadas também de Anudade Ordnára e Anudade Vencda, respectvamente (Gtman, 1997). E conforme fo vsto anterormente, os autores ctados abordam a fórmula apenas do Valor Presente de uma Sére Postecpada. 3. A METODOLOGIA DE ANUIDADES CRESCENTES DESENVOLVIDA NESTE ARTIGO SÉRIE POSTECIPADA OU ORDINÁRIA Relembrando o conceto, Anudade Crescente Postecpada é uma sére de pagamentos ou de recebmentos, por uma quantdade de períodos predefndos, em certo ntervalo de tempo (Prazo de Maturação), que crescem a uma taxa constante por período, em porcentagem. Consderem-se, então, e g, com g, sendo a taxa de juros e g a taxa de crescmento constante, por período, em porcentagem. Tome-se, agora, uma sére postecpada, representada pelo segunte fluxo de caxa, em que R é a parcela peródca (pagamento ou recebmento) em n número de períodos: Valor Presente (VP) da Sére O Valor Presente da sére é gual à soma dos valores presentes de todas as parcelas da sére, calculados com base em. Assm: VP = R R( 1 + g) ( 1 + g) 2 R( 1 + g) n 2 R( 1 + g) n ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) n ( 1 + ) n Colocando-se a parcela (R) em evdênca, tem-se: VP = R 1 ( 1 + g) ( 1 + g) 2 ( 1 + g) n 2 ( 1 + g) n ( 1 + ) ( 1 + ) ( 1 + ) n ( 1 + ) n PG A seqüênca entre os colchetes é uma Progressão Geométrca (PG). Para a sua constatação, basta tomar qualquer termo, a partr do segundo, e dvd-lo pelo medatamente anteror, verfcando, então, que essa 1 + g dvsão ou quocente (q) é constante, ou seja, q = , chamado de razão da PG. 1 + Daí conclu-se que, para calcular o Valor Presente (VP), basta multplcar R pela soma dos termos da PG (Sn) entre os colchetes, conforme segue: VP = R x Sn. A fórmula da soma dos termos da PG é: a 1 q n a ( 1) 1 = prmero termo da PG; Sn = , onde: q 1 q = razão da PG; n = número de termos da PG. Daí têm-se os dados: g a 1 = é o prmero termo da seqüênca entre os colchetes; q = é a razão da PG entre os colchetes; n é o número de termos ou períodos Substtundo-se esses dados na fórmula da soma dos termos da PG, vem: VP = g n 1 A expressão entre chaves deve R g ser smplfcada, conforme segue: 18 jul./dez. 2004

5 RCT24.book Page 19 Thursday, January 12, :22 PM n n n g = g ( 1 + ) = = n ( 1 + ) = VP = R n g, para g. (3) Deve-se observar que a condção de aplcação dessa fórmula (assm como das demas) é que R, g, e n estejam na mesma undade de tempo. A segur, exemplos de aplcação da fórmula (3). a) Certa pessoa pretende adqurr um móvel resdencal que custara, hoje, entre R$ ,00 e R$ ,00. Não dspondo dos recursos fnanceros, drge-se a um Banco em busca de nformações sobre fnancamento, tas como valor de entrada, taxa de juros, prazo de amortzação, comprometmento de renda, sstemas de amortzação vgentes e valor de prestação (parcela) mensal em cada um deles. Ponderando essas nformações e consderando sua aversão às dívdas de longo prazo e, especalmente, aos gastos com juros, essa pessoa decde fazer um planejamento de poupança pessoal crescente com base na sua renda mensal, bem como em sua establdade no emprego, perspectva de ascensão para os próxmos cnco anos e capacdade de poupança, objetvando a aqusção à vsta, no fm desses cnco anos, com recursos própros. Conclu, então, que tem condções de, mensalmente, aplcar com folga R$ 1.300,00, parcela que poderá crescer à taxa constante de 1,5% ao mês (18% ao ano) nesses cnco anos. Se consegur uma taxa méda mensal de juros de 1,3% na aplcação numa nsttução fnancera, durante os próxmos cnco anos, quanto terá poupado para a pretendda aqusção, no fm de tal prazo, consderando-se mantda a pardade entre a atualzação monetára dessa aplcação e a valorzação de mercado do móvel? Cálculo Dados: VP =? (valor poupado, hoje) R = R$ 1.300,00 (parcela ncal) g = 1,5% ao mês = 1,3 % ao mês n = 5 anos = 60 meses 1, ,013 VP = = 0,015 0,013 Nessas condções, esse planejador tera hoje R$ ,77 para adqurr seu móvel daqu a 5 anos. b) Supondo que outro pretendente, em stuação pouco semelhante, defnsse que deseja adqurr um móvel no valor de R$ ,00; porém, só pode bancar uma poupança crescente à taxa constante de 1% ao mês. Mantdas as demas condções de aplcação, qual sera o valor da parcela ou depósto ncal? Cálculo Dados: VP = R$ ,00 R =? (parcela ncal) ,815211= R$ ,77 REVISTA DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA V. 12, Nº 24 pp

6 RCT24.book Page 20 Thursday, January 12, :22 PM g = 1% ao mês = 1,3% ao mês n = 5 anos = 60 meses 1, , = R x = R 54, R = = R$ 1.380,21 0,01 0,013 54,33959 Com as condções acma apresentadas, esse segundo planejador tera de ncar seu fluxo de caxa (sére de 60 depóstos) com R$ 1.380,21, de modo a cumprr seu plano, no fnal desse prazo de maturação dos fundos fnanceros. 3.1 Smplfcação das fórmulas dos autores ctados no subtem 2.5 Aplcando-se a fórmula (3) deduzda no tem 3, a fórmula (1) de Ross et al. (2002) e a fórmula (2) de Hrschfeld (2000) a um determnado conjunto de dados, obtém-se o mesmo resultado. Tal concdênca sugere a equvalênca das fórmulas. De fato, é possível efetuar a smplfcação das duas fórmulas dos autores ctados, conforme se pode acompanhar a segur: Smplfcação da fórmula de Ross et al. (2002) VP = C g r g r g r T VP = 1 C r g T r 1 VP C T = 1 r 1 + r V P = C T r r Essa fórmula é equvalente à fórmula (3) deduzda no tem 3, consderando equvalente a r, n equvalente a T e R equvalente a C Smplfcação da fórmula de Hrschfeld (2000) P F 1 P = g n g g n g n 1 F F = 1 + g 1 + g ( 1 + ) P = g n n 1 P = F P = F ( ) Essa fórmula é gual à fórmula (3) do tem 3, com F 1 = R. 20 jul./dez. 2004

7 RCT24.book Page 21 Thursday, January 12, :22 PM 4. FÓRMULA DE CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS DE UMA ANUIDADE CRESCENTE POSTECIPADA O número de períodos (n) pode ser obtdo da fórmula (3) pela aplcação de logartmos, conforme segue: n VP n VP 1 + g = 1 = ( ) R R 1 + n = VP ( ) + 1 R n ln g ln g n = ln VP ( ) + 1 R ln VP ln VP ( ) + 1 R = ( ) + 1 n = R ln g,para g. (4) 4.1. Exemplos de aplcação da fórmula (4) do número de períodos (n) a) Uma Aplcação Específca na Indústra Ao fechar o seu balanço anual, uma frma do ramo ndustral, de grande porte, conclu o seu planejamento qünqüenal, vslumbrando um crescmento mportante das vendas, com base em sua partcpação no mercado. Tomando parte também desse planejamento, a área técnca estma que, no próxmo qünqüêno, a frma deverá substtur certo equpamento de produção, cujo valor atual de mercado é de R$ ,00. Dante de tal nformação, o setor fnancero propõe a formação de fundos, medante depóstos anuas em banco, vsando à referda substtução de equpamento, sem recorrer ao endvdamento bancáro, tdo como desnecessáro. Tendo em vsta a projeção de lucros da frma, a área fnancera conclu que sua capacdade de poupança anual será R$ ,80, a partr do próxmo balanço, exatamente daqu a um ano. Levando também em conta que a frma poderá aumentar esses depóstos a uma taxa constante de 8% ao ano, a partr do segundo depósto, e projetando uma taxa de juros de 12% ao ano para a próxma década, quantos depóstos (n) serão necessáros para a formação dos fundos pretenddos, caso venham confrmar-se as suas prevsões? Dados do problema: VP = R$ ,00 R = R$ ,80 g = 8% ao ano = 12% ao ano n =? Substtundo esses dados na fórmula (4), vem: ln $ ( 0,080,12 ) + 1 $ ,80 ln0, n = ln 1,08 n = = ln0, ,12 Como g, e R referem-se a períodos anuas, n = 7 anos. b) Aplcações no Sstema Fnancero Imobláro b 1 ) Suponha que uma pessoa pretenda um fnancamento de móvel resdencal de R$ ,00 numa nsttução fnancera que exge uma poupança préva para a entrada, defnda em 30% (R$ ,00) do valor do móvel. Se essa pessoa tver como fazer uma poupança crescente, ncando com o valor de R$ 775,00 por mês (sua capacdade de pagamento), a uma taxa g de 0,8% ao mês (em torno de 10% ao ano) e a nsttução pagar juros de 1% ao mês, em quantos meses consegura poupar (juntar) o valor da entrada exgda? REVISTA DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA V. 12, Nº 24 pp

8 RCT24.book Page 22 Thursday, January 12, :22 PM Cálculo Dados: VP = R$ ,00 R = R$ 775,00 g = 0,8% ao mês = 1% ao mês n =? Substtundo esses dados na fórmula (4), vem: ln ( 0,0080,01 ) ln0, n = n = n = 24 ln 1, ,01 ln0, O pretendente consegurá fazer a poupança exgda em 24 meses. Uma contrbução, a ser entendda nesse exemplo, é de que a nsttuão fnancera pode avalar, com maor nível de confança, a capacdade de pagamento do pretendente ao fnancamento. b2) Certo comercante deseja consttur um fundo (fundo prevdênca própra), medante aplcação mensal de recursos fnanceros em fundos de nvestmento de uma nsttução fnancera de sua confança. Seu objetvo é vver futuramente, quando alcançar a tercera dade, das retradas do rendmento dessa prevdênca. Aconselhando-se com um consultor de fnanças, fca nformado de que deverá possur, hoje, um captal de cerca de R$ ,00 aplcado para produzr uma retrada mensal satsfatóra (próxma a R$4.000,00). Com tal nformação e sabendo que sua capacdade de poupança ncal é de R$ 1.130,00, a uma taxa de crescmento constante de 1% ao mês, e consderando, anda, que tal aplcação renda juros de 1,2% ao mês, quantos meses/anos levará para consttur o referdo captal? Cálculo do prazo de Maturação (n) do Fundo de Prevdênca Dados: VP = R$ ,00 R = R$ 1.130,00 g = 1% ao mês = 1,2% ao mês n =? Substtundo esses dados na fórmula (4), tem-se: ln ( 0,01 0,012) ln0, n = = n = 384 meses ou 32 anos ln 1, ,012 ln0, Observação sobre a formação de fundos O desenvolvmento deste trabalho, especalmente no que se refere às aplcações das fórmulas (3) e (4), procura evdencar a contrbução dos fluxos de caxa crescentes para as empresas em geral e, partcularmente, para as nsttuções fnanceras do setor mobláro, como também para as pessoas físcas pretendentes ao fnancamento mobláro, na formação de fundos e na estmatva do prazo de maturação, nessa modaldade. Das varáves componentes dos fluxos de caxa crescentes VP, R, g, e n todas, exceto a taxa de crescmento constante g, têm sdo amplamente exploradas, porém só nas aplcações relatvas aos fluxos de caxa unformes, comumente apresentadas nos compêndos de matemátca fnancera, engenhara econômca, análse de nvestmento, engenhara das avalações, admnstração fnancera e assemelhados. 22 jul./dez. 2004

9 RCT24.book Page 23 Thursday, January 12, :22 PM Como fo vsto, a taxa g tem sdo pouco explorada em face da rardade de projetos com fluxos de caxa crescentes, especfcamente no Brasl. Entretanto, nos Estados Undos podem-se encontrar algumas aplcações de cálculo do Valor Presente ou da prmera parcela de fluxos de caxa crescentes (Anudades Crescentes), a exemplo de Ross et al. (2002). Outros casos de aplcações equvalentes estão nos stes: <web.utk.edu/ ~jwachow/growng-annuty.pdf> (Unversty of Tennessee) e < Present Value Methodology.pdf> (Unversty of Washngton). Dessa manera, como as fórmulas (1) e (2), destacadas neste trabalho, também se lmtam ao cálculo do Valor Presente (VP) ou da prmera parcela, C e F 1, respectvamente, este artgo mostra que as fórmulas (3) e (4), especalmente com ênfase nessa últma, sem equvalente conhecda, podem ser bastante útes aos analstas. Elas permtem medr a capacdade de admplemento nos pagamentos ou na formação de poupança, durante a maturação de um nvestmento, quando se utlzam fluxos de caxa crescentes a uma taxa de crescmento constante (g). Fnalmente, vale acrescentar que, nas empresas, essa taxa g pode ser estmada com base nos lucros crescentes ou no aumento de produtvdade. Para as pessoas físcas, pode ser calculada com base em qualquer forma de dretos pessoas conversíves em dnhero, por exemplo, décmo tercero saláro, um terço de féras, ganho de produtvdade, partcpação nos lucros e lcença-prêmo. 5. VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE CRESCENTE POSTECIPADA O Valor Futuro (VF) torna-se smples de calcular, qualquer que seja o tpo de fluxo de caxa, partndo do prncípo de que, multplcando-se o Valor Presente pelo Fator de Valor Futuro (FVF), que será sempre ( 1 + ) n, tem-se o Valor Futuro (VF), sto é: VF = VP( 1 + ) n. Então, substtundo-se, nessa equação, o VP pela sua expressão deduzda no tem 3 fórmula (3) tem-se: n 1 VP = R VF = R n ( 1 + ) n (5) 5.1 Exemplo de Aplcação da Fórmula (5): Tomando-se o exemplo do subtem anteror 4.1, suponha que a frma tenha nteresse em saber qual o montante (VF) que os fundos atngrão no fnal dos sete anos calculados, mantdas as condções prevstas: Dados do problema, já conhecdos: VP = R$ ,00 R = R$ ,80 g = 8% ao ano = 12% ao ano n = 7 anos (conforme cálculo anteror) Comparando-se: VF = VP( 1 + )] n VF = $ ( 1,12) 7 = R$ ,00 1, ,12 VF , ( 1,12) 7 = 0,080 (, 12) VF = 266, 959, 80 12, VF = R$ ,00, sem os efetos da atualzação monetára. REVISTA DE CIÊNCIA & TECNOLOGIA V. 12, Nº 24 pp

10 RCT24.book Page 24 Thursday, January 12, :22 PM Vale observar que a análse de fluxos de caxa é sempre feta consderando o valor presente e o tempo de maturação, já que a avalação com base no valor futuro não faz muto sentdo em face dos mprevsíves efetos da nflação. 6. CONCLUSÃO Conforme o propósto deste artgo, três fórmulas foram deduzdas do conceto de Anudades Crescentes Postecpadas: a do Valor Presente (VP), a do número de períodos (n) e a do Valor Futuro (VF), com aplcações que podem ser útes. Efetuou-se também a smplfcação das duas fórmulas do Valor Presente constantes em Ross et al. (2002) e Hrschfeld (2000), que convergram para aquela do VP demonstrada no tem 3 deste texto. Tas fórmulas foram testadas em város outros exemplos desses autores, mas a lmtação de espaço deste artgo não permtu mostrar. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARSHADI, N. & KARELS, G.V. Modern Fnancal Intermedares & Markets. New Jersey. USA. Prentce Hall, Inc., ASSAF NETO, A. Matemátca Fnancera e Suas Aplcações. 4.ª ed., São Paulo: Atlas, AUXIER, A.L. & WACHOWICZ JUNIOR., J.A. Unversty of Tennessee. Growng Annutes. < /growng-annuty.pdf> (ma/2005). BAUER, U. R. Calculadora HP-12C: manuseo, cálculos fnanceros e análse de nvestmentos. 2.ª ed., São Paulo: Atlas, BRAGA, R. Fundamentos e Técncas de Admnstração Fnancera. São Paulo: Atlas, CASAROTTO FILHO, N. & KOPITTKE, B.H. Análse de Investmentos. 9.ª ed., São Paulo: Atlas, FRANCISCO, W. de. Matemátca Fnancera. 7.ª ed., São Paulo: Atlas, GITMAN, L. Prncípos de Admnstração Fnancera. Trad. Jean Jacques Salm e João Carlos Douat. 7.ª ed., São Paulo: Harbra, HELFERT, E.A. Technques of Fnancal Analyss.9.ª ed., EUA: Rchard D. Irwn, a Tmes Mrror Hgher Educaton Group, Inc. Company, HIRSCHFELD, H. Engenhara Econômca e Análse de Custos. 7.ª ed., São Paulo: Atlas, OLIVEIRA, A.N. de. Engenhara Econômca: uma abordagem às decsões de nvestmento. São Paulo: Mc Graw-Hll, PARKS R. W. & DAVIS L. F. Unversty of Washngton. Econ 422: Insvestment, Captal & Fnance. < Value Methodology.pdf> (mao/2005). POLO, E.F. Engenhara das Operações Fnanceras. 2.ª ed., São Paulo: Atlas, PUCCINI, A. de L. Matemátca Fnancera Ojetva e Aplcada. 6.ª ed., São Paulo: Sarava, ROSS, S. A. et.al. Admnstração Fnancera corporate fnance. 2.ª ed., São Paulo: Atlas, SANVICENTE, A. Z. Admnstração Fnancera. 3.ª ed., São Paulo: Atlas, VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemátca Fnancera. 7.ª ed., São Paulo: Atlas, Dados dos autores OLIVEIRA JORGE DE LIMA Bacharel em admnstração de empresas, em cêncas contábes e economa, com pós-graduação (lato sensu) em análse matemátca-cálculo, engenhara econômca, economa de empresas e gestão de negócos (em nível de mestrado) e mestre em engenhara de produção (UNIMEP). FELIPE ARAÚJO CALARGE Engenhero mecânco e economsta, com mestrado e doutorado pela Uncamp. Professor do Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção (UNIMEP). Recebmento do artgo: 15/abr./03 Aprovado: 11/ago./05 24 jul./dez. 2004