3º ADMINISTRAÇÃO. Prof. José Luiz Oliveira

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1 3º ADMINISTRAÇÃO Oliveira 3º ADMINISTRAÇÃO Oliveira 1

2 PROGRAMA DA DISCIPLINA 1 Inflação e Preços 2 Variação Média e Variação Ponta a Ponta 3 Número Índice e Valor Base/Reajustado 4 Regra de Três Simples/Compostas 5 Juros e Porcentagens 6 Taxas Fixas e Flutuantes 7 Juros Simples e Compostos 8 Taxas Proporcionais e Equivalentes 9 Valor do Dinheiro no Tempo (Valor Presente e Futuro) 10 Fluxo de Caixa e Taxa Interna de Retorno 11 Equivalência de Capitais 12 Valor Presente Líquido e Valor Futuro Líquido 13 Reajuste de Alíquota Base 14 Taxa Overnight 15 Descontos Comercial, Bancário, Racional; 16 Amortização (Constante, Americano, Francês) BIBLIOGRAFIA BÁSICA: HOJI MASAKAZU. e suas aplicações. Ed. Atlas ASSAF NETO, A. e suas aplicações. 12. Ed. São Paulo: Atlas. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática financeira - Fácil. 14 Ed. São Paulo: Saraiva. COMPLEMENTAR: SAMANEZ, Carlos Patrício. (2010) : aplicações à análise de investimentos. 5a ed. São Paulo: Prentice-Hall. SECURATO, José Roberto. (2008) Cálculo Financeiro das Tesourarias - Bancos e Empresas. 4a ed. São Paulo: Saint Paul. PUCCINI, Abelardo de Lima (Objetiva e Aplicada) Editora Saraiva HARIKI, SEIJI e ABDOUNUR, Oscar J. Matemática aplicada - Administração, economia e contabilidade. São Paulo: Saraiva. MERCHEDE, Alberto. (2009)HP-12C Cálculos e Aplicações Financeiras. Exercícios Interativos. São Paulo: Atlas. 2

3 Inflação e preços Inflação Inflação: aumento generalizado de preços, que provoca a redução do poder aquisitivo da moeda. Deflação: redução generalizada de preços, que provoca o aumento do poder aquisitivo da moeda. 3

4 Quadro 3.1 Gastos e poupança em M1 Indivíduo Indivíduo Média X Y Grupos de gastos Valor Valor Valor Habitação Educação Transportes Alimentação Outros gastos Total de gastos (A) Salário líquido (B) Poupança (C = B - A) Quadro 3.2 Gastos e poupança em M2 Indivíduo X Indivíduo Y Média Grupos de gastos Valor % Valor % Valor % Habitação 500 0% ,7% 425 6,3% Educação ,3% ,0% ,4% Transportes % 50 0% Alimentação 200 0% ,7% ,0% Outros gastos ,0% ,0% ,9% Total de gastos (A) Salário líquido (B) ,5% ,5% ,5% Poupança (C = B - A) ,8% 58 4,7% ,0% Inflação (A M2 / A M1-1) 4,5% 17,0% 10,5% 4

5 Impacto da inflação sobre as atividades empresariais Inflação interna nas empresas: ocorre da mesma forma que para as pessoas físicas. Cada empresa tem a sua própria inflação de preços. Indivíduo Gastos Salário Poupança Empresa Custos e despesas Venda Lucro Quadro 3.3 Apuração do lucro em M2 Empresa X Empresa Y Média Custos e Despesas Valor % Valor % Valor % Matéria-prima 500 0% ,7% 425 6,3% Mão-de-obra Direta ,3% ,0% ,4% Custos indiretos de fabricação 0 0% 100 0% 50 0% Despesas de vendas 200 0% ,7% ,0% Despesas de administração ,0% ,0% ,9% Total de Custos e Despesas (A) Receita líquida (B) ,5% ,5% ,5% Lucro (C = B - A) ,8% 58 4,7% ,0% Inflação (A M2 / A M1-1) 4,5% 17,0% 10,5% 5

6 Cálculo da variação nos níveis de preços Preço do dia Preço da semana Data 31/mar. 7/abr /maio /maio Figura 3.1 Evolução de preços. Variação média dos preços Inflação de maio ( ) / = 1 = 1 = 0,069 = 6,9% ( ) / Variação ponta a ponta Inflação de maio = / = 0,076 = 7,6% Número-índice Quando o número-índice é empregado para medir a variação do nível de preços de produtos e serviços específicos, chama-se índice de preços. O número-índice pode ser calculado com a equação 3.1. Onde: I n = (1 + n ) x I n-1 (equação 3.1) I n = índice do período de referência; n = variação do período de referência, em percentual; I n-1 = índice do período anterior ao de referência. 6

7 Para calcular a variação de um período, basta fazer a operação inversa, conforme a equação 3.2. O termo I n-1 foi substituído pelo termo I b (índice do período-base). n = (I n / I b ) -1 (equação 3.2) Exemplo de construção de número-índice Tabela 3.1 Índice de inflação (base: dezembro/19x6 = 1,0000) Mês Inflação Índice Jan./19X7 5,0% 1,0500 Fev./19X7 4,0% 1,0920 Mar./19X7 3,8% 1,1335 Abr./19X7 2,0% 1,1562 Maio/19X7-1,5% 1,1389 Jun./19X7 1,0% 1,1503 Jul./19X7 0% 1,1503 Ago./19X7 1,8% 1,1710 Set./19X7 2,0% 1,1944 Out./19X7 1,9% 1,2171 Nov./19X7 2,0% 1,2414 Dez./19X7 1,8% 1,2637 7

8 Reajuste de valor-base O valor-base é o valor original (capital). O reajuste de um valor, com a utilização de número-índice, é feito mediante a seguinte equação: VR = VB x (I n / I b ) (equação 3.3) onde: VR = valor reajustado; VB = valor-base. Exercícios: 1) Calcular os números índices da Tabela Abaixo: e o valor reajustado de um capital de R$ ,00 nos períodos de Junho e Fevereiro. Considere o número índice de Dez/2011 = 1,3000 Mês Inflação Nº Índice jan/12 8,00% fev/12 7,00% mar/12 6,50% abr/12 6,90% mai/12 7,20% jun/12 8,20% 2) Calcular o valor reajustado de um capital de R$ ,00 nos períodos de Junho e Fevereiro. 8

9 Exercícios: 3) Calcular os números índices da Tabela Abaixo: Considere o número índice de Dez/2011 = 1,0000 Mês Inflação Nº Índice jan/12 8,00% fev/12 7,00% mar/12 6,50% abr/12 6,90% mai/12 7,20% jun/12 8,20% 4) Calcular os valores reajustados na tabela acima, de um capital de R$ ,00, nos períodos entre Maio e Janeiro. Exercícios: 5) Com base na tabela anterior, calcular a n do período entre Março e Junho. 6) As inflações entre os meses de Julho e Dezembro de um determinado ano foram 6,5%; 7,5%; 8,2%; 6,8%; 7,2% e 8,0%. Com base nestes índices, calcular a n entre dezembro e agosto. 7) Se uma empresa contraiu um empréstimo de R$ ,00 em setembro e pagou em dezembro, qual o valor pago? 8) Um número índice base em maio/2011 foi de 1,35. Se um empréstimo contraído em junho de 2011 no valor de R$ ,00 foi pago em outubro no valor de R$ R$ ,00, qual a n deste período? 9

10 Juros Introdução O juro é a remuneração do capital. O governo utiliza a taxa de juro como instrumento de política econômica e monetária para controlar o nível de propensão ao consumo e incentivar a poupança. A taxa de juro é determinada no mercado financeiro, basicamente, em função da oferta e procura de recursos financeiros. 10

11 Porcentagem e taxas de juros A taxa é expressa geralmente em porcentagem, isto é, em fração de 100 (por cento), em quase todas as aplicações (exemplos: taxa de juro, taxa de crescimento demográfico, taxa de dispersão etc.). Porcentagem = por + cento + agem Exemplo: 10% = 10/100 = 0,1 Para cálculos de juros, utiliza-se a forma unitária. Porcentagem A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. Tais razões centesimais estão expressas em taxas percentuais: = 20% = 15% = 230% 48, = 48,75% 22 Aula 1 Prof. José 11

12 Porcentagem Exemplo 1: Em uma determinada turma com cem alunos, 40 tiram nota 10. Qual a porcentagem de alunos que tiraram 10? 23 Aula 1 Prof. José Porcentagem Exemplo 1: Em uma determinada turma com cem alunos, 40 tiram nota 10. Qual a porcentagem de alunos que tiraram 10? = 0,4 X 100 = 40% Resp: 40% dos alunos tiraram

13 Exemplo 2: Num lote de 25 parafusos, 5 apresentaram defeito. Qual a razão entre o número de parafusos defeituosos e o total de parafusos do lote? 25 Aula 1 Prof. José Exemplo 2: Num lote de 25 parafusos, 5 apresentaram defeito. Qual a razão entre o número de parafusos defeituosos e o total de parafusos do lote? 5 25 = 0,2 X 100 = 20% Significa que se o lote contivesse 100 parafusos, deveríamos encontrar 20 parafusos com defeito. 13

14 Exemplo 3: Uma empresa de telemarketing recebe em média 720 ligações de clientes interessados na compra de seus produtos. Sabe-se que a taxa efetiva de vendas é de 15%. Quantas chamadas se converteram em vendas? Exemplo 3: Uma empresa de telemarketing recebe em média 720 ligações de clientes interessados na compra de seus produtos. Sabe-se que a taxa efetiva de vendas é de 15%. Quantas chamadas se converteram em vendas? Solução: Devemos lembrar que a taxa de 15% significa que, de cada 100 chamadas, 15 foram vendas concretizadas = x 720 Ou 15% de x = 108 vendas efetuadas x 720 =

15 Exemplo 4: Um automóvel que custava R$ ,00, passou a custar R$46.200,00. Calcular o percentual de aumento. Exemplo 4: Um automóvel que custava R$ ,00, passou a custar R$46.200,00. Calcular o percentual de aumento. Solução: Para calcular a taxa percentual de aumento verificada: , ,00 = 4.200,00 A seguir, dividimos por obtendo: = 0,10 x 100 = 10% (percentual de aumento) 15

16 Exemplo 4: Um automóvel que custava R$42.000,00, passou a custar R$46.200,00. Calcular o percentual de aumento. Solução: Uma outra forma de resolver o problema seria dividir o preço novo pelo preço antigo: = 1,1-1 = 0,1 x 100 = 10% Exercícios Propostos: 1) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? 2) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 3) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? 4) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 16

17 Exercícios Propostos: 5º) Um depósito de R$ ,00 é feito numa poupança que sofre reajuste de 4,0 % no primeiro mês, 5,0% no segundo mês e 7,0% no terceiro mês. Qual o rendimento desta aplicação no final deste período? 6º) Uma mercadoria entra em venda por R$1.500,00, mas devido a dificuldades na venda, a mesma é ofertada com um desconto de 12%. Após uma semana, outro desconto de 8% e após mais uma semana, outro desconto de 5%. Verificando o valor de mercado, a mesma ficou bem abaixo, o que levou o gerente a reajustar em 10% sobre o valor atual. Qual o valor final de venda desta mercadoria? 7º) Numa sala de aula existem 54 alunos, sendo 34 homens e 20 mulheres. Sabendo que 15 homens foram aprovados, 10 estão na final e 9 foram reprovados e no universo de mulheres, 11 foram aprovadas, 5 ficaram na final e 4 foram reprovadas, representar em termos percentuais todos estes dados. Exercícios Propostos: 8º) Numa eleição, onde houveram eleitores, o candidato A obteve 35% dos votos, o candidato B obteve 25%, o candidato C obteve 20% e o candidato D obteve 15% dos votos. O restante foi de votos brancos e nulos. Apresentar quantos votos cada candidato obteve. 9º) O índice de aprovação em um concurso público foi apenas de 4,5%. Sabendo que 78% foram eliminados na primeira fase, 12% na segunda fase e 5,5% na terceira fase e que houve inscritos, apresentar estes resultados em quantidade de candidatos. 10º) Qual a porcentagem aproximada de analfabetos no Brasil, sabendo que a população está em torno de 190 milhões, sendo 76% já em idade escolar e que deste percentual, apenas 58% são alfabetizados? 17

18 Estudo sobre juro Estrutura da taxa de juro A taxa bruta de juro é composta de (a) taxa de juro real (b) taxa de inflação. A taxa de juro real, por sua vez, é composta de (a) taxa de risco (b) taxa livre de risco. Taxa de risco Taxa livre de risco Inflação Taxa de juro real Taxa bruta de juro Figura 3.2 Componentes da taxa de juro. 18

19 Juro comercial e juro exato Juro comercial: é calculado com taxa expressa em porcentagem, com base em ano comercial convencionado de 360 dias. Juro exato: é calculado considerando o ano civil de 365 dias e de 366 dias em anos bissextos. Por praxe, as operações financeiras são calculadas com base em ano comercial, mas existem operações financeiras em que as taxas de juros devem ser calculadas com base em juros exatos, pois os períodos abrangem efetivamente o calendário civil. É o caso de operação de leasing, em que as prestações mensais são pagas 12 vezes no ano. Juros Simples 19

20 Equações dos juros simples No regime de juros simples, o juro é calculado sobre o capital inicial, proporcionalmente ao número de capitalização. J = C i n (equação 4.1) onde: J = juros; C = capital inicial (ou principal); i = taxa de juros; n = número de capitalização durante o prazo da operação financeira. Exemplo de cálculo de juro comercial Ex.1) Calcular o juro comercial produzido por um capital de R$ , aplicado durante 6 meses, à taxa de 2% a.m. J = C x i x n J = $ x 0,02 x 6 = $ ,00 20

21 Exemplo de cálculo de juro exato Ex.2) Calcular o juro exato produzido por um capital de R$ , aplicado durante 130 dias, à taxa de 30% a.a. i = 30 / 365 = 0,0822 % a.d. J = C x i x n J = R$ x 0, x 130 = R$ ,00 A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se Montante (M), e pode ser calculado de duas formas (equação 4.2 ou 4.3). M = C + J (equação 4.2) M = C (1 + i n) (equação 4.3) 21

22 Exemplo de cálculo. Calcular o montante de um capital de $ , aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m. Forma de cálculo 1: M = C + J M = $ $ = $ Forma de cálculo 2: M = C x (1 + i x n) M = $ x (1 + 0,02 x 6) M = $ Taxas fixas e taxas flutuantes Taxas fixas São taxas predeterminadas e válidas para todo o período da operação financeira, mesmo que haja mais de um período de capitalização. EXEMPLO. 3% a.m. pelo prazo de 90 dias, com pagamentos mensais. => 3% no primeiro mês, 3% no segundo mês e 3% no terceiro mês. 22

23 Taxas Flutuantes São taxas que variam a cada período de capitalização. Geralmente, é composta de uma parte variável e uma parte fixa. EXEMPLO. TJLP + 2% a.a. pelo prazo de 12 meses, com pagamentos trimestrais (suponha TJLP em % a.a., de 6,5%, 6,0%, 5,8% e 5,5%, respectivamente para 1º, 2º, 3º e 4º trimestres). => pagamentos trimestrais de: 8,5% a.a., 8,0% a.a., 7,8% a.a. e 7,5% a.a., respectivamente, para 1º, 2º, 3º e 4º trimestres. Taxas proporcionais Taxas proporcionais são típicas do sistema de capitalização linear (juros simples). EXEMPLO. 1% a.m. é proporcional a 3% a.t., que é proporcional a 6% a.s., que é proporcional a 12% a.a. n % 1% a.m. (ao mês) 3% a.t. (ao trimestre) 6% a.s. (ao semestre) 12% a.a. (ao ano) Mês 1% a.m. x 1 n = 1% a.m. 3% a.t. / 3 n = 1% a.m. 6% a.s. / 6 n = 1% a.m. 12% a.a. / 12 n = 1% a.m. Trimestre 1% a.m. x 3 n = 3% a.t. 3% a.t. x 1 n = 3% a.t. 6% a.s. / 2 n = 3% a.t. 12% a.a. / 4n = 3% a.t. Semestre 1% a.m. x 6 n = 6% a.s. 3% a.t. x 2 n = 6% a.s. 6% a.s. x 1 n = 6% a.s. 12% a.a. / 2 n = 6% a.s. Ano 1% a.m. x 12 n = 12% a.a. 3% a.t. x 4 n = 12% a.a. 6% a.s. x 2 n = 12% a.a. 12% a.a. x 1 n = 12% a.a. 23

24 Comparação de capitalização simples com capitalização composta Montante Espaço vazio M = C + J Principal Figura 4.1 Principal e montante. M = C + J A diferença entre a capitalização simples e a capitalização composta está na "velocidade" com que o espaço vazio da caixa é preenchido. Montante M = C + J => capitalização simples e composta Espaço vazio M = C (1 + i n) => capitalização simples M = C (1 + i) n Principal => capitalização composta 24

25 160,00% Taxa acumulada do período (%) 140,00% 120,00% 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% Capitalização simples com taxa anual Capitalização composta com taxa anual Capitalização simples com taxa mensal equivalente Capitalização composta com taxa mensal equivalente Acima de um ano, a capitalização composta com taxa anual gera taxa acumulada maior do que a capitalização simples. 20,00% 0,00% Tempo (meses) Figura 4.2 Taxas acumuladas pelos diferentes regimes de capitalização Juros Compostos 25

26 Juros compostos No regime de juros compostos, os juros produzidos em um período de capitalização e não pagos são integrados ao capital no início do período seguinte, para produzirem novos juros, ou seja, os juros incidem sobre o capital inicial e sobre os próprios juros. Equações dos juros compostos No regime de juros compostos, é indiferente que os juros sejam pagos a cada período de capitalização ou no final do prazo da operação financeira. Equação básica dos juros compostos J = C [(1 + i) n 1] (equação 4.4) 26

27 Equações deduzidas da equação básica do Montante M = C (1 + i) n (equação 4.5) C = M ( 1 + i) n n = log ( M / C ) log ( 1 + i ) i = [(M / C) 1/n ] 1 Exemplo de cálculo. Calcular o montante de um capital de $ aplicado durante 6 meses, à taxa de juros compostos de 2% a.m. Forma de cálculo: M = C (1 + i) n M = x (1 + 0,02) 6 M = x 1, M = $ ,24 27

28 Taxa nominal e taxa efetiva Taxa nominal é a taxa de juro contratada. Taxa efetiva é a taxa de juro do período de capitalização, que efetivamente será paga ou recebida. Quadro 4.1 Alternativ as de aplicação financeira. Mês ALTERNATIVA 1 Resgate em parcela única com capitalização de juros ALTERNATIVA 2 Resgate em parcela única com recebimento de juros mensais ALTERNATIVA 3 Resgate intermediário com recebimento de juros mensais Aplicação: (100) Aplicação: (100) Aplicação: (100) Recebimento de juros: 10 Reaplicação: (10) Total: 0 Recebimento de juros: 10 Total: 10 Resgate: 50 Recebimento de juros: 10 Total: 60 Resgate: 100 Recebimento de juros: 21 Total: 121 Resgate: 100 Recebimento de juros: 10 Total: 110 Resgate: 50 Recebimento de juros: 5 Total: 55 TOTAL RECE- BIDO Juro sobre aplicação do valor recebido no Mês 1 28

29 Taxas equivalentes Taxas equivalentes produzem taxas idênticas no mesmo período, mesmo que estejam expressas em unidades de tempo diferentes. Taxas equivalentes podem ser calculadas com a equação 4.9 ou q i q = 1 + i 1 (equação 4.9) i q = (1 + i) 1/q 1 (equação 4.10) onde: i q = taxa de juros equivalente a uma fração de determinado intervalo de tempo; q = número de frações do intervalo de tempo considerado. 29

30 EXEMPLOS. Taxa mensal equivalente à taxa nominal de 12% a.a. q = 12 meses i q = (1 + 0,12) 1/12 1 = 0,948879% a.m. Taxa mensal equivalente à taxa nominal de 5,830052% a.s. q = 6 meses i q = (1 + 0, ) 1/6 1 = 0,948879% a.m. Taxa mensal equivalente à taxa nominal de 0,948879% a.m. q = 1 mês i q = (1 + 0, ) 1/1 1 = 0,948879% a.m. Valor do dinheiro no tempo 30

31 Períodos não inteiros Se i = taxa de juro nominal de um período inteiro, n = número de períodos inteiros em que é expressa a taxa de juros, e p/q = fração de um período, a taxa de juros efetiva do prazo da operação (i e ) pode ser calculada mediante a seguinte fórmula: ie = (1 + i) (n + p/q) - 1 1) Uma empresa retira um empréstimo no valor de R$ ,00 com taxa de JC de 15% a.a. Considerando o pagamento após 5 meses e meio, qual o valor pago? 2) Um título comprado em 01/04/2014 no valor de R$ ,00 foi resgatado em 20/11/2014. Sabendo que a taxa de juros aplicada nesta aplicação foi de 3,0 % a.m. qual o valor resgatado desse título? 3) Uma aplicação financeira é resgatada após 288 dias no valor de R$ ,00. Sabendo que a taxa negociada com o banco foi de 24% a.a, qual o valor desta aplicação? 4) Uma empresa faz aplicação financeira no valor de R$ ,00, a taxa de juros compostos de 28% a.a. em 30/03/09 e deseja saber quanto resgatará após 4 anos e 6 meses? 31

32 Valor presente e Valor futuro Montante VF = VP + J Espaço vazio Principal Valor presente Juros ( C, n, i) Valor futuro n ASSUNTOS PARA A SEGUNDA UNIDADE 32

33 Valor do dinheiro no tempo J = VF VP (equação 4.12) Fator de Juros = VF / VP (equação 4.13) VF = VP x Fator de juros (equação 4.14) VF = VP (1 + i) n (equação 4.15) VP = VF / (1 + i) n Equação 4.16 Fator de Juros = (1 + i) n Valor Presente (VP) Valor presente corresponde ao valor futuro descontado a determinada taxa de juros. Ex.1) Em um jovem recebe de presente, do pai dele, um CDB resgatável em , cujo valor de resgaste, que inclui o valor do principal e do juro, é R$ ,00. O jovem sabe que o título rende juro efetivo de 22% a.a e deseja saber qual o valor pago por seu pai. 33

34 Exercícios Propostos (VP) 1) Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação? 2) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos $ Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação? 3) Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que esta poupança paga é 12% ao ano? 4) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000,00 a juros compostos pelo período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano? Valor Futuro (VF) Valor futuro corresponde ao valor presente multiplicado pelo fator de juros. Ex.2) Uma empresa faz aplicação financeira no valor de R$ ,00, à taxa de juros compostos de 2,45% a.m., em , e deseja saber quanto resgatará em Ex.3) Quanto um investidor resgatará de uma aplicação de R$ ,00, com taxa de juros composto de 36% a.a, durante 36 meses? 34

35 Exercícios Propostos (VF) 5) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5º ano $1.500,00. Considere que a taxa de juros compostos que você usou é de 10% ao ano. 6) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês? 7) Você tem hoje (t=0) $ ,00 para aplicar a uma taxa de 15% ao ano. Quanto você terá depois de 4 anos desta aplicação? 8) Uma empresa aplica hoje R$ ,00 e retira de juros R$ ,00 após 15 meses de aplicação. Qual a taxa de juros composto utilizada nesta aplicação? Valor do dinheiro no tempo Cálculo de PMT Valor Presente = PV = PMT*{(1+i) n - 1} / {(1+i) n * i} PMT = PV {(1+i) n - 1} {(1+i) n * i} O Capital está disponível no presente. Valor Futuro = FV = PMT*{(1+i) n - 1} / i PMT = FV {(1+i) n -1} i O Capital só estará disponível findo o prazo n 35

36 Ex.1: Um empréstimo no valor de R$ ,00 será quitado em 24 meses. Determine o valor das prestações sabendo que a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês. Ex.2: Um veículo é financiado sem entrada pelo valor de R$ ,00, com taxa de juros de 2,5% durante 48 meses. Qual o valor das prestações? Ex.3: Na aquisição de um bem financiado em 36 meses, as parcelas ficaram no valor de R$ 680,00 cada. Sabendo que a taxa de juros cobrada foi 1,5% a.m., determine o valor desse bem. Ex.4: Caso um devedor pague R$1.000,00 durante 24 meses, com taxa de juros de 3,0%, qual o valor do empréstimo retirado? Ex.5: O preço à vista de uma geladeira é de R$ 1.000,00. Entretanto a mesma pode ser adquirida em 6 pagamentos mensais iguais, com primeiro pagamento efetuado 30 dias após a compra. Se, nos financiamentos, a loja cobra a taxa efetiva de juros de 5% ao mês, determinar o pagamento mensal a ser efetuado. Ex.1: Um investidor deseja resgatar $ ,00 ao final de 10 anos, de um fundo de renda fixa que remunera o capital investido a 3% a.m. Determine quanto ele deverá depositar ao final de cada mês, para obter o montante desejado ao final dos 10 anos. Ex.2: Aplicando-se R$ 200,00 por mês num CDB a uma taxa mensal de 5%, pede-se calcular o valor resgatado ao final de 10 anos. Ex.3: Uma pessoa que tem como objetivo obter o montante de R$ 5.000,00 um mês após ter efetuado o 12º depósito mensal, deseja saber qual o valor desses depósitos, sabendo-se que os mesmos serão remunerados à taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês. Ex.4: Uma família deseja resgatar R$ ,00 depois de 5 anos de depósitos, a fim de investir num consultório de um filho. Considerando que negociou com um banco uma taxa de 3,0% num fundo de renda fixa, quanto deverá depositar mensalmente? 36

37 MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA Descontos Sistemas de amortização Descontos 37

38 Descontos Valor nominal Valor atual = desconto (juro) Valor nominal desconto = valor descontado Títulos: duplicata, nota promissória etc. Recebe o valor líquido do título no ato do desconto É empréstimo com pagamento antecipado de juro Utilizado quando a empresa precisa se capitalizar antes da data do vencimento de um título a receber. Principais modalidades de descontos: a) Desconto comercial ou simples: desconto "por fora" b) Desconto bancário: desconto comercial + despesas bancárias c) Desconto racional ou composto: desconto "por dentro" 38

39 Desconto comercial ou simples ou por fora EXEMPLO. Um título no valor nominal de $ é descontado à taxa de 20% ao mês, 15 dias antes do seu vencimento. Para se calcular o valor descontado, utiliza-se a seguinte fórmula: Ac = N (1 i n) (equação 5.1) Onde: Ac = valor atual (comercial); N = valor nominal; i = taxa de desconto; n = número de períodos antes do vencimento. Ac = [1 0,2. (15 / 30)] Ac = [1 0,1] = ,9 = R$9.000,00 Exercícios Ac: Ex.1) Uma duplicata com valor nominal de R$ ,00 e vencimento em nove meses é descontado 25 dias antes do vencimento. Sabendo que a taxa de juros simples foi de 4% a.m. qual o valor descontado e do desconto? Ex.2) Uma Nota Promissória é emitida em 10/01/14 e seu vencimento é em 30/08/14. A taxa de juros simples negociada foi de 5,0% a.m. Se o valor de face da NP foi R$ ,00 e o desconto foi em 15/08/14, qual o valor descontado do título? Ex.3) Uma empresa resgata uma duplicata 250 dias após a data de emissão. Sabendo que o vencimento seria em 270 dias, a taxa de juros simples negociada foi de 36% a.a e o valor descontado foi de R$ ,00, qual o valor nominal do título? Ex.4) Um título com vencimento em 18/12/2014 foi resgatado em 25/11/2014. A taxa de juros simples negociada foi de 42% a.a., a data inicial foi em 01/02/2014 e o valor nominal R$ ,00. Qual o valor do desconto obtido com a antecipação do pagamento? 39

40 Desconto bancário Onde: Ab = N [1 (i.n n + h)] (equação 5.2) Ab = valor atual (bancário); h = taxa de despesas bancárias (comissão). Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior, suponha-se que exista uma taxa de despesas bancárias de 2,5%. O cálculo é feito como segue: Ab = [1 (0,2 / 30 x ,025)] Ab = [ 1 0,125] Ab = [0,875] = Ac = [1 (0,2. 15 / ,025)] Ac = [1 0,1250] = ,8750 = R$ 8750,00 Exercícios Ab: Ex.1) Uma duplicata com valor nominal de R$ ,00 e vencimento em nove meses é descontado 45 dias antes do vencimento. Sabendo que a taxa de juros simples foi de 4% a.m e a taxa bancária foi 3,0%, qual o valor descontado e do desconto? Ex.2) Uma Nota Promissória é emitida em 20/02/14 e seu vencimento é em 30/08/14. A taxa de juros simples negociada foi de 6,0% a.m. Se o valor de face do título foi R$ ,00, a taxa bancária 5,0% o pagamento do título foi em 10/08/14, qual o valor descontado do título? Ex.3) Uma empresa resgata uma duplicata 260 dias após a data de emissão. Sabendo que o vencimento seria em 290 dias, a taxa de juros simples negociada foi de 54% a.a, a tarifa bancária foi de 5,0% e o valor descontado foi de R$ ,00, qual o valor nominal do título? Ex.4) Um título com vencimento em 20/11/2014 foi resgatado em 25/10/2014. A taxa de juros simples negociada foi de 42% a.a., a tarifa bancária 7%, a data inicial em 01/02/2014 e o valor nominal R$ ,00. Qual o valor do desconto obtido com a antecipação do resgate? 40

41 Desconto racional ou desc. por dentro Ar = N / (1 + i)n (equação 5.3) Utilizando os mesmos dados do primeiro exemplo, temos: Ar = / (1 + 0,2) 15/30 = 9.128,71 Exercícios Ar: Ex.1) Calcular o valor descontado na modalidade racional, de um título no valor de R$ ,00, com prazo de 11 meses e antecipação de 1 mês, sabendo que a taxa de juros composto foi de 18% a.a? Ex.2) Uma Nota Promissória é emitida em 10/03/14 e seu vencimento é em 30/09/14. A taxa de juros composto foi de 5,0% a.m. Se o valor descontado do título foi R$ ,00, a data do desconto foi em 10/09/14, qual o valor nominal do título? Ex.3) Uma empresa possui uma duplicata que vence 290 dias após a data de emissão. Sabendo que o desconto foi feito em 260 dias, a taxa de juros composto foi de 60% a.a, e o valor nominal foi de R$ ,00, qual o valor descontado do título? Ex.4) Um título com vencimento em 25/10/2014 foi resgatado em 20/09/2014. Calcular a melhor modalidade de desconto considerando taxa de juros simples e composto de 42% a.a., a tarifa bancária 5%, a data inicial em 01/02/2014 e o valor nominal R$ ,00. 41

42 Sistemas de amortização Sistemas de amortização Sistema de amortização constante (parc. iguais) Sistema de amortização francês Sistema de amortização americano 42

43 Sistema de amortização constante Valor de amortização: Valor de juros: Valor de prestação: constante decrescente decrescente Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (n) (Sn = Sn-1 + J - PMT) (A = C / n) (J = S n-1. i) (PMT = A + J) , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 5 0, , , ,00 Totais , , ,00 Sistema de amortização constante 43

44 PRESTAÇÕES NO SISTEMA FRANCÊS PMT = PV {(1+i) n MAIS - 1} UTILIZADA {(1+i) n * i} Valor Presente = PV = PMT*{(1+i)^n - 1} / {(1+i)^n * i} PMT = PV / {(1+i)^n -1} / {(1+i)^n * i} Valor Futuro = FV = PMT*{(1+i)^n - 1} / i PMT = FV / {(1+i)^n 1} / i Sistema de amortização francês Valor de amortização: crescente Valor de juros: decrescente Valor de prestação: constante Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (n) (Sn = Sn-1 + J - PMT) (A = PMT - J) (J = S n-1. i) (PMT=A+J) , , , , , , , , , , , , , , , , ,75 5 0, , , ,75 Totais , , ,74 44

45 Sistema de amortização francês Sistema de amortização americano Valor de amortização: Valor de juros: Valor de prestação: no final constante constante, e maior no final Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (n) (Sn = Sn-1 + J - PMT) (A = C) (J = Sn-1. i) (PMT = A + J) , , , , , , , , , , , , ,00 5 0, , , ,00 Totais , , ,00 45

46 Sistema de amortização americano Sistema de amortização americano (i=8%, n=5) Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (n) Sn=S (n-1) +J-PMT (A = C) (J=S (n-1) *i) (PMT=A+J) ,00 0, Totais Exercícios de Revisão para U2 1º) Calcular quanto um investidor tem que depositar hoje considerando que o mesmo pretende resgatar R$ ,00 daqui a 21 meses e com taxa de juros de 3,5% a.m. 2º) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica R$ 2.000,00 a juros compostos pelo período de 4 anos a uma taxa de 6,5 % ao mês? 3º) Um veículo é financiado sem entrada pelo valor de R$ ,00, com taxa de juros de 4,5% durante 60 meses. Qual o valor das prestações? 4º) Uma família deseja resgatar R$ ,00 depois de 4 anos de depósitos, a fim de investir num consultório de um filho. Considerando que negociou com um banco uma taxa de 3,5% num fundo de renda fixa, quanto deverá depositar mensalmente? 5º) Uma duplicata com valor nominal de R$ ,00 e vencimento em onze meses é descontado 25 dias antes do vencimento. Sabendo que a taxa de juros simples foi de 4% a.m. qual o valor descontado deste título? 46

47 Exercícios de Revisão para U2 6º) Uma Nota Promissória é emitida em 20/02/14 e seu vencimento é em 30/08/14. A taxa de juros simples negociada foi de 6,0% a.m. Se o valor de face do título foi R$ ,00, a taxa bancária 5,0% o pagamento do título foi em 10/08/14, qual o valor descontado do título? 7º) Uma empresa possui uma duplicata que vence 280 dias após a data de emissão. Sabendo que o desconto foi feito em 240 dias, a taxa de juros composto foi de 50% a.a, e o valor nominal foi de R$ ,00, qual o valor descontado do título? 8º) Sistema de amortização constante (i=7 %, n = 5) Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (n) Sn=S (n-1) +J-PMT (A = C / n) (J=S (n-1) *i) (PMT=A+J) , Totais Exercícios de Revisão para U2 9º) Sistema de amortização francês (i = 6%, n=5) Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor (n) (PMT=PV / FPV) (J=S (n-1) *i) (A = PMT - J) Sn=S (n-1) +J-PMT , Totais 10º) Sistema de amortização americano ( i= 8 %, n=5) Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (n) Sn=S (n-1) +J-PMT (A = C) (J=S (n-1) *i) (PMT=A+J) , Totais 47

48 Equivalência de capitais Equivalência de capitais: Dois ou mais valores de datas diferentes são equivalentes quando, descontados ou atualizados para uma data focal, à mesma taxa e em condições idênticas, produzem valores iguais. 48

49 Cálculo de valor presente Valor corrente (A) Fator de juros (B) Valor equivalente (A / B) Conjunto de capitais 1: $ (1,02)0 $ $ (1,02)5 $ Total $ Conjunto de capitais 2: $ (1,02)2 $ $ (1,02)3 $ $ (1,02)6 $ Total $ Capitais equivalentes em uma data focal Se os conjuntos de capitais são equivalentes a valor presente, eles são também em qualquer outra data focal. VE = VN (1 + i) df dc (equação 4.18) ou Onde: VE = VN / (1 + i) dc df VE = valor equivalente; VN = valor nominal (ou valor corrente); df = data focal; dc = data corrente. (equação 4.19) 49

50 Cálculo de capitais equivalentes em data focal 4, a 2% a.m. Valor corrente (A) Fator de juros (B) Valor equivalente (A x B) Conjunto de capitais 1: $ (1,02)4-0 $ $ (1,02)4-5 $ Total $ Conjunto de capitais 2: $ (1,02)4-2 $ $ (1,02)4-3 $ $ (1,02)4-6 $ Total $ Valor presente líquido e valor futuro líquido Se a taxa de juros aplicada aos valores correntes for diferente da TIR, haverá diferença entre a soma dos capitais 1 e 2. O Valor Presente Líquido (VPL) é a soma das entradas e saídas de um fluxo de caixa na data inicial. O Valor Futuro Líquido (VFL) é a soma das entradas e saídas de um fluxo de caixa na data final. 50

51 Cálculos de VPL a 3% a.m. Valor corrente (A) Fator de juros (B) Valor equivalente (A / B) Conjunto de capitais 1: $ (1,03)0 $ $ (1,03)5 $ Total $ Conjunto de capitais 2: $ (1,03)2 $ $ (1,03)3 $ $ (1,03)6 $ Total $ VPL $ (393) Cálculos de VFL a 3% a.m. Valor corrente (A) Fator de juros (B) Valor equivalente (A x B) Conjunto de capitais 1: $ (1,03)6 $ $ (1,03)1 $ Total $ Conjunto de capitais 2: $ (1,03)4 $ $ (1,03)3 $ $ (1,03)0 $ Total $ VFL $ (470) 51

52 Fluxo de caixa Fluxo de caixa é um esquema que representa as entradas e saídas de caixa ao longo do tempo. Deve existir pelo menos uma saída e pelo menos uma entrada. Fluxo de caixa convencional: a) uma entrada e várias saídas, ou b) uma saída e várias entradas. Fluxo de caixa não convencional: várias entradas e várias saídas. Exemplo de representação de fluxo de caixa (1/2) REPRESENTAÇÃO ANALÍTICA DO FLUXO DE CAIXA (1) Em Colunas Separadas (2) Em Coluna Única Meses Entradas Saídas Entradas / Saídas

53 Exemplo de representação de fluxo de caixa (2/2) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA) Entradas Eixo do tempo Saídas Por convenção, a flecha no sentido para baixo representa uma saída de caixa, e no sentido para cima representa uma entrada de caixa. Taxa interna de retorno Taxa interna de retorno (TIR) é uma taxa de juros implícita numa série de pagamentos (saídas de caixa) e recebimentos (entradas de caixa). É conhecida também como taxa de desconto do fluxo de caixa. Ao descontar os valores correntes aplicando a TIR, a soma das saídas deve ser igual à soma das entradas, em valor presente ou em valor da data focal, anulando-se. 53

54 Cálculos da TIR do fluxo de caixa apresentado Cálculo da TIR com calculadora financeira HP 12C Mês Fluxo de Digitação caixa 0 (11.000) CHS g CF g CFj g CFj. 2 g Nj g CFj. 5 (2.144) 2144 CHS g CFj g CFj. f IRR = 2,00% a.m. Comprovação da exatidão da TIR calculada - Excel COMPROVAÇÃO DO CÁLCULO DA TIR, À TAXA DE 2,0% a.m. Mês Movimentação Juros Saldo 0 (11.000) (11.000) 1 - (220) (11.220) (224) (7.444) (149) (3.593) 4 - (72) (3.665) 5 (2.144) (73) (5.882) (118) 0 54

55 MATEMÁTICA FINANCEIRA APLICADA Taxas efetivas de operações financeiras Reajuste de alíquota-base Quando a remessa de juros e outros encargos financeiros ao exterior tiver que ser feita líquida de impostos, a aliquota dos impostos (notadamente imposto de renda na fonte) deve ser reajustada. Para calcular o valor reajustado do imposto de renda, pode-se reajustar a alíquota normal e aplicá-la sobre o valor líquido dos juros. 55

56 Reajuste de alíquota-base T r = T b / (1 T b ) (equação 5.4) Onde: T r = alíquota reajustada; T b = alíquota normal (ou alíquota-base). EXEMPLO. Calcular o custo efetivo de um empréstimo externo no valor de US$ , captado pelo prazo de um ano, com pagamento de juro de 10% a.a. líquido no final da operação, sabendo-se que a alíquota normal do IR é de 15%. Cálculo da alíquota reajustada T r = [15% / (1 15%)] T r = 17,6471% b) Cálculo do custo efetivo do empréstimo Juro bruto = juro líquido + Imposto de Renda Juro bruto = U$ , ,00 x 0, Juro bruto = U$ ,71 Custo Efetivo = U$ ,71 / U$ ,00 Custo Efetivo = 0,1176 a.a. ou 11,76% a.a. 56

57 Impacto dos impostos e outros encargos EXEMPLO. Calcular o custo efetivo de um empréstimo no valor de $ , tomado durante o período de X7 a X7, nas seguintes condições: taxa de juros efetivos de 4% a.m., pagos no vencimento do empréstimo; comissão de 1%, paga no vencimento do empréstimo; IOF (imposto sobre operações financeiras) pago no ato da captação do empréstimo, calculado à taxa de 0,249% a.m. CÁLCULOS: 1. Valor bruto do empréstimo: $ ,00 (-) IOF de 0,249% a.m. $ 24,90 (=) Valor líquido recebido: $ 9.975,10 2. Valor bruto do empréstimo: $ ,00 (+) Juros (4% a.m. x 30 dias) $ 400,00 (+) Comissão (1%) $ 100,00 (=) Valor total a pagar $ ,00 3. Custo efetivo do empréstimo = ($ ,00 / $ 9.975,10) 1 = 0,0526 ou 5,26% 57

58 Taxa overnight Dia da Taxa over Taxa Fator de juros Dia semana (% a.a.) do dia acumulados X8 (2ª. feira) 22,45% 0, % 1, X8 (3ª. feira) 22,45% 0, % 1, X8 (4ª. feira) 22,45% 0, % 1, X8 (5ª. feira) 22,45% 0, % 1, X8 (6ª. feira) 22,45% 0, % 1, X8 (2ª. feira) 22,45% 0, % 1, X8 (3ª. feira) 22,45% 0, % 1, X8 (4ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (5ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (6ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (2ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (3ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (4ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (5ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (6ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (2ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (3ª. feira) 22,56% 0, % 1, X8 (4ª. feira) 22,40% 0, % 1, X8 (5ª. feira) 22,40% 0, % 1, X8 (6ª. feira) 22,40% 0, % 1, X8 (2ª. feira) 22,40% 0, % 1, X8 (3ª. feira) 22,40% 0, % 1, A taxa é calculada diariamente e válida somente para dias úteis. É calculada com base em ano de 252 dias úteis. 58