Secções biquadráticas com um amplificador

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1 Secções biquadráticas com um amplificador Ana Catarina Pereira n o 67 Ana Vieira da Silva n o 67 Artur Palha n o 67 7 de Junho de 00 Resumo Estudo de secções biquadráticas com um AmpOp. Análise da sensibilidade da resposta em frequência de um filtro passa-baixo em relação aos componentes passivos. Análise do efeito de pólo do AmpOp. Transformação RC-CR e transformação complementar. Filtro passa-baixo Esquema do circuito Figura : Esquema do circuito passa-baixo implementado. Função de transferência, frequência angular (ω 0 ) e factor de qualidade (Q 0 ) teóricos Uma simples aplicação da lei de Kickoff dá-nos as seguintes equações descritivas do circuito: V o V R + V i V R (V R V o ) s C R R V o V R V o s C R Substituindo e resolvendo o sistema para V o, obtém-se: V o V i s C C R R + sc (R + R ) +

2 Resultando, assim, na seguinte função de transferência do circuito: H (s) V o V i C C R R ( ) s + s R + R C + C C R R Como se sabe, a expressão de referência de um filtro passa-baixo de segunda ordem é: H (s) a 0 s + s ω0 Q + ω 0 Uma comparação entre as duas expressões resulta numa frequência de pólo: e num factor de qualidade: ω 0 Q ω 0 C R R R + R C C R R C R R (R + R ) C C R R Os valores de ω 0 e Q, em função dos valores dos elementos passivos do circuito dão: ω rad/s 000 Hz: Q.77. A função de transferência, para s iω, é: Simplificando: C C R R H (iω) ( ) ω + iω R + R C + C C R R H (iω) ( ) ω ω 0 + i ω ω 0 Q + tendo em atenção que (ω n ω ω 0 ), que é a frequência normalizada, fica: Em notação exponencial é: Com: H (iω) ωn + i ωn Q + ω 0 ω + iω ω0 Q + ω 0 H (iω) H (iω) e i arg(h(iω)) e iθ(ωn) ( ωn) + ω n Q ( ) ω n θ (ω n ) arctan ( ωn) Q Apresentam-se, nas Figuras (a) e (b), os gráficos das curvas teóricas do ganho do filtro passabaixo e da sua fase. Com os dados experimentais procedeu-se ao ajuste dos dados, por forma a obter-se ω p e Q p. Os ajustes são apresentados na Figura 3. Olhando para a Tabela, pode-se comparar os resultados experimentais com o previsto teoricamente. É fácil de notar que o valor de Q para o Fase é totalmente díspar do previsto teoricamente e, até, do obtido para o Módulo, mais próximo do teórico. Provavelmente terá existido um erro de leitura sistemático que provocou uma tal disparidade, ou então um erro no ajuste. Ver guia experimental

3 HHiw nl nld 0-3 p wn -p wn (a) Curva teórica do ganho do filtro passabaixo (b) Curva teórica da fase do filtro passabaixo Figura : Curvas teóricas do filtro passa-baixo Ajuste ω p (Hz) Q p Módulo 93. Fase Tabela : Dados dos ajustes. (a) Ajuste do ganho do filtro passa-baixo (b) Ajuste da fase do filtro passa-baixo de Sallen e Key Figura 3: Ajustes aos dados experimentais para o filtro passa-baixo Efeito do pólo do AmpOp Por forma a determinar-se os desvios de ω 0 e de Q em relação aos valores que se obtinham com o comutador na posição B MHz, procedeu-se à obtenção das expressões algébricas que forneciam ω p e Q p em função de ω max e do ganho (A), quando ω ω max : e segue que: Q p A ( A + ) A ω p ω max A (A ) Uma simples determinação do máximo de H (iω n) 3

4 Experimentalmente, obteve-se um máximo para V i 0.0V, V o 0.8V, f 89.9Hz. O que resulta num ganho A V o V i.8. Substituindo, nas expressões, os valores nominais, obtém-se o seguinte resultado: ω p πf p π 90.9(MHz) rad. MHz e Q p.77. Comparativamente com o obtido para B MHz, verificou-se que tanto ω p com Q p sofreram uma diminuição, já que os valores obtidos para B MHz foram de: ω p πf p π 99.(MHz) 66.7 rad. MHz e Q p.80. Como se pode ver, o valor de ω p quando B MHz é o que se encontra mais próximo de ω p teórico, que era o esperado. Transformação RC-CR Esquema dos circuitos Os circuitos implementados encontram-se presentes na Figura. (a) Passa-Baixo (b) Passa-Alto Figura : Obtenção de uma descrição passa-alto por aplicação de transformação RC-CR à secção passa-baixo do esquema da Figura Obtenção da função de transferência teórica deste filtro passa alto Novamente, analisando o circuito, verifica-se que as equações que o descrevem são: (V o V R ) s C + (V i V R ) s C V R V o R (V o V R ) s C V o R O que conduz à seguinte função de transferência: Notando que: ω 0 Q ω 0 H (s) C C R R C C s s + s ω 0 Q + ω 0 C C R (C + C ) C C R R

5 Novamente, substituindo os valores dos componentes, obtém-se: omega Hz e Q 5.0. Quando s iω e fazendo, novamente, a mudança de variável ω n ω ω 0, obtém-se a seguinte expressão para a função de transferência: com H (iω) H (iω) e i arg(h(iω)) ω n ( ω n) + ω n Q ( ) ω n θ (ω n ) arctan ( ωn) Q e iθ(ωn) A curva representativa do ganho é apresentada na Figura 5(a) e da fase é apresentada na Figura 5(b). HHiw nl wn Arg@HHiw nld 0-3 p -p wn (a) Curva teórica do ganho do filtro passaalto (b) Curva teórica da fase do filtro passaalto Figura 5: Curvas teóricas do filtro passa-alto Com base nos dados recolhidos no laboratório procedeu-se a uma regressão dos dados, por forma a ajustá-los à curva teórica e, daí retirar os valores de ω p e de Q p. O ajuste é apresentado nas Figuras 6(a) e 6(b). Os valores do ajuste são apresentados na Tabela. Ajuste ω p (Hz) Q p Módulo Fase Tabela : Dados dos ajustes. Como se pode ver, os resultados são próximos uns dos outros e próximos do esperado teoricamente. Excepção feita para o valor de Q p para o ajusto do módulo, onde a diferença é de 7%, face às diferenças de 0.6%. 5

6 (a) Ajuste à curva teórica do ganho do filtro passa-alto (b) Ajuste à curva teórica do ganho do filtro passa-alto Figura 6: Ajuste aos dados experimentais do filtro passa-alto 6